2019-2020学年人教A版浙江省杭州市学军中学高二(上)期末数学试卷 含解析

2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=02.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.23.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √727.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（ ） A.[- 34 .0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（ ）A.0B. π6 C. π3 D. π29.（单选题.4分）已知两点 A(1，6√3) . B(0，5√3) 到直线l 的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a 的取值范围是（ ） A.a≥1 B.0＜a ＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a ＜210.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC.且AP=AC=1.过点A分别作AE⊥PB于点E.AF⊥PC于点F.连结EF.当△AEF的面积最大时.tan∠BPC=___ ．17.（填空题.4分）已知椭圆C：x24+y2=1上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC与y轴交于M.若原点O是△ABC的重心.且△BMA与△CMO的面积之比为32.则直线BC的斜率为___ ．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.AB⊥PA.AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求△PCD 面积的最大值．2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0【正确答案】：D【解析】：直接代入点斜式方程即可．【解答】：解：由点斜式直接带入：y-3=2（x-1）.即2x-y+1=0.故选：D．【点评】：考查直线的点斜式方程.属于基础题．2.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.2【正确答案】：D【解析】：根据题意.由椭圆的标准方程可得a、b的值.计算可得c的值.进而由焦距定义计算可得答案．【解答】：解：根据题意.椭圆的标准方程为：x 25+y24=1 .则a2=5.b2=4.则c= √a2−b2 =1. 则其焦距2c=2；故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质.关键是掌握椭圆的标准方程的形式．3.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ【正确答案】：B【解析】：利用平面平行的判定定理.对四个选项分别进行判断.能够得到正确答案．【解答】：解：由直线m和n.若m⊂α.n⊂β.n || m.则α与β相交或平行.故A不正确；若m⊥α.m⊥β.则垂直于同一条直线的两个平面互相平行.即α || β.故B正确；若m⊂α.n⊂α.m || β.n || β.则α与β相交或平行.故C不正确；若α⊥γ.β⊥γ.则由平面与平面平行的判定知.故D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断.属于中档题．4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切【正确答案】：C【解析】：把两圆的方程化为标准方程.分别找出圆心坐标和半径.利用两点间的距离公式.求出两圆心的距离d.然后求出R-r和R+r的值.判断d与R-r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】：解：把圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x-1）2+y2=1.x2+（y+2）2=4.故圆心坐标分别为（1.0）和（0.-2）.半径分别为R=2和r=1.∵圆心之间的距离d= √(1−0)2+(0+2)2=√5 .R+r=3.R-r=1.∴R-r＜d＜R+r.则两圆的位置关系是相交．故选：C．【点评】：圆与圆的位置关系有五种.分别是：当0≤d＜R-r时.两圆内含；当d=R-r时.两圆内切；当R-r＜d＜R+r时.两圆相交；当d=R+r时.两圆外切；当d＞R+r时.两圆外离（其中d表示两圆心间的距离.R.r分别表示两圆的半径）．5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行【正确答案】：A【解析】：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.利用过一点作已知平面的垂线.有且只有一条.可得结论；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在；对于C.根据a、b是异面直线.可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在．【解答】：解：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.过P作平面的垂线有且只有一条.所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直.故A正确；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在.故B不正确；对于C.∵a、b是异面直线.∴过P不存在平面与a、b都垂直.故C不正确；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在.故D不正确；故选：A．【点评】：本题考查线线、线面的位置关系.考查学生的推理能力.属于中档题．6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √72【正确答案】：D【解析】：设AB=BC=2.取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC.由余弦定理可得OC.cos∠COB .求得tan∠COB .即为渐近线的斜率.由a.b.c 的关系和离心率公式.即可得到．【解答】：解：设AB=BC=2. 取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC. 在三角形OBC 中. cosB=- 12 .∴OC 2=OB 2+BC 2-2OB•BC•cosB=1+4-2×1×2×（- 12）=7. ∴OC= √7 . 则cos∠COB=2√7 = √7. 可得sin∠COB= √1−47 = √3√7 . tan∠COB= sin∠COBcos∠COB = √32 .可得双曲线的渐近线的斜率为 √32 .不妨设双曲线的方程为 x 2a2 - y 2b2 =1（a.b ＞0）. 渐近线方程为y=± b ax. 可得 ba = √32 . 可得e= c a = √a 2+b 2a 2 = √1+(b a )2 = √1+34 = √72 ．故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.主要是渐近线和离心率.考查学生的计算能力.属于中档题．7.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（ ） A.[- 34.0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]【正确答案】：A【解析】：由弦长公式得.当圆心到直线的距离等于1时.弦长等于2 √3 .故当弦长大于或等于2 √3 时.圆心到直线的距离小于或等于1.解此不等式求出k 的取值范围．【解答】：解：设圆心（3.2）到直线y=kx+3的距离为d. 由弦长公式得.MN=2 √4−d 2 ≥2 √3 . 故d≤1. 即√k 2+1 ≤1.化简得 8k （k+ 34 ）≤0.∴- 34 ≤k≤0.故k 的取值范围是[- 34.0]． 故选：A ．【点评】：本题主要考查点到直线的距离公式.以及弦长公式的应用.属于中档题．8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（ ）A.0B. π6C. π3D. π2【正确答案】：D【解析】：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① 点E是线段AC的中点.BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．利用反证法可以证明．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．【解答】：解：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① ∵点E是线段AC的中点.∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．反证法：若直线BE与平面α所成角是π2.则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上.在该四面体绕CD旋转的过程中.BE与CD是不可能垂直的.因此假设错位.于是直线BE 与平面α所成角不可能是90°．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．则E.O.D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．∴θ＞π3．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是π2．故选：D．【点评】：本题考查了正四面体的性质、线面垂直性质定理、正三角形的性质、线面角.考查了数形结合方法、推理能力与计算能力.属于难题．9.（单选题.4分）已知两点A(1，6√3) . B(0，5√3)到直线l的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a的取值范围是（）A.a≥1B.0＜a＜1C.0＜a≤1D.0＜a＜2【正确答案】：B【解析】：（1）由题意做出简图.分别讨论A.B在同一侧和两侧两种情况.只需a小于A.B两点距离的一半.再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．【解答】：解：由题意如图所示：因为若A.B在直线的同一侧.可做两条直线.所以若有这样的直线有4条.则当A.B两点分别在直线的两侧时.还应该有两条.所以2a小于A.B的距离.因为|AB|= √(1−0)2+(6√3−5√3)2 =2.所以0＜2a＜2.所以：0＜a＜1.故选：B．【点评】：考查点到直线的距离公式.属于中档题．10.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ【正确答案】：D【解析】：由四面体为正四面体.结合AQ=QD. APPB = CRRA= 12.通过图形直观分析得答案．【解答】：解：观察可知.α＞β＞γ.α为钝角.β.γ均为锐角.β平缓一点.γ陡急一点. ∴ π2＞β＞γ .则α＞β＞γ.故选：D．【点评】：本题考查二面角的平面角及其求法.考查学生通过读图进行直观分析问题与解决问题的能力.是中档题．11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．【正确答案】：[1] 12 ; [2] √62【解析】：根据题意.将圆的方程变形为标准方程的形式.求出圆的圆心以及半径.又由圆的圆心在直线y=x上.即可得a的值.据此可得答案．【解答】：解：根据题意.圆的一般方程为x2+y2+2ax+y-1=0.则其标准方程为（x+a）2+（y+1 2）2=a2+ 54：其圆心为（-a.- 12）.半径r= √a2+54.若其圆心在直线y=x上.则有-a=- 12 .即a= 12.其半径r= √14+54= √62；故答案为：12 . √62【点评】：本题考查圆的一般方程.关键是掌握圆的一般方程的形式.属于基础题．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．【正确答案】：[1]-1; [2] 8√23【解析】：由m（m-2）-3=0.解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．【解答】：解：由m （m-2）-3=0.解得m=3或-1． 经过验证：m=3时两条直线平行舍去． ∴m=-1．直线l 1：x+my+6=0与l 2：（m-2）x+3y+2m=0分别化为：x-y+6=0.x-y+ 23 =0． ∴它们之间的距离= |6−23|√2=8√23． 故答案为：-1. 8√23．【点评】：本题考查了平行线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．【正确答案】：[1]24; [2]41π【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的体积.求出外接球的半径.即可求解外接球的表面积．【解答】：解：由题意可知几何体是三棱柱.如图：是长方体的一半. 所以几何体的体积为： 12×4×3×4 =24；几何体的外接球.就是长方体的外接球.外接球的半径为： 12×√42+32+42 = √412． 外接球的表面积为： 4π×(√412)2=41π． 故答案为：24；41π．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积.外接球的表面积的求法.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]3; [2][1.+∞）【解析】：由椭圆方程求得焦点坐标.再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值.可得|PF|的取值范围．【解答】：解：由椭圆y 29+x25=1 .得c= √9−5=2 .则其焦点坐标为（0.±2）.∴双曲线C：y2−x2m=1的焦点坐标为（0.±2）.∴1+m=4.得m=3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0.2）.则当P为双曲线的上顶点时.|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1.+∞）．故答案为：3；[1.+∞）．【点评】：本题考查椭圆与双曲线的简单性质.是基础题．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（π6 . π3）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为π6＜θ＜π3.得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（ π6 . π3 ）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC 中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC .且AP=AC=1.过点A 分别作AE⊥PB 于点E.AF⊥PC 于点F.连结EF.当△AEF 的面积最大时.tan∠BPC=___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：由已知可证AE⊥平面PBC.PC⊥平面AEF.可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .从而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”.解得当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.即可求得tan∠BPC 的值【解答】：解：显然BC⊥平面PAB.则BC⊥AE . 又PB⊥AE .则AE⊥平面PBC.于是AE⊥EF .且AE⊥PC .结合条件AF⊥PC 得PC⊥平面AEF. 所以△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”. 所以.当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.此时tan∠BPC= EF PF = 12√22= √22 .【点评】：本题主要考查了直线与平面垂直的判定.不等式的解法及应用.同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力.属于中档题 17.（填空题.4分）已知椭圆 C ：x 24+y 2=1 上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M.若原点O 是△ABC 的重心.且△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则直线BC 的斜率为___ ．【正确答案】：[1] −√36【解析】：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ．由原点O 是△ABC 的重心.得△BMA 与△CMO 的高之比为3.结合△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .得2BM=MC ．可得2x 1+x 2=0.联立直线与椭圆方程.利用根与系数的关系得到36k 2m 2=1-m 2+4k 2.利用重心坐标公式求得A 的坐标.代入椭圆方程即可求解直线BC 的斜率．【解答】：解：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ． ∵原点O 是△ABC 的重心.∴△BMA 与△CMO 的高之比为3. 又△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则2BM=MC ． 即2 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .得2x 1+x 2=0.… ①联立 {y =kx +m x 2+4y 2=4 .得（4k 2+1）x 2+8mkx+4m 2-4=0． 则x 1+x 2= −8km 1+4k 2 .x 1x 2= 4m 2−41+4k 2 .… ②由 ① ② 整理可得：36k 2m 2=1-m 2+4k 2.… ③ ∵原点O 是△ABC 的重心.∴ x 3=−(x 1+x 2)=8km1+4k 2 . y 3=-（y 2+y 1）=-[k （x 1+x 2）+2m]=- 2m1+4k 2 ．∵ x 32+4y 32=4 .∴（ 8km1+4k 2 ）2+4（ −2m 1+4k 2 ）2=4.即1+4k 2=4m 2.… ④ ． 由 ③ ④ 可得k 2= 112 . ∵k ＜0．∴k=- √36． 故答案为： −√36 ．【点评】：本题考查了椭圆的性质.考查了计算能力、转化思想.属于中档题．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．利用基本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．可得1x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（1）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴20≥2 √2x•5y .化为：xy≤10.当且仅当2x=5y=10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴ 1 x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）≥ 120（7+2 √5yx•2xy）= 120（7+2√10）.当且仅当√5 y= √2 x.2x+5y=20取等号．∴ 1 x +1y的最小值为：120（7+2 √10）．【点评】：本题考查了基本不等式的性质、方程的解法、转化法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）连接DE、PE.证明四边形BEDG是平行四边形.得出BG || ED.即可证明BG || 平面PDE；（2）连接PG.证明PG⊥AD.再证BG⊥AD.得出AD⊥平面PGB.即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时.平面DEF⊥平面ABCD.再证明即可．【解答】：（1）证明：连接DE、PE.则DG || BE.且DG=BE.所以四边形BEDG是平行四边形. 所以BG || ED.又BG⊄平面PDE.DE⊂平面PDE.所以BG || 平面PDE；（2）证明：连接PG.因为△PAD为正三角形.G为AD边的中点.所以PG⊥AD；又AG= 12 AB.∠BAD=60°.所以BG= √32AB.所以∠BGA=90°.即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB.BG⊂平面PGB.PG∩BG=G.所以AD⊥平面PGB.又PB⊂平面PGB.所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时.满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F.连接DE、EF、DF.在△PBC中.FE || PB.在菱形ABCD中.EF∩DE=E.所以平面DEF || 平面PGB.因为BG⊥平面PAD.所以BG⊥PG.又因为PG⊥AD.AD∩BG=G.所以PG⊥平面ABCD.而PG⊂平面PGB.所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD．【点评】：本题考查了空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的平行和垂直判断问题.也考查了空间想象能力与逻辑推理能力．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）依题意.容易求得半径r=4.圆心坐标为（-4.2）.由此得到方程；（2）依题意.只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率.结合图象得解．【解答】：解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点（0.2）.所以圆心在直线y=2上.设圆C 与x 轴交于P.Q 点.又因为被x 轴分成的两段圆弧长之比为1：2.所以可得∠PCQ= 2π3 .所以r=4.圆心C 的坐标：（-4.2）.所以圆C 的方程：（x+4）2+（y-2）2=16；（2）依题意.只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率.设其直线方程为y=tx （t ＞0）.此时有 2＜|−4t−2|√t 2+1≤4 .解得 0＜t ≤34 ；若点M 在劣弧PQ 上.则直线OM 的斜率k=t.于是 0＜k ≤34 ；若点N 在劣弧上.则直线OM 的斜率 k =−1t .于是 k ≤−43 ；又当k=0时.点N 为（0.2）也满足条件；综上所述.所求直线OM 的斜率k 的取值范围为 (−∞，−43]∪[0，34] ． 【点评】：本题考查圆的标准方程的求法及直线与圆的关系.考查逻辑推理能力.属于中档题．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.AB⊥PA .AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．可证四边形ABED 是矩形.故而AB⊥AD .结合AB⊥PD 得出AB⊥平面PAD.又AB || CD 得出CD⊥平面PAD.于是平面PAD⊥平面PCD ；（II ）以A 为原点建立坐标系.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PBC 的法向量 n ⃗ .则直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|．【解答】：证明：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．∵BC=BD .E 为CD 中点.∴BE⊥CD .又∵AB || CD .AB= 12 CD=DE.∴四边形ABED 是矩形.∴AB⊥AD .又AB⊥PA .PA⊂平面PAD.AD⊂平面PAD.PA∩AD=A.∴AB⊥平面PAD ．∵AB || CD .∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD.∴平面BEF⊥平面PCD ．∴平面PAD⊥平面PCD ．（II ）以A 为原点.AB 为x 轴.AD 为y 轴.以平面ABCD 过点A 的垂线为z 轴建立空间直角坐标角系A-xyz.如图所示：∵PB=BD= √6 .AB= √2 .AB⊥PA .AB⊥AD .∴PA=AD=2．∴P （0.-1. √3 ）.D （0.2.0）.B （ √2 .0.0）.C （2 √2 .2.0）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.3.- √3 ）. BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √2 .-1. √3 ）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 .2.0）．设平面PBC 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∴ {√2x +2y =0−√2x −y +√3z =0 .取x= √2 .得 n ⃗ =（ √2 .-1. √33 ）. ∴cos ＜ n ⃗ . PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = −4√103•2√3 =- √105． ∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为√105 ．【点评】：本题考查了面面垂直的性质.空间向量的应用与空间角的计算.属于中档题．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用椭圆的离心率求得 b a =12 .将（ √3 . 12 ）代入椭圆方程.即可求得a 和b 的值．（2）设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 可得 S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ． 设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．由 {x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 时．S △PCD 取得最大值.【解答】：解：（1）由已知得 c a =√32 .⇒ b a =12 . 点（ √3 . 12 ）代入 x 2a 2 + y 2b 2 =1可得 3a 2+14b 2=1 ． 代入点（ √3 . 12 ）解得b 2=1.∴椭圆C 的标准方程： x 24+y 2=1 ．（2）可得A （-2.0）.B （0.1）．设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 PA ： y =n m+2(x +2) .PB ：n−1m x +1 . 可得C （0. 2n m+2 ）.D （ m 1−n ，0 ）．由 {y =n−1m x +1y =2n m+2可得x= m (2n−m−2)(n−1)(m+2) ． S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ．设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．{x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 ． 此时.方程组的解 {x =√2y =−√22即点P （ √2 .- √22 ）时.S △PCD 取得最大值.最大值为 √2 -1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角的大小是（ ） A ．B ．C ．D ．2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）23．点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.(-2，3，4)B.(2，-3，-4)C.(-2，-3，4)D.(-2，-3，-4)4. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；其中真命题为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④5.圆x 2+y 2+2x=0和x 2+y 2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=06.圆与圆的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A ．2B ．1+C ．D ．1+ 10.已知直线，圆，则直线和圆在同一坐标系中的图形可能是（ ）二填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ，体积是12. 在空间直角坐标系中，若点A （1，2，﹣1），B （﹣3，﹣1，4）．则|AB|=13.已知命题，使成立，则： ．14.经过点（3，-2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是15．直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点16.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，①异面直线1A D 与1D C 所成的角为60度；②直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为30度；③1D C ⊥平面11AB C D ④平面1ADB 与平面11BB C C 所成角为60度⑤平面11//A D 平面1ADB 以上命题正确的是答题纸 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11、 ， ；12、 ；13、14、 ；15、 ；16、三解答题：（本题共4小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17.（7分）求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x+-=与224x y+=交点的圆的方程18.（9分）已知直线：，：，求当为何值时，与：（1）平行；（2）相交；（3）垂直19. （10分）已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，求（1）的值；（2）求过点并与圆相切的切线方程.20.（10分）过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。

学军中学2019-2020学年第一学期期末模拟考试高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题）1. 设全集U =R ，集合M ={x |x ＞1}，P ={x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ）A.B. C. D.2. 设纯虚数z 满足=1+ai （其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ）A. 1B.C. 2D.3. 若x 、y 满足约束条件，则 的取值范围是A. B. C. D.4. 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要的条件是（ ）A.B. C. D.5. 函数y =的图象大致是（ ）A.B.C.D.6. 已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A. ,0是 的一个周期B. ,1是 的一个周期C. ,1是 的一个周期D. , 的最小正周期不存在7.若关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.8.若O是△ABC垂心，且，则m=（）A. B. C. D.9.已知二次函数f（x）=ax2+bx（|b|≤2|a|），定义f1（x）=max{f（t）|-1≤t≤x≤1}，f2（x）=min{f（t）|-1≤t≤x≤1}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者，min{a，b}表示a，b中的较小者，下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10.已知数列{a n}满足，，若，设数列{b n}的前项和为S n，则使得|S2019-k|最小的整数k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题）11.（1-2x）5展开式中x3的系数为______；所有项的系数和为______．12.等比数列{a n}中，，，则=______，a1a2a3a4=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则C=______；若，△ABC的面积为，则a+b=______．14.已知函数，则=______，若函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，则k的取值范围是______．15.已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，则x+y+xy的最小值为______．16.已知平面向量，，满足，，，则的最大值为______．17.当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2恒成立，则7a+b的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值及最小值．19.已知在△ABC中，|AB|=1，|AC|=2．（Ⅰ）若BAC的平分线与边BC交于点D，求；（Ⅱ）若点E为BC的中点，求的最小值．20.已知正项等差数列{a n}满足：，其中S n是数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，证明：．21.设函数f（x）=e x-ax+a，a∈R，其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：＜．已知函数f（x）=ln x-ax2-bx-2，a∈R．（Ⅰ）当b=2时，试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意的∈，，方程f（x）=0恒有2个不等的实根，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C解：∵全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜-1}，∴M P=P，M∩P=M．故选：C．先分别求出集合M，P，利用交集和并集的定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A解：由=1+ai，得z=，由z为纯虚数，得，即a=1．故选：A．3.【答案】D解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．4.【答案】B【解答】解：a＞b+1是a＞b的充分不必要的条件；a＞b-1是a＞b的必要不充分条件；|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件；2a＞2b是a＞b的充要条件.故选：B．5.【答案】D解：当x＞0时，y=x lnx，y′=1+ln x，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．6.【答案】B解：若x为有理数，D（D（x））=D（1）=1，若x为无理数，D（D（x））=D（0）=1，综上D（D（x））=1，排除C，D．根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A错误，若x为有理数，D（x+1））=1，D（x）=1，则D（x+1）=D（x），若x为无理数，D（x+1））=0，D（x）=0，则D（x+1）=D（x），综上D（x+1）=D（x），即1是函数D（x）的一个周期，故选：B．7.【答案】C解：∵|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|≥|（x+t2-2）-（x+t2+2t-1）|=|-2t-1|=|2t+1|，∴关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解等价于|2t+1|≥3t，∴ 或，t＜0，解得t≤1．．故选：C．先求f（x）的最小值，然后把关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解转化为|2t+1|≥3t，解不等式可得．8.【答案】D解：在△ABC中，sin B sin C≠0，由，得+=2m•，连接CO并延长交AB于D，∵O是△ABC垂心，∴CD⊥AB，=+∴+=2m•（+），两端同乘以得•+•=2m•（+）•，∴•c2+•bc•cos A=2m••=2m•||•c•cos0°=2m•b cos A•c∵A=∴•c2+•bc•=bcm，由正弦定理化为•sin2C+•sin B sin C•=m•sin B sin C，∴cos C sinC+cos B sin C=m•sin B sin C，又sin C≠0，约去sin C，得cos C+cos B=m•sin B，∵C=π-A-B=-B，∴cos C=cos（-B）=-cos B+sin B，代入上式，得∴sin B=m•sin B，又sin B≠0，约去sin B，∴m=．故选：D．9.【答案】C解：对于A，若f1（-1）=f1（1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f（-1）＞f（1）或f（-1）=f（1）．故A错误；对于B，若f2（-1）=f2（1），则f（-1）是f（x）在[-1，1]上的最小值，∴f（-1）＜f（1）或f（-1）=f（1），故B错误；对于C，若f2（1）=f1（-1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最小值，而f1（-1）=f（-1），f1（1）表示f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f1（-1）＜f1（1）．故C正确；对于D，若f2（1）=f1（-1），由新定义可得f1（-1）≥f2（-1），则f2（1）≥f2（-1），故D错误．故选：C．由新定义可知f1（-1）=f2（-1）=f（-1），f（x）在[-1，1]上的最大值为f1（1），最小值为f2（1），即可判断A，B，D错误，C正确．10.【答案】C解：a n+1-a n=≥0，a1=-，等号不成立，可得a n+1＞a n，∴数列{a n}是递增数列．∵数列{a n}满足，，∴==-，∴b n==-∴数列{b n}的前项和为S n=-+-+……+-=2-．则使得|S2019-k|=|2--k|使得|S2019-k|最小的整数k的值为2．故选：C．a n+1-a n=≥0，可得数列{a n}是递增数列．数列{a n}满足，，可得==-，b n==-进而得出结论．11.【答案】-80 -1解：根据题意得，（1-2x）5展开式的通项为T r+1=（-2x）r=（-2）r x r令r=3得（-2）3=-80，令x=1得所有项的系数和为（1-2）5=-1故答案为-80，-112.【答案】解：∵等比数列{a n}中，，，∴q==，∴===（）6=，a1a2a3a4==（）4（）6=4×=．故答案为：，．推导出q==，由等比数列的通项公式得==，a1a2a3a4=，由此能求出结果．13.【答案】7解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，∴由正弦定理可得，解得，，∴，解得ab=6，∵，cos C=，∴，解得a=1，b=6或a=6，b=1，∴a+b=7．故答案为：，7．14.【答案】[0，+∞）【解析】解：根据题意，函数，则f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8；由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，∴当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0．函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，即函数y=f（x）与函数y=k有无穷多个交点，则k≥0．故答案为：6-8；[0，+∞）．由f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8可得解；根据由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0，零点问题转化为交点问题，即可求解．15.【答案】解：已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，所以x2+y2=1-xy≥2xy，解得，又由已知得（x+y）2=xy+1，由于是求最小值，故可取，所以，令∈，，则xy=t2-1，，故当时x+y+xy的最小值为，故答案为：．16.【答案】10解：∵，设与的夹角为θ，∴===，∴cosθ=-1时，取得最大值10．故答案为：10．根据，可设与的夹角为θ，根据=进行数列的运算即可得出，从而可求出的最大值．17.【答案】[-4，8]解：当x∈[1，4]时，不等式可化为，若a=0，则0≤b≤4，故7a+b∈[0，4]；若a＞0，y=，y'=a-=a（1-）=a，当x∈[1，2]，y递减，x∈[2，4]，y递增，可得x=1，y最大值为5a，x=2，y最小3a，故3a+b≥0，5a+b≤4，7a+b═-（3a+b）+2（5a+b）≤8，若a＜0，由上知，5a+b≥0，3a+b≤4，由7a+b═-（3a+b）+2（5a+b≥-4，综上，7a+b∈[-4，8]．故答案为：[-4，8]．当x∈[1，4]时，不等式可化为，分三种情况讨论，根据3a+b，5a+b的范围，确定7a+b范围．考查不等式恒成立问题，函数最值计算，线性规划解不等式，中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x•（cos x-sin x）+=sin x cosx-sin2x+ =sin2x-•+=sin（2x+）．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-．19.【答案】解：（1）AD为BAC的平分线，|AC|=2|AB|，所以|BD|=2|DC|，由B，C，D三点共线，，所以==．（2）由E为BC的中点，，由平行四边形对角线的性质，所以=，所以由柯西不等式（）（）≥（2+1）2=9，当且仅当时，取等号，故的最小值为．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，数列{a n}为正项等差数列，所以a1=1，所以=1+，整理得：a2（a2+1）（a2-2）=0，所以a2=2，或a2=0（舍）或a2=-1（舍）所以数列{a n}的公差d=2-1=1，所以a n=1+（n-1）×1=n；（Ⅱ）证明：=（-1）n-1-（-1）n，∴b1+b2+b3+……+b n=（1+）+（--）+（+）+……+（（-1）n-1-（-1）n，）=1-≤1+=，命题得证．21.【答案】解：（1）∵f（x）=e x-ax+a，∴f'（x）=e x-a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=ln a，当f'（x）＜0时，x＜ln a，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞ln a，f（x）是单调增函数，于是当x=ln a时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（ln a）=a（2-ln a）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜ln a，f（1）=e＞0，存在3ln a＞ln a，f（3ln a）=a3-3a lna+a＞a3-3a2+a＞0，又由f（x）在（-∞，ln a）及（ln a，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．（2）∵ ，∴两式相减得a=，记=s（s＞0），则f′（）=-=[2s-（es-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），则g'（s）=2-（e s+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）=0，而＞0，∴f′（）＜0．又f'（x）=e x-a是单调增函数，且＞，∴f′（）＜0．22.【答案】解：（Ⅰ）当b=2时，f′（x）=-2ax-2=，x＞0，（1）当a＞0，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（2）当a=0时，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（3）当-＜a＜0，令f′（x）=0，解得x=或x=∴当0＜x＜，或x＞时，f′（x）＞0，当＜x＜时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，（4）a≤-，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）问题等价于=ax+b有两解令g（x）=，x＞0有g′（x）=，x＞0，令g′（x）=0，解得x=e3，当0＜x＜e3，g′（x）＞0，当x＞e3，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，e3）上单调递增，在（e3，+∞）上单调递减，当x→-∞时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0，∵g（e2）=0，∴由图象可知a＞0时，过（0，-）作切线时，斜率a最大，设切点为（x0，y0），则有y=•x+，∴=-，∴x0=e，此时斜率a取最大值，故a的取值范围为（0，]．。

杭州学军中学2019学年第一学期期末考试高一数学试卷命题人：何玲娜 审题人：王加义一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是（ ▲ ）A.P M =B.M P M =UC.M P M =ID.()U C M P =∅I 2．若0.52a =，lg 2b =，ln(sin 35)c ︒=，则（ ▲ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ． a b c >>3．下列四个函数：①3y x =-；②12x y -=；③2ln y x =；④⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0103x x x x y 其中定义域与值域相同的函数有（ ▲ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4．对任意向量→→b a ，,下列关系式中不恒成立的是（ ▲ ）A ．→→→→≤⋅b a b a B ． 22→→→→+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a C ．→→→→-≤-ba b aD ． 22→→→→→→-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a 5．设)(x f 是定义域为R ,最小正周期为π3的函数,且在区间]2,(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=0cos 20sin )(x x x x x f ππ,则=+-)6601()3308(ππf f （ ▲ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1- 6. 函数,则使得成立的的取值范围是（ ▲ ） A ． B ． C ． D ． 7. 已知单位向量b a ,的夹角为ο60，若向量c 满足3|2|≤+-c b a ，则||c 的最大值为（ ▲ ） A.3 B.33+ C.31+ D.331+21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U8．已知实数a <b <c ,设方程0111=-+-+-cx b x a x 的两个实根分别为)(,2121x x x x <，则下列关系中恒成立的是（ ▲ ）A ．c x b x a <<<<21B ．c x b a x <<<<21C ．c b x x a <<<<21D ．21x c b x a <<<<9．记{}{},0)1)((|B ,,)sin()(|<---=+==a x a x x x x f A 为正整数为偶函数ωωθθ 对任意实数a 满足B I A 中的元素不超过两个,且存在实数a 使B I A 中含有两个元素,则ω的最大值为（ ▲ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则b a +2=（ ▲ ）A ．67B ．56C ．35D ．2 二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分。

2023-2024学年浙江省杭州学军中学紫金港校区高二上学期期末数学试题1.已知复数z 满足，则（）A ．2B ．4C．D ．2.已知集合，则（）A．B．C．D ．3.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A ．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B ．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C ．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D ．丙次购买葡萄的平均价格无法比较4.已知直线与曲线相切，则实数k 的值为（）A．B．C ．D ．5.已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．6.已知数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（）A ．B．C ．D ．8.设点，抛物线上的点P 到y 轴的距离为d ．若的最小值为1，则（）A ．6B ．4C ．3D ．29.下列表述正确的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D ．如果，那么10.已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（）A．实轴长为4B．双曲线为等轴双曲线C．离心率为D．渐近线方程为11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（）A．存在点P，使得平面B．对任意点P，平面平面C．两条异面直线和所成的角为D．点到直线的距离为412.设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（）A．B．C．的图象关于对称D．函数为周期函数，且周期为413.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.14.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．15.设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.16.已知数列满足，若，则_____．17.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)求角C；(2)若的周长为20，面积为，求边c．18.已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．(1)若，求P的坐标；(2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．19.设a为实数，函数．(1)求的极值；(2)对于，都有，试求实数a的取值范围．20.设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.(1)若，，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求.21.如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.(1)求证：；(2)若平面，求的值；(3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.22.己知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F．(1)求椭圆的标准方程；(2)记直线的斜率分别为，证明是定值；(3)是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．。

浙江省杭州地区重点中学2019-2020学年上学期期末考试高二数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（ ） A ． 圆锥 B ．圆柱 C ．圆台 D ．球2.抛物线2x y =的准线方程是（ ） A ．21-=y B ．41-=y C ．41=y D ．21=y 3.直线0433=++y x 的倾斜角大小是（ ） A ．6π-B ． 3πC ． 65πD ． 32π 4.已知平面α与两条直线m l ,，α⊥l ，则“l m //”是“α⊥m ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 5.两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（ ） A ．两条平行直线 B ．两条相交的直线 C. 一条直线与直线外一个点 D ． 一条直线6.直线042=-+by ax 被圆012422=+-++y x y x 截得的弦长为4，则22b a +的最小值是（ ）A ． 3B ．3 C. 2 D ．27.一个结晶体的形状是平行六面体1111ABCD A B C D -，以A 顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是3π，则对角线1AC 的长度是（ ） A ．3 B ．2 C. 5 D ．68.已知21,F F 分别是双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在点22221x y a b-=(0,0)a b >>，使02160=∠AF F ，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是（ ）A ．332 B ．3 C. 334 D ．32 9.已知直线)(01sin cos :R a y x l ∈=-+αα与圆4)5()2(22=-+-y x 相切，则满足条件的直线l 有（ ）条A ． 1B ．2 C. 3 D ．410.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，F E ,分别为线段111,CC B A上两个动点且23=EF ，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在某个位置F E ,，使DF BE ⊥ B ．存在某个位置F E ,，使//EF 平面11BCD A C.三棱锥BEF B -1的体积为定值 D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11.双曲线1322=-y x 的焦距是 ；渐近线方程是 ．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ；最长边的大小是 ．13.长方体1111ABCD A B C D -中，1==AD AB ，21=AA ，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是 ；1BD 与平面11A ADD 所成角的大小是 ．14.点P 是抛物线y x 42=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 距离的最小值是 ；距离最小时点P 的坐标是 ．15.已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，)2,1,(-=x c ，若c b a ,,是共面向量，则=x ． 16.矩形ABCD 与ABEF 所在平面相互垂直，AB AF AD 3==，现将ACD ∆绕着直线AC 旋转一周，则在旋转过程中，直线AD 与BE 所成角的取值范围是 ．17. 若椭圆)15(1151022>=-++t t y t x 与双曲线191622=-y x 在第一象限内有交点A ，且双曲线左、右焦点分别是21,F F ，021120=∠A F F ，点P 是椭圆上任意一点，则21F PF ∆面积的最大值是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知直线012:=+-y ax l 与圆03222=--+x y x C ：相交于B A ,两个点. （1）求圆C 的圆心与半径； （2）若32||=AB ，求实数a 的值.19. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ABC ，21===AA BC AB ，⊥1AA 平面ABC ，F E ,分别是111,C A BB 的中点.（1）求证：CE AF ⊥；（2）求平面AEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.20.平面上的动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与到直线1-=x 的距离相等. （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于B A ,两个不同的点，若3=，求直线l 的方程.21. 如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，5=AB ，7=BC ，8==PA AC ，32π=∠PAC ，G 是ABC ∆重心，E 是边PC 上点，且PC PE λ=.（1）当31=λ时，求证：//EG 平面PAB ；（2）若PC 与平面ABE 所成角的正弦值为552时，求λ的值.22.如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，)1,2(P 是椭圆E 上一点。

2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列二、填空题11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝，|z|＝．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝，展开式中各项系数和等于．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝；若AD ＝AC＝1，则BC＝．14．已知函数，则f[f（2019）]＝；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝．三、解答题18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：B．2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，可得a＝2，c＝，利用离心率计算公式即可得出．解：由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，∴a＝2，c＝＝．∴双曲线的离心率e＝＝．故选：A．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图象即可求解．解：作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据e x•e y＝（e x）y，可得x+y＝xy，再利用基本不等式可得，从而得到，然后确定当x+y取得最小值时x的值即可．解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵，∴，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．【分析】推导出P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝从而P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，由此推导出P（ξ＝1）＞D（ξ）．解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝+＝．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分a＝0、a＞0和a＜0三种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及单调性，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a ﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【分析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确．解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f （x）•g（x）＝x4在R上不单调，故C错误；由y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且两函数定义域均关于原点对称，则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），且定义域关于原点对称，函数y ＝f（g（x））为奇函数，故D正确．故选：D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x0，y0），由，p＝2c，可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x，整理可得：a﹣e＝⇒e＝即可．解：设P（x0，y0），，．∵，则2c（c﹣x0）＝…①，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．∴p＝2c…②，由①②可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x．整理可得：a﹣e＝⇒2e2+5e﹣3＝0．解得e＝（负值舍）．故选：A．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【分析】本题先将递推式进行变形，然后令t＝，根据题意有常数t≠0，且t≠1．将递推式通过换元法简化为a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝（t ﹣1）（a n+1﹣a n）．根据此时逐步递推可得a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．根据题意有a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，可得到数列{a n}是一个等差数列．由此可得正确选项．解：由题意，得＝a n+1+a n．令t＝，则＝1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+i）•z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：1+i；．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝ 1 ，展开式中各项系数和等于64 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，再令x＝1，可得展开式中各项系数和．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r＝2，故展开式中含x2的项的系数为•a2＝15，则a＝1．再令x＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64，故答案为：1；64．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝ 2 ；若AD＝AC＝1，则BC＝．【分析】①根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出的值；②由余弦定理列出方程，即可求得BD、CD和BC的值．解：①如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，所以c＝2b，所以＝＝＝2；②由AD＝AC＝1，所以AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，cos∠CAD＝＝＝，又∠BAD＝∠CAD，所以＝，解得x＝；所以BC＝3x＝．故答案为：2，．14．已知函数，则f[f（2019）]＝0 ；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】推导出f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，从而f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，结合图形，能求出实数a的取值范围．解：∵函数，∴f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（﹣1，0），B（，0），f（x+a）与f（x）的图象是平移关系，∵关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：0，（﹣1，]．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【分析】由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得．解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32＝6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32＝6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33＝6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种．故答案为：21．16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝﹣11 ．【分析】问题等价为函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根，依题意，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而利用三次函数的性质可求得x2＝1，进而求得a的值．解：方程f（x）＝g（x）即为x3﹣3x2﹣9x＝a，依题意，函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，由x1，x2，x3构成等差数列可知，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h′（x）＝3x2﹣6x﹣9，h''（x）＝6x﹣6，令h''（x）＝6x﹣6＝0，解得x＝1，即x2＝1，故函数h（x）的对称中心即为（1，﹣11），则a＝﹣11．故答案为：﹣11．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝﹣2 ．【分析】取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得＝＝，即有，，即有•（）＝（）•（）＝（）＝（4﹣）＝，解得，所以＝＝，故答案为：﹣2．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）函数＝sin2x﹣＝sin2x ﹣cos2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）在区间上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为，故f（x）的值域为[﹣，]．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．【分析】（1）写出k＝1时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得f（x）的单调增区间；（2）解出各段上函数的解析式，再结合k的取值范围得到方程根的个数．解：（1）k＝1时，f（x）＝x2+|x﹣1|﹣2＝，当x≥1时，f（x）＝（x+）2﹣，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2﹣，此时函数在（，1）上单调递增，综上函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）；（2）当x≥1时，则x2+k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1+k）＝0，即x＝﹣1﹣k，或x＝1；当x＜1时，则x2﹣k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1﹣k）＝0，即x＝k﹣1，故当k＜﹣2，﹣1﹣k＞1，k﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k＝﹣2时，﹣1﹣k＝1，k﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【分析】（1）利用面积可得bc＝8，利用，可知C、P、D三点共线，即可求出m的值；（2）由（1）可表示出||，利用机泵不等式可得最小值．解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bc sin＝2，解得bc＝8，由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，所以m+＝1，解得m＝；（2）由（1）可知，所以||2＝（）2＝因为＝bc cos＝﹣4，所以||2＝≥2•﹣＝，故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，综上||的最小值为．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【分析】（1）由题意得，，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求；（2）由，结合0＜＜1恒成立，即可得到c n＜＜＝，结合等差数列的前n项和公式即可证明．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【分析】（1）求出导数，分类讨论a的正负即可；（2）表示出g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出g （x）单调区间，进而求出a的取值范围解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln （﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）＝≥0，又h（x0）＝2（）＝0，从而≥0，解得0＜x0≤ln3，由＝x0﹣a，则a＝x0﹣，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤．。

杭州学军中学2018学年第一学期期末考试高二数学试卷参考公式：球的体积公式:V =34πR 3其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是（）A.(1,0),3- B.(1,0),3C.(1,0),3- D.(1,0),32.在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是（）A.若m ∥n ，n ⊥α，则m ⊥αB.若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βC.若m 上有无数个点不在α内，则m ∥αD.若m ∥α，那么m 与α内的任何直线平行3.已知b a ,为实数，则“a ＞b ”是“a 1＜b1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为()A ．6B ．32C ．12D ．625.曲线C ：y y x 22--=与直线0:=--m y x l 有两个交点，则实数m 的取值范围（）22.221.212.2112.≤≤--≤<--+<≤+<<--m D m C m B m A 6.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5，其正视图，俯视图如图所示，则其侧视图（）A.形状是等腰三角形，面积为133 B.形状是等腰三角形，面积为2393C.不是等腰三角形，面积为133 D.不是等腰三角形，面积为23937.已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于()A.32B ．33C ．36D ．18．已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22=⋅+⋅++y x y x C θθ)(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系一定不是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定(第4题)(第6题)9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点（不包括边界），记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为3π，则点P 的轨迹是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分10.已知在△ABC 中，2π=∠ACB ，AB=2BC，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则（）)33,0(sin ],3,0(.∈∈βπαA ]33,0(sin ],3,0(.∈∈βπαB )21,0(sin ],3,0(.∈∈βπαC 1.(0,],sin (0,)62D παβ∈∈二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.双曲线x 24－y 23＝1的渐近线方程是；实轴长为___________.12.已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，直线恒过定点;当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝．13.已知抛物线y 2＝mx 的焦点坐标F 为(2,0)，则m 的值为;若点P 在抛物线上，点A (5,3)，则|PA |＋|PF |的最小值为.14．如图，在三棱锥S—ABC 中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，则异面直线MN 与AC 所成角为_____;三棱锥S—ABC 的外接球的体积为.15.已知两圆02:221=-+x y x C ，4)1(:222=++y x C 的圆心分别为21,C C ，P 为一个动点，且22||||21=+PC PC ，则动点P 的轨迹方程为_______________.16.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的顶点为12,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线2A M 和2A P 的斜率分别为12,k k ，若21A M PA ⊥且1240k k +=，则双曲线C 离心率17．已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，且满足||2||PA PB =，设1PD 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值是(第14题)(第9题)三、解答题（本大题共5小题，共74分。

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

2019-2020学年第一学期高二（上）期中数学试卷一、选择题1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知平面四边形ABCD，按照斜二测画法（∠x'O'y'＝45°）画出它的直观图A'B'C'D'是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥βA．①④B．②③C．①③D．③④4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E是棱B1B上的动点（不含端点），平面A1C1E与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与AC的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．与E点位置有关5．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（）A．B．C．D．6．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）A．B．C．D．7．设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．B．C．D．8．直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（）A．2：5：6 B．C．1：2：3 D．1：4：69．若直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．B．C．D．10．高为1的正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，二面角P﹣AB﹣C与二面角A﹣PB﹣C之和记为θ，则在a从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若正实数x，y满足x+y＝2xy，则x+y的最小值是．xy的最小值是．12．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积是．体积是．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站km 处，最少费用为万元．14．如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是与．15．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为．16．若对任意的x∈（﹣∞，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．17．在斜边长为4的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将△ABD 沿线段BD折到△PBD位置，则点P到平面BCD距离的最大值是．三、解答题：5小题，共74分18．某几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．（1）证明：MO∥平面PAB；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．20．已知长方形ABCD中，现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示，（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直请说明理由；（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．21．设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．（1）求x+y的最大值；（2）求x2+y2的最小值．22．如图，已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，将△ABC沿着BC折起，（1）若，求异面直线AB和CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的体积最大时，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】判断满足题意的三视图的视图形状，推出结果即可．解：正方体的三视图都是正方形，①不正确；圆锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是圆，所以②正确；三棱台的三视图没有相同的图形，所以③不正确；正四棱锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是轮廓是正方形，所以④正确；故选：D．2．已知平面四边形ABCD，按照斜二测画法（∠x'O'y'＝45°）画出它的直观图A'B'C'D'是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据直观图与原图面积比为定值，计算出直观图的面积即可得到原图的面积．解：依题意，直观图A'B'C'D'的面积S直＝1，设原图面积为S原，则＝，所以＝，所以S原＝2，故选：C．3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥βA．①④B．②③C．①③D．③④【分析】根据线面平行和垂直以及面面平行和垂直的定义和性质分别进行判断即可．解：①若α∥β，∵m⊥平面α，∴m⊥平面β，∵n⊂平面β，∴则m⊥n成立，故①正确，②若α⊥β，∵m⊥平面α，∴m∥β或m⊂β，∵n⊂平面β，∴m∥n不一定成立，故②错误③若m∥n，则n⊥平面α，则α⊥β成立，故③正确，④若m⊥n，则α∥β不一定成立，故④错误，故正确的是①③，故选：C．4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E是棱B1B上的动点（不含端点），平面A1C1E与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与AC的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．与E点位置有关【分析】显然直线A1C1∥平面ABCD，从而根据线面平行的性质定理得出l∥A1C1，而显然AC∥A1C1，从而可得出l与AC的位置关系．解：∵A1C1∥平面ABCD，且A1C1⊂平面A1C1E，平面A1C1E∩平面ABCD＝l，∴A1C1∥l，又AC∥A1C1，∴l∥AC．故选：B．5．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（）A．B．C．D．【分析】判断AD与平面ABC所成的角最大值时，AD的位置，然后求解高与底面面积，即可得到体积．解：正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，平面ADC与底面ABC垂直，此时棱锥的高为：，底面面积为：＝．所以三棱锥D﹣ABC的体积：＝．故选：A．6．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）A．B．C．D．【分析】当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C图；当截面过正方体的体对角线时得B图；当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得A图但无论如何都不能截出D图，故选：D．7．设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，可得1＝（a+b）．可得＝+＝++，a＜0时，利用基本不等式的性质即可得出．解：实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，∴1＝（a+b）．则＝+＝++，a＜0时，≥﹣+2＝+＝．当且仅当b＝﹣3a＝时取等号．故选：A．8．直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（）A．2：5：6 B．C．1：2：3 D．1：4：6【分析】由已知设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰长分别为x，2x，x；它们分别为圆台的上、下底半径和腰长，代入圆台底面积及侧面积公式，计算即可．解：由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，x，如图所示；所以上底面的面积为S上底＝π•x2；下底面的面积为S下底＝π•（2x）2＝4πx2；侧面积为S侧面＝π（x+2x）•x＝3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2：4πx2：3πx2＝1：4：3．故选：B．9．若直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．B．C．D．【分析】由已知中直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，根据空间直线与平面夹角的定义，我们可得θ1+θ2≤90°，当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等，进而得到结论．解：∵直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则θ1+θ2≤90°（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）则sin2θ1+sin2θ2≤1（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）所以：．故选：C．10．高为1的正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，二面角P﹣AB﹣C与二面角A﹣PB﹣C之和记为θ，则在a从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【分析】考虑三个特殊情况，即a→0，a→+∞及正三棱锥P﹣ABC为正四面体时，可以发现θ先增大后减小．解：当a→0时，，当a→+∞时，θ→π，当正三棱锥P﹣ABC为正四面体时，如图，此时，设二面体P ﹣AB﹣C的大小为α，则，故，故，故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若正实数x，y满足x+y＝2xy，则x+y的最小值是 2 ．xy的最小值是 1 ．【分析】①正实数x，y满足x+y＝2xy，变为+＝2，可得x+y＝（+）（x+y），展开利用基本不等式的性质即可得出x+y的最小值．②由正实数x，y满足2xy＝x+y，直接利用基本不等式的性质即可得出．解：①正实数x，y满足x+y＝2xy，∴+＝2，∴x+y＝（+）（x+y）＝（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x+y的最小值是 2．②由正实数x，y满足2xy＝x+y≥2，解得：xy≥1．∴xy的最小值是1．故答案为：2，1．12．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积是12π．体积是4π．【分析】由三线垂直联想正方体，利用外接球直径为体对角线长，容易得解．解：由PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，可知该三棱锥为正方体的一角，其外接球直径为体对角线长，即2R＝＝2，∴R＝．三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是4πR2＝12π，体积为＝4π．故答案为：12π，4π．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km处，最少费用为8 万元．【分析】据题意用待定系数法设出两个函数y1＝，y2＝k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可．解：设x为仓库与车站距离，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x费用之和y＝y1+y2＝0.8x+≥2＝2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．最少费用为8万元．故答案为：5，8．14．如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是10π与π．【分析】由已知中边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，且以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，可围成一个圆锥，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，求出l，r，h后，代入圆锥表面积公式和体积公式，可以得到答案．解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件可得：，解得r＝，l＝4，∴S＝πrl+πr2＝10π，又∵h＝＝，∴V＝πr2h＝π．故答案为：10π，π15．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为．【分析】设棱长为4a，PC＝x（0＜x≤4a），则PE＝．求出P到平面BCD 的距离，即可求出结论．解：设棱长为4a，PC＝x（0＜x≤4a），则PE＝．正四面体的高为：，设P到平面BCD的距离为h，则，∴h＝x，∴sinθ＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为：．故答案为：．16．若对任意的x∈（﹣∞，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[0，+∞）．【分析】利用对数函数的单调性化简不等式4x+（a﹣2）2x+1≥0，再利用换元法转化为含参数的二次不等式，分离参数后，用基本不等式求出实数a的范围．解：由不等式化为∴4x+（a﹣1）2x+1≥2x，∴4x+（a﹣2）2x+1≥0，令t＝2x，∵x∈（﹣∞，2]，∴0＜t≤4，t2+（a﹣2）t+1≥0恒成立，等价于2﹣a≤+t在（0，4]上恒成立，即2﹣a≤（+t）min，而+t≥2，当且仅当t＝1时取等号，∴2﹣a≤2，∴a≥0，∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．17．在斜边长为4的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将△ABD 沿线段BD折到△PBD位置，则点P到平面BCD距离的最大值是2．【分析】由已知求得三角形直角边长，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝PD＝4﹣x，把点P 到平面BCD距离用含有x的代数式表示，再由导数性质求最值．解：如图，∵△ABC为等腰直角三角形，且斜边AC＝4，则AB＝BC＝2，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝4﹣x，PD＝x，PB＝2，则BD＝＝＝．要使点P到平面BCD距离最大，则平面PBD⊥平面ABC，设点P到平面BCD距离为h，则，解得h＝＝，∴h′＝＝，由h′＝0，得x＝4，∴当x→4时，点P到平面BCD距离的最大值是：h＝（）＝＝2．故答案为：2．三、解答题：5小题，共74分18．某几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积与体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图是长方体的一部分是三棱锥A﹣BCD，CD＝3，BC＝3，AB＝3，（1）该几何体的表面积：＝+××＝27；（2）该几何体的体积：＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．（1）证明：MO∥平面PAB；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】（1）推导出O是BD中点，从而OM∥PB，由此能证明OM∥平面PAB．（2）推导出四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．∴O是BD中点，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB；（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD且PO＝4，∴四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，4），M（0，﹣，2），＝（﹣1，﹣，2），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设直线AM与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为．20．已知长方形ABCD中，现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示，（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直请说明理由；（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，解得a＝；（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD的面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，进而建立空间直角坐标系求解；解：（1）若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得AB⊥面ACD，∴AB⊥AC，∴AB2+a2＝BC2即1+a2＝3，解得a＝；∴AB⊥CD（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD的面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，以O为坐标原点，在平面BCD中，过点O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为x轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，1，0），D（0，，0）面BCD的法向量＝（0，0，），面ACD的法向量＝（x，y，z），∵＝（﹣，，0），＝（0，﹣，），则取＝（1，，3），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，则cos＝|cos ＜，＞＝＝21．设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．（1）求x+y的最大值；（2）求x2+y2的最小值．【分析】（1）直接利用二次函数的应用求出结果．（2）利用基本不等式的变换的应用求出结果．解：（1）设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．整理得（x+y）2﹣xy＝1，设x+y＝t，则y＝t﹣x，故t2﹣x（t﹣x）＝1，整理得x2﹣tx+t2﹣1＝0，利用t2﹣4（t2﹣1）≥0，解得，故x+y的最大值为．（2）设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．由于x2+y2≥2xy，所以，所以，22．如图，已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，将△ABC沿着BC折起，（1）若，求异面直线AB和CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的体积最大时，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．【分析】根据异面直角所成角的空间向量计算公式，再利用题给信息构造空间直角坐标系，即可求出所求角．解：（1）因为∠BAC＝90°，且AB＝AC，BC＝，∴，∴AB＝AC＝AD，∴作AO⊥平面BCD，垂足O必为△BCD的外心，又因为△BCD中，∠BCD＝90°，△BCD的外心在斜边中点处，即O点为BD中点，则以OA方向建立z轴，过O点作x轴平行于BC，作y轴平行于CD，如图所示得坐标，，，∴∴＝（0，﹣2，0），，设AB与CD所成角为α，则．（2）当平面ABC⊥平面BCD时，四面体ABCD体积有最大值，此时二面角A﹣BC﹣D为90°，其余弦值为0．。

2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线:20l ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．-2D ．2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线的截距式方程为122x ya+=，所以221a a=⇒=，故选A ．【考点】直线的截距式方程的应用．2．边长为 ） A．4B ．1C．D ．8【答案】C【解析】正方形的边长为8，而原图和直观图面积之间的关系S S =直观图原图， 故直观图的面积为8故选C ．3．已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞【答案】B【解析】方程()()()()221313m x m y m m -+-=--，化为22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得130m m ->->，解得23m <<，实数m 的取值范围为(2,3），故选B.4．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-4【答案】A【解析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值. 【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线:0l x y -=可得在点A 处取到最大值，联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(2,0)A ,代入x y -可得最大值为2，故选A. 【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.5．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A ．x ﹣y+8=0或x ﹣y ﹣1=0B ．x+y+8=0或x+y ﹣1=0C ．x+y ﹣3=0或x+y+3=0D ．x+y ﹣3=0或x+y+9=0 【答案】D【解析】试题分析：设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m 的方程，即可得到所求方程． 解：设所求直线方程为x+y+m=0， 则由两平行直线的距离公式可得d==3，解得m=9或﹣3．则所求直线方程为x+y ﹣3=0或x+y+9=0， 故选D ．【考点】两条平行直线间的距离．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．5C ．2D ．22【答案】A【解析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于1-列方程，结合222c a b =+求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则112b a -⨯=-，即2ba=，又，所以215b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于1-，属于基础题.7．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°的角； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .其中正确的是( ) A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】D 【解析】【详解】将展开图还原为正方体，由于EF ∥ND ，而ND ⊥AB ，∴EF ⊥AB ；显然AB 与CM 平行；EF 与MN是异面直线，MN 与CD 也是异面直线，故①③正确，②④错误.8．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若，则l的斜率是（ ） A ．3 B ．2-C ．3±D ．2±【答案】C【解析】试题分析：由题意得，抛物线2:4C y x =准线方程为:1l x =-，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别作点,A B 作,AM l AN l ⊥⊥，垂足为,M N ，过点B 作BC AM ⊥交于点C ，则,AM AF BN BF ==，因为334AF BF AB ==，所以12AM BN AC AF BF AB -==-=，在Rt ABC ∆中，由12AC AB =，可得60BAC ∠=o ，因为//AM x 轴，所以60BAC AFx ∠=∠=o ，此时3AB k =；当直线AB 的倾斜角为钝角时，可得3AB k =-，故选C ．【考点】直线与抛物线的综合应用．9．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为γ，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．αγ≥D ．αγ≤【答案】A【解析】不妨设三棱锥D-ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，由此能求出结果． 【详解】不妨设三棱锥D-ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ， 则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ， 4132DE CE DC ==-=＝，， ∴13233cos α==⨯⨯ ，22234133AO CO CE ===-＝， ∴233323AO cos AD β===， 取BC 中点E ，连结DE 、AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC ， 又DE ∩AE=E ，∴BC ⊥平面AED ，∴BC ⊥AD ，∴γ=90°． ∴γ≥α≥β． 故选A ． 【点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．已知,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点F ，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ）A ．22B ．5 C ．74D ．115【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为E ，令|CF|=m ，|BF|=|AE|=4m ， |AF|=2a-4m ，在直角三角形EAC 中，4m 2+（2a-4m +m ）2=（2a-m ）2， 化简可得a=3m ，在直角三角形EAF 中，4m 2+（2a-4m ）2=（2c ）2， 即为5a 2=9c 2，可得e=53． 故选B ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题11．边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是________，该几何体的表面积是________． 【答案】2π，43π【解析】【详解】试题分析：如图所示，绕AB 所在的直线旋转一周，得到两个相同的圆锥，因为等边三角形的边长为2，所以圆锥的高为1h =，底面半径为3r =，母线长为2l =．所以该几何体的表面积为223243S rl πππ=⨯=⨯⨯⨯=；该几何体的体积为221122(3)1233V r h πππ=⨯=⨯⨯⨯=．【考点】旋转体的定义及表面积与体积的计算． 12．已知点(),m n 在曲线24y x =-上，则23n m --的取值范围是________，2m n +的最小值为________.【答案】[]0,2； 2-.【解析】根据题意，得到曲线表示圆224x y +=的一半，画出图形，根据23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率，结合图形即可得出结果；记(,)x y 是曲线24y x =-上任意一点，令2t x y =+，根据图像求出最小值，即可得出2m n +的最小值. 【详解】 因为曲线24y x =-可化为224(0)x y y +=≥，表示圆224x y +=的一半，画出图形如下：式子23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率， 根据图像可得：半圆上的点(0,2)与点(3,2)连线的斜率最小为0， 半圆上的点(2,0)与点(3,2)连线的斜率最大为2； 所以23n m --的取值范围是[]0,2； 记(,)x y 是曲线24y x =-上任意一点，令2t x y =+，则122t y x =-+， 所以2t x y =+表示直线122ty x =-+在y 轴截距的2倍，由图像可得：当直线122ty x =-+经过点(2,0)-时，该直线在y 轴截距最小，此时min 2t =-；又点(),m n 在曲线y =上，所以2m n +的最小值等于min 2t =-.故答案为：[]0,2；2-. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需结合图像，以及所求式子的几何意义即可求解，属于常考题型.13．若12F F ，是双曲线()22y C :x 1y 024-=≠的左，右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若1|PF |6=，则2|PF |=_____，12ΔPFF 的面积12ΔPF F S =______. 【答案】8 24【解析】根据双曲线的概念得到若1|PF |6=，则122||PF |PF 2a 2|PF 48-==⇒=或，因为y 0≠，而当P 点落在ｙ轴上时才会有2|PF |4=，故舍掉．最终2|PF |8=．因为三角形12PF F 是直角三角形，故12ΔPF F S = 16824.2⨯⨯= 故答案为(1). 8 (2). 24.14．设P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则该球的体积为_____.【解析】将三棱锥补成长方体，从而得到外接球的球心为长方体的中心，再利用长方体的体对角线的平方等于三条棱的平方和，即可求得球的半径，从而得到球的体积. 【详解】Q P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，将三棱锥P ABC -补成长方体，则三棱锥的外接球的球心与长方体的球心为同一个， 都是长方体体对角线的中点，设球的半径为R ，∴222223(2)62R PA PB PC R =++=⇒=，∴3443332V R ππ=⋅⋅=⋅⋅=..【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用.15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．230【解析】【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=u u u u r u u u r，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r，所以ME 与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin EM n EM nα⋅==⋅u u u u r r u u u u r r tan 2α=；又向量EM u u u u r 与AF u u u r 所成角的余弦值为cos EM AFEM AF β⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r30=，又(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 30【考点】空间向量的运算及空间角的求解．16．定长是3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，M 是线段AB 的中点，则M 到y 轴距离的最小值是________.【答案】54【解析】由抛物线定义可求得1212AF BF x x +=++，根据AF BF AB +≥可求得12x x +的最小值，由所求距离为122x x +可确定所求距离的最小值. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y由抛物线方程知焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14x =-由抛物线定义知：114AF x =+，214BF x =+ 3AF BF AB +≥=Q （当且仅当,,A F B 三点共线时取等号）即12132x x ++≥，解得：1252x x +≥ AB Q 中点M 到y 轴距离为12524x x d +=≥，故所求最小值为54故答案为：5 4【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的距离最值问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线的定义得到,AF BF的长，根据三角形两边之和大于第三边可确定三点共线时取最小值.17．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，E是AB中点，F在1CC上，且12CF FC=，点P是侧面11AA D D（包括边界）上一动点，且1//PB平面DEF，则tan ABP∠的取值范围是________.【答案】1133⎡⎢⎣⎦【解析】先作出平面1//MNQB平面DEF，结合题意，得到点P的轨迹是线段QN，分别求出点P与点Q，点N重合时，tan ABP∠的值，即可得出结果.【详解】作出平面1//MNQB平面DEF，则12AQ AQ=，12DN D N=，因为1//PB平面DEF，所以点P的轨迹是线段QN，因此，当点P运动到点Q处时，tan ABP∠取得最小值，此时1tan3AQABPAB∠==；当点P运动到点N处时，tan ABP∠取得最大值，此时2212313tanAD DDANABPAB⎛⎫+ ⎪⎝⎭∠===；所以tan ABP∠的取值范围是113,33⎡⎢⎣⎦.故答案为：11333⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题主要考查由线面平行求角的问题，熟记线面平行的性质即可，属于常考题型.三、解答题18．已知直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=的交点为P ．（1）直线l 过点P ，且点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）直线1l 过点P 且与,x y 正半轴交于A B 、两点，ABO ∆的面积为4，求直线1l 的方程．【答案】（1）240x y +-=或2x =；（2）122y x =-+． 【解析】【详解】试题分析：首先解方程组得到交点P 的坐标，由点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等可知直线AB 与直线l 平行或l 过AB 中点，由此可求得直线l 方程；（2）设出直线的截距式方程，由点的坐标和三角形面积可求得关于截距的方程组，解方程组求得截距值，从而得到直线方程试题解析：（1）直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=联立方程可得交点()2,1P ；点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，所以321132AB l k k -===--或直线l 过AB 中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l 方程为240x y +-=或2x =（2）由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211 {14 2a bab+==，解得4{2ab==，故1l方程为142x y+=，即122y x=-+．【考点】直线方程19．如图，在三棱锥P ABC-中，BC⊥平面APC，23AB=，2AP PC CB===.（1）求证：AP⊥平面PBC；（2）求二面角P AB C--的大小.【答案】（1）见解析；（2）3π.【解析】（1）根据题中条件，证明BC AP⊥，AP PC⊥，再由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）在平面APC内作PQ AC⊥于Q，过点Q作QR AB⊥于R，连结PR，根据线面垂直的判定定理与性质定理，得到AB PR⊥，推出PRQ∠即为二面角P AB C--，再由题中数据，即可求解.【详解】（1）因为BC⊥平面APC，所以BC AC⊥，BC AP⊥，因为2CB=，23AB=2222AC AB CB=-=；又2AP PC==，所以222AP PC AC+=，即AP PC⊥；又BC PC C⋂=，且PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC；（2）因为BC⊥平面APC，所以平面ABC⊥平面APC，在平面APC内作PQ AC⊥于Q，则PQ⊥平面ABC，所以PQ AB⊥；过点Q作QR AB⊥于R，连结PR，因为QR PQ Q⋂=，且PQ⊂平面PQR，RQ⊂平面PQR，所以AB ⊥平面PQR ，因此AB PR ⊥， 则PRQ ∠即为二面角P AB C --， 在RT APC V 中，2AP PC PQ AC ⋅==，在RT ABC V 中，6BC AQ QR AB ⋅==， 所以tan 3PQPRQ QR∠==， 从而二面角P AB C --的大小为3π.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的几何求法即可，属于常考题型.20．已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切. （1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,3)N -的直线L 与圆M 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，而且满足221212212x x x x +=，求直线L 的方程. 【答案】(1) （x ﹣2）2+y 2=9 (2) x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0 【解析】试题分析：（1）可设圆心坐标为(,0)(0)a a >，由直线与圆相切，知圆心M 到切线的距离等于半径，可求得a ，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线l 斜率不存在时，代入求出A 、B 两点坐标，检验是否符合题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，得直线方程为3y kx =-，代入圆的方程，由韦达定理得1212,x x x x +，代入已知等式221212212x x x x +=可求得k 的值，从而得直线方程．试题解析：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0）， ∵直线3x ﹣4y+9=0与圆M 相切 ∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x ﹣2）2+y 2=9 （II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：x=0，与圆M 交于A （0，），B （0，﹣），此时+=x 1x 2=0，所以x=0符合题意当直线L 的斜率存在时，设直线L ：y=kx ﹣3， 由消去y ，得（x ﹣2）2+（kx ﹣3）2=9，整理得：（1+k 2）x 2﹣（4+6k ）x+4=0.........................................................（1） 所以由已知得：整理得：7k 2﹣24k+17=0，∴把k 值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k ）2﹣16（1+k 2）=48k+20k 2中， 判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：，即x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0综上：直线L 为：x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0点睛：在直线与圆相切时，一般都用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解，这样可以简化计算．在解决直线与圆（二次曲线）相交问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，把直线方程与圆的方程联立后得一元二次方程，然后利用韦达定理得出1212,x x x x +，再由交点满足的条件得出坐标的关系，代入1212,x x x x +可得参数值．这就是解析几何中的“设而不求”思想．21．已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）（1）求证：//AM 平面BCD ；（2）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（23. 【解析】（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果. 【详解】（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ，所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ； 又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =， 所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ； 因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以//AM 平面BCD ；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为22213FM DE ==- 所以60DAE DFE ∠=∠=o ，则3sin 602DO DF =⋅=o ，1cos602OF DF =⋅=o；所以32OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=o ， 所以9333923cos 60422BO =+-⨯⨯⨯=o ，即222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥；又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ， 所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ； 所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上； 记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ， 则DH ⊥平面BCFE ；所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，因为6BD =，所以2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，因此3226sin DH DO DOB =⋅∠=⋅=，313cos 3OH DO DOB =⋅∠=⋅=， 故33343BH BO OH =-=-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=o ，所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=o o o o o ， 因此22232cos 3CH BH BC BH BC HBC =+-⋅⋅∠=，故222CD DH HC =+=， 所以3sin DH DCH CD ∠==. 即直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.22．椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>，右焦点为(3,0)F，AB是斜率为(0)k k≠的弦，AB 的中点为E，AB的垂直平分线交椭圆于C，D两点，CD的中点为N.当1k=时，直线OE的斜率为14-（O为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O到直线AB的距离为d，求ENd的取值范围；（3）若直线OA，直线OB的斜率满足2(0)OA OBk k k k=⋅>，判断并证明22175AB EN⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）16,125⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）是定值，证明过程见解析.【解析】（1）先设11(,)A x y，22(,)B x y，根据题意，得到22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出224a b=，再根据焦点坐标，得到223c a b=-两式联立，即可求出结果；（2）先设直线AB的方程为：y kx m=+，与椭圆方程联立，设11(,)A x y，22(,)B x y，根据韦达定理，求出224,1414mk mk kE⎛-++⎫⎪⎝⎭，得到CD的方程为：22141414m mky xk k k骣琪-=-+琪琪桫++，与椭圆方程联立，设33(,)C x y，44(,)D x y，求出()()()()22222123,144144mk mk N k k k k 骣琪琪--琪琪++++琪桫，表示出(()()22241144m k EN kk +=++，根据点到直线距离公式，表示出d ，进而可根据换元法求取值范围；（3）根据（2）的结果，由2(0)OA OB k k k k =⋅>，求出214k =，再由弦长公式，分别求出AB 与EN ，进而可得出结果. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得22221212220x x y y a b --+=， 整理得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，又AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，当1k =时，直线OE 的斜率为14-， 所以212212N N x y y b y k x x a =⋅--=-，即222222141N N OE x b b b a a k ay -⋅=-⋅==，即224a b =①，又椭圆右焦点为F，所以c = 由①②解得：24a =，21b =，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设直线AB 的方程为：y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(14)8440k x kmx m +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221228144414mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以212228221414mk m y y m k k +=-+=++，故224,1414mkm k k E ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭， 因为CD 是AB 的垂直平分线，所以CD 的方程为：22141414m mk y x k k k 骣琪-=-+琪琪桫++， 即21314my x k k =--+，由222131414m y x k k x y ⎧=--⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩消去y 得，()()22222242436(1)401414m m x x k k k k +++-=++， 设33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则()()342224144mkx x k k +=-++，所以()()()()23422222246614144144m m mk y y k k k k k +=-=-+++++， 即CD 的中点N 的坐标为()()()()22222123,144144mk mk k k k k 骣琪琪--琪琪++++琪桫，因此()()22241214144E N EN x mk m x kk k k =-=++++(()()22241144m k kk +++=，又原点O 到直线AB的距离d =所以()()()222241144k k kEN d+=++，令21(1)t k t =+>，则()()22244416,1994332511254924t t t t t t ENd ⎡⎫==∈⎪⎢-+⎣⎭⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=；（3）由（2）可得：()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，第 21 页 共 21 页 所以2222212221224414444414OA OB m k m k k m m k y y k k x x ⋅===--+--+， 因为直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>， 所以2222444m k m k -=-，整理得：214k =，所以12212422x x mk x x m +=-⎧⎨=-⎩，所以AB =(()()()222411441144m E k k k N +==++++ ⎪⎝⎭=因此222222105105510171755m m AB m EN ⎛=-+=-⎛⎫++ ⎪ ⎝⎭=⎭⎝. 即22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取定值10. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.。

浙江省杭州市七县区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知平面中的两点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足{M|121MF MF-=}的点M的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线2.在空间直角坐标系中，与点A(1，2，3)关于平面xoy对称的点的坐标是A.(1，2，－3)B.(－1，－2，－3)C.(－1，－2，3)D.(1，－2，3)3.直线y＝x＋1被圆x2＋y2＝2截得的弦长为A.2B.22C.6D.264.某四棱锥的三视图如图1所示，则该几何体的体积为A.643B.323C.163D.835.已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知P，Q分别为直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为A.35B.1C.65D.27.如图2，在正四面体OABC中，D是OA的中点，则BD与OC所成角的余弦值是A.12B.36C.22D.3368.棱长都相等的正三棱柱ABC－A'B'C'中，P是侧棱AA'上的点(不含端点)。

记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与底面ABC所成的角为β，二面角P－B'B－C的平面角为γ，则A.γ<β<αB.γ<α<βC.β<γ<αD.α<β<γ9.在平面直角坐标系中，Q是圆O：x2＋y2＝9上的动点，满足条件|MO|＝2|MQ|的动点M构成集合D，则集合D中任意两点间的距离d的最大值为A.4B.4210.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆4x2＋y2＝1上两个不同点，且满足4x1x2＋y1y2＝12，则|2x1＋y1－1|＋|2x2＋y2－1|的最大值为6－6＋6二、填空题(单空题每题4分，双空题每题6分，共28分)11.双曲线22197x y+=的离心率为，渐近线方程为。

浙江省杭州市学军中学高二数学统测模拟试卷 人教版问 卷 考生须知:1. 本卷满分100分, 考试时间90分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷.第I 卷一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 . 1．不等式211<-x 的解集为 （ ▲ ）A ．（21，1）∪（1，23） B ．（－∞，21）∪（23，+∞） C ．（－∞，1）∪（23，+∞）D ．（21，1）∪（23，+∞）2.椭圆125922=+y x 的准线方程是:（ ▲ ） A.425±=x B.±=y 425 C.49±=x D.49±=y 3．已知θ∈R ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是 （ ▲ ）A ．[0°，30°]B ．)180,150[︒︒C ．[0°，30°]∪)180,150[︒︒D ．[30°，150°]4．不等式)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是 （ ▲ ）A ．2434 B ．121 C ．641 D ．721 5. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 （ ▲ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．46．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ▲ ）A ．7B ．53C ．6D ．5 7．若,111ba <<则下列结论中不．正确的是（ ▲ ）A ．a b b a log log >B ．2|log log |>+a b b aC ．1)(log 2<a bD ．|log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+8. 直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ▲ ）A ．1)B ．1)-C ．(1)D ．1)9．直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ▲ ）A ．2B ．2C ．26D ．510.已知)0,0(132>>=+y x yx ，则xy 有(▲ ) A.最大值24 B.最小值24 C.最大值62 B.最小值2611.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ▲ )A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π12、若二次函数22()y ax bx c a b =++<的值恒为非负数，则c a M b a +=-的最小值为（ ▲ ）A ．0B ．2C ．2+D ．14第II 卷一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .二．填空题：本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填写在答题卷中的横线上 13．若不等式}213|{0342>-<<->+++x x x x x ax 或的解集为，则a = ▲14．已知集合A ＝｛(x ,y )｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x ,y )｜4x +ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 ▲ .15. F 1,F 2是椭圆1222=+y x 的两个焦点,过F 2作倾斜角为4π的弦AB,则∆F 1AB 的面积为_▲__ 16. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ▲ 三．解答题:本题共48分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17．(本题9分) 设函数()2f x ax =+，不等式()6f x <的解集为()1,2-， （1）求a 的值 (2 )求不等式()1xf x ≤的解集. 18．(本题9分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19. (本题9分)如果a,b 都是正数，且a ≠b ，求证:b a ab ba +>+20．(本题10分)已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM =. （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l :y=x-1与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，求 |AB|21. (本题11分)已知圆(x +4)2+y 2=25的圆心为M 1，圆(x －4)2+y 2=1的圆心为M 2，一动圆与这两个圆都外切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）若过点M 2的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A 、B ，求|AM 1|·|BM 1|的取值范围.弹性题(本题满分5分,没有过程分,总分不超过100分)已知抛物线),0p (px 2y 2>= 过焦点F 的动直线l 交抛物线于B ,A 两点, O 为坐标原点,则 OB OA ⋅为定值243p -;试问关于椭圆是否存在定点P,使得PB PA •为定值，并给出证明.[参考答案]考生须知:1. 本卷满分100分, 考试时间90分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷.一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 . 1．不等式211<-x 的解集为 （ B ）A ．（21，1）∪（1，23） B ．（－∞，21）∪（23，+∞） C ．（－∞，1）∪（23，+∞）D ．（21，1）∪（23，+∞）2.椭圆125922=+y x 的准线方程是:（ B ） A.425±=x B.±=y 425 C.49±=x D.49±=y 3．已知θ∈R ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是 （ C ）A ．[0°，30°]B ．)180,150[︒︒C ．[0°，30°]∪)180,150[︒︒D ．[30°，150°]4．不等式)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是 （ B ）A ．2434 B ．121 C ．641 D ．721 5. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 D A ．2- B ．2 C ．4- D ．46．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于 （ A ）A ．7B ．53C ．6D ．57．若,111ba <<则下列结论中不．正确的是 （ D ）A ．a b b a log log >B ．2|log log |>+a b b aC ．1)(log 2<a bD ．|log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+8. 直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ D ）A ．1)B ．1)-C ．(1)D ．1)9．直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ A ）A ．2B ．2C ．26D ．510.已知)0,0(132>>=+y x yx ，则xy 有(B ) A.最大值24 B.最小值24 C.最大值62 B.最小值2611.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( B )A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π12、若二次函数22()y ax bx c a b =++<的值恒为非负数，则c a M b a+=-的最小值为_C___A ．0B ．2C ．2+D ．14二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上 13．若不等式}213|{0342>-<<->+++x x x x x ax 或的解集为，则a = -2 14．已知集合A ＝｛(x ,y )｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x ,y )｜4x +ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 4和-2 . 15．3416. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 a ≤10 三．解答题：解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.17、设函数()2f x ax =+，不等式()6f x <的解集为()1,2-，试求不等式()1xf x ≤的解集. 18．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 19略20．(本题10分)已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM =. （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l :y=x-1与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，求 |AB|20已知圆(x +4)2+y 2=25的圆心为M 1，圆(x －4)2+y 2=1的圆心为M 2，一动圆与这两个圆都外切. （1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）若过点M 2的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A 、B ，求|AM 1|·|BM 1|的取值范围. 弹性题由19可知: 过抛物线的焦点F 的动直线 l 交抛物线于B ,A 两点, 存在定点P , 使得PB PA ⋅为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.简要解答 17、解：（1）62〈+ax∴0324,36)2(222〈-+〈+ax x a ax 即，由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=-+-=-2)1(322)1(422aa a解得：a = －4，∴24)(+-=x x f（2）由1)(≤x f x 即124≤+-x x 变形得， 02425≥--x x 它等价于0)24)(25(〉--x x ，或025=-x 且024≠-x解得： 21〉x 或 52≤x ，∴原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤〉5221x x x 或18．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大. 19略20．解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ，则(,0),(0,),(0)2y M x P x ->，(,),(1,)22y yPM x PF =--=-，由0PM PF ⋅=得，204y x -+=， 因此，动点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>.（2）略20.解：（1）∵|PM 1|-5=|PM 2|-1，∴|PM 1| - |PM 2|=4∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支。

浙江省杭州市学军中学2019年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，若，则实数x的值为( )A. －6B. 6C.D.参考答案：D【分析】根据题目复数，且，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成的形式，再令虚部为零，解出的值，即可求解出答案。

【详解】，∵，∴，则．故答案选D。

【点睛】本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数。

2. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（）A．B．C． 1 D．参考答案：A3. 直线l的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为．则直线l和圆C的位置关系为A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离参考答案：A4. 抛物线的焦点坐标为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略5. 已知，则（）A. B. 3 C. －3 D.参考答案：D【分析】将已知等式弦化切，求得，分母用代替，弦化切后，将代入即可得结果.【详解】因为，所以，，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6. 不等式表示的平面区域（用阴影表示）是参考答案：B7. 若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3参考答案：B【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．8. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个参考答案：A略9. 椭圆与的（）A．长轴相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同参考答案：B10. 已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．【解答】解：∵e=，2c=2，c=1∴a=，c=1，则b==1，∴椭圆的方程为+y2=1，联立化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，代入直线得出y=1，或y=则A（0，1），B（，）∴|AB|=，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点，是抛物线上两个不同的动点，且直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为．参考答案：－２略12. 已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为．参考答案：13. 已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________．参考答案：（为参数）14. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐进线的距离为，则该双曲线的离心率为__________．参考答案：顶点到渐进线的距离为，焦点到渐近线的距离为，∴，即双曲线的离心率为．15. 下列程序执行后输出的结果是S＝________.i＝1S＝0WHILE i<＝50S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINT SEND参考答案：127516. 在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为。

杭州学军中学2022学年第一学期期末考试高二数学试卷命题人：一、单选题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线的准线方程为（）22x y =A.B. 12x =-=1x -C.D. 12y =-1y =-【答案】C 【解析】【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；【详解】因为抛物线，22x y =所以其准线方程为.12y =-故选：C.2. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）y x b =+221x y +=b A. B. C. D.[]1,1-[]0,1⎡⎣⎡⎣【答案】D 【解析】【分析】利用点到直线距离公式，列出不等式，求解作答.【详解】依题意，圆心到直线的距离，解之得(0,0)O y x b =+1db ≤≤所以实数b 的取值范围是.⎡⎣故选：D3. 已知空间两不同直线m ，n ，两不同平面，，下列命题正确的是（）αβA. 若且，则m α∥n α∥m n∥B. 若且，则m β⊥m n ∥n β∥C. 若且，则m α⊥m β∥αβ⊥D. 若不垂直于，且，则不垂直于m αn ⊂αm n 【答案】C 【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系结合选项即可逐一求解.【详解】对于A, 若且，则或者异面，或者相交，故A 错m α∥n α∥m n ∥,m n ,m n 误，对于B, 若且，则，故B 错误，m β⊥m n ∥n β⊥对于C ，若且，则，故C 正确，m α⊥m β∥αβ⊥对于D ，若不垂直于，且，则有可能与垂直,例如在正方体m αn ⊂αm n 中，不垂直平面,平面,但是,理由1111ABCD A B C D -1A C ABCD BD ⊂ABCD 1A C BD ⊥如下：平面，平面,所以又，1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1,AA BD ⊥BD CA ⊥平面,所以平面,平面,故11,,CA A C C CA A C ⋂=⊂1A AC BD ⊥1A AC 1A C ⊂1A AC ，故D 错误，1A C BD ⊥故选：C4. 直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数的取值l (2)(31)1a y a x -=--l a 范围为（ ）A. B. C. D. 2a >23a -≤≤2a ≥4a ≥【答案】C 【解析】【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，l 12,5a l x ==：若直线斜率存在，即，所以，l 3112,22a a l y x a a -≠=---：31022102a a a a -⎧≥⎪⎪-⇒>⎨⎪-≤⎪-⎩综上实数的取值范围为，选C.a 2a ≥【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．5. 若a ，b 是异面直线，下列四个命题中正确的是（）A. 过不在a ，b 上任一点P ，必可作直线与a ，b 都平行B. 过不在a ，b 上任一点P ，必可作直线与a ，b 都相交C. 过不在a ，b 上任一点P ，必可作直线与a ，b 都垂直D. 过不在a ，b 上任一点P ，必可作平面与a ，b 都平行.【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线的定义，结合线线平行、线面平行、线面垂直的性性质逐一判断即可.【详解】A ；设过P 的直线为，如果，显然可得，这与a ，b 是异面直线l //,//l a l b //a b 相矛盾，因此本选项不正确；B ：在a 任取一点M ，在b 上任取一点N ，直线MN 上的点才可作一条直线与a 、b 都相交．其它的点不行，因此本选项不正确；C ：过点作，显然确定一个平面，显然存在一条直线，，过P //,//c a d b ,c d βn n β⊥P 点一定存在直线与平行，因此本选项正确；n D ：经过空间任意一点不一定可作一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，因此本选项不正确；故选：C6. 已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，221x y +=()220y px p =>A B C 两点，若四边形是矩形，则等于（）D ABCD p【答案】D 【解析】【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而AB ()220y px p =>有，解方程即可得答案.2212p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解：因为四边形是矩形，ABCD 所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，AB ()220y px p =>因为圆的半径为，抛物线的通径为，12p所以有：，解得2212p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭p =故选：D7. 已知菱形边长为1，，对角线与交于点O ，将菱形ABCD 60BAD ︒∠=AC BD 沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O 到直线ABCD BD θ60,120θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦距离的最值为（）AC A.，最大值为 B.，最大值为3234C. 最小值为D. 最小值为1434【答案】B 【解析】【分析】首先由二面角的定义可知，，再在中解决点到直线的AOC θ∠=60,120θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦AOC 距离的最值.【详解】，，,AO BD CO BD ⊥⊥ AOC θ∴∠=60,120θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦菱形边长为1，，ABCD 60BAD ︒∠=AO CO ∴==点到的距离O AC 1cos 2d AOC=∠当时，,60AOC θ∠==d 34=当，,120AOC θ∠==d 12=故选：B8. 已知椭圆内有一定点，过点P 的两条直线，分别与椭2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>(1,1)P 1l 2l 圆交于A 、C 和B 、D 两点，且满足，，若变化时，直线CDΓAP PC λ= BP PD λ=λ的斜率总为，则椭圆的离心率为14-ΓB.12【答案】A 【解析】【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将,,,A B C D ,A B 两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得,C D 14AB CD k k ==-的值，进而求得椭圆离心率.22b a 【详解】设因为，且，所()()()()11324423,,,,,,,,A x yB x yC x yD x y ()1,1P AP PC = λ以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩,A B ，即，()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=()()2212120AB b x x a y y k +++=同理，由于，，所以()()2234340CD b x x a y y k +++=AP PC = λBP PD = λ，即，即14AB CD k k ==-()()()()221212223434104104b x x a y y b x x a y y ⎧⎛⎫+++⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相加得()()()()221212223434104104b x x a y y b x x a y y λλ⎧⎛⎫+++⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即，()()221324132404a b x x xx y y y y λλλλ+++-+++=()()22222204a b λλ+-+=所以，所以，故选A.2214b a =e ===【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分，共24分）9. 如图，长方体被平面BCFE 截成两个几何体，其中E ，F 分别在1111ABCD A B C D -和上，且，则以下结论正确的是（）11A B 11D C 11EF B C ∥ A. B. 平面EF BC ∥AD ∥BCFE C. 几何体为棱台 D. 几何体为棱柱11AA EB DD FC -11BB E CC F -【答案】ABD 【解析】【分析】A 由长方体的性质及线线平行的推论判断；B 根据线面平行的判定判断；C 、D 根据棱台、棱柱的定义判断正误.【详解】由及，得，则A 正确；11//B C BC 11//EF B C //EF BC 由，平面，平面，得平面，则B 正//AD BC BC ⊂BCFE AD ⊄BCFE //AD BCFE 确；以两个平行的平面和为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形1AA EB 1DD FC 的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C 错误（由于延长后不交于一11,,,AA DD CF BE 点，则几何体不为棱台）；11AA EB DD FC -以两个平行的平面和为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的1BB E 1CC F 公共边都平行，符合棱柱的定义，则D 正确，故选：ABD10. 已知曲线：，下列结论正确的是（）C 221mx ny +=A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上0m n >>C x B. 若，则是双曲线，其焦点在轴上0m n >>C x C. 若，，则是两条直线0m =0n >C D. 若，则是圆m n =C 【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆方程、双曲线方程、直线方程、圆的方程特征进行逐一判断即可.【详解】A ：当时，，0m n >>22221111x y mx ny m n +=⇒+=由，所以是椭圆，其焦点在轴上，因此本11000m n m n mn mn n m >>⇒>>⇒>>C y 选项不正确；B ：当时，，0m n >>22221111x y mx ny m n +=⇒+=由，所以是双曲线，其焦点在轴上，因此本选1100m n m n mn mn n m >>⇒<⇒<<C x 项正确；C ：当，时，，所以是两条直线，因0m =0n>22211mx ny ny y +=⇒=⇒=C 此本选项正确；D ：若，显然不成立，所以没有轨迹，因此本选项不正确；0m n ==221mx ny +=C 故选：BC11. 若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）OA OB OCθA. 的取值范围是θ()0,πB.能构成空间的一个基底{},,OA AB BCC. “”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的必要不充分条件3OP OA OB OC =--D.()OA OB OC BC ++⋅= 【答案】ABD 【解析】【分析】利用向量的夹角的定义判断A ；利用空间向量的基底的性质判断B ；利用共面向量定理判断C ；利用向量数量积公式判断D.【详解】解：因为，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，OA OB OCθ对于A ，由向量所成角的定义得，故正确；θ∈()0,π对于B ，因为不共面，所以能构成空间的一个基底，故正确；,,OA AB BC{},,OA AB BC对于C ，因为，3-1-1=1，所以P ，A ，B ，C 四点共面；3OP OA OB OC =--当P ，A ，B ，C 四点共面时，不一定有成立，3OP OA OB OC =--所以“”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件，故错误；3OP OA OB OC =--对于D ，=()()()OA OB OC BC OA OB OC OC OB ++⋅=++⋅- =22OA OC OA OB OB OC OB OC OB OC ⋅-⋅+⋅-+-⋅ ，故正确.2211cos 11cos 110OA OC OA OB OB OC θθ⋅-⋅-+=⨯⨯-⨯⨯-+= 故选：ABD.12. 如图，过双曲线右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线222:1(0)y C x b b -=>于A 、B 两点，交x 轴于点D ，分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列12,F F 结论正确的是（）A. min ||AB =B. OAP OBPS S =△△C.AOB S b=△D. 若存在点P ，使，且，则双曲线C 的离心率121cos 4F PF ∠=122F D DF =2e =【答案】BCD 【解析】【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得,A B AB =由的取值范围即可得，从而可判断A ，由中点坐标公式可判断是的0x min ||2AB b =P ,A B 中点，由此可判断BC ，由余弦定理结合可判断D.122F D DF =【详解】先求双曲线上一点的切线方程：2221y x b -=00(,)P x y 不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由，得，所以，2221y x b -=y =y '=则在的切线斜率，00(,)P x y 200b x y y '==所以在点处的切线方程为：00(,)P x y 20000()b x y y x x y -=-又有，化简即可得切线方程为：.220021y x b -=0021y y x x b -=不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，00(,)P x y 是切线与渐近线在第一象限的交点，11(,)A x y 是切线与渐近线在第四象限的交点,22(,)B x y双曲线的渐近线方程是，y bx ±=联立：，解得：，0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩20000(,)b b A bx y bx y --联立：，解得：，0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩20000(,)b b B bx y bx y -++则AB==又因为，所以，即，A 错误；01x ≥AB ≥2b =min ||2AB b =由，220000000000,22b b b b bx y bx y bx y bx y x y -++-+-+==可知是的中点，所以，B 正确；00(,)P x y ,A B OAP OBP S S=△△易知点的坐标为，D 01(,0)x 则，221200000111()22AOB ADO BDOb b S S S OD y y b x bx y bx y =+=⨯⨯-=⨯⨯+=-+ 当点在顶点时，仍然满足，C 正确；00(,)P x y (1,0)AOB S b =△因为，所以，，1201(,0),(,0),(,0)F c F c D x -101(,0)F D c x =+ 201(,0)DF c x =- 因为，则，解得，即，122F D DF = 00112(c c x x +=-03c x =03x c =代入，得，220021y x b -=222029b y b c =-所以222222212223999()6b b PF c b c b c c c c=++-=+++-，2222299(1)6(1)16c c c c c -=+++--=222222222223999()6b b PF c b c b c c c c =-+-=+-+-，2222299(1)6(1)4c c c c c -=+-+--=所以，2222212121212164451cos 224244PF PF F F c c F PF PF PF +-+--∠====⨯⨯⨯⨯所以，，所以离心率，D 正确.24c =2c =2c e a ==故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联00(,)P x y 立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点.,A B P AB 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是__________【答案】.340x y ++=【解析】【详解】试题分析：解：因为A （1，3），B （-5，1），所以AB 的中点坐标（-2，2），直线AB 的斜率为：，所以AB 的中垂线的斜率为：-3，所以以A （1，3），B （-3-11=153+5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y-2=-3（x+2），即3x+y+4=0．故答案为3x+y+4=0．考点：直线方程点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．14. 若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为______.2ππ【答案】2【解析】【分析】根据圆面积公式算出底面半径r ＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l 的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥的底面积为，π∴圆锥的底面半径为，满足，解得r 2r ππ=1r =又∵圆锥的侧面积为，2π∴设圆锥的母线长为，可得，，解之得l 2rl ππ=12l ππ⨯⨯=2l =故答案为：2【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．15. 已知是抛物线上的动点，记点到直线：的距离为，则的P 2y x =P l 40x y -+=d d 最小值为______．【解析】【分析】作直线：的平行线且与抛物线相切，再求两平行线间的距离即可．l 40x y -+=【详解】设直线直线：的平行线为且与抛物线相切，l 40x y -+=y x b =+2y x =联立，整理得，2y x by x =+⎧⎨=⎩20y y b -+=则，得，140b ∆=-=14b =则的最小值为dd ．16. 已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面AB =圆面积的取值范围是__.【答案】[2,4]ππ【解析】【分析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接,O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可1OO 得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图：设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接,O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，1OO 则，AO10123sin 603O D =⨯= 3.==在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2在△DEO 1中，O 1E 0.==∴OE ==过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，，最小面积为2π．=当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π]【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．四、解答题（本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 等差数列的前项和为，已知，，求{}n a n n S 52a =-324S =-（1）数列通项公式；{}n a （2）的前项和的最小值.{}n a n n S 【答案】（1）212n a n =-（2）-30【解析】【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式，（2）根据（1）表达出，利用二次函数性质求出的最小值.n S n S 【小问1详解】由已知得，11423324a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得，1102a d =-⎧⎨=⎩所以.()11212n a a n d n =+-=-【小问2详解】.()22111112111224n n n S na d n n n -⎛⎫=+=-=--⎪⎝⎭当或6时，有最小值-30.5n =n S 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E ，F 分别为111ABC A B C -11AA B B 2AB BC ==AC 和的中点，.1CC 11BF AB ⊥（1）求四棱锥的体积；11E BB C F -（2）是否存在点D 在直线上，使得异面直线BF ，DE 的距离为1?若存在，求出此时11A B 线段DE 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）存在，DE =【解析】【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利BF ED 用异面直线BF，DE 的距离为1建立等式求出a .【小问1详解】∵侧面为正方形，∴，11AA B B 111A B BB ⊥又，且，面，11BF A B ⊥1BB BF B ⋂=1,BB BF ⊂11BB C C∴平面，又，11A B ⊥11BB C C 11//AB A B ∴平面，取BC 中点G ，AB ⊥11BB C C 则，∴平面.//EG AB EG ⊥11BB C C ∴.()()1111111111122113232E BB C F V C F BB B C EG -=⨯+⋅⋅=⨯⋅+⋅⋅=【小问2详解】以为原点，分别以BA ，BC ，所在直线建立空间直角坐标系，如图，B 1BB 则，，，()0,0,0B ()1,1,0E ()0,2,1F 设，则，，.(),0,2D a ()0,2,1BF =()1,1,2ED a =--()1,1,0BE =设与，均垂直的向量为，BF ED (),,n x y z =则，即，取，·0·0BF n ED n ⎧=⎪⎨=⎪⎩20(1)20y z a x y z +=⎧⎨--+=⎩()()5,1,21n a a =--- ∴异面直线BF ，DE 的距离，解得或.1BE n d n ⋅===1a =72∴.ED ==故存在点D 在直线上，使得异面直线BF ，DE 的距离为1，且此时.11A B ED =19. ，分别为椭圆：的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，1F 2F C ()222210x y a b a b +=>>E 是椭圆上的一点，满足，且的周长为.C 12OE OF OE=+ 12EF F )22+（1）求椭圆C 的方程；（2）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，是以B 为直角顶点的BMN 椭圆内接等腰直角三角形，求的面积.BMN 【答案】（1）2214x y +=（2）或64253215【解析】【分析】（1）利用题目条件建立的方程组，进而求出椭圆C 的方程；a c 、（2）联立直线与椭圆表示出的横坐标,进而表示出，利用等角三角形M N 、BM BN、求出k 的值，从而求出的面积.BMN 【小问1详解】设，由，得.()0,B b 112OE OF OB =+ 1,2E c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点E 在椭圆C 上，∴，即①22114c a +=c a=∵的周长为，∴，即.②12EF F )22+)2222a c +=2a c +=+联立①②解得，.2a =c =1b =∴椭圆的方程为.C 2214x y +=【小问2详解】不妨设M ，N 分别在y 轴左、右侧，设：，则：.BM ()10y kx k =+>BN 11y x k =-+由消去得.221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩y ()221480k x kx ++=∴点的横坐标.M 2814M kx k =-+以代k 得点的横坐标.1k -N284N kxk =+∴，.2814k BM k =+284BN k =+∵，∴.BM BN=2288144k k k =++即.324410k k k -+-=解得，.11k =2k =3k =的面积.BMN ()()2222321124k S BN k +==+当时，；1k =6425S =当.k =3215S =20. 如图，在四棱锥中，P ABCD -为边的中点，异面直线1,90,1,2AD BC ADC PAB BC CD AD E ∠∠=====∥ AD 与所成的角为.PA CD 90（1）在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；PA M //MC PBE AMAP （2）若直线到平面，求平面与平面夹角的正弦值.CD PBE PBE PBC 【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；AMAP （2）先由直线到平面求得的长度，再利用平面与平面CD PBE PA PBE 法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.PBC PBE PBC 【小问1详解】在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.P ABCD -90PAB ∠= PA CD 90即,又为两相交直线，则平面,PA AB PA CD ⊥⊥AB CD 、PA ⊥ABCD 取PD 中点F ，连接EF ，又，则，则平面AE DE =//PA EF EF ⊥ABCD 又四边形中，，ABCD 1,90,12AD BC ADC BC CD AD ∠==== ∥AE DE=则，则三直线两两互相垂直BE AD ⊥BE AD EF 、、以E 为原点，分别以ED 、EB 、EF 所在直线为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系如图：设，则，，，，(0)PA h h =>(0,0,0)E (1,0,0)A -(0,1,0)B (1,1,0)C ，，,(1,0,0)D (1,0,)P h -(1,1,)PB h =- (1,0,)PE h =-设平面PBE 的一个法向量为，111(,,)n x y z =则，即，令，则，则00PE n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111100x hz x y hz -=⎧⎨+-=⎩11z =110x h y ==，(,0,1)n h = 设，则(1,0,)M t -(2,1,)MC t =-由直线平面，可得，即//MC PBE MC n ⊥ 0MC n ⋅=则，解之得，则，又，则200h t +-=2t h =2AM h =PA h =22AM hAPh ==【小问2详解】由直线到平面，得点C 到平面，CD PBE PBE 又，为平面PBE 的一个法向量(1,0,0)CB =-(,0,1)n h =则，解之得，CB n n⋅= 2h =则，，(1,0,2)P -(2,0,1)n =(1,1,2)PB =-设平面的一个法向量为，又PBC 222(,,)m x y z = (1,0,0)CB =-则，即，令，则，则00CB m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 2222020x x y z -=⎧⎨+-=⎩21z =2202x y ==，(0,2,1)m = 设平面与平面夹角为PBE PBC θ则1cos cos 5m θ= 又，则π02θ≤≤sin θ===21. 已知点，在双曲线E ：上．()2,0A 104,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()222210,0x y a b a b -=>>（1）求双曲线E 的方程；（2）直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当时，证明：直线l 过定点．MP PQ =【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解的值，进而得双曲线方程；,a b （2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得的关系，进而可得直线过定点.,m k 【小问1详解】由题知， ，得，222224111014133a a b ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩21b =所以双曲线E 的方程为．2214x y -=【小问2详解】由题意知，当l ⊥x 轴时，与重合，由可知：是的中点，显然不符Q N MP PQ =P MQ 合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为，y kx m =+联立，消去y 得，则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222148440k x kmx m ----=，即，且()()()222222641611416140k m m k m k ∆=++-=+->2214mk +>，2140k -≠设，，，，()11,M x y ()22,N x y 122814kmx x k +=-21224414m x x k +=--AB 方程为，令，得，()124y x =-1x x =112,4x P x -⎛⎫ ⎪⎝⎭AN 方程为，令得，()2222y y x x =--1x x =11222,2x Q x y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭由，得，即，MP PQ = 111222222x x y y x --=+⋅-12121222y y x x +=--即，()()()()()12211212122242kx m x kx m x x x x x +-++-=-++⎡⎤⎣⎦即，()()()121214422480k x x k m x x m -+--+++=将，代入得122814kmx x k +=-21224414m x x k +=--即，22416161680m km k k m ++--=所以，()()2220m k m k ++-=得或，22m k =-2m k =-当，此时由，得，符合题意；22m k =-0∆>58k <当，此时直线l 经过点A ，与题意不符，2m k =-舍去所以l 的方程为，即，22y kx k =+-()22y k x =-+所以l 过定点．()2,2。