2013年北京市海淀区高三一模数学理科含答案

2013北京海淀区高三一模数 学 （理科）2013.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{|36}x x <≤ D.{|36}x x ≤<2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为 Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.163.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.2- B. 1- C.12D.2 4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12-B.12C.1-D. 1 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是 A.128. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A. ①B.①②C. ①③D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数+ i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图，AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==， 则弦DB 的长为_______.12.在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==13.已知函数22, 0,()3, 0xa x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14.已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x满足||PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()2cos )f x x x =--. （Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期；D CBPA O（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB上，且PN = （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知圆M ：222(x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为圆M （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.20.（本小题满分13分）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.2013北京海淀区高三一模数 学 （理） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin )x x =-+………………2分 2= 12sin x x -9．0 10．14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈cos2x x =………………4分 π= 2sin(2)6x + (6)分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==分 所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω==………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=-………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以BD⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠= ，所以DM =:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，所以AB AD⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，yx(4,3DB =- 为平面PAC 的法向量………………10分4)PC =- ，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3,z =则平面PBC的一个法向量为n =………………12分设二面角A PC B --的大小为θ，则cos n DB n DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B --余弦值为7………………14分18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，） 单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-………………11分 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾ABG H 综上所述，12a e =-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，c a =1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kxx y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+………………6分所以AB ==分点M0）到直线l的距离d =则GH =分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =时，r =分当0k ≠时，2112(1)2(1)31322r k k =+<+=++又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<分 20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数） 故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分 又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P………………4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=， 1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------两式相加得1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆ ………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++= .当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+ 2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。

海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理科）
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
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上
一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项
中,选出符合题目要求的一项.
2 1. 复数 1 i 化简的结果为
A.1 i
2.已知直线
l
:
x 2 t,

y

斜角及圆心 C 的直角坐标分别是
π , (1, 0)
A. 4
2

t
（
B. 1 i
t
为参数）与圆
π ,(1,0) B. 4
3.向量 a (3,4),b (x,2) , 若 a b | a | ,则实数 x 的值为
A. 1
过程.
15. （本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) 3 sin x cos x cos2 x 1 ， ABC 三个内角 A, B,C 的对边分别
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高三数学（理科）试题第 2 页（共 4 页）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学(理)试题(1)北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是 A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4D.3π,(1,0)4-3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1- B.12-C.13- D.14.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出开始 10n S ==，S p <是输入p结束输出n ，SnS S 3+=否1n n =+的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DEOE EP=⋅ D.2PCPA AB=⋅6.数列{}na 满足111,n n aa r a r+==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}na 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C.108D.728. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三EDABO C角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12(,)33 B.1(,1)2C.2(,1)3D.111(,)(,1)322U二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______. 10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a={}n a 的前n 项和nS =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________. 13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为22___.k = 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（03r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填DA BC22234上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()3sin cos cos2222x xx f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小.16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车出租天数1 2 3 4 5 6 7 车辆数5 10 30 35 153 2 B 型车出租天数1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，C 1B 1A 1CA12,AB AC AA ===E是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B MC E ⊥，求AM 的长；（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分） 已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C ypx=上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x xhx hx=--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，xa bca b c ++()f x ddt 4求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B D A C D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）因为21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-9．224x y -= 10．18; 22n +- 11.13512．42 13．1± 14．3π; 0,2,3,443cos 1223cos 121x x x x =+-=++πsin()6x =+………………6分又sin y x=的单调递增区间为ππ2π,2π22k k -+（），()Z k ∈所以令πππ2π2π262k x k -<+<+解得2ππ2π2π 33k x k -<<+所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分 (Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =………………10分由正弦定理sin sin B Ab a=把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =………………12分又,b a <B A<，所以π6B =，所以π6C =………………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 （II ）设“事件iA 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件jB 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j =则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125………………9分（Ⅲ）设X 为A 型车出租的天数，则X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 7P 0.05 0.100.30 0.35 0.15 0.03 0.02设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为Y1234 5 6 7P 0.14 0.200.20 0.160.15 0.10 0.05 ()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02 =3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48………………12分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ………………13分17.（本小题满分14分）(I) 连接A C1交AC1于点O，连接EO因为1ACC A1为正方形，所以O为A C1中点，又E为CB中点，所以EO为1A BC∆的中位线，所以1//EO A B………………2分又EO⊂平面1AECAEC，1A B⊄平面1所以1//AECA B平面1………………4分（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，1AA为z 轴建立空间直角坐标系所以111A AB BC C E(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--u u u u r u u u u r，因为11B M C E⊥，所以 110B MC E ⋅=u u u u r u u u u r ，解得1m =，所以1AM = ………………8分 （Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==u u u r u u u u r，设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则有10AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-r，………………10分因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC =u u u r………………11分所以3cos ,||||AC n AC n AC n ⋅<>==u u u r ru u u r r u u ur r………………13分平面1AEC 与平面1ABB A 1所成锐二面角的余弦值为3 (14)分18. （本小题满分13分） 解：当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x x f x x -=-………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =--………………4分 （II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞………………6分 当a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=………………7分 当a >时，11a x a+=>，所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞ 11(1,)a a+1a a+1(,)a a++∞'()f x-无定义-+()f x]]极小值Z所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+，单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当a <时，11a x a+=<所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(,)a a+-∞1a a+1(,1)a a+ 11(,)a a++∞'()f x +0 -无定义 -()f xZ极大值]]所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22ypx=，得1p =所以抛物线方程为22yx=，焦点坐标为1(,0)2………………3分 （Ⅱ）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)MM N N M xy N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率设直线l 方程为(2)y k x =- 与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………6分 直线AE的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分 又4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-u u u u r u u u r ，所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++u u u u r u u u r121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 44(44)444(44)k k--+=+-++=………………13分 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2 ………………14分 法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m=-+=………………6分 直线AE的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分 又4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-u u u u r u u u r ，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++u u u u r u u u r121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++=………………12分 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2 ………………13分20. （本小题满分14分） 解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，即2()()2f x g x xhx hx ==--在(0,)+∞是增函数，所以h ≤ ………………1分 而2()()2f x hh x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1hh x x =+当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h <综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++，所以4()a f a d a b c =<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()c f c t a b c =<++ 三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++ 所以240d t +-<………………6分因为,d d a b <所以()0,b ad ab-< 而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +->………………8分 (Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立 我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >，记020()0f x m x =>因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数.所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >所以一定可以找到一个1x x >，使得211()f x mxk>>这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解 假设存在2x >，使得2()0f x =，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x 是增函数一定存在320x x >>，322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾所以()0f x =在(0,)+∞上无解综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立 所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M<成立又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x-=在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ，而任取常数0k <，总可以找到一个0x >，使得0x x>时，有()f x k > 所以M的最小值为0 ………………13分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】{}|(1)(2)0{21}A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以A B = {1}x x ≤，即选B.2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3- 【答案】D【解析】由134a a ⋅=，48a =得2214a q =，318a q =，解得2q =±。

当2q =时，11a =，此时13a q +=。

当2q =-时，11a =-，此时13a q +=-。

选D.3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m【答案】C【解析】设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2ma S n =,所以选C.4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为666左视图5俯视图主视图A.180B.240C.276D.300【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。

上部分为四棱锥。

四棱锥的底Ω面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为21656542402⨯+⨯⨯⨯=，选B.5.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若,AB DC AD BC λλ== ，则//,//AB DC AD BC ，即//,//AB DC AD BC ,所以四边形ABCD 为平行四边形。

2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩〔t 为参数〕与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4-C.3π,(1,0)4D.3π,(1,0)4-(3,4),(,2)x ==a b , 假设||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13-D.14.某程序的框图如下列图, 执行该程序，假设输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+〔*,n r ∈∈N R 且0r ≠〕，则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.72E DABO C8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____. 11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如下列图，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，假设点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为22___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -外表上运动，且PA r =〔03r <<〕，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.〔填上所有可能的值〕.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. 〔本小题总分值13分〕已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x +-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .〔I 〕求()f x 的单调递增区间；〔Ⅱ〕假设()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小.DABC 2223416.〔本小题总分值13分〕汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车出租天数 1 234567 车辆数510 30 35 15 3 2 B 型车出租天数 1 234567车辆数14 20 20 16 15 10 5〔I 〕从出租天数为3天的汽车〔仅限A,B 两种车型〕中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；〔Ⅱ〕根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；〔Ⅲ〕如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. 〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.〔I 〕求证：1//A B 平面1AEC ；〔II 〕假设棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； 〔Ⅲ〕求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. 〔本小题总分值13分〕已知函数e ().1axf x x =- 〔I 〕 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间.19. 〔本小题总分值14分〕已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点〔不同于点E 〕，直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . 〔Ⅰ〕求抛物线方程及其焦点坐标；〔Ⅱ〕已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. 〔本小题总分值13分〕已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，假设()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；假设2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，假设1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，xab c a b c ++()f xddt4求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？假设存在，求出M 的最小值；假设不存在，说明理由.3cos 1223cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+π6C =………………13分16.〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 〔II 〕设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=所以1//EO A B (2)分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分〔Ⅱ〕以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分〔II 〕2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当0a =时，21'()0(1)f x x -=<- 又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞ ………………6分当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=………………7分 当0a >时，11a x a+=>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x (,1)-∞11(1,)a a+ 1a a + 1(,)a a++∞ '()f x-无定义-0 +()f x极小值所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+， 单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x 1(,)a a +-∞ 1a a+ 1(,1)a a+ 11(,)a a++∞ '()f x+-无定义-()f x极大值所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞， 单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分令2x =-， 得11242M y y y -=+=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………13分20. 〔本小题总分值14分〕解：〔I 〕因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω， 即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分 而2()()2f x hh x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1h h x x =+当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++， 所以4()af a d a b c=<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()cf c t a b c=<++三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++所以240d t +-<………………6分 因为,d d a b <所以()0,b a d ab-< 而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +->………………8分(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立 我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >， 记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数. 所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 【答案】B{}|(1)(2)0{21}A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以AB ={1}x x ≤，即选B.2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3- 【答案】D由134a a ⋅=，48a =得2214a q =，318a q =，解得2q =±。

当2q =时，11a =，此时13a q +=。

当2q =-时，11a =-，此时13a q +=-。

选D.3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2ma S n =,所以选C.4.俯视图A.180 B.240 C.276 D.300【答案】B由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。

上部分为四棱锥。

四棱锥的底面为正方形，边长为 6.侧面三角形的斜高为 5.所以该几何体的表面积为21656542402⨯+⨯⨯⨯=，选B.5.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C若,AB DC AD BC λλ==，则//,//A B D C A D B C，即//,//A B D C A D B C,所以四边形A B C D 为平行四边形。

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x m y -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．42 ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||P F P A 的最小值是（ ）A ．12 B ．2 C ．2D ．33 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=4 ．（2013届东城区一模理科）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y ab-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212P F F P F F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为 （ ）A 2B C ．2D 15 ．（2013届门头沟区一模理科）已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且y x的取值范围为33(,)44-，则该双曲线方程是 A ．221916x y -=B ．221916yx-=C ．221169x y -= D ．221169y x -=6 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线22y p x =的焦点F 与双曲线22179xy-=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||A K A F =，则△A F K 的面积为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．327 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）方程2x xy x +=的曲线是 （ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线8 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若O M O N ⊥，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12-+B ．12+ C ．12-+D ．12+9 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．5B ．2C ．115D ．310．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是 （ ）A ．1422=-yxB ．1422=-yx C ．13222=-yxD ．12322=-yx11．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2 C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题12．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xO y 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线A P 与B P 的斜率之积等于2，则0x =______．13．（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的焦距为4，且过点(2,3)，则它的渐近线方程为 .14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）若双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .15．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知直线:1(R )l y a x a a =+-∈，若存在实数a使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1xy -+-=；③2234x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）如图，16．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，的两个焦点，A和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为 .17．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P在该椭圆上．若12||||2P F P F -=，则△12P F F 的面积是______．18．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为 120,那么=PF _______.19．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.20．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.21．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412xy-=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则P F P A +的最小值为 ．三、解答题22．（2013届北京大兴区一模理科）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。

B. π ,(1,0) 4
3.向量 , a (3,4),b (x,2) 若 a b | a |,则实数 x 的值为
A. 1
C.
1 3
D.1
B.
1 2
4.某程序的框图如图所示, 执行该程
C. 3π ,(1,0) 4
序，若输入的 p 为24 ，则输出
的 n,S 的值分别为
A. n 4, S 30
表:
A 型车
出租 1 2 3 4 5 6 7
天数
车辆 5 1 3 3 1 3 2
数
0055
B 型车
出租 1 2 3 4 5 6 7 天数 车辆 1 2 2 1 1 1 5 数 400650
（I）从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A,B 两种车型） 中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A 型车的概 率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天 的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相 同，该公司需要从 A，B 两种车型中购买一辆，请你 根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车 型，并说明你的理由.
A, B,C
22
22
的对边分别பைடு நூலகம்
为 a,b,c .
（I）求 f (x)的单调递增区间；
（Ⅱ）若 f (B C) 1, a 3,b 1，求角 C 的大小.
16.（本小题满分 13 分）
汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情
况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车，分别统
计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下
北京市海淀区 2013 届高三上学 期期末考试理科数学试题
2013.1

2013 高考海淀区高三理科数学查漏补缺试题答案理科2013年 5 月题号 1 2 3 4 5答案 B C C A 33π， 30π题号 678910答案①③[0,8]5,(12 , 24)15e 213 39题号 11 12 13 14 15答案-21,30B153a5解答题部分：１. 解：﹙Ⅰ﹚f ( x ) cos 2 x 2 3sin x cosx sin 2 x3sin2 x cos2 x2sin(2 x)6所以 T , f ( x) [ 2,2]﹙Ⅱ﹚由 f ( A ) 2 ，有 f ( A) 2sin( A) 2 ，22 6所以 sin( A)1.6由于 0A，所以 A6 , 即 A3 .2由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bccos A 及 a 2 bc ，所以 (b c) 2 0 .所以 bc, 所以 BC .3所以 ABC 为等边三角形 .2. 解：依题意MOQπPOQMOQπ ．，所以MOP33由于 sin 1，且( π πcos 2 2 ．2 , ) ，所以32 3所以 cos POQ π)ππ2 23cos(cos cossin sin．333 6（Ⅱ）由三角函数定义，得P(cos ,sin ) ，进而 Q(cos , 3cos )所以 S POQ1|cos || 3cos sin | 2 1 | 3cos 2 sin cos |21 | 3 3cos2 1sin 2|1|3 sin( π2 ) |2 2 222 2 31 3 1|3 12 |4 22由于π ππ(, ) ，所以当时，等号成立2 212 所以 OPQ 面积的最大值为3 1 4.23. 解：（Ｉ） a 2（ＩＩ）由于 f ( x ) cos2 x a cos x 1 2cos 2 x2cos x设 t cos x, 由于 x [0, π], 所以 t [ 1,1]所以有 y2t 22t, t[ 1,1]由二次函数的性质知道，y 2t 2 2t 的对称轴为 t12所以当 t1，即 tcos x1， x2π时，函数获得最小值12232当 t1 ，即 t cos x 1 ， x0 时，函数获得最大小值 44. 证明：（I ）当 n 1 时， a 13a 12由于 a 10 ，所以 a 1 1当 n2 时， a 13a 23 a 33 a n 3 S n 2 ①a 13 a 23 a 33 a n 3 1S n 2 1 ②①－②得， a n 3 a n (2a 1 2a 22a n 1 a n )a 0 a 2 2a 2a 2a a，即 a n2 2S n－a n 由于 a1 1 合适上式所以 a n2 2S n－ a n (n N )（Ⅱ）由（I ）知a n2 2S n - a n (n N ) ③当 n 2 时，a n21 2S n 1 a n 1 ④③－④得 a n2－ a n2 - 1 2( S n -S n - 1 )-a n a n - 1 2a n-a n a n - 1 an a n- 1由于a n a n - 1 0 ,所以 a n - a n - 1 1所以数列a n 是等差数列，首项为 1，公差为1，可得a n n5. （ I ）由于在正三角形ACE 中， O 为 AC 中点，所以 EO AC又平面 ACE 平面 ABCD ，且平面 ACE 平面 ABCD AC ，所以 EO 平面 ABCD ，所以 EO CF在 Rt ACD 中，tan FCO 2,tan ODC 2 2 2所以FCO ODC ，所以FCD ODC 90 ，即 CF DO ，又DO OE O所以 CF 平面 DOE ，所以 CF DE（Ⅱ）以 O 为坐标原点，OF ,OA,OE 所在直线为坐标轴成立坐标系，则 O(0,0,0), F ( 21,0), E(0,0,0 3) ， D( 2, 1,0) ,0,0), A(0,1,0), C(0,2由（ I ）得平面 DOE 的法向量为CF ( 2,1,0) 2设平面 DCE 的法向量为n ( x, y, z) 由于CD ( 2,0,0), CE (0,1, 3),CD n 0,解得x 0，取 n (0,3, 3)所以0, y 3zCE n 0所以 cos n,CF =2，2所以二面角 O DE C 的值为π.6. 解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不一样”为事件A ，摸出一球得白球的概率为 2 ， 5 摸出一球得黑球的概率为3，5233212所以P （A ）＝× ＋ × ＝.12答：两球颜色不一样的概率是.25（Ⅱ）由题知可取 0， 1， 2， 依题意得P(3 2 31) 3 2 2 3 3 2)0)4, P(5 4 5 4 , P(5 105则 E3 3 14101210 ，552229 . D0 43 14 3 2 415 105 55 1025答： 摸出白球个数 的希望和方差分别是 4，9.5 257. 解：（Ⅰ）由于 f ( x)6ln( ax2)1x 2 ，2所以 f ' ( x) 6a 2 xax由 f ' (2) 0 ，可得 a 2经查验 a2 时，函数 f ( x) 在 x 2 处获得极值，f ( x)6ln(2 x 2)1 x2 ，2f ' ( x)6 xx 2 x 6 ( x 3)( x 2) x 1x 1x 1 而函数 f ( x) 的定义域为 ( 1,) ，当 x 变化时， f ' ( x) ， f ( x) 的变化状况以下表：x( 1,2)2'( x)f2 115 4 10(2, )f ( x)极小值由表可知， f ( x) 的单一减区间为 ( 1,2) ， f ( x) 的单一增区间为 (2, )（Ⅱ）若 f '( x) kx ，则有 x2 x 6 kx2 kx ，此中x 1 ，所以 (k 1)x 2 ( k 1)x 6 0 有大于 1 的根，明显 k 1 ，设g( x) ( k 1)x 2 (k 1)x 6则其对称轴为x 1，依据二次函数的性质知道，2只需( k 1)2 24(k 1) 0解得 k 25 或 k 1 .8. （Ⅰ）解：f ( x) ae ax ( x 1)[( a 1)x 1]x2①当 a 1 时，令 f ( x) 0 ，解得x 1f ( x) 的单一递减区间为( , 1) ；单一递加区间为( 1,0) ， (0, )当 a 1 时，令 f ( x) 0 ，解得x 1 ，或x1 a 1②当 1 a 0 时， f ( x)的单一递减区间为( , 1)，( 1 , )a 1单一递加区间为 ( 1,0) ， (0,a 1 ) 1③当 a 0 时， f ( x) 为常值函数，不存在单一区间④当 a 0 时，f ( x)的单一递减区间为( 1,0) ， (0, 1 )a 1单一递加区间为( , 1)， ( 1 , )a 11 a1)2（Ⅱ）解：①当 a 0 时，若x (0, ) ， f ( x) min f ( ) e a 1 ( a 1a 1若 x ( ,0) ，f ( x)max f ( 1) e a 1 ，不合题意②当 a 0 时，明显不合题意a，则 f ( x1 ) a2③当 1 a 0 时，取x1 e 2 (a 1) 02取 x2 1 ，则 f ( x2 ) e a 0 ，切合题意④当 a 1 时，取x 1 ，则 1f ( x1 ) e 01取 x 21，则 f ( x 2 ) e a0 ，切合题意综上， a 的取值范围是 [ 1,0) ．9. 解：（Ⅰ）证明： f ( x) ax 2 2bxc ，由题意及导数的几何意义得f (1) a 2b c 0 ，（ 1）f (m)am 22bm c a ，（ 2）又 ab c ，可得 4a a 2b c4c ，即 4 a0 4 c ，故 a 0, c 0,由（ 1）得 c a 2 b ，代入 ab c ，再由 a0 ，得1 b 1 ，（3）3a将 ca 2b 代入（ 2）得 am 22bm 2b 0 ，即方程 ax 2 2bx2b 0 有实根．故其鉴别式4b28ab ≥0 得b ≤ 2 ，或 b≥0 ， （4）aa由（ 3），（ 4）得 0 ≤b1 ；a（Ⅱ）由 f ( x) ax 2 2bx c 的鉴别式 4b 2 4ac 0 ，知方程 f ( x) ax 2 2bx c0 ( ) 有两个不等实根，设为 x 1 , x 2 ，又由 f (1) a2b c 0 知， x 11 为方程（ ）的一个实根，则由根与系数的关系得x 1 x 22b2b, x 21 0 x 1 ，a a当 xx 2 或 x x 1 时， f ( x) 0 ，当 x 2 x x 1 时， f ( x) 0 ，故函数 f ( x) 的递加区间为 [ x 2 , x 1 ] ，由题设知 [ x 2 , x 1 ] [ s, t ] ，所以 | s t | | x 1x 2 | 2 2b ，由（Ⅰ）知 0 ≤ b1 得aa | s t | 的取值范围为 [2, 4) .10. 解 : （Ⅰ）椭圆 C 的方程为：x 2y 2 1.4 3（Ⅱ）设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ，则 x 12 y 12 1 ， x 22y 22 1 .434 3依题意有 |PM || PN |，即 x 12 ( y 0 y 1 )2x 22 ( y 0 y 2 )2 ，( x 2 x 2 ) ( y 2 y 2 ) 2y ( y y )将 x 124 4y 12 ， x 22 4 4 y 22 代入上式，消去 x 12 , x 22 ，3 3得 ( y 12 y 22 ) 6 y 0 ( y 1y 2 ) 0 .依题意有 y 1 y 2 0 ，所以 y 0y 1y2.6注意到 | y 1 | 3 ， | y 2 | 3 ，且 M , N 两点不重合，进而2 3y 1 y 2 2 3 .所以 y 0( 3 , 3) .3 311. 解： (I)设 Q( x, y),由于 NP1PQ, 所以 N (0,y),22又 M ( 3m,0), 所以 MN (3m,y ), NQ ( x, 3y),2 2由已知 MNNQ 0, 则 3mx 3 y 2 04y 2 4mx,即Q 点轨迹方程为 y 24mx.（Ⅱ）如图，不如设正方形在抛物线上的三个极点中 A 、 B 在 x 轴的下方（包含 x 轴），记 A 、 B 、 C 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ),( x 3 , y 3 ) ，此中 y 3 0 y 2 y 1并设直线 AB 的斜率为 （kk ＜0）y 2 y 1k( x 2x 1 )则有y 2 1( x 3①yy 3 x 2 )k又由于 A 、 B 、 C 在抛物线 y 24mx 上，故有Cx 1y 12 , x 2y 22 , x 3y 32 代入①式得O D4m4m 4mx4mBy 1y 2 , y 34mk y 2 ②Ak由于 |AB| |BC |即 ( x 1x 2 )2 ( y 1 y 2 )2(x 3x 2 )2 ( y 3y 2 )2所以 11y 1 )1 k 2( y 3y 2 )k2( y2所以 ( y 2 y 1 ) k ( y 3 y 2 ) 将②代入可得：4m y 2k( 4mk 2y 2 )y 2k即 4mk 24m 2( k 1) y 2 ，k4mk 24m 得 y 2k1)2( k正方形的边长为 |AB|1 k2 ( y3 y 2 )1 k2 ( 4mk 2 y 2 )4mk 2 4mk 311 k2 ( 4mkk k )4m 1 k 2k1k ( k 1)4m 1 k 2 (k 2 1)k( k 1)易知 (k21) 2,1k 22 , 所以4m 1k 2 ( k 2 1) 4 2mkk 12k ( k 1)所以正方形 ABCD 面积的最小值为 32m 2 .12．解：（Ⅰ）设圆心坐标为 ( x, y ) ，那么 22 y22 x 2 ，化简得 x 2 4 y( y 2) （Ⅱ） 解法一 ：设 P( x 1， y 1 )，Q( x 2，y 2 )设直线 PQ 的方程为 y kx b ，代入曲线 C 的方程得 x 2 4kx 4b 0 ，所以 x 1 x 2 4k ,x 1x 24b,16k 2 16b 0由于 PQ2 ，所以 (1 k 2 )[( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 ] 4, (1 k 2 )[16k216b] 4 所以 , 4(1 k 2 )[ k 2 b]1, k 2 b1 k2 )4(1过 P 、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为 y y 1x 1( x x 1 ), y y 2x 2 ( x x 2 )2222两式相减，得 y 2 y 1xx 2 x 1( x 1x 2 )2x 2 2 x 12 x2x 12x 2 212( x 1 x 2 )， x 1x 2 ，xxx 2k4222代入过 P 点曲线 C 的切线方程得 ,y y 1x 1 ( x1x 2 x 1 )x 1 22 2yx 1 ( x 1 x 2x 1 ) ， yx 1x 2b4 2 24即两条切线的交点 M 的坐标为（ 2k, b ），所以点 M 到直线 PQ 的距离为d2k 2 2b2 k 2 b 11 k 21 k 232(1 k 2 ) 2当 k0 时 ,dmax1 , 此时 PQM 的面积的取最大值 S max1 PQ d max 12 22 解法二 : 设 P( x 1，y 1 )，Q( x 2， y 2 ) , 则过 P 、 Q 两点曲线C 的切线方程分别为y y 1x 1( x x 1 ), y y 2x 2( x x 2 )22两式相减得 y 2y 1x( x 1 x 2 ) x 2 2 2 x 1 2 ，2x 22x 12 x( x 1 x 2 ) x 2 2x 12 ， x 1 x 2 ， x x 1 x 24222 代入过 P 点曲线 C 的切线方程得 ,y y 1 x 1 ( x 1 x 2 x 1 )x 1 22 2yx 1 x 1 x 2x 1 ) ， y x 1 x 242(42即两条切线的交点 M 的坐标为 (x 1x 2 ， y 1 y 2 )2 2设中点为 C ，则 C 的坐标为 (x 1x 2 ，y1y 2 ) ，所以 MC 平行于 y 轴，所以PQ22MCx 1 x 2y 1 y 2 x 1 x 2 x 12 x 2 2 ( x 1 x 2 ) 2( x 1 x 2 )2424888设点 M 到直线 PQ 的距离为 d ，那么 dMC( x 1x 2 ) 2x 2 0 时等号成8( 当且仅当 x 1立) ．又由于 PQ2 ，所以 (x 1 x 2 )2 ( y 1y 2 )2 2 ，即( x 1 x 2 )2( x 1 x 2 ) 2( x 1x 2 )22 ，( x 1 x 2 ) 2[1( x 1 x 2)2]2 ．1616所以 ( x 1 x 2 )2 4 ( 当且仅当 x 1 x 2 0 时等号成立 )．所以 d1，S PQM1PQ d 1 2 1 1 ，222 2 2所以 PQM 的面积的最大值为 1 ．213. 解 : （Ⅰ） a 2 4 ， b 2 3 ，所以， c 2a 2b 2 1。

2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+- (2)分2= 12sin 2x x -+cos22x x = ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分 （Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，y所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB=为平面PAC的法向量………………10分4)PC=-，(4,0,4)PB=-设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=,则n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x zx z⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n=………………12分设二面角A PC B--的大小为θ，则7cosn DBn DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B--………………14分18. 解：（I）因为2()ln,f x x ax bx=++所以1()2f x ax bx'=++………………2分因为函数2()lnf x x ax bx=++在1x=处取得极值(1)120f a b'=++=………………3分当1a=时，3b=-，2231()x xf xx-+'=，'(),()f x f x随x的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，2c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分ABGH所以AB==………………7分点M0）到直线l的距离d=则GH=………………9分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，所以要使AG BH=，只要AB GH=所以222228(1)24()121k krk k+=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k krk k k k k k+++=+==+++++++………………11分当0k=时，r=………………12分当0k≠时，242112(1)2(1)31322rk k=+<+=++又显然24212(1)2132rk k=+>++,<综上，r≤<………………14分20.解：（Ⅰ）因为x∆+=3(,y x y∆∆∆为非零整数）故1,2x y∆=∆=或2,1x x∆=∆=，所以点P的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.23．（5分）（2013•海淀区一模）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值（）=．4．（5分）（2013•海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则，）×﹣5．（5分）（2013•甘肃三模）若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为（）﹣即可得到，∴，．．6．（5分）（2013•海淀区一模）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有7．（5分）（2013•海淀区一模）抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）B，要使是抛物线的切线时，，所以8．（5分）（2013•海淀区一模）设l1，l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i∈l i（i=1，2，3），使得△A1A2A3是直角三角形；②①∃A i∈l i（i=1，2，3），使得△A1A2A3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区一模）在复平面上，若复数a+bi（a，b∈R）对应的点恰好在实轴上，则b=0．10．（5分）（2013•海淀区一模）等差数列{a n}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=14．，解得，或，或11．（5分）（2013•海淀区一模）如图，AP⊙O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C．若∠ACB=90°，BC=3，CP=4，则弦DB的长为．，解得的长为．故答案为12．（5分）（2013•海淀区一模）在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=﹣，则c=3，sinC=．cosA=可求cosA==由正弦定理可得，13．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．x=轴由两个交点，故最低点，综合可得＜故答案为：＜14．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）函数h（t）的最大值是2；（2）函数h（t）的单调递增区间为（2k﹣1，2k），k∈Z．}点为圆心，≤为半径的圆及其内部函数的图象上所有的点的纵坐标的集合，，；三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．2x+，]﹣（2﹣sin2x=cos2x+2x+（×+=2sin=，T=，]，]2x+∈﹣，=，即当时，函数取得最小值）=，即当x=时，函数取得最大值）16．（13分）（2013•海淀区一模）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．人，频率为，可求考场中的人数，=40===×=的数学期望为17．（14分）（2013•海淀区一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．BM=PB=，C，为平面，．，，即，，则平面的一个法向量为，则余弦值为．18．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；（II）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．=，（）单调递减区间为（…＜＞＜，，或）=ln（）=ln﹣＜＜）上单调递减，（，与＜≥或19．（14分）（2013•海淀区一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=r2=r2（r＞0）．若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．的圆心（a=的方程为：，则，=，，=4=r=时，1+，所以．20．（13分）（2013•海淀区一模）设A（x A，y A），B=（x B，y B）为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，x B，y B∈Z．令△x=x B﹣x A，△y=y B﹣y A，若|△x|+|△Y|=3，且|△x|•|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．已知0（x0，y0）（x0y0∈Z）为平面上一个定点，平面上点列{P i}满足：P i=i（P i﹣1），且点P i的坐标为（x i y i），其中i=1，2，3，…n．（Ⅰ）请问：点p0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（Ⅱ）求证：若P0与P n重合，n一定为偶数；（Ⅲ）若p0（1，0），且y n=100，记T=，求T的最大值．为半径的圆上；，依题意可得（）为圆心，T=（T=T=。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2013.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{|36}x x <≤D.{|36}x x ≤< 2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为Ａ. π B. 4 Ｃ. 4π Ｄ. 16 3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ. 2- B. 1- C.12D. 2 4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ. 2- B. 1- C. 0 D. 1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A. 12-B. 12C. 1-D. 16. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最 小值是 A.12 B. 22 C. 32 D. 2238. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；开始输出y结束输入x2-=x x0≤xx y 2=是否③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A. ①B.①②C. ①③D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在复平面上，若复数 + i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图， AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==，则弦DB 的长为_______.12.在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==13.已知函数22, 0,()3, 0xa x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14.已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，定义集合：{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--. （Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.DCBPAO在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示， 其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.0.375等级频率0.2000.075科目：数学与逻辑0.025频率等级0.1500.375科目：阅读与表达17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB 上，且2PN =． （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．MDCBAPN已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知圆M ：222(2)x y r -+=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为圆M的圆心，离心率为22. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.20.（本小题满分13分）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =， 记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCCDADBB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2(3sin cos )f x x x =--22= 2(3sin cos 23sin cos )x x x x -+-22(12sin 3sin2)x x =-+- ………………2分 2= 12sin 3sin2x x -+cos23sin2x x =+ ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 34463f =⋅+== ………………7分 所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 9． 010． 1411.24512．33, 151613． 491a <≤14． 2,(21,2), Z k k k -∈（II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为X 16 17 18 19 20P1545 1245 1345 445145………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，23BM = ………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠= ，所以233DM =，所以:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，42PB =，所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以43(4,0,0),(2,23,0),(0,,0),(0,0,4)3B C D P由（Ⅱ）可知，43(4,,0)3DB =- 为平面PAC 的法向量 ………………10分(2,23,4)PC =- ，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,z yxMAD BCPN则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22340440x y z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3,z =则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n =………………12分设二面角A PC B --的大小为θ， 则7cos 7n DB n DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B --余弦值为77………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++ ………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++= ………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：x1(0,)2121(,1)21 1+∞（，）'()f x +0 -0 +()f x极大值极小值………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分 当11e 2a≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a 上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-. ……ABG H …………13分1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ， 因为2a =，22c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分所以222288(1)(1)1212k AB k k k+=+=++ ………………7分 点M （2，0）到直线l 的距离221k d k=+则222221k GH r k=-+ ………………9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k+=-++ 22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++ ………………11分当0k =时，2r =………………12分 当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++又显然24212(1)2132r k k =+>++, 所以23r << 综上，23r ≤< ………………14分20. 解：（Ⅰ）因为 x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个 ………………2分 又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P 为圆心，5为半径的圆上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)nn n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分 因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++= .当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+ 2205100982n n +-=综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2,100n nnT n nn n n⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习（答案）数学(理科) 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

ACBC BBDC二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210.5(1)2n -11. a b c >>12.2π3,π613.2λ>14.14；6(31)n - 说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A = 和ABC S ∆=1sin602bc = 分所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =2sin B =，-----------------12分所以sin B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）解：（I ）π()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分sin 4x x +------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x +≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）解：（I ）由已知11,AH t PH =- -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分（II ）解法1. 1'()(11)2f t t =⨯-= -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况如下：------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 8.------------------------------------13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =.-------------------------------4分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------8分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，------------------------------9分 易得数列1{4},{2}n n +分别是公比为4和2的等比数列，由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分（说明：未舍12a =-扣1分，若以下正确，给一半分；三个求和公式各1分，化简结果1分）19.（本小题满分14分）解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分(1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分 (II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>,由'()0f x =得12,1x a x ==, ----------------------------5分 ①当01a <<时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞； -----------------------8分 ③当1a >时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分 (III ）①当01a <≤时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上单调递增，所以()f x 最大值是(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤，解得2e 2e2e 2a -≥-， ----------------------------11分所以2e 2e 12e 2a -≤≤-；②当1a >时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤且(1)0f ≤，解得12a ≥-且2e 2e2e 2a -≥-；------13分所以2e 2e2e 2a -≥-；所以，当2e 2e2e 2a -≥-时，满足()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立.--------------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. --------------------------------------9分由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ . 下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分 说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0Ax x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q+的值为A ．3B ．2C ．3或2-D ．3或3- 3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为 A.m a nB.n a mC.2m a nD.2n a m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形A B C D 中，“λ∃∈R ，使得,A B D C A D B Cλλ==”是“四边形A B C D为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B. 36 C. 42 D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12A F F ∆是以1A F 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+D.2+俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tna a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值B.若m={}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中，极点到直线c o s 2ρθ=的距离为_______. 10.已知1211ln,sin,222ab c -===，则,,a b c 按照从．大到小．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30 ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____. 12.在A B C ∆中，30,45,A B a ∠=∠==，则_____;b=C _____.A B S ∆=13.正方体1111A B C D A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1B D 上运动，则DC A P⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W .(I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数c o s 2()1π()4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形A B C D 中，90A B CD A B ∠=∠=，30C A B∠=，2B C =，4AD =. 把D A C∆沿对角线A C 折起到P A C ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面A B C 上的正投影H 恰好落在线段A C 上，连接P B ,点,E F 分别为线段,P A A B 的中点． (I) 求证：平面//E F H 平面P B C ； (II)求直线H E 与平面P H B 所成角的正弦值；(III)在棱P A 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218.（本小题满分13分）已知函数()exf x =,点(,0)A a 为一定点,直线()xt t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记A M N ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段A B 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求A O B ∆（O 为原点）面积的最大值.20.（本小题满分13分） 设A 是由mn⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由mn⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a aaa a------海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）因为πsin ()04x-≠所以ππ,4xk -≠Zk ∈ ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4xx k ≠Z }k ∈ ……………………4分（II ）因为22c o s sin ()1sin c o s x x f x x x-=-- ……………………6分= 1+(c os sin )x x +π= 1()4x ++……………………8分又sin y x=的单调递增区间为ππ(2π,2π)22k k -+，Z k ∈令 πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+ ……………………11分又注意到ππ+,4xk ≠9． 2 10．c b a >>11.12．2213．[0,1]14．②③;2-所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈ …………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p pξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =-- …………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p<…………………12分所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面A B C 上的正投影H 恰好落在线段A C 上所以P H ⊥平面A B C ，所以P H ⊥A C …………………1分因为在直角梯形A B C D 中，90A B CD A B ∠=∠=，30C A B∠=，2B C =，4AD =所以4A C =，60C A B ∠=，所以A D C ∆是等边三角形，所以H 是A C 中点， …………………2分所以//H E P C …………………3分 同理可证//E F P B 又,H EE F E C P P B P==所以//E F H P B C 平面P B C …………………5分 （II ）在平面A B C 内过H 作A C 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，(0,0,P ，0)B …………………6分因为(0,E -，(0,H E =-设平面P H B 的法向量为(,,)nx y z =因为0)H B =，(0,0,H P =所以有00H Bn H Pn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以3,0)n =-…………………8分c o s ,4||||n H E n H E n H E ⋅<>===⋅…………………10分所以直线H E与平面P H所成角的正弦值为4…………………11分(III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形P H A 中，122E H P E E A P A ====， (13)分在直角三角形P H B 中，点4,P B =122E F P B ==所以点E到四个点,,P O C F 的距离相等 …………………14分 18.解: (I) 因为1()||e2tS t t a =-，其中t a ≠ …………………2分当0a =，1()||e 2tS t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e2tS t t =，1'()(1)e2tS t t =+， 所以'(S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分当0t <时，1()e2tS t t =-，1'()(1)e2tS t t =-+，令1'()(1)e 02tS t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02tS t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞- ()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e2tS t t a =-，其中t a ≠当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()eS t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e 1'()[(1)]e2tS t t a =---，令'S t =，得1t a =- …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02tS t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e2S a =-令21(2)e e2a -≥ ，解得22ea ≥+ ，所以3a ≥…………………10分当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02tS t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增 1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e2a S a --=令11(1)ee2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+所以la+≤…………………12分综上所述，ln 22a+≤…………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以,1a b ==,椭圆M的方程为2213xy+= …………………4分(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为A B 的垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线A B有斜率，当直线A B 的斜率为0时,则A B 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2|||||||||2A OB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-≤=，所以2A OB S ∆≤1||2x =时，A O B S ∆2………………6分当直线A B 的斜率不为0时,则设A B 的方程为y k x t=+所以2213y k x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x k t t +++-=当224(933)0kt ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解 又122631k t x x k-+=+，1223231x x k t k+-=+ …………………9分所以122231y y t k+=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t+=②代入①，得到04t <<…………………10分又原点到直线的距离为d =12|||A B x x =-=所以1=||||2A OB S A B d ∆=化简得到=A OB S ∆…………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =A O B S ∆2综上，A O B∆面积的最大值为2…………………14分20.（I ）解：法1：42123712371237211211211-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237211211211--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237211211211----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a aaaa-----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a ≤或52a≥当12a≤时，则接下来只能操作第一行，22221212a a a a aaaa------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a---必有2220a-≥，解得0,1a =-当52a≥时，则接下来操作第二行22221212a a a a a a a a------ 此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分② 如果首先操作第一行22221212a a a a aaa a-----则每一列之和分别为22a -，222a-，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数， 所以此时必须有2220a-≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-经检验，0a =或1a =-符合要求 综上：0a =-…………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

北京市海淀区2013届高三上学期期末考试理科数学试题2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是 A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4D.3π,(1,0)4-3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1- B.12-C.13- D.14.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S == 5.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO 交圆O 于,A B两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DEOE EP=⋅ D.2PCPA AB=⋅6.数列{}na 满足111,n n aa r a r+==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}na 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C.108D.728. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，EDABOC则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12(,)33 B.1(,1)2C.2(,1)3D.111(,)(,1)322U二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______. 10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和nS =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________. 13. 点(,)P x y 在不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为22___.k = 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（03r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k=的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.DA BC22234三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos2222x xx f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别 为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车B 型车天数车辆数 14 20 20 16 15 105（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B MC E ⊥，求AM 的长；（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分） 已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C ypx=上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB分别交直线2x =-于点,M N .（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx=--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，xabca b c ++()f x dd t4求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.3cos 1223cos 121x x x x =+-=++πsin()6x =+………………6分又sin y x=的单调递增区间为ππ2π,2π22k k -+（），()Z k ∈所以令πππ2π2π262k x k -<+<+π6C=………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.6 3020=+这辆汽车是A型车的概率为0.6………………3分 （II ）设“事件iA 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件jB 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j =则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分 520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=所以1//EO A B………………2分又EO⊂平面1AECAEC，1A B⊄平面1所以1//AECA B平面1………………4分（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，1AA为z轴建立空间直角坐标系………………2分又(0)1f=-，f=-，'(0)2所以()f x在(0,(0))f处的切线方程为21y x =-- ………………4分 （II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞………………6分 当a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=………………7分 当a >时，11a x a+=>，所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞ 11(1,)a a+1a a+1(,)a a++∞'()f x -无定义 -0 +()f x]]极小值Z所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+，单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当a <时，11a x a+=<所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分令2x =-， 得11242M y y y -=+=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2 ………………13分20. （本小题满分14分） 解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以h ≤ ………………1分 而2()()2f x hh x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1h h x x =+当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h <综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++，所以4()a f a d a b c =<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()c f c t a b c =<++ 三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++ 所以240d t +-<………………6分因为,d d a b <所以()0,b ad ab-<而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +->………………8分 (Ⅲ)因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >，记020()0f x m x =>因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数.所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k>> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )fx x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+-………………2分2= 12sin 2x x -+cos22x x =………………4分π= 2sin(2)6x +………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==7分 9．0 10．14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω==………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=-………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM =5分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=o，所以DM =:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=o ， 所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB =u u u r 为平面PAC 的法向量………………10分4)PC =-u u u r ，(4,0,4)PB =-u u u r设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r,yx则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z =则平面PBC的一个法向量为n =r………………12分设二面角A PC B --的大小为θ，则cos n DB n DBθ⋅==⋅u u u r r u u u r r所以二面角A PC B --余弦值为7………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-………………11分 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾 综上所述，12a e =-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，ABG H因为a =，c a =1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k=-+………………6分所以AB ==7分 点M0）到直线l的距离d =则GH =………………9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =时，r =12分当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++ 又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<14分20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P为半径的圆上………………4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------两式相加得1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*）因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==， 故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =， 依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=， 因为0nii T x===∑012n x x x x ++++L112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆L L 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆L ………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数， 所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2， 则1012(12100)10201T =++++=L . 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++L .若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2， 则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+L当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-L ((100)(99)1)n n +-+-+L2205100982n n +-=综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。