【校级联考】江西省九江市2021届高三第一次十校联考数学(理)试题

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。

n 6n ⎩ 1 1 ⎝ ⎭⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考理科数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCADAABBCCD5730 ⋅ ⎛ ln N f ⎫N ⎪ 10、t = ⎝ 0 ⎭ = 5730⋅ (2 log 3- 3)≈ 5730⨯ 0.17 ≈ 974ln 2 21 2 2⎛ 3 5 ⎫ 19π 11、 a = 1,V = π(⎰ 0 3xdx + ⎰ 1 (4- x )dx ) = π + ⎪ = ⎝ 2 3 ⎭ 612、设a = k ，则k - 1 ≤ ≤ k + 1 ，即 k 2 - k + 1 ≤ n ≤ k 2 + k + 1n2 2 4 4所以 a = k 数的项共有 2k 项， k = 45 时， k 2 - k = 1980 ， k 2+ k = 2080 所以 a= 44, a = 45∴ 1 + 1 + ....... + 1 = 1 ⨯ 2k ⨯ 44 + 1 ⨯ 41 = 88 411980 198113、λ= -2a 1 a 2 a 2021 k45 45⎧ 1 , n = 114、 a n = ⎨2n -2, n ≥ 215、10000⨯ 0.1359 = 135916、cos B =617、（1）设数列{a }的公差为 d ，则由题意(a + d )2= a (a +3d )----------------1 分 n1 1 1⇒ d 2 = a d ∴d = a = 2或者d = 0 ------------------3 分又 a 1 ≠ a 2021 ∴d ≠ 0∴d = 2 -----------------4 分∴ a n = a 1 + (n - 1)2 = 2n ---------------6 分（2）1=1=1 ⎛ 1-1⎫ ------------8 分a n a n +14n (n +1) 4 n n +1 ⎪1 ⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎫n ∴T n = 4 1- 2 ⎪ + 2 - 3 ⎪ + .......+ n - n +1 ⎪ ⎪ =4 (n +1 )--------------------10 分1 2 2 1 1 1 1 1 1 { n 由 4 (n +1) = 505 2021得n = 2020 --------------12 分18、由棱台性质知：平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C 1D 1 ， AD ∥ A 1D 1 ,取 A 1D 1 的中点 E ，AD = AA 1 且 AD ∥ A 1E ∴ 四 边 形 ADA 1D 1 是 平 行 四 边 形 ∴ DE 、 AA 1 ⊥ 平 面ABCD ∴ A A 1 ⊥ AD ∴ A 1D = DD 1 = ∴ A D 2 +D D 2 =A D 2∴ A D ⊥ DD ------------2 分AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1D 1 ∴C 1D 1 ⊥ AA 1 又C 1D 1 ⊥ A 1D 1 ，∴C 1D 1 ⊥ 平面 A 1D 1DA --------4 分故 A 1D ⊥ C 1D 1 ，又 A 1D ⊥ DD 1 ， DD 1 ⋂ C 1D 1 =D 1 ∴ A 1D ⊥ 平面DD 1C 1C ------6 分（2）如图建坐标系 D （0,1,1）, B 1 (2,0，0) D 1 (0,2，0） C 1 (2,2，0) ,C(1,1，1)由（1）知 A 1D =（0,1,1）是平面DD 1G 一个法向量-----------------------7 分令 n = (x , y , z ) 是平面CD 1B 1 的一个法向量，设 B 1C = (-1,1,1) , B 1D 1 = (-2, 2, 0)n ⋅ B 1 D 1 =0 n ⋅B 1C =0{x = y =1-2 x + 2 y =0- x + y + z =0 令cos z =0 则 n = (1,1, 0) ------------------------------9 分1n , A 1D = = 2-----------------------------11 分所以二面角 D - GD - B 的平面角为120︒------------12 分1119、（1）完成表格如下骑车不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁及其以上20 30 50 合计5545100-------2 分2 ⇒ { ,= 2 + = 2 10（0 35 ⨯30-15 ⨯ 20）2(7 ⨯ 6-3⨯ 4)2κ2 ==50 ⨯ 50 ⨯ 55⨯ 4511⨯ 9≈9.1 >7.879 -------5 分所以有 95%把握认为该地区市民是否考虑骑自行车与他(她)是不是“青年人”有 关--------6 分。

江西省九江市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r，则3m =是//a b r r 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】 【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r （，），//a b r r，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可． 【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r ， //a b r r，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ∆∆=即8bc =，又222b MN c==，从而可得C 的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ∆∆=，即8bc =，由22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得：2b yc =±，所以222b MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =，所以a =C的渐近线方程为y x =. 故选B 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】 对命题p ：可知()2140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.6．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）A ．314B ．1114C ．114D ．27【答案】B 【解析】 【分析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（ ）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u vC ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3122DA DC =+u u u r u u u r .【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题8．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．9．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点D 3P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是62⎡⎢⎣； ③若3DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为2A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D 3P 形成以1D 2的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为63最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠2最大，可得正切值取值范围是6[2]；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为()222211312D P DP DD =-=-=，与点D 3的点P 形成以1D 为圆心，2的14圆弧MN ，长度为12224⋅=； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．10．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1y z x y z x +=+=-，分析12,z z 的几何意义，可得12,z z 的最小值，据此分析选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A ，()1,2B ，设12z x y =+，则122z x y =-+，1z 的几何意义为直线122zx y =-+在y 轴上的截距的2倍， 由图可得：当122zx y =-+过点()1,2B 时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最大，即25x y +≤，当122zx y =-+过点原点时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最小，即20x y +≥，故AB 错误； 设221y z x +=-，则2z 的几何意义为点(),x y 与点()1,2-连线的斜率， 由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题. 11．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 12．已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(21),e B ．(20,)e C ．(11,1)e+D ．21,1()e+ 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()xx f x e =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且122e f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =； 当0x <时，()x f x -=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故()21,1e m +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，集合B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2, 3}B.{−1, 0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1}2. 已知复数z＝，则的虚部是（）A.1B.−1C.−iD.i3. 已知p：≤1，q:a2−1≥0，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝（）A. B. C. D.5. 在的展开式中，x2y5的系数是（）A.20B.C.−12D.6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7. 若函数的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.D.8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF // AB，AB＝3EF＝AD＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.9. 在三角形ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE与CF交于点Q，且＝2，＝3，AQ交BC于点D，，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.610. 如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )A.√102B.√10 C.32D.311. 设k，b∈R，若关于x的不等式ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则的最小值是（）A.−e2B.C.−e+1D.−e−112. （3分）已知，则下列不等关系正确的是（）A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)B.f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)13. 已知实数x，y满足约束条件{x+2y≥2 x−y≤2x−4y+4≥0，则z=3x−y的最大值为________．14. 已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝sin x−1，则函数f(x)在处的切线方程为________．15. 过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A．B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为________．16. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，若动点Q在平面PAD内运动，使得∠CQD与∠BQA相等，则三棱锥Q−ACD的体积最大时的外接球的体积为________．17. 已知等差数列{a n}为递减数列且首项a1＝5，等比数列{b n}前三项依次为a1−1，a2+2，3a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD是等边三角形，AC＝2，BC＝CD＝，E为空间内一点，BC⊥CD，且△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若BE＝2，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19. 已知椭圆C：，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线1的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1过右焦点F2，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由．20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C）有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25, 30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求七月份这种饮品一天的需求量x（单位：瓶）的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n（单位：瓶）应满足什么条件？21. 已知函数．（1）讨论函数f(x)的单调区间．（2）若当a＝1时，，求证：F(x)>0．22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出曲线C1，C2的普通方程；（2）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为60∘的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. 已知a，b，c为正数．（1）证明≥3；（2）求的最小值．参考答案与试题解析2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{0, 1}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】∵＝，∴，则则的虚部是1，3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由≤1，得a≥1或a<0，即p:a≥1或a<0，由a2−1≥0，得a≥1或a≤−1，即q:a≥1或a≤−1，则q⫋p，故p是q的必要不充分条件，4.B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．【解答】sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝sin25∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝−cos60∘＝-．5.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】从2021到2121年经过100年，由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．【解答】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，7.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，分别求出其体积即可求出所求．【解答】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，因为AD＝3，所以AD＝2，因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，所以OP＝QB＝(AB−EF)＝(3−1)＝1，PF＝，OF＝，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，所以该几何体的体积为V＝V EMN−FQH+2V F−QBCH，又因V EMN−FQH＝S△QFH×MQ＝|QH|⋅|OF|×MQ＝，V F−QBCH＝S矩形QBCH×FQ＝，所以V＝+2×＝．9.【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，(m+2a)2+(2a+2m)2=(m+4a)2，解得m=a，在直角△FAF′中，AF2+AF′2=FF2，即a2+(3a)2=(2c)2，即4c2=10a2，a，即c=√102故e=√10.2故选A.11.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，得到−ln(k−1)−1−k≤b，而≥，令k−1＝u，g(u)＝1−-，根据函数的单调性求出g(u)的最小值，从而求出的最小值即可．【解答】ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，则f′(x)＝+1−k，若k≤1，则f′(x)>0，可得f(x)在(0, +∞)递增，当x→∞时，f(x)→∞，故不等式不能成立，故k>1当＝k−1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f（）＝−ln(k−1)−k−1，即b≥−ln(k−1)−1−k，故≥，∴＝2+≥2+＝，令k−1＝u，g(u)＝＝1−-，故g′(u)＝-＝，当ln u＝−1时，u＝，g(u)min＝−2e+e+1＝1−e，故的最小值是1−e，二、多选题（本题共计 1 小题，共计3分）12.【答案】【考点】对数值大小的比较【解析】画出函数的大致图像，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，f(x)的图像关于直线x＝1对称，再比较log27和log0.52.5与1的距离，即可得到f(log27)与f(log0.52.5)的大小关系．【解答】画出函数的大致图像，如图所示：，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，∵|log27−1|＝|log27−log22|＝<2，|log0.52.5−1|＝|log0.52.5−log0.50.5|＝log25>2，∴f(log27)>f(log0.52.5)，∴f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)，故选：B．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】10【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立{x−4y+4＝0x−y＝2，解得A(4, 2)，化目标函数z=3x−y为y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．14.【答案】y＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】4π【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）17.【答案】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设求出d即可求得a n，进而求得等比数列{b n}的首项b1与公比q，即可求得b n；（2）先由（1）求得a n+b n，再利用分组求和法求得其前n项和S n即可．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．18.【答案】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）先证明△AOC为直角三角形，再证明OA⊥平面BCD，最后证明平面ABD⊥平面BCD即可；（2）建立坐标系，先求平面ABD与平面ECD面的法向量，再用夹角公式，得到夹角余弦值．【解答】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．19.【答案】由题意可知2a＝4，可得a＝7，设点A(x1, y1)，B(x7, y2)，A，B在椭圆上，所以+＝1，①+；②k AB⋅k OM＝-，所以•＝-②-①可得：-＝-，所以b2＝•a2＝×4＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；设直线l:y＝k(x−1)，，整理可得：(5+4k2)x8−8k2x+8k2−12＝0，所以x7+x2＝，x1x2＝，所以y1+y2＝k(x1+x2−2)＝，所以AB的中点M（，），假设存在点D，则MD的直线方程为：y+(x−），可得y＝，所以D(0，），|AB|＝•＝•＝；|DM|＝•|，若△ABD为等边三角形，则|MD|＝，×＝，整理可得23k3+27＝0，显然无实数解，所以不存在这样的点D．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，可得X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，考虑200≤n≤500，根据300<n≤500和200≤n<300分类讨论，即可求得n的取值范围．【解答】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．21.【答案】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令m(x)＝2ln x+9(x>0)，求出函数的导数，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，根据导函数的单调性求出m(x)的单调性，求出m(x)的最小值，证明结论成立即可．【解答】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．22.【答案】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．23.【答案】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．【考点】不等式的证明【解析】（1）由基本不等式分别推得+≥2，+≥2，+≥2，再由累加法，即可得证；（2）两次运用基本不等式，注意等号成立的条件，可得所求最小值．【解答】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．。

2021届江西省九江市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|15}M x x =-≤<，{|||2}N x x =<，则MN =（ ）A ．{}|12x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{|02}x x <<【答案】A【解析】根据绝对值不等式的解法，求得集合N ，再根据集合的交集运算得出选项. 【详解】{}|22N x x =-<<，{|12}MN x x ∴=-≤<，故选：A. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题. 2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项. 【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ． 【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．已知非零向量a ，b 满足||||a b =，则“|2||2|a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:【答案】C【解析】根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥，可得选项. 【详解】222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+===，||||0a b =≠，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.4．已知实数,x y 满足约束条件20220x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．145D ．0【答案】C【解析】根据约束条件作出可行域，并且由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值，可得选项. 【详解】如图，作出可行域，由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y=+取得最大值145， 故选:C.【点睛】本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3131352a S +=，则9S =（ ） A ．9 B ．18C ．27D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用得374a a +=，可得9S 的值.【详解】 因为()1137137131321322a a a S a ⨯+⨯=== 所以3133713131352a S a a +=+=，374a a ∴+=，37522a a a +∴==，()195959929921822a a a S a +⨯∴====⨯=， 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用，灵活选择前n 项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=，3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】依题意得3322(2)(2)a f f =-=，32225823log 8log 9<==<=<，当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以xy e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题. 7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ）A．14B．1564C．240729D．12154096【答案】D【解析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=⨯=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，根据独立重复试验的概率求得其值.【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=⨯=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，2246131215(2)()()444096P x C∴==⨯⨯=故选：D.【点睛】本题考查古典概型的求解，n独立重复试验发生k次的概率，属于基础题.8．已知函数()sin()f x A xωϕ=+(π0,0,2A>><ωϕ)的部分图象如图所示，若()()0f a x f a x++-=，则a的最小值为（）A ．π12B．π6C．π3D．5π12【答案】A【解析】根据图象可求得,,Aωϕ，再()()0f a x f a x++-=，得出()f x关于点(,0)a对称，由正弦型函数的对称中心可得a，可得选项.【详解】由图象易知2A=，(0)1f=，即2sin1=ϕ，π2ϕ<，6πϕ∴=，由图可知*11ππ2π (N)126k kω⋅+=∈，24211kω-∴=，1112311412TTππ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，又()2Tπωω=>，18241111ω∴<<， ∴由1k =得2ω=，π()2sin(2)6f x x ∴=+，()()0f a x f a x ++-=，()f x ∴关于点(,0)a 对称，即有π2π6a k +=，ππ212k a =-，k Z ∈，a ∴的最小值为π12， 故选：A. 【点睛】本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题. 9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点,A B (点A 位于第一象限)，交其准线于点C ，若3BC BF =，且3AF =，则直线AB 的方程为（ ）A ．0y --=B 0y --=C ．0y -=D 0y -=【答案】A【解析】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .根据抛物线的定义得1BB BF =，由3BC BF =，1cos CBB ∠13=，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得p ，由直线的点斜式得出直线的方程. 【详解】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .在1Rt BCB ∆中，11||cos ||BB CBB BC ∠=||1||3BF BC ==，1tan CBB ∴∠=l ∴的斜率为11BCB AFF ∆∆，11||||13AF AF ∴==，11||2p A F ∴==，所以()1,0F ，∴直线AB 的方程为1)y x =-，即0y --=，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．203【答案】D【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为1120 2228111323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题. 11．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【解析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----2222222212cos 2sin 12cos 2sin 4(2)(22)32sin 2cos 32sin 2cos 3x x x x x x x x ----=++≥+⋅=----(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足22n n n OA OB ⋅=-（*N n ∈），设n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1{}na 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(,)4+∞B ．3[,)4+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】根据向量的数量积运算由22n n n OA OB ⋅=-，可得120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则可得n C 在圆2224n x y +=上，则n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式右求得22n a n n =+，再运算裂项相消求和法可求得n S ，得实数m 的取值范围.【详解】由22n n n OA OB ⋅=-，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，所以120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则2n n OC =，所以n C 在圆2224n x y +=上，n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心()0,0到直线(1)0x n n +++=的距离为()12n n d +==， 2(+12[]222n n n n a n n ∴=+=+），211111()222n a n n n n ∴==-++， 123111111111111111131(1)232435222124n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-+-++-=+--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34m ∴≥, 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积运算、求动点的轨迹方程、圆上的点到直线上的距离的最值、运用裂项相消求数列的和的方法，关键在于将两点到直线的距离的和的最大值转化为圆心到直线的距离与半径的和，属于难题.二、填空题13．曲线2e (2)x y x =+在点(0,2)处的切线方程为______.【答案】22y x =+【解析】对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【详解】令()2e (2)x f x x =+，2()e (22)x f x x x '=++，所以(0)2f '=，又(0)2f =，∴所求切线方程为22y x -=，即22y x =+. 故答案为：22y x =+. 【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题. 14．41(2)x x+-的展开式中2x 的系数为____. 【答案】28【解析】将已知式转化为8441(1)(2)x x x x-+-=，则41(2)x x +-的展开式中2x 的系数8(1)x -中6x 的系数，根据二项式展开式可求得其值. 【详解】2484441(21)(1)(2)=x x x x x x x-+-+-=，所以41(2)x x +-的展开式中2x 的系数就是8(1)x -中6x 的系数，而8(1)x -中6x 的系数为()22288128C C ⋅-==，∴展开式中2x 的系数为2828C =故答案为：28. 【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.15．在三棱锥A BCD -中，已知22=6BC CD BD AB AD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______. 【答案】48π【解析】取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ，连接AF CF OA ，，.根据等边三角形的性质可求得2233BO CO DO CF ====，3OF =， 由等腰直角三角形的性质，得AF BD ⊥，根据面面垂直的性质得AF ⊥平面BCD ，AF OF ⊥，由勾股定理求得23=OA ，可得O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【详解】在等边三角形BCD 中，取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ， 连接AF CF OA ，，.由6BC =，得2233BO CO DO CF ====，3OF =， 由已知可得ABD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形，AF BD ∴⊥, 又由已知可得平面ABD ⊥平面BCD ，AF ∴⊥平面BCD ，AF OF ∴⊥，2223OA OF AF =+=，所以23OA OB OC OD ====，O ∴为三棱锥A BCD -外接球的球心，外接球半径23R OC ==，∴三棱锥A BCD -外接球的表面积为24π(23)48π⨯=.故答案为：48π【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.16．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若122F F OM =，21tan 2MF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为_____.【答案】1e <≤【解析】法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得12π2F MF ∠=，222124c MF MF =+，1212tan MF MF F MF ∠=,又由双曲线的定义得122MF MF a -=,将离心率表示成关于12,MF MF 的式子,再令122MF t MF =≥，则22112e t t=++-，令()1,f t t t =+对函数求导研究函数在[)2,+∞上单调性，可求得离心率的范围.法二：令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ，根据直角三角形的性质和勾股定理得12π2F MF ∠=，将离心率表示成关于角θ的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan θ的函数，可求得离心率的范围. 【详解】 法一:122F F OM =，12π2F MF ∴∠=，222124c MF MF ∴=+，1212tan MF MF F MF ∠=, 122MF MF a -=，22122222122222221211222244()2MF MF MF MF MF c e a MF MF MF MF MF MF MF ++∴===--+,设122MF t MF =≥，则2221211212t e t t t t +==+-++-， 令()()()()222211111,'1t t t f t t f t t t t t+--=+=-==，所以2t >时，()'0f t >，()f t 在[)2,+∞上单调递增， 115222t t∴+≥+=，215e ∴<≤，1e ∴<≤法二：122F F OM =，12π2F MF ∴∠=，令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ， 22cos r c θ=，122=2(sin cos )a r r c θθ∴=--，1sin cos e θθ∴=-，222222221sin cos tan 12==151sin cos sin cos 2sin cos tan 12tan tan 2tan e θθθθθθθθθθθθθ++∴==+≤-+-+-+-（）， 1e ∴<≤故答案为：1e <≤【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的,,a b c 有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a bc ，，，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值； （2）若sin sin A B =2c =，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）π6C =；（2）1+【解析】（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得222a b c +-=，再根据余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得4sin a A =，4sin bB =，代入得4(1ab =，运用三角形的面积公式可求得其值. 【详解】（1）由()sin sin sin a A b B c C+=及正弦定理得22()a a b c＋=，即222a b c +-=由余弦定理得222cos 2a b c C ab -==＋，0πC <<，π6C ∴=. （2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R BB ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==+111sin 4(13)13222ABC S ab C ∆∴==⨯+⨯=+.【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ； （2）求二面角111A B C A --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）31717【解析】（1）过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =，连接BO ，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE BO ⊥，CE AD ⊥，由线面垂直的判断定理证得CE ⊥平面BAD ，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO ⊥平面11AAC C ，建立空间直角坐标系O xyz -，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值. 【详解】（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥， 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，1222CO CE ==，22BO ∴=，又4AB =，1222AO AD ==，222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥， 又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -， 1(0,6,22)B ，11(2,2,22)C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =， 设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x ，得(6,4,52)m =-,设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y ，得(0,21)n =-,92317cos ,171023m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为31717.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.19．已知椭圆2222:1x yCa b+=(0a b>>)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为22，直线EF与圆2212x y+=相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于,A B两点，线段,A B的垂直平分线交x轴于点P，试判断PFAB是否为定值？并说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在，定值24，理由见解析【解析】（1）根据已知条件得2a c=，b c=，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得,,a b c，得出椭圆C的标准方程；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，(,0)P x，设直线:(1)l y k x=+，联立22(1)12y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得2222(21)4220k x k x k+++-=，2122421kx xk-∴+=+，21222221kx xk-=+，根据弦长公式求AB，法一:由P在线段AB的垂直平分线上，得PA PB=，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标0121()4x x x=+，可求得PF，可得所求的比值；法二:求出 线段AB 的中点和线段AB 的垂直平分线方程，可得点P 的坐标，可求得PF ，可得所求的比值； 【详解】 （1）如图，c e a ==，a ∴=，b c =，直线EF 的方程为0x y c -+=， 直线EF 与圆2212x y +=相切，2=，1,1c a b ∴===，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，0(,0)P x ，设直线:(1)l y k x =+，联立22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(21)4220k x k x k +++-=， 2122421k x x k -∴+=+，21222221k x x k -=+AB ∴== 法一:P 在线段AB 的垂直平分线上，PA PB ∴=，2222101202()()x x y x x y ∴-+=-+………①,A B 在椭圆C 上，221112x y ∴=-，222212x y =-，代入①得2222121020()1()122x x x x x x -+-=-+-，化简得0121()4x x x =+220122211411=|()1||1|442121k k PF x x x k k -+∴=+++=+⋅=++ 法二: 线段AB 的中点为2222(,)2121k k k k -++，∴线段AB 的垂直平分线为2222()2121k k k y x k k --=+++， 令0y =，得20221k x k =-+2202211|1|2121k k PF x k k +∴=+=-=++，221k PF AB +∴=， 故PFAB为定值4.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线现圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，以及线段的垂直平分线方程求得，是比较综合的题，解决此类问题关键在于将目标条件转化为关于交点坐标的韦达定理，从而得以解决，属于中档题.20．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由. 【答案】（1）2532；（2）不会超过预算，理由见解析 【解析】（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.求得123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p ，求得其分布列和期望()E X 29001800(1)p p =+-，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.【详解】 （1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232+=.（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3上单调递增；当1()1,3p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1(,1)3单调递减,()g p ∴的最大值为14()327=g ,∴实施此方案，最高费用为441009000(9001800)10115027-+=⨯+⨯⨯（万元）， 11501200<，故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题. 21．已知函数()ln f x a x x =+(R a ∈). （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()e 0xf x ax --<恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时， ()f x 在(0,+)∞上单调递增；（2）[0,)+∞.【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ()x af x x+'=，对a 讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由()e 0x f x ax --<得(ln )e xa x x x ->-，分别运用导函数得出函数()e xs x x =-(0x >)，()()ln 0t x x x x =->的单调性，和其函数的最值，可得e ln xx a x x->- ，可得的范围; 法二:由()e 0xf x ax --<得()e xf x ax <+，化为()(e )xf x f <令()e xh x x =-(0x >)，研究函数的单调性，可得a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x+'=+=， ①当0a <时，由()0f x '>得x a >-，()0f x '<得0x a <<-，()f x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时，()0f x '>恒成立,()f x ∴在(0,+)∞上单调递增； （2）法一: 由()e 0x f x ax --<得(ln )e xa x x x ->-，令()e xs x x =-(0x >)，则()1e 0xs x '=-<，()s x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)1s x s ∴<=-，()0s x ∴<，即e 0x x -<，令()()()11ln 0,1x t x x x x t x x x-=->'=-=， 则1,()0x t x >'>，()t x 在()1,+∞上单调递增，01,()0x t x <<'<，()t x 在()0,1上单调递减，所以()()110t x t ≥=>，即ln 0x x ->，e ln xx a x x-∴>- () 当0a ≥时，e 0ln xx x x-<-，∴()式恒成立，即()e 0x f x ax --<恒成立，满足题意法二:由()e 0xf x ax --<得()e xf x ax <+，(e )e x x f ax =+，()(e )x f x f ∴<令()e xh x x =-(0x >)，则()1e 0xh x '=-<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)1h x h ∴<=-，()0h x ∴<，即e x x <，当0a ≥时，由(Ⅰ)知()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(e )xf x f ∴<恒成立，满足题意当0a <时，令()ln e xx a x ϕ=-，则()()e 00xa x x xϕ'=-<>，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减， 又(1)e 0ϕ=-<，当0x →时，()x ϕ→+∞，(0,1)r ∴∃∈，使得()0r ϕ=，∴当0(0,)x r ∈时，0()()0x r ϕϕ>=，即00ln e x a x >，又00x ax >，0000ln e xa x x ax ∴+>+，000()e 0xf x ax ∴-->，不满足题意， 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞ 【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C .（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11OA OB+的取值范围. 【答案】（1）C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=，普通方程为24(2)y x =+；（2）1(,22【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得22cos 2sin 2x αα=， 2cos 2sin2y αα=，可得曲线1C 的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线C 的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=0(0,π)θ∈，可求得11OA OB+的范围；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=(0,π)ϕ∈，可求得11OA OB+的范围； 【详解】（1）22222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22x αααααα===-， 24sincos2cos 2sin 2221cos 2sin sin22y ααααααα===-2224cos 24sin 2y x αα∴==，即曲线1C 的普通方程为24y x =， 依题意得曲线C 的普通方程为24(2)y x =+，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，则012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-，120ρρ<，12,ρρ∴异号121212201111sin OA OB ρρρρρρθ-∴+=+====，0(0,π)θ∈，0sin (0,1]θ∴∈，111(2OA OB ∴+∈； 法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <，12,t t ∴异号12121221111sint tOA OB t t t tϕ-∴+=+====(0,π)ϕ∈，sin(0,1]ϕ∴∈，111(2OA OB∴+∈.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题. 23．已知函数2()1f x x x=-+，且,Rm n∈．（1）若22m n+=，求()2()f m f n+的最小值，并求此时,m n的值；（2）若||1m n-<，求证:|()()|2(||1)f m f n m-<+．【答案】（1）最小值为73，此时23m n==；（2）见解析【解析】（1）由已知得2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n+=+-++=++，法一:22m n+=，22m n∴=-，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造22221(24+4)3m n m n nm+≥+214=(2)=33m n+，可得最值；法三：运用柯西不等式得：222222222=)(111112(()3)3m n m n n m n n+++≥++++，可得最值；（2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n-=-⋅+-<+-，又1m n+-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m=-+-≤-+-<++=+，可得证.【详解】（1）2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n+=+-++=++，法一:22m n+=，22m n∴=-，2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n∴+=-++=-+=-+≥()2()f m f n ∴+的最小值为73，此时23m n ==；法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+214=(2)=33m n +，47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++，47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；（2）1m n -<，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，|()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.。

2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

江西省九江市 高三数学第一次高考模拟统一考试试题 理 新人教A版本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部份．全卷总分值150分，时刻120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．） 1、已知全集U R =，集合[)2,5A =，()()U,12,B =-∞+∞，那么AB =（ ）A ．()2,5B ．()1,2C ．{}2D ．∅ 2、设复数21iz i-=+，那么z 的共轭复数为（ ） A ．1322i - B ．1322i + C ．13i - D ．13i + 3、已知3tan 5α=-，那么sin 2α=（ ） A ．1517 B ．1517- C ．817- D ．8174、已知随机变量X 服从正态散布()5,4N ，且()()4k k P X >=P X <-，那么k 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 5、已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕπ<）的图象向左平移6π个单位后取得()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么ϕ的值为（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3π D ．23π六、在如下程序框图中，输入()()0sin 21f x x =+，假设输出的()i f x 是()82sin 21x +，那么程序框图中的判定框应填入（ ）A ．6i ≤B ．7i ≤C ．8i ≤D ．9i ≤7、已知抛物线的方程为22y px =（0p >），过抛物线上一点(),2p p M 和抛物线的核心F 作直线l 交抛物线于另一点N ，那么F :F N M =（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:2D ．1:3 八、假设实数x ，y 知足31x y -≤≤，那么2x yz x y+=+的最小值为（ ） A ．53 B ．2 C ．35 D ．129、如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，那么此棱锥的表面积为（ ）A ．64223++B ．842+C ．662+D ．62243++10、已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，点1F ，2F 别离为双曲线的左、右核心，M 为12FF ∆P 的内心，假设12F F 8S S ∆PM ∆PM =+，那么12FF ∆M 的面积为（ ）A ．27B ．10C ．8D ．6 1一、平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6π，且平面β截球O 的球面得圆N ．已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，那么圆N 的半径为（ ）A ．3B ．13C ．4D ．21 1二、已知概念在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（n +∈N ，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，那么a 的取值范围为（ ）A ．[]2,10B ．2,10⎡⎤⎣⎦C ．()2,10D ．()2,10第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部份．第13-21题为必考题，每一个试题考生都必需作答．第22-24题为选考题，学生依照要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13、()()6212x x +-的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答）14、已知直线1y x =-+是函数()1xf x e a=-⋅的切线，那么实数a = ． 15、等差数列{}n a 中，112015a =，1m a n =，1n a m=（m n ≠），那么数列{}n a 的公差为 ．16、如图，在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，3a =，S 为C ∆AB 的面积，圆O 是C ∆AB 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当3cos cosC S +B 取得最大值时，PA⋅PB 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．）17、（本小题总分值12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且知足()11n n S a a =-．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 知足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．1八、（本小题总分值12分）如下图，在长方体CD C D ''''AB -A B 中，D λλ'AB =A =AA （0λ>），E 、F 别离是C ''A 和D A 的中点，且F E ⊥平面CD ''A B ．()1求λ的值；()2求二面角C '-A B -E 的余弦值．1九、（本小题总分值12分）心理学家分析发觉视觉和空间能力与性别有关，某数学爱好小组为了验证那个结论，从爱好小组中按分层抽样的方式抽取50名同窗（男30女20），给所有同窗几何题和代数题各一题，让列位同窗自由选择一道题进行解答．选题情形如右表：（单位：人）几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20总计 30 20 50()1可否据此判定有97.5%的把握以为视觉和空间能力与性别有关？()2通过量次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时刻在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时刻在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．()3现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情形进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的散布列及数学期望EX ． ()2k k P ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++．20、（本小题总分值12分）已知椭圆C 的中心在座标原点，右核心为()F 1,0，A 、B 是椭圆C 的左、右极点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B 2()1求椭圆C 的方程；()2是不是存在必然点()0,0x E （002x <<），使适当过点E 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点时，2211+EAEB为定值？假设存在，求出定点和定值；假设不存在，请说明理由．21、（本小题总分值12分）设函数()ln ab x f x x =，()()12g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，a ，R b ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-．()1求b 的值； ()2假设对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分． 22、（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB 交CD 于F ．()1证明：C C B =E ；()2证明：CF C ∆B ∆EA ．23、（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为122x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的一般方程；()2假设点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．24、（本大题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a =---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-； ()2假设存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．九江市2021年第一次高考模拟统一考试 数 学（理科）参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.解：[1,2]B =，{2}A B ∴=，应选C.2.解：2(2)(1)131222i i i z i i +++===+-，应选B. 3.解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，应选B. 4.解：(4)52k k-+= 7k ∴= 应选B.5.解：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++ 又2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++2+=233k ππϕπ∴+即=23k πϕπ+，k Z ∈ ϕπ< =3πϕ∴ 应选C. 6.解：1i =时，1()2cos(21)f x x =+；2i =时，22()2sin(21)f x x =-+；3i =时，33()2cos(21)f x x =-+；4i =时，44()2sin(21)f x x =+；…；8i =时，88()2sin(21)f x x =+，终止，应选B.7.解：:)2p l yx =- 联立方程组22)2y p y xpx ⎧⎪⎨=-=⎪⎩，得(,)4p N p 3424p p NF p ∴=+=，322p MF p p ∴=+= :1:2NF FM ∴=，应选C. 8.解：依题意，得实数,x y 知足303001x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩其中(3,0)A ，(2,1)C2151[,2]311yx z y y x x+==+∈++，应选A. 9.解：直观图如下图四棱锥P ABCD -12222PAB PAD PDC S S S ∆∆∆===⨯⨯=01sin 602PBC S ∆=⨯=PA BCD2ABCD S ==四边形故此棱锥的表面积为，应选A.10.解：设内切圆的半径为R ，4,3,5a b c ===128PMF PMF S S ∆∆=+ 121)82PF PF R ∴-=( 即8aR = 2R ∴=1212102MF F S c R ∆∴=⋅⋅=，应选B. 11.解：如图，5OA =，3AM = 4OM ∴= 又3NMO π∠=sin3ON OM π∴=⋅=又5OB =NB ∴==，应选B.12.解：如下图，易患1a >依题意得log 44log 102a a <⎧⎨>⎩，a <<，应选D.二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.解：2x 的系数为1512426622(1)2(1)144C C ⨯⨯-+⨯⨯-=-.14.解:设切点为00(,)x y ，那么001()1x f x e a'=-⋅=-，0x e a ∴=，又0011x e x a -⋅=-+，02x ∴= 2a e ∴=15.解：11(1)2015m a m d n =+-=，11(1)2015n a n d m =+-= 11()m n d n m∴-=- 1d mn ∴=111(1)2015m a m mn n ∴=+-= 解得112015mn =，即12015d =. 16.解：222a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴==- 23A π∴=设圆O 的半径为R ，那么22sin a R A === 1R ∴=1cos sin cos 2S B C bc A B C ∴+=+=+sin cos )B C B C B C =+=-当6B C π==时，cos S B C 取得最大值成立如图直角坐标系，那么(0,1)A，1()2B，1)2C ，设(cos ,sin )P θθ，那么1(cos ,sin 1)(cos )2PA PB θθθθ⋅=-+-333sin )2223πθθθ=-+=++ 当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅取最大值32三、解答题:本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤. 17.解:（1）当1n =时，()21111111a S a a a a ==-=-10a ≠ 12a ∴=………2分当2n ≥时，1(1)n n S a a =-………① 111(1)n n S a a --=-………② ①-②得()11122n n n n n a a a a a a --=-=- 12n n a a -∴=………4分∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 2n n a ∴=………6分(2)2n n nb =………7分 1231123122222n n n n n T --∴=+++++ 234111*********n n n n nT +-=+++++两式相减得23411111(1)1111112221122222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++++-=-=--…11分 222n n n T +∴=-………12分18.解：以D 为原点，DA 、DC 、DD '为,,x y z 轴的正方向成立空间直角坐标系. 设2AA AD '==，那么=2AB λ则(0,0,0)D ，(2,02)A ',，(002)D ',,，(2,2,0)B λ，(0,20)C λ,，(1,,2)E λ，(100)F ,, ……2分(1)由已知可得(0,,2)EF λ=--，(2,0,0)D A ''=，(0,22)A B λ'=-,………3分EF D A ''⊥,EF A B '⊥ 0EF D A ''∴⋅=，0EF A B '⋅=即2240λ-+= λ∴5分(2)设平面EA B '的法向量为(1,,)m y z =，那么0m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩(0,2)A B '=-(A E '=-2010z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩y ∴=1z = 2(1,m ∴=………7分 由（1）可得EF 为平面A BC '的法向量，且(0,2)EF =-………9分2cos ,1m EF m EF mEF⋅∴<>====⋅………11分又二面角C A B E -'-为锐二面角 ∴二面角C A B E -'-12分 19.解:(1)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯………2分因此依照统计有97.5%的把握以为视觉和空间能力与性别有关………3分 (2)设甲、乙解答一道几何题的时刻别离为x y 、分钟，那么大体事件知足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如下图) ………4分设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 那么知足的区域为x y >………5分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18………7分 (3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方式有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种………8分X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的散布列为：yx11O………11分1512110+1+22828282EX ∴=⨯⨯⨯=………12分设过点6(E 的直线方程为6x ty =+，代入C 中得: 22264(2)03t y ++-=，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则1226263tt y y +==12243(2)y y t =-+………9分 21212222222222222121212()211111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅+=⋅++++ 22222268[]13(2)3(2)341[]t t t t-+++==+-综上得定点为6(E ，定值为3………12分 21.解：(1)由ln ()ab x f x x=，得2(1ln )()ab x f x x -'=………1分 X 02P 1528 1228 128由题意得(1)f ab ae '==………2分 0a ≠ b e ∴=………3分(2)令21()(()())()ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++， 那么任意1[,)x e∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1[,)e+∞有且只有两个零点.由21()()ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=………5分 ①当1a e≤时，由()>0h x '得x e >；由()0h x '<得1x e e <<.现在()h x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增.2211()()ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222h e e a e e ae e e e a e e e e=-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0h x >亦可）∴要使得()h x 在1[,)e+∞上有且只有两个零点，那么只需2111()ln 2a e h ae e e e e+=-+222(12)2(1)02e e e ae --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤ ………7分②当1a e e<<时，由()>0h x '得1x a e <<或x e >；由()0h x '<得a x e <<.现在()h x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e和()e +∞，上单调递增.现在222111()ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<∴现在()h x 在1[,)e+∞最多只有一个零点，不合题意………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e<<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，现在()h x 在1(,)e e 和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02h e e =-<，∴()h x 在1[,)e+∞最多只有一个零点，不合题意………11分综上所述，a 的取值范围为2212(,]2(1+)e e e --∞.........12分 22.证明：(1)CD 为圆O 的切线，C 为切点， AB 为圆O 的直径 OC CD ∴⊥ (1)分又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分 又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠FBC CE ∴=………5分(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分 又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分23.解:(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分∴直线的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=(cos cossin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=………3分2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的一般方程为2y x =………5分 (2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线的距离d ………8分∴当012x =时，min d =∴现在11()24P ， ∴当P 点为11(,)24时，P 10分 24.解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，因此不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴假设存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，那么3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分。

江西省五市九校2021届高三上学期第一次联考试题（理）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若B ∪A ＝R ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(3，＋∞) B.『3，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1』2.已知复数z 满足1+2i=1-i z(i 为虚数单位)，则z (z 为z 的共轭复数)在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.“(a －2)3>(b －2)3”是“lg a >lg b ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A.27 B.514 C.37 D.10215.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图像如图所示，为了得到y ＝sin ωx 的图像，只需把y ＝f (x )的图像上所有点（ ） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位6.若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则z ＝x ＋4y 的最小值为（ ）A.26B.4C.265D.－26 7.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程y ＝0.25x ＋k.则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（ ） A.33℃ B.34℃ C.35℃ D.35.5℃8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是C 的右支上一点，连接PF 1与y 轴交于点M ，若|F 1O |＝2|OM |(O 为坐标原点)，PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率为（ ）B.2D.39.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有()()2112120-<-x f x f x x ，记(3)3f a =，b ＝f (1)，(2)2f c -=，则（ ） A.b <c <a B.a <b <c C.c <b <a D.a <c <b10.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A.32ππ C.41π11.设A (－2，0)，B (2，0)，O 为坐标原点，点P 满足|P A |2＋|PB |2≤16，若直线kx －y ＋6＝上存在点Q 使得∠PQO ＝6π，则实数k 的取值范围为（ ）A.『－，』B.(－∞，－』∪『，＋∞)C.(－∞∞)D. 12.已知函数f (x )＝ax －E x 与函数g (x )＝x ln x ＋1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A.(E －1，＋∞) B.(e 12-，＋∞) C.『e 12-，＋∞) D.(－∞，E －1) 第II 卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在ABCD 中，AD 与DC 的夹角为23π，|AD |＝1，|DC |＝2，=DE EC ，则⋅AE DB ＝ .14.若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则33b a b+的最小值为 . 15.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则012351525354C a C a C a C a +++＋556C a = .16.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，M 分别为棱AB ，A 1D 1，D 1C 1的中点，过点M 与平面CEF 平行的平面与AB 交于点N ，则四面体NCEF 的体积为 . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B －C )＝c sin(B ＋C ).(1)求角C 的大小；(2)若2a＋b＝8，且△ABC的面积为ABC的周长.18.(12分)如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，∠BAD＝60°，平面ADEF∩平面BCEF＝直线EF，FO⊥平面ABCD，BC＝CE＝DE＝2EF＝2.(1)求证：EF//DA；(2)求二面角A－EF－B的余弦值.19.(12分)学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶子进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34.假设甲同学每次射击结果相互独立. (1)求甲同学恰好命中一次的概率；(2)求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望.20.(12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点E (1)，A 1，A 2为椭圆的左右顶点，且直线A 1E ，A 2E 的斜率的乘积为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线x ＝－2于点Q ，求PQMN的最小值.21.(12分)已知函数f (x )＝2114ln 22-+++x ax a x a ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)记函数f (x )的导函数是f '(x )，若不等式f (x )<xf '(x )对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2a，g'(x)是函数g(x)的导函数，若函数g(x)存在两个极值点x1，x2，且g(x1)＋g(x2)≥g'(x1x2)，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.『选修4－4：坐标系与参数方程』(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1：22194x y+=，曲线C2：33cos3sinxyϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)射线l的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，若l分别与C1，C2交于异于极点的A，B两点，求OB OA的最大值.23.『选修4－5：不等式选讲』(10分) 已知函数f(x)＝|x＋m|－2|x－1|.(1)若m ＝2，求不等式f (x )＋3<0的解集；(2)若f (x )的图像与直线y ＝1有且仅有1个公共点，求m 的值.——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题1-5 B C B D A 6-10 B A C D C 11-12 C A 二、填空题13、12 14、515、454 16、124三、解答题 17、（1）sin()sin()a A B C c B C +-=+sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=sin sin 0A C ≠，1cos ,02C C π∴=<<3C π∴=…………6分（2）由题意可得，12= 8ab ∴=，28a b += 联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+ …………12分18、（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF所以//EF AD ； …………5分（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA,OB,OF 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 取CD 中点M ，连EM,OM ，则60BAD ︒∠=,21BC OA OC OB OD =∴====2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =11//,=,//,=,//,=//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC EF OM EF OM OF EM OF EM∴∴从而1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E --设平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =所以(3,1,0)000311(0022m y m DA m DE m x y ⎧⎧⋅=+=⎧⋅=⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨⋅=⋅-=++=⎪⎪⎪⎩⎩⎩令11,(1,x y z m =∴===- 设平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =所以(3,1,0)00311(,,002222n yn BCn EC n x y⎧⎧⋅--=-=⎧⋅=⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩令11,(1,3,1)x y z n=∴==-=--3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==因此二面角A EF B--的余弦值为35…………12分19、（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F.由题意可知()23P D=，()()34P E P F==.由于C DEF DEF DEF=++，()()16P C P DEF DEF DEF=++=. …………4分（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6.()111134448P X==⨯⨯=()2111134424P X==⨯⨯=()12113123448P X C==⨯⨯⨯=()12231334144P X C==⨯⨯⨯=()1333534416P X==⨯⨯=()23336P X==⨯⨯=()20348E X=. …………12分20、（1）依题意有，221112a b +=，122112a a ⋅=-+-，解得22a =，21b =，椭圆的方程为2212x y +=；…………4分（2）由题意知直线l 的斜率不为0， 设其方程为1x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()22221221021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，得到12222my y m -+=+，12212y y m -=+由弦长公式MN =整理得2212m MN m +=+， 又12222P y y m y m +-==+，222P x m =+，2P PQ x =-=，2PQMN =，令t =，1t ≥，上式2242242t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭，当22t =，即1m =±时，PQ MN取得最小值2. …………12分21、（1）当1a =时，213()4ln 22f x x x x =-++，其中0x >，故13(1)4222f =-+=-，1()4f x x x '=-+，故(1)1412f '=-+=-. 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=. …………3分（2）由211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，可得()4a f x x a x '=-+.由题知，不等式2114ln 422a x ax a x a x x a x ⎛⎫-+++<-+ ⎪⎝⎭对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，即22ln 10x a x -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln 1t x x a x =--，1x >.故22()22a x a t x x x x -'=-=⋅. ①若1a ≤，则()0t x '>，()t x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t x t >=，故1a ≤符合题意. ②若1a >，令()0t x '=，得x =.当(x ∈时，()0t x '<，()t x在(上单调递减，故(1)0t t <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.综上所述，实数a 的取值范围1a ≤. …………7分 （3）据题意211()()24ln 322g x f x a x ax a x a =+=-+++，其中0x >. 则24()4a x ax a g x x a x x -+'=-+=.因为函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 是方程240x ax a -+=的两个不等的正根，故220,(4)40,0,a a a a >⎧⎪∆=-->⎨⎪>⎩得14a >，且12124,.x x a x x a +=⎧⎨=⎩所以()()221211122211114ln 34ln 32222g x g x x ax a x a x ax a x a +=-++++-+++ ()()()2212121214ln ln 612x x a x x a x x a =+-+++++()()()212121212124ln 612x x x x a x x a x x a =+--++++ ()21(4)244ln 612a a a a a a a =--⨯+++28ln 51a a a a =-+++； ()1212124431a a g x x x x a a a a x x a '=-+=-+=-+，据()()()1212g x g x g x x '+≥可得，28ln 5131a a a a a -+++≥-+， 即288ln 0a a a a --≤， 又14a >，故不等式可简化为88ln 0a a --≤，令()88ln a a a ϕ=--，14a >，则1()840a a ϕ'=->>， 所以()a ϕ在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又(1)0ϕ=， 所以不等式88ln 0a a --≤的解为114a <≤.所以实数a 的取值范围是114a <≤. …………12分22、（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==, 所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=. 所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C 的极坐标方程是6cos ρθ=. …………5分（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=, 所以22OBOA =224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OBOA的最大值为. …………10分 23、（1）22130x x +--+<，当2x <-时，22230x x --+-+<，解得1x <，故2x <-；当21x -时，22230x x ++-+<，解得1x <-，故21x -<-；当1x >时，22230x x +-++<，解得7x >．综上所述，不等式的解集为{|1x x <-或7}x >； …………5分（2）令()()1211g x f x x m x =-=+---，问题转化为函数()g x 有1个零点．若1m >-，则3,()33,11,1x m x m g x x m m x x m x --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，此时()g x 的最大值为g （1）m =，此时0m =满足题设；若1m <-，则3,1()31,11,x m x g x x m x m x m x m --<⎧⎪=--+-⎨⎪-++>-⎩，此时()g x 的最大值为g （1）2m =--，令20m --=，得2m =-，满足题设； 若1m =-，则()110g x x =---<，故1m =-不合题意，舍去．综上所述，2m =-或0m =．…………10分。

2021年江西省九江市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．假设复数z满足z〔i﹣1〕=〔i+1〕2〔i为虚数单位〕，那么复数z的虚部为〔〕A．1B．﹣1C．iD．﹣i2．设全集U=R，A={x|＞0}，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，那么m的值为〔〕A．﹣1B．0C．1D．23．命题：p∀x∈〔0，〕，sinx+cosx＞1恒成立，命题q：∃x∈〔0，〕，使2x＞3x，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．命题“p∧q〞是真命题B．命题“p∧〔￢q〕〞是真命题C．命题“〔￢p〕∧q〞为真命题D．命题“〔￢p〕∧〔￢q〕〞是真命题4．等比数列{a n}中，S n表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，那么公比q为〔〕A．±2B．±3C．2D．35．执行如下图的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，那么输出的S属于〔〕A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]6．将函数y=sin〔2x+φ〕的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，那么|φ|的最小值为〔〕A．B．C．D．7．在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B、C分别是边P1P2、P2P3的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P﹣ABC，使P1、P2、P3重合于点P，那么三棱锥P﹣ABC的外接球的外表积为〔〕A．4πB．6πC．12πD．24π8．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，那么实数k的值为〔〕A．1B．2C．3D．49．多项式〔x2﹣x+2〕5展开式中x3的系数为〔〕A．﹣200B．﹣160C．﹣120D．﹣4010．从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，那么这两条棱互相垂直的概率为〔〕A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，那么该几何体的各个面中最大面的面积为〔〕A．1B．C．D．212．函数f〔x〕和g〔x〕是两个定义在区间M上的函数，假设对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f〔x〕≥f〔x0〕，g〔x〕≥g〔x0〕，且f〔x0〕=g〔x0〕，那么称f〔x〕与g〔x〕在区间M上是“相似函数〞．假设f〔x〕=ax2+2〔a﹣1〕x﹣2lnx+b〔a，b∈R〕与g〔x〕=x+在区间[，2]上是“相似函数〞，那么a，b的值分别是〔〕A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=﹣1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=1二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．设向量，是夹角为的单位向量，假设=+2，=﹣，那么|+|=．14．函数f〔x〕=是定义在〔﹣1，1〕上的奇函数，那么f〔〕=．15．各项都为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=．数列{b n}满足b n=，那么数列{b n}的前n项和T n=．16．圆C的方程为〔x﹣1〕2+y2=1，P 是椭圆+=1上一点，过点P作图C的两条切线，切点为A，B ，那么•的最小值是．三、解答题〔本大题共5小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，〔2c﹣a〕cosB=bcosA，且b=6．〔1〕求角B的大小；〔2〕设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．18．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否那么为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班20乙班40合计100〔1〕请完成上面的2×2列联表；〔2〕根据列联表的数据，假设按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系〞？〔3〕在“优秀〞的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．参考公式与临界值表：K2=0.100 0.050 0.025 0.010 0.001P〔K2≥k〕k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．〔Ⅰ〕求证：平面EAC⊥平面PBC；〔Ⅱ〕假设二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；〔Ⅱ〕设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．21．函数f〔x〕=．〔1〕求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕假设任意x∈〔0，1〕，f〔x〕∈〔a，b〕恒成立，求b﹣a的最小值．选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．〔Ⅰ〕求证：C是劣弧的中点；〔Ⅱ〕求证：BF=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：〔t为参数〕经过椭圆C：〔θ为参数〕的右焦点F．〔1〕求m，n的值；〔2〕设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f〔x〕=|2x﹣1|+|ax﹣1|〔a＞0〕〔1〕当a=2时，解不等式4f〔x〕≥f〔0〕〔2〕假设对任意x∈R，不等式4f〔x〕≥f〔0〕恒成立，求实数a的取值范围．2021年江西省九江市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．假设复数z满足z〔i﹣1〕=〔i+1〕2〔i为虚数单位〕，那么复数z的虚部为〔〕A．1B．﹣1C．iD．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的根本概念，两个复数代数形式的乘除法法即可求出．【解答】解：∵z〔i﹣1〕=〔i+1〕2〔i为虚数单位〕，∴z===1﹣i，应选：B．2．设全集U=R，A={x|＞0}，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，那么m的值为〔〕A．﹣1B．0C．1D．2【考点】补集及其运算．【分析】根据A的补集及全集U=R，确定出A，进而求出m的值．【解答】解：∵全集U=R，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，∴A={x|x＜﹣1或x＞1}，由A中不等式变形得：〔x﹣1〕〔x+m〕＞0，解得：x＜﹣m或x＞1，那么m=1，应选：C．3．命题：p∀x∈〔0，〕，sinx+cosx＞1恒成立，命题q：∃x∈〔0，〕，使2x＞3x，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．命题“p∧q〞是真命题B．命题“p∧〔￢q〕〞是真命题C．命题“〔￢p〕∧q〞为真命题D．命题“〔￢p〕∧〔￢q〕〞是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．【解答】解：命题：p：∀x∈〔0，〕，sinx+cosx=sin〔x+〕∈〔1，]；p真，命题q：：x∈〔0，〕，∵＞1，∴3x＞2x，故q是假命题，故p∧q假，A错误，p∧〔￢q〕真，B正确，〔￢p〕∧q假，C错误，〔￢p〕∧〔￢q〕假，D错误；应选：B．4．等比数列{a n}中，S n表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，那么公比q为〔〕A．±2B．±3C．2D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4﹣a3=2a3，即可得出．【解答】解：由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4﹣a3=2a3，可得q==3，应选：D．5．执行如下图的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，那么输出的S属于〔〕A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：假设0≤t≤2，那么不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，假设﹣2≤t＜0，那么满足条件，此时t=2t2+1∈〔1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈〔﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，应选：D6．将函数y=sin〔2x+φ〕的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，那么|φ|的最小值为〔〕A．B．C．D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】由函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律可得函数解析式为：y=sin〔2x++φ〕，其周期T=，由题意可得〔﹣，0〕，〔，0〕两点在函数图象上，可得：sin〔﹣+φ〕=0，sin〔+φ〕=0，从而解得φ=kπ+，φ=kπ﹣，〔k∈Z〕，即可得解|φ|的最小值．【解答】解：将函数y=sin〔2x+φ〕的图象向左平移个单位后，可得函数解析式为：y=sin 〔2x++φ〕，其周期T=，∵其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，∴〔﹣，0〕，〔，0〕两点在函数图象上，可得：sin[〔2×〔﹣〕++φ]=sin〔﹣+φ〕=0，sin〔2×++φ〕=sin〔+φ〕=0，∴解得：φ=kπ+，φ=kπ﹣，〔k∈Z〕，∴|φ|的最小值为：．应选：B．7．在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B、C分别是边P1P2、P2P3的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P﹣ABC，使P1、P2、P3重合于点P，那么三棱锥P﹣ABC的外接球的外表积为〔〕A．4πB．6πC．12πD．24π【考点】球的体积和外表积．【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半径R=，结合球的外表积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的外表积．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP=2，BP=CP=1∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R==可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=根据球的外表积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的外表积为S=4πR2=4π×〔〕2=6π应选：B．8．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，那么实数k的值为〔〕A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A〔1，2〕，B〔1，﹣1〕，C〔3，0〕，∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①假设在A上取得，那么k﹣2=0，那么k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②假设在B上取得，那么k+1=0，那么k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，应选B．9．多项式〔x2﹣x+2〕5展开式中x3的系数为〔〕A．﹣200B．﹣160C．﹣120D．﹣40【考点】二项式系数的性质．【分析】〔x2﹣x+2〕5=〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕，分类讨论：①三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取﹣x，得x3的系数为．②两个括号取2，三个括号取﹣x，得x3的系数为．即可得出．【解答】解：〔x2﹣x+2〕5=〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕•〔x2﹣x+2〕，①三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取﹣x，得x3的系数为=﹣160．②两个括号取2，三个括号取﹣x，得x3的系数为=﹣40．∴展开式中x3的系数为﹣200，应选：A．10．从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，那么这两条棱互相垂直的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】先求出根本领件总数，再求出这两条棱互相垂直包含的根本领件个数，由此能求出这两条棱互相垂直的概率．【解答】解：∵从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，根本领件总数n=，这两条棱互相垂直包含的根本领件个数m=3×6+2+2=22，∴这两条棱互相垂直的概率p==．应选：C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，那么该几何体的各个面中最大面的面积为〔〕A．1B．C．D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论．【解答】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，应选：D．12．函数f〔x〕和g〔x〕是两个定义在区间M上的函数，假设对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f〔x〕≥f〔x0〕，g〔x〕≥g〔x0〕，且f〔x0〕=g〔x0〕，那么称f〔x〕与g〔x〕在区间M上是“相似函数〞．假设f〔x〕=ax2+2〔a﹣1〕x﹣2lnx+b〔a，b∈R〕与g〔x〕=x+在区间[，2]上是“相似函数〞，那么a，b的值分别是〔〕A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=﹣1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=1【考点】函数的值域．【分析】由根本不等式求得g〔x〕的最小值及取最小值时x0的值，再利用导数求得使f〔x〕取得最值时的a值，然后再代入f〔x0〕=2求得b值．【解答】解：∵当x∈[，2]时，g〔x〕=x+≥2，当且仅当x=1时取等号，∴x0=1，g〔x0〕=2；∵f′〔x〕=2ax+2〔a﹣1〕=，x∈[，2]，①当a≤0时，f′〔x〕＜0，故函数f〔x〕在[，2]上单调递减，不合题意；②当a＞0时，由f′〔x〕＜0，得0，f′〔x〕＜0，得x，故函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，在〔，+∞〕上单调递增，依题意得，即a=1．，解得：b=1．应选：A．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．设向量，是夹角为的单位向量，假设=+2，=﹣，那么|+|=\sqrt{3}．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算，求出+，再利用数量积求模长．【解答】解：向量，是夹角为的单位向量，且=+2，=﹣，∴+=2+；∴=+4•+=4×12+4×1×1×cos+12=3，∴|+|=．故答案为：．14．函数f〔x〕=是定义在〔﹣1，1〕上的奇函数，那么f〔〕=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=是定义在〔﹣1，1〕上的奇函数，∴f〔0〕=0，即=0，那么f 〔x 〕=，∵f 〔﹣x 〕=﹣f 〔x 〕， ∴=﹣，整理得﹣bx=bx 恒成立，那么b=0， 那么f 〔x 〕=，那么f 〔〕=，故答案为：﹣215．各项都为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =．数列{b n }满足b n =，那么数列{b n }的前n 项和T n = \frac{n}{2n+1} ．【考点】数列的求和．【分析】由条件可得a 1=1，再将n 换为n ﹣1，两式相减可得a n ﹣a n ﹣1=1，再由等差数列的通项公式可得a n =n ，那么b n ====〔﹣〕，再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和． 【解答】解：S n =，当n ＞1时，S n ﹣1=，两式相减可得，2a n =〔a n ﹣a n ﹣1〕〔a n +a n ﹣1〕+a n ﹣a n ﹣1， 即为a n +a n ﹣1=〔a n ﹣a n ﹣1〕〔a n +a n ﹣1〕， 由a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1=1， 当n=1时，a 1=S 1=，解得a 1=1，那么a n =1+n ﹣1=n ， b n ====〔﹣〕，那么b n的前n项的和T n=〔1﹣+﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕=．故答案为：．16．圆C的方程为〔x﹣1〕2+y2=1，P是椭圆+=1上一点，过点P作图C的两条切线，切点为A，B，那么•的最小值是2\sqrt{2}﹣3．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设∠APB=2θ，令||2=x，由向量数量积公式得到=x+﹣3，由此能求出的最小值．【解答】解：如下图，设∠APB=2θ，=||•||cos2θ=||2〔2cos2θ﹣1〕=||2〔2﹣1〕，令||2=x，得=x+﹣3，∵x∈〔1，9]，∴≥2﹣3，当且仅当x=时，取等号，故的最小值是2﹣3．三、解答题〔本大题共5小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，〔2c﹣a〕cosB=bcosA，且b=6．〔1〕求角B的大小；〔2〕设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】〔1〕由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，可得B=；〔2〕由余弦定理和根本不等式可得ac≤36，由重心的性质和不等式的性质可得．【解答】解：〔1〕∵在△ABC中〔2c﹣a〕cosB=bcosA，∴由正弦定理可得〔2sinC﹣sinA〕cosB=sinBcosA，∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin〔A+B〕，∴2sinCcosB=sinC，约去sinC可得cosB=，∴B=；〔2〕由余弦定理可得36=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤36，当且仅当a=c=6时取等号，如图D为△ABC重心，∴四边形BEDF面积S=S△ABC =acsinB=ac≤3，∴四边形BEDF面积的最大值为3，18．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否那么为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班20 3050乙班1040 50合计3070100〔1〕请完成上面的2×2列联表；〔2〕根据列联表的数据，假设按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系〞？〔3〕在“优秀〞的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．参考公式与临界值表：K2=0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 P〔K2≥k〕k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【考点】独立性检验的应用．【分析】〔1〕设乙班优秀的人数为x人，根据甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出乙班与甲班的总人数，填写表格即可；〔2〕把a，b，c，d的值代入K2=，计算得到结果，即可作出判断；〔3〕求出分层抽样中甲乙两班的优秀人数，确定出ξ的值，进而确定出ξ的分布列，即可求出数学期望Eξ．【解答】解：〔1〕设乙班优秀的人数为x人，根据题意得：=，解得：x=10，∴乙班总人数为10+40=50〔人〕，甲班总人数为100﹣50=50〔人〕，填表如下：优秀非优秀合计甲班20 30 50乙班10 40 50合计30 70 100故答案为：30；50；10；50；30；70；〔2〕K2==≈4.762，∵4.762＜5.024，∴没有到达可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系〞；〔3〕在抽取的6人中，甲班为×6=4〔人〕，乙班为×6=2〔人〕，∴ξ=1，2，3，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕==，即ξ的分布列为：ξ 1 2 3P那么数学期望Eξ=1×+2×+3×=2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．〔Ⅰ〕求证：平面EAC⊥平面PBC；〔Ⅱ〕假设二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；〔Ⅱ〕根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=〔1，﹣1，0〕，面EAC的法向量=〔a，﹣a，﹣2〕，利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=〔2，﹣2，﹣2〕，=〔1，1，﹣2〕，即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…〔Ⅱ〕如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，那么C〔0，0，0〕，A〔1，1，0〕，B〔1，﹣1，0〕．设P〔0，0，a〕〔a＞0〕，那么E〔，﹣，〕，…=〔1，1，0〕，=〔0，0，a〕，=〔，﹣，〕，取=〔1，﹣1，0〕，那么•=•=0，为面PAC的法向量．设=〔x，y，z〕为面EAC的法向量，那么•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，那么=〔a，﹣a，﹣2〕，依题意，|cos＜，＞|===，那么a=2．…于是=〔2，﹣2，﹣2〕，=〔1，1，﹣2〕．设直线PA与平面EAC所成角为θ，那么sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；〔Ⅱ〕设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕由得，由此能求出椭圆C的标准方程．〔Ⅱ〕设直线l的方程为：y=kx+m，联立，得：〔1+4k2〕x2+8kmx+4〔m2﹣1〕=0，由此根的判别式、韦达定理、等比数列、弦长公式，结合条件能求出△OMN面积的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由得，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为．〔Ⅱ〕由题意可设直线l的方程为：y=kx+m〔k≠0，m≠0〕，联立，消去y并整理，得：〔1+4k2〕x2+8kmx+4〔m2﹣1〕=0，那么△=64k2m2﹣16〔1+4k2〕〔m2﹣1〕=16〔4k2﹣m2+1〕＞0，此时设M〔x1，y1〕、N〔x2，y2〕，那么，x1x2=，于是y1y2=〔kx1+m〕〔kx2+m〕=k2x1x2+km〔x1+x2〕+m2，又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，∴•==k2，∴﹣，由m≠0得：k2=，解得k=±，又由△＞0 得：0＜m2＜2，显然m2≠1〔否那么：x1x2=0，那么x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾〕设原点O到直线l的距离为d，那么S△OMN=|MN|d=ו|x1﹣x2|=|m|=，故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为〔0，1〕．21．函数f〔x〕=．〔1〕求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕假设任意x∈〔0，1〕，f〔x〕∈〔a，b〕恒成立，求b﹣a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔1〕求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；〔2〕根据函数的单调性，求出f〔x〕的范围，问题转化为e2x﹣ax﹣1＞0在x∈〔0，1〕恒成立，令h〔x〕=e2x﹣ax﹣1，根据函数的单调性求出其范围即可．【解答】解：〔1〕∵f′〔x〕=，〔x≠0〕，令g〔x〕=〔2x﹣1〕e2x+1，〔x≠0〕，那么g′〔x〕=4xe2x，当x∈〔0，+∞〕时，g′〔x〕＞0，g〔x〕在〔0，+∞〕递增，∴g〔x〕＞g〔0〕=0，∴f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔0，+∞〕递增，当x∈〔﹣∞，0〕时，g′〔x〕＜0，g〔x〕在〔﹣∞，0〕递减，∴g〔x〕＞g〔0〕=0，∴f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔﹣∞，0〕递增，综上，函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕，〔0，+∞〕递增；〔2〕由〔1〕得；f〔x〕在〔0，1〕递增，∴f〔x〕＜f〔1〕=e2﹣1，∴任意x∈〔0，1〕，f〔x〕＜b恒成立，那么b≥e2﹣1，要使任意x∈〔0，1〕，f〔x〕＞a恒成立，只需e2x﹣ax﹣1＞0在x∈〔0，1〕恒成立，令h〔x〕=e2x﹣ax﹣1，那么h′〔x〕=2e2x﹣a，x∈〔0，1〕，①a≤2时，h′〔x〕＞0，h〔x〕在〔0，1〕递增，∴h〔x〕＞h〔0〕=0，符合题意，②a≥2e2时，h′〔x〕＜0，h〔x〕在〔0，1〕递减，∴h〔x〕＜h〔0〕=0，不符合题意，③2＜a＜2e2时，h′〔x〕＜0，解得：0＜x＜ln，h′〔x〕＞0，解得：ln＜x＜1，∴h〔x〕在〔0，ln〕递减，故任意x∈〔0，ln〕，∴h〔x〕＜h〔0〕=0，不符合题意，综上，a≤2，∴b﹣a≥e2﹣3，故b﹣a的最小值是e2﹣3．选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．〔Ⅰ〕求证：C是劣弧的中点；〔Ⅱ〕求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．〔I〕要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，【分析】根据中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．〔II〕由及〔I〕的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：〔I〕∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点〔II〕∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：〔t为参数〕经过椭圆C：〔θ为参数〕的右焦点F．〔1〕求m，n的值；〔2〕设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点〔m，n〕，可求m，n的值；〔2〕将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：〔1〕椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=4，b=2，c=2，那么点F的坐标为〔2，0〕．∵直线l经过点〔m，n〕，∴m=4，n=0．〔2〕将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：〔12cos2α+16sin2α〕t2+12tcosα﹣36=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，那么|FA|•|FB|=|t1t2|==，当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值3；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值，所以|FA|•|FB|的取值范围是[，3]．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f〔x〕=|2x﹣1|+|ax﹣1|〔a＞0〕〔1〕当a=2时，解不等式4f〔x〕≥f〔0〕〔2〕假设对任意x∈R，不等式4f〔x〕≥f〔0〕恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕把要解的不等式等价转化为与之等价的一个不等式，求出此不等式的解集，即得所求．〔2〕分类讨论求得f〔x〕的最小值，那么由4乘以此最小值大于或等于f〔0〕，求得a的范围．【解答】解：〔1〕当a=2时，f〔x〕=|2x﹣1|+|2x﹣1|=2|2x﹣1|，不等式4f〔x〕≥f〔0〕，即8|2x ﹣1|≥2，即|2x﹣1|≥，∴2x﹣1≥，或2x﹣1≤﹣，求得x≥或x≤，故原不等式的解集为{x|x≥或x≤}．〔2〕∵当＞时，即0＜a＜2 时，f〔x〕=|2x﹣1|+|ax﹣1|=，假设对任意x∈R，不等式4f〔x〕≥f〔0〕=2恒成立，故f〔x〕的最小值为f〔〕=，由4•≥2，求得a≤1，综合可得，0＜a≤1．当当＜时，即a＞2 时，f〔x〕=|2x﹣1|+|ax﹣1|=，故f〔x〕的最小值为f〔〕=，由4•≥2，求得a≥4，综合可得，a≥4．综上可得，要求的实数a的取值范围为{a|0＜a≤1，或a≥4}．2021年7月15日。

2020-2021学年江西省九江市十校高三（上）第一次联考数学（文科）试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B={x∈Z|x2﹣9≤0}，则A∩B=（）A．{0，1} B．（0，1）C．[﹣3，﹣1）∪（2，3] D．{﹣3，﹣2，3}2．（5分）“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）4cos15°cos75°﹣sin15°sin75°=（）A．0 B．C．D．4．（5分）若函数f（x）=，则f（e）=（）A．0 B．1 C．2 D．e+15．（5分）已知||=2，（2﹣）⊥，则在方向上的投影为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．46．（5分）已知等比数列{an }的首项为a1，公比为q，满足a1（q﹣1）＜0且q＞0，则（）A．{an }的各项均为正数B．{an}的各项均为负数C．{an }为递增数列 D．{an}为递减数列7．（5分）已知各项不为0的等差数列{an }满足a4﹣2a+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b3b7b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．88．（5分）已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＜ab＜ab2B．ab＜a＜ab2C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab9．（5分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，] B．[，] C．[﹣，] D．[，]10．（5分）设a=log，b=log32，c=2，d=3，则这四个数的大小关系是（）A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜d＜b C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c11．（5分）函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+1存在唯一的零点x0，且x＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（，+∞）D．（，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上. 13．（5分）若向量=（1，1）与=（λ，﹣2）的夹角为钝角，则λ的取值范围是．14．（5分）函数f（x）=的定义域为．15．（5分）已知直线（k+1）x+ky﹣1=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk ，则S1+S2+…+Sk= ．16．（5分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且A=30°，a=1，D为BC的中点，则AD的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知=（2，﹣1），=（0，1），=（1，﹣2）．（1）若=m+n，求实数m、n的值；（2）若（+）∥（+），求||的最小值．18．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且1，an，Sn是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =log2an，设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．19．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，C=，且2sin2A﹣1=sin2B．（1）求tanB的值；（2）若b=1，求△ABC的面积．20．（12分）某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g．且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg．（1）求该作坊可获得的最大利润；（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．21．（12分）已知f（x）=lnx﹣ax（ax+1），a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在（0，1]内至少有1个零点，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（10分）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2a|．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤3；（2）若不等式f（x）≥3a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．23．已知a＞0，b＞0，且a+2b=+（1）证明a+2b≥4；（2）若（a﹣1）（b﹣1）＞0，求+的最小值．2020-2021学年江西省九江市十校高三（上）第一次联考数学（文科）试题参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B={x∈Z|x2﹣9≤0}，则A∩B=（）A．{0，1} B．（0，1）C．[﹣3，﹣1）∪（2，3] D．{﹣3，﹣2，3}【分析】解不等式求出集合A、B，再求A∩B．【解答】解：依题意A={x|x＜﹣1或x＞2}，B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={﹣3，﹣2，3}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．（5分）“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了乘法不要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（5分）4cos15°cos75°﹣sin15°sin75°=（）A．0 B．C．D．【分析】利用二倍角公式和和差公式化简即可．【解答】解：4cos15°cos75°﹣sin15°sin75°=3cos15°cos75°+cos15°cos75°﹣sin15°sin75°=3cos15°cos75°+cos90°=3cos15°cos75°=3sin15°cos15°=sin30°=故选：C．【点评】本题主要考察了二倍角公式和和差公式的应用，属于基本知识的考查．4．（5分）若函数f（x）=，则f（e）=（）A．0 B．1 C．2 D．e+1【分析】根据函数f（x）的解析式，求出f（e）=f（0），求出函数值即可．【解答】解：∵e＞1，f（x）=，∴f（e）=f（lne）=f（1）=f（ln1）=f（0）=e0+1=2，故选：C．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，是一道基础题．5．（5分）已知||=2，（2﹣）⊥，则在方向上的投影为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】根据向量的垂直的条件和向量的投影的定义即可求出【解答】解：由（2﹣）⊥，则（2﹣）•=0，即2﹣=0，又||=2，∴=8，∴在方向上的投影为==4故选D．【点评】本题考查向量投影的定义，涉及数量积的运算，属基础题．6．（5分）已知等比数列{an }的首项为a1，公比为q，满足a1（q﹣1）＜0且q＞0，则（）A．{an }的各项均为正数B．{an}的各项均为负数C．{an }为递增数列 D．{an}为递减数列【分析】由等比数列{an }的通项公式知an+1﹣an=an+1﹣an=，从而推导出an+1﹣an＜0，由此得到数列{an}为递减数列．【解答】解：由等比数列{an }的通项公式an=，知an+1﹣an=，由a1（q﹣1）＜0且q＞0知，，即an+1﹣an＜0，所以数列{an}为递减数列．故选：D．【点评】本题考查数列的单调性及各项符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．（5分）已知各项不为0的等差数列{an }满足a4﹣2a+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b3b7b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列通项公式求出a7=2，由此得到b7=a7=2，再利用等比数列通项公式的性质能求出结果．【解答】解：等差数列{an}中，∵a4+3a8=（a4+a8）+2a8=2a6+2a8=4a7，a 4﹣2a+3a8=0，∴=0，且a7≠0，∴a7=2，又b7=a7=2，故等比数列{bn}中，．故选：D．【点评】本题考查等比数列中三项乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．8．（5分）已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＜ab＜ab2B．ab＜a＜ab2C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab【分析】根据a，b的范围以及不等式的性质，判断即可．【解答】解：由a＞0，b＜0知，ab＜0，ab2＞0，又由﹣1＜b＜0知0＜b2＜1，所以ab2＜a，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，是一道基础题．9．（5分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，] B．[，] C．[﹣，] D．[，]【分析】由题意，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）的函数解析式，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∴由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴知g（x）在[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z上是增函数，即：k=0时，知g（x）在[﹣，]上是增函数．故选：C．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．10．（5分）设a=log，b=log2，c=2，d=3，则这四个数的大小关系是（）3A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜d＜b C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log＜=0，0=log31＜b=log32＜log33=1，，，又由，，知d＞c，∴a＜b＜c＜d．故选：A．【点评】本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．11．（5分）函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C，根据函数最值即可得到答案【解答】解：由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C．当x＞0时，y=x2﹣lnx，，知当时，函数y=x2﹣lnx取得极小值，故选A．【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的定义域以及函数的最值时关键，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+1存在唯一的零点x0，且x＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣2）C．（，+∞）D．（，+∞）【分析】通过讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，结合函数的单调性从而确定a的范围即可．【解答】解：当a=0得，函数有两个零点，不合题意；当a≠0时，f'（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1），由f'（x）=0，得，①若a＜0，则，由f'（x）＜0得或x＞0；由f'（x）＞0得，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，又f（0）=1，故函数f（x）存在零点x＞0，如图12﹣1，此情况不合题意；②若a＞0，则，由f'（x）＜0得；由f'（x）＞0得x＜0或，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，如图12﹣2，要使函数f（x）存在唯一的零点x0，且x＜0，则必须满足，由得．故选：D．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，是一道中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.13．（5分）若向量=（1，1）与=（λ，﹣2）的夹角为钝角，则λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【分析】根据题意，若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，由此可得关于λ的不等式，解可得答案．【解答】解：根据题意，若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，即有•=1×λ+1×（﹣2）=λ﹣2＜0，且1×λ≠1×（﹣2），解可得：λ＜2，且λ≠﹣2，即λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）；故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，注意需要排除两个向量共线的情况．14．（5分）函数f（x）=的定义域为[﹣1，1] ．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由|x|﹣x2≥0得x2﹣|x|≤0，即|x|（|x|﹣1）≤0，所以0≤|x|≤1，解得：﹣1≤x≤1，故函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．15．（5分）已知直线（k+1）x+ky﹣1=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk ，则S1+S2+…+Sk=．【分析】求出直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，再求S1+S2+…+Sk．【解答】解：直线（k+1）x+ky﹣1=0与两坐标轴的交点分别为，，则该直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，故S1+S2+…+Sk==．故答案为．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查裂项法的运用，属于基础题．16．（5分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且A=30°，a=1，D为BC的中点，则AD的最大值为．【分析】利用向量平行四边形法则、余弦定理、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，，即=根据余弦定理知，又a=1，得，故，由得，；．故答案为：．【点评】本题考查了向量平行四边形法则、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知=（2，﹣1），=（0，1），=（1，﹣2）．（1）若=m+n，求实数m、n的值；（2）若（+）∥（+），求||的最小值．【分析】（1）由平面向量的线性运算与坐标表示，列出方程组求出m、n的值；（2）设，根据平面向量的共线定理求出x、y的关系，再求||的最小值．【解答】解：（1）由=（2，﹣1），=（0，1），=（1，﹣2）；且=m+，∴（2，﹣1）=（n，m﹣2n），解得m=3，n=2；…（5分）（2）设，则，又，由（+）∥（+）知，﹣（2+x）=﹣1+y，即y=﹣x﹣1，…（8分），即||的最小值为．…（12分）【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是综合性题目．18．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且1，an，Sn是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =log2an，设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．【分析】（1）由2an =1+Sn，当n=1时，a1=1，当n≥2时，2an﹣2an﹣1=an，an=2an﹣1，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由，采用“错位相减法”即可求得数列{cn }的前n项和为Tn．【解答】解：（1）由1，an ，Sn是等差数列知：2an=1+Sn…①，当n=1时，2a1=1+a1，则a1=1；…（2分）当n≥2时，2an﹣1=1+Sn﹣1…②，①﹣②得2an ﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1；…（4分）故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{an}的通项公式：；…6分（2）由bn =log2an=n﹣1，，…（8分），…③∴，…④③﹣④得，=，=（2﹣n）•2n﹣2，∴，数列{cn}的前n项和为：．…（12分）【点评】本题考查等比数列通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，C=，且2sin2A﹣1=sin2B．（1）求tanB的值；（2）若b=1，求△ABC的面积．【分析】（1）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin2B=sin2B，结合sinB≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanB的值．（2）由tanB=2，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinA的值，由正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由2sin2A﹣1=sin2B，知﹣cos2A=sin2B，又∵，∴，即∴sin2B=sin2B，…（4分）又sinB≠0，∴2cosB=sinB，故tanB=2．…（5分）（2）由tanB=2知，B为锐角，且，，则，…（8分）∵，∴，…（10分）∴△ABC的面积．…（12分）【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（12分）某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g．且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg．（1）求该作坊可获得的最大利润；（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．【分析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．则即，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．由图可求该作坊可获得的最大利润．（2）分别求出两种方案的利润即可．【解答】【解析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．则，即，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．…（3分）由图可知，当直线l经过点（16，18）时，z取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．…（6分）（2）若作坊选择方案一，则其收益为1180×（1﹣10%）=1062元；…（8分）若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t，则t=x+y，（x，y∈N），由（1）知，作图分析可知，当x=16，y=18时，t取得最大值，此时作坊的收益为（16+18）×30=1020元，故选择方案一更划算．…（12分）【点评】本题考查了一次函数、不等式组，及线性规划问题，属于中档题．21．（12分）已知f（x）=lnx﹣ax（ax+1），a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在（0，1]内至少有1个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，得到函数的零点的个数，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）依题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，…（2分）当a=0时，f（x）=lnx，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（3分）当a＞0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；…（4分）当a＜0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．…（5分）=1；…（6分）（2）当a=0时，函数f（x）在（0，1]内有1个零点x当a＞0时，由（1）知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；①若，即时，f（x）在（0，1]上单调递增，由于当x→0时，f（x）→﹣∞，且f（1）=﹣a2﹣a＜0，知函数f（x）在（0，1]内无零点；…（7分）②若，即时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，要使函数f（x）在（0，1]内至少有1个零点，只需满足，即；…（9分）当a＜0时，由（1）知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；③若，即﹣1≤a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递增，由于当x→0时，f（x）→﹣∞，且f（1）=﹣a2﹣a＞0，知函数f（x）在（0，]内有1个零点；…（10分）④若，即a＜﹣1时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；由于当x→0时，f（x）→﹣∞，且当a＜﹣1时，，知函数f（x）在（0，1]内无零点；…（11分）综上可得：a的取值范围是．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（10分）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2a|．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤3；（2）若不等式f（x）≥3a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，原不等式等价于|x﹣1|+|x﹣2|≤3，利用数轴及绝对值的几何意义知0≤x≤3，即可得出结论；（2）不等式f（x）≥3a2对任意x∈R恒成立，即|2a﹣1|≥3a2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，原不等式等价于|x﹣1|+|x﹣2|≤3，利用数轴及绝对值的几何意义知0≤x≤3，即不等式f（x）≤3的解集为[0，3]；…（5分）（2）∵|x﹣1|+|x﹣2a|≥|2a﹣1|，∴|2a﹣1|≥3a2，即或，解得，所以a的取值范围是．…（10分）【点评】本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．已知a＞0，b＞0，且a+2b=+（1）证明a+2b≥4；（2）若（a﹣1）（b﹣1）＞0，求+的最小值．【分析】（1）根据基本不等式即可证明，（2）根据对数的性质求出log2a+log2b=1，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）证明：由（a＞0，b＞0）得，，即ab=2，∴，当且仅当a=2b=2时取等号．（2）∵log2a+log2b=log2（ab）=log22=1，∴，∵（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴0＜a＜1，0＜b＜1或a＞1，b＞1，则，∴，即的最小值为．【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握不等式成立的条件，属于基础题．。