江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试卷(有答案)

江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考高三数学（理）试卷命题人：景德镇一中 江 宁 赣州三中 明小青 余江一中 官增文 审题人：景德镇一中 曹永泉一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数()lg(3)f x x =+-的定义域是 A ．(3,)+∞B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2,)+∞3．已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是A ．若αα//,//n m ,则n m //B ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC ．若βα//,//m m ,则βα//D ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A ．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同B ．你与你的同桌的样本平均数一定相同C ．你与你的同桌的样本的标准差一定相同D ．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同5．下列函数中，与函数111()22x x f x -+=-的奇偶性、单调性均相同的是A ．xy e = B ． ln(y x =C ． 2y x =D ．tan y x =6．已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OC OB OA =+，则a 的值为A ．1BC ．2D ．47．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()=f x f x+ A ． 1 B ．2 C ．3D ．48．如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，为QR 的中点，PM = 则A 的值为 A B C ．8D ．169．给出下列命题，其中真命题的个数是①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin24x x π+=成立; ②对于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立;③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，点E 是 对角线1AC 上一动点，记AE x =（0x <<,过点E平行于平面1A BD 的截面将正方体分成两部分，其中点A 所在的部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图像大致为A BCD 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1A 第10题图11．已知30sin a xdx π=⎰，则61()x ax+的展开式中的常数项是__________． 12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．14．过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0O E E F ⋅= ，则双曲线的离心率为__________．三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．15（2）．（不等式选做题）若关于x 的不等式|1|||3x x m -+-<的解集不为空集，则实数m 的取值范围是__________．四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =,求AD 的长．17．（本小题满分12分）江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率； （2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望． 18．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，AB AC ==4BC =，PC =P 在平面ABC 内的射影恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点． （1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2与(,)n b n S = +1 ，且a b λ= ，R λ∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分13分）设定圆22:(16M x y +=，动圆N过点0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．（本题满分14分）已知函数()ln af x ax bx x=++ （a 、b 为常数），在1x =-时取得极值． （1）求实数b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 求证：12n n S a n n a e +-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）．江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考高三数学（理）试卷 参考答案11．160 12．3 13．28 141 三．选做题15（1）．215（2）．(2,4) -四．解答题 16解：（1）∵tan tan sin 3cos A C B C += ∴sin sin 3sin cos cos cos A C BA C C+=∴ 3sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=∵sin 0B ≠ ∴3cos 1A = ∴ 1cos 3A =…………………………….6分（2）∵ 2b =，3c = ∴ 2222cos 9a b c bc A =+-= ∴ 2DC = 1c o s3C =∴2221622222cos 3AD C =+-⨯⨯=∴AD =……………………12分17解：（1）产品为废品的概率为：11131112111414354354354356P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ……………………………6分（2）由题意可得0,1,2,3ξ=3241()(1)(1)(1)435060P ξ=-⨯=-⨯-=3111211143()435435435201P ξ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==3242()43535P ξ=⨯⨯==故13(2)1(0)(1)(3)30P P P P ξξξξ==-=-=-==，………………………………9分得到ξ的分布列如下：31321332320305160E ξ∴⨯+⨯+⨯== ……………………………………………12分18解：（1）取BC 中点D ，连接AD 、PD ，∵PG ⊥平面ABC ，∴PG BC ⊥等腰ABC ∆中，G 为重心，∴AG BC ⊥ ∴BC ⊥平面PAG∴平面PAG ⊥平面BCM ……………6分（2）ABC ∆中，6AD = ∴2GD =∵BC ⊥平面PAG ∴ C D P D ⊥∴PD =∴6GP =过G 作BC 的平行线为x 轴，AG 为y 轴，GP 为z 轴建立空间直角坐标系(2,0)B 2 , (2,0)C -2 , (0,6)P 0 , (4,0)A 0 , - ∴ (2,3)M 0 , -设直线BM 与平面PBC 所成角为θ设平面PBC 的法向量为n(0,0)CB = 4 , (2,6)PB = 2 , - ∴(3,1)n = 0 ,(4,3)BM = -2 , -∴||sin |cos ,|||||n BM n BM n BM θ⋅=<>==⋅……………12分 19解：（1）∵a b λ= ∴ //a b ∴ (1)2n n n S += 1121n n n S S n a S n -- ≥⎧=⎨ =⎩∴ n a n = ……………4分 （2）132********n n n T a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+1111132435(2)n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯--++ 11113111(1)()22124212n n n n =⨯+--=-⨯+++++ ……………8分∴ 34n T <不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立 ∴ 33log (1)44a a ≤- ∴ 1l o g (1)a a ≤- ……………10分 ∴ 1log (1)01a a a ≤-⎧⎨<<⎩ ∴log log (1)a a a a ≤- ∴1a a ≥- ∴ 112a >≥ ……12分20解：（1）∵点0)F在圆22:(16M x y +=内 ∴圆N 内切于圆M∴||||4||NM NF FM +=>∴点N 的轨迹C .的方程为2214x y += ……………5分（2）由APQ ∆存在 ∴ 直线PQ 斜率不为0设直线PQ 为1x my =+ 设点11(,)P x y ，22(,)Q x y 22144x my x y =+⎧⎨+=⎩ ⇒ 22(4)230m y my ++-= ⇒ 1221222434m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩直线AP 的中垂线方程为：11112(22x x y x y +-=-- 即2111112422x x y y x y y +-=-++ ∵ 221144x y += ∴ 即111232x yy x y +=--即111232my y y x y +=-- 即 11322y y mx x y =---同理可得直线AQ 的中垂线方程为：22322y y mx x y =--- ………7分∴点N 的坐标满足1122322322y y m x x y y y m x x y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩ ⇒ 12121212332222332222()()22y y x x y y y y y mx x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒ 1212121211322()3()2x y y y mx x y y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒2232(4)32224x m m y mx mx m -⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-+⎪+⎩ ……9分 ⇒ 2222y m x m x m x +=-- ⇒ 23yk m x==-又 ∵直线l 的斜率为1k ∴11k m= （0m ≠）⇒ 123k k =- ………13分 21解：（1）2221'()a bx x af x b x x x+-=+-= ∵()f x 在1x =-有定义 ∴ 0a < ∴1x =-是方程220bx x ax +-=的根，且不是重根 ∴1b a =+ 且140ab +≠ 又 ∵0a < ∴1b <且12b ≠ ………………………4分（2）1a =-时 10b a =+= 即方程1ln()2x x m x--=+在(,0)-∞ 上有两个不等实根即方程1ln 2x x m x++=在(,) 0 +∞ 上有两个不等实根令1()ln 2g x x x x=++ (0)x >2221121()2x x g x x x x+-'=-+= (0)x > ∴()g x 在1(0,]2 上单调递减，在1[,)2 +∞上单调递增 1()3l n 22g =- 当0x → 时，()g x →+∞ 且 当x →+∞ 时，()g x →+∞ ∴当3ln 2m >- 时 ，方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根 (8)分 （3）1111n n a a -=-+ ∴ 111n n n a a a --=+ ∴ 1111n n a a -=+ ∴ 11nn a =+∴ 11n a n =+ (10)分由（2）知1()ln 23ln 2g x x x x=++≥- 代 1n x n =+ 得 12ln3ln 211n n n n n n +++≥-++ 即21ln ln 211n n n n +≥-++ ∴ 121ln ln 2221+≥-221ln ln 2332+≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅21lnln 211n n n n+≥-++ 累加得 11111lnln 21112311n n n S a n n n +≥++⋅⋅⋅++-=+-+++ 即 l n l n 21n n n n a S a +≥+- ∴ 12n n S a n n a e +-⋅≥ 得证 ………………14分。

2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B2.集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】C3.已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】B5.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )A. B. C. D.【答案】C6.函数的图象大致为 ( )A. B.C. D.【答案】A7.若，，则下列不等式正确的是 ( )A. B. C. D.【答案】D8.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B. C. D.【答案】B9.函数的定义域为，且，当时，；当时，，则( )A. 671B. 673C. 1343D. 1345【答案】D10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A. B. C. D.11.函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若x，y满足，则的最小值为____【答案】214.在的展开式中常数项等于___【答案】915.已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ___【答案】416.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

2019-2020学年高三第二学期第一次联考（理科）数学试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（0，+∞）2．i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则a＝（）A．1B．C．D．23．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．15．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．0B．2C．4D．﹣27．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A．46B．12C．11D．28．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．9．函数y＝cos（2x+φ）的图象左移个单位后关于直线对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．10．在下列选项中，选出一个“对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立”的充分不必要条件（）A．a≤B．a≥1C．a≥D．a≥011．在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x﹣2）cosα+y sinα﹣＝0的概率为（）A．1﹣B．C．D．1﹣12．已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD＝3DC，球O为三棱锥P﹣ABC的外接球，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π二、填空题（共4小题）13．已知向量，的夹角为，且||＝1，||＝，则|﹣|＝．14．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为．15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于．16．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝a3＝1，a n+1＝，数列{b n}满足：b n＝．则b n+1﹣b n的取值范围是．三.解答题：（共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）证明：a，c，b成等比数列（2）若c＝3，且4sin（C﹣）cos C＝1，求△ABC的周长18．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED．现将△CDE 沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB．（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；（2）求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．19．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝xe x﹣e x﹣mx2+mx（m∈R）．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）存在三个零点x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，x3﹣x1≤2，求x1+x3的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．[选修4-5；不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明：（1）；（2）．参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（0，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），集合＝（﹣∞，0），则A∩B＝（﹣∞，﹣1），故选：C．2．i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则a＝（）A．1B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵＝＝为纯虚数，∴，解得a＝．故选：C．3．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：易知1＜2ln2＜2，2+2ln2＞2，0＜（ln2）2＜1，∴c＜a＜b．故选：A．4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．5．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．0B．2C．4D．﹣2【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出S随i变化的周期以及程序结束后输出S的值．解：模拟执行如图所示的程序框图知，第一次循环，S＝4，i＝1；第二次循环，S＝2，i＝2；第三次循环，S＝2，i＝1；第四次循环，S＝2，i＝2；…；可知S随i变化的周期为2，当i＝2019时，输出S的值为2．故选：B．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A．46B．12C．11D．2【分析】根据题意，设5人得到的面包数分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，且d＞0，结合题意可得，解可得a、d的值，计算即的答案．解：根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，设5人得到的面包数分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，且d＞0，又由面包总数为120，且较多的三份之和的是较少的两份之和，则有，解可得a＝24，d＝6，则a﹣2d＝12；即最少的一份面包个数为12；故选：B．8．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】如图设P在第一象限，∴：∠POx＝60°，|OP|＝c，可得P的坐标，再代入双曲线方程可得．解：如图设P在第一象限，∴：∠POx＝60°，|OP|＝c，∴P（，c），将其代入﹣＝1，得﹣＝1，化简得：c4﹣8a2c2+4a4＝0，∴e4﹣8e2+4＝0，∴e2＝＝4±2，∵e＞1，∴e2＝4+2，∴e＝+1．故选：C．9．函数y＝cos（2x+φ）的图象左移个单位后关于直线对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】本题先平移，然后求出对称轴方程通式，＝﹣﹣φ，解出φ＝kπ﹣，进一步解出φ解：原式可变为y＝cos2（x++），∵2（x++）＝kπ，＝﹣﹣，∴φ＝kπ﹣，当k＝3时，φ＝．故选：C．10．在下列选项中，选出一个“对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立”的充分不必要条件（）A．a≤B．a≥1C．a≥D．a≥0【分析】先解出命题对应的集合，根据充要性求出解．解：∵对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立，∴，即，解之得，则a≥1是的充分不必要条件，故选：B．11．在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x﹣2）cosα+y sinα﹣＝0的概率为（）A．1﹣B．C．D．1﹣【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数为可行域内的点与单位圆的交点，从而求解概率．解：由题意可知：单位圆与直线f（m，n）＝（x﹣2）m+yn﹣存在交点，∴，即（x﹣2）2+y2≥2，结合图形，可知：P＝＝1﹣．故选：A．12．已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD＝3DC，球O为三棱锥P﹣ABC的外接球，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π【分析】如图．M是BC边中点，E是AC边中点，由AB⊥AC，可得M是△ABC的外心，作OM∥PA，利用线面垂直的判定与性质定理可得：O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心．利用三角形中位线定理可得：ME∥AB，，ME⊥AC，再利用直角三角形的边角关系可得：MD，AM．可得：OA2＝OM2+AM2＝a2+25，过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，进而得出结论．解：如图．M是BC边中点，E是AC边中点，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，作OM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，∴OM⊥AM，OM⊥MD，取，易得OA＝OP，∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心．E是AC中点，则ME∥AB，，∴ME⊥AC，∵AD＝3DC，∴，∴，设PA＝2a，则OM＝a，OD2＝OM2+MD2＝a2+13，又，∴OA2＝OM2+AM2＝a2+25，过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，∴πOA2+πr2＝（a2+25）π+12π＝44π，OA2＝（a2+25）π＝32π．∴．故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，的夹角为，且||＝1，||＝，则|﹣|＝1．【分析】利用|﹣|＝＝可得．解：|﹣|＝＝＝＝1，故答案为：1．14．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为﹣．【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以＝15，解得a＝2，所以曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为﹣＝﹣＝﹣．故答案为﹣．15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于3．【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，由抛物线的性质及|AC|＝2|AF|，可得直线AB的斜率，即求出直线AB的方程与抛物线联立，求出A，B的横坐标，再由抛物线的性质求出弦长AF，BF的值，求出比值．解：由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，分别过A，B作准线的垂线交于A'，B'，由抛物线的性质可得|AF|＝|AA'|，由|AC|＝2|AF|，所以可得|AC|＝|AA'|，所以∠A'AC＝60°，即直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为：y＝（x﹣1），联立直线与抛物线的方程，整理可得：3x2﹣10x+3＝0，解得：x1＝，x2＝3，所以|m＝|BF|＝x2+＝3+1＝4，n＝|AF|＝x1+＝+1＝，所以＝＝3，故答案为：3．16．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝a3＝1，a n+1＝，数列{b n}满足：b n＝．则b n+1﹣b n的取值范围是{﹣1，1}．【分析】根据，构造新等式，求得b n＝b n﹣2，即可求得结论．解：因为①⇒a n+2a n﹣1﹣a n+1a n＝1，②两式相减可得：a n﹣1（a n+2+a n）＝a n+1（a n+a n﹣2）⇒b n＝b n﹣2，又由于a1＝a2＝a3＝1，得a4＝2⇒b1＝2，b2＝3，故：；∴b n+1﹣b n的取值范围是：{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．三.解答题：（共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）证明：a，c，b成等比数列（2）若c＝3，且4sin（C﹣）cos C＝1，求△ABC的周长【分析】（1）由余弦定理可得：+＝+＝，化简即可证明结论．（2）4sin（C﹣）cos C＝1，利用和差公式、三角函数求值即可得出C．再利用余弦定理及其（1）的结论即可得出．【解答】（1）证明：由余弦定理可得：+＝+＝＝＝，∴c2＝ab．∴a，c，b成等比数列．（2）解：∵4sin（C﹣）cos C＝1，∴4（sin C cos﹣cos C sin）cos C＝1，化为：sin2C﹣cos2C＝2，∴sin（2C﹣）＝1，C∈（0，π）．∴2C﹣＝，解得C＝．由余弦定理可得：ab＝c2＝a2+b2﹣2ab cos＝9，∴a＝b＝3．∴△ABC的周长＝a+b+c＝9．18．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED．现将△CDE 沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB．（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；（2）求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．【分析】（1）推导出PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边，则PO⊥AB，PM⊥CE，由OM为梯形ABCE的中位线，得OM∥BC，BC⊥AB，从而OM⊥AB，进而AB⊥平面POM，AB⊥PM，且AB不与CE平行，PM⊥平面ABCE，由此能证明平面PCE⊥平面ABCE．（2）过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣E的余弦值．解：（1）证明：依题意可得：PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边，则PO⊥AB，PM⊥CE，而OM为梯形ABCE的中位线，有OM∥BC，BC⊥AB⇒OM⊥AB，且PO∩OM＝O，故：AB⊥平面POM，∴AB⊥PM，且AB不与CE平行，综上所述，PM⊥平面ABCE，∵PM⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面ABCE．（2）解：过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），E（1，1，0），，，，，设向量，则有，令y＝1，得：，同理：平面PAE的法向量，得，故二面角B﹣PA﹣E的余弦值为．19．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【分析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．，，，，，，，∴X的分布列为X0123456P（Ⅱ）选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P（元）．选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P（元）．∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．20．已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．【分析】（1）由题意可得点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点），即可求出点P的轨迹E的方程，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），根据韦达定理和斜率公式，化简整理即可证明解：（1）三角形ACP中，∠BAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴PB+PC＝PB+PA＝AB＝4，∴点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点）∴点P的轨迹E的方程为+＝1，（x≠±2）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），由，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴k1＝＝＝k﹣，同理可得k2＝k﹣，∵k3＝＝k﹣，∴k1﹣k3＝﹣，k2﹣k3＝﹣，∵k1﹣k3+k2﹣k3＝﹣+﹣＝1﹣•＝1﹣•＝0，∴＝﹣1为定值21．已知函数f（x）＝xe x﹣e x﹣mx2+mx（m∈R）．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）存在三个零点x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，x3﹣x1≤2，求x1+x3的最大值．【分析】（1）将m＝0代入函数解析式可得f（x）＝xe x﹣e x，导数研究函数的单调性情况，进而得出极值情况；（2）问题可转化为m＞e，且方程e x＝mx在区间（0，1）和（1，+∞）内各有一根，依题意，联立，，并设，可得，进而得到，进一步构造函数，利用导数即可求得最大值．解：（1）当m＝0时，f（x）＝xe x﹣e x，f'（x）＝xe x，令f'（x）＝0得x＝0，故f（x）的减区间为（﹣∞，0]，增区间为[0，+∞）；所以当x＝0时，f（x）的极小值为﹣1，无极大值；（2）方程f（x）＝（x﹣1）（e x﹣mx）＝0等价于x＝1或e x＝mx，记函数，⇒g（x）在（﹣∞，0），（0，1）上递减，（1，+∞）上递增，且当x＝0，e x≠mx，故：要使f（x）存在三零点，则需m＞e，方程e x＝mx在区间（0，1）和（1，+∞）内各有一根，满足①，②，且0＜x1＜x2＝1＜x3，设，则联立方程①②，得：，则lnt＝x3﹣x1≤2，∴1＜t≤e2，代入x3＝tx1，得：lnt＝（t﹣1）x1，故，∴，记函数，对于y＝x2﹣1﹣2xlnx，当x＝1时，y＝0，且y′＝2x﹣2﹣2lnx≥0恒成立，故：当1＜x≤e2时，h′（x）＞0，h（x）单增，所以当t＝e2时，x1+x3取得最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程是（k为参数），平方后得，又，曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝3，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0．（2）将曲线C化成参数方程形式为（α为参数），则d＝＝，其中，所以．[选修4-5；不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明：（1）；（2）．【分析】（1）由a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），代入a2+b2配方法证明即可；（2）先求出0＜ab，当且仅当a＝2b＝取等号，把要证明的式子左边转化为关于ab的式子，配方法证明即可．【解答】证明：（1）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，则a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），所以a2+b2＝（3﹣2b）2+b2＝5b2﹣12b+9＝5（b﹣）2+，当b＝时，a＝3﹣2b＝时，取等号，故结论成立；（2）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，故0＜ab，当且仅当a＝2b＝取等号，所以a3b+4ab3＝ab（a2+4b2）＝ab[（a+2b）2﹣4ab]＝ab（9﹣4ab）＝﹣4（ab）2+9ab＝，当且仅当ab＝时，取等号，故命题成立．。

2019年5月江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A，其中，解得，，故选2.已知命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意化简A，B，将条件转化为A B，列出不等关系解得a的范围即可.【详解】∵，，又命题是命题的必要不充分条件，∴B A，由数轴可得： a，故选D.【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，涉及解一元二次不等式，以及子集的应用，属于基础题.3.两个正数，的等差中项是5，等比中项是，则双曲线的离心率等于（）.A. B. C. D.【答案】B【分析】先由题设条件结合数列的性质解得a，b，再由双曲线的性质求得，可得答案．【详解】由题设知，解得a＝4，b＝6，∴，∴．故选：B．【点睛】本题借助数列的性质考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4.已知实数，满足线性约束条件，则其表示的平面区域外接圆的面积为（）.A. B. C. D.【答案】C【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域进行作图，根据三角形的形状确定外接圆的直径，求外接圆的半径，即可得到结论．【详解】由线性约束条件，画出可行域如图（及内部，又与y=x垂直，∴为直角，即三角形ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为AC，又A(-1,3),C(-1,-1),AC=4, ∴外接圆的半径r=2，∴外接圆的面积为=4，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及三角形的外接圆问题，利用数形结合是解决本题的关键．5.为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，.该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）.A. 160B. 166C. 170D. 172【答案】B【分析】计算、，求出b，的值，写出回归方程，利用回归方程计算所求的值．【详解】根据题意，计算x i＝25，y i＝174，；∴174﹣4×25＝74，∴4x+74，当x＝23时，计算4×23+74＝166，据此估计其身高为166（厘米）．故选：B．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用问题，是基础题．6.函数图像向左平移个单位后图像关于轴对称，则的值可能为（）.A. B. C. D.【答案】B【分析】先化简f(x)，再根据函数图象平移变换法则，求出平移后的函数解+析式，根据对称性求出满足条件的a的值．【详解】函数,将其图象向左平移a个单位（a＞0），所得图象的解+析式为：y＝2sin[2（x+a）﹣]，由平移后所得图象关于y轴对称，则2a﹣＝kπ，即a＝，又，当k＝0时，a．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的平移变换及正弦型函数的对称性，其中根据已知函数的解+析式，求出平移后图象对应的函数解+析式是解答本题的关键，属于基础题．7.已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B，故，.8.《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步：第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，知道所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的，，则输出的为（）.A. 3B. 6C. 7D. 8【答案】C【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】∵，，满足a，b都是偶数，则a＝＝57，b＝＝15,k=2；不满足a，b都是偶数，且不满足a=b，满足a>b，则a=57-15=42，n=1,不满足a=b，满足a>b，则a=42-15=27，n=2,不满足a=b，满足a>b，则a=27-15=12，n=3,不满足a=b，不满足a>b，则c=12,a=15,b=12,则a=15-12=3，n=4,不满足a=b，不满足a>b，则c=3,a=12,b=3,则a=12-3=9，n=5,不满足a=b，满足a>b，则a=9-3=6，n=6,不满足a=b，满足a>b，则a=6-3=3，n=7,满足a=b，结束循环,输出n=7,故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（）.A. B. C. D.【答案】D【分析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.【详解】由，两边同时平方得=，则有3=4+1+2=5+22cos，∴cos，，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）.A. B.C. D.【答案】A【分析】由三视图还原该几何体得到三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，结合正弦定理求出三棱锥A﹣BCD的四个面的面积，求和即可．【详解】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在△ADC中，AC＝2，且CD∴AD=，2=4；在△ABD中，AB＝2，BD=4，由余弦定理得，cos∠DAB，∴sin∠DAB，∴2,又与均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，∴三棱锥A﹣BCD的表面积为12+2=，故选：A．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解题关键是由三视图还原为几何体，是中档题．11.已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，电商抛物线上任意一点与直线垂直，垂足为，则的最大值为（）.A. -1B. 2C. 1D. 8【答案】C试题分析：求得圆心，可得抛物线C1方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．详解：圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y2=4x，由，解得A（1，2），抛物线C2：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=﹣2，即有|BM|﹣|AB|=|BF|﹣|AB|≤|AF|=1，当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，故选：C.点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

江西省重点中学盟校2019届⾼三第⼀次联考理科数学试题Word版含答案绝密★启⽤前江西省重点中学盟校2019届⾼三第⼀次联考理科数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（⾮选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题12⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求。

1、已知复数，若复数Z 在复平⾯内对应的点在虚轴上，则实数a 的值为（） A ．2 B4 C ．4 D2:2、已知全集为实数集R ，集合,集合，则实数m 的值为（）A ．2B 2C ．1D 13、我国古代的数学⼤都源于⽣活，在程⼤位的《算法统宗》⼀书中有个“⽵筒盛⽶”问题：“家有九节⽵⼀茎，为因盛⽶不均平。

下头三节三升九，上梢四节贮三升。

惟有中间⼆节⽵，要将⽶数次第盛。

若是先⽣⽆算法，教君直算到天明。

” 其意思为：有⼀家⼈⽤⼀根9节长的⽵筒盛⽶，每节⽵筒盛⽶的容积是不均匀的，⾃上⽽下成等差数列，已知下端3节可盛⽶3.9升，上端4节可盛⽶3升，……；这个问题中，这根⽵筒⼀共可盛⽶多少升？（） A ．8.8 B ．8.9C ．9D ．9.34、给出下列命题，其中真命题的个数有（）①残差的平⽅和的值越⼩，变量之间的线性相关程度越⾼.②函数f(x)在[a,b]上连续，则f(a)·f(b)<0是⽅程f(x)=0在区间(a,b)上⾄少有⼀个解的充要条件；③某项测量结果ξ服从正态分布，则=0.19；④若数列{a n }是等⽐数列的充要条件为；A ．1 B. 2 C. 3 D. 45、某⼏何体的三视图如图所⽰，图中的四边形都是边长为2的正⽅形，两条虚线所成的⾓为3，则该⼏何体的体积是（）A.203 B C ．163 6、已知偶函数f(x)的部分图象如图所⽰.向图中的矩形区域随机投出100个点，记下落⼊阴影区域的点数.通过10次这样的试验，算得落⼊阴影区域的点数平均数约为40个，由此可估计的值约为（）A ．65B ．25C ．45D ．1237、过抛物线y 2=8x 的焦点作⼀条直线与抛物线相交于A,B 两点,它们到直线x=-3的距离之和等于10,则这样的直线（）A ．有且仅有⼀条B ．有且仅有两条C ．有⽆穷多条D ．不存在 8、执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果是（）A ．14 B. 15 C. 16 D.17 9、若实数x ，y 满⾜约束件次得到的点数分别为a,b ，则⽬标函数z=2ax-by+3在点（-2，-1)处取得最⼩值的概率为（） A.56 B ．56 C ．14D ．16 10、各项均为正数的等⽐数列{a n }满⾜a 2a 6 =64，a 3a 4=32，若函数的导函数为，则（）A ．10B ．C ．D ．5511、如图，已知双曲线C: 的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆⼼的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ；若，且，则双曲线C 的离⼼率为( )C. 2D. 3 12、已知对任意x>1，f(x)=lnx+3xk+1-k ⼤于零恒成⽴，若k ∈z ，则k 的最⼤值为（）A. 2B. 2C. 5D. 4第Ⅱ卷⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分 13、由3个5和4个3可以组成个不同的七位数。

2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.已知集合，，则（ ）}01|{≥-=xxx A )}12lg(|{-==x y x B =B A A. B . C . D .]1,0(]1,0[]1,21(),21(+∞2.已知复数，则复数的虚部为（ ）ii i z +-=1)31(zA.15B.20C.25D.306.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.2019 B.2018 C.2017 D.20167.设,,，,则⎩⎨⎧<--≥+=0,10,1)(2x x x x x f 5.07.0-=a 7.0log 5.0=b 5log 7.0=c （ ）A. B. )()()(c f b f a f >>)()()(c f a f b f >>C. D. )()()(b f a f c f >>)()()(a f b f c f >>8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，)sin()(ϕω+=x x f 2||πϕ<)(x f y =只需把的图象上所有点（ ） x y ωsin =A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度6π12π12.设为不超过的最大整数，为()可能取到所有值的个数，是数][x x n a ]][[x x ),0[n x ∈n S 列前项的和，则下列结论正确个数的有（ ）}21{na n +n ⑴ ⑵ 190是数列中的项43=a }{n a ⑶ ⑷ 当时，取最小值6510=S 7=n na n 21+A. 1个 B.2个 C.3个 D.4第Ⅱ卷2、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江西省重点中学盟校高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.2.i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则A. 1B.C.D. 23.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩单位：分进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.现有编号为、、的三个三棱锥底面水平放置，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为A. 0B. 2C. 4D.7.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为A. 46B. 12C. 11D. 28.已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段为直径的圆上，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.9.函数的图象左移个单位后关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.10.在下列选项中，选出一个“对于，都有恒成立”的充分不必要条件A. B. C. D.11.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点P的坐标满足的概率为A. B. C. D.12.已知三棱锥满足底面ABC，在中，，，，D 是线段AC上一点，且，球O为三棱锥的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球O的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为，且，，则______．14.展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线和圆及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为______ ．15.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若，记，，则等于______．16.已知数列满足：，，数列满足：则的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且证明：a，c，b成等比数列若，且，求的周长18.已知矩形ABCD中，，，在AD上取一点E满足现将沿CE折起使点D移动至P点处，使得．求证：平面平面ABCE；求二面角的余弦值．19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器。

江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ACDBCDA BB ACD二、填空题：13．67214.15415.3716．5π三、解答题：17.解：(Ⅰ)设等比数列}{n a 的公比为)0(>q q ，由题意，得256466a a a q q +=⇒+=解得2q =或3q =-（舍）…………………2分又3141a a =⇒=所以1112n n n a a q --==………………4分221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-………………6分(Ⅱ)21()[1(21)]22n n n b b n n S n ++-===．……………7分∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，…………………9分∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …………………12分18.解：（Ⅰ） 四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥.∵平面PCD ⊥平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD .∵DE ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥.又∵PC CB C = ，∴DE ⊥平面PBC .又∵DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD .在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.因为1AD PD ==，120PCD ∠= ，∴PC =.∵AD ⊥平面PCD ，则()0,0,0D ，()0,1,0C ，10,,22P ⎛-⎝⎭又E 为PC 的中点，10,,44E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，………………7分假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得tan θ=,设()1,,0(0)F m m >，10,4DE ⎛= ⎝⎭，()1,,0DF m =，设平面DEF 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴013044x my y z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令y =1,z x =-∴=，则1(,,1)n =- ………………9分 AD ⊥平面PCD ，∴平面PCD 的一个法向量2(1,0,0)n =,tan θ=,则13cos 13θ=∴12cos cos ,13n n θ=<>==.0m > ，解得13m =，∴12AF FB =………………12分19.解：（1）补充的22⨯列联表如下表：甲班乙班总计成绩优秀91625成绩不优秀11415总计202040根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为240(941611)25152020k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分（2）X 的可能取值为0，1，2，3，311315(0)C P X C ==1653345591==，………………6分21114315(1)C C P X C ==2204445591==，………………7分zxFPDABCEyG12114315(2)C C P X C ==66455=，………………8分(3)P X ==343154455C C =，………………9分所以X 的分布列为……………10分33446644012391914554555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分20.解：(1)由222222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN．……5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4240k x kmx m ⇒+++-=228(42)0k m ∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++121222()212my y k x x m k+=++=+ (7)分MN =………………8分点O 到直线MN的距离是d =………………9分由,OM ON OD += 得2242,1212D Dkm mx y k k -==++因为点D 在曲线C 上，所以有222242()()1212142km m k k -+++=整理得22122k m +=………………10分由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为OMDNS MN d ===分由22122k m +=得OMDN S =故四边形OMDN．………………12分21.解：（1）由于121'()(12ln )2f x x a a x -=--，则①当0a >时，12'()0ln af x x a->⇔<，即当12(0,e )a ax -∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；当12(e,)a ax -∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；故()f x 在12e aax -=处取得极大值，则120e1a a-<≤，解得：12a ≥；………………………………3分②当0a =时，'()0f x >恒成立，()f x 无极值，不合题意舍去；………………4分③当0a <时，12'()0ln af x x a->⇔>，即当12(0,e )a ax -∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；当12(e,)a ax -∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故()f x 在12e aax -=处取得极小值，不合题意舍去；因此当12a ≥时，()f x 在(0,1]上存在极大值点；………………6分（2）法一：令12a =，1()ln )2f x x =-，由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，1ln )12x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”，………………8分故当2i ≥时，ln 2(1222i >-=---，………………10分X 0123P33914491664554455因此2122ln ln [22(1)4(1)2(1)n n ni i i i i n ====>-=--=∑∑∑．………………12分法二：下面用数学归纳法证明：21ln 1)ni i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立．（1）当2n =时，左边1ln 2ln 2=>=，右边22111)2()22=-<⋅=，左边>右边，结论成立；（2）假设当n k =时，结论成立，即21ln 1)ki i =>∑，当1n k =+时，左边1211ln ln ln(1)1)ln(1)k ki i i i k k +====++>++∑∑21)2(1ln(1)k =-+++，而ln(1)2(1k +-+ln(1)2ln(1)2k k =+-++-+，令12a =，1()ln )2f x x =-，由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，1ln )12x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”，………………10分则ln(1)20k +-+>对k N +∀∈恒成立，即221)2(1ln(1)1)k -+++>成立故当1n k =+时，结论成立，因此，综合（1）（2）得21ln 1)ni i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立．………………12分22.（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+；即22(1)(2)9x y -++=1:(cos sin )3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=.……………4分（Ⅱ）直线2l 的参数方程1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=，设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则124(cos sin )t t αα+=-…………………………………………………7分因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为分设N 点的参数分别为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=整理得分分23.解：分所以3t ≤………………………5分（2）由（1）可知，3a =,则123m p n p∴+≥++………………………10分123m p n p∴+≥++…………………10分第1页共4页第2页共4页江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试卷主命题：新余四中黄良友辅命题：鹰潭一中熊冬辉临川二中王晶第I 卷（选择题：共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1{|0,}4x B x x Z x-=>∈-，则A B =I ()A ．{2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,3,5}2．已知复数133iz i+=-，则z =()A．2B ．2C ．1D ．123．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =()A ．1-B ．2-C ．1D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =()A ．8B ．9C ．10D ．115．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的()A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入()A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．已知1,2a b == ，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为()A BC ．1D8．把函数()6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为()A ．[,2]ππB ．4[,]33ππC ．[,]123ππD ．5[,]44ππ9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的棱的长度中，最大的是()A ．B．CD10．以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于,P Q两点，若3PQ c =，则双曲线C 的离心率是()AB C ．2D 11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有()种A ．204B ．288C ．348D ．39612．若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且12AC CB =uuu r uur，则实数a 的取值范围是()A．211,10(2)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭B．11,6(1)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭C．1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭D．211,10(2)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭第II 卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。

江西省重点中学盟校2019届高三第一次重点学校联考（理科）数学试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1z =（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数()lg(3)f x x =+-的定义域是 A ．(3,)+∞B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2,)+∞3．已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是 A ．若αα//,//n m ,则n m // B ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC ．若βα//,//m m ,则βα//D ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A ．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同B ．你与你的同桌的样本平均数一定相同C ．你与你的同桌的样本的标准差一定相同D ．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同5．下列函数中，与函数111()22x x f x -+=-的奇偶性、单调性均相同的是A ．xy e = B ． ln(y x =C ． 2y x =D ．tan y x =6．已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OC OB OA =+，则a 的值为A ．1BC ．2D ．47．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()=f x f x+ A ． 1 B ．2C ．3D ．48．如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，为QR 的中点，PM =， 则A 的值为 A BD ．16出下列命题，其中真命题的个数是①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin24x x π+=成立; ②对于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立; ③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，点E 是 对角线1AC 上一动点，记AE x =（0x <<,过点E平行于平面1A BD 的截面将正方体分成两部分，其中点A 所在的部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图像大致为A BC D 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知3sin a xdx π=⎰，则61()x ax+的展开式中的常数项是__________．1A 第10题图12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．14．过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0OE EF ⋅=，则双曲线的离心率为__________． 三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．15（2）．（不等式选做题）若关于x 的不等式|1|||3x x m -+-<的解集不为空集，则实数m 的取值范围是__________．四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =,求AD 的长．17．（本小题满分12分）江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望． 18．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，AB AC ==4BC =，PC =P 在平面ABC 内的射影恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点．（1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；C（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2 与(,)n b n S = +1 ，且a b λ=，R λ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分13分）设定圆22:(16M x y +=，动圆N过点0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．（本题满分14分）已知函数()ln af x ax bx x=++（a 、b 为常数），在1x =-时取得极值． （1）求实数b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 求证：12n n S a n n a e+-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）．参考答案二．填空题11．160 12．3 13．28 141 三．选做题15（1）．215（2）．(2,4) -四．解答题 16解：（1）∵tan tan sin 3cos A C B C += ∴sin sin 3sin cos cos cos A C BA C C+=∴ 3sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=∵sin 0B ≠ ∴3cos 1A = ∴ 1cos 3A =…………………………….6分 （2）∵ 2b =，3c = ∴ 2222cos 9a b c bc A =+-= ∴ 2DC = 1cos 3C =∴2221622222cos 3AD C =+-⨯⨯= ∴AD =……………………12分17解：（1）产品为废品的概率为：11131112111414354354354356P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ……………………………6分 （2）由题意可得0,1,2,3ξ=3241()(1)(1)(1)435060P ξ=-⨯=-⨯-=3111211143()435435435201P ξ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==3242()43535P ξ=⨯⨯==故13(2)1(0)(1)(3)30P P P P ξξξξ==-=-=-==，………………………………9分得到ξ的分布列如下：31321332320305160E ξ∴⨯+⨯+⨯== ……………………………………………12分18解：（1）取BC 中点D ，连接AD 、PD ，∵PG ⊥平面ABC ，∴PG BC ⊥等腰ABC ∆中，G 为重心，∴AG BC ⊥ ∴BC ⊥平面PAG∴平面PAG ⊥平面BCM ……………6分 （2）ABC ∆中，6AD = ∴2GD =∵BC ⊥平面PAG ∴ CD PD ⊥∴PD =∴6GP =过G 作BC 的平行线为x 轴，AG 为y 轴，GP 为z 轴 建立空间直角坐标系(2,0)B 2 , (2,0)C -2 , (0,6)P 0 , (4,0)A 0 , -∴ (2,3)M 0 , -设直线BM 与平面PBC 所成角为θ设平面PBC 的法向量为n(0,0)CB = 4 , (2,6)PB = 2 , - ∴(3,1)n = 0 ,(4,3)BM = -2 , - ∴||sin |cos ,|||||290n BM n BM n BM θ⋅=<>==⋅……………12分 19解：（1）∵a b λ= ∴ //a b ∴ (1)2n n n S += 1121n n n S S n a S n -- ≥⎧=⎨ =⎩∴ n a n = ……………4分（2）13243521111n n n T a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+1111132435(2)n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+ 11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯--++ 11113111(1)()22124212n n n n =⨯+--=-⨯+++++ ……………8分 ∴ 34n T < 不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立∴ 33log (1)44a a ≤- ∴ 1log (1)a a ≤- ……………10分∴ 1log (1)01a a a ≤-⎧⎨<<⎩ ∴log log (1)a a a a ≤- ∴1a a ≥- ∴ 112a >≥……12分20解：（1）∵点0)F 在圆22:(16M x y +=内 ∴圆N 内切于圆M∴||||4||NM NF FM +=>∴点N 的轨迹C .的方程为2214x y += ……………5分（2）由APQ ∆存在 ∴ 直线PQ 斜率不为0设直线PQ 为1x my =+ 设点11(,)P x y ，22(,)Q x y22144x my x y =+⎧⎨+=⎩ ⇒ 22(4)230m y my ++-=⇒ 1221222434m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩直线AP 的中垂线方程为：11112()22x x y x y +-=-- 即2111112422x x y y x y y +-=-++ ∵ 221144x y += ∴ 即111232x yy x y +=--即111232my y y x y +=-- 即 11322y y mx x y =---同理可得直线AQ 的中垂线方程为：22322y y mx x y =--- ………7分∴点N 的坐标满足1122322322y y mx x y y y mx x y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩ ⇒ 12121212332222332222()()22y y x x y y y y y mx x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒ 1212121211322()3()2x y y y mx x y y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒2232(4)32224x m m y mx mx m -⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-+⎪+⎩ ……9分 ⇒ 2222y mx mx mx +=-- ⇒ 23yk m x==-又 ∵直线l 的斜率为1k ∴11k m= （0m ≠）⇒ 123k k =- ………13分21解：（1）2221'()a bx x af x b x x x +-=+-= ∵()f x 在1x =-有定义 ∴ 0a <∴1x =-是方程220bx x ax+-=的根，且不是重根 ∴1b a =+ 且140ab +≠ 又 ∵0a < ∴1b <且12b ≠ ………………………4分（2）1a =-时 10b a =+= 即方程1ln()2x x m x--=+在(,0)-∞ 上有两个不等实根即方程1ln 2x x m x++=在(,) 0 +∞ 上有两个不等实根令1()ln 2g x x x x=++ (0)x >2221121()2x x g x x x x +-'=-+= (0)x >∴()g x 在1(0,]2上单调递减，在1[,)2 +∞上单调递增 1()3ln 22g =-当0x → 时，()g x →+∞ 且 当x →+∞ 时，()g x →+∞∴当3ln 2m >- 时 ，方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根 ………………8分（3）1111n n a a -=-+ ∴ 111n n n a a a --=+ ∴ 1111n n a a -=+ ∴ 11n n a =+∴ 11n a n =+ ………………10分由（2）知1()ln 23ln 2g x x x x=++≥-代 1n x n =+ 得 12ln3ln 211n n nn n n +++≥-++ 即21ln ln 211n n n n+≥-++ ∴ 121ln ln 2221+≥-221ln ln 2332+≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅21lnln 211n n n n+≥-++ 累加得 11111lnln 21112311n n n S a n n n +≥++⋅⋅⋅++-=+-+++ 即 ln ln 21n n n n a S a +≥+- ∴ 12n n S a n n a e +-⋅≥ 得证 ………………14分。

江西省重点中学协作体2019届高三第一次联考理科参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A2. D 3．B 4. C 5. B 6.B 7.B 8.C 9. D 10.A 11．C 12. C 二、 填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1+24π14.915.()1,3 16. 2错误！未找到引用源。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（12分）解：（1）由⎩⎨⎧=+==20)(21641441a a S a a ，且41a a <知：⎩⎨⎧==8241a a ， 公差2314=-=a a d ，∴数列}{n a 的通项公式为n a n 2=；.................................6分 （2）)1(2)22(+=+=n n nn S n)111()1()1(12)1(12)1(111++-=++-=+-=---n n n n n S n b n n n n n ，11111111(1)()...(1)()1(1)22311n n n T n n n --∴=+-+++-+=+-++；.............12分 18.（12分）如图，四棱锥错误！未找到引用源。

的底面错误！未找到引用源。

为直角梯形，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

为等边三角形，平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；点错误！未找到引用源。

分别为错误！未找到引用源。

的中点．（1）证明：错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；（2）求直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成角的正弦值． 解：（1）证明：取PA 中点N,连接EN,BN ． E 为PD 中点，∴EN //AD,且EN=12AD ,在梯形ABCD 中，错误！未找到引用源。