最新教案-棱柱与棱锥

§1. 1 空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征三维目标1．知识与技能(1)能根据几何结构特征对空间物体进行分类．(2)通过观察实例，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3)能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．重点难点重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．教学建议本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．课标解读1．通过观察实例，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构.知识1空间几何体的定义、分类及相关概念【问题导思】观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？(1)(2)【提示】(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成．(2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成．1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．多面体与旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线知识2棱柱的结构特征【问题导思】观察下列多面体，有什么共同特点？【提示】 (1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行．棱柱的定义、分类、图示及其表示棱柱图形及表示定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图棱柱可记作： 棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′ 相关概念：底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类：①依据：底面多边形的边数 ②举例：三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……知识3棱锥的结构特征【问题导思】观察下列多面体，有什么共同特点？【提示】 (1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱锥的定义、分类、图形及表示棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥相关概念：底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点分类：①依据：底面多边形的边数②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……如图棱锥可记作：棱锥S－ABCD知识4棱台的结构特征【问题导思】观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别联系？【提示】(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．棱台的定义、分类、图形及表示棱台图形及表示定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台相关概念：上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类：①依据：由几棱锥截得②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……如图棱台可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′类型1 棱柱、棱锥、棱台的概念例1下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有三个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【思路探究】已知条件→联想空间图形→紧扣定义→得出结论【解析】选项A错，反例如图a；选项C也错，反例如图b，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；一个多面体至少有四个面，如三棱锥有四个面，不存在有三个面的多面体，所以选项B错；根据棱柱的定义，知选项D正确．【答案】 D规律方法判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等．变式训练下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④【解析】因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.【答案】 A类型2对多面体的识别和判断例2如图1－1－1长方体ABCD—A1B1C1D1.图1－1－1(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱．【思路探究】观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题【自主解答】(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义．(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱．它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.规律方法1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．变式训练下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．图1－1－2【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤易错易误辨析对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不到位致误典例如图1－1－3，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－3【错解】图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以乙图的几何体是棱锥；图丙是棱台．【错因分析】上述错误答案都是根据相应概念的某一个结论去判断几何体，判断的依据不充分，应该按照几何体的定义去判断，或按照与定义等价的条件去判断．【防范措施】切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．【正解】图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．课堂小结1．棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.当堂检测1．如图1－1－4所示的几何体是()图1－1－4A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体【解析】结合棱柱的概念及分类可知，该几何体是五棱柱．【答案】 C2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错【解析】结合棱锥的特征知B符合题意．【答案】 B3．下列说法正确的有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．【解析】棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而正确的有①②④⑤.【答案】①②④⑤4．下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？(1)(2)(3)(4)图1－1－5【解】(1)是棱柱，可记为五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1；(2)不是棱柱，不满足棱柱的结构特征；(3)是棱柱，可记为三棱柱ABC－A1B1C1；(4)是棱柱，可记为四棱柱ABCD－A1B1C1D1.。

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教案)一、教学目标1、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积公式；2、了解棱柱、棱锥、棱台的体积公式；3、运用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决问题.二、教学重点、难点重点：了解记忆棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】正方体及其展开图长方体及其展开图正方体棱长为a长方体三条棱长分别为,,a b c表面积表面积26 S a=正方体表面积222 S ab bc ca=++长方体表面积体积体积3 V a=正方体V abc=长方体【情景】许多建筑在装修时，需要知道它们的表面积或体积，以便计算用料和工时.【问题】如何求多面体的表面积与体积？（二）阅读精要，研讨新知【发现1】棱柱、棱锥、棱台都是多面体，多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.三棱柱及平面展开图三棱锥及平面展开图三棱台及平面展开图【例题研讨】阅读领悟课本114P 例1、例2（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）例1如图8.3-1，四面体P ABC -的各棱长均为a ，求它的表面积.解：由已知，四面体P ABC -的四个面都是边长为a 的正三角形，且234S a =正三角形 所以四面体P ABC -的表面积22343P ABC S a -==【发现2】棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台底面积为S ，高为h底面积为S ，高为h上底面积为S '，下底面积为S ，高为hV Sh =棱柱13V Sh =棱锥1()3V h S S S S ''=++棱台例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m ，公共面ABCD 是边长为1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多 少立方米(精确到0.01 m 3)? (计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)解：由已知，这个漏斗的容积为ABCD A B C D P ABCD V V V ''''--=+1112110.5110.50.673263V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=≈( m 3)【小组互动】完成课本116P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知正三棱锥S ABC -（侧棱相等，底面是正三角形）的底面边长为a ，高为66a ，则此三棱锥的表面积为( )A. 234a B.233+ C. 2334a D. 234 解：如图,在三棱锥S ABC -中, 6,AB a SO ==,013sin 603OD AB =⋅⋅= 所以2263()()662aSD a a =+= 所以正三棱锥S ABC -的表面积为22133332244a S a a a =⨯⨯⨯+=表面积，故选B2.已知正方体的8个顶点中，有4个为正四面体（各个棱长相等）的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A. 1:2B. 1:322D. 6解：如图，三棱锥B ACD ''-为正四面体，且四个面为全等的等边三角形, 设正方体的棱长为1，则2AB '=所以2342)234B ACD S ''-=⨯=表面积6S =正方体表面积 所以:2363B ACD S S ''-==正方体表面积表面积，故选B.3. 如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .解：如图，平面ABCD 2为底面边长,高为1的正四棱锥, 所以其体积为2142(2)133V =⨯⨯=. 答案:434. 正四棱台1111ABCD A B C D -，两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2，求正四棱台的体积.解：如图，1110A B =，20AB =，取11A B 的中点1E ，AB 的中点E ，则1E E 为斜高. 设1,O O 分别是上、下底面的中心，则四边形11EOO E 为直角梯形. 因为114(1020)7802S EE =⨯+⨯=侧。

棱柱棱锥棱台教案教案标题：探索棱柱、棱锥和棱台的特征与性质教案目标：1. 通过实例和图形展示，引导学生了解棱柱、棱锥和棱台的定义和特征。

2. 帮助学生掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法。

3. 鼓励学生运用所学知识，解决与棱柱、棱锥和棱台相关的问题。

教学准备：1. 教师准备：- 棱柱、棱锥和棱台的实物或图片。

- 透明的棱镜模型，用于展示棱柱、棱锥和棱台的特征。

- 计算表面积和体积的公式。

- 相关练习题和活动。

2. 学生准备：- 笔、纸和计算器。

教学过程：引入（5分钟）：1. 展示棱柱、棱锥和棱台的实物或图片，并问学生是否了解这些几何体的特征和性质。

2. 引导学生思考，提出问题：“你能描述一下棱柱、棱锥和棱台的特征吗？它们有什么共同点和区别？”探索（15分钟）：1. 使用透明的棱镜模型，展示棱柱、棱锥和棱台的特征，并让学生观察和描述它们的特点。

2. 引导学生观察几何体的底面形状、侧面的边数和形状，并与棱柱、棱锥和棱台的定义相对应。

3. 引导学生思考并讨论棱柱、棱锥和棱台的共同点和区别，例如底面形状、侧面的形状和数量等。

概念讲解（15分钟）：1. 通过示例和图形，解释棱柱、棱锥和棱台的定义和特征。

2. 引导学生理解棱柱、棱锥和棱台的底面、侧面和顶点的概念。

3. 讲解如何计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积，并提供相应的公式。

练习与应用（20分钟）：1. 分发练习题，让学生独立或合作完成计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的练习。

2. 引导学生应用所学知识，解决与棱柱、棱锥和棱台相关的问题，例如找出具有相同体积但不同形状的棱柱和棱锥等。

3. 鼓励学生在小组内分享解题思路和答案，并进行讨论。

总结（5分钟）：1. 回顾学习过程中的重点内容，强调棱柱、棱锥和棱台的特征和性质。

2. 引导学生总结计算棱柱、棱锥和棱台表面积和体积的方法和公式。

3. 鼓励学生提出问题或分享他们对棱柱、棱锥和棱台的理解和应用。

拓展活动：1. 邀请学生设计一个有趣的游戏或活动，以巩固对棱柱、棱锥和棱台的理解。

棱柱棱锥教案【学习目标】：1、棱锥和棱台的定义、性质及它们之间的关系2、空间与平面问题的相互转化;【研习教材】：研习点一：棱锥及相关概念1.定义：叫做棱锥，画出一个三棱锥和四棱锥2.相关概念：(在棱锥中标出相关概念所在图像的位置)(1)棱锥的侧面(2)棱锥的顶点(3)棱锥的侧棱(4)棱锥的底面(5)棱锥的高联想·质疑如何理解棱锥?1.棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征：①②2.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?。

如右图所示，此多面体有一个面是四边形，其余各面是三角形，但它不是棱锥!3.棱锥的分类：(1)按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫(2)正棱锥：4.正棱锥的性质：(1)(2)5.棱锥的表示：(1)用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥P-ABC，四棱锥P-ABCD.(2)用对角面表示：如右图中的四棱锥可以用P-AC表示!研习点2.棱台及第一文库网相关概念1.定义：2.相关概念：(画一个三棱台和四棱台并且标出下面相关概念的位置)(1)棱台的下底面、上底面：(2)棱台的侧面：(3)棱台的侧棱：(4)棱台的高：3.棱台的`分类：(1)按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等;(2)正棱台：4.正棱台的性质：(1)(2)(3)5.棱台的表示：棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如右图中的棱台，可以记作棱台ABCD-A’B’C’D’，或记作棱台AC’，下底面为ABCD，上底面为A’B’C’D’，棱台的高为OO’. 探究解题新思路基础拓展型题型1：概念判断题例1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。

以上四个命题中，真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4拓展·变式：棱台不具有的性质是( )(A)两底面相似(B)侧面都是梯形(C)侧棱长都相等(D)侧棱延长后交于一点题型2.考查棱柱间的关系1、已知集合A={正方体｝，B={长方体｝，C={正四棱柱｝，D={平行六面体｝，E={四棱柱｝，F={直平行六面体｝，则( )【研析】几种常见棱柱间的关系如下图所示：2.、有四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥，②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③棱锥的所有侧面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究（一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S＋S )h .四、典例分析、举一反三题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．【解析】因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示．S ABC a 2因为BC ＝SB ＝a ，SD,所以S △SBC ＝BC ·SD ＝a ×a ＝a 2. 故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×a 22. 解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝ch ＝6×0.46×1.6＝4.416 (m 2)． 所以S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6 (m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．==1212244【答案】16.【解析】 V 三棱锥A －DED 1＝V 三棱锥E －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m ，公共面是边长为1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积， 所以这个漏斗的容积. 解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项) 1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题ABCD 30.01m 30.67m ''''ABCD A B C D -110.5V =⨯⨯()30.5m =''''P A B C D -1110.53V =⨯⨯⨯()316m =112263V =+=()30.67m ≈柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；【答案】8 3.【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝a2＋b2 4，BC1＝a2＋b2，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又12×32a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝34a2，∴V＝34×8×4＝8 3.2、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝13×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝12V三棱锥C－ABE＝12V三棱锥E－ABC＝12×12V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题.【教学反思】本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：棱台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本114-115页，填写。

棱柱和棱锥的周长计算教案(公开课)棱柱和棱锥的周长计算教案（公开课）介绍这是一份针对棱柱和棱锥的周长计算教案，旨在帮助学生掌握计算这两种几何体周长的方法和技巧。

通过本节课的研究，学生将能够准确计算棱柱和棱锥的周长，并应用这些知识解决实际问题。

研究目标- 了解棱柱和棱锥的定义；- 掌握计算棱柱和棱锥周长的公式；- 学会应用周长计算解决实际问题。

教学内容1. 棱柱的周长计算- 给出棱柱的定义和示意图，解释其中的关键术语；- 讲解计算棱柱周长的公式：周长 = 底边周长 + 侧面周长；- 提供练题并进行讲解。

2. 棱锥的周长计算- 简要介绍棱锥的定义和示意图，说明其中的关键术语；- 讲解计算棱锥周长的公式：周长 = 底边周长 + 侧面周长；- 提供练题并进行讲解。

教学方法为了帮助学生更好地理解和掌握这些概念，我们将采用以下教学方法：- 利用图示、示意图和实物模型展示棱柱和棱锥的特点；- 引导学生观察并与教师一起探讨计算周长的方法；- 小组讨论和合作解决周长计算题目。

教学资源- 棱柱和棱锥的示意图；- 实物模型；- 周长计算练题及答案。

教学步骤1. 引入：向学生介绍棱柱和棱锥的定义和特点，并提出计算周长的问题。

2. 探究：与学生一起观察示意图和实物模型，讨论计算周长的方法。

3. 讲解：讲解棱柱和棱锥周长的计算公式，并提供示例进行讲解。

4. 实践：学生进行练题，并与同学合作解决问题。

5. 总结：总结本节课的要点和重点，强调掌握计算周长的方法和应用能力。

6. 练：提供额外的练题供学生继续巩固和拓展知识。

评估1. 教师观察学生在课堂上的参与和讨论；2. 检查学生完成的练题和答案。

扩展活动为了进一步巩固学生对周长计算的理解，可以设计以下扩展活动：- 组织学生小组，在班级内进行周长计算竞赛；- 邀请学生设计和制作棱柱和棱锥的模型，并用于计算周长。

参考资料1. 张三，数学几何基础，人民教育出版社，2018年。

2. 李四，数学几何应用，高等教育出版社，2019年。

棱柱与棱锥教案中职教案标题：棱柱与棱锥教案教学目标：1. 了解棱柱和棱锥的基本定义和特征；2. 能够识别和区分棱柱和棱锥；3. 掌握计算棱柱和棱锥的表面积和体积的方法；4. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器；2. 学生准备：教科书、笔记本、铅笔、直尺、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入课题：教师展示一些日常生活中的物体，如水杯、冰棍等，让学生观察并思考这些物体是否属于棱柱或棱锥。

2. 学生回答问题，并简单说明自己的观察结果。

二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过投影仪展示棱柱和棱锥的定义和示意图，解释它们的基本特征。

2. 教师讲解棱柱和棱锥的分类和常见例子，帮助学生更好地理解概念。

三、比较与区分（15分钟）1. 教师列举一些具体的物体，让学生判断它们是属于棱柱还是棱锥，并简要说明理由。

2. 学生分组进行讨论和比较，然后向全班汇报自己的判断结果。

四、计算表面积和体积（20分钟）1. 教师通过示例演示如何计算棱柱和棱锥的表面积和体积，包括公式的推导和具体计算步骤。

2. 学生跟随教师的示范，完成一些练习题，巩固计算方法。

五、应用实例（15分钟）1. 教师给出一些与棱柱和棱锥相关的实际问题，如计算某个建筑物的体积或表面积等。

2. 学生个别或小组合作解决问题，并向全班展示自己的解题过程和答案。

六、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调重点和难点。

2. 教师提供一些拓展问题，让学生进行思考和讨论，拓宽对棱柱和棱锥的理解。

七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。

2. 学生将作业写在笔记本上，并在下节课前完成。

教学反思：本节课通过引入、概念讲解、比较与区分、计算表面积和体积、应用实例等环节，全面而系统地让学生了解和掌握棱柱和棱锥的概念、特征和计算方法。

同时，通过实际问题的应用，培养学生的解决问题的能力和思维能力。

教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积一、教学目标1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念；2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1.棱柱的定义及性质；2.棱锥的定义及性质；3.棱台的定义及性质；4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式；5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式；6.实际问题应用。

三、教学方法1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。

2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。

3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。

4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。

四、教学过程第一步：引入1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特点。

2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。

第二步：讲解概念和性质1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。

2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点）的线段。

3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形，侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。

4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。

第三步：计算表面积公式1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。

公式为S=2B+Pℎ，其中B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。

2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。

公式为S=B+L，其中B为底面积，L为侧面积。

3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。

公式为S=B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。

第四步：计算体积公式1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。

公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ为高度。

2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。

公式为V=1Bℎ，其中B为底3面积，ℎ为高度。

3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以(B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。

棱柱棱锥棱台的表面积和体积教案一、引言在几何学中，棱柱、棱锥和棱台是常见的三维几何体。

它们有着不同的特点和性质，但是计算其表面积和体积的方法却有一定的相似之处。

本教案将针对棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积进行详细讲解，并提供相应的计算公式和实例。

二、棱柱1. 定义和性质棱柱是一个底面是一个多边形的立体，且顶部和底部平行，并由与底面对应的一组边相连接而成。

棱柱的侧面全部是矩形，而顶部和底部是多边形。

2. 表面积的计算棱柱的表面积由底面积和侧面积两部分组成。

计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积底面积的计算取决于底面的形状，可以是正多边形或其他形状。

假设底面的周长为P，高度为h，则底面积可以表示为：底面积 = P * h/2侧面积的计算有两种情况： - 若底面是正多边形，侧面积可以通过计算正多边形周长P和高度h的乘积得到：侧面积 = P * h - 若底面是其他形状，侧面积需要通过分解为多个矩形，计算每个矩形的面积，然后求和得到。

3. 体积的计算棱柱的体积可以通过计算底面积和高度的乘积得到，即：体积 = 底面积 * 高度三、棱锥1. 定义和性质棱锥是一个底面是一个多边形的立体，且顶部是一个顶点。

棱锥的侧面全部是三角形，而底面是多边形。

2. 表面积的计算棱锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成。

计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积底面积的计算方法与棱柱相同。

侧面积的计算可以通过计算棱锥的侧面积和底面积之和得到，即：侧面积 = 底面积 + 棱锥侧面积棱锥侧面积的计算可以通过计算底面的周长和斜高的乘积得到，斜高可以通过勾股定理求得。

3. 体积的计算棱锥的体积可以通过计算底面积和高度的乘积再除以3得到，即：体积 = 底面积* 高度 / 3四、棱台1. 定义和性质棱台是一个上底面和下底面是两个平行的多边形的立体。

棱台的侧面全部是梯形，而上底面和下底面是多边形。

2. 表面积的计算棱台的表面积由上底面积、下底面积和侧面积三部分组成。

数学上册教案认识棱柱与棱锥一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解并区分棱柱和棱锥的特征；2. 掌握棱柱和棱锥的性质和基本要素；3. 运用所学知识解决数学问题。

二、教学重难点1. 重点：棱柱和棱锥的定义和特点；2. 难点：解决有关棱柱和棱锥的实际问题。

三、教学准备黑板、粉笔、教具模型、实物样本、习题册。

四、教学过程Step 1 引入新知教师出示一些日常生活中的物体，询问学生是否认识它们，以及它们之间是否有共同点。

通过学生回答，引导出“棱柱”和“棱锥”两个概念。

Step 2 棱柱的认识与性质1. 定义：教师向学生介绍棱柱的定义，即一个多边形在一个平面内，沿着它的一条边移动所得到的图形。

示意图并画在黑板上。

2. 特点：a. 底面：是一个多边形。

b. 侧面：是延长棱柱底面的边。

c. 顶点：顶面的中心点。

d. 高度：棱柱顶面和底面的距离。

3. 示例：教师拿着一个长方体模型，询问学生它是否符合棱柱的定义和特点，引导学生发现长方体是一种特殊的棱柱。

Step 3 棱锥的认识与性质1. 定义：教师向学生介绍棱锥的定义，即一个多边形在一个平面内，以一个顶点为基准，沿着它的边移动所得到的图形。

示意图并画在黑板上。

2. 特点：a. 底面：是一个多边形。

b. 侧面：是棱锥基准点和底面边之间的连线。

c. 顶点：基准点。

d. 高度：棱锥顶点到底面的垂直距离。

3. 示例：教师拿着一个圆锥模型，询问学生它是否符合棱锥的定义和特点，引导学生发现圆锥是一种特殊的棱锥。

Step 4 检查与巩固教师出示几个实物样本，要求学生根据所学知识判断它们是棱柱还是棱锥，并用正确的术语描述其特点。

鼓励学生之间互相提问和讨论。

Step 5 拓展应用提供一些有关棱柱和棱锥的实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

例如：1. 如果一个棱柱的底面是一个正方形，边长为4cm，高度为6cm，求其体积和表面积。

2. 一座棱锥的底面是一个正三角形，边长为8cm，高度为10cm，求其体积和表面积。

课题：棱柱与棱锥教学目标：了解棱柱、棱锥的概念，掌握棱柱、正棱锥的性质，绘画直棱柱、正棱锥的直观图.教学重点：掌握棱柱、正棱锥的性质及性质的运用（一）主要知识及主要方法：1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.5.三棱锥的顶点在底面三角形上射影位置常见的有：①侧棱长相等⇒外心；②侧棱与底面所成的角相等⇒外心；②侧面与底面所成的角相等⇒内心；④顶点到底面三边的距离相等⇒内心；⑤三侧棱两两垂直⇒垂心；⑥相对棱两两垂直⇒垂心.6.求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方. （二）典例分析：问题1．()1（05全国Ⅱ文）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）()2（06某某文）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是 .A 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等.B 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 .C 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 .D 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上()3（04全国）下面是关于四棱柱的四个命题：① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；② 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.()4（06某某文）如右图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱 的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为1C1AACB问题2．三棱柱111ABC A B C -中，AB =，BC 、AC 、1AA 的长均为a ，点1A 在底面ABC上的射影O 在AC 上.()1求AB 与侧面11ACC A 所成的角；()2若O 点恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积； ()3求此三棱柱的体积.问题3．已知正四面体P ABC -的棱长为4，用一个， 求截面与底面之间的距离.问题4．如图所示，三棱锥P ABC -中，PA a =，2AB AC a ==，PAB PAC ∠=∠60BAC =∠=︒，求三棱锥P ABC -的体积.(要求用四种不同的方法)ABC1A1B1COPABCPAC（三）课后作业：1.一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是.A 正四棱锥 .B 正五棱锥 .C 斜三棱柱 .D 正三棱柱2.如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角相等，且顶点S 在底面的射影为O ，O 在ABC △内，那么O 是ABC △的.A 垂心 .B 重心 .C 外心 .D 内心3.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==16BB BC ==，E 、F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积等于PA BCPA BCPABCABC1A1B1CEF4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为5.在三棱锥S ABC -中，60ASB ASC BSC ∠=∠=∠=︒，则侧棱SA 与侧面SBC 所成的角的大小是6.三棱锥一条侧棱长是16cm ，和这条棱相对的棱长是18cm ，其余四条棱长都是17cm ，求棱锥的体积.7.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是矩形，侧棱长为2cm ，点1C 在底面ABCD 上的射影H 是CD 的中点，1C C 与底面ABCD 成60︒角，二面角11A C C D --为30︒，求该平行六面体 的表面积和体积.ABCD H 1A1B1C1D8.(07届高三某某市三检)正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4，侧棱长为2，过正三棱柱111ABC A B C -底面上的一条棱AB 作一平面与底面成60︒的平面角，则该平面与平面111A B C 所截得的线段长等于9.（08届高三某某中学第四次月考）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，DC =1AA =AD DC ⊥，AC BD ⊥垂足为E .()1求证：1BD A C ⊥；()2求异面直线AD 与1BC 所成的角.（四）走向高考：10.（07某某）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.11.(04春）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ， 把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是.A 77cm .B 72cm .C 55cm .D 102cmACD E1A1B1C1D12.（05某某）有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (0a >).用它们 拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积 最小的是一个四棱柱，则a 的取值X 围是13.（06某某春）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为14.（07全国Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为15.（07某某）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是2a4a3a 5a 2a4a3a5a。

小学三年级数学教案认识棱柱和棱锥教案：认识棱柱和棱锥【教学目标】1. 了解棱柱和棱锥的定义；2. 能够识别和描述棱柱和棱锥的特点；3. 学会区分棱柱和棱锥。

【教学准备】1. 小黑板/白板和粉笔/马克笔；2. 益智玩具或模型，包括棱柱和棱锥的模型。

【教学过程】一、导入（5分钟）老师可以用一个有趣的问题或绘图来引起学生的兴趣，比如："同学们，你们有没有看过尖尖的冰棍，或者玩过积木？今天我们要学习的课程与这些东西有关，猜猜我们要学的是什么？"二、认识棱柱（15分钟）老师在黑板上绘制一个棱柱，并向学生介绍棱柱的定义："同学们，这是一个棱柱。

我们可以看到它有两个底面，底面上的边都是直线，而且两个底面是平行的。

看它的侧面，有若干个多边形相连，且都是平行的，这些边就是棱。

那么请你们告诉我，棱柱有哪些特点？"让学生提出自己的观察结果，引导他们理解棱柱的特点。

三、认识棱锥（15分钟）老师在黑板上绘制一个棱锥，并向学生介绍棱锥的定义："同学们，这是一个棱锥。

棱锥只有一个底面，底面上的边都是直线。

向上延伸出来的线段连接到一个顶点，看它的侧面，从顶点到底面的每一条线段都是一条棱。

请你们告诉我，棱锥有哪些特点？"同样地，鼓励学生提出自己的观察结果，加深他们对棱锥的理解。

四、比较和总结（10分钟）让学生站起来，找一个伙伴，对比并讨论棱柱和棱锥的相同点和不同点。

然后，邀请几组学生分享他们的观察结果。

五、巩固练习（15分钟）1. 将课桌上的物品分类，问学生分类的依据，并让他们识别棱柱和棱锥。

2. 给学生看一些图形，让他们快速判断是棱柱还是棱锥，并说出理由。

六、拓展延伸（15分钟）老师使用益智玩具或模型，例如由塑料积木搭建的棱柱和棱锥，让学生用手触摸、观察，体验棱柱和棱锥的特点。

鼓励他们用自己的话描述模型。

【课堂小结】总结课堂重点，回顾棱柱和棱锥的定义和特点。

【作业布置】布置练习册上有关棱柱和棱锥的练习。

棱柱、棱锥、棱台学习教案。

引入教导棱柱、棱锥、棱台时，我们要以多样的引入方式使学生进入主题，在学生的思维安排中启发对于这些几何形体的认知。

例如，当引入棱柱的时候，我们可以给学生展示一个装有不同颜色饼干的长方体（棱柱），让学生用立体图像帮助他们描述长方体。

我们可以要求学生想象自己是小农民，在采摘苹果的时候发现了一个长方形的饮料瓶，他们怎么描述它的形状和特征。

展示在展示棱柱、棱锥、棱台的时候，我们需要提供给学生充足的时间来观察这些几何形体。

例如，当展示棱锥的形状时，我们可以用类比的方法来让学生理解这种形状。

“蒲公英”其实也是一种棱锥形状，学生们可以用“蒲公英”的形状来帮助他们描述棱锥。

我们可以要求学生拿出一些不同形状的模型块，用这些模型块造出不同形状的棱锥，并让他们能够用具体实际的操作来理解这种形状。

探究在探讨几何形体的性质时，我们可以利用多种方式来帮助学生看到形状的不同侧面。

例如，在展示棱柱的时候，我们可以给学生们一份棱柱表，带他们了解这些棱柱相互之间的不同点。

我们也可以让学生在实际生活中寻找具有棱柱形状的物品，如蜡烛、笔筒、水杯等，并让他们发现这些物体的共同特征。

评估我们需要评估学生是否实现彻底的理解和熟练的技能，这可以通过多种方式达到。

例如，我们可以通过布置棱柱、棱锥、棱台的习题，来检验学生的掌握情况，也可以通过让学生用棱柱、棱锥、棱台作为材料制作一些实用的东西，来考察他们的实践能力。

总结在教学中，我们需要引导学生理解几何形体的本质，并寻找与学生的生活和经验相关的例子。

当学生理解了这些几何形体的概念和性质时，我们需要让他们在实际中将所掌握的知识转化成技能。

在这个过程中，我们需要提供充足的练习和评估，以确保学生能够顺利掌握这些知识和技能。

初中数学教案棱柱与棱锥的体积计算公式初中数学教案棱柱与棱锥的体积计算公式一、引言在初中数学中，我们学习了很多几何形体的性质和计算方法。

其中，棱柱和棱锥是两种常见的几何体。

本教案将重点介绍棱柱和棱锥的体积计算公式及应用。

二、棱柱的体积计算公式1. 棱柱的定义棱柱是一个底面为多边形的立体。

它的侧面由若干个平行于底面的长方形组成。

棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = 底面积 ×高其中，V表示棱柱的体积，底面积表示底面的面积，高表示棱柱的高度。

2. 棱柱的应用棱柱在现实生活中有着广泛的应用。

例如，水冷却塔通常采用棱柱形状，通过提供较大的散热表面积来降低水温。

我们可以通过计算水冷却塔的体积，来确定所需的冷却能力。

三、棱锥的体积计算公式1. 棱锥的定义棱锥是一个底面为多边形，而顶点在底面上方的立体。

棱锥的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3 ×底面积 ×高其中，V表示棱锥的体积，底面积表示底面的面积，高表示棱锥的高度。

2. 棱锥的应用棱锥也有着广泛的应用。

例如，运动员获得奖杯时通常会获得一个金字塔形状的奖杯，它就是一个棱锥体。

我们可以通过计算奖杯的体积，来确定所需的材料和制作成本。

四、计算实例下面通过几个实例来演示如何计算棱柱和棱锥的体积。

实例1：计算一个棱柱的体积，其底面为一个边长为3厘米的正方形，高为8厘米。

解：首先计算底面积：底面积 = 3厘米 × 3厘米 = 9平方厘米然后，代入公式计算体积：V = 9平方厘米 × 8厘米 = 72立方厘米所以，该棱柱的体积为72立方厘米。

实例2：计算一个棱锥的体积，其底面为一个边长为5厘米的正三角形，高为10厘米。

解：首先计算底面积：底面积= 1/4 × √3 × (5厘米)² = (25√3/4)平方厘米然后，代入公式计算体积：V = (25√3/4)平方厘米 × 10厘米= 62.5√3立方厘米所以，该棱锥的体积约为62.5√3立方厘米。

【教学过程】*揭示课题9.5．1 棱柱与棱锥*情境导入【知识回顾】在九年制义务教育阶段，我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体．（1）（2）（3）（4）图9−55象直棱柱（图9−55（1））那样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线.像圆柱（图9−55（2））、圆锥（图9−55（3））、球（图9−55（4））那样的封闭几何体叫做旋转体．【观察】图9−56观察图9−56所示的多面体，可以发现它们具如下特征：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形的公共边互相平行．*引入新知有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面，叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离，叫做棱柱的高．图9−56所示的四个多面体都是棱柱．表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，例如，图9−56(2)所示的棱柱，可以记作棱柱1111ABCD A B C D -，或简记作棱柱1AC ．经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱，如图9−56所示的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱．侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9−56（2）；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，如图9−56（1）；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，如图9−56（3）和（4），分别为正四棱柱和正五棱柱．正棱柱有下列性质：（１）侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高；（２）两个底面中心的连线是正棱柱的高． [想一想]如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形，它是不是正四棱柱？如果四棱柱的底面是正方形，它是不是正四棱柱？正棱柱所有侧面的面积之和，叫做正棱柱的侧面积．正棱柱的侧面积与两个底面面积之和，叫做正棱柱的全面积．图9−57观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为S ch =正棱柱侧 （9.1）2S ch S =+底正棱柱全（9.2）其中，c 表示正棱柱底面的周长,h 表示正棱柱的高,S 底表示正棱柱底面的面积.可以得到正棱柱的体积计算公式为（公式推导略）V S h 底正棱柱 （9.3）其中, 底S 表示正棱柱的底面的面积，h 是正棱柱的高.*例题讲解例1 已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm ，高为5 cm ，求这个正三棱柱的侧面积和体积．*练习强化1.已知正方体的棱长是2cm ，则它的表面积是 ，体积是 。

9.10棱柱与棱锥【教案目标】1． 理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质；2． 会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。

【知识梳理】 一、棱柱（1） 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（2） 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

（3） 棱柱的分类：① 按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n 棱柱.② 按侧棱与底面的位置关系分类:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧斜棱柱其他直棱柱正棱柱直棱柱棱柱(4)特殊的四棱柱四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. (6)棱柱的体积公式:Sh V =柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高.二、棱锥1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2、性质Ⅰ、正棱锥的性质(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

Ⅱ、一般棱锥的性质定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。

3、棱锥的体积 V=31Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高。

【点击双基】1.设M =｛正四棱柱｝，N =｛直四棱柱｝，P =｛长方体｝，Q =｛直平行六面体｝，则四个集合的底面是平行四边形侧棱与底面垂直 底面是矩形底面是正方形 棱长都相等关系为A.MPNQ B.MPQNC.PMNQD.PMQN解读：理清各概念的内涵及包含关系. 答案：B2.如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在B A.直线AB 上 B.直线BC 上 D.△ABC 内部解读：由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，知AC ⊥面ABC 1，从而面ABC 1⊥面ABC ，因此，C 1在底面ABC 上的射影H 必在两面的交线AB 上.答案：A3.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为A.63aB.123aC.123a 3D.122 a 3答案：D4.（2003年春季上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.（结果用反三角函数值表示）解读：取BC 的中点D ，连结SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥B C.∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α.在平面SAD 中，作SO ⊥AD 与AD 交于O ，则SO 为棱锥的高.AO =2DO ，∴OD =323.又V S —ABC =31·21AB ·BC ·sin60°·h =1， ∴h =43.∴tan α=DO SO =33243=83.∴α=arctan 83.答案：arctan 835.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________.解读：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧1∶S 侧2∶S 侧3= 1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.答案：1∶3∶5 【典例剖析】【例1】 已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积.A DBC BCD11111O EH F解法一：连结A 1C 1、B 1D 1交于O 1111， ∵EF ∥A 1C 1，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离. ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高. ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H =D B DD O B 1111⋅=66a ，V EDF B C 11-=31S EDF B 1·O 1H =31·21·EF ·B 1D ·O 1H =31·21·2a ·3a ·66a =61a 3.解法二：连结EF ，设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1+h 2=B 1D 1=2a ，∴V EDF B C 11-=V EF C B 11-+V EF C D 1-=31·S EF C 1∆·（h 1+h 2）=61a 3.解法三：V EDF B C 11-=V FD C D E B A 1111-多面体－V 1111D C B A E -－V D D C E 11-=61a 3.特别提示求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③补形法.【例2】 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A =AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD .（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论. （2）当a =4时，求D 点到平面PBC 的距离.（3）当a =4时，求直线PD 与平面PBC 所成的角.A.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算. 解：（1）以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，当a =2时，BD ⊥AC ，又P A ⊥BD ，故BD ⊥平面P AC .故a =2.（2）当a =4时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、P （0，0，2）、 =（0，2，－2），=（4，0，0）.设平面PBC 的法向量为n ，则n ·=0，n ·=0，即（x ，y ，z ）·（0，2，－2）=0，（x ，y ，z ）·（4，0，0）=0，得x =0，y =z ，取y =1，故n =（0，1，1）.则D 点到平面PBC 的距离d =|DC n n |||⋅=2. （3） =（4，0，2），cos 〈，n 〉=1010>0，证〈，n 〉=α，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=sin （2π－α）=cos α=1010.所以直线PD 与平面PBC 所成的角为arcsin 1010.【例3】 如图，设三棱锥S —ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成的角都是60°，又∠BAC =60°，且SA ⊥BC .（1）求证：S —ABC 为正三棱锥； （2）已知SA =a ，求S —ABC 的全面积.（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S —ABC 的高SO ，O 为垂足，连结AO 并延长交BC 于D .因为SA ⊥BC ，所以AD ⊥B C.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB =AC .又∠BAC =60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心.所以S －ABC 为正三棱锥.（2）解：只要求出正三棱锥S —ABC 的侧高SD 与底面边长，则问题易于解决.在Rt △SAO 中，由于SA =a ，∠SAO =60°，所以SO =23a ，AO =21a .因O 为重心，所以AD =23AO =43a ，BC =2BD =2AD cot60°=23a ，OD =31AD =41a . 在Rt △SOD 中，SD 2=SO 2＋OD 2=（23a ）2＋（41a ）2=1613，则SD =1413a .于是，（S S －ABC ）全=21·（23a ）2sin60°＋3·21·413a ·23a =16)393(3+a 2.深化拓展（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S 正棱锥底=cos α·S 正棱锥侧（α为侧面与底面所成的二面角）.就本题cos α=131，S ABC =1633a 2，所以（S S －ABC ）侧=633a 2÷131=16393a 2.于是也可求出全面积.（2）注意到高SO =23a ，底面边长BC =23a 是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.（3）正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.【知识方法总结】【作业】。