下载文档原格式
8.1 基本几何图形第1课时 棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是()A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】569【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥（2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝3 2a2.。
初中数学复习解谜棱锥与棱柱的性质与计算方法初中数学复习解谜：棱锥与棱柱的性质与计算方法在初中数学学习中，我们学习了许多几何图形的性质与计算方法，其中包括了棱锥和棱柱。
在本文中，我们将探讨这两种几何图形的特点、属性和计算方法。
一、棱锥的性质与计算方法1. 棱锥的定义棱锥是指一个顶点和一组边，其中除了顶点外的其他点都在同一个平面内，而相交的边则相交于一个顶点。
棱锥的顶点称为尖端，该棱锥的底面是一个多边形，而其侧面是由尖端与底面上的各个顶点相连而成的。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形，其边数决定了棱锥的类型，例如三角棱锥、四边形棱锥等。
（2）棱锥的侧面是由尖端与底面上的各个顶点相连而构成的。
（3）棱锥的高是指从尖端到底面的垂直距离。
3. 棱锥的计算方法（1）棱锥的表面积计算方法公式为：表面积 = 底面积 + 侧面积（2）棱锥的体积计算方法棱锥的体积是指由底面上所有顶点与尖端依次相连而成的三角锥的体积之和。
计算公式为：体积 = 1/3 ×底面积 ×高度二、棱柱的性质与计算方法1. 棱柱的定义棱柱是指底面为一个多边形，而侧面是由底面上的各个顶点与对应顶点相连而成的直线段组成的几何图形。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是一个多边形，其边数决定了棱柱的类型，例如三角棱柱、四边形棱柱等。
（2）棱柱的侧面是由底面上的各个顶点与对应顶点相连而构成的。
（3）棱柱的高是指两个并行底面之间的距离。
3. 棱柱的计算方法（1）棱柱的表面积计算方法和。
计算公式为：表面积 = 2 ×底面积 + 侧面积（2）棱柱的体积计算方法棱柱的体积是指由底面上的各个顶点与对应顶点相连而成的所有矩形的体积之和。
计算公式为：体积 = 底面积 ×高度三、棱锥与棱柱的比较1. 相同点棱锥和棱柱都是由底面和侧面组成的几何图形，都有底面积和高度的概念，都可以计算表面积和体积。
2. 不同点（1）形状不同：棱锥的底面是一个多边形，而棱柱的底面也是一个多边形，但是两者的底面形状可以不同。
六年级数学知识点复习认识棱柱与棱锥六年级数学知识点复习：认识棱柱与棱锥一、引言在六年级数学学习中，认识和区分各种几何体是非常重要的一部分。
本文将重点介绍棱柱与棱锥这两个几何体，并对其定义、特征以及相关的数学知识点进行深入探讨。
二、棱柱的认识与特征1. 定义棱柱是指所有截面都是平行于底面的多面体。
它有两个底面，在两个底面之间有若干个平行于底面的面。
这些面的边都与底面相交，形成了棱柱的各个侧面。
2. 特征（1）底面：棱柱的两个底面是多边形，且相等。
（2）侧面：棱柱的侧面是若干个平行于底面的长方形，它们的边分别与两个底面的边相交。
（3）棱：棱柱的棱是侧面与底面之间的边。
3. 相关知识点（1）棱柱的体积计算公式：V = 底面积 ×高，其中底面积可根据不同情况采用不同的计算公式。
（2）棱柱的表面积计算公式：S = 2 ×底面积 + 侧面积，其中底面积与侧面积也需要根据不同情况进行相应计算。
三、棱锥的认识与特征1. 定义棱锥是指一个底面是多边形，其余各面都共有一个顶点的多面体。
与棱柱类似，棱锥也有底面和侧面之分。
2. 特征（1）底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形或其他多边形。
（2）侧面：棱锥的侧面是多边形的边与顶点连接而成的三角形。
（3）棱：棱锥的棱是底面的边与顶点相连而成的边。
3. 相关知识点（1）棱锥的体积计算公式：V = 底面积 ×高 ÷ 3，其中底面积也需要根据不同情况采用不同的计算公式。
（2）棱锥的表面积计算公式：S = 底面积 + 侧面积，其中底面积与侧面积需要根据不同情况进行相应计算。
四、棱柱与棱锥的比较与应用1. 比较（1）相同点：棱柱和棱锥都是由多个平面构成的几何体，它们都有底面、侧面和棱。
（2）不同点：棱柱有两个底面，而棱锥只有一个底面。
棱柱的侧面是长方形，棱锥的侧面是三角形。
2. 应用棱柱和棱锥广泛应用于日常生活和工程实践中。
比如，建筑物中的柱子就是棱柱的一种应用，而一些锥形的建筑物如塔楼、钟楼等则是棱锥的应用。
棱柱与棱锥的概念与计算在几何学中，棱柱和棱锥是两个常见的三维几何体。
它们具有不同的形状和特点，并且在计算其面积和体积时需要使用不同的公式。
一、棱柱的概念与计算棱柱是一种具有两个相等且平行的底面的几何体。
其侧面由若干个矩形组成，而底面则是由相等的多边形构成。
棱柱的名字通常根据底面的形状来命名，例如正方形棱柱、长方形棱柱等。
棱柱的计算主要涉及到面积和体积的计算。
下面将介绍一些常用的计算公式。
1. 底面积（B）：棱柱的底面积可以根据底面的形状来计算。
例如，正方形底面的棱柱的底面积可以用公式B = 边长^2来计算。
2. 侧面积（S）：棱柱的侧面积是指所有侧面的总和。
对于矩形侧面，可以用长乘以宽来计算。
因此，棱柱的侧面积可以用公式S = 周长 ×高来计算。
3. 总面积（A）：棱柱的总面积是指所有面积的总和。
可以用底面积加上两倍的侧面积来计算。
公式为A = 2B + S。
4. 体积（V）：棱柱的体积可以通过将底面积乘以高来计算。
因此，公式为V = B ×高。
二、棱锥的概念与计算棱锥是一种具有一个底面和一个顶点的几何体。
棱锥的侧面由多个三角形组成，而底面则可以是不规则的多边形。
和棱柱一样，棱锥的名字也通常根据底面的形状来命名，例如正三角锥、正四边锥等。
棱锥的计算也涉及到面积和体积的计算。
下面介绍一些常用的计算公式。
1. 底面积（B）：棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算。
例如，正三角形底面的棱锥的底面积可以使用公式B = (边长 ×高) / 2来计算。
2. 侧面积（S）：棱锥的侧面积是指所有侧面的总和。
对于三角形侧面，可以使用海伦公式来计算面积，然后将其累加。
因此，棱锥的侧面积可以用公式S = ∑(边长 ×半周长)来计算。
3. 总面积（A）：棱锥的总面积是指底面积加上所有侧面积的总和。
公式为A = B + S。
4. 体积（V）：棱锥的体积可以通过将底面积乘以高再除以3来计算。
棱锥和棱柱应用题在数学中，棱锥和棱柱是常见的几何体，它们在现实生活中也有着广泛的应用。
本文将通过一些应用题目来推进我们对棱锥和棱柱的理解。
1. 某座棚户区的住房改造工程中，需要制作一个顶面为正方形的房顶，房顶的高度为6米，正方形的边长为8米。
求制作该房顶需要的铁皮面积。
首先，这个房顶可以看作是一个棱柱的底面，加上一个等边棱锥。
那么我们可以分别计算棱柱和棱锥的表面积，最后相加得到所需的铁皮面积。
棱柱的表面积为$2 \times 底面积 + 侧面积 = 2 \times 8 \times 8 + 4 \times 8 \times 6 = 256 + 192 = 448 m^2$棱锥的表面积为$底面积 + 侧面积 = 8 \times 8 + 4 \times \sqrt{8^2 + 6^2} = 64 + 4 \times 10 = 104 m^2$所以，制作该房顶需要的铁皮面积为$448 + 104 = 552 m^2$2. 一根棱柱形的木棍，高度为10米，底面是一个直角三角形，底边长为12米，一直棍需要涂刷，除顶部和底部外，其余部分都需要涂刷。
求木棍的总涂刷面积。
这个问题可以看作是一个直角三棱柱的表面积问题。
我们先计算底面直角三角形所需的面积，然后计算侧表面积。
底面直角三角形面积为$12 \times 5 / 2 = 30 m^2$侧面积需要计算三个矩形的面积，分别为$12 \times 10, 5 \times 10, 13 \times 10$，共计$120 + 50 + 130 = 300 m^2$所以，木棍的总涂刷面积为$30 + 300 = 330 m^2$通过以上两道应用题目的实际计算，我们更加深入地理解了棱锥和棱柱的应用，也提升了我们对几何体计算的能力。
希望大家在学习数学时，能够灵活运用所学知识，勇于挑战更多数学难题。
高一数学（必修二）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习题及答案一、单选题1．已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ） A ．30B ．15C ．10D ．602．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ）A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元3．过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ） A ．4B ．6C ．203D ．1634．已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，3O A C B ''''=，C E O A ''''⊥，8OABC S =四边形，//C D y '''轴，2C E ''=，D 为O A ''的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（ ）A ．152π3B ．48πC ．38π3D ．12π5．已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A ．1015+B ．34C ．201215+D ．686．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）A ．258B ．234C ．222D ．2107．在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（ ） A ．1(0,]6B ．1(0,]3C ．1(0,]2D ．(0,1)8．2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（ ） A 2B ．23C 3D 2 二、多选题9．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ） A 3B 2C 22D 2310．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．若长方体的体积为V ，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为123,,V V V ，则下列选项不正确．．．的是（ ）A ．123V V V V ++=B ．122V V =C ．232V V =D ．36V V =11．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ︒∠=，侧面11AAC C 中心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）A ．直三棱柱侧面积是422+B ．直三棱柱体积是13C ．三棱锥1E AAO -的体积为定值 D ．1AE EC +的最小值为212．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面,//ABCD AB CD ，,O M 分别是,CD PC 的中点，且PO OD DA AB BC ====，记三棱锥,,P OBM M OBC M PAB ---的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．12V V =B ．212V V =C ．13B OMPD V V -= D ．12323P ABCD V V V V -=++三、填空题13．已知平行六面体各棱长均为4，在由顶点P 出发的三条棱上，取1PA =，2PB =，3PC =，则棱锥-P ABC 的体积是该平行六面体体积的______.14．某正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{}3,2，则该棱台的体积为______． 15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且2AD BC =，过1A ，C ，D 三点的平面记为α，1BB 与平面α的交点为Q ．则此四棱柱被平面α分成上、下两部分的体积之比为__．16．给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个1234A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（1i =，2，3，4），则该正四面体1234A A A A 的体积为_________．四、解答题17．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O '且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO '和较小的棱锥PO '.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12cm ，小棱锥的底面边长为4cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积.18．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b ).（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且5AB =，113A B =，110AA =(1)求四棱台1111ABCD A B C D -的侧面积； (2)求四棱台1111ABCD A B C D -的体积．20．正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积．21．棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥S ABC -中，三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，侧棱长是3，底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ，y ，z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z++=，试确定点P 在底面ABC 内的位置.22．正四棱台1111ABCD A B C D -的下底边长3AB =3．（1）求正四棱台的表面积S 表；（2）求1AB 与底面ABCD 所成角的正弦值.参考答案1--8BBCBC CBB9．BCD 10．ACD 11．ACD 12．ACD 13．164147215．117165517．（1）设小棱锥的底面边长为a ，斜高为h ，则大棱锥的底面边长为2a ，斜高为2h ， 所以大棱锥的侧面积为1622122a h ah ⨯⨯⨯=，小棱锥的侧面积为1632a h ah ⨯⨯⨯=， 棱台的侧面积为1239ah ah ah -=，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比12:3:94:1:3ah ah ah =. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm ，所以大棱锥的底面边长为8cm ， 因为大棱锥的侧棱长为12cm 1441682-=， 所以大棱锥的侧面积为2168821922cm 2⨯⨯⨯=， 所以棱台的侧面积为2321442cm 4=， 棱台的上，下底面的面积和为22233646824331203cm +==， 所以棱台的表面积为(231442cm .18．解：（1）如图所示:PO ⊥平面ABCD ，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45︒， 45PAO ∴∠=︒，2PO OA ∴=，1112PO O A =． 分别取AB ，11A B 的中点E ，1E ，连接OE ，11O E ． 则2223()()22b PE b +，22123()()22a PE a +=． ∴斜高113)EE PE PE b a =-=-．∴棱台的侧面积()))2213432S a b b a b a =⨯+-=-侧；（2）棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴22114()2a b EE a b ⨯+⨯=+，2212()a b EE a b +∴=+． 222222111()[]()2()2a b b a abOO EE EO E O a b a b+-∴=---++． 19．（1）设棱台1111ABCD A B C D -是由棱锥P ABCD -截出的，如图，棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥P ABCD -的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等， 设M 是底面ABCD 上AC 与BD 的交点，则M 是AC 的中点也是BD 中点，所以PM AC ⊥，PM BD ⊥，则PM ⊥平面ABCD ，M 正方形ABCD 中心，因此P ABCD -是正棱锥，棱台1111ABCD A B C D -是正棱台，在侧面11BB C C 内过1B 作1B H BC ⊥于点H ，则22153(10)()32B H -=-=， 棱台的侧面积为S 侧＝14(35)3482⨯+⨯=；（2）设N 是1111D C B A 的中心，显然N PM ∈，1MNB B 是直角梯形，2525BM ==，132B N高225232(10)()2222MN =--= 棱台的体积为221982(5533)223V =+⨯+⨯ 20．因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形, 所以有以下两种情况：当2是下底面的周长，4是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为=+2=S S S 表侧底21232324+223⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭当4是下底面的周长，2是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为=+2=S S S 表侧底21438342+223⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭故答案为：238321．（1）在正三棱锥S ABC -中，SA ，SB ，SC 两两垂直且AB =BC =CA ，P 为底面ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，PS ，如图，可将原三棱锥分成三个三棱锥P SAB P SBC P SAC ---,,， 它们的高分别为,,x y z ，由S ABC C SAB P SAB P SBC P SAC V V V V V -----==++， 即2111133(333333)3232x y z ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯+⨯， 得 3.x y z ++=（2）由31113x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，得1116x y z x y z +++++=.又0,0,0x y z >>>，∴1112,2,2x y z x y z +≥+≥+≥，∴1116x y z x y z +++++≥， 当且仅当1x y z ===时取等号.故当1113x y z ++=时，点P 为正三角形ABC 的中心. 22．（1）如图，做该正棱台的轴截面，GNE 中，3,33,90o GN NE GNE ==∠= ， 所以6,30o GE GEN =∠= ，根据对称性，30o QEG ∠= ， 故60,120,o o QEN MPQ ∠=∠= 所以60o MPG ∠= ，3,3,GM MP =∴=正四棱台上底面是一个边长为23的正方形，2222113[(23)(63)(23)(63)]33S ⋅=+⋅表 即111210812108=120+36=40+125233S =+⨯=表（）（） （2）正四棱台中，上下底面均为正方形，且侧棱长相等，1B 在底面的射影为M ， 所以1B M ABCD ⊥面 , 1AB 与底面ABCD 所成角为1B AM ∠ ,1123,6,43MQ B M BQ ==∴=43AQ =146AB =16sin 46B AM ∠=。
棱柱与棱锥的计算与应用棱柱与棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在数学、工程学、建筑学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍棱柱与棱锥的定义、计算公式以及应用案例。
一、棱柱的定义与计算棱柱是由两个平行相等的多边形底和连接底边对应顶点的棱面组成的立体图形。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱是由三个全等的三角形构成的，四棱柱则是由四个全等的正方形构成的。
1. 棱柱的体积计算公式对于棱柱，我们可以通过计算其底面积与高的乘积来求解其体积。
假设底面的面积为A，高为h，则棱柱的体积V可以表示为V = A * h。
2. 棱柱的表面积计算公式棱柱的表面积主要由两部分组成：底面积和侧面积。
底面积即底面的面积A，而侧面积可以通过计算所有侧面的面积之和来求解。
对于三棱柱，假设底面的周长为P，高为h，则棱柱的表面积S可以表示为S = 2A + Ph。
对于四棱柱（特指正方形棱柱），假设底面的边长为a，则棱柱的表面积S可以表示为S = 2A + 4ah，其中A为底面积。
二、棱锥的定义与计算棱锥是由一个多边形底和连接底边顶点的棱面组成的立体图形。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥等，其中三棱锥由一个全等的三角形和三个边相等的三角形棱面构成，四棱锥由一个全等的四边形和四个边相等的三角形棱面构成。
1. 棱锥的体积计算公式对于棱锥，我们可以通过计算其底面积与高的乘积再除以3来求解其体积。
假设底面的面积为A，高为h，则棱锥的体积V表示为V = A * h / 3。
2. 棱锥的表面积计算公式棱锥的表面积由底面积、侧面积和斜高面积三部分组成。
底面积即底面的面积A，侧面积可以通过计算所有侧面的面积之和来求解，而斜高面积则是由底面的周长P和高h决定。
对于三棱锥，假设底面的周长为P，则棱锥的表面积S可以表示为S = A + Ph / 2。
对于四棱锥（特指正四棱锥），假设底面的边长为a，则棱锥的表面积S可以表示为S = A + 2ah。
三、棱柱与棱锥的应用案例1. 基于棱柱的容器设计棱柱的形状为工程领域中容器的设计提供了一种经典选择。
小学数学习题认识棱柱和棱锥棱柱和棱锥是数学中的两种几何图形，它们具有不同的特点和性质。
在小学数学中，学生需要通过解题的方式来认识和理解棱柱和棱锥。
本文将通过一些典型的小学数学习题，帮助学生更好地了解和掌握棱柱和棱锥。
题目一：求棱柱的体积某个棱柱的底面是一个边长为3cm的正方形，高度为5cm，求该棱柱的体积。
解析和答案：棱柱的体积可以通过公式 V = 底面面积 ×高度来计算。
根据题目给出的信息，这个棱柱的底面是一个边长为3cm的正方形，底面面积为 3cm × 3cm = 9cm²。
将底面面积 9cm²与高度 5cm 带入公式，可得该棱柱的体积 V = 9cm² × 5cm = 45cm³。
因此，该棱柱的体积为45立方厘米。
题目二：判断图形是棱柱还是棱锥下面的图形是棱柱还是棱锥？（插入图片：一个具有三角形底面和三个侧面的三棱锥）解析和答案：根据图形给出的信息，该图形的底面是一个三角形，且只有三个侧面。
根据几何图形的定义，棱柱的底面是一个多边形，且侧面是矩形，而棱锥的底面是一个多边形，侧面是三角形。
根据这个定义，该图形的底面是三角形，因此可以判断该图形是一个棱锥。
题目三：判断棱柱和棱锥的顶点数、侧面数和棱数棱柱和棱锥分别具有多少个顶点、侧面和棱？解析和答案：棱柱和棱锥的顶点、侧面和棱的数量根据它们的定义来确定。
- 棱柱：一个棱柱有两个平行且相等的底面，轴与底面相垂直连接底面上的顶点，连接两个底面上相对应的顶点的线段称为棱。
因此，一个棱柱具有两个顶点，4个侧面和4条棱。
- 棱锥：一个棱锥有一个底面和多个侧面，底面上的顶点与顶点相连形成棱。
因此，一个棱锥具有一个顶点，3个侧面和3条棱。
通过解析，可以知道棱柱有2个顶点、4个侧面和4条棱，棱锥有1个顶点、3个侧面和3条棱。
题目四：判断语句的正确性下面的语句哪个是正确的？A. 棱柱的底面是一个多边形；B. 棱锥的底面是一个矩形；C. 棱柱和棱锥的侧面都是三角形。
棱锥与棱柱的计算问题棱锥和棱柱是我们经常遇到的几何形体之一。
它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论棱锥和棱柱的计算问题，并且提供相关的公式和计算方法。
通过学习这些内容，我们将能够更好地理解和应用棱锥和棱柱的概念。
一、棱锥的计算问题棱锥是一个具有一个顶点和具有n个面的多面体，其中顶点通过边与n个底面上的顶点相连。
现在，让我们一起来解决棱锥的计算问题。
1. 体积的计算棱锥的体积计算公式为V = (1/3) * 底面积 * 高度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出棱锥的体积。
例如，如果我们知道棱锥的底面积为A，高度为h，则棱锥的体积V = (1/3) * A * h。
2. 表面积的计算棱锥的表面积计算包括底面积和侧面积。
底面积的计算与底面的几何形状有关，可以是正多边形或其他形状。
侧面积一般由棱锥的斜高（母线）和底面边长共同决定。
二、棱柱的计算问题棱柱是一个具有两个平行且相等的底面的多面体，底面通过等长的棱连接，并且底面和棱之间的连接线垂直于底面。
下面我们将解决棱柱的计算问题。
1. 体积的计算棱柱的体积计算公式为V = 底面积 * 高度。
与棱锥类似，我们可以通过已知的底面积和高度来计算出棱柱的体积。
例如，如果我们知道棱柱的底面积为A，高度为h，则棱柱的体积V = A * h。
2. 表面积的计算棱柱的表面积计算包括底面积和侧面积。
底面积的计算与底面的几何形状有关，可以是正多边形或其他形状。
侧面积由棱柱的高度和侧面的周长共同决定。
三、例题解析与计算方法为了更好地理解和应用棱锥和棱柱的计算问题，我们来看几个具体的例题。
例题1：已知一个棱锥的底面为正三角形，边长为4cm，高度为8cm，求其体积和表面积。
解：首先计算棱锥的体积。
根据公式V = (1/3) * 底面积 * 高度，我们可以得到V = (1/3) * (4cm * 4cm * sqrt(3)/4) * 8cm = (4/3) * 16cm^2 * sqrt(3) * 8cm = 64cm^3 * sqrt(3)。
