杭州学军中学(西溪校区)2019学年第一学期期中考试高二数学试卷 (1)

2019-2020学年学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．27．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．69．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB 与平面β所成的角的余弦值是．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；（2）|A1P|的最小值为．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a ＞1），则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．故选：B．2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．故选：D．3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β解：A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．∵．∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．∴．∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．故选：B．5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．则，解得a2+b2+c2＝18，四面体外接球半径：2R＝3．R＝．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．2解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，PA＝＝，PC＝＝，所以最长棱长为PB，．故选：B．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN∥CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，故选：C．8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，故选：C．9．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；找中间量sin1.5sin1.5，由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c＜d，只有A答案合适．故选：A．10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得，，又，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），BE＝CE＝＝，EF＝＝，cos∠EFG＝＝＝，∴∠EFG＝，∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．故答案为：，．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2 ．解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，得相似得，得，，所以．故答案为：﹣2．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝ 1 ，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，，∴a＝1．∴∵，∴f（x）为减函数，且为奇函数∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，∴﹣2＜x＜5．故不等式的解集为（﹣2，5）．故答案为：1，（﹣2，5）．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，∵sin∠C1AC＝＝＝，∴∠C1AC＝30°，∴∠PAN＝2∠C1AC＝60°，∴PN＝AP•sin∠PAN＝＝．∴MB1+MN的最小值为．故答案为：．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；（2）|A1P|的最小值为．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．∴，解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，∴|A1P|＝＝＝＝，∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．故答案为：．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．解：原不等式等价于：或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是：≤t≤，故答案为：≤t≤．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．【解答】解（1）由•＝，得ab cos C＝．又因为cos C＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sin C＝．所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，所以a+c＝，又A+C＝，所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），又0，所以＜C+，所以∈（2，4]．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，又AO＝AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB∥平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x ∈[1，2]时，g（2﹣x）＝＝＝．（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．（b）当1≤a＜2时，，则g（x）在][0，1]内先减后增，且g（）≤g（x）≤g（0），即1+a﹣≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．要满足题意，则应满足，且解得0≤a≤33，所以1≤a＜2．（c）当a≥2时，≥1，则g（x）在[0，1]内递减，且g（1）≤g（x）≤g（0），即2≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．此时，g（x）min＝，g（x）min＝1+a．要满足条件，则应，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0＜a≤3．方法二：当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，所以当x∈[1，2]时，1≤g（x）≤4；当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，所以g（2﹣x）∈[1，4]，而g（x）g（2﹣x）＝4，所以1，即1≤g（x）≤4，所以问题转化为当x∈[0，1]时，1≤g（x）≤4即可．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），．（1）当0＜＜1，即0＜a＜2时，，解得0≤a≤3，所以0＜a＜2；（2）当，即a≥2时，只要解得a≤3，所以2＜a≤3；综上所述，0＜a≤3．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．解：（1）证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD＞∠C′CQ，∴∠C′DB＞α．（3）解：如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2，MD＝4﹣2，CD＝4﹣4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2﹣DM2＝36﹣16．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角的大小是（ ） A ．B ．C ．D ．2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）23．点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.(-2，3，4)B.(2，-3，-4)C.(-2，-3，4)D.(-2，-3，-4)4. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；其中真命题为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④5.圆x 2+y 2+2x=0和x 2+y 2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=06.圆与圆的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A ．2B ．1+C ．D ．1+ 10.已知直线，圆，则直线和圆在同一坐标系中的图形可能是（ ）二填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ，体积是12. 在空间直角坐标系中，若点A （1，2，﹣1），B （﹣3，﹣1，4）．则|AB|=13.已知命题，使成立，则： ．14.经过点（3，-2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是15．直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点16.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，①异面直线1A D 与1D C 所成的角为60度；②直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为30度；③1D C ⊥平面11AB C D ④平面1ADB 与平面11BB C C 所成角为60度⑤平面11//A D 平面1ADB 以上命题正确的是答题纸 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11、 ， ；12、 ；13、14、 ；15、 ；16、三解答题：（本题共4小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17.（7分）求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x+-=与224x y+=交点的圆的方程18.（9分）已知直线：，：，求当为何值时，与：（1）平行；（2）相交；（3）垂直19. （10分）已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，求（1）的值；（2）求过点并与圆相切的切线方程.20.（10分）过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。

1.直线10x y 的倾斜角是（）A.34B.23C.4 D.4【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ，∴化成斜截式得1y x ，直线的斜率为1k ，设直线的倾斜角为，则tan 1，∵(0,)，∴34，即直线10xy 的倾斜角是34.2.如果直线210ax y 与直线20x y 互相垂直，则实数a （）A.1B.2C.23D.13【答案】B 【解析】直线210ax y 的斜率12a k ，直线20x y 的斜率为21k ，因为两直线垂直，所以121k k ，即()(1)12a ，解得2a.3.设x ，y 满足约束条件233023303x y x y y，则2zx y 的最小值是（）A.1B.9C.15D.9【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示，当目标函数2z x y 过(6,3)点时取得最小值，最小值为2(6)315z .4.圆222210xyx y 上的点到直线2x y 的距离的最大值是（）A.222B.12 C.122 D.2【解析】圆222210xyx y 即22(1)(1)1x y ，表示以点(1,1)C 为圆心，以1为半径的圆，由于圆心到直线2xy的距离2211221(1)d，故圆上的点到直线的距离的最大值是12r d .5.已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A.25 B.33 C.6 D.210【答案】D 【解析】如图：作点P 关于AB 的对称点1P ，作点1P 关于OB 的对称点2P ，设两次反射的入射点分别为C ，D ，则1P ，C ，D 三点共线，2P ，D ，P 三点共线，则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l yxx，:0OB l x，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则1PP AB ，1PP 中点在AB 上，所以11110(1)1202422y x y x ，解得1124y x .同理，关于y 轴对称，所以24x ，22y ，所以222(42)(20)210P P.6.在长方体1111ABCDA BC D 中，2ABBC，11AA ，则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为（）A.223B.23C.24D.13【答案】D 【解析】连接1AC ，在长方体1111ABCD A BC D 中，1A A平面1111A B C D ，则11AC A 为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A 中，11122111sin3122AA AC A AC .7.如图，长方体1111ABCDA BC D 中，12AA AB ，1AD，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（）A.155B.22C.105D.【答案】D【解析】如图，连接EG ，1B F ，CF ，因为E ，G 均为中点，所以11//A B EG ，11A B EG ，故四边形11A EGB 为平行四边形，11//A E B G ，所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF的夹角，即1B GF .因为112BFAB，根据勾股定理，2CF ，因为1112CGCC ，所以根据勾股定理，223FGCFCG，2211112B G B C C G ，22115B FBFBB ，因为22211B FB GFG 满足勾股定理，所以1B G FG ，所以1cos 0B GF.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r ，集合222{(,)|}B x y x yr ，若AB ，则实数r 可以取的一个值是（）A.21 B.3 C.2 D.212【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r 可化为22111()()222xyr，由题意，集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆，则22111(0)(0)222rr，解得12r .9.已知圆22:(2)(3)4M x y ，过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PAAB ，则0x 的取值范围是（）A.[33,33] B.[32,32]C.[233,233] D.[232,232]【答案】C 【解析】max 4AB ，故max6PM，即220(2)(03)6x ，解得233233x .10.在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中，E 为线段1BC 的中点，F 是棱11CD 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PEPF 的最小值为（）A.526B.122C.62D.322【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点，但它们都在面11BC D 上，将该平面提取出来，如图，取11Rt BC D ，作点E 关于直线1BD 的对称点E ，作11E GC D ，点G 在直线11C D 上.则PEPFPEPFE G ，连接EE （与1BD 垂直），作E HBC ，点H 在直线1BC 上，则2cos 2sin sin 3EHEE E EH EB B B，12252236E GC EEH.二、填空题11.直线310x y 关于直线0x y 对称的直线方程是 .【答案】310xy 【解析】将xy ，yx 代入直线310xy得310x y .12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是83，则a .。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）S B.πS C.2πS D.4πSA.1π【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径，代入侧面积公式计算．【解答】∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为√S，底面圆的直径为√S，∴圆柱的侧面积S＝π×√S×√S=πS．2. 若直线l与平面α相交，则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面，判断A错误；α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，判断B错误；α内不存在与直线l平行的直线，判断C错误；画出图形，结合图形判断D正确．【解答】对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．3. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // nB.若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // βC.若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // βD.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】A．由α // β，m⊂α，n⊂β，可知m与n无公共点，即可判断出正误；B．由m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，即可得出α与β的位置关系；C．若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，可得n与β的三种位置关系都有可能．【解答】A．若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // β，正确；C．若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n // β，或n与β相交，因此不正确．4. 如图，三棱柱ABC−A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC−A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由已知求得四棱锥A′−BCC′B′的体积，结合V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′，可得V四棱锥A′−BCC′B′+V三棱锥A′−ABC＝V三棱柱ABC−A′B′C′，从而求得三棱柱ABC−A′B′C′的体积．【解答】∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′−BCC′B′=13×4×3=4．∵V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′．∵ V 四棱锥A′−BCC′B′+V 三棱锥A′−ABC ＝V 三棱柱ABC−A′B′C′． ∴ 23V ABC−A ′B ′C ′=V A ′−BCC ′B ′=4． ∴ V 三棱柱ABC−A′B′C′＝6．5. 四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（ ）A.√14B.√142C.3√2D.3√22【答案】D【考点】球的体积和表面积 【解析】把四面体ABCD 放到长方体中，不难发现AB ＝CD ＝2，其余棱长均为4正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径 【解答】四面体ABCD 放到长方体中，AB ＝CD ＝2，其余AC ＝BC ＝AD ＝DB ＝4 设长方体的边长分别为a ，b ，c ．则{a 2+b 2=20b 2+c 2=20a 2+c 2=32 ，解得a 2+b 2+c 2＝18， 四面体外接球半径：2R ＝3√2．R =3√22．6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A.√19B.√22C.5D.2√7【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的最长棱长． 【解答】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P −ABCD ，正方体的棱长为3，P 是所在棱的3等分点，PB =√32+32+22=√22，PA =√32+22=√13，PC =√32+32+12=√19， 所以最长棱长为PB ，√22．7. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，BC 的中点，若M 在以C 1N 为直径的圆上，则异面直线A 1D 与D 1M 所成的角为（ ）A.45∘B.60∘C.900D.随长方体的形状变化而变化【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】推导出C1M⊥MN，C1M⊥CB1，C1D1⊥B1C，从而B1C⊥平面C1D1M，由A1D // B1C，得A1D⊥平面C1D1M，由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小．【解答】如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN // CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90∘，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D // B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90∘，故选：C．8. 一封闭的正方体容器ABCD−A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.6【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】画出过P，Q，R三点的平面与正方体容器ABCD−A1B1C1D1的截面得答案．【解答】如图，连接QR 并延长，分别交AA 1，AB 的延长线与E ，F ， 连接PE 交A 1D 1于G ，连接PF 交BC 于H ，连接PH ，QH ，GR ，则五边形PGRQH 即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，9. 已知a ＝sin1.5+cos1.5，b ＝sin1.5⋅cos1.5，c ＝(cos1.5)sin1.5，d ＝(sin1.5)cos1.5，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A.b <c <d <a B.b <d <c <a C.d <b <c <a D.d <c <b <a 【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】因为π3<1.5<π2，所以√32<sin1.5<1；0<cos1.5<12，注意到四个答案里都是a 最大，主要比较c 与d 的大小关系即可；找中间量sin1.5sin1.5，由y ＝sin1.5x 是R 上的减函数，sin1.5>cos1.5，可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5；由y ＝x sin1.5是(0, +∞)上的增函数，sin1.5>cos1.5，可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5； 故c <d ，只有A 答案合适． 【解答】因为π3<1.5<π2，所以√32<sin1.5<1；0<cos1.5<12，∴ a >√32，0<b <12；∴ b <a ；找中间量sin1.5sin1.5，由y ＝sin1.5x 是R 上的减函数，sin1.5>cos1.5，可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5；由y ＝x sin1.5是(0, +∞)上的增函数，sin1.5>cos1.5，可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5； 故c <d ，只有A 答案合适．10. 已知集合A ＝{x|x 2−x −6>0}，B ＝{x|x 2−3ax +4≤0}，若a >0，且A ∩B 中恰好有两个整数解，则a 的取值范围是（ ） A.[2915,209) B.(2915,209)C.[139,209)D.(53,209)【答案】 A【考点】交集及其运算 【解析】可以求出集合A ＝(−∞, −2)∪(3, +∞)，可令f(x)＝x 2−3ax +4，根据a >0及△>0即可得出a >43，并且求出B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162]，可得出0<3a−√9a2−162<2，从而得出要使A ∩B 中恰好有两个整数解，只能是4和5，从而可得出{f(4)≤0f(5)≤0f(6)>0 ，解出a的范围即可． 【解答】A ＝(−∞, −2)∪(3, +∞)，令f(x)＝x 2−3ax +4，由题意，△＝9a 2−16>0，且a >0，∴ 解得a >43，B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162]，又0<3a−√9a 2−162=2<2，∴ 要使A ∩B 中恰好有两个整数解，则只能是4和5， ∴ {f(4)=16−12a +4≤0f(5)=25−15a +4≤0f(6)=36−18a +4>0 ，解得2915≤a <209，∴ a 的取值范围是[2915,209)．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AB 所成的角大小是________，线段EF 的长度为________． 【答案】4,√2 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】取BD 中点G ，连结BE ，CE ，EG ，FG ，则EG // AB ，且EG ＝FG =12AB =a2，∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF 与AB 所成的角大小和线段EF 的长度． 【解答】棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点， 取BD 中点G ，连结BE ，CE ，EG ，FG ， 则EG // AB ，且EG ＝FG =12AB =a2，∴ ∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角（或所成角的补角）， BE ＝CE =√a 2−(a2)2=√3a2，EF =√(√3a 2)2−(a2)2=√2a 2， cos∠EFG =EF 2+GF 2−EG 22×EF×GF =a 22+a 24−a 242×√2a 2×a 2=√22， ∴ ∠EFG =π4，∴ 异面直线EF 与AB 所成的角大小是π4，线段EF 的长度为√22a ．二面角α−l −β的大小是60∘，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为45∘，则AB 与平面β所成的角的余弦值是________． 【答案】 √104【考点】直线与平面所成的角【解析】根据二面角和直线和平面所成角的定义，先作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α−l−β的平面角，∠ADC＝60∘又∵AB与l所成角为45∘，∴∠ABD＝45∘连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝ADsin60∘=√3x，Rt△ABD中，AB=ADsin45=2√2x，BC=√(2√2x)2−(√3x)2=√5x，∴Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB =√5x2√2x=√104．正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，则它体积为________；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为________．【答案】2√3,√6−2【考点】球的体积和表面积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】求出底面的面积，利用体积公式带入即可，要求内切球半径，根据横截面图，利用三角形相似得出r．【解答】底面等边三角形的面积S=√34⋅(2√6)2=6√3，所以V=13⋅6√3⋅1=2√3，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM=2√6⋅√32⋅13=√2，OE＝r，OA＝1−r，侧面斜边的高AB=√1+OM2=√3由△AOE∽△ABM，得相似得rBM =1−rAB，得2=3，r(√3+√2)=√2，所以r=√6−2．若f(x)=a−4x2−3x为奇函数，则a＝________，此时，不等式f(1−x2)+f(3x+ 9)<0的解集为________．【答案】1,(−2, 5)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】含有参数的函数奇偶性问题，要利用常见的结论，通过赋值法解决；第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质．【解答】∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，a−4020−3×0=0，∴a＝1．∴f(x)=1−4x2x =12x−2x,∵12x,−2x，∴f(x)为减函数，且为奇函数∵f(1−x2)+f(3x+9)<0，∴f(1−x2)<−f(3x+9)＝f(−3x−9)，∴1−x2>−3x−9，∴−2<x<5．故不等式的解集为(−2, 5)．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1=√2，则MB1+MN的最小值为________3√22．【答案】3√22．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值，利用勾股定理解出即可．【解答】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC 1和平面ACC 1在同一平面内，过点P 作PN ⊥平面ABCD ，交AC 1于M ，垂足为N ，则PN 为MB 1+MN 的最小值． ∵ AB ＝2，BC ＝AA 1=√2，∴ AC 1=√4+2+2=2√2，AP ＝AB 1=√4+2=√6， ∵ sin∠C 1AC =CC1AC 1=√22√2=12，∴ ∠C 1AC ＝30∘，∴ ∠PAN ＝2∠C 1AC ＝60∘，∴ PN ＝AP ⋅sin∠PAN =√6⋅√32=3√22．∴ MB 1+MN 的最小值为3√22．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，P ，Q 是正方体表面上相异两点，满足BP ⊥A 1E ，BQ ⊥A 1E ．（1）若P ，Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内，则PQ 与BD 的位置关系是________；（2）|A 1P|的最小值为________． 【答案】 平行3√24【考点】点、线、面间的距离计算空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能判断PQ 与BD 的位置关系．（2）当|A 1P|取最小值时，P 在平面A 1B 1C 1D 1内，设P(a, b, 1)，推导出b ＝a +12，由此能求出|A 1P|的最小值． 【解答】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1(1, 0, 1)，E(0, 1, 12)，B(1, 1, 0)，∵ P ，Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内，∴ 设P(a, b, 1)，Q(m, n, 1)，则A 1E →=(−1, 1, −12)，BP →=(a −1, b −1, 1)，BQ →=(m −1, n −1, 1)，∵ BP ⊥A 1E ，BQ ⊥A 1E ．∴ {BP →⋅A 1E →=−(a −1)+(b −1)−12=0BQ →⋅A 1E →=−(m −1)+(n −1)−12=0， 解得{b −a =12n −m =12 ，∴ PQ // BD ，即PQ 与BD 的位置关系是平行．故答案为：平行．当|A 1P|取最小值时，P 在平面A 1B 1C 1D 1内，设P(a, b, 1)，由（1）得b ＝a +12，∴ |A 1P|=√(a −1)2+b 2=√(a −1)2+(a +12)2=√2a 2−a +54=√2(a −14)2+98，∴ 当a =14，即P(14, 34, 1)时，|A 1P|的最小值为3√24．故答案为：3√24．若不等式[2x (t −1)−1]•log a4x−14t ≥0对任意的正整数x 恒成立（其中a ∈R ，且a >1），则t 的取值范围是________54≤t ≤32 ． 【答案】 54≤t ≤32 【考点】 函数恒成立问题 【解析】原不等式等价于{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t≤0 即{t ≥1+12xt ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②，进而求解； 【解答】原不等式等价于： {2x (t −1)−1≥0log a4x−14t≥0或{2x (t −1)−1≤0log a4x−14t ≤0即{t ≥1+12x t ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②，注意到x ＝1时，②成立，此时34≤t ≤32；当x ∈Z ，x ≥2时，①成立，在①中，1+12x ≤t ≤x −14，又g(x)＝x −12x −54为单调所以，要使{t ≥1+12xt ≤x −14 对x ∈Z ，x ≥2成立，只需x ＝2时成立，又x ＝2时，54≤t ≤74， 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立， 则t 的取值范围是：54≤t ≤32，三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若cosC =35，且CB →⋅CA →=92，求△ABC 的面积；（2）设向量x →=(2sin B2, √3)，y →=(cosB, cos B2)，且x → // y →，b ＝2，求a +c 的取值范围． 【答案】由CB →⋅CA →=92，得abcosC =92．又因为cosC =35，所以ab =92cosC =152．又C 为△ABC 的内角，所以sinC =45． 所以△ABC 的面积S =12absinC ＝3．因为x → // y →，所以2sin B2cos B 2=√3cosB ，即sinB =√3cosB ．因为cosB ≠0，所以tanB =√3． 因为B 为三角形的内角，0<B <π，所以B =π3． 由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3，所以a =√3，c =√3，所以a +c =√3+sinC)，又A +C =2π3，所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，又0<C <2π3，所以π6<C +π6<5π6，所以∈(2, 4]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）由CB →⋅CA →=92，得ab =152．可得△ABC 的面积S =12absinC ＝3． （2）由x → // y →，可得B =π3．由正弦定理可得a =√3，c =√3，则a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，即可求解．由CB →⋅CA →=92，得abcosC =92．又因为cosC =35，所以ab =92cosC =152．又C 为△ABC 的内角，所以sinC =45． 所以△ABC 的面积S =12absinC ＝3．因为x → // y →，所以2sin B2cos B 2=√3cosB ，即sinB =√3cosB ．因为cosB ≠0，所以tanB =√3． 因为B 为三角形的内角，0<B <π，所以B =π3． 由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3，所以a =√3，c =√3，所以a +c =√3+sinC)，又A +C =2π3，所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，又0<C <2π3，所以π6<C +π6<5π6，所以∈(2, 4]．如图，在四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 中，BC // AD ，且AD ＝2BC ，O ，E 分别为AD ，PD 中点．（1）设平面PAB ∩平面PCD ＝l ，请作图确定l 的位置并说明你的理由；（2）若Q 为直线CE 上任意一点，证明：OQ // 平面PAB ． 【答案】分别延长AB 和DC 交于点R ，连接PR ，则直线PR 就是l 的位置； R ∈AB ⊂平面PAB ，R ∈CD ⊂平面PCD ，所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点， 由公理1可知，过P 、R 的直线就是两个平面的交线l ． 证明：连接OE 、OC ，因为BC // AD ，且BC =12AD ， 又AO =12AD ，所以BC // AO ，且BC ＝AO ，所以四边形ABCO 为平行四边形， 所以OC // AB ，则OC // 平面PAB ； 又OE 为△PAD 的中位线，则OE // AP ， 所以OE // 平面PAB ，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB // 平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ // 平面PAB．【考点】直线与平面平行【解析】（1）分别延长AB和DC交于点R，连接PR，直线PR就是交线l的位置；根据平面公理即可得出结论；（2）连接OE、OC，证明OC // 平面PAB，OE // 平面PAB，得出平面PAB // 平面OEC，证得OQ // 平面PAB．【解答】分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．AD，证明：连接OE、OC，因为BC // AD，且BC=12AD，所以BC // AO，又AO=12且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC // AB，则OC // 平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE // AP，所以OE // 平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB // 平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ // 平面PAB．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n−na n＝3n(n∈N∗)，且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=a a+a a，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>√3成立的最小正整10数n的值．【答案】当n≥2时，2S n−1−(n−1)a n−1＝3(n−1)，又2S n−na n＝3n，相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n＝3，当n≥3时，(n−2)a n−2−(n−3)a n−1＝3，所以(n−1)a n−1−(n−2)a n＝(n−2)a n−2−(n−3)a n−1，可得2a n−1＝a n−2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1−a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 22n+1⋅2n+3=12(2n+12n+3)，T n=12(√3√5√5−√7√7−13+13−√11+⋯√2n+1√2n+3)=12(√3√2n+3)，要使T n>√310成立，即12(√3√2n+3)>√310，解得n>638，所以最小正整数n的值为8．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）运用数列的递推式，两次将n换为n−1，相减，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得b n=√a⋅√a(√a+√a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+12√2n+1⋅√2n+3=1 2(2n+12n+3)，再由数列的裂项相消求和，以及不等式的解法，可得所求最小值．【解答】当n≥2时，2S n−1−(n−1)a n−1＝3(n−1)，又2S n−na n＝3n，相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n＝3，当n≥3时，(n−2)a n−2−(n−3)a n−1＝3，所以(n−1)a n−1−(n−2)a n＝(n−2)a n−2−(n−3)a n−1，可得2a n−1＝a n−2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1−a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 2√2n+1⋅√2n+3=12(√2n+1√2n+3)，T n=12(355−77−13+13−11+⋯2n+12n+3)=12(32n+3)，要使T n>√310成立，即12(√3√2n+3)>√310，解得n>638，所以最小正整数n的值为8．对于函数f(x)，若存在实数对(m, n)，使得等式f(m+x)⋅f(m−x)＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(m, n)型函数”．（1）判断函数f(x)=√x是否为“(m, n)型函数”，并说明理由；（2）①若函数g(x)是“(1, 4)型函数”，已知g(0)＝1，求g(2)；②若函数g(x)是“(1, 4)型函数”，且当x∈[0, 1]时，g(x)＝x2−a(x−1)+1(a>0)，若当x∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，试求a的取值范围．【答案】√m+x⋅√m−x=√m2−x2=n，则x2＝m2−n2不可能恒成立，所以f(x)＝x不是““(m, n)型函数”；①由题意，g(x+1)g(1−x)＝4，取x＝1，则g(2)g(0)＝4，又g(0)＝1，所以g(2)＝4．②方法一：∵(x+1)g(1−x)＝4，所以g(x)g(2−x)＝4．当x∈[0, 1]时，2−x∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x2−a(x−1)+1=4x2−ax+a+1．(a)当0<a<1时，0<a2<12，则g(x)在[0, 1]内先减后增，且g(a2≤g(x)≤41+a−a24，即1+a−14a2≤g(x)≤2，则当x∈[1, 2]时，2≤g(x)≤41+a−14a2．所以当x∈[0, 2]时，1+a−14a2≤g(x)≤41+a−14a2，由题意，{1+a−14a2≥141+a−14a2≤4，解得0≤a≤4，所以0<a<1．(b)当1≤a<2时，12≤a2<1，则g(x)在][0, 1]内先减后增，且g(a2)≤g(x)≤g(0)，即1+a−14a2≤g(x)≤1+a，则当x∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤41+a−14a2．要满足题意，则应满足{41+a≥11+a−a24≥1，且{1+a≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33，所以1≤a<2．(c)当a≥2时，a2≥1，则g(x)在[0, 1]内递减，且g(1)≤g(x)≤g(0)，即2≤g(x)≤1+a，则当x∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤2．此时，g(x)min=41+a，g(x)min＝1+a．要满足条件，则应{41+a≥11+a≤4，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0<a≤3．方法二：当x∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，所以当x∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x∈[0, 1]时，2−x∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，所以问题转化为当x∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．当x∈[0, 1]时，g(x)＝x2−a(x−1)+1(a>0)，．（1）当0<a2<1，即0<a<2时，{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4，解得0≤a ≤3，所以0<a <2；（2）当a 2≥1，即a ≥2时，只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3，所以2<a ≤3； 综上所述，0<a ≤3． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ，则x 2＝m 2−n 2不可能恒成立，即可判定； （2）①由g(x +1)g(1−x)＝4，取x ＝1，则g(2)g(0)＝4，即可求得g(2)＝4． ②方法一：可得当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1．(a)当0<a <1时，(b)当1≤a <2时，(c)当a ≥2时讨论即可方法二：当x ∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，问题转化为当x ∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可． 【解答】√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ，则x 2＝m 2−n 2不可能恒成立，所以f(x)＝x 不是““(m, n)型函数”；①由题意，g(x +1)g(1−x)＝4，取x ＝1，则g(2)g(0)＝4，又g(0)＝1，所以g(2)＝4．②方法一：∵ (x +1)g(1−x)＝4，所以g(x)g(2−x)＝4．当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1．(a)当0<a <1时，0<a 2<12，则g(x)在[0, 1]内先减后增，且g(a 2≤g(x)≤41+a−a 24，即1+a −14a 2≤g(x)≤2，则当x ∈[1, 2]时，2≤g(x)≤41+a−14a 2．所以当x ∈[0, 2]时，1+a −14a 2≤g(x)≤41+a−14a 2，由题意，{1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 ，解得0≤a ≤4，所以0<a <1．(b)当1≤a <2时，12≤a2<1，则g(x)在][0, 1]内先减后增，且g(a2)≤g(x)≤g(0)，即1+a −14a 2≤g(x)≤1+a ，则当x ∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤41+a−14a 2．要满足题意，则应满足{41+a ≥11+a −a 24≥1，且{1+a ≤441+a−a24≤4 解得0≤a ≤33，所以1≤a <2．(c)当a ≥2时，a2≥1，则g(x)在[0, 1]内递减，且g(1)≤g(x)≤g(0)，即2≤g(x)≤1+a ，则当x ∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤2．此时，g(x)min =41+a ，g(x)min ＝1+a ．要满足条件，则应{41+a≥11+a ≤4，解得a ≤3，所以2≤a ≤3． 综上所述，0<a ≤3．方法二：当x ∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，所以当x ∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]， 而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4， 所以问题转化为当x ∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．当x ∈[0, 1]时，g(x)＝x 2−a(x −1)+1(a >0)，．（1）当0<a2<1，即0<a <2时，{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4，解得0≤a ≤3，所以0<a <2；（2）当a2≥1，即a ≥2时，只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3，所以2<a ≤3； 综上所述，0<a ≤3．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A =120∘，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC′，使AC′⊥BD ，记二面角C′−AD −B 的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD ；（2）比较∠C′DB 与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值． 【答案】证明：∵ AM ⊥BD ，BD ⊥AC′，AM ∩AC′＝A ， ∴ BD ⊥平面AMC′，∵ BD ⊂平面ABD ，∴ 平面△AMC′⊥平面ABD ．如图，在△C′AM 所在平面内，过点C′作C′P ⊥AM ，垂足为P ， 则C′P ⊥平面ABD ，过P 作PQ ⊥AD ，连接C′Q ， 则C′Q ⊥AQ ，∠C′QP ＝α．又QC′是由QC 翻折得到， ∴ ∠C′QP ＝α＝2∠C′CQ ，且∠C′CQ 就是直线C′C 与平面ABC 所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD>∠C′CQ，∴∠C′DB>α．如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2√3，MD＝4−2√3，CD＝4√3−4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2−DM2＝36−16√3．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）推导出AM⊥BD，BD⊥AC′，从而BD⊥平面AMC′，由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD．（2）过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．QC′是由QC翻折得到，从而∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ 就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，∠C′DB＝2∠C′CD．由此能证明∠C′DB>α．（3）在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．推导出∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．由此能求出cosα的值．【解答】证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD>∠C′CQ，∴∠C′DB>α．如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2√3，MD＝4−2√3，CD＝4√3−4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2−DM2＝36−16√3．。

浙江省杭州学军中学高二上学期期中考试（数学理）【考生须知】1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答； 2．本科考试时间为100分钟，满分为100分．3．考生考试时禁止使用计算器.一.选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.）1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A 3B 9C 17D 512.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（ ）A 16，16，16B 8，30，10C 4，33，11D 12，27，9 3．若右面框图表示的程序所输出的结果是13？处应填（ ）A 10<kB 10≤kC 9≥kD 9>k4．如图是元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A 84，4.84 B 84，1.6C 85，1.6D 85，45．使用秦九韶算法计算2=x 时56)(6+=x x f 的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（ ）A 6，1B 1，1C 6，6D 1，676．设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足12PF PF ⊥，则12F PF ∆的面积是（ ）A 2B 1 CD7．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是 （ ） A 2213x y -=与22193x y -= B 2213x y -=与2213x y -=C 2213x y -=与2213y x -= D 2213x y -=与22139y x -= 8．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为（ ） A2B3 C 1 D 29．以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A3210- B315- C215- D2210- 10．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A 2B 3C 115D 3716二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共请将答案写在答题卷上） 11．已知x 、y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a = 12．抛物线24x y =的焦点坐标是13．若双曲线2221613x y p-=（p >0）的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 14．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦点为1F ，2F ．以|21F F |为直径的圆与椭圆有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_ _15. 设1F 、2F 是双曲线224x y -=的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从1F 引12FQF ∠平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程是三．解答题（本大题有5小题, 共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. 某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为 ，， ， ；(2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图（画在上面的坐标系中）； (3）根据题中信息估计总体：（ⅰ）1以上的学生数；（ⅱ）成绩落在［126，150］中的概率. 17. 已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点． （1）求椭圆E 的方程：（2）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当DFH 内切圆的面积最大时。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是（）SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS2.（单选题.4分）若直线l与平面α相交.则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直3.（单选题.4分）已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是（）A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β4.（单选题.4分）如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定5.（单选题.4分）四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为（）A. √14B. √142C.3 √2D. 3√226.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为（）A. √19B. √22C.5D.2 √77.（单选题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化8.（单选题.4分）一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示．由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.69.（单选题.4分）已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=（cos1.5）sin1.5.d=（sin1.5）cos1.5.则a.b.c.d的大小关系为（）A.b＜c＜d＜aB.b＜d＜c＜aC.d＜b＜c＜aD.d＜c＜b＜a10.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-x-6＞0}.B={x|x2-3ax+4≤0}.若a＞0.且A∩B中恰好有两个整数解.则a的取值范围是（）A.[ 2915，209）B.（2915，209）C.[ 139，209）D.（53，209）11.（填空题.6分）棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.则异面直线EF 与AB所成的角大小是 ___ .线段EF的长度为 ___ ．12.（填空题.4分）二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ ．13.（填空题.6分）正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ ．14.（填空题.6分）若f（x）= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f（1-x2）+f（3x+9）＜0的解集为___ ．15.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点．若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ ．16.（填空题.6分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E．（1）若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ；（2）|A1P|的最小值为___ ．17.（填空题.4分）若不等式[2x（t-1）-1]•log a4x−14t≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R.且a＞1）.则t的取值范围是___ ．18.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若cosC= 35 .且CB⃗⃗⃗⃗⃗ •CA⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC的面积；（2）设向量x =（2sin B2 . √3）. y =（cosB.cos B2）.且x || y .b=2.求a+c的取值范围．19.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点．（1）设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点.证明：OQ || 平面PAB．20.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n=3n（n∈N*）.且a2=5．（1）证明数列{a n}为等差数列.并求{a n}的通项公式；（2）设b n=a√a+a√a .T n为数列{b n}的前n项和.求使T n＞√310成立的最小正整数n的值．21.（问答题.15分）对于函数f（x）.若存在实数对（m.n）.使得等式f（m+x）•f（m-x）=n 对定义域中的每一个x都成立.则称函数f（x）是“（m.n）型函数”．（1）判断函数f（x）= √x是否为“（m.n）型函数”.并说明理由；（2）① 若函数g（x）是“（1.4）型函数”.已知g（0）=1.求g（2）；② 若函数g（x）是“（1.4）型函数”.且当x∈[0.1]时.g（x）=x2-a（x-1）+1（a＞0）.若当x∈[0.2]时.都有1≤g（x）≤4成立.试求a的取值范围．22.（问答题.15分）如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论；（3）求cosα的值．2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是（）SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS【正确答案】：B【解析】：根据圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径.代入侧面积公式计算．【解答】：解：∵圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.∴圆柱的母线长为√S .底面圆的直径为√S .∴圆柱的侧面积S=π× √S × √S=πS．故选：B．【点评】：本题考查了圆柱的侧面积及轴截面.属于基础题．2.（单选题.4分）若直线l与平面α相交.则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【正确答案】：D【解析】：α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面.判断A错误；α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.判断B错误；α内不存在与直线l平行的直线.判断C错误；画出图形.结合图形判断D正确．【解答】：解：对于A.α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线.∴A错误；对于B.α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.且这些直线与直线l都是共面直线.∴B错误；对于C.α内不存在与直线l平行的直线.∴C错误；对于D.如图所示.直线PA与平面α交于点A.PO⊥α.则OA是PA在α内的射影.在α内作直线l⊥OA.则l⊥PA.这样的直线l有无数条.∴D正确．故选：D．【点评】：本题考查了直线与平面位置关系的应用问题.是基础题．3.（单选题.4分）已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是（）A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β【正确答案】：B【解析】：A．由α || β.m⊂α.n⊂β.可知m与n无公共点.即可判断出正误；B．由m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.即可得出α与β的位置关系；C．若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确；D．若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.可得n与β的三种位置关系都有可能．【解答】：解：A．若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || n或为异面直线.因此不正确；B．若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || β.正确；C．若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确；D．若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊂β.或n || β.或n与β相交.因此不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.4分）如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定【正确答案】：B【解析】：由已知求得四棱锥A′-BCC′B′的体积.结合V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′.可得V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′.从而求得三棱柱ABC-A′B′C′的体积．【解答】：解：∵侧面B′BCC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.∴V四棱锥A′-BCC′B′= 13×4×3=4．∵ V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′．∵V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′．∴ 2 3V三棱柱ABC−A′B′C′=V四棱锥A′−BCC′B′=4．∴V三棱柱ABC-A′B′C′=6．故选：B．【点评】：本题考查了棱锥的体积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.4分）四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为（）B. √142C.3 √2D. 3√22【正确答案】：D【解析】：把四面体ABCD 放到长方体中.不难发现AB=CD=2.其余棱长均为4正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径【解答】：解：四面体ABCD 放到长方体中.AB=CD=2.其余AC=BC=AD=DB=4设长方体的边长分别为a.b.c ．则 {a 2+b 2=4b 2+c 2=16a 2+c 2=16.解得a 2+b 2+c 2=18.四面体外接球半径：2R=3 √2 ．R=3√22． 故选：D ．【点评】：本题考查外接球的半径的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．6.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为（ ）A. √19B. √22C.5【正确答案】：B【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的最长棱长．【解答】：解：由题意可知几何体是正方体的一部分.是四棱锥P-ABCD.正方体的棱长为3.P是所在棱的3等分点.PB= √32+32+22 = √22 .PA= √32+22 = √13 .PC= √32+32+12 = √19 .所以最长棱长为PB. √22．故选：B．【点评】：本题考查三视图求解几何体的棱长.考查转化思想以及空间想象能力．7.（单选题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化【正确答案】：C【解析】：推导出C1M⊥MN.C1M⊥CB1.C1D1⊥B1C.从而B1C⊥平面C1D1M.由A1D || B1C.得A1D⊥平面C1D1M.由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小．【解答】：解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点.∴MN || CB1.∵M在以C1N为直径的圆上.∴∠C1MN=90°.∴C1M⊥MN.∴C1M⊥CB1.由长方体的几何特征.我们可得C1D1⊥B1C.∴B1C⊥平面C1D1M.∵A1D || B1C.∴A1D⊥平面C1D1M.∴A1D⊥D1M.即异面直线A1D与D1M所成的角为90°.故选：C．【点评】：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角.其中根据线面垂直的判定定理及性质定理.将问题转化为线线垂直的判定是解答本题的关键．8.（单选题.4分）一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示．由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.6【正确答案】：C【解析】：画出过P.Q.R三点的平面与正方体容器ABCD-A1B1C1D1的截面得答案．【解答】：解：如图.连接QR并延长.分别交AA1.AB的延长线与E.F.连接PE交A1D1于G.连接PF交BC于H.连接PH.QH.GR.则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状.故选：C．【点评】：本题考查柱、锥、台的结构特征.考查了空间线面的位置关系.考查空间想象能力和思维能力.正确画出截面图是关键.是中档题．9.（单选题.4分）已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=（cos1.5）sin1.5.d=（sin1.5）cos1.5.则a.b.c.d 的大小关系为（ ）A.b ＜c ＜d ＜aB.b ＜d ＜c ＜aC.d ＜b ＜c ＜aD.d ＜c ＜b ＜a【正确答案】：A【解析】：因为 π3 ＜1.5＜ π2 .所以 √32 ＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜ 12.注意到四个答案里都是a 最大.主要比较c 与d 的大小关系即可；找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5＞cos1.5.可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y=x sin1.5是（0.+∞）上的增函数.sin1.5＞cos1.5.可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c ＜d.只有A 答案合适．【解答】：解：因为 π3 ＜1.5＜ π2 .所以 √32 ＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜ 12 .∴a ＞ √32 .0＜b ＜ 12 ；∴b ＜a ；找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5＞cos1.5.可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y=x sin1.5是（0.+∞）上的增函数.sin1.5＞cos1.5.可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c ＜d.只有A 答案合适．故选：A ．【点评】：本题考查了大小关系比较.利用指数函数与幂函数的单调性.构造中间量a a 或b b .可比较a b 与b a 形式的数的大小关系.及排除法解决选择题．属于中档题．10.（单选题.4分）已知集合A={x|x 2-x-6＞0}.B={x|x 2-3ax+4≤0}.若a ＞0.且A∩B 中恰好有两个整数解.则a 的取值范围是（ ）A.[ 2915，209 ）B.（ 2915，209 ） C.[ 139，209 ） D.（ 53，209 ） 【正确答案】：A【解析】：可以求出集合A=（-∞.-2）∪（3.+∞）.可令f （x ）=x 2-3ax+4.根据a ＞0及△＞0即可得出 a ＞43 .并且求出 B =[3a−√9a 2−162，3a+√9a 2−162] .可得出 0＜3a−√9a 2−162＜2 .从而得出要使A∩B 中恰好有两个整数解.只能是4和5.从而可得出 {f (4)≤0f (5)≤0f (6)＞0.解出a 的范围即可．【解答】：解：A=（-∞.-2）∪（3.+∞）.令f （x ）=x 2-3ax+4.由题意.△=9a 2-16＞0.且a ＞0.∴解得 a ＞43 . B =[3a−√9a 2−162，3a+√9a 2−162] . 又 0＜3a−√9a 2−162=3a+√9a 2−162 .∴要使A∩B 中恰好有两个整数解.则只能是4和5.∴ {f (4)=16−12a +4≤0f (5)=25−15a +4≤0f (6)=36−18a +4＞0 .解得 2915≤a ＜209 .∴a 的取值范围是 [2915，209) ． 故选：A ．【点评】：考查描述法、区间表示集合的定义.一元二次方程和一元二次不等式的解法.以及元素与集合的关系.减函数的定义．11.（填空题.6分）棱长为a 的正四面体ABCD 中.E.F 分别为棱AD.BC 的中点.则异面直线EF 与AB 所成的角大小是 ___ .线段EF 的长度为 ___ ．【正确答案】：[1] π4 ; [2] √22 a【解析】：取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角）.由此能求出异面直线EF与AB所成的角大小和线段EF的长度．【解答】：解：棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角）.BE=CE= √a2−(a2)2= √3a2.EF= √(√3a2)2−(a2)2= √2a2.cos∠EFG= EF2+GF2−EG22×EF×GF =a22+a24−a242×√2a2×a2= √22.∴∠EFG= π4.∴异面直线EF与AB所成的角大小是π4 .线段EF的长度为√22a．故答案为：π4 . √22a．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小、线段长的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．12.（填空题.4分）二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ ．【正确答案】：[1] √104【解析】：根据二面角和直线和平面所成角的定义.先作出对应的平面角.结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】：解：过点A作平面β的垂线.垂足为C.在β内过C作l的垂线.垂足为D．连结AD.根据三垂线定理可得AD⊥l.因此.∠ADC为二面角α-l-β的平面角.∠ADC=60°又∵AB与l所成角为45°.∴∠ABD=45°连结BC.可得BC为AB在平面β内的射影.∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD=2x.则Rt△ACD中.AC=ADsin60°= √3 x.Rt△ABD中.AB= ADsin45°=2 √2x .BC= √(2√2x)2−(√3x)2 = √5x .∴Rt△ABC中.cos∠ABC= BCAB = √5x2√2x= √104．故答案为：√104．【点评】：本题主要考查线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识．13.（填空题.6分）正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ ．【正确答案】：[1]2 √3 ; [2] √6 -2【解析】：求出底面的面积.利用体积公式带入即可.要求内切球半径.根据横截面图.利用三角形相似得出r．【解答】：解：底面等边三角形的面积S= √34•(2√6)2 = 6√3 .所以V= 13•6√3•1=2√3 .设内切球的球心为O.半径为r.则在O与底面的中心M.BM= 2√6•√32•13=√2 .OE=r.OA=1-r.侧面斜边的高AB= √1+OM2=√3由△AOE∽△ABM.得相似得rBM =1−rAB.√2=√3. r(√3+√2)=√2 .所以r=√6−2．故答案为：√6 -2．【点评】：考察正三棱锥的体积.内切球的半径.中档题．14.（填空题.6分）若f（x）= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f（1-x2）+f（3x+9）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]1; [2]（-2.5）【解析】：含有参数的函数奇偶性问题.要利用常见的结论.通过赋值法解决；第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质．【解答】：解：∵f（x）为奇函数.∴f（0）=0.即a−4020−3×0=0 .∴a=1．∴ f(x)=1−4x2x =12x−2x，∵ 12x减函数，−2x也为减函数 .∴f（x）为减函数.且为奇函数∵f（1-x2）+f（3x+9）＜0.∴f（1-x2）＜-f（3x+9）=f（-3x-9）.∴1-x2＞-3x-9.∴-2＜x＜5．故不等式的解集为（-2.5）．故答案为：1.（-2.5）．【点评】：第一问是常规问题.注意函数定义域即可；第二问要利用函数是奇函数.把不等式的表达形式变形．15.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点．若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 3√22【解析】：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值.利用勾股定理解出即可．【解答】：解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.过点P作PN⊥平面ABCD.交AC1于M.垂足为N.则PN为MB1+MN的最小值．∵AB=2.BC=AA1= √2 .∴AC1= √4+2+2 =2 √2 .AP=AB1= √4+2 = √6 .∵sin∠C1AC= CC1AC1 = √22√2= 12.∴∠C1AC=30°.∴∠PAN=2∠C1AC=60°.∴PN=AP•sin∠PAN= √6•√32 = 3√22．∴MB1+MN的最小值为3√22．故答案为：3√22．【点评】：本题考查了空间距离的计算.将两线段转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路.属于中档题．16.（填空题.6分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E．（1）若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ；（2）|A1P|的最小值为___ ．【正确答案】：[1]平行; [2] 3√24【解析】：（1）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能判断PQ与BD的位置关系．（2）当|A1P|取最小值时.P在平面A1B1C1D1内.设P（a.b.1）.推导出b=a+ 12.由此能求出|A1P|的最小值．【解答】：解：（1）以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD 1为z 轴.建立空间直角坐标系. 则A 1（1.0.1）.E （0.1. 12 ）.B （1.1.0）. ∵P .Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内.∴设P （a.b.1）.Q （m.n.1）.则 A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.1.- 12 ）. BP⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1.b-1.1）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（m-1.n-1.1）. ∵BP⊥A 1E.BQ⊥A 1E ．∴ {BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(a −1)+(b −1)−12=0BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(m −1)+(n −1)−12=0 . 解得 {b −a =12n −m =12.∴PQ || BD .即PQ 与BD 的位置关系是平行． 故答案为：平行．（2）当|A 1P|取最小值时.P 在平面A 1B 1C 1D 1内.设P （a.b.1）.由（1）得b=a+ 12 .∴|A 1P|= √(a −1)2+b 2 = √(a−1)2+(a +12)2 = √2a 2−a +54 = √2(a −14)2+98 .∴当a= 14 .即P （ 14 . 34 .1）时.|A 1P|的最小值为3√24． 故答案为：3√24 ．【点评】：本题考查两直线位置关系的判断.考查两点间距离的最小值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17.（填空题.4分）若不等式[2x （t-1）-1]•log a 4x−14t≥0对任意的正整数x 恒成立（其中a∈R .且a ＞1）.则t 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] 54≤t ≤32【解析】：原不等式等价于 {2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② .进而求解；【解答】：解：原不等式等价于：{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或 {2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② . 注意到x=1时. ② 成立.此时 34 ≤t≤ 32 ；当x∈Z .x≥2时. ① 成立.在 ① 中.1+ 12x ≤t≤x - 14 .又g （x ）=x- 12x - 54 为单调递增函数.所以.要使 {t ≥1+12x t ≤x −14对x∈Z .x≥2成立.只需x=2时成立.又x=2时. 54 ≤t≤ 74 . 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立.则t 的取值范围是： 54 ≤t≤ 32 .故答案为： 54 ≤t≤ 32 ．【点评】：考查不等式的性质.求解.函数单调性.转化思想；18.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．（1）若cosC= 35 .且 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC 的面积； （2）设向量 x =（2sin B 2 . √3 ）. y =（cosB.cos B 2 ）.且 x || y .b=2.求a+c 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得ab= 152 ．可得△ABC 的面积S= 12 absinC=3． （2）由 x || y .可得B= π3 ．由正弦定理可得a=√3 .c= √3 .则a+c= √3(2π3−C)+sinC] =4（cosC+√32sinC ）=4sin （C+ π6）.即可求解． 【解答】：解（1）由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得abcosC= 92． 又因为cosC= 35 .所以ab= 92cosC = 152 ．又C为△ABC的内角.所以sinC= 45．所以△ABC的面积S= 12absinC=3．（2）因为x || y .所以2sin B2 cos B2= √3 cosB.即sinB= √3 cosB．因为cosB≠0.所以tanB= √3．因为B为三角形的内角.0＜B＜π.所以B= π3．由正弦定理asinA =csinC=bsinB= 4√3.所以a= 4sinA√3.c= 4sinC√3.所以a+c= 4√3(sinA+sinC) .又A+C= 2π3.所以a+c= 4√3[sin(2π3−C)+sinC] =4（cosC+ √32sinC）=4sin（C+ π6）.又0 ＜C＜2π3 .所以π6＜C+ π6＜5π6.所以∈（2.4]．【点评】：本题考查了正弦定理、三角恒等变形.属于中档题．19.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点．（1）设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点.证明：OQ || 平面PAB．【正确答案】：【解析】：（1）分别延长AB和DC交于点R.连接PR.直线PR就是交线l的位置；根据平面公理即可得出结论；（2）连接OE、OC.证明OC || 平面PAB.OE || 平面PAB.得出平面PAB || 平面OEC.证得OQ || 平面PAB．【解答】：（1）解：分别延长AB和DC交于点R.连接PR.则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB.R∈CD⊂平面PCD.所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点. 由公理1可知.过P 、R 的直线就是两个平面的交线l ． （2）证明：连接OE 、OC.因为BC || AD.且BC= 12AD. 又AO= 12 AD.所以BC || AO.且BC=AO.所以四边形ABCO 为平行四边形. 所以OC || AB.则OC || 平面PAB ； 又OE 为△PAD 的中位线.则OE || AP. 所以OE || 平面PAB.又OE⊂平面OEC.OC⊂平面OEC.且OE∩OC=O . 所以平面PAB || 平面OEC. 又OQ⊂平面OEC. 所以OQ || 平面PAB ．【点评】：本题考查了空间中的平行关系证明与应用问题.是基础题．20.（问答题.15分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n -na n =3n （n∈N*）.且a 2=5． （1）证明数列{a n }为等差数列.并求{a n }的通项公式； （2）设b n = a√a +a √a .T n 为数列{b n }的前n 项和.求使T n ＞√310 成立的最小正整数n 的值．【正确答案】：【解析】：（1）运用数列的递推式.两次将n 换为n-1.相减.结合等差数列的定义和通项公式.即可得到所求； （2）求得b n =√a •√a (√a +√a )=√2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 （ √2n+1-√2n+3）.再由数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.可得所求最小值．【解答】：解：（1）当n≥2时.2S n-1-（n-1）a n-1=3（n-1）.又2S n -na n =3n. 相减可得（n-1）a n-1-（n-2）a n =3.当n≥3时.（n-2）a n-2-（n-3）a n-1=3. 所以（n-1）a n-1-（n-2）a n =（n-2）a n-2-（n-3）a n-1.可得2a n-1=a n-2+a n .所以{a n }为等差数列．又2S 1-a 1=3.且a 1=S 1.得a 1=3.又a 2=5. 所以{a n }为公差为2的等差数列.则a n =2n+1； （2）b n = a√a +a √a = √a •√a (√a +√a ) = √2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 √2n+1 - √2n+3）. T n = 12 （ √3 - √5 + √5 - √7 + √7 - 13 + 13 - √11 +…+ √2n+1 - √2n+3 ）= 12 √3 - √2n+3）.要使T n ＞√310 成立. 即 12 √3 -√2n+3 √310 .解得n ＞ 638 .所以最小正整数n 的值为8．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.考查等差数列的定义和性质、通项公式.考查数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.15分）对于函数f （x ）.若存在实数对（m.n ）.使得等式f （m+x ）•f （m-x ）=n 对定义域中的每一个x 都成立.则称函数f （x ）是“（m.n ）型函数”． （1）判断函数f （x ）= √x 是否为“（m.n ）型函数”.并说明理由； （2） ① 若函数g （x ）是“（1.4）型函数”.已知g （0）=1.求g （2）；② 若函数g （x ）是“（1.4）型函数”.且当x∈[0.1]时.g （x ）=x 2-a （x-1）+1（a ＞0）.若当x∈[0.2]时.都有1≤g （x ）≤4成立.试求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1） √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.即可判定； （2） ① 由g （x+1）g （1-x ）=4.取x=1.则g （2）g （0）=4.即可求得g （2）=4． ② 方法一：可得当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g （2-x ）= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 ． （a ）当0＜a ＜1时.（b ）当1≤a ＜2时.（c ）当a≥2时讨论即可方法二：当x∈[1.2]时.1≤g （x ）≤4；当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g （2-x ）∈[1.4].而g （x ）g （2-x ）=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g （x ）≤4.问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g （x ）≤4即可．【解答】：解：（1） √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.所以f （x ）=x 不是““（m.n ）型函数”；（2） ① 由题意.g （x+1）g （1-x ）=4.取x=1.则g （2）g （0）=4.又g （0）=1.所以g （2）=4．② 方法一：∵g （x+1）g （1-x ）=4.所以g （x ）g （2-x ）=4．当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g （2-x ）= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 ．（a ）当0＜a ＜1时.0＜ a2＜12 .则g （x ）在[0.1]内先减后增.且g （ a2 ≤g (x )≤41+a−a 24.即1+a-14a 2≤g （x ）≤2. 则当x∈[1.2]时.2≤g （x ） ≤41+a−14a 2．所以当x∈[0.2]时.1+a- 14a 2 ≤g (x )≤41+a−14a 2.由题意. {1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 .解得0≤a≤4.所以0＜a ＜1．（b ）当1≤a ＜2时. 12≤a 2＜1 .则g （x ）在][0.1]内先减后增.且g （ a2 ）≤g （x ）≤g （0）.即1+a- 14a 2 ≤g （x ）≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤41+a−14a 2．要满足题意.则应满足 {41+a≥11+a −a 24≥1.且 {1+a ≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33.所以1≤a ＜2．（c ）当a≥2时. a 2≥1.则g （x ）在[0.1]内递减.且g （1）≤g （x ）≤g （0）.即2≤g （x ）≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤2 ．此时.g （x ）min = 41+a .g （x ）min =1+a ．要满足条件.则应{41+a≥11+a ≤4.解得a≤3.所以2≤a≤3．综上所述.0＜a≤3．方法二：当x∈[0.2]时.都有1≤g （x ）≤4成立.所以当x∈[1.2]时.1≤g （x ）≤4；当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g （2-x ）∈[1.4].而g （x ）g （2-x ）=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g （x ）≤4. 所以问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g （x ）≤4即可．当x∈[0.1]时.g（x）=x2-a（x-1）+1（a＞0）.（1）当0＜a2＜1.即0＜a＜2时. {g(a2)=1+a−a24≥1g(0)=a+1≤4g(1)=2≤4.解得0≤a≤3.所以0＜a＜2；（2）当a2≥1 .即a≥2时.只要{g(0)=a+1≤4g(1)=2≥1解得a≤3.所以2＜a≤3；综上所述.0＜a≤3．【点评】：本题考查了函数的新定义.考查了函数的最值问题、分类讨论思想、转化思想.考查了分析问题的能力.属于难题．22.（问答题.15分）如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论；（3）求cosα的值．【正确答案】：【解析】：（1）推导出AM⊥BD.BD⊥AC′.从而BD⊥平面AMC′.由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD．（2）过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α．QC′是由QC翻折得到.从而∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理.∠C′DB=2∠C′CD．由此能证明∠C′DB＞α．（3）在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线.垂足为Q．推导出∠C′QP 就是二面角C′-AD-B的平面角．由此能求出cosα的值．【解答】：解：（1）证明：∵AM⊥BD.BD⊥AC′.AM∩AC′=A.∴BD⊥平面AMC′.∵BD⊂平面ABD.∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图.在△C′AM所在平面内.过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α．又QC′是由QC翻折得到.∴∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理.又C′D是由DC翻折得到.∴∠C′DB=2∠C′CD．由线面角的最小性可知.∠C′CD＞∠C′CQ.∴∠C′DB＞α．（3）解：如图.在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线. 垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD.交线为AM.C′P⊥平面ABD.又PQ⊥AD.∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′-AD-B的平面角．△AMC中.∠MAD=15°.∠CAD=45°.作出二面角的平面角∠C1QP后.若将半平面C1AD摊平.则P.Q.C的连线与AD垂直.且cos∠C′QP= PQQC1 = PQQC= PQAQ=tan∠PAQ=tan15°=2- √3．【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明.考查两角大小的判断与证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中偿题．。

2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若，，则一定有（_________ ）A ．________B ．________C ．________D ．2. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（_________ ）A．________B ．C．______________D ．3. 已知数列满足：，，，，那么使成立的n的最大值为（________ ）A ． 4_________________________________B ． 5____________________________C ． 24____________________________D ． 254. 设是等差数列，下列结论中正确的是（_________ ）A．若，则________B ．若，则C．若，则________D ．若，则5. 已知直线，与平行，则实数a的值是（_________ ）A ． 0或1________B ． 1或________C ． 0或_________D ．6. 圆与圆的位置关系为（_________ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切7. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（________ ）A ．________B ．C ．________D ．8. 已知不等式组表示的平面区域为D ，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（_________ ）A ．B ．C ．D ．9. 直线与圆的位置关系为（________ ）A ．相交_________B ．相切___________C ．相离___________D ．相交或相切10. 已知实数满足，，且，则下列结论正确的是（________ ）A．________B ．C．________D ．二、填空题11. 已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则___________________________________ ．12. 直线与直线，直线分别交于P、Q两点， PQ中点为，则直线的斜率是___________ ．13. 已知数列的前n项和为，且有，，则___________________________________ ．14. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围______________ ．15. 已知直线与圆心为C的圆相交于A、B两点，且为等边三角形，则实数a=____________________________ ．16. 已知数列满足：，当时，，若数列满足对任意，有，则当时，______________ ．三、解答题17. ，，．（1）比较与的大小；（2）解关于x的不等式：．18. 已知为数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19. 如图，的顶点，的平分线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求的面积．20. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P 作圆M的切线PA ， PB ，切点为A ， B ．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若的外接圆为圆N ，试问：当P在直线上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。