2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

2016年海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i - 2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-3. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为A. 3B.2C. 1D.3- 4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输 出的a 值为A.1B.2C.3D.5 5. 已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个 6. 已知圆22(2)4C x y -+=：,直线1:l y =，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为A. B.1 C.12EA BCD输出输入开始结束7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.28. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是A. 1,1m n ==B. 4,1m n ==C. 3,4m n ==D. 4,4m n == 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ） A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A 3B 323 D 265．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ） A ．1 B 2 C 3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）函数f（x）＝的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1] 2．（5分）某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S值为（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．B．3C．D．44．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A ．B．C ．D ．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则“{a n}为常数列”是“∀n∈N*，S n ＝na n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在极坐标系中，圆C1：ρ＝2cosθ与圆C2：ρ＝2sinθ相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．1B．C ．D．27．（5分）已知函数f（x ）＝是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．a ＝，b ＝﹣B．a＝，b ＝C．a ＝，b ＝D．a ＝，b ＝8．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量，若，则t＝．10．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝2，且，则a1+a3的值为．11．（5分）在三个数2中，最小的数是．12．（5分）已知双曲线C：＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为．13．（5分）如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有种．14．（5分）已知函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[t﹣a，t+b]，使得|f（x）﹣f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（1）当f（x）＝2x时，H（0）＝；（2）当f（x）＝x2且t∈[1，2]时，函数H（t）的值域为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝．记∠ACD＝α，∠BCD＝β．（Ⅰ）求证：＝（Ⅱ）若α＝，β＝，AB＝，求BC的长．16．（13分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M 、N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ，A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C ﹣AN ﹣D 的大小为时，求PN 的长．18．（13分）已知函数f（x）＝ln x+﹣1，g（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y＝g（x）的切线．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线P A，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．20．（13分）给定正整数n（n≥3），集合U n＝{1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①U n＝A∪B∪C，且A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；③集合A，B，C中各元素之和分别记为S A，S B，S C，有S A＝S B＝S C；则称集合U n为可分集合．（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；（Ⅱ）证明：若n是3 的倍数，则U n不是可分集合；（Ⅲ）若U n为可分集合且n为奇数，求n的最小值．2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）函数f（x）＝的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，即为2x≥1，解得，x≥0，则定义域为[0，+∞）．故选：A．2．（5分）某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S值为（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：模拟执行程序，可得z＝i，n＝1不满足条件n＞5，S＝i1，n＝2不满足条件n＞5，S＝i2，n＝3不满足条件n＞5，S＝i3，n＝4不满足条件n＞5，S＝i4，n＝5不满足条件n＞5，S＝i5，n＝6满足条件n＞5，退出循环，输出S＝i5＝i．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．B．3C．D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝x+y得y＝﹣x+y，平移y＝﹣x+y，由图象知当直线y＝﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z＝+3＝，故选：C．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V＝＝，故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则“{a n}为常数列”是“∀n∈N*，S n ＝na n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若{a n}为常数列，则d＝0，则S n＝na n成立，即充分性成立，若S n＝na n，则当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣1）a n，则a n﹣1＝a n，则{a n}为常数列，即必要性成立．故“{a n}为常数列”是“∀n∈N*，S n＝na n”的充要条件，故选：C．6．（5分）在极坐标系中，圆C1：ρ＝2cosθ与圆C2：ρ＝2sinθ相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：由ρ＝2cosθ得，ρ2＝2ρcosθ；∴x2+y2＝2x；∴（x﹣1）2+y2＝1；∴该圆表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆；由ρ＝2sinθ得，ρ2＝2ρsinθ；∴x2+y2＝2y；∴x2+（y﹣1）2＝1；∴该圆表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆；画出这两个圆的图形如图：△ABC2为Rt△，C2A＝C2B＝1；∴．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．a＝，b＝﹣B．a＝，b＝C．a＝，b＝D．a＝，b＝【解答】解：函数f（x）＝是偶函数，x＝0时，sin a＝cos b，…①可得sin（x+a）＝cos（﹣x+b）＝sin（x+﹣b），…②，当a＝，b＝﹣，满足①，不满足②，A不成立．a＝，b＝，满足①，不满足②，B不正确．a＝，b＝，满足①，满足②，所以C正确．a＝，b＝，不满足①，所以不正确．故选：C．8．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．丁可以承担第三项工作【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13＝78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15＝79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量，若，则t＝±3．【解答】解：∵向量，若，则9﹣t2＝0，求得t＝±3，故答案为：±3．10．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝2，且，则a1+a3的值为5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2＝2，且，∴+＝，解得q＝2或．当q＝2时，则a1+a3＝＝5；当q＝时，则a1+a3＝+2×＝5．故答案为：5．11．（5分）在三个数2中，最小的数是．【解答】解：＝，log 32＞＝，∴三个数2中，最小的数是．故答案为：．12．（5分）已知双曲线C：＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为x2﹣＝1．【解答】解：双曲线C：＝1的一条渐近线l的方程为y＝x，由题意可得＝tan＝，即b＝a，由C的一个焦点到l的距离为，可得＝b＝，解得a＝1，则双曲线的方程为x2﹣＝1．故答案为：x2﹣＝1．13．（5分）如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有4种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有6种．【解答】解：（i）当三个顶点都填1时，中间的只能填2，若其中一个填2，另外两个填1，由3种，故共有1+3＝4种，（ⅱ）同一条边上的三个数字都不同时，有A33＝6种，故答案为：4，6．14．（5分）已知函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[t﹣a，t+b]，使得|f（x）﹣f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（1）当f（x）＝2x时，H（0）＝2；（2）当f（x）＝x2且t∈[1，2]时，函数H（t）的值域为[﹣，2]∪[2，4]．【解答】解：（1）根据题意，当f（x）＝2x时，存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[﹣a，b]，使得|f（x）﹣f（0）|≤2，即|f（x）|≤2，∴|2x|≤2，即|x|≤1，解得﹣1≤x≤1；令，解得a＝b＝1；∴a+b的最大值为H（0）＝2；（2）根据题意，当f（x）＝x2且t∈[1，2]时，不等式|f（x）﹣f（t）|≤2可化为|x2﹣t2|≤2，∴t2﹣2≤x2≤t2+2，即；又t∈[1，2]，∴t2∈[1，4]，∴t2+2∈[3，6]；∴∈[，]，t2﹣2∈[﹣1，2]，∴∈[0，]；解不等式组得﹣≤x≤2或2≤x≤4；∴函数H（t）的值域为[﹣，2]∪[2，4]．故答案为：（1）2，（2）[﹣，2]∪[2，4]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝．记∠ACD＝α，∠BCD＝β．（Ⅰ）求证：＝（Ⅱ）若α＝，β＝，AB＝，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，∵∠ADC+∠BDC＝π，∴sin∠ADC＝sin∠BDC，∵，∴．（Ⅱ）∵，，∴，∠ACB ＝α+β＝．设AC ＝2k ，BC ＝3k ，k ＞0，由余弦定理得：AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ， 即，解得k ＝1，∴BC ＝3．16．（13分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I ）由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据， 得样本平均数…（2分）则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为g ． …（3分）（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和，结果为．…（6分）（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.2，7.4，8，8.2，8.6，9.4，…（7分），，，，，，…（9分）随机变量ξ的分布列为：…（11分）随机变量ξ的期望．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M、N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：BC⊥平面P AB；（Ⅱ）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当P A＝AB＝2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC，…（1分）因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC．…（2分）因为AB∩P A＝A，且AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB…（4分）（Ⅱ）因为BC⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB…（5分）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC．…（6分）在正方形ABCD中，AD∥BC，所以MN∥AD，…（7分）所以AM，AD可以确定一个平面，记为α所以M，N，D，A四个点在同一个平面α内…（8分）解：（Ⅲ）因为P A⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以P A⊥AB，P A⊥AD．又AB⊥AD，如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（9分）所以C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面DAN的一个法向量为，平面CAN的一个法向量为，设，λ∈[0，1]，因为，所以，又，所以，即，取z＝1，得到，…（9分）因为，，所以，即，取a＝1得，到，…（10分）因为二面C﹣AN﹣D大小为，所以，所以解得，所以…（12分）18．（13分）已知函数f（x）＝ln x+﹣1，g（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y＝g（x）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：函数f（x）在（0，+∞）上的极小值为f（1）＝ln1+1﹣1＝0，所以f（x）的最小值为0；（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），，由（Ⅰ）得，f（x）≥0，所以g'（x）≥0，所以g（x）的单调增区间是（0，1），（1，+∞），无单调减区间；（Ⅲ）证明：假设直线y＝x是曲线g（x）的切线．设切点为（x0，y0），则g'（x0）＝1，即，又，则．所以，得g'（x0）＝0，与g'（x0）＝1矛盾，所以假设不成立，直线y＝x不是曲线g（x）的切线19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线P A，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b＝2，即b＝1，，得，解得a2＝4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线P A的方程为，同理：直线PB的方程为，直线P A与直线x＝4的交点为，直线PB与直线x＝4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y＝0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1＝4+，x2＝4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0＝2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线P A的方程为，同理：直线PB的方程为，直线P A与直线x＝4的交点为，直线PB与直线x＝4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．20．（13分）给定正整数n（n≥3），集合U n＝{1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①U n＝A∪B∪C，且A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；③集合A，B，C中各元素之和分别记为S A，S B，S C，有S A＝S B＝S C；则称集合U n为可分集合．（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；（Ⅱ）证明：若n是3 的倍数，则U n不是可分集合；（Ⅲ）若U n为可分集合且n为奇数，求n的最小值．【解答】解：（I）依照题意，可以取A＝{5，7}，B＝{4，8}，C＝{1，2，3，6}．（II）假设存在n是3的倍数且U n是可分集合．设n＝3k，则依照题意{3，6，…，3k}⊆C，故S C≥3+6+…+3k＝，而这n个数的和为，故S C＝＝，矛盾，所以n是3的倍数时，U n一定不是可分集合．（Ⅲ）n＝35．因为所有元素和为，又S B 中元素是偶数，所以＝3S B＝6m（m为正整数），所以n（n+1）＝12m，因为n，n+1为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数．由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数．当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+n）＝12m，所以一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+1＝12k，所以n＝12k﹣1，k∈N*．…（10分）定义集合D＝{1，5，7，11，…}，即集合D由集合U n中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合E＝{2，4，8，10，…}，即集合E由集合U n中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合A，B，C的性质知道，集合A⊆D，B⊆E，此时集合D，E中的元素之和都是24k2，而，此时U n中所有3的倍数的和为，24k2﹣（24k2﹣2k）＝2k，（24k2﹣2k）﹣（24k2﹣6k）＝4k显然必须从集合D，E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，所以从集合D＝{1，5，7，11，…}中必须取偶数个元素放到集合C中，所以2k ≥6，所以k≥3，此时n≥35而令集合A＝{7，11，13，17，19，23，25，29，31，35}，集合B＝{8，10，14，16，20，22，26，28，32，34}，集合C＝{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4}，检验可知，此时U35是可分集合，所以n的最小值为35．…（13分）第21页（共21页）。

2016年北京市海淀区高三一模理科数学考试含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==- B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______．11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-=（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。

海淀区高三年级第一学期期练习数学（理科）2016.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i - 2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)- 3. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+， 则λμ-的值为A. 3B.2C. 1D.3-4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为 A.1 B.2 C.3 D.55. 已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则 满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个 6. 已知圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为 A.3 B.1 C.12D.337. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.28. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是 A. 1,1m n == B. 4,1m n == C. 3,4m n == D. 4,4m n ==EABCD输出输入开始结束是否二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1本试卷共4页，150分。

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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为 A.1 B.1- C. i D.i -2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-3.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为 A.3 B.2C. 1 D.3-4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输 出的a 值为 A.1B.2C.3D.55. 已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则 满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A.15个B.25个C.30个D.35个 6. 已知圆,直线1:l y =，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆所截得的弦的长度之比为，则k 的值为C. 127. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.222(2)4C x y -+=：C 1:2EA BCD输出输入开始结束8. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是 A. 1,1m n == B. 4,1m n == C. 3,4m n == D. 4,4m n == 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前2016届北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：152分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是 A ． B ．C ．D ．2、若满足 则的最大值为A ．B ．C ．D ．3、已知圆, 直线，， 若被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为A ．B ．1C ．D ．4、已知数列，其中, 则满足的不同数列一共有A ．个 B ．个 C ．个 D ．个5、某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为A ．B ．C ．D ．6、如图，正方形中，为的中点，若，则的值为A ．B ．C ．D ．7、抛物线的准线与轴的交点的坐标为A ．B ．C ．D ．A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形．（i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①；②；③．（ii）若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为___．10、已知函数若的最小值是，则．11、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．12、已知等比数列的公比为，若，则．13、在的展开式中，常数项为．（用数字作答）14、已知双曲线的一条渐近线过点,则，其离心率为．三、解答题（题型注释）15、若实数数列满足，则称数列为“数列”．（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；（Ⅱ）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．16、已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为．是否存在点，使得? 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．17、已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．（其中）18、如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．19、已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A 症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A 症状的出现与上次用药无关． （Ⅰ）如果出现A 症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率； （Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为，求的期望．20、已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和．参考答案1、D2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、A9、②；10、－411、12、613、1514、15、（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）的取值集合为．16、（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在17、（Ⅰ）函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为．在处取得极大值，在处取得极小值．（Ⅱ）见解析．18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）0【解析】1、试题分析：连接，显然与所成角都相等。

市海淀区高三一模理科数学试卷含答案精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．［0，＋∞）? ?B ．［1，＋∞）? ?C ．（－∞，0］?D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．3 B ．2 C ．3 D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ）A ．1BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x) ＝ln x ＋1x－1，1()ln x g x x-=（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。