2020届宁波“十校”高三3月联考数学试卷含答案详解

2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

绝密★考试结束前宁波“十校”2020 届高三 3 月联考化学试题卷考生注意：本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分100 分，考试时间90 分钟。

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

3．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12N 14O 16Na 23Mg 24 Si 24 S 32 K 39 Cl 35.5Cr 52 Fe 56Cu 64I 127 Ba 137选择题部分一、选择题（本大题共25 小题，每小题2 分，共50 分。

每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.下列物质中属于碱性氧化物的是A．Al2O3 B．SO2 C．CaO D．NaOH2．分液时需要用到的仪器是A ．B．C．D．3.下列属于有机物，又是强电解质的是A．硬脂酸钠B．甘油C．苯酚D．硝基苯4．下列属于氧化还原反应的是A．NH4Cl+NaOH NH3↑+NaCl+H2O B．MnO2+4HCl(浓) MnCl2+Cl2↑+2H2O C．Na2O2+2H2O=2NaOH+H2O2 D．SO2+H2O H2SO35.下列物质的名称不．正．确．的是A．FeS2：二硫化亚铁B．CaSO4·2H 2O：熟石膏C．CO(NH2)2：尿素D．CH3CH2CH2CH3：正丁烷6.下列表示正确的是A．镁离子的结构示意图：Mg2+B．二氧化硅的分子式：SiO2C．乙醇的结构简式：C2H5OH D．水分子的球棍模型：7．下列说法正确的是A．23894Pu 与23892U 互为同位素B．H2O 和D2O 互为同素异形体C．醋酸和软脂酸互为同系物D．新戊烷和2，2-二甲基丙烷互为同分异构体8．下列说法不．正．确．的是A．白磷有毒因此必须保存在水中，取用时要用镊子B．纯碱在食品、石油等工业中有着广泛的应用4 3 3 C ．碘是一种重要的药用元素，也是生产含碘食品的必要元素D ．工业上利用氢气和氯气反应来制备盐酸9. 下列说法不．正．确．的是 A ．制备铜氨纤维时，取出稀盐酸中的生成物，用水洗涤，得到蓝色的铜氨纤维B ．天然气的主要成分是甲烷，不同地区天然气中甲烷含量不同C. 长久存放的氯水逐渐转变为很稀的盐酸D. 在燃烧木柴时，将木材架空，木材会燃烧的更旺10．下列说法不．正．确．的是 A. 甲烷和氯气 1：1 混合，光照下反应很难得到纯净的一氯甲烷 B. 在压强较低时，重油中的烃会在相对较低的温度下发生汽化 C. 燃烧植物枝叶是生物质的热化学转化，远古时期人们用此进行取热D ．氨水法脱硫既可以消除煤烟气中二氧化硫，还可以获得石膏与硫酸铵11. 下列有关实验说法，不．正．确．的是 A. 沉淀的颗粒较大且易沉降时，也可用倾析的方法将固体与溶液分离B. 可用纸层析法分离含少量 Fe 3+和 Cu 2+的混合溶液，亲水性强的 Cu 2+在滤纸条的下方C. 在用简易量热计测定反应热时，可使用碎泡沫起隔热保温的作用、普通玻璃棒进行搅拌使酸和碱充分反应、准确读取实验时温度计最高温度D. 强碱腐蚀致伤时，应先用大量水冲洗，再用2%醋酸溶液或饱和硼酸溶液洗，最后用水冲洗12．下列关于氮及其化合物的说法不．正．确．的是 A. 所有的铵盐都可能与烧碱共热生成氨气 B. 浓硝酸不论与铜或碳反应，均体现其强氧化性C. 硝酸是一种黄色、具有一定挥发性的酸，保存时不可用橡胶塞D. 把带火星的木条伸入充满 NO 2 和 O 2 混合气体(NO 2 和 O 2 的物质的量之比为 4∶1)的集气瓶中，木条复燃，说明 NO 2 支持燃烧13. 下列指定反应的离子方程式正确的是A. 碳酸氢钠的水解方程式：HCO －+H 2OCO 2-+H 3O +B. 用高锰酸钾标准溶液滴定草酸：2MnO －＋6H ＋＋5H 2C 2O 4===2Mn 2＋＋10CO 2↑＋8H 2OC ．用碳酸氢钠溶液检验水杨酸中的羧基：D．向Na2SiO3 溶液中滴加稀盐酸：Na2SiO3＋2H＋===H2SiO3↓＋2Na＋14.下列说法不．正．确．的是A．等质量的甲烷和乙酸分别充分燃烧，消耗氧气的量相同B．麦芽糖分子式为C12H22O11，能发生银镜反应C．用新制氢氧化铜溶液可鉴别丙酸和丙醛两种无色液体D．油脂的硬化反应属于加成反应15.分枝酸可用于生化研究。

浙江省宁波市宁波十校2020届高三3月联考数学试题一、选择题:本大题共10小题，每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∩Q=A.(1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-1,2)2.双曲线22194x y -=离心率是 13.3A 5.3B 2.3C 5.9D 3.若x,y 满足约束条件026,2x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则z=x+3y 的最小值是A.-4B.-2C.2D.44.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是34.3A cm 3.2B cm 38.3C cm 3.4D cm5.函数2()()2x b a f x -=的图像如图所示，则A.a>0,0<b<1B.a>0,-1<b<0C.a<0,-1<b<0D.a<0,0<b<16.设a ∈R ，则"a=-2"是"关于x 的方程210x ax ++= 20x x a ++=有公共实数根"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.正方体1111,ABCD A B C D -P 是线段1BD (不含端点)上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β,二面角P-BC-A 的平面角为γ,则A.β<γ<αB.a<β<γC.γ<β<αD.γ<α<β8.已知随机变量的分布列如下1(0):2a <<则A.E(ξ)有最小值12B.E (ξ)有最大值32C.D(ξ)有最小值0D.D(ξ)有最大值12 9.从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数,这样的四位数一共有()个A.576B.1296C.1632D.202010.数列{}n a 满足a 212,1,n n n a a a n N ++==-+∈，则 A.存在k ∈N +,使2122k k k a --<<B.存在,,m k N +∈m k a ka =C.存在,,m k N +∈m k a ma = 12111.1nD a a a +++<L 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分.11.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知，2020i e π=____412.(2)(1)x x ++的展开式中项3x 的系数为____13.在四边形ABCD 中，AB=1,BC=2,CD=3,AD=4，且∠ABC=120°,则AC=_____,cos ∠BCD=____14.已知直线l:y=k(x+1)(k≠0),椭圆C 22:1,43x y +=点F(1,0),若直线和椭圆有两个不同交点A,B,则△ABF 的周长是_____,△ABF 的重心纵坐标的最大值是_____15.函数f(x)=|1-x|-2|x+1|的值域为______;若函数g(x)=f(x)-a 的两个不同零点12,,x x 满足122||10,x x ≤-≤则实数a 的取值范围是____16.已知双曲线221:1,C x y -=曲线222:,x y C x y y x+=-则曲线12,C C 的交点个数是_____个,原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是____.17.设向量1122(,),(,),a x y b x y ==r r 记1212*a b x x y y =-r r .若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三个点123,,,A A A 且1223A A A A ⊥，则1223|**|OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 的最大值是_____三、解答题18.(本题满分14分)设函数f(x)=sinx+cosx,x∈R.(I)已知θ∈[0,2π],函数f(x+θ)是奇函数，则θ的值;(II)若2 (),2fα=求().3fπα+19.（本题满分15分）如图，三棱锥P-ABC中，ΔPAC是正三角形，ΔABC是直角三角形，点D是PB 的中点，且∠APB=∠CPB,PA=2PB.（I）求证：PB⊥AC；（II）求AD与平面PAC所成角的正弦值.20.(本题满分15分)设等差数列{}n a的前n项和为432,4,nS a a S==.数列{}nb的前n项和为*,1,n n nT T b n N+=∈(I)求数列{},{}n na b的通项公式;(II)记,nnnnacb n=⎩为奇数为偶数，数列{}nc的前n项和为,nW证明:1.3nW n<21.(本题满分15分)已知点A(0,a),a>0,抛物线22(0)x py p=>上点B处的切线交x轴于点P，且直线AB交抛物线于另一点C,过点C作AP的平行线交x轴于点Q.(I)证明:AQ//BP;(II)记直线BP,CQ 与x 轴围成的三角形面积为1,S △BOC 的面积为2,S 是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值,若不存在，请说明理由.22.(本题满分15分)已知函数21()(1),2x f x x e x -=+-其中e≈2.71828为自然对数的底. (I)试求函数f(x)的单调区间; (II)若函数21()2x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b. ①求实数a 的取值范围;②证明:13.25b e << (参考数据:1.64 1.65)e <<。

浙江省宁波市十校2020届高三3月联考数学试题参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n np k C p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V h S S S S =其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =（ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (1,0)-D. (1,2)【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算PQ 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<， 所以{|01}PQ x x =<<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2.双曲线22194x y -=离心率是（ ）A.3B.3C.23 D.59【答案】A 【解析】 【分析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以c =. 由29a = 可知3a =.c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3.若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A. 4-B. 2-C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =- 分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A.343cm B. 32cmC. 383cmD. 34cm【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2. 所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积求解，考查了三视图. 5.函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A. 0,01a b ><<B. 0,10.4a b >-<≤C. 0,10a b <-<<D.0,01a b <<≤【答案】D【解析】 【分析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <. 【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则. 6.设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根； 当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7.正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A. βγα<<B. αβγ<<C. γβα<<D.γαβ<<【答案】A 【解析】 【分析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 3232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8.已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪：ξ1 2则（ ） A. ()E ξ有最小值12B. ()E ξ有最大值32 C. ()D ξ有最小值0 D. ()D ξ有最大值12【答案】D 【解析】 【分析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12.故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个. A. 576 B. 1296C. 1632D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10.数列{}n a 满足21121,n nn a a a a n N ++==-+∈，，则（ ） A. 存在k N +∈，使1122k k k a --<< B. 存在m ，k N +∈，m k a ka = C. 存在m ，,m k k N a ma +∈= D.121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D 【解析】 【分析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n nn a a a +=-+，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-， ()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111......11111111n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-.即121111na a a ++⋅⋅⋅+< 故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，多空题每小题6分，共36分11.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________ 【答案】1 【解析】 【分析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=. 故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12.()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________ 【答案】14 【解析】 【分析】由二项式定理写出()()421x x ++通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k kx C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=. 故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式. 13.在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________【答案】(2). 14- 【解析】 【分析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 即21422cos1207AC =+-⨯⨯=，AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 14ACB ∠==. ()cos cos 90sin 14BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=-故答案为;14-. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.14.已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】 (1). 8【解析】【分析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y Bx y设ABF 的重心纵坐标为0y .则1212033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，34k k+≥= 当且仅当34k k =，即k = 时，等号成立，此时0y ≤=当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭34k k -=-， 即2k =-时，等号成立，此时06y ≥=-. 综上所述：00,66y ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF 的重心纵坐标的最大值是6.故答案为: 8;3. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等. 15.()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________ 【答案】 (1). (],2-∞ (2). 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上， 令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--.综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.16.已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________ 【答案】 (1). 0 (2). 2 【解析】 【分析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ， 则原点与2C上的点之间的距离为r =设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.17.设向量()()1122,,,a x y b x y ==，记1212*a b x x y y =-，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +的最大值是___________ 【答案】16 【解析】 【分析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径r =设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223A A A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+，2A 为圆上的一点， 当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题. 三、解答题18.设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）3f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角恒等变换求得()2sin 4f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值. （2）由()22f α=可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，则所求26sin cos 344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()2sin 4f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19.如图，三棱锥P ABC -中，PAC 是正三角形，ABC 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，， ∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角.设2PB =，则PAC 的边长为4，BA BC ==PBO中，122PB OB OP DT ====，APB △中，42PA AB BP ===，，D 为PB的中点，∴AD =在Rt ADT △中，sin 22DT DAT AD ∠==，故AD 与平面PAC所成角的正弦值22【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n nn c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W，证明：13n W <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形2114kmmn mk k W W ==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑，∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥=<=∴21mmk k ==<+=∑1133n W <<+.②当21n m =-时，21213n m m W W W -=<<+.综上①②得：13n W <【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21.已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q . （1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC 的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理. 【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】 【分析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ 的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形 ∴1101122PQTAQPQ P S SSOA x x ap t t ===-=-， ∵21011222OBCB C S S OA x x a p t t ==-=⋅-，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22.已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：12b <.（参考数据：1.64 1.65） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x xx a+--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求12b <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立 故440a =-<△，即1a > 又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e xa e x g x xx a xx ae ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减， 所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即12b <<12b <. 【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

绝密★考试结束前考生须知：“十校”2020 届高三 3 月联考英语试题卷1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

满分为150 分，考试时间为120 分钟。

2.请用黑色签字笔将学校、班级、姓名、考号分别填写在答题卷和机读卡的相应位置上。

第Ⅰ卷（共 95 分）第一部分：听力（共两节，满分30 分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节：（共 5 小题；每小题1.5 分，满分7.5 分）听下面5 段对话,每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What does the woman think of the shopping center?A. It is satisfactory.B. It is old-fashioned.C. It is disappointing.2.When will the speakers arrive at the camp?A. On August 5th.B. On August 6th.C. On August 7th.3.Who is most probably the man?A. A waiter.B. A bookseller.C. A farmer.4.Where is the conversation most probably taking place?A. In a theatre.B. In a library.C. In a booking office.5.What does the woman mean?A.The man should work hard.B.The man can apply for the job again.C.The man may have another chance.第二节（共15 小题；每小题 1.5 分，满分22.5 分）听下面5 段对话或独白。

2022年浙江省宁波“十校”高考数学联考试卷（3月份）1. 已知，，则( )A. B. C. D.2. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. B. C. D. 不存在3. 设i为虚数单位，复数z满足，则为( )A. B. 2 C. 3 D. 44. 已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且平面，平面，则是的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数且的图象如图所示，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，6. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚．现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有( )A. 35B. 50C. 70D. 1007. 将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为( )A. B. 2 C. 3 D. 68. 从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量；取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量则( )A. ，B. ，C. ，D. ，9. 已知点的坐标满足方程，则点P一定在上．( )A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知数列满足，，记表示数列的前n项乘积，则( )A. B. C. D.11. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积是______，体积是______12. 已知，则______.已知，则b的取值范围是______.13. 已知的展开式的第3项与第5项的二项式系数相等，则______；此时，展开式中的系数为______.14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，R为的外接圆半径，则______，______.15. 在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，，则______.16. 不等式的解集非空，则实数a的取值范围为______.17. 已知函数满足，且方程有2个实数解，则实数m的取值范围为______.18. 已知求的最小正周期和单调递增区间；已知，，，求在上的值域．19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，点P为直线上的动点，求证：；点P为直线上的动点，求直线与平面PAD所成角正弦值的最大值．20.已知数列满足，且求出，的值，猜想数列的通项公式，并给出证明；设数列的前n项和为，且，求数列的前n项和21. 已知直线l：与抛物线交于A，B两点，点C为抛物线上一点，且的重心为抛物线焦点求m与t的关系式；求面积的取值范围．22. 已知函数，设，证明：；已知，其中为偶函数，为奇函数．若有两个不同的零点，，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，则故选：由已知结合集合的交集运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．3.【答案】B【解析】解：，，，，故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且平面，平面，如图，满足，但，相交，故充分性不成立，再如下图：满足，但m，n异面，故必要性不成立，是的不充分不必要条件．故选：利用充分条件和必要条件定义，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】D【解析】解：由图象可得的根为，当时，，且时，，由于比的增加速度快，所以，故选：考虑函数图象中与x轴的交点，当时，，结合指数函数的图象特点，可得结论．本题考查函数解析式中参数的取值范围，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：参加雪上项目和冰上项目人2数分配有：“4人、2人”，“3人、3人”，“2人、4人”，所以不同报名方案有故选：参加雪上项目和冰上项目人数分配有：“4人、2人”，“3人、3人”，“2人、4人”，以此可计算不同报名方案种数．本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，当最小时，函数y的半个周期等于，，，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，正切函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正切函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意，随机变量，的所有可能取值分别为4，5，6，则，所以，所以随机变量的所有可能取值分别为4，5，6，则，所以，所以所以，故选：求得随机变量，的取值，求得相应的概率，分别计算得到，即可求解．本题考查离散型随机变量的分布列及其期望、方差及其应用，考查了运学生的运算与求解能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由方程，得，，令，则为单调增函数，且为奇函数，由，得，则，即，点的坐标满足方程，则点P一定在抛物线上．故选：把已知方程变形，可得，令，则为单调增函数，且为奇函数，原方程化为，结合的单调性与奇偶性可得，则答案可求．本题考查曲线与方程，把原方程变形是关键，属难题．10.【答案】C【解析】解：，，下面用数学归纳法证明，当时，，符合，假设时，结论成立，即，当时，，由题意成立，，，，，结论成立，故对任意的均成立．记函数，，，，，时，取等号，在单调递增，，即，，，数列为单调递增数列，，记，，则取等号，在上单调递增，，，，，，累加得，，，即，，，记，，则，在上单调递减，，，，，，，，，综上，故选：先用数学归纳法证明，构造函数，，利用导数证明，记，，证明，得到，用累加法得到，从而求出，记，，证明出，得到，求出，由此能求出结果．本题考查数列的前9项积的取值范围的求法，考查数学归纳法、累加法、放缩法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于难题．11.【答案】【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体如图所示：所以；故答案为：；首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】4或【解析】解：，或，若，则；若，则，故或由，可得，求得，故答案为：4或；由题意，利用对数函数的性质，解对数不等式，求得a的值以及b的范围．本题主要考查对数函数的性质，对数不等式的解法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由已知可得，则，所以二项式的展开式中含的项为，则的系数为，故答案为：6；由二项式系数的性质求出n的值，再求出二项式的展开式中含的项，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理得，，由余弦定理得，，由A为三角形内角，得，由正弦定理得故答案为：，由已知结合余弦定理及正弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】8【解析】解：，，因为H为垂心，所以，设，，外接圆的半径为r，由余弦定理得，同理，所以所以，故答案为：根据H为垂心，得到，设，，外接圆的半径为r，再分别利用余弦定理得到，，然后由求解．本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，，，故答案为：利用绝对值不等式的性质，即可解出．本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．17.【答案】【解析】解：当，时，方程为，为椭圆在第一象限部分，当，时，方程为，为双曲线在第四象限的部分，当，时，方程为，为双曲线在第二象限的部分，双曲线的渐近线方程为，当，时，方程为，不成立，如图所示，方程可变形为，有2个实数解，等价于与有两个交点，又与双曲线的渐近线平行，要有两个交点需，由，消去y得，当直线与第一象的椭圆相切时，可得，故有两个交点时实数m的取值范围为故答案为：分情况讨论画出函数的图象，有2个实数解，等价于与有两个交点，数形结合可得实数m的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，以及直线与圆锥曲线的位置关系，属难题．18.【答案】解：，故，令，得，故函数的单调递增区间为，；，由得，所以，故函数的值域为【解析】先利用和差角公式，二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性即可求解；结合向量数量积的坐标表示求出，然后结合正弦函数的性质可求．本题考查了和差角公式，辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．19.【答案】解：如图所示，由菱形的性质可知，，由线面垂直的定义可知，且，故平面，结合线面垂直的定义可知如图所示，以点A为坐标原点，点M为CD的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由，可得，设平面APD的法向量为，则，据此可得，且，从而，由于，故，结合对勾函数的性质和反比例函数的性质可知函数，单调递减，故时，函数取得最大值直线与平面PAD所成角正弦值的最大值为【解析】由题意首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可；建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量得到正弦值的表达式，然后根据函数的单调性可得其最值．本题考查线线垂直的证明，直线与平面所成角的求法，属中档题．20.【答案】解：，，猜想下用数学归纳法证明：证明：当时，，成立；假设当时，成立，当时，，所以当时成立；由，得，对任意，成立．由可知，所以，则，所以【解析】根据递推式求得，，猜想，然后用数学归纳法证明；求得，然后利用裂项相消法求和．本题考查了数学归纳法，裂项相消求和，属于中档题．21.【答案】解：设，，，由，得，，，所以，因为的重心为抛物线的焦点，所以，解得，又因点C为抛物线上一点，所以，即，所求m与t的关系式为且；由得，，结合判别式得，因为l不经过点否则A、B、C三点共线，不能构成三角形，所以，所以实数t的取值范围为，点C到l的距离，所以，设，则，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，上单调递减，，所以所以面积的取值范围为【解析】设，，，联立方程，利用韦达定理可得，，再根据的重心为抛物线的焦点，可得，求得，代入抛物线方程，即可得解；结合利用弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式求得点C到l的距离，再利用导数求得范围即可．本题考查了直线与抛物线的综合，属于难题．22.【答案】证明：欲证，只需证，即证，设，即证，①设，则，所以单调递增，所以，所以式成立，所以根据已知，得到联立解得由得不等式成立，因为为偶函数，所以对任意成立．，即，所以，由知所以构造，则存在零点，，且同理可证所以【解析】欲证，只需证，令，利用导数得出，即可证明；由奇偶性得出，由得不等式成立，从而得出，构造函数，由证明即可．本题主要考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．。