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2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝0 2．椭圆的焦距是（）A．B．C．1 D．23．已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．m⊂α，n⊂β，m∥n B．m⊥α，m⊥βC．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥βD．α⊥γ，β⊥γ4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直B．过P有且只有一条直线与a、b都平行C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直D．过P有且只有一个平面与a、b都平行6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]8．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．C．D．9．已知两点，到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜210．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．α＞γ＞βD．α＞β＞γ二、填空题11．若圆x2+y2+2ax+y﹣1＝0的圆心在直线y＝x上，则a的值是，半径为．12．若直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为，它们之间的距离为．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，外接球的表面积为．14．已知双曲线与椭圆共焦点，则m的值为，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是．15．异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．17．已知椭圆上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为，则直线BC的斜率为．三、解答题18．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：BG∥平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．20．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．参考答案一、选择题1．经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝0 【分析】直接代入点斜式方程即可．解：由点斜式直接带入：y﹣3＝2（x﹣1），即2x﹣y+1＝0，故选：D．2．椭圆的焦距是（）A．B．C．1 D．2【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而由焦距定义计算可得答案．解：根据题意，椭圆的标准方程为：，则a2＝5，b2＝4，则c＝＝1，则其焦距2c＝2；故选：D．3．已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．m⊂α，n⊂β，m∥n B．m⊥α，m⊥βC．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥βD．α⊥γ，β⊥γ【分析】利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．解：由直线m和n，若m⊂α，n⊂β，n∥m，则α与β相交或平行，故A不正确；若m⊥α，m⊥β，则垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即α∥β，故B正确；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故C不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则由平面与平面平行的判定知，故D不正确．故选：B．4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．解：把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，∵圆心之间的距离d＝，R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：C．5．已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直B．过P有且只有一条直线与a、b都平行C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直D．过P有且只有一个平面与a、b都平行【分析】对于A，取直线a上任意一点，作b的平行线c，则a，c确定平面，利用过一点作已知平面的垂线，有且只有一条，可得结论；对于B，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的直线不存在；对于C，根据a、b是异面直线，可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的平面不存在．解：对于A，取直线a上任意一点，作b的平行线c，则a，c确定平面，过P作平面的垂线有且只有一条，所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直，故A正确；对于B，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的直线不存在，故B不正确；对于C，∵a、b是异面直线，∴过P不存在平面与a、b都垂直，故C不正确；对于D，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的平面不存在，故D不正确；故选：A．6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．解：设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cos B＝﹣，∴OC2＝OB2+BC2﹣2OB•BC•cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，∴OC＝，则cos∠COB＝＝，可得sin∠COB＝＝，tan∠COB＝＝，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得e＝＝＝＝＝．故选：D．7．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．8．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．C．D．【分析】由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①点E是线段AC的中点，BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．利用反证法可以证明．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE 与平面α所成角为，．解：由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①∵点E是线段AC的中点，∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．反证法：若直线BE与平面α所成角是，则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上，在该四面体绕CD旋转的过程中，BE与CD是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线BE与平面α所成角不可能是90°．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．则E，O，D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．∴θ＞．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE与平面α所成角为，．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是．故选：D．9．已知两点，到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜2【分析】（1）由题意做出简图，分别讨论A，B在同一侧和两侧两种情况，只需a小于A，B两点距离的一半，再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．解：由题意如图所示：因为若A，B在直线的同一侧，可做两条直线，所以若有这样的直线又4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a小于A，B的距离，因为|AB|＝＝2，所以0＜2a＜2，所以：0＜a＜1，故选：B．10．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．α＞γ＞βD．α＞β＞γ【分析】由四面体为正四面体，结合AQ＝QD，＝＝，通过图形直观分析得答案．解：观察可知，α＞β＞γ，α为钝角，β，γ均为锐角，β平缓一点，γ陡急一点，∴，则α＞β＞γ，故选：D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若圆x2+y2+2ax+y﹣1＝0的圆心在直线y＝x上，则a的值是，半径为．【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程的形式，求出圆的圆心以及半径，又由圆的圆心在直线y＝x上，即可得a的值，据此可得答案．解：根据题意，圆的一般方程为x2+y2+2ax+y﹣1＝0，则其标准方程为（x+a）2+（y+）2＝a2+：其圆心为（﹣a，﹣），半径r＝，若其圆心在直线y＝x上，则有﹣a＝﹣，即a＝，其半径r＝＝；故答案为：，12．若直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为﹣1 ，它们之间的距离为．【分析】由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．解：由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证：m＝3时两条直线平行舍去．∴m＝﹣1．直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0分别化为：x﹣y+6＝0，x﹣y+＝0．∴它们之间的距离＝＝．故答案为：﹣1，．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为24 ，外接球的表面积为41π．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：由题意可知几何体是三棱柱，如图：是长方体的一半，所以几何体的体积为：＝24；几何体的外接球，就是长方体的外接球，外接球的半径为：＝．外接球的表面积为：＝41π．故答案为：24；41π．14．已知双曲线与椭圆共焦点，则m的值为 3 ，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是[1，+∞）．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值，可得|PF|的取值范围．解：由椭圆，得c＝，则其焦点坐标为（0，±2），∴双曲线的焦点坐标为（0，±2），∴1+m＝4，得m＝3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0，2），则当P为双曲线的上顶点时，|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1，+∞）．故答案为：3；[1，+∞）．15．异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为（，）．【分析】由最小角定理可得：θ的取值范围为，得解．解：由最小角定理可得：异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为：＜θ，故答案为：（，）．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE ＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值解：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，17．已知椭圆上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为，则直线BC的斜率为．【分析】设B（x1，y1），C（x2，y2）A（x3，y3），M（0，m），直线BC的方程为y＝kx+m．由原点O是△ABC的重心，得△BMA与△CMO的高之比为3，结合△BMA与△CMO的面积之比为，得2BM＝MC．可得2x1+x2＝0，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得到36k2m2＝1﹣m2+4k2，利用重心坐标公式求得A的坐标，代入椭圆方程即可求解直线BC的斜率．解：设B（x1，y1），C（x2，y2）A（x3，y3），M（0，m），直线BC的方程为y＝kx+m．∵原点O是△ABC的重心，∴△BMA与△CMO的高之比为3，又△BMA与△CMO的面积之比为，则2BM＝MC．即2＝，得2x1+x2＝0，…①联立，得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．则x1+x2＝，x1x2＝，…②由①②整理可得：36k2m2＝1﹣m2+4k2，…③∵原点O是△ABC的重心，∴，y3＝﹣（y2+y1）＝﹣[k（x1+x2）+2m]＝﹣．∵，∴（）2+4（）2＝4，即1+4k2＝4m2，…④．由③④可得k2＝，∵k＜0．∴k＝﹣．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分18．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．【分析】（1）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．利用基本本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．可得＝（2x+5y）•（）＝（7++），利用基本本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．∴20≥2，化为：xy≤10，当且仅当2x＝5y＝10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．∴＝（2x+5y）•（）＝（7++）≥（7+2）＝（7+2），当且仅当y＝x，2x+5y＝20取等号．∴的最小值为：（7+2）．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：BG∥平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接DE、PE，证明四边形BEDG是平行四边形，得出BG∥ED，即可证明BG∥平面PDE；（2）连接PG，证明PG⊥AD，再证BG⊥AD，得出AD⊥平面PGB，即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，再证明即可．【解答】（1）证明：连接DE、PE，则DG∥BE，且DG＝BE，所以四边形BEDG是平行四边形，所以BG∥ED，又BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以BG∥平面PDE；（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，所以PG⊥AD；又AG＝AB，∠BAD＝60°，所以BG＝AB，所以∠BGA＝90°，即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB，又PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．20．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【分析】（1）依题意，容易求得半径r＝4，圆心坐标为（﹣4，2），由此得到方程；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率，结合图象得解．解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2），所以圆心在直线y＝2上，设圆C与x轴交于P，Q点，又因为被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，所以可得∠PCQ＝，所以r＝4，圆心C的坐标：（﹣4，2），所以圆C的方程：（x+4）2+（y﹣2）2＝16；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率，设其直线方程为y＝tx（t＞0），此时有，解得；若点M在劣弧PQ上，则直线OM的斜率k＝t，于是；若点N在劣弧上，则直线OM的斜率，于是；又当k＝0时，点N为（0，2）也满足条件；综上所述，所求直线OM的斜率k的取值范围为．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．∵BC＝BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，又∵AB∥CD，AB＝CD＝DE，∴四边形ABED是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．∵AB∥CD，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．∴平面PAD⊥平面PCD．（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：∵PB＝BD＝，AB＝，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA＝AD＝2．∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），∴＝（0，3，﹣），＝（﹣，﹣1，），＝（，2，0）．设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，∴，取x＝，得＝（，﹣1，），∴cos＜，＞＝＝＝﹣．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得a 和b的值．（2）设P（m，n），m＞0，n＞0，且.可得S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．由⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2时．S△PCD取得最大值，解：（1）由已知得，⇒，点（，）代入+＝1可得．代入点（，）解得b2＝1，∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n＞0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．由可得x＝．S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2．此时，方程组的解即点P（，﹣）时，S△PCD取得最大值，最大值为﹣1．。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=02.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.23.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √727.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（ ） A.[- 34 .0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（ ）A.0B. π6 C. π3 D. π29.（单选题.4分）已知两点 A(1，6√3) . B(0，5√3) 到直线l 的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a 的取值范围是（ ） A.a≥1 B.0＜a ＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a ＜210.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC.且AP=AC=1.过点A分别作AE⊥PB于点E.AF⊥PC于点F.连结EF.当△AEF的面积最大时.tan∠BPC=___ ．17.（填空题.4分）已知椭圆C：x24+y2=1上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC与y轴交于M.若原点O是△ABC的重心.且△BMA与△CMO的面积之比为32.则直线BC的斜率为___ ．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.AB⊥PA.AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求△PCD 面积的最大值．2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0【正确答案】：D【解析】：直接代入点斜式方程即可．【解答】：解：由点斜式直接带入：y-3=2（x-1）.即2x-y+1=0.故选：D．【点评】：考查直线的点斜式方程.属于基础题．2.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.2【正确答案】：D【解析】：根据题意.由椭圆的标准方程可得a、b的值.计算可得c的值.进而由焦距定义计算可得答案．【解答】：解：根据题意.椭圆的标准方程为：x 25+y24=1 .则a2=5.b2=4.则c= √a2−b2 =1. 则其焦距2c=2；故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质.关键是掌握椭圆的标准方程的形式．3.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ【正确答案】：B【解析】：利用平面平行的判定定理.对四个选项分别进行判断.能够得到正确答案．【解答】：解：由直线m和n.若m⊂α.n⊂β.n || m.则α与β相交或平行.故A不正确；若m⊥α.m⊥β.则垂直于同一条直线的两个平面互相平行.即α || β.故B正确；若m⊂α.n⊂α.m || β.n || β.则α与β相交或平行.故C不正确；若α⊥γ.β⊥γ.则由平面与平面平行的判定知.故D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断.属于中档题．4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切【正确答案】：C【解析】：把两圆的方程化为标准方程.分别找出圆心坐标和半径.利用两点间的距离公式.求出两圆心的距离d.然后求出R-r和R+r的值.判断d与R-r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】：解：把圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x-1）2+y2=1.x2+（y+2）2=4.故圆心坐标分别为（1.0）和（0.-2）.半径分别为R=2和r=1.∵圆心之间的距离d= √(1−0)2+(0+2)2=√5 .R+r=3.R-r=1.∴R-r＜d＜R+r.则两圆的位置关系是相交．故选：C．【点评】：圆与圆的位置关系有五种.分别是：当0≤d＜R-r时.两圆内含；当d=R-r时.两圆内切；当R-r＜d＜R+r时.两圆相交；当d=R+r时.两圆外切；当d＞R+r时.两圆外离（其中d表示两圆心间的距离.R.r分别表示两圆的半径）．5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行【正确答案】：A【解析】：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.利用过一点作已知平面的垂线.有且只有一条.可得结论；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在；对于C.根据a、b是异面直线.可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在．【解答】：解：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.过P作平面的垂线有且只有一条.所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直.故A正确；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在.故B不正确；对于C.∵a、b是异面直线.∴过P不存在平面与a、b都垂直.故C不正确；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在.故D不正确；故选：A．【点评】：本题考查线线、线面的位置关系.考查学生的推理能力.属于中档题．6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √72【正确答案】：D【解析】：设AB=BC=2.取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC.由余弦定理可得OC.cos∠COB .求得tan∠COB .即为渐近线的斜率.由a.b.c 的关系和离心率公式.即可得到．【解答】：解：设AB=BC=2. 取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC. 在三角形OBC 中. cosB=- 12 .∴OC 2=OB 2+BC 2-2OB•BC•cosB=1+4-2×1×2×（- 12）=7. ∴OC= √7 . 则cos∠COB=2√7 = √7. 可得sin∠COB= √1−47 = √3√7 . tan∠COB= sin∠COBcos∠COB = √32 .可得双曲线的渐近线的斜率为 √32 .不妨设双曲线的方程为 x 2a2 - y 2b2 =1（a.b ＞0）. 渐近线方程为y=± b ax. 可得 ba = √32 . 可得e= c a = √a 2+b 2a 2 = √1+(b a )2 = √1+34 = √72 ．故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.主要是渐近线和离心率.考查学生的计算能力.属于中档题．7.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（ ） A.[- 34.0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]【正确答案】：A【解析】：由弦长公式得.当圆心到直线的距离等于1时.弦长等于2 √3 .故当弦长大于或等于2 √3 时.圆心到直线的距离小于或等于1.解此不等式求出k 的取值范围．【解答】：解：设圆心（3.2）到直线y=kx+3的距离为d. 由弦长公式得.MN=2 √4−d 2 ≥2 √3 . 故d≤1. 即√k 2+1 ≤1.化简得 8k （k+ 34 ）≤0.∴- 34 ≤k≤0.故k 的取值范围是[- 34.0]． 故选：A ．【点评】：本题主要考查点到直线的距离公式.以及弦长公式的应用.属于中档题．8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（ ）A.0B. π6C. π3D. π2【正确答案】：D【解析】：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① 点E是线段AC的中点.BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．利用反证法可以证明．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．【解答】：解：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① ∵点E是线段AC的中点.∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．反证法：若直线BE与平面α所成角是π2.则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上.在该四面体绕CD旋转的过程中.BE与CD是不可能垂直的.因此假设错位.于是直线BE 与平面α所成角不可能是90°．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．则E.O.D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．∴θ＞π3．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是π2．故选：D．【点评】：本题考查了正四面体的性质、线面垂直性质定理、正三角形的性质、线面角.考查了数形结合方法、推理能力与计算能力.属于难题．9.（单选题.4分）已知两点A(1，6√3) . B(0，5√3)到直线l的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a的取值范围是（）A.a≥1B.0＜a＜1C.0＜a≤1D.0＜a＜2【正确答案】：B【解析】：（1）由题意做出简图.分别讨论A.B在同一侧和两侧两种情况.只需a小于A.B两点距离的一半.再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．【解答】：解：由题意如图所示：因为若A.B在直线的同一侧.可做两条直线.所以若有这样的直线有4条.则当A.B两点分别在直线的两侧时.还应该有两条.所以2a小于A.B的距离.因为|AB|= √(1−0)2+(6√3−5√3)2 =2.所以0＜2a＜2.所以：0＜a＜1.故选：B．【点评】：考查点到直线的距离公式.属于中档题．10.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ【正确答案】：D【解析】：由四面体为正四面体.结合AQ=QD. APPB = CRRA= 12.通过图形直观分析得答案．【解答】：解：观察可知.α＞β＞γ.α为钝角.β.γ均为锐角.β平缓一点.γ陡急一点. ∴ π2＞β＞γ .则α＞β＞γ.故选：D．【点评】：本题考查二面角的平面角及其求法.考查学生通过读图进行直观分析问题与解决问题的能力.是中档题．11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．【正确答案】：[1] 12 ; [2] √62【解析】：根据题意.将圆的方程变形为标准方程的形式.求出圆的圆心以及半径.又由圆的圆心在直线y=x上.即可得a的值.据此可得答案．【解答】：解：根据题意.圆的一般方程为x2+y2+2ax+y-1=0.则其标准方程为（x+a）2+（y+1 2）2=a2+ 54：其圆心为（-a.- 12）.半径r= √a2+54.若其圆心在直线y=x上.则有-a=- 12 .即a= 12.其半径r= √14+54= √62；故答案为：12 . √62【点评】：本题考查圆的一般方程.关键是掌握圆的一般方程的形式.属于基础题．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．【正确答案】：[1]-1; [2] 8√23【解析】：由m（m-2）-3=0.解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．【解答】：解：由m （m-2）-3=0.解得m=3或-1． 经过验证：m=3时两条直线平行舍去． ∴m=-1．直线l 1：x+my+6=0与l 2：（m-2）x+3y+2m=0分别化为：x-y+6=0.x-y+ 23 =0． ∴它们之间的距离= |6−23|√2=8√23． 故答案为：-1. 8√23．【点评】：本题考查了平行线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．【正确答案】：[1]24; [2]41π【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的体积.求出外接球的半径.即可求解外接球的表面积．【解答】：解：由题意可知几何体是三棱柱.如图：是长方体的一半. 所以几何体的体积为： 12×4×3×4 =24；几何体的外接球.就是长方体的外接球.外接球的半径为： 12×√42+32+42 = √412． 外接球的表面积为： 4π×(√412)2=41π． 故答案为：24；41π．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积.外接球的表面积的求法.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]3; [2][1.+∞）【解析】：由椭圆方程求得焦点坐标.再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值.可得|PF|的取值范围．【解答】：解：由椭圆y 29+x25=1 .得c= √9−5=2 .则其焦点坐标为（0.±2）.∴双曲线C：y2−x2m=1的焦点坐标为（0.±2）.∴1+m=4.得m=3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0.2）.则当P为双曲线的上顶点时.|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1.+∞）．故答案为：3；[1.+∞）．【点评】：本题考查椭圆与双曲线的简单性质.是基础题．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（π6 . π3）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为π6＜θ＜π3.得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（ π6 . π3 ）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC 中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC .且AP=AC=1.过点A 分别作AE⊥PB 于点E.AF⊥PC 于点F.连结EF.当△AEF 的面积最大时.tan∠BPC=___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：由已知可证AE⊥平面PBC.PC⊥平面AEF.可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .从而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”.解得当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.即可求得tan∠BPC 的值【解答】：解：显然BC⊥平面PAB.则BC⊥AE . 又PB⊥AE .则AE⊥平面PBC.于是AE⊥EF .且AE⊥PC .结合条件AF⊥PC 得PC⊥平面AEF. 所以△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”. 所以.当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.此时tan∠BPC= EF PF = 12√22= √22 .【点评】：本题主要考查了直线与平面垂直的判定.不等式的解法及应用.同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力.属于中档题 17.（填空题.4分）已知椭圆 C ：x 24+y 2=1 上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M.若原点O 是△ABC 的重心.且△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则直线BC 的斜率为___ ．【正确答案】：[1] −√36【解析】：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ．由原点O 是△ABC 的重心.得△BMA 与△CMO 的高之比为3.结合△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .得2BM=MC ．可得2x 1+x 2=0.联立直线与椭圆方程.利用根与系数的关系得到36k 2m 2=1-m 2+4k 2.利用重心坐标公式求得A 的坐标.代入椭圆方程即可求解直线BC 的斜率．【解答】：解：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ． ∵原点O 是△ABC 的重心.∴△BMA 与△CMO 的高之比为3. 又△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则2BM=MC ． 即2 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .得2x 1+x 2=0.… ①联立 {y =kx +m x 2+4y 2=4 .得（4k 2+1）x 2+8mkx+4m 2-4=0． 则x 1+x 2= −8km 1+4k 2 .x 1x 2= 4m 2−41+4k 2 .… ②由 ① ② 整理可得：36k 2m 2=1-m 2+4k 2.… ③ ∵原点O 是△ABC 的重心.∴ x 3=−(x 1+x 2)=8km1+4k 2 . y 3=-（y 2+y 1）=-[k （x 1+x 2）+2m]=- 2m1+4k 2 ．∵ x 32+4y 32=4 .∴（ 8km1+4k 2 ）2+4（ −2m 1+4k 2 ）2=4.即1+4k 2=4m 2.… ④ ． 由 ③ ④ 可得k 2= 112 . ∵k ＜0．∴k=- √36． 故答案为： −√36 ．【点评】：本题考查了椭圆的性质.考查了计算能力、转化思想.属于中档题．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．利用基本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．可得1x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（1）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴20≥2 √2x•5y .化为：xy≤10.当且仅当2x=5y=10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴ 1 x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）≥ 120（7+2 √5yx•2xy）= 120（7+2√10）.当且仅当√5 y= √2 x.2x+5y=20取等号．∴ 1 x +1y的最小值为：120（7+2 √10）．【点评】：本题考查了基本不等式的性质、方程的解法、转化法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）连接DE、PE.证明四边形BEDG是平行四边形.得出BG || ED.即可证明BG || 平面PDE；（2）连接PG.证明PG⊥AD.再证BG⊥AD.得出AD⊥平面PGB.即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时.平面DEF⊥平面ABCD.再证明即可．【解答】：（1）证明：连接DE、PE.则DG || BE.且DG=BE.所以四边形BEDG是平行四边形. 所以BG || ED.又BG⊄平面PDE.DE⊂平面PDE.所以BG || 平面PDE；（2）证明：连接PG.因为△PAD为正三角形.G为AD边的中点.所以PG⊥AD；又AG= 12 AB.∠BAD=60°.所以BG= √32AB.所以∠BGA=90°.即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB.BG⊂平面PGB.PG∩BG=G.所以AD⊥平面PGB.又PB⊂平面PGB.所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时.满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F.连接DE、EF、DF.在△PBC中.FE || PB.在菱形ABCD中.EF∩DE=E.所以平面DEF || 平面PGB.因为BG⊥平面PAD.所以BG⊥PG.又因为PG⊥AD.AD∩BG=G.所以PG⊥平面ABCD.而PG⊂平面PGB.所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD．【点评】：本题考查了空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的平行和垂直判断问题.也考查了空间想象能力与逻辑推理能力．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）依题意.容易求得半径r=4.圆心坐标为（-4.2）.由此得到方程；（2）依题意.只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率.结合图象得解．【解答】：解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点（0.2）.所以圆心在直线y=2上.设圆C 与x 轴交于P.Q 点.又因为被x 轴分成的两段圆弧长之比为1：2.所以可得∠PCQ= 2π3 .所以r=4.圆心C 的坐标：（-4.2）.所以圆C 的方程：（x+4）2+（y-2）2=16；（2）依题意.只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率.设其直线方程为y=tx （t ＞0）.此时有 2＜|−4t−2|√t 2+1≤4 .解得 0＜t ≤34 ；若点M 在劣弧PQ 上.则直线OM 的斜率k=t.于是 0＜k ≤34 ；若点N 在劣弧上.则直线OM 的斜率 k =−1t .于是 k ≤−43 ；又当k=0时.点N 为（0.2）也满足条件；综上所述.所求直线OM 的斜率k 的取值范围为 (−∞，−43]∪[0，34] ． 【点评】：本题考查圆的标准方程的求法及直线与圆的关系.考查逻辑推理能力.属于中档题．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.AB⊥PA .AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．可证四边形ABED 是矩形.故而AB⊥AD .结合AB⊥PD 得出AB⊥平面PAD.又AB || CD 得出CD⊥平面PAD.于是平面PAD⊥平面PCD ；（II ）以A 为原点建立坐标系.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PBC 的法向量 n ⃗ .则直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|．【解答】：证明：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．∵BC=BD .E 为CD 中点.∴BE⊥CD .又∵AB || CD .AB= 12 CD=DE.∴四边形ABED 是矩形.∴AB⊥AD .又AB⊥PA .PA⊂平面PAD.AD⊂平面PAD.PA∩AD=A.∴AB⊥平面PAD ．∵AB || CD .∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD.∴平面BEF⊥平面PCD ．∴平面PAD⊥平面PCD ．（II ）以A 为原点.AB 为x 轴.AD 为y 轴.以平面ABCD 过点A 的垂线为z 轴建立空间直角坐标角系A-xyz.如图所示：∵PB=BD= √6 .AB= √2 .AB⊥PA .AB⊥AD .∴PA=AD=2．∴P （0.-1. √3 ）.D （0.2.0）.B （ √2 .0.0）.C （2 √2 .2.0）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.3.- √3 ）. BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √2 .-1. √3 ）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 .2.0）．设平面PBC 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∴ {√2x +2y =0−√2x −y +√3z =0 .取x= √2 .得 n ⃗ =（ √2 .-1. √33 ）. ∴cos ＜ n ⃗ . PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = −4√103•2√3 =- √105． ∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为√105 ．【点评】：本题考查了面面垂直的性质.空间向量的应用与空间角的计算.属于中档题．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用椭圆的离心率求得 b a =12 .将（ √3 . 12 ）代入椭圆方程.即可求得a 和b 的值．（2）设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 可得 S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ． 设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．由 {x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 时．S △PCD 取得最大值.【解答】：解：（1）由已知得 c a =√32 .⇒ b a =12 . 点（ √3 . 12 ）代入 x 2a 2 + y 2b 2 =1可得 3a 2+14b 2=1 ． 代入点（ √3 . 12 ）解得b 2=1.∴椭圆C 的标准方程： x 24+y 2=1 ．（2）可得A （-2.0）.B （0.1）．设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 PA ： y =n m+2(x +2) .PB ：n−1m x +1 . 可得C （0. 2n m+2 ）.D （ m 1−n ，0 ）．由 {y =n−1m x +1y =2n m+2可得x= m (2n−m−2)(n−1)(m+2) ． S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ．设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．{x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 ． 此时.方程组的解 {x =√2y =−√22即点P （ √2 .- √22 ）时.S △PCD 取得最大值.最大值为 √2 -1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。
杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。
侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学（文）高二数学〔文〕试卷一、 选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、 16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。
杭州学军中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()+1=f x cosx sinx 的导数是（ ）． A. 2+cos x sinx B. 2cos x sinx - C. 2cos x cosx + D. 2cos x cosx -【答案】B 【解析】 【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可. 【详解】由()()+1=f x cosx sinx 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin sin cos 2sin f x x x x x x x x x x '=-++⋅=--=-故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数()321f x x x mx +++=是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥13． 故选：C ．3.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）．A. 121k + B.112224k k -++C. 121k -+D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k-+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（ ）． A. 相等 B. 互补 C. 无关 D. 相等或互补 【答案】C 【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，135OFA ∠=︒，则tan ACB ∠等于（ ）．A.3B.2D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点F 和准线方程l ，从而得到C 点坐标，由135OFA ∠=︒，可得直线AB 的方程，由AB 的方程与抛物线的方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线24y x =可得：焦点F 坐标（1，0），准线方程l 为：1x =-；∴C 点坐标为（-1，0）；又弦AB 过F ，135OFA ∠=︒；∴直线AB 的斜率为1，方程为1y x =-，又点A 与点B抛物线上∴两方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩，得到2610x x -+=，解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，2232x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故点(32A ++，点(32B --；∴(4CA →=++，(4CB →=-- ∴1cos 3CA CB ACB CA CB→→→→⋅∠==⋅，由于(0,)ACB π∠∈，故sin 3ACB ∠==； sintan cos ACBACB ACB∠∴∠==∠ ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（ ）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B 【解析】试题分析：过1A F 上的点作与平面ABCD 的平行平面，分别与线段1D E 与1C F 相交与,M N ，由面面平行的性质可得，MN 平行平面ABCD ，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．考点：线面平行的判断．7.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD △折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C AB D --的平面角的大小为θ，则sin θ的值等（ ）．A.34D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意证明CD ⊥平面ABC 以及AB ⊥平面ACD 即可说明CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，解CAD ∆即可得到答案.【详解】由A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上点O 处，故AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ；∴AO CD ⊥，在矩形ABCD 中，CD BC ⊥，且AO 交BC 于点O ，CD \^平面ABC ，又AB Ì平面ABC ，故CD AB ⊥，又在矩形ABCD 中，DA AB ⊥，且CD 交DA 于D ，故AB ⊥平面ACD ； 又AC ⊂平面ACD ，故AB AC ⊥， 由于CD AB ⊥，AB AC ⊥，平面CAB 平面DAB AB =，AD ⊂平面ABD ，AC ⊂平面ACB ；∴CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，即=CAD θÐ，在CAD ∆中，由CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可知CD AC ⊥， 又矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，故3C D A B ==，4AD BC ==，故3s i n 4CD AD θ== 故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）．A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题--数学文高二数学〔文〕试卷一、 选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等 3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。
某某学军中学2009学年第一学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分1．若”133“”3“,22表示双曲线方程是则=+-->∈k y k x k R k 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（ ） A 、1，2，3，4，5；B 、5，16，27，38，49； C 、2，4，6，8，10；D 、4，13，22，31，40． 3. 右程序运行后输出的结果为( ) A. 3 4 5 6 B. 4 5 6 7 C. 5 6 7 8 D. 6 7 8 94.用6种不同的颜色给右图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A 、B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有． （ ） A ．150种 B ．1296种 C ．432种 D ．216种 5．直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O为坐标原点，且OA OB ⊥则b 的值为 （ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1 6.圆锥曲线221mxny +=与直线1y x =-+相交于A ，B 两点，过原点和线段AB 中点的直线斜率为22，则mn 的值是 （ ） A ．2- B ．22- C ．22 D ．32-7．设n nn n a a a a x a x a x a a x x 24202222102,)1(++++++++=++ 则等于（）A ．n3B ．23nC ．213-nD ．213+n8．10()a b c d +++展开式的项数有 （ ）A ．60项B ．268项C ． 286项D ．88项9．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，x=1 y=1WHILE x<=4Z=0WHILE y<=x+2 Z=Z+1 y=y+1 WEND PRINT Z x=x+1 y=1 WEND END第3题并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都为t ，那么下列说法正确的是 （ ） A ．l 1与l 2有交点（s ，t ） B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合10．设AB 为椭圆22221x y a b +=过左焦点(,0)F c -的弦，若在直线2ax c=-上存在一点P ，使ABP ∆成正三角形，则椭圆离心率e 的X 围是 （ ） A．0e <<B1e << C．0e << D1e << 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 把答案填在题中横线上．11．某所大学的计算机工程学院的大一新生有160人，其中男生95人，女生65人，现在要抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样，女生应抽取_____________人． 12．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，求时速在[60,70)的汽车大约有多少辆_________________． 13．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____14．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，某某数p 的取值X 围_____________．15.已知抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点为F ，准线l 与对称轴交于点R ，过抛物线上一点P(1,2）作PQ ⊥l ，垂足为Q,那么焦点坐标为_____________．梯形PQRF 的面积为_____________．16．已知命题P ：不等式}10|{01<<<-x x x x的解集为；命题q ：在△ABC 中，“A > B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真其中正确结论的序号是.（请把正确结论的序号都．填上）三、解答题：本大题共5小题，8＋8＋8＋12＋14=50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）列出解出该题的人数ξ的概率分布表，（3）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．18．在01,01x y <<<<的条件下，任取,x y 两个数，求取出的,x y 与1恰好为钝角三角形的三条边长的概率．19．求证：若a 、b 、c 均为实数且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，则a 、b 、c 中至少有一个大于0．）20．P 为椭圆2212516x y +=上一点，左、右焦点分别为F 1，F 2．（1） 若PF 1的中点为M ，O 为原点，求证：1152MO PF =-（2） 若01260F PF ∠=，求12PF PF 的值．（3） 求 12PF PF 的最值．21.双曲线22221x y a b -=的中心是O ，它的虚轴长为62，右焦点F （c ,0）（c ＞0），直线2:a l x c=与x 轴交于点A ，且| OF |= 3 | OA |．过点F 的直线'l 与双曲线交于P 、Q 两点． （Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；（Ⅱ）若AQ AP •=0，求直线PQ 的方程． （Ⅲ）当直线'l 转动时，求证：PAF QAF ∠=∠附加题（供十二班做）10分边长为2的正三角形ABC ，O 是三角形重心，沿OB 把三角形OBC 翻折到使3AOC π∠=（右图所示）．（1） 求AB OC 与所成角的余弦值； （2） 求OAB OC 与面所成角的正弦值； （3） 求二面角OA B C －－的正切值AA B某某学军中学2009学年第一学期期末考试高二数学（理）答卷一、选择题（3分×10=30分）做在答题卡上。
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．直线 的倾斜角是 A ．B ．C ．D ． -2．如果直线 与直线 互相垂直，则实数A ． 1B ．C ．D ．3．设 ， 满足约束条件，则 的最小值是A ． 1B ．C ．D ．4．圆 上的点到直线 的距离的最大值是A ．B ．C ．D ．5．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是A ．B ．C ． 6D ．6．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1 所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是A ．B ．C ．D ．8．已知集合 ,集合 ,若 ,则实数 可以取的一个值是A ．B ．C ．D ．9．已知圆 : ,过 轴上的点 存在圆 的割线 ,使得 ,则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 是棱 上的动点，若点 为线段 上的动点，则 的最小值为A ．B ．C ．D ．二、填空题11．直线 关于直线 对称的直线方程是________________ 12．如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是 ，则 _______．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号13．已知P(x，y)满足，则点构成的图形的面积为________．14．有且只有一对实数同时满足：与，则实数的取值范围是_______________15．异面直线成角，直线，则直线所成角的范围是_____________16．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l交于另一点D．若，则点A的坐标为_________ 17．在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心C在直线上，若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围是_______________三、解答题18．已知圆,直线(1)求证:不论取何实数,直线与圆总有两个不同的交点；(2)设直线与圆交于点，当时，求直线的方程.19．已知菱形的边长为2，，四边形是矩形，且平面，．（1）求证：平面；（2）设中点为，求证平面．20．已知以点（，且）为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为坐标原点．（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．21．如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，且．（1）证明：；（2）证明：直线与平面相交；（3）求直线与平面所成角的正弦值.2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．A【解析】【分析】根据直线的斜率，利用直线倾斜角的正切等于直线的斜率可算出所求直线的倾斜角.【详解】直线化为所以斜率，设直线的倾斜角为,则，结合，可得，故选A.【点睛】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角，着重考查了直线的基本量与基本形式等知识,属于基础题.2．B【解析】【分析】由直线的垂直关系可得，解方程可得结果.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，直线与直线互相垂直，，解得，故选B.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.3．C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．B【解析】【分析】先将圆转化为标准方程：，可得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可.【详解】圆可化为标准形式：，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，则所求距离最大为，故选B.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线距离公式，属于难题.解答圆上点到直线距离的最值的步骤是：先求出圆心到直线的距离，然后加半径可得最大值，减半径可得最小值.5．D【解析】【分析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为.【详解】点关于轴的对称点坐标是，设点关于直线的对称点，由，解得，故光线所经过的路程，故选D.【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.6．D【解析】【分析】连接,则为与平面所成角，在计算出此角的正弦值即可.【详解】连接,在长方体中，平面，则为与平面所成角，在中，，故选D.【点睛】本題主要考查了求线面角，属于中档题. 根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.7．D【解析】【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，，设异面直线与所成的角为,则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．A【解析】【分析】化简集合，可知分别表示圆及其内部，由两圆内切或内含可得，进而可得结果.【详解】集合，集合，分别表示圆及其内部，，则两圆内切或内含，且圆心距为，将选项代入，时，左边等于，不等式成立，成立，故选A.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.9．C【解析】【分析】求得圆心，根据割线定理可得，再利用与，可得，从而可得结果【详解】由圆，可得圆心，根据割线定理可得，，，，化为，，解得，则的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于难题.10．A【解析】【分析】连接,得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.【详解】图1连接,则，点在平面中，且，如图1所示，在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2,设点关于直线的对称点为，的方程为，①，直线的方程为，②由①②组成方程组，解得，直线与的交点，对称点，，最小值为到直线的距离为，故选A.【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.11．【解析】【分析】先求出直线与直线的交点，再求得关于的对称的点，利用两点式可得结果.【详解】根据题意，由，得，即交点为，点在直线上，点关于直线对称点为，则直线关于直线对称的直线过点和，故所求直线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查直线关于直线对称的直线方程，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.12．【解析】【分析】由三视图知棱柱的高是，底面的三角形的高为,可表示出三棱柱的底面积，再由体积公式建立方程求出值.【详解】由三视图知棱柱的高是，底面的三角形的高是,又正三棱柱的底面是正三角形,故底面三角形的边长为，故三棱柱的体积是积是，解得，故答案为.【点睛】本题考查三视图，属基础题；解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.13．2【解析】【分析】设点，则，可得，动点的可行域为平行四边形及其内部区域，数形结合求得点构成的面积.【详解】令，由可得满足，在平面内画出点所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为，故答案为2.【点睛】本题考查线性规划，可行域的图形的面积的求法，正确画出可行域是解题的关键，考查计算能力，作图能力，意在考查数形结合思想以及转化与划归思想的应用，属于中档题.14．【解析】。
10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，那么点P的轨迹是〔〕A、直线B、抛物线C、椭圆D、双曲线的一支二．填空题〔共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分〕11.直线的斜率为；倾斜角大小为______．12.圆：, 那么圆在点处的切线的方程是___________；过点〔2，2〕的切线方程是 .13．某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积为cm3，该几何体的外表积为cm214．m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点〔m，n〕是双曲线一条弦的中点，那么此弦所在的直线方程为．15．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2=2py〔p＞0〕交于M，N 两点．假设|MF|+|NF|=4|OF|，那么该双曲线的离心率为．16．在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，以下命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心；③△ABC是锐角三角形其中正确的选项是三、解答题〔共4题，50分〕17．〔总分值12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．18.〔总分值12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°SA=2,，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．19．〔总分值12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，求实数k的值．20．〔总分值14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．高二数学期末复习卷答案二．填空题〔共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分〕11.； 12.；x=2或y=213． , 14．x﹣2y+1=015．．16．①③④三、解答题〔共4题，50分〕17．〔总分值12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．【解答】解：〔Ⅰ〕由焦点坐标为〔1，0〕可知，p=2∴抛物线C的方程为y2=4x〔Ⅱ〕当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，∴．当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k〔x﹣1〕，设M〔﹣2，y M〕，N〔﹣2，y N〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由整理得 k2x2﹣〔4+2k2〕x+k2=0，∵∠AOB=∠MON，∴x1•x2=1．∴．综上18.〔总分值12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为，BC=1，∠ABC=90°，所以AC=2，∠BCA=60°，在△ACD中，，AC=2，∠ACD=60°，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以又∠ACD=60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE=60°=∠BCA，所以BC∥AE，又AE⊂平面SAE，BC⊄平面SAE，所以BC∥平面SAE．〔2〕由〔1〕可知∠BAE=90°，以点A为原点，以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么S〔0，0，2〕，，，．所以，，．设为平面SBC的法向量，那么，即设x=1，那么y=0，，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．19．〔总分值12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，求实数k的值．【解答】〔1〕证明：由PA=PD=2，点E是AD的中点，∴PA⊥AD，ABCE是矩形，∴EC⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，EC∴PA⊥平面ABCDEC⊂平面ABCD∴PA⊥EC．∵BC=AD=1，AD∥BC，AB⊥AD，∴EC⊥AD，AD⊂平面PAD，∴平面CEF⊥平面PAD．〔2〕由〔1〕可得PA⊥AD，EC⊥AD，PA⊥EC，以E为坐标原点，向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如下图的空间直角坐标系A﹣xyz．E〔0，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔0，，0〕，B〔﹣1，，0〕，设F〔x，y，z〕，那么=〔x，y，z﹣〕，=〔﹣1，，﹣〕，∵，∴，可得：x=﹣k，y=，z=，即F〔﹣k，，〕，设平面CEF的法向量为〔p，q，r〕，=〔﹣k，，〕，=〔﹣k，，〕∴，即，，那么q=0，p=，即〔，0，〕，PCE的法向量为=〔﹣1，0，0〕，二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，即cos30°=||=||=，解得：k=，故得实数k的值为．20．〔总分值14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．【解答】〔本小题总分值14分〕解：〔 I〕证明：，，因为a＞1，所以，即A1B与A2B不垂直．所以△BA1A2不是点B的“特征三角形〞．…〔4分〕〔 II〕当a=2时，椭圆．因为点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的一个“特征三角形〞，不妨设M〔m，n〕，N〔m，﹣n〕〔﹣2＜m＜2〕．由题意得：解得或〔舍〕所以〔或〕…．〔8分〕〔III〕点B是椭圆G的“T点〞．不妨设点B的“特征三角形〞为△BPQ．设直线BP的方程为y=kx+1〔k＞0〕，那么直线BQ的方程为，由得〔1+a2k2〕x2+2a2kx=0．因为B〔0，1〕，所以．所以=．同理可得．因为|BP|=|BQ|，所以，即〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0．〔1〕所以k=1或k2+〔1﹣a2〕k+1=0〔2〕．由〔2〕式可得△=〔1﹣a2〕2﹣4=〔a2+1〕〔a2﹣3〕．当时，〔2〕式有两个相等的正根1，所以〔1〕式有三个相等的正根为k=1；当时，〔2〕式有两个不等于1 的正根，所以〔1〕式有三个不相等的正根；当时，〔2〕式无实根，所以〔1〕式只有一个正根为k=1．综上：当时，满足条件的“特征三角形〞有1个．当时，满足条件的“特征三角形〞有3个．…．〔14分〕。
2018-2019学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷1.（单选题，4分）复数3−i1−i等于（）A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i2.（单选题，4分）已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(√5，0)，则其渐近线的方程为（）A. y=±14xB.y=±4xC. y=±12xD.y=±2x3.（单选题，4分）用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于04.（单选题，4分）已知直线l⊥平面α，直线m || 平面β，则“α || β”是“l⊥m”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件5.（单选题，4分）已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）与抛物线x2=2py（p＞0）的交点为A，B．A，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A. √72B. 12C. √22D. √326.（单选题，4分）设直线l：mx+（m-1）y-1=0（m∈R），圆C：（x-1）2+y2=4，则下列说法中正确的是（）A.直线l与圆C有可能无公共点B.若直线l的一个方向向量为a⃗ =（1，-2），则m=-1C.若直线l平分圆C的周长，则m=1或m=0D.若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2 √37.（单选题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F || 平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（）① 点F的轨迹是一条线段② A1F与D1E不可能平行③ A1F与BE是异面直线④ tanθ≤2√2A.1B.2C.3D.48.（单选题，4分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2= π3，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A. √3B. √33C. √32D.19.（填空题，4分）抛物线y=2x2的焦点坐标是___ ．10.（填空题，4分）设平面α的法向量为n1⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−2，2)，平面β的法向量为n2⃗⃗⃗⃗⃗=(2，λ，4)，若α⊥β，则|n2⃗⃗⃗⃗⃗| =___ ．11.（填空题，4分）用数学归纳法说明：1+ 12+13+⋯+12n−1＜n(n＞1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是___ 项．12.（填空题，4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___ ．13.（填空题，4分）圆x 2+y 2-4x-2y-8=0关于直线ax+2by-2=0（a ，b ＞0）对称，则 1a +4b的最小值为___ ．14.（填空题，4分）已知F 是双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）的、右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点， OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，直线OA 的方程y= 2√33x ，则双曲线的离心率为___ ． 15.（填空题，4分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB || CD ，∠ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD'M ，当平面AD'M 垂直于平面ABC 时，线段PD'长度的最小值为___ ．16.（问答题，9分）已知命题p ：方程x 2+y 2-4x+2my+2m 2-m+2=0表示圆；命题q ：方程x 2m−1 + y 25−a =1表示焦点在y 轴上的椭圆．（Ⅰ）若命题p 为真命题时．求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.（问答题，10分）若a 1＞0，a 1≠1，a n+1= 2a n 1+a n（n=1，2，…）． （1）求证：a n+1≠a n ；（2）令a 1= 12 ，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ，并用数学归纳法证明．18.（问答题，10分）在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=12BC=1，E是PC 的中点，平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：ED || 平面PAB；（2）若PC=PA=√7，求二面角A-PC-D的余弦值．19.（问答题，11分）已知椭圆E：x2a2+y24=1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√53，点P是直线x=- √5a25上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•QF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0．（1）试求出实数a；（2）设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1•k2的值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明点H恒在一条定直线上．。
