2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷 -(含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）若直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.则实数m的值为（）A.-6B.6C. 32D. −322.（单选题.4分）若直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x-23.（单选题.4分）已知m.n为异面直线.直线l || m.则l与n（）A.一定异面B.一定相交C.不可能相交D.不可能平行4.（单选题.4分）圆心为（1.1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=25.（单选题.4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.则它的斜率k满足（）＜k≤0A.- √33B.k＞- √33C.k≥0或k＜- √3D.k≥0或k＜- √336.（单选题.4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1.O2.过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.则该圆柱的表面积为（）A.12 √2 πB.12πC.8 √2 πD.10π 7.（单选题.4分）若x.y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2.目标函数z=-ax+y 仅在点（1.0）处取得最小值.则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞.2）B.（-1.1）C.（-1.2）D.（-1.+∞）8.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）A. 13B. 23C. 16D. 129.（单选题.4分）过点P （3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）的垂线.垂足为M.已知定点N （4.2）.则当λ变化时.线段|MN|的长度取值范围是（ ）A. [0，√10+√5]B. [√10−√5，√10+√5]C. [√10，2√5]D. [√5，2√10]10.（单选题.4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示.其中四边形ABCD 是边长为2的正方形.若在该正四面体纸盒内放一个正方体.使正方体可以在纸盒内任意转动.则正方体棱长的最大值是（ ）A. 23B. 13C. √2D. √311.（填空题.6分）已知直线l 过点A （3.1）.B （2.0）.则直线l 的倾斜角为___ .直线l 的方程为___ ．12.（填空题.6分）已知直线l 1：ax+y-6=0与l 2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.若l 1⊥l 2.则a=___ .此时点P 的坐标为___ ．13.（填空题.6分）圆x 2+y 2+2y-3=0的半径为___ .若直线y=x+b 与圆x 2+y 2+2y-3=0交于两点.则b 的取值范围是___ ．14.（填空题.6分）如图.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AA 1=1.AB=AD=2.E.F 分别是BC.DC 的中点.则异面直线A 1B 1与EF 所成角为___ ；AD 1与EF 所成角的余弦值为___ ． 15.（填空题.4分）已知曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.若直线OA.OB 的倾斜角分别为α、β.则cos （α-β）___16.（填空题.4分）已知M （x 0.y 0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.且y 0≥3x 0+1.则 y0x 0 的最小值是___ ． 17.（填空题.4分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为8.点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点）.点N 为线段CC 1的中点.若平面AMN 截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形.则线段BM 长度的取值范围是___ ．18.（问答题.0分）若实数x.y 满足约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −2≤0．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z=2x-y.求z 的最大值．19.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1=1.na n+1=2（n+1）a n.设b n= a n．n（1）求b1.b2.b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列.并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．20.（问答题.0分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D为棱AC的中点．（1）求证：AB1 || 面BC1D；（2）若AB=AC=2.BC=1. AA1=√3 .求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．21.（问答题.0分）如图.圆M：（x-2）2+y2=1.点P（-1.t）为直线l：x=-1上一动点.过点P引圆M的两条切线.切点分别为A、B．（1）若t=1.求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA.PB与y轴分别交于S、T两点.求|ST|的最小值．22.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O：x2+y2=4.过点P（0.3）.且斜率)．为k的直线l与圆O交于不同的两点A.B.点Q(0，43（1）若直线l的斜率k=√2 .求线段AB的长度；（2）设直线QA.QB的斜率分别为k1.k2.求证：k1+k2为定值.并求出该定值；|MQ|.若存在.求出直线l的方程.若不（3）设线段AB的中点为M.是否存在直线l使|MO|= √63存在说明理由．2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）若直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.则实数m的值为（）A.-6B.6C. 32D. −32【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵直线l1：3x+my-2=0.l2：x+2y+8=0互相平行.∴ 3 1 = m2≠ −28.∴m=6.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．2.（单选题.4分）若直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x-2【正确答案】：D【解析】：由题意利用点斜式求出直线l的方程．【解答】：解：∵直线l的斜率为2.且在x轴上的截距为1.则直线l的方程为y-0=2（x-1）.即y=2x-2.故选：D．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程.属于基础题．3.（单选题.4分）已知m.n为异面直线.直线l || m.则l与n（）A.一定异面B.一定相交C.不可能相交D.不可能平行【正确答案】：D【解析】：由已知结合空间中两直线的位置关系及平行公理得答案．【解答】：解：若m.n为异面直线.直线l || m.则l与n可能异面.也可能相交.不可能平行.若l与n平行.由平行公理可得.m与n平行.与m.n为异面直线矛盾．结合选项可知.D正确．故选：D．【点评】：本题考查空间中直线与直线位置关系的判定.考查空间想象能力与思维能力.是基础题．4.（单选题.4分）圆心为（1.1）且过原点的圆的标准方程是（）A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x+1）2+（y+1）2=2D.（x-1）2+（y-1）2=2【正确答案】：D【解析】：利用两点间距离公式求出半径.由此能求出圆的方程．【解答】：解：由题意知圆半径r= √2 .∴圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．故选：D．【点评】：本题考查圆的方程的求法.解题时要认真审题.注意圆的方程的求法.是基础题．5.（单选题.4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.则它的斜率k满足（）A.- √3＜k≤03B.k＞- √33C.k≥0或k＜- √3D.k≥0或k＜- √33【正确答案】：D【解析】：由直线的倾斜角的范围.得到正切值的范围.求解即可．【解答】：解：直线的倾斜角α满足0°≤α＜150°.且α≠90°.由0≤k 或k ＜- √33 .故选：D ．【点评】：本题考查倾斜角和斜率的关系.注意倾斜角的范围.正切函数在[0. π2 ）、（ π2 .π）上都是单调增函数．6.（单选题.4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.则该圆柱的表面积为（ ）A.12 √2 πB.12πC.8 √2 πD.10π【正确答案】：B【解析】：利用圆柱的截面是面积为8的正方形.求出圆柱的底面直径与高.然后求解圆柱的表面积．【解答】：解：设圆柱的底面直径为2R.则高为2R.圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形.可得：4R 2=8.解得R= √2 .则该圆柱的表面积为： π•(√2)2×2+2√2π×2√2 =12π．故选：B ．【点评】：本题考查圆柱的表面积的求法.考查圆柱的结构特征.截面的性质.是基本知识的考查．7.（单选题.4分）若x.y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2.目标函数z=-ax+y 仅在点（1.0）处取得最小值.则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞.2）B.（-1.1）C.（-1.2）D.（-1.+∞）【正确答案】：C【解析】：作出不等式对应的平面区域.利用线性规划的知识.确定目标取最优解的条件.即可求出a的取值范围．【解答】：解：作出不等式对应的平面区域.可行域为△ABC.由z=-ax+y可得y=ax+z.直线的斜率k=a∵k AC=2.k AB=-1若目标函数z=-ax+y仅在点A（1.0）处取得最小值.则有k AB＜k＜k AC即-1＜a＜2.即实数a的取值范围是（-1.2）故选：C．【点评】：本题考查了平面区域中线性规划中的应用问题.解题时利用平移直线法.属于中档题．8.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A. 13B. 23C. 16D. 12【正确答案】：C【解析】：首先把三视图转换为直观图.进一步求出几何体的体积．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体.其中两条虚线分别表示下底的高和垂直底面的高．如图所示：故：V= 13×12×(12+12)×1×=16．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换.几何体的体积公式.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．9.（单选题.4分）过点P（3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R）的垂线.垂足为M.已知定点N（4.2）.则当λ变化时.线段|MN|的长度取值范围是（）A. [0，√10+√5]B. [√10−√5，√10+√5]C. [√10，2√5]D. [√5，2√10]【正确答案】：B【解析】：根据题意.由直线2x+（λ+1）y-2λ=0的方程分析可得直线经过定点（-1.2）.设Q （-1.2）.分析可得M的轨迹是以PQ为直径的圆.易得圆的圆心与半径.结合点与圆的位置关系即可得答案．【解答】：解：根据题意.直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）.变形可得2x+y+λ（y-2）=0. 则有 {2x +y =0y −2=0 .解可得 {x =−1y =2 .即直线恒过定点（-1.2）.设Q （-1.2）.过点P （3.0）作直线2x+（λ+1）y-2λ=0（λ∈R ）的垂线.垂足为M. 则M 的轨迹是以PQ 为直径的圆.其圆心为（1.1）.半径r= 12 |PQ|= √5 . 其方程为（x-1）2+（y-1）2=5.已知定点N （4.2）.则|NC|= √(4−1)2+(2−1)2 = √10 . 则有|NC|-r≤|MN|≤|NC|+r .即 √10 - √5 ≤|MN|≤ √10 + √5 . 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.涉及恒过定点的直线方程.注意分析M 的轨迹.属于综合题．10.（单选题.4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示.其中四边形ABCD 是边长为2的正方形.若在该正四面体纸盒内放一个正方体.使正方体可以在纸盒内任意转动.则正方体棱长的最大值是（ ）A. 23B. 13 C. √2 D. √3【正确答案】：A【解析】：以正方体为载体作出正四面体的直观图.得出正四面体的棱长.计算正四面体的体积和表面积.得出其内切球的半径.令小正方体的体对角线小于或等于内切球的直径得出小正方体棱长的范围即可．【解答】：解：作出正四面体A-CB 1D 1的直观图如图所示. 由于俯视图的正方形边长为2.故正四面体的棱长为2 √2 .故正四面体的体积V=23- 13×12×2×2×2 ×4= 83 .表面积为S= √34×(2√2)2×4=8 √3 .设正四面体的内切球半径为R.则 13×8√3×R = 83 .解得R= √33. 设放入正四面体纸盒内部的小正方体棱长为a.则 √3 a≤2R= 2√33.故a≤ 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查了棱锥与球的位置关系.考查棱锥三视图与体积、表面积计算.属于中档题． 11.（填空题.6分）已知直线l 过点A （3.1）.B （2.0）.则直线l 的倾斜角为___ .直线l 的方程为___ ．【正确答案】：[1]45°; [2]x-y-2=0【解析】：由两点求斜率公式可得AB 所在直线斜率.再由斜率等于倾斜角的正切值求解.进而求出直线方程．【解答】：解：直线l 过点A （3.1）.B （2.0）. 由两点求斜率公式可得：k AB =1−03−2=1． 设直线l 的倾斜角为α（0°≤α＜180°）. ∴tanα=1.则α=45°．∴直线l 的方程为：y-0=1×（x-2）.即x-y-2=0． 故答案为：45°.x-y-2=0．【点评】：本题考查直线的斜率公式.考查直线斜率与倾斜角的关系.是基础题．12.（填空题.6分）已知直线l 1：ax+y-6=0与l 2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.若l 1⊥l 2.则a=___ .此时点P 的坐标为___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]（3.3）【解析】：由直线垂直的性质得a×1+1×（a-2）=0.由此能求出a.再由直线l 1和l 2联立方程组.能求出点P 的坐标．【解答】：解：∵直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P.l1⊥l2. ∴a×1+1×（a-2）=0.解得a=1.解方程{x+y−6=0x−y=0 .解得x=3.y=3.∴P（3.3）．故答案为：1.（3.3）．【点评】：本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法.考查两直线交点坐标的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意直线垂直的性质的合理运用．13.（填空题.6分）圆x2+y2+2y-3=0的半径为___ .若直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0交于两点.则b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]2; [2] (−1−2√2，2√2−1)【解析】：将圆方程化为标准方程.找出半径即可．由圆心到直线的距离小于圆的半径求得答案．【解答】：解：圆的方程x2+y2+2y-3=0变形得：x2+（y+1）2=4.∴圆的半径为2．∵直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0相交.∴d= |1+b|√1+1＜2；∴解得b∈ (−1−2√2，2√2−1)；故b的取值范围为：(−1−2√2，2√2−1)．故答案为：2；(−1−2√2，2√2−1)．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系的应用.考查了点到直线距离公式.体现了数学转化思想方法.是中档题．14.（填空题.6分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AA1=1.AB=AD=2.E.F分别是BC.DC的中点.则异面直线A1B1与EF所成角为___ ；AD1与EF所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] π4 ; [2] √105【解析】：作出异面直线所成的角.根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值．【解答】：解：∵A 1B 1 || AB || CD.∴∠CFE 为异面直线A 1B 1与EF 所成的角. ∵CE= 12 BC=1.CF= 12CD=1.BC⊥CD .∴∠CFE= π4 .即异面直线A 1B 1与EF 所成角为 π4. 取CC 1中点H.连接EH.BC 1.∵AD 1 || BC 1 || EH.∴∠HEF 为AD 1与EF 所成的角. ∵CH= 12 CC 1= 12 .∴EH=FH= √14+1 = √52 .又EF= √2 . ∴cos∠HEF=54+2−542×√52×√2=√105． 故答案为： π4 . √105．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算.属于基础题．15.（填空题.4分）已知曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.若直线OA.OB 的倾斜角分别为α、β.则cos （α-β）___ 【正确答案】：[1]0【解析】：求得半圆的圆心到直线的距离.可得弦长|AB|.判断三角形ABO 的形状.进而得到所求值．【解答】：解：曲线y= √1−x 2 与直线x-7y+5=0交于A.B 两点.如图所示. 可得半圆的圆心（0.0）到直线的距离为d= √1+49= √22 . 可得弦长|AB|=2 √1−12 = √2 .即有△ABO 为直角三角形.且∠AOB 为直角. 可得cos （α-β）=cos∠AOB=0．故答案为：0．【点评】：本题考查圆方程的运用和直线方程的运用.考查圆的弦长公式和数形结合思想.属于基础题．16.（填空题.4分）已知M（x0.y0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.且y0≥3x0+1.则y0x0的最小值是___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由点到直线的距离公式可得M的轨迹方程.与y0≥3x0+1.作出图形.求得y0x0的范围得答案．【解答】：解：∵M（x0.y0）到直线x+3y+2=0与直线3x+y+3=0的距离相等.∴ |x0+3y0+2|√10= |3x0+y0+3|√10.可得：x0+3y0+2=3x0+y0+3.即2x0-2y0+1=0.或x0+3y0+2=-（3x0+y0+3）.即4x0+4y0+5=0.由题意{2x0−2y0+1=0y0≥3x0+1① .或{4x0+4y0+5=0y0≥3x0+1② .由① 可得图1.联立{2x0−2y0+1=0y0=3x0+1 .可得P（−14，14）.可知当M与P重合时. y0x0取最小值-1；由② 可得图2.联立{4x0+4y0+5=0y0=3x0+1 .可得P（−916，−1116）.＞-1．可得y0x0的最小值是-1．综上. y0x0故答案为：-1．【点评】：本题考查轨迹方程的求法.考查简单的线性规划.考查数形结合的解题思想方法.是中档题．17.（填空题.4分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.点M在线段BC上（点M异于B、C两点）.点N为线段CC1的中点.若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形.则线段BM长度的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.2）【解析】：当点M为线段BC的中点时.截面为四边形AMND1.从而当0＜BM≤1时.截面为四边形.当BM＞1时.截面为五边形.由此能求出线段BM的取值范围．【解答】：解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.点M在线段BC上（点M异于B.C两点）.点N为线段CC1的中点.平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形.∴依题意.当点M为线段BC的中点时.由题意可知.截面为四边形AMND1.当0＜BM≤1时.截面为四边形.当BM＞1时.截面为五边形.∵平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形.∴线段BM的取值范围为（1.2）．故答案为：（1.2）．【点评】：本题考查线段的取值范围的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．18.（问答题.0分）若实数x.y 满足约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −2≤0 ．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域； （2）若z=2x-y.求z 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由约束条件作出可行域；（2）根据可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.数形结合得到最优解.联立方程组求出最优解的坐标.代入目标函数得答案．【解答】：解：（1）由约束条件 {x −y ≥0x +y +2≥0x −3≤0 作出此约束条件所表示的平面区域如图△ABC .（2）化目标函数z=2x-y 为y=2x-z.由图可知.当直线y=2x-z 过C 时.直线在y 轴上的截距-z 最小.z 最大.此时x=3.y=-5.z 有最大值11．【点评】：本题考查简单的线性规划.考查了数形结合的解题思想方法.是中档题．19.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1=1.na n+1=2（n+1）a n .设b n = ann ．（1）求b 1.b 2.b 3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列.并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论.直接求出数列的通项公式．【解答】：解：（1）数列{a n}满足a1=1.na n+1=2（n+1）a n.则：a n+1n+1a nn=2（常数）.由于b n=a nn.故：b n+1b n=2 .数列{b n}是以b1为首项.2为公比的等比数列．整理得：b n=b1•2n−1=2n−1 .所以：b1=1.b2=2.b3=4．（2）数列{b n}是为等比数列.由于b n+1b n=2（常数）；所以：数列{b n}是以b1为首项.2为公比的等比数列．（3）由（1）得：b n=2n−1 .根据b n=a nn.所以：a n=n•2n−1．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．20.（问答题.0分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D为棱AC的中点．（1）求证：AB1 || 面BC1D；（2）若AB=AC=2.BC=1. AA1=√3 .求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取A 1C 1的中点D 1.证明平面AB 1D 1 || 平面BC 1D.于是可得AB 1 || 面BC 1D ； （2）建立空间坐标系.利用向量坐标求出 AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出异面直线所成角．【解答】：（1）证明：取A 1C 1的中点D 1.连接B 1D 1.AD 1.DD 1. ∵C 1D 1 || AD.C 1D 1=AD.∴四边形ADC 1D 1是平行四边形.∴AD 1 || DC 1. 又AD 1⊄平面BC 1D.C 1D⊂平面BC 1D. ∴AD 1 || 平面BC 1D.同理可证：B 1D 1 || 平面BC 1D.又AD 1∩B 1D 1=D 1.AD 1⊂平面AB 1D 1.B 1D 1⊂平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1 || 平面BC 1D.又AB 1⊂平面AB 1D 1. ∴AB 1 || 面BC 1D ．（2）解：取BC 的中点O.B 1C 1的中点E.连接AO. ∵AB=AC=2.BC=1.∴OA⊥BC .OA=√152. 以O 为原点.以OB.OA.OE 为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则A （0.√152 .0）.B 1（ 12 .0. √3 ）.B （ 12 .0.0）.C 1（- 12 .0. √3 ）. ∴ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12.- √152. √3 ）. BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0. √3 ）. ∴cos ＜ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= −12+3√7×2 = 5√728 . ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 5√728 ．【点评】：本题考查了线面平行的判定.考查空间向量与异面直线的夹角计算.属于中档题．21.（问答题.0分）如图.圆M：（x-2）2+y2=1.点P（-1.t）为直线l：x=-1上一动点.过点P引圆M的两条切线.切点分别为A、B．（1）若t=1.求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线PA.PB与y轴分别交于S、T两点.求|ST|的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）设切线方程.利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM.AB交于N.利用∠MPA=∠MAN.结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法.得到k的二次方程.结合根与系数关系.用含t的式子表示去表示|ST|.可得最值．【解答】：解：（1）由题意.切线斜率存在.可设切线方程为y-1=k（x+1）.即kx-y+k+1=0.则圆心M 到切线的距离d=√k 2+1 =1. 解得k=0或- 34 . 故所求切线方程为y=1.3x+4y-1=0；（2）连接PM.AB 交于点N.设∠MPA=∠MAN=θ.则|AB|=2|AM|cosθ=2cosθ.在Rt△MAP 中.sinθ= |AM||PM| = 1|PM| .∵|PM|≥3.∴（sinθ）max = 13 .∴（cosθ）min =2√23 . ∴|AB|min = 4√23； （3）设切线方程为y-t=k （x+1）.即kx-y+k+t=0.PA.PB 的斜率为k 1.k 2.故圆心M 到切线的距离d=√k 2+1 =1.得8k 2+6kt+t 2-1=0.∴k 1+k 2=- 34t .k 1k 2= t 2−18 . 在切线方程中令x=0可得y=k+t.故|ST|=|（k 1+t ）-（k 2+t ）|=|k 1-k 2|= √(k 1+k 2)2−4k 1k 2 = √t 2+84 . ∴|ST|min = √22 .此时t=0． 故|ST|的最小值为 √22．【点评】：此题考查了圆的切线及最值问题.综合性较强.难度较大．22.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知圆O：x2+y2=4.过点P（0.3）.且斜率)．为k的直线l与圆O交于不同的两点A.B.点Q(0，43（1）若直线l的斜率k=√2 .求线段AB的长度；（2）设直线QA.QB的斜率分别为k1.k2.求证：k1+k2为定值.并求出该定值；|MQ|.若存在.求出直线l的方程.若不（3）设线段AB的中点为M.是否存在直线l使|MO|= √63存在说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得直线l的方程.求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径.再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积.进而求出直线QA.QB的斜率之和.可证得斜率之和为定值0；|MQ|.可得k的表达式.进而求出k的（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标.由|MO|= √63值.求出直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得直线l 的方程为：y= √2x +3. 所以圆O 到直线l 的距离d= √3 = √3 . 圆O 的半径r=2.所以弦长|AB|=2 √r 2−d 2 =2 √22−(√3)2 =2；（2）证明：设直线l 的方程为：y=kx+3.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.将直线l 的方程与圆联立 {y =kx +3x 2+y 2=4.整理可得：（1+k 2）x 2+6kx+5=0. △=36k 2-20（k 2+1）＞0.可得：k 2 ＞54 .x 1+x 2= −6k 1+k 2 .x 1x 2= 51+k 2 .k 1+k 2= y 1−43x 1 + y 2−43x 2 = (kx 1+3−43)x 2+(kx 2+3−43)x 1x 1x 2 =2k+ 53(x 1+x 2)x 1x 2 =2k+ 53•(−6k 1+k 2)51+k 2 =2k-2k=0.所以可证得：k 1+k 2为定值0．（3）由（2）可得AB 的中点M （ x 1+x 22 . y 1+y 22 ）.即（ −3k 1+k 2 . 31+k 2 ）. 因为|MO|= √63 |MQ|.所以 9k 2(1+k 2)2 + 9(1+k 2)2 = 23 [ 9k 2(1+k 2)2 +（ 31+k 2 - 43 ）2]. 整理可得： 251+ k 2 = 329 .解得k 2= 19332 .满足k 2 ＞54 所以k=± √3868. 所以直线l 的方程为：y= ±√3868 x+3．【点评】：本题考查求弦长即直线与圆的位置关系.属于中档题．。

2019-2020学年学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．27．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．69．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB 与平面β所成的角的余弦值是．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；（2）|A1P|的最小值为．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a ＞1），则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．故选：B．2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．故选：D．3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β解：A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．∵．∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．∴．∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．故选：B．5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．则，解得a2+b2+c2＝18，四面体外接球半径：2R＝3．R＝．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．2解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，PA＝＝，PC＝＝，所以最长棱长为PB，．故选：B．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN∥CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，故选：C．8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，故选：C．9．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；找中间量sin1.5sin1.5，由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c＜d，只有A答案合适．故选：A．10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得，，又，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），BE＝CE＝＝，EF＝＝，cos∠EFG＝＝＝，∴∠EFG＝，∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．故答案为：，．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2 ．解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，得相似得，得，，所以．故答案为：﹣2．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝ 1 ，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，，∴a＝1．∴∵，∴f（x）为减函数，且为奇函数∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，∴﹣2＜x＜5．故不等式的解集为（﹣2，5）．故答案为：1，（﹣2，5）．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，∵sin∠C1AC＝＝＝，∴∠C1AC＝30°，∴∠PAN＝2∠C1AC＝60°，∴PN＝AP•sin∠PAN＝＝．∴MB1+MN的最小值为．故答案为：．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；（2）|A1P|的最小值为．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．∴，解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，∴|A1P|＝＝＝＝，∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．故答案为：．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．解：原不等式等价于：或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是：≤t≤，故答案为：≤t≤．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．【解答】解（1）由•＝，得ab cos C＝．又因为cos C＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sin C＝．所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，所以a+c＝，又A+C＝，所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），又0，所以＜C+，所以∈（2，4]．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，又AO＝AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB∥平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x ∈[1，2]时，g（2﹣x）＝＝＝．（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．（b）当1≤a＜2时，，则g（x）在][0，1]内先减后增，且g（）≤g（x）≤g（0），即1+a﹣≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．要满足题意，则应满足，且解得0≤a≤33，所以1≤a＜2．（c）当a≥2时，≥1，则g（x）在[0，1]内递减，且g（1）≤g（x）≤g（0），即2≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．此时，g（x）min＝，g（x）min＝1+a．要满足条件，则应，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0＜a≤3．方法二：当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，所以当x∈[1，2]时，1≤g（x）≤4；当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，所以g（2﹣x）∈[1，4]，而g（x）g（2﹣x）＝4，所以1，即1≤g（x）≤4，所以问题转化为当x∈[0，1]时，1≤g（x）≤4即可．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），．（1）当0＜＜1，即0＜a＜2时，，解得0≤a≤3，所以0＜a＜2；（2）当，即a≥2时，只要解得a≤3，所以2＜a≤3；综上所述，0＜a≤3．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．解：（1）证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD＞∠C′CQ，∴∠C′DB＞α．（3）解：如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2，MD＝4﹣2，CD＝4﹣4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2﹣DM2＝36﹣16．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角的大小是（ ） A ．B ．C ．D ．2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）23．点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.(-2，3，4)B.(2，-3，-4)C.(-2，-3，4)D.(-2，-3，-4)4. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；其中真命题为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④5.圆x 2+y 2+2x=0和x 2+y 2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=06.圆与圆的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A ．2B ．1+C ．D ．1+ 10.已知直线，圆，则直线和圆在同一坐标系中的图形可能是（ ）二填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ，体积是12. 在空间直角坐标系中，若点A （1，2，﹣1），B （﹣3，﹣1，4）．则|AB|=13.已知命题，使成立，则： ．14.经过点（3，-2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是15．直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点16.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，①异面直线1A D 与1D C 所成的角为60度；②直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为30度；③1D C ⊥平面11AB C D ④平面1ADB 与平面11BB C C 所成角为60度⑤平面11//A D 平面1ADB 以上命题正确的是答题纸 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11、 ， ；12、 ；13、14、 ；15、 ；16、三解答题：（本题共4小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17.（7分）求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x+-=与224x y+=交点的圆的方程18.（9分）已知直线：，：，求当为何值时，与：（1）平行；（2）相交；（3）垂直19. （10分）已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，求（1）的值；（2）求过点并与圆相切的切线方程.20.（10分）过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）S B.πS C.2πS D.4πSA.1π【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径，代入侧面积公式计算．【解答】∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为√S，底面圆的直径为√S，∴圆柱的侧面积S＝π×√S×√S=πS．2. 若直线l与平面α相交，则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面，判断A错误；α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，判断B错误；α内不存在与直线l平行的直线，判断C错误；画出图形，结合图形判断D正确．【解答】对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．3. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // nB.若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // βC.若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // βD.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】A．由α // β，m⊂α，n⊂β，可知m与n无公共点，即可判断出正误；B．由m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，即可得出α与β的位置关系；C．若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，可得n与β的三种位置关系都有可能．【解答】A．若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // β，正确；C．若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n // β，或n与β相交，因此不正确．4. 如图，三棱柱ABC−A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC−A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由已知求得四棱锥A′−BCC′B′的体积，结合V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′，可得V四棱锥A′−BCC′B′+V三棱锥A′−ABC＝V三棱柱ABC−A′B′C′，从而求得三棱柱ABC−A′B′C′的体积．【解答】∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′−BCC′B′=13×4×3=4．∵V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′．∵ V 四棱锥A′−BCC′B′+V 三棱锥A′−ABC ＝V 三棱柱ABC−A′B′C′． ∴ 23V ABC−A ′B ′C ′=V A ′−BCC ′B ′=4． ∴ V 三棱柱ABC−A′B′C′＝6．5. 四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（ ）A.√14B.√142C.3√2D.3√22【答案】D【考点】球的体积和表面积 【解析】把四面体ABCD 放到长方体中，不难发现AB ＝CD ＝2，其余棱长均为4正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径 【解答】四面体ABCD 放到长方体中，AB ＝CD ＝2，其余AC ＝BC ＝AD ＝DB ＝4 设长方体的边长分别为a ，b ，c ．则{a 2+b 2=20b 2+c 2=20a 2+c 2=32 ，解得a 2+b 2+c 2＝18， 四面体外接球半径：2R ＝3√2．R =3√22．6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A.√19B.√22C.5D.2√7【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的最长棱长． 【解答】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P −ABCD ，正方体的棱长为3，P 是所在棱的3等分点，PB =√32+32+22=√22，PA =√32+22=√13，PC =√32+32+12=√19， 所以最长棱长为PB ，√22．7. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，BC 的中点，若M 在以C 1N 为直径的圆上，则异面直线A 1D 与D 1M 所成的角为（ ）A.45∘B.60∘C.900D.随长方体的形状变化而变化【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】推导出C1M⊥MN，C1M⊥CB1，C1D1⊥B1C，从而B1C⊥平面C1D1M，由A1D // B1C，得A1D⊥平面C1D1M，由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小．【解答】如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN // CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90∘，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D // B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90∘，故选：C．8. 一封闭的正方体容器ABCD−A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.6【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】画出过P，Q，R三点的平面与正方体容器ABCD−A1B1C1D1的截面得答案．【解答】如图，连接QR 并延长，分别交AA 1，AB 的延长线与E ，F ， 连接PE 交A 1D 1于G ，连接PF 交BC 于H ，连接PH ，QH ，GR ，则五边形PGRQH 即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，9. 已知a ＝sin1.5+cos1.5，b ＝sin1.5⋅cos1.5，c ＝(cos1.5)sin1.5，d ＝(sin1.5)cos1.5，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A.b <c <d <a B.b <d <c <a C.d <b <c <a D.d <c <b <a 【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】因为π3<1.5<π2，所以√32<sin1.5<1；0<cos1.5<12，注意到四个答案里都是a 最大，主要比较c 与d 的大小关系即可；找中间量sin1.5sin1.5，由y ＝sin1.5x 是R 上的减函数，sin1.5>cos1.5，可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5；由y ＝x sin1.5是(0, +∞)上的增函数，sin1.5>cos1.5，可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5； 故c <d ，只有A 答案合适． 【解答】因为π3<1.5<π2，所以√32<sin1.5<1；0<cos1.5<12，∴ a >√32，0<b <12；∴ b <a ；找中间量sin1.5sin1.5，由y ＝sin1.5x 是R 上的减函数，sin1.5>cos1.5，可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5；由y ＝x sin1.5是(0, +∞)上的增函数，sin1.5>cos1.5，可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5； 故c <d ，只有A 答案合适．10. 已知集合A ＝{x|x 2−x −6>0}，B ＝{x|x 2−3ax +4≤0}，若a >0，且A ∩B 中恰好有两个整数解，则a 的取值范围是（ ） A.[2915,209) B.(2915,209)C.[139,209)D.(53,209)【答案】 A【考点】交集及其运算 【解析】可以求出集合A ＝(−∞, −2)∪(3, +∞)，可令f(x)＝x 2−3ax +4，根据a >0及△>0即可得出a >43，并且求出B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162]，可得出0<3a−√9a2−162<2，从而得出要使A ∩B 中恰好有两个整数解，只能是4和5，从而可得出{f(4)≤0f(5)≤0f(6)>0 ，解出a的范围即可． 【解答】A ＝(−∞, −2)∪(3, +∞)，令f(x)＝x 2−3ax +4，由题意，△＝9a 2−16>0，且a >0，∴ 解得a >43，B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162]，又0<3a−√9a 2−162=2<2，∴ 要使A ∩B 中恰好有两个整数解，则只能是4和5， ∴ {f(4)=16−12a +4≤0f(5)=25−15a +4≤0f(6)=36−18a +4>0 ，解得2915≤a <209，∴ a 的取值范围是[2915,209)．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AB 所成的角大小是________，线段EF 的长度为________． 【答案】4,√2 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】取BD 中点G ，连结BE ，CE ，EG ，FG ，则EG // AB ，且EG ＝FG =12AB =a2，∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF 与AB 所成的角大小和线段EF 的长度． 【解答】棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点， 取BD 中点G ，连结BE ，CE ，EG ，FG ， 则EG // AB ，且EG ＝FG =12AB =a2，∴ ∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角（或所成角的补角）， BE ＝CE =√a 2−(a2)2=√3a2，EF =√(√3a 2)2−(a2)2=√2a 2， cos∠EFG =EF 2+GF 2−EG 22×EF×GF =a 22+a 24−a 242×√2a 2×a 2=√22， ∴ ∠EFG =π4，∴ 异面直线EF 与AB 所成的角大小是π4，线段EF 的长度为√22a ．二面角α−l −β的大小是60∘，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为45∘，则AB 与平面β所成的角的余弦值是________． 【答案】 √104【考点】直线与平面所成的角【解析】根据二面角和直线和平面所成角的定义，先作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α−l−β的平面角，∠ADC＝60∘又∵AB与l所成角为45∘，∴∠ABD＝45∘连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝ADsin60∘=√3x，Rt△ABD中，AB=ADsin45=2√2x，BC=√(2√2x)2−(√3x)2=√5x，∴Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB =√5x2√2x=√104．正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，则它体积为________；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为________．【答案】2√3,√6−2【考点】球的体积和表面积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】求出底面的面积，利用体积公式带入即可，要求内切球半径，根据横截面图，利用三角形相似得出r．【解答】底面等边三角形的面积S=√34⋅(2√6)2=6√3，所以V=13⋅6√3⋅1=2√3，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM=2√6⋅√32⋅13=√2，OE＝r，OA＝1−r，侧面斜边的高AB=√1+OM2=√3由△AOE∽△ABM，得相似得rBM =1−rAB，得2=3，r(√3+√2)=√2，所以r=√6−2．若f(x)=a−4x2−3x为奇函数，则a＝________，此时，不等式f(1−x2)+f(3x+ 9)<0的解集为________．【答案】1,(−2, 5)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】含有参数的函数奇偶性问题，要利用常见的结论，通过赋值法解决；第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质．【解答】∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，a−4020−3×0=0，∴a＝1．∴f(x)=1−4x2x =12x−2x,∵12x,−2x，∴f(x)为减函数，且为奇函数∵f(1−x2)+f(3x+9)<0，∴f(1−x2)<−f(3x+9)＝f(−3x−9)，∴1−x2>−3x−9，∴−2<x<5．故不等式的解集为(−2, 5)．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1=√2，则MB1+MN的最小值为________3√22．【答案】3√22．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值，利用勾股定理解出即可．【解答】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC 1和平面ACC 1在同一平面内，过点P 作PN ⊥平面ABCD ，交AC 1于M ，垂足为N ，则PN 为MB 1+MN 的最小值． ∵ AB ＝2，BC ＝AA 1=√2，∴ AC 1=√4+2+2=2√2，AP ＝AB 1=√4+2=√6， ∵ sin∠C 1AC =CC1AC 1=√22√2=12，∴ ∠C 1AC ＝30∘，∴ ∠PAN ＝2∠C 1AC ＝60∘，∴ PN ＝AP ⋅sin∠PAN =√6⋅√32=3√22．∴ MB 1+MN 的最小值为3√22．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，P ，Q 是正方体表面上相异两点，满足BP ⊥A 1E ，BQ ⊥A 1E ．（1）若P ，Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内，则PQ 与BD 的位置关系是________；（2）|A 1P|的最小值为________． 【答案】 平行3√24【考点】点、线、面间的距离计算空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能判断PQ 与BD 的位置关系．（2）当|A 1P|取最小值时，P 在平面A 1B 1C 1D 1内，设P(a, b, 1)，推导出b ＝a +12，由此能求出|A 1P|的最小值． 【解答】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1(1, 0, 1)，E(0, 1, 12)，B(1, 1, 0)，∵ P ，Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内，∴ 设P(a, b, 1)，Q(m, n, 1)，则A 1E →=(−1, 1, −12)，BP →=(a −1, b −1, 1)，BQ →=(m −1, n −1, 1)，∵ BP ⊥A 1E ，BQ ⊥A 1E ．∴ {BP →⋅A 1E →=−(a −1)+(b −1)−12=0BQ →⋅A 1E →=−(m −1)+(n −1)−12=0， 解得{b −a =12n −m =12 ，∴ PQ // BD ，即PQ 与BD 的位置关系是平行．故答案为：平行．当|A 1P|取最小值时，P 在平面A 1B 1C 1D 1内，设P(a, b, 1)，由（1）得b ＝a +12，∴ |A 1P|=√(a −1)2+b 2=√(a −1)2+(a +12)2=√2a 2−a +54=√2(a −14)2+98，∴ 当a =14，即P(14, 34, 1)时，|A 1P|的最小值为3√24．故答案为：3√24．若不等式[2x (t −1)−1]•log a4x−14t ≥0对任意的正整数x 恒成立（其中a ∈R ，且a >1），则t 的取值范围是________54≤t ≤32 ． 【答案】 54≤t ≤32 【考点】 函数恒成立问题 【解析】原不等式等价于{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t≤0 即{t ≥1+12xt ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②，进而求解； 【解答】原不等式等价于： {2x (t −1)−1≥0log a4x−14t≥0或{2x (t −1)−1≤0log a4x−14t ≤0即{t ≥1+12x t ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②，注意到x ＝1时，②成立，此时34≤t ≤32；当x ∈Z ，x ≥2时，①成立，在①中，1+12x ≤t ≤x −14，又g(x)＝x −12x −54为单调所以，要使{t ≥1+12xt ≤x −14 对x ∈Z ，x ≥2成立，只需x ＝2时成立，又x ＝2时，54≤t ≤74， 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立， 则t 的取值范围是：54≤t ≤32，三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若cosC =35，且CB →⋅CA →=92，求△ABC 的面积；（2）设向量x →=(2sin B2, √3)，y →=(cosB, cos B2)，且x → // y →，b ＝2，求a +c 的取值范围． 【答案】由CB →⋅CA →=92，得abcosC =92．又因为cosC =35，所以ab =92cosC =152．又C 为△ABC 的内角，所以sinC =45． 所以△ABC 的面积S =12absinC ＝3．因为x → // y →，所以2sin B2cos B 2=√3cosB ，即sinB =√3cosB ．因为cosB ≠0，所以tanB =√3． 因为B 为三角形的内角，0<B <π，所以B =π3． 由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3，所以a =√3，c =√3，所以a +c =√3+sinC)，又A +C =2π3，所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，又0<C <2π3，所以π6<C +π6<5π6，所以∈(2, 4]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）由CB →⋅CA →=92，得ab =152．可得△ABC 的面积S =12absinC ＝3． （2）由x → // y →，可得B =π3．由正弦定理可得a =√3，c =√3，则a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，即可求解．由CB →⋅CA →=92，得abcosC =92．又因为cosC =35，所以ab =92cosC =152．又C 为△ABC 的内角，所以sinC =45． 所以△ABC 的面积S =12absinC ＝3．因为x → // y →，所以2sin B2cos B 2=√3cosB ，即sinB =√3cosB ．因为cosB ≠0，所以tanB =√3． 因为B 为三角形的内角，0<B <π，所以B =π3． 由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3，所以a =√3，c =√3，所以a +c =√3+sinC)，又A +C =2π3，所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，又0<C <2π3，所以π6<C +π6<5π6，所以∈(2, 4]．如图，在四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 中，BC // AD ，且AD ＝2BC ，O ，E 分别为AD ，PD 中点．（1）设平面PAB ∩平面PCD ＝l ，请作图确定l 的位置并说明你的理由；（2）若Q 为直线CE 上任意一点，证明：OQ // 平面PAB ． 【答案】分别延长AB 和DC 交于点R ，连接PR ，则直线PR 就是l 的位置； R ∈AB ⊂平面PAB ，R ∈CD ⊂平面PCD ，所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点， 由公理1可知，过P 、R 的直线就是两个平面的交线l ． 证明：连接OE 、OC ，因为BC // AD ，且BC =12AD ， 又AO =12AD ，所以BC // AO ，且BC ＝AO ，所以四边形ABCO 为平行四边形， 所以OC // AB ，则OC // 平面PAB ； 又OE 为△PAD 的中位线，则OE // AP ， 所以OE // 平面PAB ，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB // 平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ // 平面PAB．【考点】直线与平面平行【解析】（1）分别延长AB和DC交于点R，连接PR，直线PR就是交线l的位置；根据平面公理即可得出结论；（2）连接OE、OC，证明OC // 平面PAB，OE // 平面PAB，得出平面PAB // 平面OEC，证得OQ // 平面PAB．【解答】分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．AD，证明：连接OE、OC，因为BC // AD，且BC=12AD，所以BC // AO，又AO=12且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC // AB，则OC // 平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE // AP，所以OE // 平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB // 平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ // 平面PAB．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n−na n＝3n(n∈N∗)，且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=a a+a a，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>√3成立的最小正整10数n的值．【答案】当n≥2时，2S n−1−(n−1)a n−1＝3(n−1)，又2S n−na n＝3n，相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n＝3，当n≥3时，(n−2)a n−2−(n−3)a n−1＝3，所以(n−1)a n−1−(n−2)a n＝(n−2)a n−2−(n−3)a n−1，可得2a n−1＝a n−2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1−a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 22n+1⋅2n+3=12(2n+12n+3)，T n=12(√3√5√5−√7√7−13+13−√11+⋯√2n+1√2n+3)=12(√3√2n+3)，要使T n>√310成立，即12(√3√2n+3)>√310，解得n>638，所以最小正整数n的值为8．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）运用数列的递推式，两次将n换为n−1，相减，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得b n=√a⋅√a(√a+√a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+12√2n+1⋅√2n+3=1 2(2n+12n+3)，再由数列的裂项相消求和，以及不等式的解法，可得所求最小值．【解答】当n≥2时，2S n−1−(n−1)a n−1＝3(n−1)，又2S n−na n＝3n，相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n＝3，当n≥3时，(n−2)a n−2−(n−3)a n−1＝3，所以(n−1)a n−1−(n−2)a n＝(n−2)a n−2−(n−3)a n−1，可得2a n−1＝a n−2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1−a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 2√2n+1⋅√2n+3=12(√2n+1√2n+3)，T n=12(355−77−13+13−11+⋯2n+12n+3)=12(32n+3)，要使T n>√310成立，即12(√3√2n+3)>√310，解得n>638，所以最小正整数n的值为8．对于函数f(x)，若存在实数对(m, n)，使得等式f(m+x)⋅f(m−x)＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(m, n)型函数”．（1）判断函数f(x)=√x是否为“(m, n)型函数”，并说明理由；（2）①若函数g(x)是“(1, 4)型函数”，已知g(0)＝1，求g(2)；②若函数g(x)是“(1, 4)型函数”，且当x∈[0, 1]时，g(x)＝x2−a(x−1)+1(a>0)，若当x∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，试求a的取值范围．【答案】√m+x⋅√m−x=√m2−x2=n，则x2＝m2−n2不可能恒成立，所以f(x)＝x不是““(m, n)型函数”；①由题意，g(x+1)g(1−x)＝4，取x＝1，则g(2)g(0)＝4，又g(0)＝1，所以g(2)＝4．②方法一：∵(x+1)g(1−x)＝4，所以g(x)g(2−x)＝4．当x∈[0, 1]时，2−x∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x2−a(x−1)+1=4x2−ax+a+1．(a)当0<a<1时，0<a2<12，则g(x)在[0, 1]内先减后增，且g(a2≤g(x)≤41+a−a24，即1+a−14a2≤g(x)≤2，则当x∈[1, 2]时，2≤g(x)≤41+a−14a2．所以当x∈[0, 2]时，1+a−14a2≤g(x)≤41+a−14a2，由题意，{1+a−14a2≥141+a−14a2≤4，解得0≤a≤4，所以0<a<1．(b)当1≤a<2时，12≤a2<1，则g(x)在][0, 1]内先减后增，且g(a2)≤g(x)≤g(0)，即1+a−14a2≤g(x)≤1+a，则当x∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤41+a−14a2．要满足题意，则应满足{41+a≥11+a−a24≥1，且{1+a≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33，所以1≤a<2．(c)当a≥2时，a2≥1，则g(x)在[0, 1]内递减，且g(1)≤g(x)≤g(0)，即2≤g(x)≤1+a，则当x∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤2．此时，g(x)min=41+a，g(x)min＝1+a．要满足条件，则应{41+a≥11+a≤4，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0<a≤3．方法二：当x∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，所以当x∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x∈[0, 1]时，2−x∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，所以问题转化为当x∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．当x∈[0, 1]时，g(x)＝x2−a(x−1)+1(a>0)，．（1）当0<a2<1，即0<a<2时，{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4，解得0≤a ≤3，所以0<a <2；（2）当a 2≥1，即a ≥2时，只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3，所以2<a ≤3； 综上所述，0<a ≤3． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ，则x 2＝m 2−n 2不可能恒成立，即可判定； （2）①由g(x +1)g(1−x)＝4，取x ＝1，则g(2)g(0)＝4，即可求得g(2)＝4． ②方法一：可得当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1．(a)当0<a <1时，(b)当1≤a <2时，(c)当a ≥2时讨论即可方法二：当x ∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，问题转化为当x ∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可． 【解答】√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ，则x 2＝m 2−n 2不可能恒成立，所以f(x)＝x 不是““(m, n)型函数”；①由题意，g(x +1)g(1−x)＝4，取x ＝1，则g(2)g(0)＝4，又g(0)＝1，所以g(2)＝4．②方法一：∵ (x +1)g(1−x)＝4，所以g(x)g(2−x)＝4．当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1．(a)当0<a <1时，0<a 2<12，则g(x)在[0, 1]内先减后增，且g(a 2≤g(x)≤41+a−a 24，即1+a −14a 2≤g(x)≤2，则当x ∈[1, 2]时，2≤g(x)≤41+a−14a 2．所以当x ∈[0, 2]时，1+a −14a 2≤g(x)≤41+a−14a 2，由题意，{1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 ，解得0≤a ≤4，所以0<a <1．(b)当1≤a <2时，12≤a2<1，则g(x)在][0, 1]内先减后增，且g(a2)≤g(x)≤g(0)，即1+a −14a 2≤g(x)≤1+a ，则当x ∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤41+a−14a 2．要满足题意，则应满足{41+a ≥11+a −a 24≥1，且{1+a ≤441+a−a24≤4 解得0≤a ≤33，所以1≤a <2．(c)当a ≥2时，a2≥1，则g(x)在[0, 1]内递减，且g(1)≤g(x)≤g(0)，即2≤g(x)≤1+a ，则当x ∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤2．此时，g(x)min =41+a ，g(x)min ＝1+a ．要满足条件，则应{41+a≥11+a ≤4，解得a ≤3，所以2≤a ≤3． 综上所述，0<a ≤3．方法二：当x ∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，所以当x ∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]， 而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4， 所以问题转化为当x ∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．当x ∈[0, 1]时，g(x)＝x 2−a(x −1)+1(a >0)，．（1）当0<a2<1，即0<a <2时，{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4，解得0≤a ≤3，所以0<a <2；（2）当a2≥1，即a ≥2时，只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3，所以2<a ≤3； 综上所述，0<a ≤3．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A =120∘，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC′，使AC′⊥BD ，记二面角C′−AD −B 的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD ；（2）比较∠C′DB 与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值． 【答案】证明：∵ AM ⊥BD ，BD ⊥AC′，AM ∩AC′＝A ， ∴ BD ⊥平面AMC′，∵ BD ⊂平面ABD ，∴ 平面△AMC′⊥平面ABD ．如图，在△C′AM 所在平面内，过点C′作C′P ⊥AM ，垂足为P ， 则C′P ⊥平面ABD ，过P 作PQ ⊥AD ，连接C′Q ， 则C′Q ⊥AQ ，∠C′QP ＝α．又QC′是由QC 翻折得到， ∴ ∠C′QP ＝α＝2∠C′CQ ，且∠C′CQ 就是直线C′C 与平面ABC 所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD>∠C′CQ，∴∠C′DB>α．如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2√3，MD＝4−2√3，CD＝4√3−4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2−DM2＝36−16√3．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）推导出AM⊥BD，BD⊥AC′，从而BD⊥平面AMC′，由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD．（2）过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．QC′是由QC翻折得到，从而∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ 就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，∠C′DB＝2∠C′CD．由此能证明∠C′DB>α．（3）在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．推导出∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．由此能求出cosα的值．【解答】证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD>∠C′CQ，∴∠C′DB>α．如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2√3，MD＝4−2√3，CD＝4√3−4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2−DM2＝36−16√3．。

浙江省杭州学军中学高二上学期期中考试（数学理）【考生须知】1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答； 2．本科考试时间为100分钟，满分为100分．3．考生考试时禁止使用计算器.一.选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.）1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A 3B 9C 17D 512.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（ ）A 16，16，16B 8，30，10C 4，33，11D 12，27，9 3．若右面框图表示的程序所输出的结果是13？处应填（ ）A 10<kB 10≤kC 9≥kD 9>k4．如图是元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A 84，4.84 B 84，1.6C 85，1.6D 85，45．使用秦九韶算法计算2=x 时56)(6+=x x f 的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（ ）A 6，1B 1，1C 6，6D 1，676．设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足12PF PF ⊥，则12F PF ∆的面积是（ ）A 2B 1 CD7．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是 （ ） A 2213x y -=与22193x y -= B 2213x y -=与2213x y -=C 2213x y -=与2213y x -= D 2213x y -=与22139y x -= 8．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为（ ） A2B3 C 1 D 29．以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A3210- B315- C215- D2210- 10．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A 2B 3C 115D 3716二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共请将答案写在答题卷上） 11．已知x 、y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a = 12．抛物线24x y =的焦点坐标是13．若双曲线2221613x y p-=（p >0）的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 14．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦点为1F ，2F ．以|21F F |为直径的圆与椭圆有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_ _15. 设1F 、2F 是双曲线224x y -=的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从1F 引12FQF ∠平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程是三．解答题（本大题有5小题, 共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. 某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为 ，， ， ；(2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图（画在上面的坐标系中）； (3）根据题中信息估计总体：（ⅰ）1以上的学生数；（ⅱ）成绩落在［126，150］中的概率. 17. 已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点． （1）求椭圆E 的方程：（2）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当DFH 内切圆的面积最大时。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是（）SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS2.（单选题.4分）若直线l与平面α相交.则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直3.（单选题.4分）已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是（）A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β4.（单选题.4分）如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定5.（单选题.4分）四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为（）A. √14B. √142C.3 √2D. 3√226.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为（）A. √19B. √22C.5D.2 √77.（单选题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化8.（单选题.4分）一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示．由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.69.（单选题.4分）已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=（cos1.5）sin1.5.d=（sin1.5）cos1.5.则a.b.c.d的大小关系为（）A.b＜c＜d＜aB.b＜d＜c＜aC.d＜b＜c＜aD.d＜c＜b＜a10.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-x-6＞0}.B={x|x2-3ax+4≤0}.若a＞0.且A∩B中恰好有两个整数解.则a的取值范围是（）A.[ 2915，209）B.（2915，209）C.[ 139，209）D.（53，209）11.（填空题.6分）棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.则异面直线EF 与AB所成的角大小是 ___ .线段EF的长度为 ___ ．12.（填空题.4分）二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ ．13.（填空题.6分）正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ ．14.（填空题.6分）若f（x）= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f（1-x2）+f（3x+9）＜0的解集为___ ．15.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点．若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ ．16.（填空题.6分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E．（1）若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ；（2）|A1P|的最小值为___ ．17.（填空题.4分）若不等式[2x（t-1）-1]•log a4x−14t≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R.且a＞1）.则t的取值范围是___ ．18.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若cosC= 35 .且CB⃗⃗⃗⃗⃗ •CA⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC的面积；（2）设向量x =（2sin B2 . √3）. y =（cosB.cos B2）.且x || y .b=2.求a+c的取值范围．19.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点．（1）设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点.证明：OQ || 平面PAB．20.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n=3n（n∈N*）.且a2=5．（1）证明数列{a n}为等差数列.并求{a n}的通项公式；（2）设b n=a√a+a√a .T n为数列{b n}的前n项和.求使T n＞√310成立的最小正整数n的值．21.（问答题.15分）对于函数f（x）.若存在实数对（m.n）.使得等式f（m+x）•f（m-x）=n 对定义域中的每一个x都成立.则称函数f（x）是“（m.n）型函数”．（1）判断函数f（x）= √x是否为“（m.n）型函数”.并说明理由；（2）① 若函数g（x）是“（1.4）型函数”.已知g（0）=1.求g（2）；② 若函数g（x）是“（1.4）型函数”.且当x∈[0.1]时.g（x）=x2-a（x-1）+1（a＞0）.若当x∈[0.2]时.都有1≤g（x）≤4成立.试求a的取值范围．22.（问答题.15分）如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论；（3）求cosα的值．2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是（）SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS【正确答案】：B【解析】：根据圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径.代入侧面积公式计算．【解答】：解：∵圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.∴圆柱的母线长为√S .底面圆的直径为√S .∴圆柱的侧面积S=π× √S × √S=πS．故选：B．【点评】：本题考查了圆柱的侧面积及轴截面.属于基础题．2.（单选题.4分）若直线l与平面α相交.则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【正确答案】：D【解析】：α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面.判断A错误；α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.判断B错误；α内不存在与直线l平行的直线.判断C错误；画出图形.结合图形判断D正确．【解答】：解：对于A.α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线.∴A错误；对于B.α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.且这些直线与直线l都是共面直线.∴B错误；对于C.α内不存在与直线l平行的直线.∴C错误；对于D.如图所示.直线PA与平面α交于点A.PO⊥α.则OA是PA在α内的射影.在α内作直线l⊥OA.则l⊥PA.这样的直线l有无数条.∴D正确．故选：D．【点评】：本题考查了直线与平面位置关系的应用问题.是基础题．3.（单选题.4分）已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是（）A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β【正确答案】：B【解析】：A．由α || β.m⊂α.n⊂β.可知m与n无公共点.即可判断出正误；B．由m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.即可得出α与β的位置关系；C．若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确；D．若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.可得n与β的三种位置关系都有可能．【解答】：解：A．若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || n或为异面直线.因此不正确；B．若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || β.正确；C．若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确；D．若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊂β.或n || β.或n与β相交.因此不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.4分）如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定【正确答案】：B【解析】：由已知求得四棱锥A′-BCC′B′的体积.结合V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′.可得V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′.从而求得三棱柱ABC-A′B′C′的体积．【解答】：解：∵侧面B′BCC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.∴V四棱锥A′-BCC′B′= 13×4×3=4．∵ V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′．∵V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′．∴ 2 3V三棱柱ABC−A′B′C′=V四棱锥A′−BCC′B′=4．∴V三棱柱ABC-A′B′C′=6．故选：B．【点评】：本题考查了棱锥的体积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.4分）四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为（）B. √142C.3 √2D. 3√22【正确答案】：D【解析】：把四面体ABCD 放到长方体中.不难发现AB=CD=2.其余棱长均为4正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径【解答】：解：四面体ABCD 放到长方体中.AB=CD=2.其余AC=BC=AD=DB=4设长方体的边长分别为a.b.c ．则 {a 2+b 2=4b 2+c 2=16a 2+c 2=16.解得a 2+b 2+c 2=18.四面体外接球半径：2R=3 √2 ．R=3√22． 故选：D ．【点评】：本题考查外接球的半径的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．6.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为（ ）A. √19B. √22C.5【正确答案】：B【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的最长棱长．【解答】：解：由题意可知几何体是正方体的一部分.是四棱锥P-ABCD.正方体的棱长为3.P是所在棱的3等分点.PB= √32+32+22 = √22 .PA= √32+22 = √13 .PC= √32+32+12 = √19 .所以最长棱长为PB. √22．故选：B．【点评】：本题考查三视图求解几何体的棱长.考查转化思想以及空间想象能力．7.（单选题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化【正确答案】：C【解析】：推导出C1M⊥MN.C1M⊥CB1.C1D1⊥B1C.从而B1C⊥平面C1D1M.由A1D || B1C.得A1D⊥平面C1D1M.由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小．【解答】：解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点.∴MN || CB1.∵M在以C1N为直径的圆上.∴∠C1MN=90°.∴C1M⊥MN.∴C1M⊥CB1.由长方体的几何特征.我们可得C1D1⊥B1C.∴B1C⊥平面C1D1M.∵A1D || B1C.∴A1D⊥平面C1D1M.∴A1D⊥D1M.即异面直线A1D与D1M所成的角为90°.故选：C．【点评】：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角.其中根据线面垂直的判定定理及性质定理.将问题转化为线线垂直的判定是解答本题的关键．8.（单选题.4分）一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示．由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.6【正确答案】：C【解析】：画出过P.Q.R三点的平面与正方体容器ABCD-A1B1C1D1的截面得答案．【解答】：解：如图.连接QR并延长.分别交AA1.AB的延长线与E.F.连接PE交A1D1于G.连接PF交BC于H.连接PH.QH.GR.则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状.故选：C．【点评】：本题考查柱、锥、台的结构特征.考查了空间线面的位置关系.考查空间想象能力和思维能力.正确画出截面图是关键.是中档题．9.（单选题.4分）已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=（cos1.5）sin1.5.d=（sin1.5）cos1.5.则a.b.c.d 的大小关系为（ ）A.b ＜c ＜d ＜aB.b ＜d ＜c ＜aC.d ＜b ＜c ＜aD.d ＜c ＜b ＜a【正确答案】：A【解析】：因为 π3 ＜1.5＜ π2 .所以 √32 ＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜ 12.注意到四个答案里都是a 最大.主要比较c 与d 的大小关系即可；找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5＞cos1.5.可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y=x sin1.5是（0.+∞）上的增函数.sin1.5＞cos1.5.可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c ＜d.只有A 答案合适．【解答】：解：因为 π3 ＜1.5＜ π2 .所以 √32 ＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜ 12 .∴a ＞ √32 .0＜b ＜ 12 ；∴b ＜a ；找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5＞cos1.5.可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y=x sin1.5是（0.+∞）上的增函数.sin1.5＞cos1.5.可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c ＜d.只有A 答案合适．故选：A ．【点评】：本题考查了大小关系比较.利用指数函数与幂函数的单调性.构造中间量a a 或b b .可比较a b 与b a 形式的数的大小关系.及排除法解决选择题．属于中档题．10.（单选题.4分）已知集合A={x|x 2-x-6＞0}.B={x|x 2-3ax+4≤0}.若a ＞0.且A∩B 中恰好有两个整数解.则a 的取值范围是（ ）A.[ 2915，209 ）B.（ 2915，209 ） C.[ 139，209 ） D.（ 53，209 ） 【正确答案】：A【解析】：可以求出集合A=（-∞.-2）∪（3.+∞）.可令f （x ）=x 2-3ax+4.根据a ＞0及△＞0即可得出 a ＞43 .并且求出 B =[3a−√9a 2−162，3a+√9a 2−162] .可得出 0＜3a−√9a 2−162＜2 .从而得出要使A∩B 中恰好有两个整数解.只能是4和5.从而可得出 {f (4)≤0f (5)≤0f (6)＞0.解出a 的范围即可．【解答】：解：A=（-∞.-2）∪（3.+∞）.令f （x ）=x 2-3ax+4.由题意.△=9a 2-16＞0.且a ＞0.∴解得 a ＞43 . B =[3a−√9a 2−162，3a+√9a 2−162] . 又 0＜3a−√9a 2−162=3a+√9a 2−162 .∴要使A∩B 中恰好有两个整数解.则只能是4和5.∴ {f (4)=16−12a +4≤0f (5)=25−15a +4≤0f (6)=36−18a +4＞0 .解得 2915≤a ＜209 .∴a 的取值范围是 [2915，209) ． 故选：A ．【点评】：考查描述法、区间表示集合的定义.一元二次方程和一元二次不等式的解法.以及元素与集合的关系.减函数的定义．11.（填空题.6分）棱长为a 的正四面体ABCD 中.E.F 分别为棱AD.BC 的中点.则异面直线EF 与AB 所成的角大小是 ___ .线段EF 的长度为 ___ ．【正确答案】：[1] π4 ; [2] √22 a【解析】：取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角）.由此能求出异面直线EF与AB所成的角大小和线段EF的长度．【解答】：解：棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角）.BE=CE= √a2−(a2)2= √3a2.EF= √(√3a2)2−(a2)2= √2a2.cos∠EFG= EF2+GF2−EG22×EF×GF =a22+a24−a242×√2a2×a2= √22.∴∠EFG= π4.∴异面直线EF与AB所成的角大小是π4 .线段EF的长度为√22a．故答案为：π4 . √22a．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小、线段长的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．12.（填空题.4分）二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ ．【正确答案】：[1] √104【解析】：根据二面角和直线和平面所成角的定义.先作出对应的平面角.结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】：解：过点A作平面β的垂线.垂足为C.在β内过C作l的垂线.垂足为D．连结AD.根据三垂线定理可得AD⊥l.因此.∠ADC为二面角α-l-β的平面角.∠ADC=60°又∵AB与l所成角为45°.∴∠ABD=45°连结BC.可得BC为AB在平面β内的射影.∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD=2x.则Rt△ACD中.AC=ADsin60°= √3 x.Rt△ABD中.AB= ADsin45°=2 √2x .BC= √(2√2x)2−(√3x)2 = √5x .∴Rt△ABC中.cos∠ABC= BCAB = √5x2√2x= √104．故答案为：√104．【点评】：本题主要考查线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识．13.（填空题.6分）正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ ．【正确答案】：[1]2 √3 ; [2] √6 -2【解析】：求出底面的面积.利用体积公式带入即可.要求内切球半径.根据横截面图.利用三角形相似得出r．【解答】：解：底面等边三角形的面积S= √34•(2√6)2 = 6√3 .所以V= 13•6√3•1=2√3 .设内切球的球心为O.半径为r.则在O与底面的中心M.BM= 2√6•√32•13=√2 .OE=r.OA=1-r.侧面斜边的高AB= √1+OM2=√3由△AOE∽△ABM.得相似得rBM =1−rAB.√2=√3. r(√3+√2)=√2 .所以r=√6−2．故答案为：√6 -2．【点评】：考察正三棱锥的体积.内切球的半径.中档题．14.（填空题.6分）若f（x）= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f（1-x2）+f（3x+9）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]1; [2]（-2.5）【解析】：含有参数的函数奇偶性问题.要利用常见的结论.通过赋值法解决；第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质．【解答】：解：∵f（x）为奇函数.∴f（0）=0.即a−4020−3×0=0 .∴a=1．∴ f(x)=1−4x2x =12x−2x，∵ 12x减函数，−2x也为减函数 .∴f（x）为减函数.且为奇函数∵f（1-x2）+f（3x+9）＜0.∴f（1-x2）＜-f（3x+9）=f（-3x-9）.∴1-x2＞-3x-9.∴-2＜x＜5．故不等式的解集为（-2.5）．故答案为：1.（-2.5）．【点评】：第一问是常规问题.注意函数定义域即可；第二问要利用函数是奇函数.把不等式的表达形式变形．15.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点．若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 3√22【解析】：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值.利用勾股定理解出即可．【解答】：解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.过点P作PN⊥平面ABCD.交AC1于M.垂足为N.则PN为MB1+MN的最小值．∵AB=2.BC=AA1= √2 .∴AC1= √4+2+2 =2 √2 .AP=AB1= √4+2 = √6 .∵sin∠C1AC= CC1AC1 = √22√2= 12.∴∠C1AC=30°.∴∠PAN=2∠C1AC=60°.∴PN=AP•sin∠PAN= √6•√32 = 3√22．∴MB1+MN的最小值为3√22．故答案为：3√22．【点评】：本题考查了空间距离的计算.将两线段转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路.属于中档题．16.（填空题.6分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E．（1）若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ；（2）|A1P|的最小值为___ ．【正确答案】：[1]平行; [2] 3√24【解析】：（1）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能判断PQ与BD的位置关系．（2）当|A1P|取最小值时.P在平面A1B1C1D1内.设P（a.b.1）.推导出b=a+ 12.由此能求出|A1P|的最小值．【解答】：解：（1）以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD 1为z 轴.建立空间直角坐标系. 则A 1（1.0.1）.E （0.1. 12 ）.B （1.1.0）. ∵P .Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内.∴设P （a.b.1）.Q （m.n.1）.则 A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.1.- 12 ）. BP⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1.b-1.1）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（m-1.n-1.1）. ∵BP⊥A 1E.BQ⊥A 1E ．∴ {BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(a −1)+(b −1)−12=0BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(m −1)+(n −1)−12=0 . 解得 {b −a =12n −m =12.∴PQ || BD .即PQ 与BD 的位置关系是平行． 故答案为：平行．（2）当|A 1P|取最小值时.P 在平面A 1B 1C 1D 1内.设P （a.b.1）.由（1）得b=a+ 12 .∴|A 1P|= √(a −1)2+b 2 = √(a−1)2+(a +12)2 = √2a 2−a +54 = √2(a −14)2+98 .∴当a= 14 .即P （ 14 . 34 .1）时.|A 1P|的最小值为3√24． 故答案为：3√24 ．【点评】：本题考查两直线位置关系的判断.考查两点间距离的最小值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17.（填空题.4分）若不等式[2x （t-1）-1]•log a 4x−14t≥0对任意的正整数x 恒成立（其中a∈R .且a ＞1）.则t 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] 54≤t ≤32【解析】：原不等式等价于 {2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② .进而求解；【解答】：解：原不等式等价于：{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或 {2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② . 注意到x=1时. ② 成立.此时 34 ≤t≤ 32 ；当x∈Z .x≥2时. ① 成立.在 ① 中.1+ 12x ≤t≤x - 14 .又g （x ）=x- 12x - 54 为单调递增函数.所以.要使 {t ≥1+12x t ≤x −14对x∈Z .x≥2成立.只需x=2时成立.又x=2时. 54 ≤t≤ 74 . 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立.则t 的取值范围是： 54 ≤t≤ 32 .故答案为： 54 ≤t≤ 32 ．【点评】：考查不等式的性质.求解.函数单调性.转化思想；18.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．（1）若cosC= 35 .且 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC 的面积； （2）设向量 x =（2sin B 2 . √3 ）. y =（cosB.cos B 2 ）.且 x || y .b=2.求a+c 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得ab= 152 ．可得△ABC 的面积S= 12 absinC=3． （2）由 x || y .可得B= π3 ．由正弦定理可得a=√3 .c= √3 .则a+c= √3(2π3−C)+sinC] =4（cosC+√32sinC ）=4sin （C+ π6）.即可求解． 【解答】：解（1）由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得abcosC= 92． 又因为cosC= 35 .所以ab= 92cosC = 152 ．又C为△ABC的内角.所以sinC= 45．所以△ABC的面积S= 12absinC=3．（2）因为x || y .所以2sin B2 cos B2= √3 cosB.即sinB= √3 cosB．因为cosB≠0.所以tanB= √3．因为B为三角形的内角.0＜B＜π.所以B= π3．由正弦定理asinA =csinC=bsinB= 4√3.所以a= 4sinA√3.c= 4sinC√3.所以a+c= 4√3(sinA+sinC) .又A+C= 2π3.所以a+c= 4√3[sin(2π3−C)+sinC] =4（cosC+ √32sinC）=4sin（C+ π6）.又0 ＜C＜2π3 .所以π6＜C+ π6＜5π6.所以∈（2.4]．【点评】：本题考查了正弦定理、三角恒等变形.属于中档题．19.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点．（1）设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点.证明：OQ || 平面PAB．【正确答案】：【解析】：（1）分别延长AB和DC交于点R.连接PR.直线PR就是交线l的位置；根据平面公理即可得出结论；（2）连接OE、OC.证明OC || 平面PAB.OE || 平面PAB.得出平面PAB || 平面OEC.证得OQ || 平面PAB．【解答】：（1）解：分别延长AB和DC交于点R.连接PR.则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB.R∈CD⊂平面PCD.所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点. 由公理1可知.过P 、R 的直线就是两个平面的交线l ． （2）证明：连接OE 、OC.因为BC || AD.且BC= 12AD. 又AO= 12 AD.所以BC || AO.且BC=AO.所以四边形ABCO 为平行四边形. 所以OC || AB.则OC || 平面PAB ； 又OE 为△PAD 的中位线.则OE || AP. 所以OE || 平面PAB.又OE⊂平面OEC.OC⊂平面OEC.且OE∩OC=O . 所以平面PAB || 平面OEC. 又OQ⊂平面OEC. 所以OQ || 平面PAB ．【点评】：本题考查了空间中的平行关系证明与应用问题.是基础题．20.（问答题.15分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n -na n =3n （n∈N*）.且a 2=5． （1）证明数列{a n }为等差数列.并求{a n }的通项公式； （2）设b n = a√a +a √a .T n 为数列{b n }的前n 项和.求使T n ＞√310 成立的最小正整数n 的值．【正确答案】：【解析】：（1）运用数列的递推式.两次将n 换为n-1.相减.结合等差数列的定义和通项公式.即可得到所求； （2）求得b n =√a •√a (√a +√a )=√2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 （ √2n+1-√2n+3）.再由数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.可得所求最小值．【解答】：解：（1）当n≥2时.2S n-1-（n-1）a n-1=3（n-1）.又2S n -na n =3n. 相减可得（n-1）a n-1-（n-2）a n =3.当n≥3时.（n-2）a n-2-（n-3）a n-1=3. 所以（n-1）a n-1-（n-2）a n =（n-2）a n-2-（n-3）a n-1.可得2a n-1=a n-2+a n .所以{a n }为等差数列．又2S 1-a 1=3.且a 1=S 1.得a 1=3.又a 2=5. 所以{a n }为公差为2的等差数列.则a n =2n+1； （2）b n = a√a +a √a = √a •√a (√a +√a ) = √2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 √2n+1 - √2n+3）. T n = 12 （ √3 - √5 + √5 - √7 + √7 - 13 + 13 - √11 +…+ √2n+1 - √2n+3 ）= 12 √3 - √2n+3）.要使T n ＞√310 成立. 即 12 √3 -√2n+3 √310 .解得n ＞ 638 .所以最小正整数n 的值为8．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.考查等差数列的定义和性质、通项公式.考查数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.15分）对于函数f （x ）.若存在实数对（m.n ）.使得等式f （m+x ）•f （m-x ）=n 对定义域中的每一个x 都成立.则称函数f （x ）是“（m.n ）型函数”． （1）判断函数f （x ）= √x 是否为“（m.n ）型函数”.并说明理由； （2） ① 若函数g （x ）是“（1.4）型函数”.已知g （0）=1.求g （2）；② 若函数g （x ）是“（1.4）型函数”.且当x∈[0.1]时.g （x ）=x 2-a （x-1）+1（a ＞0）.若当x∈[0.2]时.都有1≤g （x ）≤4成立.试求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1） √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.即可判定； （2） ① 由g （x+1）g （1-x ）=4.取x=1.则g （2）g （0）=4.即可求得g （2）=4． ② 方法一：可得当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g （2-x ）= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 ． （a ）当0＜a ＜1时.（b ）当1≤a ＜2时.（c ）当a≥2时讨论即可方法二：当x∈[1.2]时.1≤g （x ）≤4；当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g （2-x ）∈[1.4].而g （x ）g （2-x ）=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g （x ）≤4.问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g （x ）≤4即可．【解答】：解：（1） √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.所以f （x ）=x 不是““（m.n ）型函数”；（2） ① 由题意.g （x+1）g （1-x ）=4.取x=1.则g （2）g （0）=4.又g （0）=1.所以g （2）=4．② 方法一：∵g （x+1）g （1-x ）=4.所以g （x ）g （2-x ）=4．当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g （2-x ）= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 ．（a ）当0＜a ＜1时.0＜ a2＜12 .则g （x ）在[0.1]内先减后增.且g （ a2 ≤g (x )≤41+a−a 24.即1+a-14a 2≤g （x ）≤2. 则当x∈[1.2]时.2≤g （x ） ≤41+a−14a 2．所以当x∈[0.2]时.1+a- 14a 2 ≤g (x )≤41+a−14a 2.由题意. {1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 .解得0≤a≤4.所以0＜a ＜1．（b ）当1≤a ＜2时. 12≤a 2＜1 .则g （x ）在][0.1]内先减后增.且g （ a2 ）≤g （x ）≤g （0）.即1+a- 14a 2 ≤g （x ）≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤41+a−14a 2．要满足题意.则应满足 {41+a≥11+a −a 24≥1.且 {1+a ≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33.所以1≤a ＜2．（c ）当a≥2时. a 2≥1.则g （x ）在[0.1]内递减.且g （1）≤g （x ）≤g （0）.即2≤g （x ）≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤2 ．此时.g （x ）min = 41+a .g （x ）min =1+a ．要满足条件.则应{41+a≥11+a ≤4.解得a≤3.所以2≤a≤3．综上所述.0＜a≤3．方法二：当x∈[0.2]时.都有1≤g （x ）≤4成立.所以当x∈[1.2]时.1≤g （x ）≤4；当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g （2-x ）∈[1.4].而g （x ）g （2-x ）=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g （x ）≤4. 所以问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g （x ）≤4即可．当x∈[0.1]时.g（x）=x2-a（x-1）+1（a＞0）.（1）当0＜a2＜1.即0＜a＜2时. {g(a2)=1+a−a24≥1g(0)=a+1≤4g(1)=2≤4.解得0≤a≤3.所以0＜a＜2；（2）当a2≥1 .即a≥2时.只要{g(0)=a+1≤4g(1)=2≥1解得a≤3.所以2＜a≤3；综上所述.0＜a≤3．【点评】：本题考查了函数的新定义.考查了函数的最值问题、分类讨论思想、转化思想.考查了分析问题的能力.属于难题．22.（问答题.15分）如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论；（3）求cosα的值．【正确答案】：【解析】：（1）推导出AM⊥BD.BD⊥AC′.从而BD⊥平面AMC′.由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD．（2）过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α．QC′是由QC翻折得到.从而∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理.∠C′DB=2∠C′CD．由此能证明∠C′DB＞α．（3）在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线.垂足为Q．推导出∠C′QP 就是二面角C′-AD-B的平面角．由此能求出cosα的值．【解答】：解：（1）证明：∵AM⊥BD.BD⊥AC′.AM∩AC′=A.∴BD⊥平面AMC′.∵BD⊂平面ABD.∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图.在△C′AM所在平面内.过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α．又QC′是由QC翻折得到.∴∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理.又C′D是由DC翻折得到.∴∠C′DB=2∠C′CD．由线面角的最小性可知.∠C′CD＞∠C′CQ.∴∠C′DB＞α．（3）解：如图.在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线. 垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD.交线为AM.C′P⊥平面ABD.又PQ⊥AD.∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′-AD-B的平面角．△AMC中.∠MAD=15°.∠CAD=45°.作出二面角的平面角∠C1QP后.若将半平面C1AD摊平.则P.Q.C的连线与AD垂直.且cos∠C′QP= PQQC1 = PQQC= PQAQ=tan∠PAQ=tan15°=2- √3．【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明.考查两角大小的判断与证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中偿题．。

2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．经过点()1,0-，且斜率为2的直线方程为（ ） A ．220x y +-= B ．220x y -+-= C ．220x y +-= D ．220x y ++=【答案】B【解析】直接利用直线的点斜式方程，再化成一般形式，即可得到答案. 【详解】由直线的点斜式方程得：002(1)22y x x y ⋅-++⇒--==. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查对方程形式的理解，属于基础题.2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】连结1,A D BD ，得到11//A D B C ，则1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，再求1DA B ∠的大小，从而得到答案.【详解】连结1,A D BD ，则11//A D B C ，所以1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角. 在正方体中，因为1A BD ∆为正三角形，所以13DA B π∠=.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角，求解时要注意先利用直线平移找到异面直线所成角，再进行角的大小求解，属于基础题.3．长方体的正视图与侧视图如图所示，则其俯视图的面积为（ ）A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】A【解析】由三视图的成图原理，长对正、宽相等、高平齐，所以长方体的俯视图是长为4，宽为3的矩形，计算面积即可得答案. 【详解】由三视图的成图原理，长对正、宽相等、高平齐， 所以长方体的俯视图是长为4，宽为3的矩形， 所以4312S =⨯=. 【点睛】本题考查长方体的三视图，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时利用三视图的成图原理是解题的关键.4．命题“若一个数是质数，则它不能被2整除”的否命题是（ ） A ．若一个数是质数，则它能被2整除 B ．若一个数是合数，则它能被2整除 C ．若一个数不是质数，则它能被2整除 D ．若一个数不是质数，则它不能被2整除 【答案】C【解析】直接利用否命题的定义，对条件和结论均否定，即可得到答案. 【详解】原命题：“若一个数是质数，则它不能被2整除”， 则否命题为：“若一个数不是质数，则它能被2整除”. 故选：C. 【点睛】本题考查原命题与否命题之间的改写，求解时注意命题题的形式，即对条件和结论均否定，属于基础题.5．已知a ，b 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中的两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a ，b 一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】D【解析】借助正方体模型，研究直线a ，b 的位置关系，即可得答案. 【详解】如图，令α为平面11ADD A ，β为平面ABCD ，11A B 为直线a ，1CC 为直线b ， 由模型可得：a ，b 一定垂直.故选：D. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系，考查空间想象能力，求解时要会借助模型使问题求解更直观.6．平面直角坐标系xOy ()cos sin 1y R ααα+=∈与圆22:1O x y +=（ ） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】D【解析】利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离d ，再与圆的半径进行比较，即可得到答案. 【详解】圆心到直线的距离1d ==≤，当2πα=时，可取到等号，所以直线与圆相交或相切. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查数形结合思想和运算求解能力，判断不等式的大小关系时，注意考虑等号能否取到.7．过点()4,0-引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积最大时，直线l 的斜率为（ ）A ．12B C ．-D ． 【答案】B【解析】设直线l 的方程为：4x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由于直线与半圆有两个交点，可得判别式大于0且0m >，将面积表示成关于m 的函数，再用换元法求S 的最大值，从而得到对应m 的取值，即可得到答案. 【详解】设直线l 的方程为：4x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ， 将直线方程代入圆的方程得：22(1)8120m y my +-+=， 由22164803m m ∆=->⇒>，且0m >，222122222116483414||288211(1)1m m S y y m m m m--=⋅⋅-=⋅==-+++++， 令211t m =+1(0)4t <<， 所以284S t t =⋅-+，当18t =，即211781m m =⇒=+， 所以直线的斜率177k m ==. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、三角形面积的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.8．用一个平面去截一个正四面体，截面不可能．．．为（ ） A ．内角均不为90°的菱形 B ．平行四边形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形【答案】A【解析】作出可能的截面，再利用排除法，即可得到答案. 【详解】对B ，如图所示，取对棱的中点，连成四边形为平行四边形，故B 错误； 对C ，与底面平行的平面，截得的截面为等腰三角形，故C 错误；对D ，显然虚线三角形的一条边无限靠近AC 时，三角形为钝角三角形，故D 错误； 对A ，若截面为菱形，则该截面只能是正方形，所以其内角均为90°. 故选：A.【点睛】本题考查正面体的截面形状，考查空间想象能力和实践操作能力，求解时可以采用排除法，排除3个选项，从而得到正确答案.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别为1AB ，11A C 上的点，且1A N AM =，12AM MB =，P ，Q 分别为1BB ，11B C 上的动点，则折线MPQN 长度的最小值为（ ）A ．3B 13C 52+D 10【答案】B【解析】将折线MPQN 化归到同一平面中，利用两点间的距离最短，即可求得答案. 【详解】将折线MPQN 所在平面展成平面图形，如图所示：因为正方体的棱长为3，且1A N AM =，12AM MB =，所以,M N 均为对角线上的三等分点，作,ON OM 分别与正方形的边平行， 所以3,2ON OM ==，所以223213MN =+=， 所以折线MPQN 13故选：B. 【点睛】本题考查立体几何中折线段的最小值问题，考查降维思想的应用，考查转化与化归思想和运用求解能力，求解的关键是将空间问题转化为平面问题. 10．在平面直角坐标系xOy 中，过点)2,10P作直线与两条直线1:l y x =，2:l y x=-交于A ，B 两点，则OA OB AB +-的最大值为（ ） A ．62B ．10C ．20220-D ．152+【答案】A【解析】根据题意，将求OA OB AB +-的最大值转化为求内切圆半径的最大值，即可得到答案.【详解】设直角三角形AOB 的内切圆半径为r ，则2OA OB AB r +-=， 内切圆的圆心必在坐标轴上，当圆心在x 轴上时，2r 小于点P 到直线y x =-的距离，即21025212r +<=+， 当圆心在y 轴上时，内切圆与直线AB 相切于点P 时，内切圆的半径最大，如图所示，设内切圆的方程为：222()x y r r +-=，所以2222(2)(102)2021020r r r r +-=⇒-+=， 解得：32r =或172r =（舍去）， 所以262OA OB AB r +-==，显然62521>+，故OA OB AB +-的最大值为62. 故选：A.【点睛】本题考查解析几何中的最值问题、直线与圆的位置关系，求解的关键是对目标式子进行等价转化，考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题11．已知圆22:244A x y x y +-+=，则圆心A 的坐标为______；圆A 的半径为______．【答案】(1,2)- 3【解析】将圆的一般方程通过配方化成标准方程形式，即可得到答案. 【详解】因为2222244(1)(2)9x y x y x y +-+=⇒-++=， 所以圆心(1,2)A -，半径3r =. 故答案为：(1,2)-；3. 【点睛】本题考查圆的普通方程与标准方程的互化，考查对圆方程形式的理解，属于基础题.12．已知直线21:10l x m y ++=与直线2:20l mx y --=，若12l l P ，则m =______；若12l l ⊥，则m =______． 【答案】1- 0或1【解析】利用两直线平行与垂直的充要条件，列出关于m 的方程，即可得到答案. 【详解】当12l l P 21(1)m m ⇔⨯-=⋅且1(2)1m ⨯-≠⨯，解得：1m =-， 当12l l ⊥21(1)0m m ⇔⨯+⨯-=，解得：0m =或1m =.故答案为：1-；0或1. 【点睛】本题考查两直线平行、垂直的充要条件，求解时注意充要条件的应用，考查运算求解能力.13．已知正方体的棱长为1，则它的外接球半径为______；与它各棱都相切的球的半径为______．【答案】22【解析】正方体外接球的直径为正方体的体对角线，与它各棱都相切的球的直径为面对角线. 【详解】因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，所以2222(2)1113R R =++=⇒=； 球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，所以22(2)R R =⇒=.故答案为：3；22. 【点睛】本题考查球与正方体的切、接问题，考查空间想象能力和运算求解能力，求解关键是理解几何体的特点，找到球的直径.14．在平面直角坐标系xOy 中，点()12P ，到直线:410l ax y +-=的距离为2，则a =______．【答案】3a =或53a =【解析】利用点到直线的距离公式得到关于a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点()12P ，到直线:410l ax y +-=的距离为2，所以22234a a =⇒=+或53a =.故答案为：3a =或53a =. 【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题.15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形边长为1，则1BC 与侧面11ACC A 所成角的正弦值是______．【答案】1510【解析】取AC 的中点O ，连结1,C O BO ，证明线面所成角为1BC O ∠，再求角1BC O ∠的正弦值. 【详解】取AC 的中点O ，连结1,C O BO ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，两平面相交于AC ，BO AC ⊥，BO ⊂平面ABC ， 所以BO ⊥平面11ACC A ，所以1BC 与侧面11ACC A 所成角为1BC O ∠， 因为侧棱长为2，底面三角形边长为1，所以13,5BO BC ==，所以113152sin 5BO BC O BC ∠===，所以1BC 与侧面11ACC A 所成角的正弦值是15. 故答案为：15.【点睛】本题考查线面角的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意按照一作、二证、三求的步骤进行求角.16．已知三棱锥A BCD -中，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且2AE EB =，平面EFG 将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为1V ，2V ，则12V V =______；若分别记该四面体和五面体的表面积为1S ，2S ，则2S ______12S （填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】15> 【解析】分别求出125,66V VV V ==，从而得到12V V 的值；根据分点的性质，可得到两个面积等式和两个面积不等式，再进行相加，从而得到2S 与12S 的大小. 【详解】设三棱锥A BCD -的体积为V ，因为，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且2AE EB =， 所以14AGF ACD S S ∆∆=，设B 到面ACD 的距离为h ，所以E 到面ACD 的距离为23h ， 所以112436V V V =⋅⋅=，256V V =，所以1215V V =. 因为13AEG ABC S S ∆∆=，所以2AEG BCGE S S ∆=四边形， 同理2AEFBDFE S S ∆=四边形，223AGF CDFG CDFG S S S ∆=<四边形四边形，2EFG EFG BCD S S S ∆∆∆<+，所以212S S >. 故答案为：15；>.【点睛】本题考查空间几何体的体积、面积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意分点的比例值，从而得到面积和体积的比例.17．已知，矩形ABCD 中，2AB =，5BC =，E ，F 分别为边BC ，AD 上的定点，且45BAE ∠=︒，30DCF ∠=︒，分别将ABE ∆，CDF ∆沿着AE ，CF 向矩形所在平面的同一侧翻折至AB E '∆与CD F '∆处，且满足B D AB ''⊥，分别将锐二面角B AE D '--与锐二面角D FC B '--记为1θ与2θ，则21cos θ+22cos θ的最小值为______． 【答案】15【解析】根据题意，作'D 在底面的射影G ，'B 在底面的射影H ，找到两个锐二面角的平面角，从而得到222212''cos(),cos ()NG HM D N B Mθθ==，由B D AB ''⊥，得到//B D AD ''，进一步得到//GH AD ，并设(01)NG x x =<<，并所求式子表示成关于x 的二次函数，求二次函数的最小值，即可得到答案. 【详解】如图所示，作'D 在底面的射影G ，'B 在底面的射影H ，DN 垂直CF 于N ，BM 垂直AE 于M ，则222212''cos (),cos ()NG HM D NB Mθθ==， 因为B D AB ''⊥，所以//B D AD ''，则//GH AD ，因为30DCF ∠=︒，所以1DN =，同理45BAE ∠=︒，所以2BM =，作'GG AD ⊥，'HH AD ⊥，则'30G DG ∠=︒ 设(01)NG x x =<<，则''12xGG HH +==， 所以'12222xMH HH -=-=⋅， 所以222221212512cos cos ()4242xx x x θθ-⋅+=+=-+，当15x =时，21cos θ+22cos θ的最小值为15. 故答案为：15.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、二面角的概念、函数的最值，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是利用平行条件进行问题的转化.三、解答题18．已知:31p ax -≤，()()2:2110q x b x b b -+++≤．（1）当2a =-时，求p 中所对应的实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分必要条件，求a ，b 的值．【答案】（1）21x -≤≤-；（2）2,1,a b =⎧⎨=⎩或4,1.a b =-⎧⎨=-⎩【解析】（1）将2a =-代入绝对值不等式，直接根据绝对值不等式的意义，进行求解； （2）若p 是q 的充分必要条件，则则,p q 中不等式的解集相同，先解q 中的不等式，再对P 中不等式中参数a 进行分类讨论求解，从而得到关于,a b 的方程组，解方程即可得到答案. 【详解】（1）当2a =-时，231231123121x x x x --≤⇔+≤⇔-≤+≤⇔-≤≤-， 所以实数x 的取值范围为21x -≤≤-.（2）():()[1]01q x b x b b x b --+≤⇔≤≤+， 若p 是q 的充分必要条件，则,p q 中不等式的解集相同. 因为3124ax ax -≤⇔≤≤，（1）当0a =时，不等式（1）无解，所以0a =不成立；当0a >时，不等式（1）24x a a ⇔≤≤，所以22,41,1b a ab b a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩ 当0a <时，不等式（1）42x a a ⇔≤≤，所以44,21,1b a a b b a⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=+⎪⎩ 综上所述：2,1,a b =⎧⎨=⎩或4,1.a b =-⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查绝对值不等式、一元二次不等式、充要条件的综合运用，考查分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．平面直角坐标系xOy 中，已知()10A -，，()21B ，，在ABC ∆中，AC 边上的中线所在直线的方程为1y =，BC 边上的高所在的直线斜率为12．（1）求直线BC 的方程；（2）求以AC 为直径的圆的标准方程．【答案】（1）250x y +-=；（2）22141()(1)416x y -+-=【解析】（1）根据BC 边上的高的斜率为12，可得直线BC 的斜率，再利用点斜式方程，求得直线BC 的方程；（2）求出点C 的坐标，再求,A C 的中点坐标，即为圆心坐标，再利用两点间距离公式求半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】（1）因为BC 边上的高的斜率为12，所以直线BC 的斜率2-， 因为()21B ，，所以直线BC 的方程为12(2)y x -=--，即250x y +-=.（2）设00(,)C x y ，因为AC 边上的中线所在直线的方程为1y =， 所以000122y y +=⇒=， 由（1）得直线BC 的方程为250x y +-=，所以00032502x y x +-=⇒=，则3(,2)2C ， 所以圆心O 为AC 的中点，即1(,1)4O ，半径222141(1)1416r =++=，所以圆的方程：22141()(1)416x y -+-=. 【点睛】本题考查直线的方程、圆的标准方程求，考查方程思想的应用，求解时注意平面几何知识的应用，考查运算求解能力.20．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，12AC BC AA ===．（1）求五面体111A B C BC 的体积；（2）若D 为AB 中点，E 为1AC 上一点，且DE P 平面1A BC ，求线段AE 的长度． 【答案】（1）83；（2）22【解析】（1）将五面体111A B C BC 看成一个四棱锥111A BB C C -，再求棱锥的体积，即可得到答案；（2）设AC 与1A C 相交于点O ，连结OB ，利用线面平行的性质定理，得到E 为AO 的中点，从而求得线段AE 的长度. 【详解】（1）因为五面体111A B C BC 为四棱锥111A BB C C -， 因为11111111111,,,AC B C AC CC B C CC C ⊥⊥⋂= 所以11A C ⊥平面11BB C C ， 所以11113BB C C V S AC =⋅⋅四边形184233=⋅⋅=. （2）设AC 与1A C 相交于点O ，连结OB ，因为//DE 平面1A BC ，DE ⊂平面ABO ，平面ABO ⋂平面1A BC BO =， 所以//DE BO ，因为D 为为AB 中点，所以E 为AO 的中点， 所以11222442AE AC ===.【点睛】本题考查多面体的体积计算、线面平行性质定理的运用，考查空间想象能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用.21．已知1C e ：()2255x y ++=和点()1,3A -．（1）求过点A 且与1C e 相切的直线l 的方程；（2）设2C e 为1C e 关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得点P 到两圆2P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）250x y ++=； （2）()2,0P -或()10,0P .【解析】因为点A 在圆上，所以点A 是即是切点，利用切线性质即可求其斜率，写出方程（2）求出对称圆的方程，设x 轴上P 点坐标，利用半径和PC 2的距离，解出两个切线长，再用切线长之比解出结果. 【详解】（1）易知圆心()10,5C -，1C e 的半径15r = 因为点A 恰在1C e 上，所以点A 是即是切点，所以,3521C A k-+==，所以12l k =-． 故直线l 的方程为()1312y x +=--，即250x y ++=．（2）因为点A 恰为12C C 的中点，所以()22,1C -． 所以()()222215C x y =-++=e ．设(),0P a ，则2221525PC PC -=-①．或2221525PC PC -=-②． 由①得()2220224a a +=--，解得2a =-或10a =，所以()2,0P -或()10,0．由②得224220a aa -=+，此方程无解．综上，存在两点()2,0P -或()10,0P 符合题意． 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程的求法，圆的对称性，弦长公式，属于难题. 22．已知四棱锥E ABCD -的底面为直角梯形90DAB ∠=︒，AB CD ∥，AD CD ==122CE AB ==，EAB ∆是以AB 为底边的等腰直角三角形．（1）求证：CE AB ⊥；（2）若H 为EAD ∆的垂心，求二面角H EC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）133133-【解析】（1）取AB 的中点O ，连结,OE OC ，证明AB ⊥平面EOC ，即可得到答案； （2）证明,,MN MO ME 两两互相垂直，再以M 为原点，,,MN MO ME 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求得两个面的法向量，进而求得二面角H EC B --的余弦值. 【详解】（1）取AB 的中点O ，连结,OE OC ， 因为EAB ∆是以AB 为底边的等腰直角三角形， 所以AB OE ⊥， 因为AD CD ==122CE AB ==，所以四边形AOCD 为正方形， 所以AB OC ⊥，又OC OE O ?，所以AB ⊥平面EOC ， 所以CE AB ⊥.（2）连结EH 并延长交AD 于N ，由（1）得CD CE ⊥，所以DE =AE =N 为AD 的中点，取CO 的中点为M ，连结,MN ME ，则以,,MN MO ME 两两互相垂直， 以M 为原点，,,MN MO ME 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0)N E C B --，所以(2,1,0),(2,2,0)CE CN CB ===-u u u r u u u r u u u r，设1(,,)n x y z =u r 为面HEC的一个法向量，则110,0,0,20,n CE y n CN x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u v u u u vu v u u u v取1,2,x y z ==-=，所以1(1,n =-u r ， 设2(,,)n x y z =u u r 为面BCE的一个法向量，则220,0,0,220,n CE y n CB x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u v u u u vu u v u u u v取1,1,x y z ===2n =u u r ，所以121212212cos ,133||||n n n n n n -+⋅<>===-u r u u r u r u u r u r u u r ，因为二面角H EC B --为钝二面角， 所以二面角H EC B --的余弦值为【点睛】本题考查空间中线面垂直、线线垂直的证明、向量法求二面角的大小，考查转化与化归思想的运用，考查空间想象能力和运算求解能力.。

浙江省杭州学军中学高二上学期期中考试（数学文）【考生须知】1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答；2．本科考试时间为100分钟，满分为100分．3．考生考试时禁止使用计算器.一.选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.）1． 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有------------------------------------------------------（ ） Ａ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>2. 在如图所示的流程图中，若输入值分别为 0.820.82,(0.8),log 1.3a b c ==-=，则输出的数为-------------------------( )A ．aB ．bC ．cD ．不确定3．在一个边长为2的正方形中随机撒入豆子，恰有1在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为 -----------------------------------------------------------------（ ） A ．35 B ．125 C ．65 D ．1854．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y += 下方的概率是 --------------------------------------------------------------------------（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1125．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作直线交椭圆于点A ，B.2F 为右焦点，则2ABF ∆的周长为 -------------------------------------------------------------- -------( ) A ．2a B ． 4a C ． 2b D ．4b6．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为03xy +=．则此双曲线的离心率为（ ）A BC ．D 7．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x y 22±= B ．x y 2±= C ．x y 3±= D ．x y 22±= 8．若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为 ------（ ）A. 212x y =B.212y x = C.24x y = D.26x y =9.曲线2y x =上的点到直线240x y ++=的最短距离是 ---------------- （ ）A B C ． D 10．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12e =，右焦点为F （c ，0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x ，2x ，则点12(,)P x x ------------------------（ ） A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共请将答案写在答题卷上）11.某城市有学校500所，其中大学10所，中学，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样,应该选取大学 所，中学 所，小学 所. 12. 如图是元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均数和方差分别为 ； 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．14．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦点为1F ，2F ．椭圆上存在点P ，使得02190=∠PF F . 则椭圆的离心率e 的取值范围是 。

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）若直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，则实数m的值为（）A．﹣6B．6C．D．2．（4分）若直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣23．（4分）已知m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n（）A．一定异面B．一定相交C．不可能相交D．不可能平行4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．（4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（）A．﹣＜k≤0B．k＞﹣C．k≥0或k＜﹣D．k≥0或k＜﹣6．（4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π7．（4分）若x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（4分）过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知定点N（4，2），则当λ变化时，线段|MN|的长度取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为，直线l的方程为．12．（6分）已知直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝，此时点P的坐标为．13．（6分）圆x2+y2+2y﹣3＝0的半径为，若直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于两点，则b的取值范围是．14．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线A1B1与EF所成角为；AD1与EF所成角的余弦值为．15．（4分）已知曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cos（α﹣β）16．（4分）已知M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，且y0≥3x0+1，则的最小值是．17．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．若实数x，y满足约束条件．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z＝2x﹣y，求z的最大值．19．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点．（1）求证：AB1∥面BC1D；（2）若AB＝AC＝2，BC＝1，，求异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值．21．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．（1）若t＝1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k 的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由．2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）若直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，则实数m的值为（）A．﹣6B．6C．D．【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值．【解答】解：∵直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，∴＝≠，∴m＝6，故选：B．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．2．（4分）若直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣2【分析】由题意利用点斜式求出直线l的方程．【解答】解：∵直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，属于基础题．3．（4分）已知m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n（）A．一定异面B．一定相交C．不可能相交D．不可能平行【分析】由已知结合空间中两直线的位置关系及平行公理得答案．【解答】解：若m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n可能异面，也可能相交，不可能平行，若l与n平行，由平行公理可得，m与n平行，与m，n为异面直线矛盾．结合选项可知，D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r＝，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．5．（4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（）A．﹣＜k≤0B．k＞﹣C．k≥0或k＜﹣D．k≥0或k＜﹣【分析】由直线的倾斜角的范围，得到正切值的范围，求解即可．【解答】解：直线的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，由0≤k或k＜﹣，故选：D．【点评】本题考查倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在[0，）、（，π）上都是单调增函数．6．（4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2＝8，解得R＝，则该圆柱的表面积为：＝12π．故选：B．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．7．（4分）若x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，+∞）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，可行域为△ABC，由z＝﹣ax+y可得y＝ax+z，直线的斜率k＝a∵k AC＝2，k AB＝﹣1若目标函数z＝﹣ax+y仅在点A（1，0）处取得最小值，则有k AB＜k＜k AC即﹣1＜a＜2，即实数a的取值范围是（﹣1，2）故选：C．【点评】本题考查了平面区域中线性规划中的应用问题，解题时利用平移直线法，属于中档题．8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体，其中两条虚线分别表示下底的高和垂直底面的高．如图所示：故：V＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（4分）过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知定点N（4，2），则当λ变化时，线段|MN|的长度取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0的方程分析可得直线经过定点（﹣1，2），设Q（﹣1，2），分析可得M的轨迹是以PQ为直径的圆，易得圆的圆心与半径，结合点与圆的位置关系即可得答案．【解答】解：根据题意，直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R），变形可得2x+y+λ（y﹣2）＝0，则有，解可得，即直线恒过定点（﹣1，2），设Q（﹣1，2），过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，则M的轨迹是以PQ为直径的圆，其圆心为（1，1），半径r＝|PQ|＝，其方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，已知定点N（4，2），则|NC|＝＝，则有|NC|﹣r≤|MN|≤|NC|+r，即﹣≤|MN|≤+，故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及恒过定点的直线方程，注意分析M的轨迹，属于综合题．10．（4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（）A．B．C．D．【分析】以正方体为载体作出正四面体的直观图，得出正四面体的棱长，计算正四面体的体积和表面积，得出其内切球的半径，令小正方体的体对角线小于或等于内切球的直径得出小正方体棱长的范围即可．【解答】解：作出正四面体A﹣CB1D1的直观图如图所示，由于俯视图的正方形边长为2，故正四面体的棱长为2，故正四面体的体积V＝23﹣×4＝，表面积为S＝×4＝8，设正四面体的内切球半径为R，则＝，解得R＝，设放入正四面体纸盒内部的小正方体棱长为a，则a≤2R＝，故a≤．故选：A．【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查棱锥三视图与体积、表面积计算，属于中档题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为45°，直线l 的方程为x﹣y﹣2＝0．【分析】由两点求斜率公式可得AB所在直线斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解，进而求出直线方程．【解答】解：直线l过点A（3，1），B（2，0），由两点求斜率公式可得：k AB＝＝1．设直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），∴tanα＝1，则α＝45°．∴直线l的方程为：y﹣0＝1×（x﹣2），即x﹣y﹣2＝0．故答案为：45°，x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查直线的斜率公式，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．12．（6分）已知直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝1，此时点P的坐标为（3，3）．【分析】由直线垂直的性质得a×1+1×（a﹣2）＝0，由此能求出a，再由直线l1和l2联立方程组，能求出点P的坐标．【解答】解：∵直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）＝0，解得a＝1，解方程，解得x＝3，y＝3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．【点评】本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法，考查两直线交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．13．（6分）圆x2+y2+2y﹣3＝0的半径为2，若直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于两点，则b的取值范围是．【分析】将圆方程化为标准方程，找出半径即可．由圆心到直线的距离小于圆的半径求得答案．【解答】解：圆的方程x2+y2+2y﹣3＝0变形得：x2+（y+1）2＝4，∴圆的半径为2．∵直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0相交，∴d＝＜2；∴解得b∈；故b的取值范围为：．故答案为：2；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了点到直线距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线A1B1与EF所成角为；AD1与EF所成角的余弦值为．【分析】作出异面直线所成的角，根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值．【解答】解：∵A1B1∥AB∥CD，∴∠CFE为异面直线A1B1与EF所成的角，∵CE＝BC＝1，CF＝CD＝1，BC⊥CD，∴∠CFE＝，即异面直线A1B1与EF所成角为，取CC1中点H，连接EH，BC1，∵AD1∥BC1∥EH，∴∠HEF为AD1与EF所成的角，∵CH＝CC1＝，∴EH＝FH＝＝，又EF＝，∴cos∠HEF＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15．（4分）已知曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cos（α﹣β）0【分析】求得半圆的圆心到直线的距离，可得弦长|AB|，判断三角形ABO的形状，进而得到所求值．【解答】解：曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，如图所示，可得半圆的圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝，可得弦长|AB|＝2＝，即有△ABO为直角三角形，且∠AOB为直角，可得cos（α﹣β）＝cos∠AOB＝0．故答案为：0．【点评】本题考查圆方程的运用和直线方程的运用，考查圆的弦长公式和数形结合思想，属于基础题．16．（4分）已知M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，且y0≥3x0+1，则的最小值是﹣1．【分析】由点到直线的距离公式可得M的轨迹方程，与y0≥3x0+1，作出图形，求得的范围得答案．【解答】解：∵M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，∴＝，可得：x0+3y0+2＝3x0+y0+3，即2x0﹣2y0+1＝0，或x0+3y0+2＝﹣（3x0+y0+3），即4x0+4y0+5＝0，由题意①，或②，由①可得图1，联立，可得P（），可知当M与P重合时，取最小值﹣1；由②可得图2，联立，可得P（），可得＞﹣1．综上，的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是（1，2）．【分析】当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，从而当0＜BM≤1时，截面为四边形，当BM＞1时，截面为五边形，由此能求出线段BM的取值范围．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B，C两点），点N为线段CC1的中点，平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为四边形，∴依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤1时，截面为四边形，当BM＞1时，截面为五边形，∵平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，∴线段BM的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：5小题，共74分18．若实数x，y满足约束条件．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z＝2x﹣y，求z的最大值．【分析】（1）由约束条件作出可行域；（2）根据可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：（1）由约束条件作出此约束条件所表示的平面区域如图△ABC，（2）化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过C时，直线在y轴上的截距﹣z最小，z最大，此时x＝3，y＝﹣5，z有最大值11．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．19．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点．（1）求证：AB1∥面BC1D；（2）若AB＝AC＝2，BC＝1，，求异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值．【分析】（1）取A1C1的中点D1，证明平面AB1D1∥平面BC1D，于是可得AB1∥面BC1D；（2）建立空间坐标系，利用向量坐标求出和的夹角得出异面直线所成角．【解答】（1）证明：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，DD1，∵C1D1∥AD，C1D1＝AD，∴四边形ADC1D1是平行四边形，∴AD1∥DC1，又AD1⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，∴AD1∥平面BC1D，同理可证：B1D1∥平面BC1D，又AD1∩B1D1＝D1，AD1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D，又AB1⊂平面AB1D1，∴AB1∥面BC1D．（2）解：取BC的中点O，B1C1的中点E，连接AO，∵AB＝AC＝2，BC＝1，∴OA⊥BC，OA＝，以O为原点，以OB，OA，OE为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则A（0，，0），B1（，0，），B（，0，0），C1（﹣，0，），∴＝（，﹣，），＝（﹣1，0，），∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与异面直线的夹角计算，属于中档题．21．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．（1）若t＝1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM，AB交于N，利用∠MP A＝∠MAN，结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值．【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y﹣1＝k（x+1），即kx﹣y+k+1＝0，则圆心M到切线的距离d＝＝1，解得k＝0或﹣，故所求切线方程为y＝1，3x+4y﹣1＝0；（2）连接PM，AB交于点N，设∠MP A＝∠MAN＝θ，则|AB|＝2|AM|cosθ＝2cosθ，在Rt△MAP中，sinθ＝＝，∵|PM|≥3，∴（sinθ）max＝，∴（cosθ）min＝，∴|AB|min＝；（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，P A，PB的斜率为k1，k2，故圆心M到切线的距离d＝＝1，得8k2+6kt+t2﹣1＝0，∴k1+k2＝﹣，k1k2＝，在切线方程中令x＝0可得y＝k+t，故|ST|＝|（k1+t）﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2|＝＝，∴|ST|min＝，此时t＝0．故|ST|的最小值为．【点评】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，难度较大．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k 的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由．【分析】（1）由题意可得直线l的方程，求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径，再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线QA，QB的斜率之和，可证得斜率之和为定值0；（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标，由|MO|＝|MQ|，可得k的表达式，进而求出k的值，求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得直线l的方程为：y＝+3，所以圆O到直线l的距离d＝＝，圆O的半径r＝2，所以弦长|AB|＝2＝2＝2；（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与圆联立，整理可得：（1+k2）x2+6kx+5＝0，△＝36k2﹣20（k2+1）＞0，可得：k2，x1+x2＝，x1x2＝，k1+k2＝+＝＝2k+＝2k+＝2k﹣2k＝0，所以可证得：k1+k2为定值0．（3）由（2）可得AB的中点M （，），即（，），因为|MO|＝|MQ|，所以+＝[+（﹣）2]，整理可得：＝，解得k2＝，满足k 2所以k ＝±，所以直线l的方程为：y ＝x+3．【点评】本题考查求弦长即直线与圆的的位置关系，属于中档题．第21页（共21页）。

杭西高2019年12月高二数学试题卷第I 卷 必修2模块测试(满分100分)一. 选择题（共40分，每题4分，请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出最符合题意的一个）1．直线 21y x =-+ 在y 轴上的截距是 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．122．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A ．圆柱B ．圆锥C ．圆台D ．球3．已知直线1:10l x ay ++=与直线21:22l y x =+垂直，则a 的值是 （ ） A ．2 B ．－2 C ．12D ．12- 4．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面但不垂直D ．异面且垂直5．已知圆C ：x 2+y 2–2x =0，则圆心C 到坐标原点O 的距离是 ( )A ．B ．C ．1D ．6．下列命题中为假命题的是（ ）A ．垂直于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一平面的两条直线平行C ．平行于同一直线的两条直线平行D ．平行于同一平面的两条直线平行 7．对于空间向量a ＝（1，2，3），b ＝（λ，4，6）.若a // b ，则实数λ＝（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，且PD=DB ．若M 为线段PB 的中点，则直线DM 与平面ABCD 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二. 填空题（共18分，每空3分）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ,表面积为 . 10．圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 ，记该圆的圆心坐标为(),a b ，半径为r ，则a b r ++=_________.11．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写正确结论. 如图，在三棱锥中，平面平面， 求证：证明：（1）因为 平面平面 （4）所以____ __．（2）平面平面 （5）又因为平面．（3），平面 （6）所以划线处（4）结论的得出所用的定理为： （请书写定理具体内容）.12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是 ，最短弦长为 .三.解答题（共36分，请写出必要的解题过程和步骤）13．（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是DD 1、DB 的中点，求证：（1）EF ∥平面ABC 1D 1；（2）EF ⊥B 1C ；（3）求异面直线AD 1与EF 所成角的余弦值.14．（12分）已知圆O ：经过点，与x 轴正半轴交于点B ． 1______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上2圆O 上是否存在点P 使得的面积为15？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．15. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，设过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点.（1)求k 的取值范围； （2）若=12，求线段MN 的长.第II 卷 杭西高2019学年第一学期青年杯数学竞赛(满分50分)四.选择题（共10分，每题4分，请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出最符合题意的一个） 16．点(),M x y 为圆224x y +=上任意一点，则+的最小值为（ ）A ． 4B ． 6C 8D ．817．如图，四边形ABCD 为矩形，沿AB 将△ADC 翻折成△.设二面角'D AB C --的平面角为θ，直线'AD 与直线BC 所成角为1θ，直线'AD 与平面ABC 所成角为2θ，当θ为锐角时，有（ ）A ．21θθθ≤≤B ．21θθθ≤≤C ．12θθθ≤≤D ．21θθθ≤≤ 五.填空题（共12分，每空4分）18．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A －EF －C(如图2)，则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角的大小为______．19．曲线y =(2)3y k x =-+有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____________.20．已知点()2,0A -，点()0,4B ，点P 在圆()()223420x y -+-=上，则使得APB ∆为直角三角形的点P 的有 个.六.解答题（共28分，请写出必要的解题过程和步骤）21．（14分）已知圆C ：22230x y x ＋＋－＝．(1)求圆的圆心C 的坐标和半径长；(2)直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于()()1122,,A x y B x y 、两点，求证：1211+x x 为定值； (3)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使CDE ∆的面积最大．22. （14分）如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.杭西高2019年12月高二数学参考答案第I 卷 必修2模块测试(满分100分)三. 选择题（共40分，每题4分，请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出最符合题意的一个）1．直线 21y x =-+ 在y 轴上的截距是 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．12 B 【解析】 令0x =得1y = ，所以选B.2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A ．圆柱B ．圆锥C ．圆台D ．球C 【解析】 根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定该几何体是圆台，故选C.3．已知直线1:10l x ay ++=与直线21:22l y x =+垂直，则a 的值是 （ ） A ．2B ．－2C ．12 D ．12- C 【解析】4．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面但不垂直D ．异面且垂直由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选D.5．已知圆C：x2+y2–2x=0，则圆心C到坐标原点O的距离是 ( )A．B．C．1D．C【解析】【分析】通过配方把一般式化为标准式即可得出圆心和半径，根据两点间距离公式即可得解.【详解】根据题意，圆C：x2+y2–2x=0，其圆心C为（1，0），则圆心C到坐标原点O的距离d==1．故选C．【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径，记住两点间的距离公式是关键.6．下列命题中为假命题的是A．垂直于同一直线的两个平面平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两条直线平行D．平行于同一平面的两条直线平行D【解析】由面面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的性质定理，可判断B ； 由平行公理可判断C ；由线面平行的性质可判断D ．【详解】由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A 正确；由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B 正确；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C 正确；由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D 错误． 故选：D ．【点睛】 本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空想象能力和推理能力，熟练掌握线面、面面关系是解决本题的关键.7．对于空间向量a ＝（1，2，3），b ＝（λ，4，6）.若a b ∥，则实数λ＝A ．-2B ．-1C ．1D ．2D 【解析】【分析】根据向量//a b ，知它们的坐标对应成比例，求出x 的值．【详解】 因为空间向量()()=123=46a b λ，，，，，，若//a b ，则1=【点睛】 本题考查了空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题．8．在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，且PD=DB ．若M 为线段PB 的中点，则直线DM 与平面ABCD 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°B 【解析】【分析】 取BD 中点O ，连接MO ，可知MDO ∠即为所求角，根据长度关系即可求得结果.【详解】取BD 中点O ，连接MO又PD ⊥底面ABCD MO ⇒⊥底面ABCDMDO ∴∠即为直线DM 与平面ABCD 所成角又PD BD =，可知MO OD =，且MO BD ⊥45MDO ∴∠=本题正确选项：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的求解，属于基础题.四. 填空题（共18分，每空3分）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ,表面积为 .【解析】【分析】 通过三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球构成的组合体，分别求解两个部分体积，加和即可得到结果.【详解】由三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球的组合体本题正确选项：A【点睛】本题考查空间几何体体积的求解，关键是能够通过三视图准确还原几何体.10．圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是____________，记该圆的圆心坐标为(),a b ，半径为r ，则a b r ++=_________.【解析】22(4)(2)2x y -++= 2+联立方程组20{3100x y x y +-=-++=解之得4{2x y ==- ∵圆与直线40x y +-=相切故答案为()()22422x y -++= 点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．11．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写正确结论. 如图，在三棱锥中，平面平面，求证： 证明：因为平面平面 平面平面 ，平面所以____ __． 因为平面． 所以划线处结论的得出所用的定理为：（请书写定理具体内容）.A ．底面B ．底面C ．底面D ．底面【解析】 根据面面垂直的性质定理判定得：BC ⊥底面PAC ， 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是_____ ____，最短弦长为 .【解析】x －2y ＋3＝0． 4.【分析】由圆的几何性质可得圆心与点P 的连线与l 垂直时，所截的弦长最短，利用直线垂直的充要条件及点斜式求解即可.【详解】将圆C 的一般方程化成标准方程为()2229x y -+=，所以()2,0C , 由题意知，过点()1,2P 的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直，所以11PC k k ⋅=-, 由20212PC k -==--，得112k =,所以直线l 的方程为()1212y x -=-， 即230x y -+=,故答案为230x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及两直线垂直的充要条件，对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= ；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.三.解答题（共36分，请写出必要的解题过程和步骤）13．（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是DD 1、DB 的中点，求证：（1）EF ∥平面ABC 1D 1；（2）EF ⊥B 1C ；（3）求异面直线AD 1与EF 所成角的余弦值.【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得EF ∥D 1B ，再根据线面平行判定定理证结论（2）先根据正方体性质得B 1C ⊥AB ，由正方形性质得B 1C ⊥BC 1再根据线面垂直判定定理得B 1C ⊥平面ABC 1D 1即得B 1C ⊥BD 1而EF ∥BD 1即得结论试题解析：（1）连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D 、DB 的中点，则EF ∥D 1B又∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1∴EF∥平面ABC1D1（2）∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1又AB⊂平面ABC1D1，BC1⊂平面ABC1D1，AB∩BC1=B∴B1C⊥平面ABC1D1又∵BD1⊂平面ABC1D1∴B1C⊥BD1而EF∥BD1∴EF⊥B1C（3）14．（12分）已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B．Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ圆O上是否存在点P，使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知条件可得r ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆O 的方程x 2+y 2=25，依题意，A （0，5），B （5，0），求出|AB|=，直线AB 的方程为x +y ﹣5=0，又由△PAB 的面积，可得点P 到直线AB 的距离，设点P （x 0，y 0），解得x 0+y 0=﹣1或x 0+y 0=11（显然此时点P 不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案．【详解】 Ⅰ；Ⅱ存在．，圆O 的方程为：．依题意，，，，直线AB 的方程为， 又的面积为15，点P 到直线AB 的距离为， 设点，， 解得或显然此时点P 不在圆上，故舍去， 联立方程组，解得或． 存在点或满足题意．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题．15. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，设过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点.（1)求k 的取值范围； （2）若 =12，求线段MN 的长.【详解】（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），y＝kx +1代入（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1得（1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7＝0，12OM ON ⋅==圆心，则=2MN 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，向量的数量积以及直线与圆的位置关系的应用，向量坐标化结合韦达定理求得k ＝1是关键，是中档题．第II 卷 杭西高2019学年第一学期青年杯数学竞赛(满分50分)四.选择题（共10分，每题4分，请从A 、B 、C 、D四个选项中选出最符合题意的一个）16．点(),M x y 为圆224x y +=上任意一点，则+的最小值为（ ）A ． 4B ． 6C 8D ．8D 【解析】【分析】将所求的()223x y +-看成是点(),x y 和点()0,3之间的距离的平方，所以先求出点(),M x y 所在的圆的圆心()0,0到()0,3的距离，再减去半径，得到答案.【详解】()223x y +-看成是点(),x y 和点()0,3之间的距离的平方， 而点(),M x y 为圆224x y +=上任意一点， 所以圆心()0,0到点()0,3的距离为3，圆的半径2r =，故圆上的点(),M x y 到()0,3的距离最小值为321-=，所以其最小距离的平方也为1.故选：D.【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，圆上动点到定点的距离，属于简单题.17．如图，四边形ABCD 为矩形，沿AB 将△ADC 翻折成△.设二面角'D AB C --的平面角为θ，直线'AD 与直线BC 所成角为1θ，直线'AD 与平面ABC 所成角为2θ，当θ为锐角时，有A ．21θθθ≤≤B ．21θθθ≤≤C ．12θθθ≤≤D ．21θθθ≤≤B 【解析】【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则1DEC DAO ∠θ∠θ==，，2MNE ∠θ=，由此能求出结果．【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CEDC =2，取BC 中点E ，连结DE 、AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC ，又DE AE E ⋂=，∴BC ⊥平面AED ，∴190BC AD θ⊥∴=︒，．∴21θθθ≤≤．故选：B ．五.填空题（共12分，每空4分）18．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A －EF －C(如图2)，则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角的大小为______．由图形知，AE ⊥平面EBCF ,所以AFE ∠就是直线与平面所成的角，在直角三角形AFE ∆中，点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题，处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.19．曲线y =与直线(2)3y k x =-+有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____________.如图所示:由题意,直线(2)3y k x =-+过定点(2,3)P ,【点睛】 本题考查了由图象交点个数求参数的取值范围,数形结合思想,本题属于中档题. 20．已知点()2,0A -，点()0,4B ，点P 在圆()()223420x y -+-=上，则使得APB ∆为直角三角形的点P 的有 个.【详解】 4①若APB ∠为直角，则0AP BP ⋅=，设点(),P x y ，()2,AP x y =+，(),4BP x y =-， 则()()2224240AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即()()22125x y ++-=， 圆()()22125x y ++-=与圆()()223420x y -+-=的圆心距为则圆()()22125x y ++-=与圆()()223420x y -+-=的相交，两圆的公共点个数为2；个公共点；③若BAP∠为直角，则直线PA 的方程为220x y ++=，圆()()223420x y -+-=的圆心线PA 与圆()()223420x y -+-=没有公共点.综上所述，使得APB ∆为直角三角形的点P 的个数为4.六.解答题（共28分，请写出必要的解题过程和步骤）21．（14分）已知圆C ：22230x y x ＋＋－＝．(1)求圆的圆心C 的坐标和半径长；(2)直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于()()1122,,A x y B x y 、两点，求证：1211+x x 为定值； (3)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使CDE ∆的面积最大．【解析】(1)圆心C 的坐标为(－1，0)， 圆的半径长为2；(2)证明见解析； (3)3010x y x y －＋＝或－－＝．试题分析：（1）把圆的一般方程化为标准方程即可；（2）设出直线方程，联立圆的方程，根据根与系数的关系化简即可证出；（3）试题解析：(1)配方得(x ＋1)2＋y 2＝4，则圆心C 的坐标为(－1，0)(2分)， 圆的半径长为2；(2)设直线l 的方程为y ＝kx ，联立方程组22230x y x y kx ⎧++-=⎨=⎩故所求直线方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0解法二 由(1)知|CD|＝|CE|＝R ＝2，故所求直线方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于难题，解决此类问题时，联立方程，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系去处理问题，是常规思路，要求熟练掌握，同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用，可以简化解题. 22.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.【解析】【分析】（1）根据题目条件建立空间直角坐标系，求出平面BCD 的法向量，根据线面角的向量公式即可求出；（2）分别求出平面ACM 与平面BCD 的法向量，再利用二面角的向量公式即可求出．【详解】取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB CD ⊥，OM CD ⊥，又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD . 以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.，则各点坐标分别为（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.因(0,AM =的法向量为()0,0,1n =3,|||||6AM n AM n AM n ⋅〈〉==⋅）()1,0,CM =-，(1,CA =--的法向量为(,,n x y =1n CM n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得x ⎧-⎪⎨-⎪⎩取()3,1,1n =的法向量为()0,0,1n =11,||||5n n n n n n ⋅== 25【点睛】本题主要考查利用向量法计算立体几何中的线面角和二面角，意在考查学生的直观想象和数学运算能力．。

2019-2020学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10mx y -+=的倾斜角为60︒，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．33C ．3-D ．3-【答案】A【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线10mx y -+=的斜率为m .又倾斜角为60︒,故tan 603m =︒=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了直线的斜率为倾斜角的正切值这一知识点,属于基础题型.2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的左视图首先应该是一个正方形，中间的棱在左视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案． 【详解】由已知中几何体的直观图，我们可得左视图首先应该是一个正方形，故D 不正确； 中间的棱在左视图中表现为一条对角线，故C 不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故A 不正确 故B 选项正确，故选B .【考点】三视图.3．若a ，b ，c 为实数且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc >C ．2b a a b+> D ．33a b >【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，即可容易判断. 【详解】对A ：当且仅当0ab >，且a b >时，才有11a b<，故A 错误； 对B ：当0c =时，22ac bc =，故B 错误； 对C ：当1,3a b =-=时，故1103233b a a b +=--=-<，故C 错误； 对D ：()()()2233223024b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题.4．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m αP ，m n P ，则n αP C ．若m βP ，αβ⊥，则m α⊥ D ．若m α⊥，m βP ，则αβ⊥【答案】D【解析】根据线面平行与垂直的判定和性质逐个判断即可. 【详解】对A,当,m n 相交，,m n ββ⊂⊂且αβ∥时仍有//m α,//n α,但不满足//m n .故A 错误.对B,当n ⊂α时也会有//m α,//m n ，∴//n α不一定成立.故B 错误.对C,当m α⊂且m 与,αβ的交线平行时,满足//m β,αβ⊥,但m α⊥不成立.故C 错误.对D, 若//m β，则β内必存在直线与m 平行，又m α⊥,则αβ⊥成立.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面平行垂直的判定与性质,属于中等题型.5．若x ，y 满足约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．[)3,+∞D ．[)4,+∞【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果. 【详解】根据不等式组，画出平面区域如下图所示：目标函数2z x y =+可整理为122z y x =-+与直线12y x =-平行. 数形结合可知，当且仅当目标函数过点()()0,0,2,1O A 时取得最小值和最大值. 故0,224min max z z ==+=. 故目标函数的取值范围为[]0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．18斛B ．28斛C ．38斛D ．48斛【答案】B【解析】由地面弧长求出圆锥底面半径,再利用体积公式求总体积,再代换为斛即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r ,则92r π⨯=,又取圆周率约为3解得186r π==,故米堆的体积21154543V r π=⨯⨯=,∵1斛米的体积约为1.6立方尺,故总体积为4528.125281.6=≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆锥体积的运算,注意单位的转换与近似取值的方法即可.属于基础题型.7．已知0x >，0y >，2x y xy +=，则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．32C ．322+D ．2【答案】C【解析】利用“1的转化”与基本不等式求解即可. 【详解】因为2x y xy +=,故121x y +=,故()1232y x x y y x y x y x ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝+⎭+ 232322y xx y≥+⋅=+当且仅当2y x x y =时取等号.故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式中的“1的转化”问题,属于中等题型.8．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中n *∈N ，则下列说法正确的是（ ） A ．若310a a >>，则0n a > B ．若310a a >>，则0n S >C ．若321210a a a a a ++>+>，则0n a >D ．若321210a a a a a ++>+>，则0n S > 【答案】D【解析】根据等比数列的定义与性质逐个判断或举反例即可. 【详解】对A,等比数列1(2)n n a -=-满足310a a >>,但0n a >不一定成立.故A 错误.对B, 等比数列1(2)n n a -=-满足310a a >>,但012(2)(2)1S =-+-=-不满足0n S >.故B 错误.对C, 等比数列11()2n n a -=-满足321210a a a a a ++>+>,但0n a >不一定成立.对D,设等比数列公比为q ,因为32121a a a a a ++>+,故30a >,即21100a q a >⇒>.又212101a a a a q +>⇒>-⇒>-.则当01q <<时,1(1)01n n a q S q -=>-,当1q =时10n S na =>, 当1q >时11(1)(1)011n n n a q a q S q q --==>--.综上有0n S >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用.需要根据题意举出反例,主要是举公比为负数的情况,再根据等比数列的求和与性质求解,属于中等题型. 10．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，将ABD ∆沿着BD 折成1A BD ∆，使得1A 点在平面ABCD 上的射影在BCD ∆内部，设二面角1A BD C --的平面角为α，1A C 与平面BCD 所成角为β，1A BD ∠为γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）A ．αγβ>>B ．αβγ>>C ．γβα>>D ．γαβ>>【答案】A【解析】作1A O ⊥平面ABCD ,再分别分析α,β,γ的正弦正切值,利用单调性比较即可. 【详解】作1A O ⊥平面ABCD ,AP BD ⊥于P ,连接1A P . 则1A PO α=?,1ACO β=∠,1A BD γ=∠,122312AB AD AP A P BD ⋅====+又11sin AO A P α=,因为当O 在线段BC 上时, 2BO AB BO AB AD =⇒=,213226OP BO OP AP AD ⋅=⇒==.此时2211212362A O A P OP =-=-=故1232sin 23A OAPα=>=.即3sin 2α>. 又126sin 33A DBD γ===.故sin sin αγ>,又,2παγ<,故αγ>. 11tan AO A P OC OC β=<,又当O 在线段BC 上时,22OC =此时OC 取最小值. 故1223332A P OC<=.即23tan 3β<.又1123tan 2tan A D A B γβ==>=, 故γβ>. 综上αγβ>>故选：A 【点睛】本题主要考查线面角与线线角的问题,需要根据题意作出对应的角度,同时做辅助线分析临界条件确定角度正弦或正切的取值范围,需要一定的计算能力,属于难题.二、填空题11．直线()1:20l m x y m +--=()m R ∈过定点______；若1l 与直线2:310l x my --=平行，则m =______.【答案】()1,2 3-【解析】(1)将含有m 的项合并同类项,令系数为0即可算定点. (2)根据平行直线公式求解即可.【详解】(1)()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=⇒-+-=,故101202x x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩.即定点为()1,2(2) 若1l 与直线2:310l x my --=平行,则()()()()()2310130m m m m +---=⇒-+=,故1m =或3m =-.当1m =时1l 与直线2l 重合不满足.故3m =-. 故答案为：(1) ()1,2; (2)3- 【点睛】本题主要考查了直线过定点与直线的平行问题,属于基础题型.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______；该几何体的表面积为______.【答案】(4153π+ 420π+【解析】易得该几何体为直径为2的球与底面边长为2,15.分别计算体积与表面积即可. 【详解】易得该几何体为直径为2的球与底面边长为2,15.故体积(32415411215333V ππ+=⨯+⨯=.又球的表面积21414S ππ=⨯=,正四棱锥的侧面高4h ==.故正四棱锥表面积2142422202S =⨯⨯⨯+⨯=.故该几何体的表面积为12420S S π+=+. 故答案为：(1)(43π+ (2)420π+【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积体积问题,注意锥体中的侧面高需要用勾股定理计算.属于基础题型.13．等差数列{}n a 公差0d <且39a a =，若0n a =，则n =______；若0m S =，则m =______.【答案】6 11【解析】根据等差数列的等和性求解即可. 【详解】(1)由题,因为等差数列{}n a 公差0d <且39a a =,故390a a =->. 即390a a +=,故620a =,所以若0n a =,则6n =.(2)因为等差数列{}n a 中661101100a a S =⇒=⇒=,故11m = 故答案为：(1)6; (2)11 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,与前n 项和的性质,属于中等题型.14．函数()2f x x bx c =++(),b c R ∈，若()0f x <的解集为{}23x x <<，则b c +=______；若()0f x =两根1x ，2x 满足12023x x <<<<，则b c +的取值范围是______.【答案】1 ()3,1-【解析】(1)根据二次不等式的解集与二次方程两根的关系求解即可. (2)根据零点存在定理求得,b c 满足的表达式,再利用线性规划方法求解即可. 【详解】(1)由()0f x <的解集为{}23x x <<可得()0f x =的两根分别为2,3.故()2(2)(3)56f x x x x x =--=-+,又()2f x x bx c =++故5,6b c =-=.故1b c +=.(2)因为()0f x =两根1x ,2x 满足12023x x <<<<,故(0)0(2)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即0420930c b c b c >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩.以b 为横坐标, c 为纵坐标建立平面直角坐标系,交点坐标分别为()2,0-,()3,0-,()5,6-根据线性规划的方法知, b c +在()5,6-处有最大值为1b c +=且取不到.b c +在()3,0-处有最小值为3b c +=-且取不到..所以b c +的取值范围是()3,1-. 故答案为：(1)1； (2) ()3,1- 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与根的关系,同时也考查了根据函数零点存在定理问题的方法与线性规划结合的问题,属于中等题型.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为______. 【答案】1010【解析】建立空间直角坐标系利用向量方法求解即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系,设正方体边长为2,则()0,1,2AE =u u u r ,()2,2,0DB =u u u r故异面直线AE 与BD 所成角θ的余弦值222210cos 101222AE DB AE DB θ⋅===⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：1010【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线角度问题,属于基础题型.16．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，2BC =，BE CD ∥，且CD ⊥平面ABC ，若BD AE ⊥则BE CD +的最小值为______.【答案】2【解析】取BC 中点O ,连接,AO EO ,再根据垂直证明BCD V 与EBO △相似,进而求得,BE CD 的关系即可.【详解】取BC 中点O ,连接,AO EO ,因为CD ⊥平面ABC ,故CD AO ⊥.又AB AC =,故AO BC ⊥,又CD BC C ⋂=.故AO ⊥平面BCD ,故AO BD ⊥. 又BD AE ⊥,AO AE A ⋂=,故BD ⊥面AOE ,故BD EO ⊥.易得BCD V 与EBO △相似,故221EB BC EB EB DC OB DC DC=⇒=⇒⋅=. 故222BE CD BE CD +≥⋅=.当且仅当2EB DC ==时等号成立.故答案为：22 【点睛】本题主要考查了空间中线线线面垂直的判定与性质,同时也结合了基本不等式的方法,属于中等题型.17．直线:240l x y +-=上一点P 作圆221x y +=的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，若AB l P ，则AB 的长为______.【答案】112【解析】易得当OP l ⊥时AB l P ,再根据三角形中的关系求AB 的长即可. 【详解】由题,设OP AB Q ⋂=,易得OP AB ⊥,又AB l P ,故OP l ⊥.此时224512OP -==+,故221611155AP OP OA =-=-=故222AP AOAB AQ OP⋅====.故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,圆外一点引圆的两条切线注意连接切点与圆心,圆外点与圆心等,通过勾股定理求解即可.属于中等题型.三、解答题18．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.【答案】(1) ()5,0B ; (2)6【解析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可. 【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又AC ==又B 点到直线AC的距离d == .故11622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.19．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a =，11b =，2211+=a b ，3311+=a b .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】(1) 213n a n =-+,12n nb -=; (2) 21221n n T n n =-++-【解析】(1)设{}n a 公差为d ,{}n b 公比为q ,再根据题中条件列方程求解即可. (2)分组求和,分别求等差等比数列的前n 项和即可. 【详解】(1) 设{}n a 公差为d ,{}n b 公比为q ,则由题意得22111101121120d q d q d q d q ++=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=+=⎩⎩ . 2220(2)020d q q q d q +=⎧⇒⇒-=⎨+=⎩,因为0q ≠,故2q =.代入得2d =-. 故11(1)(2)213n a n n =+-⨯-=-+,11122n n n b --=⨯=.即213n a n =-+,12n nb -=.(2)由(1)：1232n n n a b n -+=-++.故()()211122...119...213122..2n n n n T a b a b a b n -=++++++=++-++++++()()2112112131221212n n n n n n --+=+=-++--.故21221n n T n n =-++- 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的通项公式求解与求和公式,属于基础题型. 20．已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，11AA A C ==2AC =，1BC =，E 是AB 的中点.（1）求证：1BC P 平面1A EC ；（2）求直线AC 与平面1A AB 所成线面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)39 【解析】(1)取11,AC A C 的交点O ,连接EO 证明1//BC EO 即可.(2)利用等体积法求C 到平面1A AB 的距离,再计算直线AC 与平面1A AB 所成线面角的正弦值即可. 【详解】(1) 取11,AC A C 的交点O ,连接EO ,因为三棱柱111ABC A B C -中有11ACC A Y ,故O 为1AC 中点,又E 是AB 的中点,故OE 为1ABC V 中位线.故1//OE BC .因为OE ⊂平面1A EC ,1BC ⊄平面1A EC ,故1BC P 平面1A EC .(2)取AC 中点P ,连接1,A P EP .因为11AA A C ==2AC =.故1A P AC ⊥,13A P =又2AC =,1BC =,90ABC ∠=︒,故22213AB =-=又平面11A ACC ⊥平面ABC ,且平面11A ACC ⋂平面ABC AC =,故1A P⊥平面ABC .故1111113133322A ABC ABC V S A P -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 2211113342A E A P EP =+=+=.因为,//AB BC BC EP ⊥,故AB EP ⊥, 又1A P⊥平面ABC ,AB Ì平面ABC ,故1A P AB ⊥,又1A P EP P ⋂=,故AB ⊥平面1A EP ,又1A E ⊂平面1A EP ,故 1AB A E ⊥. 故11111339322A AB S AB A E =⨯⨯=⨯⨯=V . 设C 到平面1A AB 的距离为h ,则1111132C ABA ABA A ABC V S h V --=⋅==,故139123932h h ⨯⋅=⇒=. 故直线AC 与平面1A AB 所成线面角的正弦值sin h AC θ==23913239=.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及立体几何中的线面角的求法,其中线面角可以用等体积法求点面距再求解,属于中等题型.21．在直角坐标系中，圆22:4O x y +=，圆()()22:311M x y -+-=过点()0,1P 的直线1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 垂直1l 于点P .（1）当2l 与圆M 相切时，求2l 方程；（2）当2l 与圆M 相交于C ，D 两点时，E 为CD 中点，求ABE ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22:14l y x =±+; (2)270,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】(1)分2l 的斜率不存在与存在两种情况讨论.当2l 斜率存在时,设2l 方程,再根据2l 与圆M 相切,利用圆心到直线的距离等于半径求解即可.(2)设2l 方程为1y kx =+,联立圆M 的方程求E 坐标,再求得弦长AB 与E 到AB 的距离表达出面积即可. 【详解】(1)当2l 的斜率不存在时, 2l 方程为0x =显然不成立.当2l 的斜率存在时,设2:1l y kx =+,即10kx y -+=.因为2l 与圆M 相切, 231111k k -+=+,即22291k k k =+⇒=.故22:14l y x =±+ (2)显然2l 的斜率存在,设2:1l y kx =+.当0k =时, 2:1l y =,()3,1E .此时AB 为圆O 的直径且AB 4=.此时14362ABE S ∆=⨯⨯=. 当0k ≠时,()()()222211680311y kx k x x x y =+⎧⎪⇒+-+=⎨-+-=⎪⎩. 且()2213641808k k ∆=-+⨯>⇒<设()()1122,,,C x y D x y ,则12261x x k +=+.故E 的横坐标122321E x x x k +==+.纵坐标2311E k y k =++.即2233,111k k E k +++⎛⎫⎪⎝⎭.故231k EP ==+.又11:10l y x x ky k k =-+⇒+-=.故O 到1l距离d =. AB ===.故211221ABES AB PE k ∆=⋅=⨯=+.令t =因为2108k <<,故t ⎛∈ ⎝⎭.则29911ABE t S t t t ∆==--,因为1()f t t t =-在⎛⎝⎭上为增函数.故132t t ⎛-∈ ⎝⎭.故913ABE S t t ∆⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭-. 综上所述,ABE ∆面积的取值范围为,63⎛⎤⎥ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,需要联立方程利用解析几何的方法求面积表达式并分析单调性求得面积最值,同时注意斜率的取值范围.属于难题.22．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；（2）（i ）求证：111n nn n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1) 21nn a =-; (2)证明见解析【解析】(1)将()11,1n n a a +++代入2y x =,构造等比数列即可. (2)(i)由121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+可得11n n c a ++的关系,再化简证明111n n n n n c c a a a ++=+即可. (ii)利用(i)中111n n n n c a c a +++=,在23111111n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中构造对应等式再换元.最后即求证121111153n n a a a a -++⋅⋅⋅++<,代入21n n a =-再利用等比放缩法证明即可. 【详解】(1) 将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.所以12n n a +=,即21n n a =-(2) (i)证明：因为121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+,故1112111111n n n n n n n c c a a a a a a a ++-=++⋅⋅⋅++=+. 即111n n n n c c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=⋅即111n nn n c a ca +++=（2n ≥且n N ∈）.证毕. (ii)由题111c a ==,22111c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时111n n n n c ac a +++=. 故322323*********n n n c c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331122112234134111111111=33n n n n n n n n n n c c a a c c c a c c a c c c c a a a a a ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211211111111121212121n n n n a a a a --=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----. 即证明12111115212121213n n -++⋅⋅⋅++<----. 先证明21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈ , 即证当()2,n n N +≥∈时2211132212132n n nn --≤⋅⇔⋅≤-⇔- 2223242121n n n ---⋅≤⨯-⇔≥显然成立.故21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈.所以121121111111111...2121212133232n n n --++⋅⋅⋅++≤++⋅++⋅---- 11111132215215111132332312n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 成立. 即2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证毕 【点睛】本题主要考查了构造等比数列求数列通项公式的方法,同时也考查了数列的证明以及根据所给不等式利用等比放缩的方法求证数列不等式的问题,其中证明21112132n n -≤⋅-是关键.属于难题.。

浙江省2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.设集合A={x|x-1≤0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知lg2=a，lg3=b，则lg120=（）A. B. C. D.3.若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A. 11B. 10C. 5D. 94.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a=3，c=2b，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.5.若α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,,则C. 若,,则D. 若,,,则6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，则=（）A. B. 5 C. D. 257.已知{a n}是等比数列，a2=2，，则a1a3+a2a4+…+a n a n+2=（）A. B. C. D.8.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C-AB-D的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（）A. B. C. D.9.设函数f（x）满足f（-x）=f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共7小题）11.在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=24，则a6=______，S11=______．12.几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为______，几何体的外接球的直径为______．13.若直线l的倾斜角α是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍，则tanα=______，=______．14.已知a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，则ab的最小值是______，a+b的最小值是______．15.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若b2=ac，且a=b cos A，则cos B=______．16.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：①异面直线AB与CD所成的角为60°；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④二面角A-BC-D的平面角正切值是；其中正确结论是______．（写出你认为正确的所有结论的序号）17.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点．（1）证明：AE∥平面BDF；（2）若P、M分别为线段AE、CD的动点．当BE⊥PM时，试确定点P的位置，并加以证明．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，∠CAA1=60°，A1B=3，D，D1分别是AC，A1B1的中点．（1）证明：DD1∥平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．221.已知数列{a n}满足a1=1，数列是公比为3的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，证明：；（3）设数列的前n项和为S n，证明：．22.已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若b=3时，不等式f（x）≤x对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，求a-2b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A={x|x-1≤0}={x|x≤1}，B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，则A∩B={x|-2＜x≤1}，故选：B．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵lg2=a，lg3=b，∴lg120=lg（10×3×4）=lg10+lg3+2lg2=1+b+2a．故选：C．由已知结合对数的运算性质求解lg120．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），令z=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×3=11．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.【答案】B【解析】解：△ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B=2A，又A+B+C=π，∴A=，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bc×cos A，又a=3，c=2b，∴32=b2+（2b）2-2b×2b×cos，得b=，∴c=2b=2，∴△ABC的面积为b×c×sin A=．故选：B．由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式b×c×sin A，计算出答案．本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算4化简技巧与能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若n⊥β，n⊥α，可得α∥β，由m⊥β，由线面垂直的判定定理得m⊥α，故B正确；在C中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：B．在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得m⊥α；在C 中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．6.【答案】C【解析】解：如图，∵∠C=90°，∴，∴，且BC=5，∴=．故选：C．根据∠C=90°即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出．本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为{a n}是等比数列，a2=2，，所以公比q=，因为，a1a3=4，所以a1a3+a2a4+…+a n a n+2=，故选：D．由知{a n}是等比数列可得{a n a n+2}为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和．本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：过A作A在底面的射影O，∵A-BCD是正四面体，∴O是底面的中心，取BC的中点E，连结OB，OE，AE，则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO二面角C-AB-D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，又侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，∴γ=∠AEO，在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°，∵sinβ=sin∠ABO=，sinγ=sin∠AEO=，∵AB＞AE，∴＜，即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，即β＜γ＜α，故选：D．分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定α，β，γ的大小即可得到结论．本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）在（-∞，0）递减，时，x-2∈[-，-1]，故f（x-2）≥f（1），若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则时，|ax+1|≤1恒成立，故-1≤ax+1≤1，x∈[，1]，故-2≤ax≤0，x∈[，1]，故-≤a≤0，x∈[，1]，而a≥（-）max=-2，故-2≤a≤0，故选：A．根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，cos＜，＞==，不妨设=（4，0），=（1，），=（cosθ，sinθ），则=|4cosθ|-|cosθ+sinθ|=3cosθ-sinθ=sin（θ-），所以最大值为2，故选：B．由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，，列出即可求出其最大值．本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题．11.【答案】8 88【解析】解：在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=3a6=24，则a6=8，故S11==11a6=88，故答案为：8；88．由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值．本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题．12.【答案】 2【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥P-ABCD，几何体的体积为：=．四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，可得外接球的直径：=2．故答案为：；2．6画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可．本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得：tan=．∴tanα==．∴=====．故答案为：，．由题意可得：tan=．理念倍角公式可得tanα．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tanα即可得出．本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：①因为a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，所以3ab=a+2b≥，所以或（舍），所以ab≥，所以ab的最小值为；②由a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，可得，所以a+b==≥=，当且仅当，即a=，b=，所以a+b的最小值为．故答案为：；．①根据条件可得3ab=a+2b≥，解不等式可得ab的最小值；②根据条件可得，然后由a+b=，利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵b2=ac，且a=b cos A，∴a=b•，∴b2+c2-a2=2ac=2b2，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．由余弦定理，有cos B=，∴cos B====cos2A=sin2B=1-cos2B，∴cos2B+cos B-1=0，∴cos B=或（舍），故答案为：．根据条件可知△ABC为直角三角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cos B的一元二次方程，再求出cos B即可．本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题．16.【答案】①②③④【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，-1，-1），=（-1，1，0），cos＜，＞===-，∴异面直线AB与CD所成的角为60°，故①正确；=（1，0，-1），=（0，2，0），∵=0，∴AC⊥BD，故②正确；∵OA=OC=OD=1，OA，OC，OD两两垂直，∴AC=CD=AD=，∴△ACD是等边三角形，故③正确；平面BCD的法向量=（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，1），cos＜＞=，∴sin＜＞==．∴二面角A-BC-D的平面角正切值是：=，故④正确．故答案为：①②③④．取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，由△=a2+＞0，可得y=x2+ax-的图象与x轴有两个交点，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，可得4a-2≥0，不满足题意；则4a-2＜0，即a＜，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），即有（4a-2）x2+=0，即x2=，代入x2+ax-=0，化为48a2-40a+7=0，解得a=或a=＞（舍去），故答案为：．设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，讨论4a-2≥0，不符题意；4a-2＜0，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），将B 的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想8和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵，=4cos x（+sin x），=4cos x（）=6sin x cosx-2cos2x，=3sin2x-（1+cos2x）=2sin（2x-）-，∴T=π，由2x-=可得对称轴x=，k∈Z，（2）由，可得，∴sin（2x-），2sin（2x-）-，∴2sin（2x-）-，函数f（x）的值域为[-3-，]．【解析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域．本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF，∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，又F为EC的中点，∴OF∥AE，∵OF⊂面BDF，AE⊄面BDF，∴AE∥面BDF．（2）解：当PM⊥BE时，点P为AE的中点．证明如下：取BE的中点H，连结DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面，∵面ABCD⊥面BCE，且面ABC∩面BCE=BC，CD⊥BC，CD⊂面ABCD，∴CD⊥面BCE，又BE⊂面BCE，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE的中点，∴CH⊥面BCE，又CH∩CD=C，且CH，CD⊂面DPHC，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OF∥AE，由此能证明AE∥面BDF．（2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PH∥AB．PH∥CD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD⊥面BCE，CD⊥BE，从而CH⊥面BCE，进而BE⊥平面DPHC，由此能证明PM⊥BE．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．20.【答案】解：（1）证明：取A1C1中点M，连结DM，D1M，∵D1M是A△A1B1C1的中位线，∴D1M∥B1C1，∵D1M⊄平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1，又DD1⊂平面DMD1，∴DD1∥平面BCC1B1．（2）解：CC1∥AA1，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，由条件知△AA1C是正三角形，∴AC⊥DA1，同理，AC⊥DB，又∵DB∩DA1=D，∴AC⊥平面BDA1，∵A1H⊂平面BDA1，且A1H⊥BD，∴A1H⊥平面ABC，∴∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由条件知DB=DA1=，∴cos∠BDA1=-，∴∠BDA1=120°，∴∠A1DH=60°，A1H=，∵AA1=2，∴sin∠A1AH==，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值为．【解析】（1）取A1C1中点M，连结DM，D1M，推导出D1M∥B1C1，由此能证明DD1∥平面BCC1B1．（2）由CC1∥AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，推导出AC⊥DA1，AC⊥DB，从而AC⊥平面BDA1，进而A1H⊥平面ABC，∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）数列是公比为3，首项为的等比数列，所以，即．（2）证明：当n≥2时，，所以原式成立．（3）证明：当n=1时，，当n≥2时，=，所以成立．【解析】（1）考察等比数列求通项公式；（2）放缩法证明不等式；（3）先写出数列的前n项和为S n，构造等比数列证明不等式．（1）求等比数列通项公式，基础题；（2）放缩法证明不等式，这里用糖水不等式解决了问题；（3）利用放缩法证明不等式，关键是根据（2）变成等比数列求和，中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，f（x）=x2+ax+3≤x对x∈[1，4]恒成立，变形可得：ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，则a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，设g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，则g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）=-3，g（4）=-，则g（1）＞g（4），故g（x）min=g（4）=-，∴必有a，∴a的取值范围是（-∞，]；（2）根据题意，若f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，则有，即，由线性规划，画出约束条件表示的可行域，以a为横轴，b为纵轴，如图，黑色为可行10域，A（-4，4）∴-12＜a-2b＜0，∴a-2b的取值范围是（-12，0）．【解析】（1）由题意可得，ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，变形化为a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，构造函数g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，根据对勾函数的图象性质知g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）＞g（4），求出a的取值范围；（2）根据题意，找到f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点所满足的条件，利用线性规划来解决．本题考查了利用参变分离、对勾函数的图象性质来解决恒成立问题，利用线性规划来解决取值范围，属于难题．。

2019-2020学年第一学期高二（上）期中数学试卷一、选择题1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知平面四边形ABCD，按照斜二测画法（∠x'O'y'＝45°）画出它的直观图A'B'C'D'是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥βA．①④B．②③C．①③D．③④4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E是棱B1B上的动点（不含端点），平面A1C1E与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与AC的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．与E点位置有关5．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（）A．B．C．D．6．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）A．B．C．D．7．设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．B．C．D．8．直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（）A．2：5：6 B．C．1：2：3 D．1：4：69．若直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．B．C．D．10．高为1的正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，二面角P﹣AB﹣C与二面角A﹣PB﹣C之和记为θ，则在a从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若正实数x，y满足x+y＝2xy，则x+y的最小值是．xy的最小值是．12．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积是．体积是．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站km 处，最少费用为万元．14．如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是与．15．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为．16．若对任意的x∈（﹣∞，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．17．在斜边长为4的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将△ABD 沿线段BD折到△PBD位置，则点P到平面BCD距离的最大值是．三、解答题：5小题，共74分18．某几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．（1）证明：MO∥平面PAB；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．20．已知长方形ABCD中，现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示，（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直请说明理由；（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．21．设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．（1）求x+y的最大值；（2）求x2+y2的最小值．22．如图，已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，将△ABC沿着BC折起，（1）若，求异面直线AB和CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的体积最大时，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】判断满足题意的三视图的视图形状，推出结果即可．解：正方体的三视图都是正方形，①不正确；圆锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是圆，所以②正确；三棱台的三视图没有相同的图形，所以③不正确；正四棱锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是轮廓是正方形，所以④正确；故选：D．2．已知平面四边形ABCD，按照斜二测画法（∠x'O'y'＝45°）画出它的直观图A'B'C'D'是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据直观图与原图面积比为定值，计算出直观图的面积即可得到原图的面积．解：依题意，直观图A'B'C'D'的面积S直＝1，设原图面积为S原，则＝，所以＝，所以S原＝2，故选：C．3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥βA．①④B．②③C．①③D．③④【分析】根据线面平行和垂直以及面面平行和垂直的定义和性质分别进行判断即可．解：①若α∥β，∵m⊥平面α，∴m⊥平面β，∵n⊂平面β，∴则m⊥n成立，故①正确，②若α⊥β，∵m⊥平面α，∴m∥β或m⊂β，∵n⊂平面β，∴m∥n不一定成立，故②错误③若m∥n，则n⊥平面α，则α⊥β成立，故③正确，④若m⊥n，则α∥β不一定成立，故④错误，故正确的是①③，故选：C．4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E是棱B1B上的动点（不含端点），平面A1C1E与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与AC的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．与E点位置有关【分析】显然直线A1C1∥平面ABCD，从而根据线面平行的性质定理得出l∥A1C1，而显然AC∥A1C1，从而可得出l与AC的位置关系．解：∵A1C1∥平面ABCD，且A1C1⊂平面A1C1E，平面A1C1E∩平面ABCD＝l，∴A1C1∥l，又AC∥A1C1，∴l∥AC．故选：B．5．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（）A．B．C．D．【分析】判断AD与平面ABC所成的角最大值时，AD的位置，然后求解高与底面面积，即可得到体积．解：正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，平面ADC与底面ABC垂直，此时棱锥的高为：，底面面积为：＝．所以三棱锥D﹣ABC的体积：＝．故选：A．6．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）A．B．C．D．【分析】当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C图；当截面过正方体的体对角线时得B图；当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得A图但无论如何都不能截出D图，故选：D．7．设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，可得1＝（a+b）．可得＝+＝++，a＜0时，利用基本不等式的性质即可得出．解：实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，∴1＝（a+b）．则＝+＝++，a＜0时，≥﹣+2＝+＝．当且仅当b＝﹣3a＝时取等号．故选：A．8．直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（）A．2：5：6 B．C．1：2：3 D．1：4：6【分析】由已知设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰长分别为x，2x，x；它们分别为圆台的上、下底半径和腰长，代入圆台底面积及侧面积公式，计算即可．解：由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，x，如图所示；所以上底面的面积为S上底＝π•x2；下底面的面积为S下底＝π•（2x）2＝4πx2；侧面积为S侧面＝π（x+2x）•x＝3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2：4πx2：3πx2＝1：4：3．故选：B．9．若直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．B．C．D．【分析】由已知中直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，根据空间直线与平面夹角的定义，我们可得θ1+θ2≤90°，当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等，进而得到结论．解：∵直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则θ1+θ2≤90°（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）则sin2θ1+sin2θ2≤1（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）所以：．故选：C．10．高为1的正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，二面角P﹣AB﹣C与二面角A﹣PB﹣C之和记为θ，则在a从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【分析】考虑三个特殊情况，即a→0，a→+∞及正三棱锥P﹣ABC为正四面体时，可以发现θ先增大后减小．解：当a→0时，，当a→+∞时，θ→π，当正三棱锥P﹣ABC为正四面体时，如图，此时，设二面体P ﹣AB﹣C的大小为α，则，故，故，故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若正实数x，y满足x+y＝2xy，则x+y的最小值是 2 ．xy的最小值是 1 ．【分析】①正实数x，y满足x+y＝2xy，变为+＝2，可得x+y＝（+）（x+y），展开利用基本不等式的性质即可得出x+y的最小值．②由正实数x，y满足2xy＝x+y，直接利用基本不等式的性质即可得出．解：①正实数x，y满足x+y＝2xy，∴+＝2，∴x+y＝（+）（x+y）＝（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x+y的最小值是 2．②由正实数x，y满足2xy＝x+y≥2，解得：xy≥1．∴xy的最小值是1．故答案为：2，1．12．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积是12π．体积是4π．【分析】由三线垂直联想正方体，利用外接球直径为体对角线长，容易得解．解：由PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，可知该三棱锥为正方体的一角，其外接球直径为体对角线长，即2R＝＝2，∴R＝．三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是4πR2＝12π，体积为＝4π．故答案为：12π，4π．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km处，最少费用为8 万元．【分析】据题意用待定系数法设出两个函数y1＝，y2＝k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可．解：设x为仓库与车站距离，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x费用之和y＝y1+y2＝0.8x+≥2＝2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．最少费用为8万元．故答案为：5，8．14．如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是10π与π．【分析】由已知中边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，且以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，可围成一个圆锥，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，求出l，r，h后，代入圆锥表面积公式和体积公式，可以得到答案．解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件可得：，解得r＝，l＝4，∴S＝πrl+πr2＝10π，又∵h＝＝，∴V＝πr2h＝π．故答案为：10π，π15．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为．【分析】设棱长为4a，PC＝x（0＜x≤4a），则PE＝．求出P到平面BCD 的距离，即可求出结论．解：设棱长为4a，PC＝x（0＜x≤4a），则PE＝．正四面体的高为：，设P到平面BCD的距离为h，则，∴h＝x，∴sinθ＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为：．故答案为：．16．若对任意的x∈（﹣∞，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[0，+∞）．【分析】利用对数函数的单调性化简不等式4x+（a﹣2）2x+1≥0，再利用换元法转化为含参数的二次不等式，分离参数后，用基本不等式求出实数a的范围．解：由不等式化为∴4x+（a﹣1）2x+1≥2x，∴4x+（a﹣2）2x+1≥0，令t＝2x，∵x∈（﹣∞，2]，∴0＜t≤4，t2+（a﹣2）t+1≥0恒成立，等价于2﹣a≤+t在（0，4]上恒成立，即2﹣a≤（+t）min，而+t≥2，当且仅当t＝1时取等号，∴2﹣a≤2，∴a≥0，∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．17．在斜边长为4的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将△ABD 沿线段BD折到△PBD位置，则点P到平面BCD距离的最大值是2．【分析】由已知求得三角形直角边长，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝PD＝4﹣x，把点P 到平面BCD距离用含有x的代数式表示，再由导数性质求最值．解：如图，∵△ABC为等腰直角三角形，且斜边AC＝4，则AB＝BC＝2，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝4﹣x，PD＝x，PB＝2，则BD＝＝＝．要使点P到平面BCD距离最大，则平面PBD⊥平面ABC，设点P到平面BCD距离为h，则，解得h＝＝，∴h′＝＝，由h′＝0，得x＝4，∴当x→4时，点P到平面BCD距离的最大值是：h＝（）＝＝2．故答案为：2．三、解答题：5小题，共74分18．某几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积与体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图是长方体的一部分是三棱锥A﹣BCD，CD＝3，BC＝3，AB＝3，（1）该几何体的表面积：＝+××＝27；（2）该几何体的体积：＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．（1）证明：MO∥平面PAB；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】（1）推导出O是BD中点，从而OM∥PB，由此能证明OM∥平面PAB．（2）推导出四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．∴O是BD中点，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB；（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD且PO＝4，∴四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，4），M（0，﹣，2），＝（﹣1，﹣，2），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设直线AM与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为．20．已知长方形ABCD中，现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示，（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直请说明理由；（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，解得a＝；（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD的面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，进而建立空间直角坐标系求解；解：（1）若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得AB⊥面ACD，∴AB⊥AC，∴AB2+a2＝BC2即1+a2＝3，解得a＝；∴AB⊥CD（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD的面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，以O为坐标原点，在平面BCD中，过点O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为x轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，1，0），D（0，，0）面BCD的法向量＝（0，0，），面ACD的法向量＝（x，y，z），∵＝（﹣，，0），＝（0，﹣，），则取＝（1，，3），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，则cos＝|cos ＜，＞＝＝21．设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．（1）求x+y的最大值；（2）求x2+y2的最小值．【分析】（1）直接利用二次函数的应用求出结果．（2）利用基本不等式的变换的应用求出结果．解：（1）设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．整理得（x+y）2﹣xy＝1，设x+y＝t，则y＝t﹣x，故t2﹣x（t﹣x）＝1，整理得x2﹣tx+t2﹣1＝0，利用t2﹣4（t2﹣1）≥0，解得，故x+y的最大值为．（2）设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．由于x2+y2≥2xy，所以，所以，22．如图，已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，将△ABC沿着BC折起，（1）若，求异面直线AB和CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的体积最大时，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．【分析】根据异面直角所成角的空间向量计算公式，再利用题给信息构造空间直角坐标系，即可求出所求角．解：（1）因为∠BAC＝90°，且AB＝AC，BC＝，∴，∴AB＝AC＝AD，∴作AO⊥平面BCD，垂足O必为△BCD的外心，又因为△BCD中，∠BCD＝90°，△BCD的外心在斜边中点处，即O点为BD中点，则以OA方向建立z轴，过O点作x轴平行于BC，作y轴平行于CD，如图所示得坐标，，，∴∴＝（0，﹣2，0），，设AB与CD所成角为α，则．（2）当平面ABC⊥平面BCD时，四面体ABCD体积有最大值，此时二面角A﹣BC﹣D为90°，其余弦值为0．。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS2．（4分）若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直3．（4分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β4．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12B．6C．4D．无法确定5．（4分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．26．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5D．27．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N 为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3B．4C．5D．69．（4分）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．12．（4分）二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．13．（6分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．14．（6分）若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f （3x+9）＜0的解集为．15．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．16．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；（2）|A1P|的最小值为．17．（4分）若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E 分别为AD，PD中点．（1）设平面P AB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面P AB．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．21．（15分）对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．22．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．故选：B．2．（4分）若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直【解答】解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线P A与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是P A在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥P A，这样的直线l有无数条，∴D正确．故选：D．3．（4分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【解答】解：A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．4．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12B．6C．4D．无法确定【解答】解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．∵．∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．∴．∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．故选：B．5．（4分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．2【解答】解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．则，解得a2+b2+c2＝16，四面体外接球半径：2R＝4．R＝2．故选：D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5D．2【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，P A＝＝，PC＝＝，所以最长棱长为PB，．故选：B．7．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N 为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化【解答】解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN∥CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，故选：C．8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，故选：C．9．（4分）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a【解答】解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；找中间量sin1.5sin1.5，由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c＜d，只有A答案合适．故选：A．10．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得，，又，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．【解答】解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），BE＝CE＝＝，EF＝＝，cos∠EFG＝＝＝，∴∠EFG＝，∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．故答案为：，．12．（4分）二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．13．（6分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2．【解答】解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，得相似得，得，，所以．故答案为：﹣2．14．（6分）若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝1，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，，∴a＝1．∴∵，∴f（x）为减函数，且为奇函数∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，∴﹣2＜x＜5．故不等式的解集为（﹣2，5）．故答案为：1，（﹣2，5）．15．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．【解答】解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，∵sin∠C1AC＝＝＝，∴∠C1AC＝30°，∴∠P AN＝2∠C1AC＝60°，∴PN＝AP•sin∠P AN＝＝．∴MB1+MN的最小值为．故答案为：．16．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；（2）|A1P|的最小值为．【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．∴，解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，∴|A1P|＝＝＝＝，∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．故答案为：．17．（4分）若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．【解答】解：原不等式等价于：或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是：≤t≤，故答案为：≤t≤．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．【解答】解（1）由•＝，得ab cos C＝．又因为cos C＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sin C＝．所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，所以a+c＝，又A+C＝，所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），又0，所以＜C+，所以∈（2，4]．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E 分别为AD，PD中点．（1）设平面P AB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面P AB．【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面P AB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面P AB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，又AO＝AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面P AB；又OE为△P AD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面P AB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面P AB∥平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ∥平面P AB．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．【解答】解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．21．（15分）对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．【解答】解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，g（2﹣x）＝＝＝．（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．（b）当1≤a＜2时，，则g（x）在][0，1]内先减后增，且g（）≤g（x）≤g（0），即1+a﹣≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．要满足题意，则应满足，且解得0≤a≤33，所以1≤a＜2．（c）当a≥2时，≥1，则g（x）在[0，1]内递减，且g（1）≤g（x）≤g（0），即2≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．此时，g（x）min＝，g（x）min＝1+a．要满足条件，则应，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0＜a≤3．方法二：当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，所以当x∈[1，2]时，1≤g（x）≤4；当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，所以g（2﹣x）∈[1，4]，而g（x）g（2﹣x）＝4，所以1，即1≤g（x）≤4，所以问题转化为当x∈[0，1]时，1≤g（x）≤4即可．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），．（1）当0＜＜1，即0＜a＜2时，，解得0≤a≤3，所以0＜a＜2；（2）当，即a≥2时，只要解得a≤3，所以2＜a≤3；综上所述，0＜a≤3．22．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．【解答】解：（1）证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD＞∠C′CQ，∴∠C′DB＞α．（3）解：如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角．△AMC中，∠MAD＝15°，∠CAD＝45°，作出二面角的平面角∠C1QP后，若将半平面C1AD摊平，则P，Q，C的连线与AD垂直，且cos∠C′QP＝＝＝＝tan∠P AQ＝tan15°＝2﹣．第21页（共21页）。

2020学年学军西溪高二上期中一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则sin α=（ ）A ．13B ．3 CD2. 设a ∈R ，则“1a =”是“直线1l ：20ax y +=与直线2l ：()140x a y +++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 圆22430x y x +-+=关于直线y =对称的圆的方程是（ ） A．(()2211x y +-=B ．()2221x y +-=C ．()2211x y +-=D ．()(2211x y -+-=4. 设m ，n 表示不同直线，α，β，γ表示不同的平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若m α∥，m n ∥则n α∥B ．若m α⊥，n α⊥则m n ∥C ．若αγ⊥，βγ⊥则αβ∥D ．若m n ∥，m α⊂，n β⊂则αβ∥5. 将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．π B． C ．3π D．36. 已知(),x y 为半圆()()()22:2111C x y y -+-=≥上一动点，则1y x-最大值为（ ）AB ．2C ．12D7. 如图，M ，N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论错误的是（ ） A ．MN ∥平面ABDB ．异面直线AC 与BD 所成的角为定值C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直 D ．三棱锥M ACN -8. 在三棱柱P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=，D ，E 分别是BC ，AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >。

设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --大小为γ，则（ ） A ．γβα<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．αβγ<<DC BANMDCBA9. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．①②D ．①②③10. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC 1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当线段1B M 长最小时，AMB ∠=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π二、 填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．PEDCBAC 1B 1A 1NM CBA12. 已知圆1C ：224x y +=与圆2C ：22860x y x y m +-++=外切，则m = ；此时直线l ：0x y +=被圆2C 所截的弦长为 ．13. 已知圆O 圆心是原点O ，半径是r ，点A ，B 是圆O 上的相异两点，P 点坐标是(),0m ，若APB ∠最大值是3π，且此时APB △，则m = ；r = ． 14. 已知ABC △的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则球O 的体积为 ；O 到平面ABC 的距离为 ．15. 已知圆O ：224x y +=及一点P ()1,0-，则Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为 ．16. 已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线l ：20x y λλ+-=与圆C 交于A 、B 两点，当ABC △面积最大时，λ= ．17. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，在平面1111A B C D 内，直线11l B D ∥，设二面角A l E --的平面角为α，当α最大时，cos α= ．三、解答题：5小题，共74分18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11A B ∥平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．19. 已知定点()0,1A ，()0,1B -，()1,0C ，动点P 满足2AP BP k PC ⋅=．（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；俯视图侧视图正视图C 1B 1A 1EDCBA（2）当2k =时，求AP BP +的最大值和最小值．20. ABC △中，AB AC =，2BC =，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且EF BC ∥，AH BC ⊥于H ，AH EF O =，将AEF △沿EF 折起，沿A 到达'A ，此时满足面'A EF ⊥面BCFE ．（1）若53AE EB =，求直线'A B 与面BCFE 所成角大小；（2）若E ，F 分别为AB ，AC 中点，求锐二面角'A BE C --的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B 到面'A CF 的距离．21. 在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，120ABC ∠=︒，4AD =，3BC =，2AB =，CD =，AP ED ⊥．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中，点P 在底面ABCD 上的射影为Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值，当三棱锥P QDE -的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值． H A'FEOCB AHFECBA22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于A ，以A 为圆心的圆()()222:20A x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点． （1）求AB AC ⋅的最小值；（2）设P 是圆O 上异于B ，C 的任一点，直线PB ，PC 与x 轴分别交于点M ，N ，求POM PON S S ⋅△△的最大值．B E CA DP。