江西省赣州市十五县(市)十六校2021届高三上学期期中联考 数学(理)(含答案)

2020-2021学年赣州市十五县(市)十六校高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−5<0}，B={1,2，3，4，5}，则A∩B=()A. {1,2，3，4}B. {2,3}C. {3,4}D. {4,5}2.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若”的否命题为：“若”；B. “”是“”的必要不充分条件；C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；D. 若命题．3.设函数f(x)=ln(1+|2x|)−11+x4，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围是()A. (13,1) B. (−1,32)C. (−∞,32) D. (−∞,−1)∪(32,+∞)4.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是()A.B.C.D.5.已知函数的图象为一线段，若，则等于A. B.C. D.6.已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx，R是实数解，若∃x1∈R，∃x2∈R，∀x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x2−x1|的最小值为()A. πB. π2C. π3D. π47.向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=4，b⃗ ⋅(a⃗−b⃗ )=0，若|λa⃗−b⃗ |的最小值为2(λ∈R)，则a⃗⋅b⃗ =()A. 0B. 4C. 8D. 168.已知α，β为锐角，且sin2α(1+sinβ)=cosβ(1−cos2α)，则以下结论正确的是()A. 2α−β=π2B. 2α+β=π2C. α+β=π2D. α−β=π29.设x∈z，则f(x)=cos的值域是()A. {−1,}B. {−1,，，1}C. {−1,，0，，1}D. {，1}10.下列命题正确的个数是()(1)函数y=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件是“a=1”．(2)设a∈{−1,1，12,3}，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的所有a的值为−1，1，3．(3)已知函数f(x)=2x+alnx在定义域上为增函数，则a≥0．A. 1B. 2C. 3D. 011.若不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为()A. 2B. √2+12C. 32D. 112.偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=−x+1，那么在区间[−3,4]上，函数y=f(x)的图象与函数y=ln|x|的图象的公共点个数是()A. 7B. 6C. 5D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算limn→∞1+2+3+⋯+nn2+1=______ ．14.已知向量a⃗=(2,−3),b⃗ =(m,6)，且a⃗//b⃗ ，则实数m=______．15.命题p：∃x∈[−1,1]，使得2x<a成立；命题q：∀x∈(0,+∞)，不等式ax<x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为______．16.函数f(x)=2lnx+x2−bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设函数f(x)={1bx,x≤0(x2−2ax)e x,x>0在x=1处取得极值(其中e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)若函数y=f(x)−m有两个零点，求实数m的取值范围；(3)设g(x)=lnxf(−x)+b，若∀x1∈(0,32],∃x2∈[1e,e]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．18.在锐角中，角的对边分别为，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，求的面积．19. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanBtanA +1=2ca．(1)求角B；(2)若cos(C+π6)=13，求sin A的值．20. 已知函数f(x)=kx−bx2+1是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=45．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并用单调性的定义证明f(x)在(−1,1)上的单调性．21. 设函数f(x)=ax2+bx+clnx，(其中a，b，c为实常数且a>0)，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x−3．(Ⅰ)若函数f(x)无极值点且f′(x)存在零点，求a，b，c的值；(Ⅱ) 若函数f(x)有两个极值点，证明f(x)的极小值小于−34．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1.圆的参数方程为{x =1+rcosθy =1+rsinθ(θ为参数，r >0)，若直线l 与圆C 相切，求r 的值．23. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲．已知(1)求证：(2)若，若恒成立，求的最小值；【答案与解析】1.答案：A解析：解：A={x|−1<x<5}；∴A∩B={1,2，3，4}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：C解析：3.答案：D，定义域为R，解析：解：f(x)=ln(1+|2x|)−11+x4∵f(−x)=f(x)，∴函数f(x)为偶函数，。

2020-2021学年第一学期赣州市十五县（市）十六校期中联考高三数学（文科）试卷命题人、审题人：大余中学 赣州一中一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=︒︒-︒︒15sin 135sin 15cos 135cos ( )A ． 23 B ． 23- C ． 21 D ． 21-2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=053x x xA ，集合{}6<<4x xB =，则=⋂B A ( )A ．()4,5 B ．(]4,5C ．()5,6D ．[)5,63．设R b a ∈、，则“1a b <<”是“(1)(1)0a b --<”的()A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．要得到)62cos(π-=x y 的图像，只需将函数)22sin(x y +=π的图像( )A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位5．已知向量a b a b =+=- ，则a 与a b - 的夹角为( )A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒1506．设16)91(=a ，则a =()A ． 144 B ．9log 16 C ．161log 9 D ．3log 4-7．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为)(x f '，)(x f '的部分图象如图所示，则( )A ．()f x 在区间()0,1上单调递减B ．()f x 的一个增区间为()1,1-C ．()f x 的一个极大值为()1f - D ．()f x 的最大值为()1f 8．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为( )A ．4≤m B ．47<m C ．4<m D ．3<m 9． 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？( )A ．350B ．750C ．7100D ．700210．已知函数ax x x f -=ln )(有两个零点，则实数a 的取值范围为()A ．e a 1< B ．0<a C ．0≤a D ．ea 1<<011．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，︒=∠60BAD ,点E,F 分别在边BC ,DC 上，9,.,1,2BE BC DF DC AE AF CE CF λμλμ==⋅=⋅=+= 若则( )A ．127 B ．2 C ．92 D ．6512．已知函数),1ln()(2x x x f -+=则12021(2020),a f =202020211(log (log 2020)2021b fc f ==的大小关系为( )A ． c b a >>B ． b c a >>C ． c a b >>D ． a c b >>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．第7题图第11题图13．用反证法证明：存在,cos 1x R x ∈≥，应先假设： .14．已知向量()()1,cos ,sin ,2a b θθ=-= 且a b ⊥ 则3sin 2cos 2sin cos θθθθ-=+ .15．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =+-，则数列{}n a 通项公式为 .16．下列命题正确的是_____________.（填写正确的序号）①在等差数列{}n a 中，有21026a a +=，则567=39a a a ++；②已知数列{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a；③已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，都有()()11f x f x -=+成立，则()()()()()123201920200f f f f f +++++=….三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，416S =．（1）求n S 的表达式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）已知a R ∈，函数3)1(2131)(23----=ax x a x x f .（1）当1=a 时，求函数)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在区间)4,2(上是减函数，求a 的取值范围.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且sin 2cos()cos sin 2C B C B C c b +-=.(1)求角A 的大小；(2)若ABC ∆，a =，求c b +的值.20．（本小题满分12分）已知1,sin()),22x x a x b ϕϕϕ++=++=-2<<2(πϕπ-，函数().f x a b =⋅ （1）若函数()f x 为偶函数，求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈185,18ππx 时，求函数()g x 的值域.21．（本小题满分12分）如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为()n y n N +∈，其中1y 为最大正方形中心的纵坐标.（1）求数列{}n y 的通项公式；（2）若数列{}n y 的奇数项构成新数列{}n a ，求{}n a 的前n 项和n S .22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln ,2f x a x ax g x x x =+=+，其中a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =+的极值；（2）若()g x 的图像在()()()()()112212,,,0A x g x B x g x x x <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.。

2021届江西省赣州市十五县（市）十六校高三上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x x =--≤∈Z ，集合{}0B x x =>，则集合A B 的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先化简集合A ，根据交集的概念，求出AB ，进而可得出结果.【详解】因为{}{}{}2230,13,1,0,1,2,3A x x x x x x x =--≤∈Z =-≤≤∈Z =-，又{}0B x x =>，所以{}1,2,3A B =.因此集合A B 的元素个数为3.故选：C.2．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b =λ”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】存在实数λ，使得λab ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，a b a b +=+成立， 当,a b 反向时，a b a b +=+不成立，所以，充分性不成立. 当a b a b +=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λa b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b ”是“a b a b +=+”的必要而不充分条件.故选B .【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量0，1比较大小. 【详解】0.2log 20a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>， 所以a b c <<， 故选：A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测． A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】利用优选法依次进行检测，写出4次检测的情况，得到最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．【详解】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测． 故选：B 5．函数()21xx f x e-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题可用排除法，先根据函数的奇偶性排除A 、B 选项，再由特殊值()2321f e =<，即可确定结果. 【详解】因为函数定义域为R ，且()()()2211xx x x f x f x ee-----===，所以()21xx f x e-=为偶函数，排除A 、B ；又()2321f e =<，排除D ，即可确定答案为C . 故选：C【点睛】本题主要考查函数性质的应用体现学生数形结合思想，属于中档题. 6．要得到函数cos y x =的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 【答案】C【分析】利用三角函数的图像变换即可得. 【详解】sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭横坐标伸长为原来的2倍得sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 向左移4π得sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点晴】此题考三角函数的图像变换，属于简单题. 7．在ABC 中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB ⋅=A ．0B ．2C ．D ．4【答案】A【分析】首先根据已知取基底CA →，CB →，然后用基底表示MA →和MB ，最后代入进行数量积运算即可。

2021届江西省赣州市十五县（市）十六校高三上学期期中联考数学（文）试题一、单选题1．cos135cos15sin135sin15-=（ ）A ．B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用和的余弦公式计算即可.【详解】()3cos135cos15sin135sin15cos 13515cos1502-=+==-. 故选：B.2．已知集合305x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，集合{46}B x x =<<∣，则A B =（ ） A ．(4,5) B ．(4,5]C ．(5,6)D ．[5,6)【答案】A【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出A B 的结果.【详解】因为305x x -≤-，所以()()35050x x x ⎧--≤⎨-≠⎩， 所以35x ≤<，所以[)3,5A =又因为()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 故选：A.3．设a 、b R ∈，则“1a b <<”是“(1)(1)0a b --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由1a b <<可以推出(1)(1)0a b --<，由(1)(1)0a b --<不一定推出1a b <<，可能推出1b a <<.【详解】若1a b <<，则10,10a b -<->，所以(1)(1)0a b --<；若(1)(1)0a b --<，则10,10a b -<->或10,10a b ->-<，即1a b <<或1b a <<，所以“1a b <<”是“(1)(1)0a b --<”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 4．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.5．已知向量||3a =，||1b =，||||a b a b +=-，则a 与a b -的夹角为（ ） A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【分析】由||||a b a b +=-可得0a b ⋅=，求出()a ab ⋅-，a b -，即可由()cos ,a a b a a b a a b⋅-<->=⋅-求出夹角.【详解】||||a b a b +=-，222222a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，则0a b ⋅=，()23a ab a a b⋅-=-⋅=，2223012a b aa b b-=-⋅+=-+=，()3cos,32a a ba a ba a b⋅-∴<->===⨯⋅-，又[],0,πa a b-∈，则a与a b-的夹角为30.故选：A.6．设1169a⎛⎫=⎪⎝⎭，则a=（）A．144 B．9log16C．161log9D．3log4-【答案】D【分析】利用指对互化求出a，由对数的性质化简得出答案．【详解】1169a⎛⎫=⎪⎝⎭，22139log16log4a-∴===3log4-故选：D7．已知函数()f x的定义域为R，其导函数为()'f x，()'f x的部分图象如图所示，则（）A．()f x在区间(0,1)上单调递减B．()f x的一个增区间为(1,1)-C．()f x的一个极大值为(1)f-D．()f x的最大值为(1)f【答案】B【分析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由()'f x的部分图像可得：在(1,1)-上，()0f x'>，所以()f x单调递增，所以A不正确，B正确；由(1)0f '-=，导函数在1x =-左右两侧的函数值异号， 所以(1)f -是()f x 的一个极小值，所以C 不正确，同理可知(1)f 是()f x 的一个极大值，并不一定是最大值，D 不正确. 故选：B.8．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为（ ）A ．4m ≤B ．74m <C ．4m <D ．3m <【答案】C【分析】令()241f x mx x =-+，对二次项系数m 分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】解：令()241f x mx x =-+当0m =时，原不等式为410x -+<，解得14x >，满足条件； 当0m <时，函数的对称轴为20x m =<，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，只需()20f <，即4700m m -<⎧⎨<⎩解得0m <当0m >时，函数的对称轴为20x m =>，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，当2103m <<，即6m >时，只需103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解； 当22m >，即01m <<时，只需()20f <，即47001m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<； 当1223m≤≤，即16m ≤≤时，只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<； 综上可得4m < 故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；9．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．2007【答案】D【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3， 由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D10．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a e<B ．0a <C ．0a ≤D ．10a e<<【答案】D【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得.【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点； 当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a =处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<， 综上，10a e<<. 故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）； （3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值； （4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.11．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE BC λ=,DF DC μ=，若92AE AF ⋅=，1CE CF ⋅=，则λμ+=（ ）A ．712B ．2C ．29D ．56【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算将AE ，AF ，CE ，CF 转化为AB 和AD ，再根据AB 和AD 的长度和夹角进行运算可得结果.【详解】依题意得AE AB BE AB BC AB AD λλ=+=+=+，AF AD DF AD DC AD AB μμ=+=+=+，所以()()AE AF AB AD AD AB λμ⋅=+⋅+22(1)AD AB AB AD λμλμ=+++⋅44(1)22cos 60λμλμ=+++⨯⨯⨯4422λμλμ=+++92=， ()()(1)(1)(1)(1)CE CF CB CD AB ADλμλμ⋅=-⋅-=--⋅(1)(1)22cos 60λμ=--⨯⨯⨯2(1)λμλμ=--+1=，即22()1λμλμ=+-，所以94()22()12λμλμ++++-=， 所以712λμ+=. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用平面向量的线性运算将AE ，AF ，CE ，CF 转化为AB和AD 进行运算是解题关键.12．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x =单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()lnf x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.二、填空题13．用反证法证明：存在x ∈R ，cos 1x ≥，应先假设：________. 【答案】任意x ∈R ，cos 1x < 【分析】由特称命题的否定可得解.【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意x ∈R ，cos 1x <. 故答案为：任意x ∈R ，cos 1x <.14．已知向量(1,cos )a θ=-，(sin ,2)b θ=且a b ⊥则3sin 2cos 2sin cos θθθθ-=+________.【答案】45【分析】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，得sin 2cos θθ=，代入式子即可得解. 【详解】由向量(1,cos )a θ=-，(sin ,2)b θ=且a b ⊥， 可得sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，所以sin 2cos θθ=，所以3sin 2cos 6cos 2cos 4cos 42sin cos 4cos cos 5cos 5θθθθθθθθθθ--===++.故答案为：45.15．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =+-，则数列{}n a 通项公式为________.【答案】1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ 【分析】当n ＝1时直接由S n 求出a 1，当n ≥2时由a n ＝S n ﹣S n ﹣1解得a n ，然后验证a 1适合a n 得结论．【详解】由21n S n n =+-，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，212(1)(1+)211n n n a S S n n n n n -⎡+⎤=-=----=⎣⎦-， 验：当n ＝1时，a 1＝12≠，不符合上式．∴数列的通项公式为1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩．故答案为：1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩.【点睛】易错点睛：在数列中，由n S 求n a 时，分当n ＝1时和当n ≥2时两种情况，易错当n ＝1时的检验在n ≥2时是否成立.16．下列命题正确的是________.（填写正确的序号）①在等差数列{}n a 中，有21026a a +=，则56739a a a ++=； ②已知数列{}n a是正项等比数列，且3723a a +=5a③已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+成立，则(1)(2)(3)f f f +++⋯(2019)(2020)0f f ++=. 【答案】①③【分析】①直接利用等差数列的下标性质可得解；②利用等比数列表示2523)a q q =+，利用基本不等式可判断；③由函数的奇偶性和对称性可得周期，从而得解.【详解】①在等差数列{}n a 中，有21026a a +=，得6226a =，所以613a =， 所以256761039a a a a a a ++=++=，所以①正确；②设数列{}n a 是正项等比数列的公比为q，则2237552323q a a a a q +=+=所以2523)2a q q =+≥=，所以5a，所以②不正确；③已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+成立，所以(1)(1)(1)f x f x f x -=+=--，所以()(2)(4)f x f x f x =-+=+， 所以函数()f x 是周期为4的函数，由()(2)f x f x =-+可得：(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)f f f +++⋯(2019)(2020)50500f f ++=⨯=，所以③正确. 故答案为：①③.【点睛】结论点睛：对于函数周期性的问题，应熟记以下结论：1.如果函数()()f x x D ∈在定义域内有两条对称轴(),x a x b a b ==≠，则函数()f x 是周期函数，且周期2T a b =-（不一定为最小正周期）.2.如果函数()()f x x D ∈在定义域内有两个对称中心()()(),0,,0A a B b a b ≠则函数()f x 是周期函数，且周期2T a b =-（不一定为最小正周期）.3.如果函数()()f x x D ∈在定义域内有一条对称轴x a =和一个对称中心()(),0B b a b ≠，则函数()f x 是周期函数，且周期4T a b =-（不一定为最小正周期）.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，416S =. （1）求n S 的表达式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n S n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）由题可得1149434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，求出1,a d 即可求出n S ； （2）利用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得：1149434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩. 1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，()12(121)22n n n a a n n S n ++-∴===. （2）由（1）可知21n a n =-，111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴， 12n n T b b b ∴=++⋯+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+. n T ∴的表达式为21n nT n =+. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 18．已知a R ∈，函数3211()(1)332f x x a x ax =----. （1）当1a =时，求函数()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）8210x y --=；（2）4a ≥.【分析】（1）求出()f x 在3x =处的导数，即切线斜率，求出()3f ，即可求出切线方程；（2）可得()0f x '≤在(2,4)恒成立，由此可建立关系求解.【详解】2()(1)f x x a x a '=---，（1）当1a =时，3211(3)3(11)3133332f =⨯--⨯-⨯-=， 2(3)3(11)318f '=--⨯-=，∴在点(3,(3))f 处的切线方程为38(3)y x -=-，即8210x y --=.（2）函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，2()(1)(1)()0f x x a x a x x a '∴=---=+-≤在(2,4)恒成立，而10x +>在(2,4)恒成立，0x a ∴-≤在(2,4)恒成立，这时4a ≥， ∴当函数()f x 在区间(2,4)上是减函数时，4a ≥.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2cos()cos sin 2C B C B Cc b+-=. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为14，a =，求b c +的值.【答案】（1）34π；（2. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得sin 04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据角A 的范围，即可求得答案；（2）根据（1）结合面积公式，可得2bc =，利用余弦定理，即可求得b c +的值. 【详解】（1）因为sin 2cos()cos sin 2C B C B Cc b+-=， 所以2sin cos cos cos sin 2sin sin C C A B C C B--=，所以sin cos cos cos sin 0B C A B C ++=，得sin cos 04A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即sin 04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为(0,)A π∈，所以34A π=.（2）题意知1sin2bc A =sin A =2bc =，又a =，所以由余弦定理得，222222cos a b c bc A b c =+-=+2()(210b c =+--=，所以b c +=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，解题的关键是灵活应用正余弦定理，进行边角互化，再利用三角恒等变换进行求解，考查计算化简的能力，属基础题.20．已知2cos 1,sin()2x a x ϕϕ+⎛⎫=++⎪⎝⎭，2cos 2x b ϕ+⎛=- 22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅.（1）若函数()f x 为偶函数，求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求函数()g x 的值域.【答案】（1）()2cos f x x =；（2）(1,2]-. 【分析】（1）先化简求出()2cos 3f x x πϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，再由()f x 为偶函数，可得3k πϕπ-=，即可求出ϕ，得出解析式；（2）将,03π⎛-⎫⎪⎝⎭代入可求得6π=ϕ，进而得出()2cos 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可根据余弦函数性质求出值域.【详解】（1）()2cos11)22x x f x a b x ϕϕϕ++⎛⎫=⋅=+-++ ⎪⎝⎭22cos 1)cos())2x x x x ϕϕϕϕ+=-+=+++ 2cos 3x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.函数()f x 为偶函数，3k πϕπ∴-=，得3k πϕπ=+，k Z ∈.22ππϕ-<<，3πϕ∴=，()2cos f x x ∴=.（2）函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， 332k πππϕπ∴-+-=+，得76k πϕπ=+，k Z ∈， 22ππϕ-<<，6πϕ∴=，()2cos 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变）得()2cos 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，51818xππ-<<，23363x πππ∴-<-<， 12cos 326x π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭，∴函数()g x 的值域为(1,2]-.21．如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为()n y n N +∈，其中1y 为最大正方形中心的纵坐标.（1）求数列{}n y 的通项公式；（2）若数列{}n y 的奇数项构成新数列{}n a ，求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）122212,212,2n n n n y n --⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数；（2）11222n n S n -=-+.【分析】（1）由题意可知121y y ==，332y =，212n n y y -=，再由第2n -1个正方形到直线2x =的距离为112n -和第2n 个正方形到直线2x =的距离为112n -，得出数列{}n y 的通项公式；（2）由（1）知211122n n n a y --==-，n ∈+N ，利用分组求和法得出{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）由题意可知121y y ==，332y =，212n n y y -=， 第2n -1个正方形到直线2x =的距离为112n -，即211122n n y --=-；第2n 个正方形到直线2x =的距离为112n -，即21122nn y -=-， 122212,212,2n n n n y n --⎧-⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.（2）由（1）知211122n n n a y --==-，n ∈+N ， 则12111(21)2222n n n S a a a -⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1112122n n -⎛⎫=⨯-++⋯+ ⎪⎝⎭1122112n n -=-- 11222n n -=-+. 【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．22．已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =+的极值； （2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【分析】（1）求导2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，然后分0a ≥，0a <讨论求解.（2）求导()22g x x '=+，根据()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()22,B x g x 处的切线互相垂直，得到()()1222221x x ++=-，即 ()121141x x =--+，然后由()21221141x x x x -=+++，利用基本不等式求解.【详解】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=， 若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； 若0a <时，()0h x '=，解得2ax =-， 当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥=+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号， ∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.【点睛】结论点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．。

江西省赣州市赣县三中2021届高三数学上学期期中试题 理一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =+-，{|ln(12)}B x y x ==-，则A B =（）A ．1(,1]2B ．1[2,)2--C ．[)12,2-D ．[]12,2-2．设函数()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f = （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．2(),()f x x g x x ==B ．()2,()2(1)f x x g x x ==+C ．()()22(),()f x x g x x=-=-D ．2(),()1x xf xg x x x +==+4．直线与曲线围成的封闭图形的面积为（ ）A.B.C. D. 5．曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9B ．15C ．9D ．－36．已知向量(,6)a x =，(3,4)b =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ） A ．[8,)-+∞ B ．998,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．998,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．(8,)-+∞ 7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1=-x 2+21x 和L 2=2x ,其中销售量为x (单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为() A ．90万元 B ．120万元 C ．120.25万元 D ．60万元 8．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙．走的步数是（ ） A.92 B.152 C.212 D.49210．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π11．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段,AC CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足512AC BC AB AC -==，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在ABC ∆中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设（ 11AP x AB y AC =+，22AQ x AB y AC =+），则1122x y x y +=（ ）A ．51+ B ．2 C ．5 D ．51+12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知2(1)2f x x x +=+，则()1f x -=______________；14．__________.15．已知向量,a b 满足20a b =≠，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅在R 上有极值，则向量,a b 的夹角的取值范围是_______________． 16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=()1a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17．若命题p ：sin cos x x m +>，命题q ：210x mx ++>，对任意的x ∈R ，p 和q 都是真命题，求实数m 的取值范围.18．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，－1)，m ＝a ＋3b ，n ＝a －k b . (1)若m ∥n ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求m 与n 夹角的余弦值．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且asin sin csin 230sin sin A b B C B C +--= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.20．某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为1()f x 和2()f x （万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式11()106=+f x x ，2()35=+f x ．今将120万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于20万元．（Ⅰ）设对乙产品投入资金x 万元，求总利润()W x （万元）关于x 的函数关系式及其定义域； （Ⅱ）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？21．已知函数()()()ln 11,0f x ax x a x a =+->≠． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，()()2f x ax <，求证：21a e >．四、选做题22．已知直线的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3). （1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x tx tx =--+，a R ∈．（1）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（2）若对任意实数t ，()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m ≤．参考答案1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B若a b ∥，则418x =，解得92x =. 因为a 与b 的夹角为锐角，∴92x ≠.又324a b x ⋅=+，由a 与b 的夹角为锐角， ∴0a b ⋅>，即3240x +>，解得8x >-.又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以本题答案为B.7．B设该公司在甲地销售x 辆车,则在乙地销售(15-x )辆车,根据题意,总利润y =-x 2+21x +2(15-x )(0≤x ≤15,x ∈N ),整理得y =-x 2+19x +30.因为该函数图象的对称轴为x =192,开口向下,又x ∈N ,所以当x =9或x =10时,y 取得最大值120万元. 8．D 函数2ln x x y x=为偶函数，则图像关于y 轴对称，排除B 。

江西省赣州市十四县（市）2021届高三上学期期中联考数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞B ．(,1][3,)-∞+∞C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3)2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-3．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．144．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．253- B ．53- C ．53+ D ．253+ 5．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④B．①②C．②④D．①③④7．函数2()1cos1xf x xe⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．3 C．113D．49．已知函数()cos2321f x x x=++，则下列判断错误的是（）A．()f x的最小正周期为πB．()f x的值域为[1,3]-C．()f x的图象关于直线6xπ=对称D．()f x的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称10．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．2y x=+B．y sinx=C．3y x x=-D．2xy=11．已知13313711log,(),log245a b c===，则,,a b c的大小关系为A．a b c>>B．b a c>>C．c b a>>D．c a b>>12．已知双曲线2221xya-=的一条渐近线方程是3y x=，则双曲线的离心率为（）A B ．3C D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届江西省赣州市第一中学高三上学期期中联考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x | x2 - 7x < 0, x∈N*}，则B = {y | 6∈N * , y ∈A}中子集的个数为（）yA．4个B．8个C．15个D．16个2.设x，y∈R，则“x≠1或y≠1”是“xy≠1”的（）A．充分不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也必要条件3.若S n 是等差数列{a n }的前n项和，且S8 -S3 =10 ，则S11 的值为（）A．12 B．18 C．22 D．444.若A为△ABC 的内角，且s in 2A3 π=- ，则c os( A + ) 等于（）5 42 5 2 5 5 5A．-B．C．-D．5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A．6 斤B．9 斤C．9.5斤D．12斤6.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形A BC运动一周，O为 ABC 的中心，设点P走过的路程为A．B．C．D．n n+1 n n ﹣1 n n 5 6 7.已知函数 y =f （x ）是 R 上的偶函数，当 x 1，x 2∈（0，+∞）时，都有（x 1﹣x 2）•[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．设，则（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ）C ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）8.已知函数 f (x ) =| ln | x -1|| + x 2与 g (x ) = 2x ，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．89.在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 = ，则这个三角形 必含有（ ）A ．90°的内角B ．60°的内角C ．45°的内角D ．30°的内角10.已知函数 f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数 y =f （x ﹣2）的图象关于 x =1 对称，若 数列{a n}是公差不为 0 的等差数列，且 f （a 5A ．﹣50B ．0C ．﹣200D ．﹣10011.已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上的动点，点 A ，B ，C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则| |的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712.函数f （x ）=（k x +4）l （ ﹣2， ﹣ ]13.已知向量 =（sin è ，1）， =（﹣sin è ，0），=（cos è ，﹣1），且（2 ﹣ ）∥ ， 则 t an è 等于 ． 14.{a }满足 a =a +a （n ∈N *，n ≥2），S 是{a }前 n 项和，a =1，则 S = ． 15.在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos 2B+ sin2B=1，若| +|=3，则 的最小值为16.已知函数 f （x ）=|2x+1+ |在[﹣ ，3]上单调递增，则实数 a 的取值范围 ．a n 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分 10 分）1在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且 a > c ，已知 B A ⋅ BC = 2, cos B =, b = 3. ， 3求： （1） a 和 c 的值；（2） c os ( B - C ) 的值.18. （本题满分 12 分）已知 f （x ）=cosx （msinx ﹣cosx ）+sin 2（ð +x ）（m ＞0）的最小值为﹣2．（1）求函数 f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b cosA=2ccosA ﹣acosB ，求 f （C ） 的取值范围．19. （本题满分 12 分）等差数列{a n }中，a 1=3，其前 n 项和为 S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为 q（q ≠1），且 a 1+a 2=12﹣q ，S 2=b 2•q ．（1）求 a n 与 b n ．（2）求数列{}的前 n 项和 T n ．20. （本题满分 12 分）已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S（1）求 m 的值；m -1= -4, Sm = 0, S m +2=14 (m ≥ 2, 且m ∈ N * ).（2）若数列{b n } 满足= log 2 b (n ∈ N *) ，求数列{(a + 6)b)} 的前n 项和.21. （本题满分12分）设k∈R ，函数f (x) = ln x -kx ．（1）若k= 2 ，求曲线y =f (x) 在P(1, -2) 处的切线方程；（2）若f (x) 无零点，求实数k的取值范围；（3）若f (x) 有两个相异零点x1 ，x2，求证：x1x2 > e22. （本题满分12分）已知函数f（x）=alnx++1．（1）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．。

2021届江西省赣州市十五县（市）高三上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．设{}|13A x x =≤≤，(){}|lg 321B x x =-<，则A B =（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】求出集合,A B 后可得AB .【详解】13{|}A x x =≤≤，73{|03210}{|}22B x x x x =<-<=-<<； ∴31,2A B ⎡⎫⎪⎢⎣=⎭⋂，故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交集运算，解对数不等式时注意真数恒为正，属于中档题. 2．下列说法正确的是( )A ．函数()1f x x=既是奇函数又在区间(),0∞-上单调递增 B ．若命题,p q ⌝都是真命题，则命题p q ∧为真命题C ．命题：“若0xy =，则0x =或0y =的否命题为若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”D ．命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤” 【答案】D【分析】由反比例函数的奇偶性和单调性可判断A ；由p 真q 假，结合复合命题的真假，可判断B ；由的否命题的定义，可判断C ；由全称命题的否定为特称命题，可判断D ． 【详解】函数()1f x x=既是奇函数又在区间(),0-∞上单调递减， A 错误； 命题,p q ⌝都是真命题，即p 真q 假，可得命题p q ∧为假命题， B 错误；命题：“若0xy =，则0x =或0y =的否命题为若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”， C 错误；命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”， D 正确，故选D ．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，复合命题的真假和命题的否定与否命题的区别，考查判断能力，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是一道基础题 3．已知函数()2xf x =，()2g x x a =-，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由已知代入可得()1211af g -==⎡⎤⎣⎦，解之可得选项.【详解】因为函数()2xf x =，()2g x x a =-，所以()1211af g -==⎡⎤⎣⎦，解得1a =，故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的函数值，属于基础题. 4．已知5log 26a =，59b =，0.90.6c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【分析】根据指数函数、幂函数和对数函数的单调性，结合临界值1和2可确定,,a b c 的大致范围，从而得到结果. 【详解】10.9555550.60.61999322log 25log 26<==<=<==<，即a b c >>本题正确选项：A【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数和对数函数单调性比较大小的问题，解决此类题的常用方法是利用临界值来确定所比较数字的大致范围. 5．函数y ＝1＋x ＋2sin xx的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解. 【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ； 当x →＋∞时，y →＋∞，排除B . 故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题. 6．若(,)2παπ∈，且3cos 22sin()4παα=-，则cos2α的值为 ( )A ．9-B ．9C ．79-D ．79【答案】A【分析】利用3cos22sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭求出sin cos αα+，平方可得sin cos αα，从而可求cos2α.【详解】因为3cos22sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα-+=-，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin αα≠，所以有cos sin αα+=，平方可得72sin cos 9αα=-；216(cos sin )12sin cos 9αααα-=-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以4cos sin 3αα-=-，所以22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )9ααααααα=-=-+=-.故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用倍角公式等求值时，注意cos2α公式的多样性.7．将函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，得到函数y g x 的图象，那么下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是偶函数C ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称 D ．函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【分析】先求解函数()g x 的解析式，结合解析式进行判定. 【详解】由题意可得5()cos(2)6g x x π=-，周期为π，易知()g x 不是偶函数， 令526x k π-=π，k Z ∈，得212k x π5π=+，1k =-时，12x π=-，函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称；令5262x k ππ-=π+，k Z ∈，得23k x π2π=+，函数()g x 的图象不关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，明确变换后的函数解析式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.8．若命题“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．1,【答案】A【分析】把已知条件进行转化，转化为最值问题求解.【详解】因为命题“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，2210x ax -+>”是真命题， 所以1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()2max210x ax -+>；由11044410a a ⎧-+>⎪⎨⎪-+>⎩得54a <.故选：A.【点睛】本题主要考查利用命题的真假来求解参数的范围，等价转化是常用策略，侧重考查数学运算的核心素养.9．已知奇函数()32f x x ax bx c =+++，()f x 图象在点()()22f ,处的切线过点()1,4，则b =（）A ．2B ．8C ．4D ．5【答案】B【分析】先求导数，结合导数的几何意义求解.【详解】2()32f x x ax b '=++，(2)842f a b c =+++，因为()f x 图象在点()()22f ,处的切线过点()1,4，所以(2)4(2)21f f -'=-，整理可得8+=b c ，因为()32f x x ax bx c =+++为奇函数，所以(0)0f c ==，所以8b =. 故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数值和切线的斜率构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10．设函数()1axf x xex-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,eC ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】令()0f x =，进行参变分离得()2ln >0x a x x =，设()()2ln >0xg x x x=，将问题等价于y = a 与()g x 在()0+∞，有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数()g x 的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.【详解】令()0f x =，即10axxe x--=，解得()2ln >0x a x x =，设()()2ln >0xg x x x=， 所以()f x 在()0+∞，有两个零点等价于y = a 与()g x 在()0+∞，有两个交点. 因为()()()2'21ln 0>0x g x xx -==，得x e =，所以()g x 在(0，e )上单调递增，在()e +∞，上单调递减，所以()()max 2g x g e e==. 如图所示，画出()g x 的大致图象。

赣州市十五县（市）2021届高三第一学期期中联考数学（理科）试卷一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1.设{|13}A x x =≤≤, {|lg(32)1}B x x =-<，则 A ⋂ B ＝（ ） A. 3(,)2-∞ B.[1, 32) C.（1, 32) D.（32，3]2.下列说法正确的是( )A.函数 f (x )=1x 既是奇函数又在区间（-∞,0）上单调递增 B.若命题 p ，⌝q 都是真命题，则命题“ p ∧ q ”为真命题C.命题“若 xy =0，则 x =0 或 y =0”的否命题为“若 xy 0，则 x 0 或 y 0 ”D. 命题“R , 2x >0 ”的否定是“ R , 2x ≤ 0 ”3.已知函数 f (x ) = 2x ，g (x )= x 2- a ，若 f [g (1)] =1，则 a = （ ） A ．-1B ．1C ．2D ．34.已知0.955log 26,9,0.6a b c === ，则（ ） A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ bC. b ＞ a ＞ cD. b ＞ c ＞ a5.函数 2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ）A B C D 6.若π(,π)2α∈,且π3cos 22sin()4αα=-，则cos2α= （）A. 42B.- 42C. -79D. 797.将函数 f (x ) ＝ cos(2xπ6)的图象向右平移π3个单位，得到函数 y = g (x ) 的图象，)43那么下列说法正确的是（ ）A.函数 g (x ) 的最小正周期为 2πB.函数 g (x ) 是偶函数C.函数 g (x ) 的图象关于直线 x =π12-对称 D.函数 g (x ) 的图象关于点π(,0)3对称 8.若命题“21[,2],2102x x ax ∃∈-+>”是真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）A. 5(,)4-∞B. 5(,)4+∞ C. (,1)-∞ D. (1,)+∞9.已知奇函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx +c , f (x ) 图象在点（2，f (2)）处的切线过点（1，4），则 b =（ ）A.2B.8C.4D.510.设函数 1()e ax f x x x -=- 在(0, +∞) 上有两个零点，则实数 a 的取值范围（ ）A ．2(,)e-∞B ．(1, e)C ．12(,)e eD ．2(0,)e11.已知 a , b , e 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a 与e 的夹角为π3，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则| a -b |的最小值是（ ） A. 3-1B. 3+1C. 2D. 2-312. 已 知 函 数 e 1()ln ,(0,)x f x x x k k x=+-∈+∞， 曲 线y =f (x )上总存在两点M (x 1,y 1), N (x 2, y 2)( x 1≠x 2)使曲线 y =f (x )在M , N 两点处的切线互相平行，则x 1x 2=（ ）A. 2(,)e +∞B. 2[,)e +∞C.24(,)e +∞D. 24[,)e+∞第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2021届江西省赣州市十五县（市）高三上学期期中联考数学（文） 试题一、单选题1．命题“x R ∀∈，2240x x -+<”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，2240x x -+≥B ．0x R ∃∈，200240x x -+≥ C ．x R ∀∉，200240x x -+≥ D ．0x R ∃∉，200240x x -+≥【答案】B【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，判断出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，条件不用否定，由此确定B 选项正确. 故选B.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.2．设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．()()f x f x -是奇函数 B ．()()f x f x -是奇函数 C ．()()f x f x --是偶函数 D ．()()f x f x +-是偶函数 【答案】D 【解析】因为()()()F x f x f x =⋅-满足()()()()F x f x f x F x -=-⋅=，所以()()()F x f x f x =⋅-是偶函数；因为()()()M x f x f x =⋅-满足()()()()M x f x f x M x -=-⋅≠，同时()()()()M x f x f x M x -=-⋅≠-，所以()()()M x f x f x =⋅-既不是奇函数也不是偶函数；又()()()H x f x f x =--满足()()()()H x f x f x H x -=--=-是奇函数；()()()G x f x f x =+-满足()()()()G x f x f x G x -=-+=是偶函数；应选答案D ．3．已知{}n a 为等比数列，34a =，5736a a ⋅=，则9a 的值为（ ） A ．9- B ．9或9-C ．8D ．9【答案】D【分析】由条件可得459736a a a a =⋅=⋅，从而可求出答案. 【详解】{}n a 为等比数列，所以57399436a a a a a ⋅=⨯==⋅ 所以99a = 故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题4．已知a ，b 均为单位向量，若()2a a b ⊥+，则a ，b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】D【分析】根据两个向量垂直的表示列方程，利用向量的数量积运算进行化简，由此求得,a b 两个向量夹角的余弦值，进而求得,a b 两个向量的夹角.【详解】设,a b 两个向量的夹角为θ，由于()2a a b ⊥+，所以()22212cos 0a a b a a b θ⋅+=+⋅=+=，解得1cos 2θ=-，由于0πθ≤≤，所以2π3θ=.故选：D.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查单位向量的概念，属于基础题.5．已知213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，132c =，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分别判断,,a b c 与中间量0，1的大小关系，从而可得答案【详解】解：因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且21>， 所以2111033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即103a <<， 因为ln y x =在(0,)+∞上为增函数，且112<， 所以1lnln102<=，即0b <， 因为2xy =在R 上为增函数，且103>， 所以103221>=，即1c >，所以c a b >>， 故选：B【点睛】此题考查指数式和对数式比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 6．函数()211ln 22f x x x =+-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可得答案 【详解】解：函数的定义域为{}0x x ≠，因为221111()ln ()ln ()2222f x x x x x f x -=-+--=+-=， 所以()f x 为偶函数，其图像关于y 对称，所以排除D ，当0x >时，211()ln 22f x x x =+-，则'1()0f x x x=+>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以排除A ，B 故选：C【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题7．如图点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B 22(,)22-，则sin α=()A ．264- B 26-C ．26+D ．26+【答案】C 【分析】由3xOA π∠=，点B 22(得到2sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 32πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭将所求的sin α转化为sin[()]33ππα+-，按照公式展开，得到答案.【详解】由题意因为3xOA π∠=，点B 22(,22-所以2sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos 32πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以212326sin sin[()]()332ππαα+=+-=-=， 故选C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.8．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 15=45,M 为a 5, a 11的等比中项，则M 的最大值为 A ．3 B ．6C ．9D ．36【答案】A 【解析】S 15=45，得83a =，511826a a a +==，M 为a 5, a 11的等比中项，则22511511()92a a M a a +=≤= 9．若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【分析】函数在某个区间上存在极值点，即在这个区间上导数有正有负，由此列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】依题意()'2666fx x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666f x x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666fx x mx =-+开口向上，对称轴为2mx =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上存在极值点求参数的取值范围，考查二次函数的性质，属于中档题.10．ABC 中，2AB =,AC =,45BAC ∠=,P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的取值范围是（ ）A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先设P A ＝x ，x ∈[0，，利用向量数量积的运算性质可求PB PC ⋅，结合二次函数的性质即可求解．【详解】△ABC 中，设P A ＝x ，x ∈[0，]，则PB PC ⋅=（PA AB +）•PC PA PC AB PC =⋅+⋅=x （x ）×cos180°+2（﹣x ）×cos45°＝x 2﹣+421(2x =--，∵x ∈[0，，由二次函数的性质可知，当x =时，有最小值12-；当x ＝0时，有最大值4， 所求PB PC ⋅的范围是[12-，4]． 故选：C【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题．11．对于函数()f x ，若a ∀，b ，R c ∈，()f a ，()f b ，()f c 都是某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造的三角形函数”，以下说法正确的是（ ） A ．()1f x =（x ∈R ）不是“可构造的三角形函数”； B ．“可构造的三角形函数”一定是单调函数； C ．21()1f x x =+（x ∈R ）是“可构造的三角形函数”；D ．若定义在R 上的函数()f x 的值域e ⎤⎦，则()f x 一定是“可构造的三角形函数”. 【答案】D【分析】由题，根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项【详解】对于A 选项，由题设所给的定义知，a ∀，b ，R c ∈，f （a ），f （b ），f （c ）都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A 选项错误； 对于B 选项，由A 选项中()1f x =是“可构造三角形函数”，但不是单调函数，B 选项错误；对于C 选项，当0a =，3b =，3c =时，f （a ）1f =>（b ）f +（c ）12=，不构成三角形，故C 错误；对于D e ，可知，定义在R 上的函数()f x 的值域是](e e 为自然对数的底数），则()f x 一定是“可构造三角形函数”，故D 正确 故选：D ．【点睛】本题考查综合法推理及函数的值域，三角形的性质，理解新定义是解答的关键 12．已知函数()f x 在定义城R 上可导，且()cos f x x '≥，则关于x 的不等式()2f x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．,4π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,4π⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】A【详解】构造函数()()sin F x f x x =-，依题意可知()()''cos 0F x fx x =-≥，即()F x 在R 上递增. 由()24f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()πsin cos 2f x f x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，即()ππsin sin 22f x x f x x ⎛⎫⎛⎫-≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()π2F x F x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，根据()F x 在R 上递增可知π2x x ≥-，解得π4x ≥.故选A.【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查诱导公式，考查导数的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知函数291log (1),0()2,0x x x f x x +⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则(0)f f +=_____________.【答案】3【分析】将0x x ==分别代入可求出答案.【详解】()9log 1011f =-=，0+1(0)22f ==所以(0)1+2=3f f += 故答案为：3【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题. 14．已知数列{}n a 中，2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，*n N ∈，则5a =____________.【答案】2516【分析】先将4n =和5n =代入条件，然后两式相除，可得答案. 【详解】当5n =时，有1234525a a a a a ⋅⋅⋅⋅= ① 当4n =时，有123416a a a a ⋅⋅⋅= ② 由①÷②，可得52516a = 则答案为：2516【点睛】本题考查根据数列的前n 项的积，求数列中的项，属于基础题.15cos 4θ=+ ⎪⎝⎭，则3sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________.【答案】4【分析】由题设条件和余弦的倍角公式、两角和的余弦公式，化简求得cos sin θθ+，再结合两角差的正弦公式，即可求解.【详解】由222(cos sin )(cos sin )2(cos sin )(cos sin )cos()42θθθθθθθπθθθ-+==+=-+，即cos sin θθ+=又由3sin()(cos sin )422πθθθ-=+==【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，以及两角和与差的正弦、余弦公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16．设函数()f x 是定义域R 为的偶函数，且()()2f x f x +=，若[]1,0x ∈-时，()2f x x =，则函数()f x 的图象与lg y x =的图象交点个数______．【答案】10【分析】根据()f x 的奇偶性和周期性画出()f x 的图像，画出lg y x =的图像，由此判断两个函数图像交点个数.【详解】由于()()2f x f x +=，所以()f x 是周期为2的偶函数，图像关于y 轴对称，由于[]1,0x ∈-时，()2f x x =，所以[]1,1x ∈-时，()2f x x =.根据()f x 是周期为2的偶函数画出()f x 的图像如下图所示，同时画出lg y x =的图像，根据图像可知，两个函数图像有10个交点. 故答案为10.【点睛】本小题主要考查函数的周期性和奇偶性，考查两个函数图像交点个数的判断，考查函数图像的画法，考查数形结合的数学思想，属于中档题.三、解答题17．已知集合()(){}310A x x x =--<，()(){}20B x x a x a =--<（0a >）． （1）若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求正数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求正数a 的取值范图．【答案】（1）312a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[)10,3,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦．【分析】解一元二次不等式求得集合,A B .（1）根据x B ∈是x A ∈的充分不必要条件可知B 是A 的真子集，由此列不等式组，解不等式求得a 的取值范围.（2）根据两个集合的交集为空集列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】{}13A x x =<<，{}2B x a x a =<<（1）x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，即B A ⊆且B A ≠则需满足123a a ≥⎧⎨≤⎩得312a ≤≤． 经验证端点符合题意，所以a 的取值范围是312a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）若A B =∅，则21a ≤或3a ≥，解得12a ≤或3a ≥． 所以a 的取值范围是[)10,3,2a ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本小题主要考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，考查根据交集为空集求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【详解】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+. 又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()2,cos m a c C =-，(),cos n b B =．（1）若//m n ，求角B 的大小；（2）在（1）的条件下，且b =a c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2. 【分析】（1）根据两个向量平行的坐标表示列方程，利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和定理进行化简，由此求得cos B 的值，进而求得角B 的大小. （2）利用余弦定理列式求得ab 的值，利用三角形面积公式求得三角形的面积. 【详解】（1）//m n ，()2cos cos a c B b C ∴-=．由正弦定理知()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A ∴=+=+=，2cos 1B ∴=， 1cos 2B ∴=，3B π∴=． （2）由余弦定理知()22222cos 33b a c ac B a c ac =+-=+-=，3ac ∴=，1sin 2S ac B ∴==． 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.20．已知函数2()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）函数311()()39h x xf x x =-，若方程()20h x a -=在[1,]e 上有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）31,189e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）求得函数的导数()2ln f x x x x '=+，得到()0f x '=的根，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题设条件，得到3311()ln 39h x x x x =-，求得2()ln h x x x '=，结合由（1）求得函数()h x 的单调性与极值，列出相应的不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2()ln f x x x =的定义域为(0,)+∞，且()2ln f x x x x '=+，令()0f x '=，即2ln 0x x x +=，解得12x e -=，当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由311()()39h x xf x x =-，可得3311()ln 39h x x x x =-，则2()ln h x x x '=，由（1）知，2()ln h x x x '=在[1,]e 为增函数，所以()(1)0h x h '≥'=，所以函数3311()ln 39h x x x x =-在[1,]e 为增函数，(1)()()h h x h e ≤≤，即312()99e h x -≤≤， 又由方程()20h x a -=在[1,]e 有解，只需满足312299e a -≤≤，即31189e a -≤≤，所以实数a 的取值范围为31,189e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值、最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.21．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求φ的取值范围.【答案】（1）0；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()f ϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】（1）∵1()4sin cos sin 2(1cos 2)2sin 21226g x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π()k ∈Z ，∵02πϕ<≤，∴6π=ϕ .∴()06f f πϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）∵7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，∵02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ∵()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，∴262ππϕ+≥且02πϕ<≤ ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数1()ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数()eg x x=，若在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【分析】（1）先(1)11ln10f =--=，再求导211()1f x x x'=+-，从而可得切线的斜率为11(1)1111f '=+-=，然后利用点斜式写出切线方程即可；（2）先求出导函数，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立，然后将a 分离，利用基本不等式可求出实数a 的取值范围； （3）根据()eg x x=在[1,e]上的单调性求出函数的值域，然后根据（2）可求出()f x 的最大值，要使在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，只需max min ()()f x g x ≥，然后建立不等式，即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）当1a =时，函数1()ln f x x x x=--， ∴(1)11ln10f =--=，211()1f x x x'=+-， 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为11(1)1111f '=+-=.从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，（2）2221()a ax x af x a x x x-+'=+-=. . 要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立.即：20ax x a -+≥得2111x a x x x≥=++恒成立.∵12x x +≥，∴1112x x≤+，∴12a ≥. ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭法二：2221()a ax x af x a x x x-+'=+-= 当0a ≤时，()0f x '<在定义域内恒成立，不合题意舍 当0a >时，2140a ∆=->即102a <<方程20ax x a -+=有两解1x ，2x ， 1210x x a+=>，1210x x => 故20ax x a -+=在(0,)+∞恒有两解，()0f x '≥不恒成立，不合题意舍去；2140a ∆=-≤即12a ≥，20ax x a -+≥即22()0ax x a f x x-+'=≥在(0,)+∞内恒成立，函数()f x 在其定义域内为增函数 所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）∵()eg x x=在[1,]e 上是减函数 ∴x e =时，min ()1g x =，1x =时，max ()g x e =，即()[1,]g x e ∈ 由（2）知，当12a ≥；在定义域(0,)+∞内是增函数，即1()1,1f x a e e ⎡⎤⎛⎫∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 存在0[1,]x e ∈，()()00f x g x ≥只需满足max min ()()f x g x ≥，[1,e]x ∈， 即1ln 1a e e e ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，解得221ea e ≥- . ∴实数a 的取值范围是22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】此题考查了导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数学转化思想，属于中档题。