杭州学军中学(西溪校区)2019学年第一学期期中考试高二数学答题卷 (1)
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2019-2020学年学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷一、选择题1.圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,则它的侧面积是()A.B.πS C.2πS D.4πS2.若直线l与平面α相交,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直3.已知m,n是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nB.若m,n异面,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α⊥β,m∥n,m⊥α,则n∥βD.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β4.如图,三棱柱ABC﹣A′B′C′中,侧面B′B′CC′的面积是4,点A′到侧面B′BCC′的距离是3,则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为()A.12 B.6 C.4 D.无法确定5.四面体ABCD中,AB=CD=2,其余棱长均为4,则该四面体外接球半径为()A.B.C.3D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为()A.B.C.5 D.27.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,BC的中点,若M在以C1N为直径的圆上,则异面直线A1D与D1M所成的角为()A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化8.一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1,P,Q,R分别为AD,BB1,A1B1的中点,如图所示.由于某种原因,在P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水最多时,容器中水的上表面的形状是()边形A.3 B.4 C.5 D.69.已知a=sin1.5+cos1.5,b=sin1.5•cos1.5,c=(cos1.5)sin1.5,d=(sin1.5)cos1.5,则a,b,c,d的大小关系为()A.b<c<d<a B.b<d<c<a C.d<b<c<a D.d<c<b<a 10.已知集合A={x|x2﹣x﹣6>0},B={x|x2﹣3ax+4≤0},若a>0,且A∩B中恰好有两个整数解,则a的取值范围是()A.[)B.()C.[)D.()二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成的角大小是,线段EF的长度为.12.二面角α﹣l﹣β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为45°,则AB 与平面β所成的角的余弦值是.13.正三棱锥的高为1,底面边长为2,则它体积为;若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切,则球的半径为.14.若f(x)=﹣3x为奇函数,则a=,此时,不等式f(1﹣x2)+f(3x+9)<0的解集为.15.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是对角线AC1上一点,N是底面ABCD上一点.若AB=2,BC=AA1=,则MB1+MN的最小值为.16.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P,Q是正方体表面上相异两点,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.(1)若P,Q均在平面A1B1C1D1内,则PQ与BD的位置关系是;(2)|A1P|的最小值为.17.若不等式[2x(t﹣1)﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立(其中a∈R,且a >1),则t的取值范围是.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若cos C=,且=,求△ABC的面积;(2)设向量=(2sin,),=(cos B,cos),且∥,b=2,求a+c的取值范围.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中,BC∥AD,且AD=2BC,O,E分别为AD,PD 中点.(1)设平面PAB∩平面PCD=l,请作图确定l的位置并说明你的理由;(2)若Q为直线CE上任意一点,证明:OQ∥平面PAB.20.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n=3n(n∈N*),且a2=5.(1)证明数列{a n}为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)设b n=,T n为数列{b n}的前n项和,求使T n成立的最小正整数n的值.21.对于函数f(x),若存在实数对(m,n),使得等式f(m+x)•f(m﹣x)=n对定义域中的每一个x都成立,则称函数f(x)是“(m,n)型函数”.(1)判断函数f(x)=是否为“(m,n)型函数”,并说明理由;(2)①若函数g(x)是“(1,4)型函数”,已知g(0)=1,求g(2);②若函数g(x)是“(1,4)型函数”,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2﹣a(x﹣1)+1(a>0),若当x∈[0,2]时,都有1≤g(x)≤4成立,试求a的取值范围.22.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A═120°,M为线段BC的中点,D为线段BC 上一点,且BD=BA,沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′,使AC′⊥BD,记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α.(1)证明:平面△AMC′⊥平面ABD;(2)比较∠C′DB与α的大小,并证明你的结论;(3)求cosα的值.参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,则它的侧面积是()A.B.πS C.2πS D.4πS解:∵圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,∴圆柱的母线长为,底面圆的直径为,∴圆柱的侧面积S=π××=πS.故选:B.2.若直线l与平面α相交,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直解:对于A,α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线,∴A错误;对于B,α内过直线l与平面α交点的直线有无数条,且这些直线与直线l都是共面直线,∴B错误;对于C,α内不存在与直线l平行的直线,∴C错误;对于D,如图所示,直线PA与平面α交于点A,PO⊥α,则OA是PA在α内的射影,在α内作直线l⊥OA,则l⊥PA,这样的直线l有无数条,∴D正确.故选:D.3.已知m,n是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nB.若m,n异面,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α⊥β,m∥n,m⊥α,则n∥βD.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β解:A.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或为异面直线,因此不正确;B.若m,n异面,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β,正确;C.若α⊥β,m∥n,m⊥α,则n∥β或n⊂β,因此不正确;D.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊂β,或n∥β,或n与β相交,因此不正确.故选:B.4.如图,三棱柱ABC﹣A′B′C′中,侧面B′B′CC′的面积是4,点A′到侧面B′BCC′的距离是3,则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为()A.12 B.6 C.4 D.无法确定解:∵侧面B′BCC′的面积是4,点A′到侧面B′BCC′的距离是3,∴V四棱锥A′﹣BCC′B′=.∵.∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC=V三棱柱ABC﹣A′B′C′.∴.∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′=6.故选:B.5.四面体ABCD中,AB=CD=2,其余棱长均为4,则该四面体外接球半径为()A.B.C.3D.解:四面体ABCD放到长方体中,AB=CD=2,其余AC=BC=AD=DB=4设长方体的边长分别为a,b,c.则,解得a2+b2+c2=18,四面体外接球半径:2R=3.R=.故选:D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为()A.B.C.5 D.2解:由题意可知几何体是正方体的一部分,是四棱锥P﹣ABCD,正方体的棱长为3,P是所在棱的3等分点,PB==,PA==,PC==,所以最长棱长为PB,.故选:B.7.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,BC的中点,若M在以C1N为直径的圆上,则异面直线A1D与D1M所成的角为()A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化解:如图所示:∵M、N分别是棱BB1、BC的中点,∴MN∥CB1,∵M在以C1N为直径的圆上,∴∠C1MN=90°,∴C1M⊥MN,∴C1M⊥CB1,由长方体的几何特征,我们可得C1D1⊥B1C,∴B1C⊥平面C1D1M,∵A1D∥B1C,∴A1D⊥平面C1D1M,∴A1D⊥D1M,即异面直线A1D与D1M所成的角为90°,故选:C.8.一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1,P,Q,R分别为AD,BB1,A1B1的中点,如图所示.由于某种原因,在P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水最多时,容器中水的上表面的形状是()边形A.3 B.4 C.5 D.6解:如图,连接QR并延长,分别交AA1,AB的延长线与E,F,连接PE交A1D1于G,连接PF交BC于H,连接PH,QH,GR,则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时,容器中水的上表面的形状,故选:C.9.已知a=sin1.5+cos1.5,b=sin1.5•cos1.5,c=(cos1.5)sin1.5,d=(sin1.5)cos1.5,则a,b,c,d的大小关系为()A.b<c<d<a B.b<d<c<a C.d<b<c<a D.d<c<b<a解:因为<1.5<,所以<sin1.5<1;0<cos1.5<,∴a>,0<b<;∴b<a;找中间量sin1.5sin1.5,由y=sin1.5x是R上的减函数,sin1.5>cos1.5,可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5;由y=x sin1.5是(0,+∞)上的增函数,sin1.5>cos1.5,可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5;故c<d,只有A答案合适.故选:A.10.已知集合A={x|x2﹣x﹣6>0},B={x|x2﹣3ax+4≤0},若a>0,且A∩B中恰好有两个整数解,则a的取值范围是()A.[)B.()C.[)D.()解:A=(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞),令f(x)=x2﹣3ax+4,由题意,△=9a2﹣16>0,且a>0,∴解得,,又,∴要使A∩B中恰好有两个整数解,则只能是4和5,∴,解得,∴a的取值范围是.故选:A.二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成的角大小是,线段EF的长度为a.解:棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,取BD中点G,连结BE,CE,EG,FG,则EG∥AB,且EG=FG==,∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角(或所成角的补角),BE=CE==,EF==,cos∠EFG===,∴∠EFG=,∴异面直线EF与AB所成的角大小是,线段EF的长度为.故答案为:,.12.二面角α﹣l﹣β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为45°,则AB与平面β所成的角的余弦值是.解:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.连结AD,根据三垂线定理可得AD⊥l,因此,∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角,∠ADC=60°又∵AB与l所成角为45°,∴∠ABD=45°连结BC,可得BC为AB在平面β内的射影,∴∠ABC为AB与平面β所成的角.设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=AD sin60°=x,Rt△ABD中,AB==2,BC==,∴Rt△ABC中,cos∠ABC===.故答案为:.13.正三棱锥的高为1,底面边长为2,则它体积为2;若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切,则球的半径为﹣2 .解:底面等边三角形的面积S==,所以V=,设内切球的球心为O,半径为r,则在O与底面的中心M,BM=,OE=r,OA=1﹣r,侧面斜边的高AB=由△AOE ∽△ABM,得相似得,得,,所以.故答案为:﹣2.14.若f(x)=﹣3x为奇函数,则a= 1 ,此时,不等式f(1﹣x2)+f(3x+9)<0的解集为(﹣2,5).解:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,,∴a=1.∴∵,∴f(x)为减函数,且为奇函数∵f(1﹣x2)+f(3x+9)<0,∴f(1﹣x2)<﹣f(3x+9)=f(﹣3x﹣9),∴1﹣x2>﹣3x﹣9,∴﹣2<x<5.故不等式的解集为(﹣2,5).故答案为:1,(﹣2,5).15.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是对角线AC1上一点,N是底面ABCD上一点.若AB=2,BC=AA1=,则MB1+MN的最小值为.解:将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置,使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内,过点P作PN⊥平面ABCD,交AC1于M,垂足为N,则PN为MB1+MN的最小值.∵AB=2,BC=AA1=,∴AC1==2,AP=AB1==,∵sin∠C1AC===,∴∠C1AC=30°,∴∠PAN=2∠C1AC=60°,∴PN=AP•sin∠PAN==.∴MB1+MN的最小值为.故答案为:.16.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P,Q是正方体表面上相异两点,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.(1)若P,Q均在平面A1B1C1D1内,则PQ与BD的位置关系是平行;(2)|A1P|的最小值为.解:(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E(0,1,),B(1,1,0),∵P,Q均在平面A1B1C1D1内,∴设P(a,b,1),Q(m,n,1),则=(﹣1,1,﹣),=(a﹣1,b﹣1,1),=(m﹣1,n﹣1,1),∵BP⊥A1E,BQ⊥A1E.∴,解得,∴PQ∥BD,即PQ与BD的位置关系是平行.故答案为:平行.(2)当|A1P|取最小值时,P在平面A1B1C1D1内,设P(a,b,1),由(1)得b=a+,∴|A1P|====,∴当a=,即P(,,1)时,|A1P|的最小值为.故答案为:.17.若不等式[2x(t﹣1)﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立(其中a∈R,且a>1),则t的取值范围是.解:原不等式等价于:或即①或②,注意到x=1时,②成立,此时≤t≤;当x∈Z,x≥2时,①成立,在①中,1+≤t≤x﹣,又g(x)=x﹣﹣为单调递增函数,所以,要使对x∈Z,x≥2成立,只需x=2时成立,又x=2时,≤t≤,所以要使不等式对任意的正整数x恒成立,则t的取值范围是:≤t≤,故答案为:≤t≤.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若cos C=,且=,求△ABC的面积;(2)设向量=(2sin,),=(cos B,cos),且∥,b=2,求a+c的取值范围.【解答】解(1)由•=,得ab cos C=.又因为cos C=,所以ab==.又C为△ABC的内角,所以sin C=.所以△ABC的面积S=ab sin C=3.(2)因为∥,所以2sin cos=cos B,即sin B=cos B.因为cos B≠0,所以tan B=.因为B为三角形的内角,0<B<π,所以B=.由正弦定理=,所以a=,c=,所以a+c=,又A+C=,所以a+c==4(cos C+)=4sin(C+),又0,所以<C+,所以∈(2,4].19.如图,在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中,BC∥AD,且AD=2BC,O,E分别为AD,PD 中点.(1)设平面PAB∩平面PCD=l,请作图确定l的位置并说明你的理由;(2)若Q为直线CE上任意一点,证明:OQ∥平面PAB.【解答】(1)解:分别延长AB和DC交于点R,连接PR,则直线PR就是l的位置;R∈AB⊂平面PAB,R∈CD⊂平面PCD,所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点,由公理1可知,过P、R的直线就是两个平面的交线l.(2)证明:连接OE、OC,因为BC∥AD,且BC=AD,又AO=AD,所以BC∥AO,且BC=AO,所以四边形ABCO为平行四边形,所以OC∥AB,则OC∥平面PAB;又OE为△PAD的中位线,则OE∥AP,所以OE∥平面PAB,又OE⊂平面OEC,OC⊂平面OEC,且OE∩OC=O,所以平面PAB∥平面OEC,又OQ⊂平面OEC,所以OQ∥平面PAB.20.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n=3n(n∈N*),且a2=5.(1)证明数列{a n}为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)设b n=,T n为数列{b n}的前n项和,求使T n成立的最小正整数n的值.解:(1)当n≥2时,2S n﹣1﹣(n﹣1)a n﹣1=3(n﹣1),又2S n﹣na n=3n,相减可得(n﹣1)a n﹣1﹣(n﹣2)a n=3,当n≥3时,(n﹣2)a n﹣2﹣(n﹣3)a n﹣1=3,所以(n﹣1)a n﹣1﹣(n﹣2)a n=(n﹣2)a n﹣2﹣(n﹣3)a n﹣1,可得2a n﹣1=a n﹣2+a n,所以{a n}为等差数列.又2S1﹣a1=3,且a1=S1,得a1=3,又a2=5,所以{a n}为公差为2的等差数列,则a n=2n+1;(2)b n=====(﹣),T n=(﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣)=(﹣),要使T n成立,即(﹣)>,解得n>,所以最小正整数n的值为8.21.对于函数f(x),若存在实数对(m,n),使得等式f(m+x)•f(m﹣x)=n对定义域中的每一个x都成立,则称函数f(x)是“(m,n)型函数”.(1)判断函数f(x)=是否为“(m,n)型函数”,并说明理由;(2)①若函数g(x)是“(1,4)型函数”,已知g(0)=1,求g(2);②若函数g(x)是“(1,4)型函数”,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2﹣a(x﹣1)+1(a>0),若当x∈[0,2]时,都有1≤g(x)≤4成立,试求a的取值范围.解:(1),则x2=m2﹣n2不可能恒成立,所以f(x)=x不是““(m,n)型函数”;(2)①由题意,g(x+1)g(1﹣x)=4,取x=1,则g(2)g(0)=4,又g(0)=1,所以g(2)=4.②方法一:∵(x+1)g(1﹣x)=4,所以g(x)g(2﹣x)=4.当x∈[0,1]时,2﹣x ∈[1,2]时,g(2﹣x)===.(a)当0<a<1时,0<,则g(x)在[0,1]内先减后增,且g(,即1+a﹣a2≤g(x)≤2,则当x∈[1,2]时,2≤g(x).所以当x∈[0,2]时,1+a﹣,由题意,,解得0≤a≤4,所以0<a<1.(b)当1≤a<2时,,则g(x)在][0,1]内先减后增,且g()≤g(x)≤g(0),即1+a﹣≤g(x)≤1+a,则当x∈[1,2]时,.要满足题意,则应满足,且解得0≤a≤33,所以1≤a<2.(c)当a≥2时,≥1,则g(x)在[0,1]内递减,且g(1)≤g(x)≤g(0),即2≤g(x)≤1+a,则当x∈[1,2]时,.此时,g(x)min=,g(x)min=1+a.要满足条件,则应,解得a≤3,所以2≤a≤3.综上所述,0<a≤3.方法二:当x∈[0,2]时,都有1≤g(x)≤4成立,所以当x∈[1,2]时,1≤g(x)≤4;当x∈[0,1]时,2﹣x∈[1,2]时,所以g(2﹣x)∈[1,4],而g(x)g(2﹣x)=4,所以1,即1≤g(x)≤4,所以问题转化为当x∈[0,1]时,1≤g(x)≤4即可.当x∈[0,1]时,g(x)=x2﹣a(x﹣1)+1(a>0),.(1)当0<<1,即0<a<2时,,解得0≤a≤3,所以0<a<2;(2)当,即a≥2时,只要解得a≤3,所以2<a≤3;综上所述,0<a≤3.22.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A═120°,M为线段BC的中点,D为线段BC 上一点,且BD=BA,沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′,使AC′⊥BD,记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α.(1)证明:平面△AMC′⊥平面ABD;(2)比较∠C′DB与α的大小,并证明你的结论;(3)求cosα的值.解:(1)证明:∵AM⊥BD,BD⊥AC′,AM∩AC′=A,∴BD⊥平面AMC′,∵BD⊂平面ABD,∴平面△AMC′⊥平面ABD.(2)解:如图,在△C′AM所在平面内,过点C′作C′P⊥AM,垂足为P,则C′P⊥平面ABD,过P作PQ⊥AD,连接C′Q,则C′Q⊥AQ,∠C′QP=α.又QC′是由QC翻折得到,∴∠C′QP=α=2∠C′CQ,且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角.同理,又C′D是由DC翻折得到,∴∠C′DB=2∠C′CD.由线面角的最小性可知,∠C′CD>∠C′CQ,∴∠C′DB>α.(3)解:如图,在△C′AM中,过点C′作AM的垂线,垂足为P,过P作AD的垂线,垂足为Q.平面AMC′⊥平面BCD,交线为AM,C′P⊥平面ABD,又PQ⊥AD,∴CQ⊥AD.∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角.设AB=AC=BD=4,则BM=MC=2,MD=4﹣2,CD=4﹣4=C′D,在直角△C′DM中,C′M2=C′D2﹣DM2=36﹣16.。
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线的倾斜角的大小是( ) A .B .C .D .2. 圆的圆心坐标和半径分别是( )A .(0,2)2B .(2,0)4C .(-2,0)2D .(2,0)23.点(2,3,4)关于x 轴的对称点的坐标为( )A.(-2,3,4)B.(2,-3,-4)C.(-2,-3,4)D.(-2,-3,-4)4. 有下列四个命题:①“若0=+y x ,则y x ,互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若1≤q ,则022=++q x x 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题;其中真命题为( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④5.圆x 2+y 2+2x=0和x 2+y 2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为( )A .x ﹣2y=0B .x+2y=0C .2x ﹣y=0D .2x+y=06.圆与圆的位置关系为( ) A .内切 B .相交 C .外切 D .相离7.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则是的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.对任意的实数,直线与圆的位置关系一定是( )A .相切B .相交且直线过圆心C .相交且直线不过圆心D .相离9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A .2B .1+C .D .1+ 10.已知直线,圆,则直线和圆在同一坐标系中的图形可能是( )二填空题:(本题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在答题纸的相应位置.)11. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ,体积是12. 在空间直角坐标系中,若点A (1,2,﹣1),B (﹣3,﹣1,4).则|AB|=13.已知命题,使成立,则: .14.经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是15.直线130kx y k -+-=,当k 变化时,所有直线恒过定点16.如图,在正方体111ABCD A B C D -中,①异面直线1A D 与1D C 所成的角为60度;②直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为30度;③1D C ⊥平面11AB C D ④平面1ADB 与平面11BB C C 所成角为60度⑤平面11//A D 平面1ADB 以上命题正确的是答题纸 二、填空题:(本题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在答题纸的相应位置.)11、 , ;12、 ;13、14、 ;15、 ;16、三解答题:(本题共4小题,共36分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.)17.(7分)求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x+-=与224x y+=交点的圆的方程18.(9分)已知直线:,:,求当为何值时,与:(1)平行;(2)相交;(3)垂直19. (10分)已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时,求(1)的值;(2)求过点并与圆相切的切线方程.20.(10分)过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。
1.直线10x y 的倾斜角是()A.34B.23C.4 D.4【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ,∴化成斜截式得1y x ,直线的斜率为1k ,设直线的倾斜角为,则tan 1,∵(0,),∴34,即直线10xy 的倾斜角是34.2.如果直线210ax y 与直线20x y 互相垂直,则实数a ()A.1B.2C.23D.13【答案】B 【解析】直线210ax y 的斜率12a k ,直线20x y 的斜率为21k ,因为两直线垂直,所以121k k ,即()(1)12a ,解得2a.3.设x ,y 满足约束条件233023303x y x y y,则2zx y 的最小值是()A.1B.9C.15D.9【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示,当目标函数2z x y 过(6,3)点时取得最小值,最小值为2(6)315z .4.圆222210xyx y 上的点到直线2x y 的距离的最大值是()A.222B.12 C.122 D.2【解析】圆222210xyx y 即22(1)(1)1x y ,表示以点(1,1)C 为圆心,以1为半径的圆,由于圆心到直线2xy的距离2211221(1)d,故圆上的点到直线的距离的最大值是12r d .5.已知(4,0)A ,(0,4)B ,从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是()A.25 B.33 C.6 D.210【答案】D 【解析】如图:作点P 关于AB 的对称点1P ,作点1P 关于OB 的对称点2P ,设两次反射的入射点分别为C ,D ,则1P ,C ,D 三点共线,2P ,D ,P 三点共线,则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l yxx,:0OB l x,设111(,)P x y ,222(,)P x y ,则1PP AB ,1PP 中点在AB 上,所以11110(1)1202422y x y x ,解得1124y x .同理,关于y 轴对称,所以24x ,22y ,所以222(42)(20)210P P.6.在长方体1111ABCDA BC D 中,2ABBC,11AA ,则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为()A.223B.23C.24D.13【答案】D 【解析】连接1AC ,在长方体1111ABCD A BC D 中,1A A平面1111A B C D ,则11AC A 为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A 中,11122111sin3122AA AC A AC .7.如图,长方体1111ABCDA BC D 中,12AA AB ,1AD,E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点,则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是()A.155B.22C.105D.【答案】D【解析】如图,连接EG ,1B F ,CF ,因为E ,G 均为中点,所以11//A B EG ,11A B EG ,故四边形11A EGB 为平行四边形,11//A E B G ,所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF的夹角,即1B GF .因为112BFAB,根据勾股定理,2CF ,因为1112CGCC ,所以根据勾股定理,223FGCFCG,2211112B G B C C G ,22115B FBFBB ,因为22211B FB GFG 满足勾股定理,所以1B G FG ,所以1cos 0B GF.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r ,集合222{(,)|}B x y x yr ,若AB ,则实数r 可以取的一个值是()A.21 B.3 C.2 D.212【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r 可化为22111()()222xyr,由题意,集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆,则22111(0)(0)222rr,解得12r .9.已知圆22:(2)(3)4M x y ,过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ,使得PAAB ,则0x 的取值范围是()A.[33,33] B.[32,32]C.[233,233] D.[232,232]【答案】C 【解析】max 4AB ,故max6PM,即220(2)(03)6x ,解得233233x .10.在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中,E 为线段1BC 的中点,F 是棱11CD 上的动点,若点P 为线段1BD 上的动点,则PEPF 的最小值为()A.526B.122C.62D.322【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点,但它们都在面11BC D 上,将该平面提取出来,如图,取11Rt BC D ,作点E 关于直线1BD 的对称点E ,作11E GC D ,点G 在直线11C D 上.则PEPFPEPFE G ,连接EE (与1BD 垂直),作E HBC ,点H 在直线1BC 上,则2cos 2sin sin 3EHEE E EH EB B B,12252236E GC EEH.二、填空题11.直线310x y 关于直线0x y 对称的直线方程是 .【答案】310xy 【解析】将xy ,yx 代入直线310xy得310x y .12.如图是一个正三棱柱的三视图,若三棱柱的体积是83,则a .。
1.直线10x y ++=的倾斜角是( ) A.34π B.23π C.4π D.4π- 【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ++=,∴化成斜截式得1y x =--,直线的斜率为1k =-,设直线的倾斜角为α,则tan 1α=-,∵(0,)απ∈,∴34πα=,即直线10x y ++=的倾斜角是34πα=. 2.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直,则实数a =( ) A.1 B.2- C.23- D.13- 【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率12ak =-,直线20x y +-=的斜率为21k =-,因为两直线垂直,所以121k k ⋅=-,即()(1)12a -⋅-=-,解得2a =-.3.设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是( )A.1B.9C.15-D.9- 【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示,当目标函数2z x y =+过(6,3)--点时取得最小值,最小值为2(6)315z =⨯--=-.4.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是( )A.22+11+2【解析】圆222210x y x y +--+=即22(1)(1)1x y -+-=,表示以点(1,1)C 为圆心,以1为半径的圆,由于圆心到直线2x y -=的距离d ==,故圆上的点到直线的距离的最大值是1r d +=5.已知(4,0)A ,(0,4)B ,从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.6D. 【答案】D 【解析】如图:作点P 关于AB 的对称点1P ,作点1P 关于OB 的对称点2P ,设两次反射的入射点分别为C ,D ,则1P ,C ,D 三点共线,2P ,D ,P 三点共线,则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l y x x -=+=-+-,:0OB l x =,设111(,)P x y ,222(,)P x y ,则1PP AB ⊥,1PP 中点在AB 上,所以11110(1)1202422y x y x -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩,解得1124y x =⎧⎨=⎩.同理,关于y 轴对称,所以24x =-,22y =,所以2P P ==6.在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==,11AA =,则1AC 与平面1111A B C D所成角的正弦值为( )A.3 B.23C.4D.13【答案】D【解析】连接1AC ,在长方体1111ABCD A BC D -中,1A A ⊥平面1111A B C D ,则11AC A ∠为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A ∆中,11111sin 3AA AC A AC ∠===.7.如图,长方体1111ABCD A BC D -中,12AA AB ==,1AD =,E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点,则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是( )A.5B.2C.5D.0 【答案】D【解析】如图,连接EG ,1B F ,CF ,因为E ,G 均为中点,所以11//A B EG ,11A B EG =,故四边形11A EGB 为平行四边形,11//A E B G ,所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF 的夹角,即1B GF ∠.因为112BF AB ==,根据勾股定理,CF =1112CG CC ==,所以根据勾股定理,FG ==,1B G ==,1B F ==22211B F B G FG =+满足勾股定理,所以1B G FG ⊥,所以1cos 0B GF ∠=.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r =-+-≤,集合222{(,)|}B x y x y r =+≤,若A B ⊆,则实数r 可以取的一个值是( )12 D.12+ 【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r -+-=可化为22111()()222x y r -+-=+,由题意,集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆,则r ≤1r ≥9.已知圆22:(2)(3)4M x y -+-=,过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ,使得PA AB =,则0x 的取值范围是( )A.[-B.[-C.[2-+D.[2-+ 【答案】C【解析】max 4AB =,故max6PM=6≤,解得022x -≤+.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为线段1B C 的中点,F 是棱11C D 上的动点,若点P 为线段1BD 上的动点,则PE PF +的最小值为( )A.6 B.12+2 D.2【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点,但它们都在面11BC D 上,将该平面提取出来,如图,取11Rt BC D ∆,作点E 关于直线1BD 的对称点E ',作11E G C D '⊥,点G 在直线11C D 上.则PE PF PE PF E G ''+=+≥,连接EE '(与1BD 垂直),作E H BC '⊥,点H 在直线1BC 上,则cos 2sin sin 3EH EE E EH EB B B ''=⋅∠=⋅⋅∠⋅∠=,1E G C E EH '=+=+=.二、填空题11.直线310x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程是 . 【答案】310x y -+= 【解析】将x y =-,y x =-代入直线310x y -==得310x y -+=.12.如图是一个正三棱柱的三视图,若三棱柱的体积是a = .【答案】【解析】由题意知三棱柱的底面是一个正三角形,一条边上的高是a ,得到三棱柱的底面边,∴底面面积是212a ⨯=,三棱柱的高是2,∴三棱柱的体积是223a ⨯=a =13.已知(,)P x y 满足0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩,则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 .【答案】2【解析】设点(,)Q u v ,则x y u +=,y v =,则点(,)Q u v 满足0102u v u ≤+≤⎧⎨≤≤⎩,在uOv 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图,可知它是一个平行四边形,边长为1,高为2,故其面积为212⨯=.14.有且只有一对实数(,)x y 同时满足:20x y m +-=与223(0)x y y +=≥,则实数m 的取值范围是 .【答案】[{15}- 【解析】根据题意画出图形,如图所示:当直线2y x m =-+与半圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,即35=,解得15m =或15m =- (舍去), 当直线过(3,0)-时,把此点代入直线方程求得23m =-,当直线过时,把此点代入直线方程求得m =观察图象可知满足题意的实数m 的取值范围是[{15}-.15.异面直线a ,b 成60︒角,直线a c ⊥,则直线b ,c 所成角的范围是 . 【答案】[,]62ππ 【解析】由题意可作出大致图象,如下:直线a c ⊥,则把c 放在α上,只需要a α⊥即可,a ,b 成60︒角,那么可将b 平移到b '与a 相交,相当于是圆锥的母线,所以b 与c 所成角即为b '与面α上任意一条直线所成角,所以最小值为30︒,最大值为90︒,即取值范围是[,]62ππ. 16.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,(5,0)B ,以AB 为直径的圆C (C 为圆心)与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=,则点A 的坐标为 . 【答案】(3,6)A【解析】根据题干,可作出大致图象,如下:∵AB 为直径,且0AB CD ⋅=,则AB CD ⊥,且ABD ∆为等腰直角三角形,又(5,0)B ,可求出BD ==,OD ==,从而AO OD AD =+==(,2)(0)A x x x >,则222(2)x x +=,解得3x =,所以(3,6)A .17.在平面直角坐标系xOy 中,点(3,0)A ,直线:24l y x =+,设圆C 的半径为1,圆心C 在直线l 上,若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,则圆心C 的横坐标a 的取值范围 是 .【答案】98419[2][,]555+---【解析】设(,)M x y ,由2MA MO =22(1)4x y ++=,故点M 的轨迹是圆心为(1,0)-,半径为2的圆;设圆C 的圆心(,24)C a a +,则两圆外切时22(1)(24)9a a +++=,即251880a a ++=,解得95a -=; 两圆内切时22(1)(24)1a a +++=,即2518160a a ++=,解得2a =-或85-,所以得a 的取值范围是98419[2][,]555+---. 三、解答题18.已知圆22:(1)5C x y +-=,直线:120l mx y m -+-= (1)求证:不论m 取何实数,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;(2)设直线l 与圆C 交于点A ,B,当AB =时,求直线l 的方程. 【答案】(1)略;(2)10x y --=,30x y +-=【解析】直线(2)10m x y --+=经过定点(2,1),222(11)5+-<,∴定点在圆内,故无论m 取实数,直线l 与圆C 总有两个不同的交点. (1)由圆心(0,1)到直线120mx y m -+-=的距离d ==,而圆的弦长AB ===,解得1m =±,故所求的直线方程为10x y --=和30x y +-=.19.已知菱形ABCD 的边长为2,120ABC ∠=︒,四边形BDEF 是矩形,且BF ⊥平面ABCD,BF =(1)求证://CF 平面ADE ;(2)设EF 中点为G ,求证AG ⊥平面CEF .【答案】(1)略;(2)略【解析】(1)证明://BC AD ,//BF DE ⇒平面//BCF 平面//ADE CF ⇒平面ADE . (2)证明:因为EF 中点为G ,则由AF AE AG EF =⇒⊥,且计算可得:AG CG ==又AC =222AG CG AC AG CG +=⇒⊥,又EF CG G =,所以AG ⊥平面CEF.20.已知:以点2(,)(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ,与y 轴交于点O ,B ,其中O 为原点.(1)求证:OAB ∆的面积为定值;(2)设直线24y x =-+与圆C 交于点M ,N ,若OM ON =,求圆C 的方程. 【答案】(1)略;(2)22(2)(1)5x y -+-= 【解析】(1)∵圆C 过原点O ,∴2224OC t t =+. 设圆C 的方程是222224()()x t y t t t -+-=+,0x =,得10y =,24y t=;令0y =,得10x =,22x t = ∴1142422OAB S OA OB t t∆=⨯=⨯⨯=,即:OAB ∆的面积为定值. (2)∵OM ON =,CM CN =,∴OC 垂直平分线段MN . ∵2MN k =-,∴12OC k =,∴直线OC 的方程是12y x =.∴212t t =,解得2t =或2t =-,当2t =时,圆心C 的坐标为(2,1),OC =此时C 到直线24y x =-+的距离d =<C 与直线24y x =-+相交于两点当2t =-时,圆心C 的坐标为(2,1)--,OC = 此时C 到直线24y x =-+的距离d =>圆C 与直线24y x =-+不相交,∴2t =-不符合题意舍去.∴圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.21.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11AC ,1BB 的中点,且AB BC ==,AC =1AA =(1)证明:AC FG ⊥;(2)证明:直线FG 与平面BCD 相交;(3)求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值.【答案】(1)略;(2)略;(3)14【解析】(1)在三棱柱111ABC A B C -中,∵1CC ⊥平面ABC ,∴四边形11A ACC 为矩形. 又E ,F 分别为AC ,11AC 的中点,∴AC EF ⊥∵AB BC =.∴AC BE ⊥,∴AC ⊥平面BEF .又G 是1BB 中点,1//BB EF ,∴G 在平面BEF 内,∴AC FG ⊥.(2)设EF CD M =,则4FM =2BG =,所以,四边形BGFM 是梯形,所以,直线FG 与直线MB 相交,又MB ⊂平面BCD ,可得FG 与平面BCD 相交.(3)过D 作1DO C E ⊥于点O ,连BO ,易证BE ⊥平面11ACC A ,∴DO BE ⊥,∴DO ⊥平面1BEC ,从而DBO ∠就是直线BD 与平面1BEC 所成角的平面角,计算得,2BD =,sin 414DO DO DBO BD =⇒∠==.。
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,则它的侧面积是()S B.πS C.2πS D.4πSA.1π【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】根据圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径,代入侧面积公式计算.【解答】∵圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,∴圆柱的母线长为√S,底面圆的直径为√S,∴圆柱的侧面积S=π×√S×√S=πS.2. 若直线l与平面α相交,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面,判断A错误;α内过直线l与平面α交点的直线有无数条,判断B错误;α内不存在与直线l平行的直线,判断C错误;画出图形,结合图形判断D正确.【解答】对于A,α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线,∴A错误;对于B,α内过直线l与平面α交点的直线有无数条,且这些直线与直线l都是共面直线,∴B错误;对于C,α内不存在与直线l平行的直线,∴C错误;对于D,如图所示,直线PA与平面α交于点A,PO⊥α,则OA是PA在α内的射影,在α内作直线l⊥OA,则l⊥PA,这样的直线l有无数条,∴D正确.3. 已知m,n是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α // β,m⊂α,n⊂β,则m // nB.若m,n异面,m⊂α,n⊂β,m // β,n // α,则α // βC.若α⊥β,m // n,m⊥α,则n // βD.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】A.由α // β,m⊂α,n⊂β,可知m与n无公共点,即可判断出正误;B.由m,n异面,m⊂α,n⊂β,m // β,n // α,即可得出α与β的位置关系;C.若α⊥β,m // n,m⊥α,则n // β或n⊂β,因此不正确;D.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,可得n与β的三种位置关系都有可能.【解答】A.若α // β,m⊂α,n⊂β,则m // n或为异面直线,因此不正确;B.若m,n异面,m⊂α,n⊂β,m // β,n // α,则α // β,正确;C.若α⊥β,m // n,m⊥α,则n // β或n⊂β,因此不正确;D.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊂β,或n // β,或n与β相交,因此不正确.4. 如图,三棱柱ABC−A′B′C′中,侧面B′B′CC′的面积是4,点A′到侧面B′BCC′的距离是3,则三棱柱ABC−A′B′C′的体积为()A.12B.6C.4D.无法确定【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由已知求得四棱锥A′−BCC′B′的体积,结合V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′,可得V四棱锥A′−BCC′B′+V三棱锥A′−ABC=V三棱柱ABC−A′B′C′,从而求得三棱柱ABC−A′B′C′的体积.【解答】∵侧面B′BCC′的面积是4,点A′到侧面B′BCC′的距离是3,∴V四棱锥A′−BCC′B′=13×4×3=4.∵V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′.∵ V 四棱锥A′−BCC′B′+V 三棱锥A′−ABC =V 三棱柱ABC−A′B′C′. ∴ 23V ABC−A ′B ′C ′=V A ′−BCC ′B ′=4. ∴ V 三棱柱ABC−A′B′C′=6.5. 四面体ABCD 中,AB =CD =2,其余棱长均为4,则该四面体外接球半径为( )A.√14B.√142C.3√2D.3√22【答案】D【考点】球的体积和表面积 【解析】把四面体ABCD 放到长方体中,不难发现AB =CD =2,其余棱长均为4正好是长方体的对角线.从而即可求解四面体外接球半径 【解答】四面体ABCD 放到长方体中,AB =CD =2,其余AC =BC =AD =DB =4 设长方体的边长分别为a ,b ,c .则{a 2+b 2=20b 2+c 2=20a 2+c 2=32 ,解得a 2+b 2+c 2=18, 四面体外接球半径:2R =3√2.R =3√22.6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为( )A.√19B.√22C.5D.2√7【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据,求解几何体的最长棱长. 【解答】由题意可知几何体是正方体的一部分,是四棱锥P −ABCD ,正方体的棱长为3,P 是所在棱的3等分点,PB =√32+32+22=√22,PA =√32+22=√13,PC =√32+32+12=√19, 所以最长棱长为PB ,√22.7. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱BB 1,BC 的中点,若M 在以C 1N 为直径的圆上,则异面直线A 1D 与D 1M 所成的角为( )A.45∘B.60∘C.900D.随长方体的形状变化而变化【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】推导出C1M⊥MN,C1M⊥CB1,C1D1⊥B1C,从而B1C⊥平面C1D1M,由A1D // B1C,得A1D⊥平面C1D1M,由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小.【解答】如图所示:∵M、N分别是棱BB1、BC的中点,∴MN // CB1,∵M在以C1N为直径的圆上,∴∠C1MN=90∘,∴C1M⊥MN,∴C1M⊥CB1,由长方体的几何特征,我们可得C1D1⊥B1C,∴B1C⊥平面C1D1M,∵A1D // B1C,∴A1D⊥平面C1D1M,∴A1D⊥D1M,即异面直线A1D与D1M所成的角为90∘,故选:C.8. 一封闭的正方体容器ABCD−A1B1C1D1,P,Q,R分别为AD,BB1,A1B1的中点,如图所示.由于某种原因,在P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水最多时,容器中水的上表面的形状是()边形A.3B.4C.5D.6【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】画出过P,Q,R三点的平面与正方体容器ABCD−A1B1C1D1的截面得答案.【解答】如图,连接QR 并延长,分别交AA 1,AB 的延长线与E ,F , 连接PE 交A 1D 1于G ,连接PF 交BC 于H ,连接PH ,QH ,GR ,则五边形PGRQH 即为此容器内存水最多时,容器中水的上表面的形状,9. 已知a =sin1.5+cos1.5,b =sin1.5⋅cos1.5,c =(cos1.5)sin1.5,d =(sin1.5)cos1.5,则a ,b ,c ,d 的大小关系为( ) A.b <c <d <a B.b <d <c <a C.d <b <c <a D.d <c <b <a 【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】因为π3<1.5<π2,所以√32<sin1.5<1;0<cos1.5<12,注意到四个答案里都是a 最大,主要比较c 与d 的大小关系即可;找中间量sin1.5sin1.5,由y =sin1.5x 是R 上的减函数,sin1.5>cos1.5,可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5;由y =x sin1.5是(0, +∞)上的增函数,sin1.5>cos1.5,可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5; 故c <d ,只有A 答案合适. 【解答】因为π3<1.5<π2,所以√32<sin1.5<1;0<cos1.5<12,∴ a >√32,0<b <12;∴ b <a ;找中间量sin1.5sin1.5,由y =sin1.5x 是R 上的减函数,sin1.5>cos1.5,可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5;由y =x sin1.5是(0, +∞)上的增函数,sin1.5>cos1.5,可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5; 故c <d ,只有A 答案合适.10. 已知集合A ={x|x 2−x −6>0},B ={x|x 2−3ax +4≤0},若a >0,且A ∩B 中恰好有两个整数解,则a 的取值范围是( ) A.[2915,209) B.(2915,209)C.[139,209)D.(53,209)【答案】 A【考点】交集及其运算 【解析】可以求出集合A =(−∞, −2)∪(3, +∞),可令f(x)=x 2−3ax +4,根据a >0及△>0即可得出a >43,并且求出B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162],可得出0<3a−√9a2−162<2,从而得出要使A ∩B 中恰好有两个整数解,只能是4和5,从而可得出{f(4)≤0f(5)≤0f(6)>0 ,解出a的范围即可. 【解答】A =(−∞, −2)∪(3, +∞),令f(x)=x 2−3ax +4,由题意,△=9a 2−16>0,且a >0,∴ 解得a >43,B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162],又0<3a−√9a 2−162=2<2,∴ 要使A ∩B 中恰好有两个整数解,则只能是4和5, ∴ {f(4)=16−12a +4≤0f(5)=25−15a +4≤0f(6)=36−18a +4>0 ,解得2915≤a <209,∴ a 的取值范围是[2915,209).二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成的角大小是________,线段EF 的长度为________. 【答案】4,√2 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】取BD 中点G ,连结BE ,CE ,EG ,FG ,则EG // AB ,且EG =FG =12AB =a2,∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角(或所成角的补角),由此能求出异面直线EF 与AB 所成的角大小和线段EF 的长度. 【解答】棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点, 取BD 中点G ,连结BE ,CE ,EG ,FG , 则EG // AB ,且EG =FG =12AB =a2,∴ ∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角(或所成角的补角), BE =CE =√a 2−(a2)2=√3a2,EF =√(√3a 2)2−(a2)2=√2a 2, cos∠EFG =EF 2+GF 2−EG 22×EF×GF =a 22+a 24−a 242×√2a 2×a 2=√22, ∴ ∠EFG =π4,∴ 异面直线EF 与AB 所成的角大小是π4,线段EF 的长度为√22a .二面角α−l −β的大小是60∘,线段AB ⊂α,B ∈l ,AB 与l 所成的角为45∘,则AB 与平面β所成的角的余弦值是________. 【答案】 √104【考点】直线与平面所成的角【解析】根据二面角和直线和平面所成角的定义,先作出对应的平面角,结合三角形的边角关系进行求解即可.【解答】过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.连结AD,根据三垂线定理可得AD⊥l,因此,∠ADC为二面角α−l−β的平面角,∠ADC=60∘又∵AB与l所成角为45∘,∴∠ABD=45∘连结BC,可得BC为AB在平面β内的射影,∴∠ABC为AB与平面β所成的角.设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin60∘=√3x,Rt△ABD中,AB=ADsin45=2√2x,BC=√(2√2x)2−(√3x)2=√5x,∴Rt△ABC中,cos∠ABC=BCAB =√5x2√2x=√104.正三棱锥的高为1,底面边长为2√6,则它体积为________;若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切,则球的半径为________.【答案】2√3,√6−2【考点】球的体积和表面积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】求出底面的面积,利用体积公式带入即可,要求内切球半径,根据横截面图,利用三角形相似得出r.【解答】底面等边三角形的面积S=√34⋅(2√6)2=6√3,所以V=13⋅6√3⋅1=2√3,设内切球的球心为O,半径为r,则在O与底面的中心M,BM=2√6⋅√32⋅13=√2,OE=r,OA=1−r,侧面斜边的高AB=√1+OM2=√3由△AOE∽△ABM,得相似得rBM =1−rAB,得2=3,r(√3+√2)=√2,所以r=√6−2.若f(x)=a−4x2−3x为奇函数,则a=________,此时,不等式f(1−x2)+f(3x+ 9)<0的解集为________.【答案】1,(−2, 5)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】含有参数的函数奇偶性问题,要利用常见的结论,通过赋值法解决;第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质.【解答】∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,a−4020−3×0=0,∴a=1.∴f(x)=1−4x2x =12x−2x,∵12x,−2x,∴f(x)为减函数,且为奇函数∵f(1−x2)+f(3x+9)<0,∴f(1−x2)<−f(3x+9)=f(−3x−9),∴1−x2>−3x−9,∴−2<x<5.故不等式的解集为(−2, 5).在长方体ABCD−A1B1C1D1中,M是对角线AC1上一点,N是底面ABCD上一点.若AB=2,BC=AA1=√2,则MB1+MN的最小值为________3√22.【答案】3√22.【考点】点、线、面间的距离计算【解析】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置,使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内,则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值,利用勾股定理解出即可.【解答】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置,使得平面APC 1和平面ACC 1在同一平面内,过点P 作PN ⊥平面ABCD ,交AC 1于M ,垂足为N ,则PN 为MB 1+MN 的最小值. ∵ AB =2,BC =AA 1=√2,∴ AC 1=√4+2+2=2√2,AP =AB 1=√4+2=√6, ∵ sin∠C 1AC =CC1AC 1=√22√2=12,∴ ∠C 1AC =30∘,∴ ∠PAN =2∠C 1AC =60∘,∴ PN =AP ⋅sin∠PAN =√6⋅√32=3√22.∴ MB 1+MN 的最小值为3√22.在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E 为CC 1的中点,P ,Q 是正方体表面上相异两点,满足BP ⊥A 1E ,BQ ⊥A 1E .(1)若P ,Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内,则PQ 与BD 的位置关系是________;(2)|A 1P|的最小值为________. 【答案】 平行3√24【考点】点、线、面间的距离计算空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】(1)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能判断PQ 与BD 的位置关系.(2)当|A 1P|取最小值时,P 在平面A 1B 1C 1D 1内,设P(a, b, 1),推导出b =a +12,由此能求出|A 1P|的最小值. 【解答】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 则A 1(1, 0, 1),E(0, 1, 12),B(1, 1, 0),∵ P ,Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内,∴ 设P(a, b, 1),Q(m, n, 1),则A 1E →=(−1, 1, −12),BP →=(a −1, b −1, 1),BQ →=(m −1, n −1, 1),∵ BP ⊥A 1E ,BQ ⊥A 1E .∴ {BP →⋅A 1E →=−(a −1)+(b −1)−12=0BQ →⋅A 1E →=−(m −1)+(n −1)−12=0, 解得{b −a =12n −m =12 ,∴ PQ // BD ,即PQ 与BD 的位置关系是平行.故答案为:平行.当|A 1P|取最小值时,P 在平面A 1B 1C 1D 1内,设P(a, b, 1),由(1)得b =a +12,∴ |A 1P|=√(a −1)2+b 2=√(a −1)2+(a +12)2=√2a 2−a +54=√2(a −14)2+98,∴ 当a =14,即P(14, 34, 1)时,|A 1P|的最小值为3√24.故答案为:3√24.若不等式[2x (t −1)−1]•log a4x−14t ≥0对任意的正整数x 恒成立(其中a ∈R ,且a >1),则t 的取值范围是________54≤t ≤32 . 【答案】 54≤t ≤32 【考点】 函数恒成立问题 【解析】原不等式等价于{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t≤0 即{t ≥1+12xt ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②,进而求解; 【解答】原不等式等价于: {2x (t −1)−1≥0log a4x−14t≥0或{2x (t −1)−1≤0log a4x−14t ≤0即{t ≥1+12x t ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②,注意到x =1时,②成立,此时34≤t ≤32;当x ∈Z ,x ≥2时,①成立,在①中,1+12x ≤t ≤x −14,又g(x)=x −12x −54为单调所以,要使{t ≥1+12xt ≤x −14 对x ∈Z ,x ≥2成立,只需x =2时成立,又x =2时,54≤t ≤74, 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立, 则t 的取值范围是:54≤t ≤32,三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若cosC =35,且CB →⋅CA →=92,求△ABC 的面积;(2)设向量x →=(2sin B2, √3),y →=(cosB, cos B2),且x → // y →,b =2,求a +c 的取值范围. 【答案】由CB →⋅CA →=92,得abcosC =92.又因为cosC =35,所以ab =92cosC =152.又C 为△ABC 的内角,所以sinC =45. 所以△ABC 的面积S =12absinC =3.因为x → // y →,所以2sin B2cos B 2=√3cosB ,即sinB =√3cosB .因为cosB ≠0,所以tanB =√3. 因为B 为三角形的内角,0<B <π,所以B =π3. 由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3,所以a =√3,c =√3,所以a +c =√3+sinC),又A +C =2π3,所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)=4sin(C +π6),又0<C <2π3,所以π6<C +π6<5π6,所以∈(2, 4].【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】(1)由CB →⋅CA →=92,得ab =152.可得△ABC 的面积S =12absinC =3. (2)由x → // y →,可得B =π3.由正弦定理可得a =√3,c =√3,则a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)=4sin(C +π6),即可求解.由CB →⋅CA →=92,得abcosC =92.又因为cosC =35,所以ab =92cosC =152.又C 为△ABC 的内角,所以sinC =45. 所以△ABC 的面积S =12absinC =3.因为x → // y →,所以2sin B2cos B 2=√3cosB ,即sinB =√3cosB .因为cosB ≠0,所以tanB =√3. 因为B 为三角形的内角,0<B <π,所以B =π3. 由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3,所以a =√3,c =√3,所以a +c =√3+sinC),又A +C =2π3,所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)=4sin(C +π6),又0<C <2π3,所以π6<C +π6<5π6,所以∈(2, 4].如图,在四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 中,BC // AD ,且AD =2BC ,O ,E 分别为AD ,PD 中点.(1)设平面PAB ∩平面PCD =l ,请作图确定l 的位置并说明你的理由;(2)若Q 为直线CE 上任意一点,证明:OQ // 平面PAB . 【答案】分别延长AB 和DC 交于点R ,连接PR ,则直线PR 就是l 的位置; R ∈AB ⊂平面PAB ,R ∈CD ⊂平面PCD ,所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点, 由公理1可知,过P 、R 的直线就是两个平面的交线l . 证明:连接OE 、OC ,因为BC // AD ,且BC =12AD , 又AO =12AD ,所以BC // AO ,且BC =AO ,所以四边形ABCO 为平行四边形, 所以OC // AB ,则OC // 平面PAB ; 又OE 为△PAD 的中位线,则OE // AP , 所以OE // 平面PAB ,又OE⊂平面OEC,OC⊂平面OEC,且OE∩OC=O,所以平面PAB // 平面OEC,又OQ⊂平面OEC,所以OQ // 平面PAB.【考点】直线与平面平行【解析】(1)分别延长AB和DC交于点R,连接PR,直线PR就是交线l的位置;根据平面公理即可得出结论;(2)连接OE、OC,证明OC // 平面PAB,OE // 平面PAB,得出平面PAB // 平面OEC,证得OQ // 平面PAB.【解答】分别延长AB和DC交于点R,连接PR,则直线PR就是l的位置;R∈AB⊂平面PAB,R∈CD⊂平面PCD,所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点,由公理1可知,过P、R的直线就是两个平面的交线l.AD,证明:连接OE、OC,因为BC // AD,且BC=12AD,所以BC // AO,又AO=12且BC=AO,所以四边形ABCO为平行四边形,所以OC // AB,则OC // 平面PAB;又OE为△PAD的中位线,则OE // AP,所以OE // 平面PAB,又OE⊂平面OEC,OC⊂平面OEC,且OE∩OC=O,所以平面PAB // 平面OEC,又OQ⊂平面OEC,所以OQ // 平面PAB.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n−na n=3n(n∈N∗),且a2=5.(1)证明数列{a n}为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)设b n=a a+a a,T n为数列{b n}的前n项和,求使T n>√3成立的最小正整10数n的值.【答案】当n≥2时,2S n−1−(n−1)a n−1=3(n−1),又2S n−na n=3n,相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n=3,当n≥3时,(n−2)a n−2−(n−3)a n−1=3,所以(n−1)a n−1−(n−2)a n=(n−2)a n−2−(n−3)a n−1,可得2a n−1=a n−2+a n,所以{a n}为等差数列.又2S1−a1=3,且a1=S1,得a1=3,又a2=5,所以{a n}为公差为2的等差数列,则a n=2n+1;b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 22n+1⋅2n+3=12(2n+12n+3),T n=12(√3√5√5−√7√7−13+13−√11+⋯√2n+1√2n+3)=12(√3√2n+3),要使T n>√310成立,即12(√3√2n+3)>√310,解得n>638,所以最小正整数n的值为8.【考点】数列递推式数列的求和【解析】(1)运用数列的递推式,两次将n换为n−1,相减,结合等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;(2)求得b n=√a⋅√a(√a+√a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+12√2n+1⋅√2n+3=1 2(2n+12n+3),再由数列的裂项相消求和,以及不等式的解法,可得所求最小值.【解答】当n≥2时,2S n−1−(n−1)a n−1=3(n−1),又2S n−na n=3n,相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n=3,当n≥3时,(n−2)a n−2−(n−3)a n−1=3,所以(n−1)a n−1−(n−2)a n=(n−2)a n−2−(n−3)a n−1,可得2a n−1=a n−2+a n,所以{a n}为等差数列.又2S1−a1=3,且a1=S1,得a1=3,又a2=5,所以{a n}为公差为2的等差数列,则a n=2n+1;b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 2√2n+1⋅√2n+3=12(√2n+1√2n+3),T n=12(355−77−13+13−11+⋯2n+12n+3)=12(32n+3),要使T n>√310成立,即12(√3√2n+3)>√310,解得n>638,所以最小正整数n的值为8.对于函数f(x),若存在实数对(m, n),使得等式f(m+x)⋅f(m−x)=n对定义域中的每一个x都成立,则称函数f(x)是“(m, n)型函数”.(1)判断函数f(x)=√x是否为“(m, n)型函数”,并说明理由;(2)①若函数g(x)是“(1, 4)型函数”,已知g(0)=1,求g(2);②若函数g(x)是“(1, 4)型函数”,且当x∈[0, 1]时,g(x)=x2−a(x−1)+1(a>0),若当x∈[0, 2]时,都有1≤g(x)≤4成立,试求a的取值范围.【答案】√m+x⋅√m−x=√m2−x2=n,则x2=m2−n2不可能恒成立,所以f(x)=x不是““(m, n)型函数”;①由题意,g(x+1)g(1−x)=4,取x=1,则g(2)g(0)=4,又g(0)=1,所以g(2)=4.②方法一:∵(x+1)g(1−x)=4,所以g(x)g(2−x)=4.当x∈[0, 1]时,2−x∈[1, 2]时,g(2−x)=4g(x)=4x2−a(x−1)+1=4x2−ax+a+1.(a)当0<a<1时,0<a2<12,则g(x)在[0, 1]内先减后增,且g(a2≤g(x)≤41+a−a24,即1+a−14a2≤g(x)≤2,则当x∈[1, 2]时,2≤g(x)≤41+a−14a2.所以当x∈[0, 2]时,1+a−14a2≤g(x)≤41+a−14a2,由题意,{1+a−14a2≥141+a−14a2≤4,解得0≤a≤4,所以0<a<1.(b)当1≤a<2时,12≤a2<1,则g(x)在][0, 1]内先减后增,且g(a2)≤g(x)≤g(0),即1+a−14a2≤g(x)≤1+a,则当x∈[1, 2]时,41+a ≤g(x)≤41+a−14a2.要满足题意,则应满足{41+a≥11+a−a24≥1,且{1+a≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33,所以1≤a<2.(c)当a≥2时,a2≥1,则g(x)在[0, 1]内递减,且g(1)≤g(x)≤g(0),即2≤g(x)≤1+a,则当x∈[1, 2]时,41+a ≤g(x)≤2.此时,g(x)min=41+a,g(x)min=1+a.要满足条件,则应{41+a≥11+a≤4,解得a≤3,所以2≤a≤3.综上所述,0<a≤3.方法二:当x∈[0, 2]时,都有1≤g(x)≤4成立,所以当x∈[1, 2]时,1≤g(x)≤4;当x∈[0, 1]时,2−x∈[1, 2]时,所以g(2−x)∈[1, 4],而g(x)g(2−x)=4,所以1≤4g(x)≤4,即1≤g(x)≤4,所以问题转化为当x∈[0, 1]时,1≤g(x)≤4即可.当x∈[0, 1]时,g(x)=x2−a(x−1)+1(a>0),.(1)当0<a2<1,即0<a<2时,{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4,解得0≤a ≤3,所以0<a <2;(2)当a 2≥1,即a ≥2时,只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3,所以2<a ≤3; 综上所述,0<a ≤3. 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】(1)√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ,则x 2=m 2−n 2不可能恒成立,即可判定; (2)①由g(x +1)g(1−x)=4,取x =1,则g(2)g(0)=4,即可求得g(2)=4. ②方法一:可得当x ∈[0, 1]时,2−x ∈[1, 2]时,g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1.(a)当0<a <1时,(b)当1≤a <2时,(c)当a ≥2时讨论即可方法二:当x ∈[1, 2]时,1≤g(x)≤4;当x ∈[0, 1]时,2−x ∈[1, 2]时,所以g(2−x)∈[1, 4],而g(x)g(2−x)=4,所以1≤4g(x)≤4,即1≤g(x)≤4,问题转化为当x ∈[0, 1]时,1≤g(x)≤4即可. 【解答】√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ,则x 2=m 2−n 2不可能恒成立,所以f(x)=x 不是““(m, n)型函数”;①由题意,g(x +1)g(1−x)=4,取x =1,则g(2)g(0)=4,又g(0)=1,所以g(2)=4.②方法一:∵ (x +1)g(1−x)=4,所以g(x)g(2−x)=4.当x ∈[0, 1]时,2−x ∈[1, 2]时,g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1.(a)当0<a <1时,0<a 2<12,则g(x)在[0, 1]内先减后增,且g(a 2≤g(x)≤41+a−a 24,即1+a −14a 2≤g(x)≤2,则当x ∈[1, 2]时,2≤g(x)≤41+a−14a 2.所以当x ∈[0, 2]时,1+a −14a 2≤g(x)≤41+a−14a 2,由题意,{1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 ,解得0≤a ≤4,所以0<a <1.(b)当1≤a <2时,12≤a2<1,则g(x)在][0, 1]内先减后增,且g(a2)≤g(x)≤g(0),即1+a −14a 2≤g(x)≤1+a ,则当x ∈[1, 2]时,41+a ≤g(x)≤41+a−14a 2.要满足题意,则应满足{41+a ≥11+a −a 24≥1,且{1+a ≤441+a−a24≤4 解得0≤a ≤33,所以1≤a <2.(c)当a ≥2时,a2≥1,则g(x)在[0, 1]内递减,且g(1)≤g(x)≤g(0),即2≤g(x)≤1+a ,则当x ∈[1, 2]时,41+a ≤g(x)≤2.此时,g(x)min =41+a ,g(x)min =1+a .要满足条件,则应{41+a≥11+a ≤4,解得a ≤3,所以2≤a ≤3. 综上所述,0<a ≤3.方法二:当x ∈[0, 2]时,都有1≤g(x)≤4成立,所以当x ∈[1, 2]时,1≤g(x)≤4;当x ∈[0, 1]时,2−x ∈[1, 2]时,所以g(2−x)∈[1, 4], 而g(x)g(2−x)=4,所以1≤4g(x)≤4,即1≤g(x)≤4, 所以问题转化为当x ∈[0, 1]时,1≤g(x)≤4即可.当x ∈[0, 1]时,g(x)=x 2−a(x −1)+1(a >0),.(1)当0<a2<1,即0<a <2时,{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4,解得0≤a ≤3,所以0<a <2;(2)当a2≥1,即a ≥2时,只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3,所以2<a ≤3; 综上所述,0<a ≤3.如图,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,∠A =120∘,M 为线段BC 的中点,D 为线段BC 上一点,且BD =BA ,沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC′,使AC′⊥BD ,记二面角C′−AD −B 的平面角为α.(1)证明:平面△AMC′⊥平面ABD ;(2)比较∠C′DB 与α的大小,并证明你的结论;(3)求cosα的值. 【答案】证明:∵ AM ⊥BD ,BD ⊥AC′,AM ∩AC′=A , ∴ BD ⊥平面AMC′,∵ BD ⊂平面ABD ,∴ 平面△AMC′⊥平面ABD .如图,在△C′AM 所在平面内,过点C′作C′P ⊥AM ,垂足为P , 则C′P ⊥平面ABD ,过P 作PQ ⊥AD ,连接C′Q , 则C′Q ⊥AQ ,∠C′QP =α.又QC′是由QC 翻折得到, ∴ ∠C′QP =α=2∠C′CQ ,且∠C′CQ 就是直线C′C 与平面ABC 所成的角.同理,又C′D是由DC翻折得到,∴∠C′DB=2∠C′CD.由线面角的最小性可知,∠C′CD>∠C′CQ,∴∠C′DB>α.如图,在△C′AM中,过点C′作AM的垂线,垂足为P,过P作AD的垂线,垂足为Q.平面AMC′⊥平面BCD,交线为AM,C′P⊥平面ABD,又PQ⊥AD,∴CQ⊥AD.∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角.设AB=AC=BD=4,则BM=MC=2√3,MD=4−2√3,CD=4√3−4=C′D,在直角△C′DM中,C′M2=C′D2−DM2=36−16√3.【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】(1)推导出AM⊥BD,BD⊥AC′,从而BD⊥平面AMC′,由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD.(2)过点C′作C′P⊥AM,垂足为P,则C′P⊥平面ABD,过P作PQ⊥AD,连接C′Q,则C′Q⊥AQ,∠C′QP=α.QC′是由QC翻折得到,从而∠C′QP=α=2∠C′CQ,且∠C′CQ 就是直线C′C与平面ABC所成的角.同理,∠C′DB=2∠C′CD.由此能证明∠C′DB>α.(3)在△C′AM中,过点C′作AM的垂线,垂足为P,过P作AD的垂线,垂足为Q.推导出∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角.由此能求出cosα的值.【解答】证明:∵AM⊥BD,BD⊥AC′,AM∩AC′=A,∴BD⊥平面AMC′,∵BD⊂平面ABD,∴平面△AMC′⊥平面ABD.如图,在△C′AM所在平面内,过点C′作C′P⊥AM,垂足为P,则C′P⊥平面ABD,过P作PQ⊥AD,连接C′Q,则C′Q⊥AQ,∠C′QP=α.又QC′是由QC翻折得到,∴∠C′QP=α=2∠C′CQ,且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角.同理,又C′D是由DC翻折得到,∴∠C′DB=2∠C′CD.由线面角的最小性可知,∠C′CD>∠C′CQ,∴∠C′DB>α.如图,在△C′AM中,过点C′作AM的垂线,垂足为P,过P作AD的垂线,垂足为Q.平面AMC′⊥平面BCD,交线为AM,C′P⊥平面ABD,又PQ⊥AD,∴CQ⊥AD.∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角.设AB=AC=BD=4,则BM=MC=2√3,MD=4−2√3,CD=4√3−4=C′D,在直角△C′DM中,C′M2=C′D2−DM2=36−16√3.。
浙江省杭州学军中学高二上学期期中考试(数学理)【考生须知】1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答; 2.本科考试时间为100分钟,满分为100分.3.考生考试时禁止使用计算器.一.选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分.)1.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A 3B 9C 17D 512.某公司生产三种型号的轿车,产量分别是1600辆、6000辆和辆,为检验公司的产品质量,现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取( )A 16,16,16B 8,30,10C 4,33,11D 12,27,9 3.若右面框图表示的程序所输出的结果是13?处应填( )A 10<kB 10≤kC 9≥kD 9>k4.如图是元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A 84,4.84 B 84,1.6C 85,1.6D 85,45.使用秦九韶算法计算2=x 时56)(6+=x x f 的值,所要进行的乘法和加法的次数分别为( )A 6,1B 1,1C 6,6D 1,676.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足12PF PF ⊥,则12F PF ∆的面积是( )A 2B 1 CD7.下列各对双曲线中,既有相同的离心率,又有相同渐近线的是 ( ) A 2213x y -=与22193x y -= B 2213x y -=与2213x y -=C 2213x y -=与2213y x -= D 2213x y -=与22139y x -= 8.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点,过AB 中点M与坐标原点的直线的斜率为2,则mn的值为( ) A2B3 C 1 D 29.以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点,则该椭圆的离心率为( ) A3210- B315- C215- D2210- 10.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )A 2B 3C 115D 3716二.填空题(本大题有5小题,每小题4分,共请将答案写在答题卷上) 11.已知x 、y 的取值如下表:从散点图分析,y 与x 线性相关,且回归方程为0.95y x a =+,则a = 12.抛物线24x y =的焦点坐标是13.若双曲线2221613x y p-=(p >0)的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为 14.已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的焦点为1F ,2F .以|21F F |为直径的圆与椭圆有公共点,则椭圆的离心率e 的取值范围是_ _15. 设1F 、2F 是双曲线224x y -=的两焦点,Q 是双曲线上任意一点,从1F 引12FQF ∠平分线的垂线,垂足为P ,则点P 的轨迹方程是三.解答题(本大题有5小题, 共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. 某市十所重点中学进行高三联考,共有5000名考生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:(1)根据上面频率分布表,推出①,②,③,④处的数值分别为 ,, , ;(2)在所给的坐标系中画出区间[80,150]上的频率分布直方图(画在上面的坐标系中); (3)根据题中信息估计总体:(ⅰ)1以上的学生数;(ⅱ)成绩落在[126,150]中的概率. 17. 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点. (1)求椭圆E 的方程:(2)若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点,(1,0),(1,0)F H -,当DFH 内切圆的面积最大时。
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷试题数:22.满分:1501.(单选题.4分)圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是()SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS2.(单选题.4分)若直线l与平面α相交.则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直3.(单选题.4分)已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是()A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β4.(单选题.4分)如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为()A.12B.6C.4D.无法确定5.(单选题.4分)四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为()A. √14B. √142C.3 √2D. 3√226.(单选题.4分)某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为()A. √19B. √22C.5D.2 √77.(单选题.4分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为()A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化8.(单选题.4分)一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示.由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是()边形A.3B.4C.5D.69.(单选题.4分)已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=(cos1.5)sin1.5.d=(sin1.5)cos1.5.则a.b.c.d的大小关系为()A.b<c<d<aB.b<d<c<aC.d<b<c<aD.d<c<b<a10.(单选题.4分)已知集合A={x|x2-x-6>0}.B={x|x2-3ax+4≤0}.若a>0.且A∩B中恰好有两个整数解.则a的取值范围是()A.[ 2915,209)B.(2915,209)C.[ 139,209)D.(53,209)11.(填空题.6分)棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.则异面直线EF 与AB所成的角大小是 ___ .线段EF的长度为 ___ .12.(填空题.4分)二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ .13.(填空题.6分)正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ;若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ .14.(填空题.6分)若f(x)= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f(1-x2)+f(3x+9)<0的解集为___ .15.(填空题.4分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点.若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ .16.(填空题.6分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E.(1)若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ;(2)|A1P|的最小值为___ .17.(填空题.4分)若不等式[2x(t-1)-1]•log a4x−14t≥0对任意的正整数x恒成立(其中a∈R.且a>1).则t的取值范围是___ .18.(问答题.14分)在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.(1)若cosC= 35 .且CB⃗⃗⃗⃗⃗ •CA⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC的面积;(2)设向量x =(2sin B2 . √3). y =(cosB.cos B2).且x || y .b=2.求a+c的取值范围.19.(问答题.15分)如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点.(1)设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由;(2)若Q为直线CE上任意一点.证明:OQ || 平面PAB.20.(问答题.15分)已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n=3n(n∈N*).且a2=5.(1)证明数列{a n}为等差数列.并求{a n}的通项公式;(2)设b n=a√a+a√a .T n为数列{b n}的前n项和.求使T n>√310成立的最小正整数n的值.21.(问答题.15分)对于函数f(x).若存在实数对(m.n).使得等式f(m+x)•f(m-x)=n 对定义域中的每一个x都成立.则称函数f(x)是“(m.n)型函数”.(1)判断函数f(x)= √x是否为“(m.n)型函数”.并说明理由;(2)① 若函数g(x)是“(1.4)型函数”.已知g(0)=1.求g(2);② 若函数g(x)是“(1.4)型函数”.且当x∈[0.1]时.g(x)=x2-a(x-1)+1(a>0).若当x∈[0.2]时.都有1≤g(x)≤4成立.试求a的取值范围.22.(问答题.15分)如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α.(1)证明:平面△AMC′⊥平面ABD;(2)比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论;(3)求cosα的值.2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析试题数:22.满分:1501.(单选题.4分)圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是()SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS【正确答案】:B【解析】:根据圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径.代入侧面积公式计算.【解答】:解:∵圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.∴圆柱的母线长为√S .底面圆的直径为√S .∴圆柱的侧面积S=π× √S × √S=πS.故选:B.【点评】:本题考查了圆柱的侧面积及轴截面.属于基础题.2.(单选题.4分)若直线l与平面α相交.则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【正确答案】:D【解析】:α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面.判断A错误;α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.判断B错误;α内不存在与直线l平行的直线.判断C错误;画出图形.结合图形判断D正确.【解答】:解:对于A.α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线.∴A错误;对于B.α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.且这些直线与直线l都是共面直线.∴B错误;对于C.α内不存在与直线l平行的直线.∴C错误;对于D.如图所示.直线PA与平面α交于点A.PO⊥α.则OA是PA在α内的射影.在α内作直线l⊥OA.则l⊥PA.这样的直线l有无数条.∴D正确.故选:D.【点评】:本题考查了直线与平面位置关系的应用问题.是基础题.3.(单选题.4分)已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是()A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β【正确答案】:B【解析】:A.由α || β.m⊂α.n⊂β.可知m与n无公共点.即可判断出正误;B.由m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.即可得出α与β的位置关系;C.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确;D.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.可得n与β的三种位置关系都有可能.【解答】:解:A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || n或为异面直线.因此不正确;B.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || β.正确;C.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确;D.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊂β.或n || β.或n与β相交.因此不正确.故选:B.【点评】:本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题.4.(单选题.4分)如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为()A.12B.6C.4D.无法确定【正确答案】:B【解析】:由已知求得四棱锥A′-BCC′B′的体积.结合V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′.可得V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′.从而求得三棱柱ABC-A′B′C′的体积.【解答】:解:∵侧面B′BCC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.∴V四棱锥A′-BCC′B′= 13×4×3=4.∵ V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′.∵V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′.∴ 2 3V三棱柱ABC−A′B′C′=V四棱锥A′−BCC′B′=4.∴V三棱柱ABC-A′B′C′=6.故选:B.【点评】:本题考查了棱锥的体积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题.5.(单选题.4分)四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为()B. √142C.3 √2D. 3√22【正确答案】:D【解析】:把四面体ABCD 放到长方体中.不难发现AB=CD=2.其余棱长均为4正好是长方体的对角线.从而即可求解四面体外接球半径【解答】:解:四面体ABCD 放到长方体中.AB=CD=2.其余AC=BC=AD=DB=4设长方体的边长分别为a.b.c .则 {a 2+b 2=4b 2+c 2=16a 2+c 2=16.解得a 2+b 2+c 2=18.四面体外接球半径:2R=3 √2 .R=3√22. 故选:D .【点评】:本题考查外接球的半径的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养.6.(单选题.4分)某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为( )A. √19B. √22C.5【正确答案】:B【解析】:画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的最长棱长.【解答】:解:由题意可知几何体是正方体的一部分.是四棱锥P-ABCD.正方体的棱长为3.P是所在棱的3等分点.PB= √32+32+22 = √22 .PA= √32+22 = √13 .PC= √32+32+12 = √19 .所以最长棱长为PB. √22.故选:B.【点评】:本题考查三视图求解几何体的棱长.考查转化思想以及空间想象能力.7.(单选题.4分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为()A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化【正确答案】:C【解析】:推导出C1M⊥MN.C1M⊥CB1.C1D1⊥B1C.从而B1C⊥平面C1D1M.由A1D || B1C.得A1D⊥平面C1D1M.由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小.【解答】:解:如图所示:∵M、N分别是棱BB1、BC的中点.∴MN || CB1.∵M在以C1N为直径的圆上.∴∠C1MN=90°.∴C1M⊥MN.∴C1M⊥CB1.由长方体的几何特征.我们可得C1D1⊥B1C.∴B1C⊥平面C1D1M.∵A1D || B1C.∴A1D⊥平面C1D1M.∴A1D⊥D1M.即异面直线A1D与D1M所成的角为90°.故选:C.【点评】:本题考查的知识点是异面直线及其所成的角.其中根据线面垂直的判定定理及性质定理.将问题转化为线线垂直的判定是解答本题的关键.8.(单选题.4分)一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示.由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是()边形A.3B.4C.5D.6【正确答案】:C【解析】:画出过P.Q.R三点的平面与正方体容器ABCD-A1B1C1D1的截面得答案.【解答】:解:如图.连接QR并延长.分别交AA1.AB的延长线与E.F.连接PE交A1D1于G.连接PF交BC于H.连接PH.QH.GR.则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状.故选:C.【点评】:本题考查柱、锥、台的结构特征.考查了空间线面的位置关系.考查空间想象能力和思维能力.正确画出截面图是关键.是中档题.9.(单选题.4分)已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=(cos1.5)sin1.5.d=(sin1.5)cos1.5.则a.b.c.d 的大小关系为( )A.b <c <d <aB.b <d <c <aC.d <b <c <aD.d <c <b <a【正确答案】:A【解析】:因为 π3 <1.5< π2 .所以 √32 <sin1.5<1;0<cos1.5< 12.注意到四个答案里都是a 最大.主要比较c 与d 的大小关系即可;找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5>cos1.5.可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5;由y=x sin1.5是(0.+∞)上的增函数.sin1.5>cos1.5.可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5;故c <d.只有A 答案合适.【解答】:解:因为 π3 <1.5< π2 .所以 √32 <sin1.5<1;0<cos1.5< 12 .∴a > √32 .0<b < 12 ;∴b <a ;找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5>cos1.5.可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5;由y=x sin1.5是(0.+∞)上的增函数.sin1.5>cos1.5.可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5;故c <d.只有A 答案合适.故选:A .【点评】:本题考查了大小关系比较.利用指数函数与幂函数的单调性.构造中间量a a 或b b .可比较a b 与b a 形式的数的大小关系.及排除法解决选择题.属于中档题.10.(单选题.4分)已知集合A={x|x 2-x-6>0}.B={x|x 2-3ax+4≤0}.若a >0.且A∩B 中恰好有两个整数解.则a 的取值范围是( )A.[ 2915,209 )B.( 2915,209 ) C.[ 139,209 ) D.( 53,209 ) 【正确答案】:A【解析】:可以求出集合A=(-∞.-2)∪(3.+∞).可令f (x )=x 2-3ax+4.根据a >0及△>0即可得出 a >43 .并且求出 B =[3a−√9a 2−162,3a+√9a 2−162] .可得出 0<3a−√9a 2−162<2 .从而得出要使A∩B 中恰好有两个整数解.只能是4和5.从而可得出 {f (4)≤0f (5)≤0f (6)>0.解出a 的范围即可.【解答】:解:A=(-∞.-2)∪(3.+∞).令f (x )=x 2-3ax+4.由题意.△=9a 2-16>0.且a >0.∴解得 a >43 . B =[3a−√9a 2−162,3a+√9a 2−162] . 又 0<3a−√9a 2−162=3a+√9a 2−162 .∴要使A∩B 中恰好有两个整数解.则只能是4和5.∴ {f (4)=16−12a +4≤0f (5)=25−15a +4≤0f (6)=36−18a +4>0 .解得 2915≤a <209 .∴a 的取值范围是 [2915,209) . 故选:A .【点评】:考查描述法、区间表示集合的定义.一元二次方程和一元二次不等式的解法.以及元素与集合的关系.减函数的定义.11.(填空题.6分)棱长为a 的正四面体ABCD 中.E.F 分别为棱AD.BC 的中点.则异面直线EF 与AB 所成的角大小是 ___ .线段EF 的长度为 ___ .【正确答案】:[1] π4 ; [2] √22 a【解析】:取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∠EFG是异面直线EF与AB所成的角(或所成角的补角).由此能求出异面直线EF与AB所成的角大小和线段EF的长度.【解答】:解:棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角(或所成角的补角).BE=CE= √a2−(a2)2= √3a2.EF= √(√3a2)2−(a2)2= √2a2.cos∠EFG= EF2+GF2−EG22×EF×GF =a22+a24−a242×√2a2×a2= √22.∴∠EFG= π4.∴异面直线EF与AB所成的角大小是π4 .线段EF的长度为√22a.故答案为:π4 . √22a.【点评】:本题考查异面直线所成角的大小、线段长的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是基础题.12.(填空题.4分)二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ .【正确答案】:[1] √104【解析】:根据二面角和直线和平面所成角的定义.先作出对应的平面角.结合三角形的边角关系进行求解即可.【解答】:解:过点A作平面β的垂线.垂足为C.在β内过C作l的垂线.垂足为D.连结AD.根据三垂线定理可得AD⊥l.因此.∠ADC为二面角α-l-β的平面角.∠ADC=60°又∵AB与l所成角为45°.∴∠ABD=45°连结BC.可得BC为AB在平面β内的射影.∴∠ABC为AB与平面β所成的角.设AD=2x.则Rt△ACD中.AC=ADsin60°= √3 x.Rt△ABD中.AB= ADsin45°=2 √2x .BC= √(2√2x)2−(√3x)2 = √5x .∴Rt△ABC中.cos∠ABC= BCAB = √5x2√2x= √104.故答案为:√104.【点评】:本题主要考查线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识.13.(填空题.6分)正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ;若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ .【正确答案】:[1]2 √3 ; [2] √6 -2【解析】:求出底面的面积.利用体积公式带入即可.要求内切球半径.根据横截面图.利用三角形相似得出r.【解答】:解:底面等边三角形的面积S= √34•(2√6)2 = 6√3 .所以V= 13•6√3•1=2√3 .设内切球的球心为O.半径为r.则在O与底面的中心M.BM= 2√6•√32•13=√2 .OE=r.OA=1-r.侧面斜边的高AB= √1+OM2=√3由△AOE∽△ABM.得相似得rBM =1−rAB.√2=√3. r(√3+√2)=√2 .所以r=√6−2.故答案为:√6 -2.【点评】:考察正三棱锥的体积.内切球的半径.中档题.14.(填空题.6分)若f(x)= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f(1-x2)+f(3x+9)<0的解集为___ .【正确答案】:[1]1; [2](-2.5)【解析】:含有参数的函数奇偶性问题.要利用常见的结论.通过赋值法解决;第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质.【解答】:解:∵f(x)为奇函数.∴f(0)=0.即a−4020−3×0=0 .∴a=1.∴ f(x)=1−4x2x =12x−2x,∵ 12x减函数,−2x也为减函数 .∴f(x)为减函数.且为奇函数∵f(1-x2)+f(3x+9)<0.∴f(1-x2)<-f(3x+9)=f(-3x-9).∴1-x2>-3x-9.∴-2<x<5.故不等式的解集为(-2.5).故答案为:1.(-2.5).【点评】:第一问是常规问题.注意函数定义域即可;第二问要利用函数是奇函数.把不等式的表达形式变形.15.(填空题.4分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点.若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ .【正确答案】:[1] 3√22【解析】:将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值.利用勾股定理解出即可.【解答】:解:将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.过点P作PN⊥平面ABCD.交AC1于M.垂足为N.则PN为MB1+MN的最小值.∵AB=2.BC=AA1= √2 .∴AC1= √4+2+2 =2 √2 .AP=AB1= √4+2 = √6 .∵sin∠C1AC= CC1AC1 = √22√2= 12.∴∠C1AC=30°.∴∠PAN=2∠C1AC=60°.∴PN=AP•sin∠PAN= √6•√32 = 3√22.∴MB1+MN的最小值为3√22.故答案为:3√22.【点评】:本题考查了空间距离的计算.将两线段转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路.属于中档题.16.(填空题.6分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E.(1)若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ;(2)|A1P|的最小值为___ .【正确答案】:[1]平行; [2] 3√24【解析】:(1)以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能判断PQ与BD的位置关系.(2)当|A1P|取最小值时.P在平面A1B1C1D1内.设P(a.b.1).推导出b=a+ 12.由此能求出|A1P|的最小值.【解答】:解:(1)以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD 1为z 轴.建立空间直角坐标系. 则A 1(1.0.1).E (0.1. 12 ).B (1.1.0). ∵P .Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内.∴设P (a.b.1).Q (m.n.1).则 A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1.1.- 12 ). BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1.b-1.1). BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1.n-1.1). ∵BP⊥A 1E.BQ⊥A 1E .∴ {BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(a −1)+(b −1)−12=0BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(m −1)+(n −1)−12=0 . 解得 {b −a =12n −m =12.∴PQ || BD .即PQ 与BD 的位置关系是平行. 故答案为:平行.(2)当|A 1P|取最小值时.P 在平面A 1B 1C 1D 1内.设P (a.b.1).由(1)得b=a+ 12 .∴|A 1P|= √(a −1)2+b 2 = √(a−1)2+(a +12)2 = √2a 2−a +54 = √2(a −14)2+98 .∴当a= 14 .即P ( 14 . 34 .1)时.|A 1P|的最小值为3√24. 故答案为:3√24 .【点评】:本题考查两直线位置关系的判断.考查两点间距离的最小值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题.17.(填空题.4分)若不等式[2x (t-1)-1]•log a 4x−14t≥0对任意的正整数x 恒成立(其中a∈R .且a >1).则t 的取值范围是___ .【正确答案】:[1] 54≤t ≤32【解析】:原不等式等价于 {2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② .进而求解;【解答】:解:原不等式等价于:{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或 {2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② . 注意到x=1时. ② 成立.此时 34 ≤t≤ 32 ;当x∈Z .x≥2时. ① 成立.在 ① 中.1+ 12x ≤t≤x - 14 .又g (x )=x- 12x - 54 为单调递增函数.所以.要使 {t ≥1+12x t ≤x −14对x∈Z .x≥2成立.只需x=2时成立.又x=2时. 54 ≤t≤ 74 . 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立.则t 的取值范围是: 54 ≤t≤ 32 .故答案为: 54 ≤t≤ 32 .【点评】:考查不等式的性质.求解.函数单调性.转化思想;18.(问答题.14分)在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c .(1)若cosC= 35 .且 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC 的面积; (2)设向量 x =(2sin B 2 . √3 ). y =(cosB.cos B 2 ).且 x || y .b=2.求a+c 的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1)由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得ab= 152 .可得△ABC 的面积S= 12 absinC=3. (2)由 x || y .可得B= π3 .由正弦定理可得a=√3 .c= √3 .则a+c= √3(2π3−C)+sinC] =4(cosC+√32sinC )=4sin (C+ π6).即可求解. 【解答】:解(1)由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得abcosC= 92. 又因为cosC= 35 .所以ab= 92cosC = 152 .又C为△ABC的内角.所以sinC= 45.所以△ABC的面积S= 12absinC=3.(2)因为x || y .所以2sin B2 cos B2= √3 cosB.即sinB= √3 cosB.因为cosB≠0.所以tanB= √3.因为B为三角形的内角.0<B<π.所以B= π3.由正弦定理asinA =csinC=bsinB= 4√3.所以a= 4sinA√3.c= 4sinC√3.所以a+c= 4√3(sinA+sinC) .又A+C= 2π3.所以a+c= 4√3[sin(2π3−C)+sinC] =4(cosC+ √32sinC)=4sin(C+ π6).又0 <C<2π3 .所以π6<C+ π6<5π6.所以∈(2.4].【点评】:本题考查了正弦定理、三角恒等变形.属于中档题.19.(问答题.15分)如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点.(1)设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由;(2)若Q为直线CE上任意一点.证明:OQ || 平面PAB.【正确答案】:【解析】:(1)分别延长AB和DC交于点R.连接PR.直线PR就是交线l的位置;根据平面公理即可得出结论;(2)连接OE、OC.证明OC || 平面PAB.OE || 平面PAB.得出平面PAB || 平面OEC.证得OQ || 平面PAB.【解答】:(1)解:分别延长AB和DC交于点R.连接PR.则直线PR就是l的位置;R∈AB⊂平面PAB.R∈CD⊂平面PCD.所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点. 由公理1可知.过P 、R 的直线就是两个平面的交线l . (2)证明:连接OE 、OC.因为BC || AD.且BC= 12AD. 又AO= 12 AD.所以BC || AO.且BC=AO.所以四边形ABCO 为平行四边形. 所以OC || AB.则OC || 平面PAB ; 又OE 为△PAD 的中位线.则OE || AP. 所以OE || 平面PAB.又OE⊂平面OEC.OC⊂平面OEC.且OE∩OC=O . 所以平面PAB || 平面OEC. 又OQ⊂平面OEC. 所以OQ || 平面PAB .【点评】:本题考查了空间中的平行关系证明与应用问题.是基础题.20.(问答题.15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n -na n =3n (n∈N*).且a 2=5. (1)证明数列{a n }为等差数列.并求{a n }的通项公式; (2)设b n = a√a +a √a .T n 为数列{b n }的前n 项和.求使T n >√310 成立的最小正整数n 的值.【正确答案】:【解析】:(1)运用数列的递推式.两次将n 换为n-1.相减.结合等差数列的定义和通项公式.即可得到所求; (2)求得b n =√a •√a (√a +√a )=√2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 ( √2n+1-√2n+3).再由数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.可得所求最小值.【解答】:解:(1)当n≥2时.2S n-1-(n-1)a n-1=3(n-1).又2S n -na n =3n. 相减可得(n-1)a n-1-(n-2)a n =3.当n≥3时.(n-2)a n-2-(n-3)a n-1=3. 所以(n-1)a n-1-(n-2)a n =(n-2)a n-2-(n-3)a n-1.可得2a n-1=a n-2+a n .所以{a n }为等差数列.又2S 1-a 1=3.且a 1=S 1.得a 1=3.又a 2=5. 所以{a n }为公差为2的等差数列.则a n =2n+1; (2)b n = a√a +a √a = √a •√a (√a +√a ) = √2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 √2n+1 - √2n+3). T n = 12 ( √3 - √5 + √5 - √7 + √7 - 13 + 13 - √11 +…+ √2n+1 - √2n+3 )= 12 √3 - √2n+3).要使T n >√310 成立. 即 12 √3 -√2n+3 √310 .解得n > 638 .所以最小正整数n 的值为8.【点评】:本题考查数列的递推式的运用.考查等差数列的定义和性质、通项公式.考查数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.考查化简运算能力.属于中档题.21.(问答题.15分)对于函数f (x ).若存在实数对(m.n ).使得等式f (m+x )•f (m-x )=n 对定义域中的每一个x 都成立.则称函数f (x )是“(m.n )型函数”. (1)判断函数f (x )= √x 是否为“(m.n )型函数”.并说明理由; (2) ① 若函数g (x )是“(1.4)型函数”.已知g (0)=1.求g (2);② 若函数g (x )是“(1.4)型函数”.且当x∈[0.1]时.g (x )=x 2-a (x-1)+1(a >0).若当x∈[0.2]时.都有1≤g (x )≤4成立.试求a 的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1) √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.即可判定; (2) ① 由g (x+1)g (1-x )=4.取x=1.则g (2)g (0)=4.即可求得g (2)=4. ② 方法一:可得当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g (2-x )= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 . (a )当0<a <1时.(b )当1≤a <2时.(c )当a≥2时讨论即可方法二:当x∈[1.2]时.1≤g (x )≤4;当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g (2-x )∈[1.4].而g (x )g (2-x )=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g (x )≤4.问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g (x )≤4即可.【解答】:解:(1) √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.所以f (x )=x 不是““(m.n )型函数”;(2) ① 由题意.g (x+1)g (1-x )=4.取x=1.则g (2)g (0)=4.又g (0)=1.所以g (2)=4.② 方法一:∵g (x+1)g (1-x )=4.所以g (x )g (2-x )=4.当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g (2-x )= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 .(a )当0<a <1时.0< a2<12 .则g (x )在[0.1]内先减后增.且g ( a2 ≤g (x )≤41+a−a 24.即1+a-14a 2≤g (x )≤2. 则当x∈[1.2]时.2≤g (x ) ≤41+a−14a 2.所以当x∈[0.2]时.1+a- 14a 2 ≤g (x )≤41+a−14a 2.由题意. {1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 .解得0≤a≤4.所以0<a <1.(b )当1≤a <2时. 12≤a 2<1 .则g (x )在][0.1]内先减后增.且g ( a2 )≤g (x )≤g (0).即1+a- 14a 2 ≤g (x )≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤41+a−14a 2.要满足题意.则应满足 {41+a≥11+a −a 24≥1.且 {1+a ≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33.所以1≤a <2.(c )当a≥2时. a 2≥1.则g (x )在[0.1]内递减.且g (1)≤g (x )≤g (0).即2≤g (x )≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤2 .此时.g (x )min = 41+a .g (x )min =1+a .要满足条件.则应{41+a≥11+a ≤4.解得a≤3.所以2≤a≤3.综上所述.0<a≤3.方法二:当x∈[0.2]时.都有1≤g (x )≤4成立.所以当x∈[1.2]时.1≤g (x )≤4;当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g (2-x )∈[1.4].而g (x )g (2-x )=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g (x )≤4. 所以问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g (x )≤4即可.当x∈[0.1]时.g(x)=x2-a(x-1)+1(a>0).(1)当0<a2<1.即0<a<2时. {g(a2)=1+a−a24≥1g(0)=a+1≤4g(1)=2≤4.解得0≤a≤3.所以0<a<2;(2)当a2≥1 .即a≥2时.只要{g(0)=a+1≤4g(1)=2≥1解得a≤3.所以2<a≤3;综上所述.0<a≤3.【点评】:本题考查了函数的新定义.考查了函数的最值问题、分类讨论思想、转化思想.考查了分析问题的能力.属于难题.22.(问答题.15分)如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α.(1)证明:平面△AMC′⊥平面ABD;(2)比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论;(3)求cosα的值.【正确答案】:【解析】:(1)推导出AM⊥BD.BD⊥AC′.从而BD⊥平面AMC′.由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD.(2)过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α.QC′是由QC翻折得到.从而∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角.同理.∠C′DB=2∠C′CD.由此能证明∠C′DB>α.(3)在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线.垂足为Q.推导出∠C′QP 就是二面角C′-AD-B的平面角.由此能求出cosα的值.【解答】:解:(1)证明:∵AM⊥BD.BD⊥AC′.AM∩AC′=A.∴BD⊥平面AMC′.∵BD⊂平面ABD.∴平面△AMC′⊥平面ABD.(2)解:如图.在△C′AM所在平面内.过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α.又QC′是由QC翻折得到.∴∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角.同理.又C′D是由DC翻折得到.∴∠C′DB=2∠C′CD.由线面角的最小性可知.∠C′CD>∠C′CQ.∴∠C′DB>α.(3)解:如图.在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线. 垂足为Q.平面AMC′⊥平面BCD.交线为AM.C′P⊥平面ABD.又PQ⊥AD.∴CQ⊥AD.∴∠C′QP就是二面角C′-AD-B的平面角.△AMC中.∠MAD=15°.∠CAD=45°.作出二面角的平面角∠C1QP后.若将半平面C1AD摊平.则P.Q.C的连线与AD垂直.且cos∠C′QP= PQQC1 = PQQC= PQAQ=tan∠PAQ=tan15°=2- √3.【点评】:本题考查平面与平面垂直的证明.考查两角大小的判断与证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中偿题.。
2019-2020学年学军中学(西溪校区)2019级高一上学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题(本大题共10小题)1.已知集合M={x|x>0},N={x|-1<x≤2},则(∁R M)∩N等于()A. B. C. D.2.下列选项中两个函数,表示同一个函数的是()A. ,xB. ,C. ,D. ,3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.在同一直角坐标系中,函数y=,y=1og a(x+)(a>0且a≠1)的图象可能是()A. B.C. D.5.若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A. B. C. D.6.已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且2x+1=f(x)+g(x),则g(1)=()A. B. 2 C. D. 47.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f3),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()(log2.5A. B. C. D.8.已知f(x)=(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.9.已知a>0,设函数f(x)=(x∈[-a,a])的值域为[M,N],则M+N的值为()A. 0B. 2019C. 4037D. 403910.已知m∈R,函数f(x)=||+m在[2,5]上的最大值是5,则m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11.若幂函数y=f(x)的图象经过点(8,2),则f()的值是______.12.若f(1+)=,则f(3)=______.13.已知函数f(x)=x3+ln(+x).若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是______.14.设函数f(x)=若f[f(a)]≤3,则实数a的取值范围是______.15.已知λ∈R,函数若函数f(x)恰有2个不同的零点,则λ的取值范围为______.三、解答题(本大题共6小题,共55.0分)16.若正数a,b满足log2a=log5b=lg(a+b),则的值为______ .17.化简求值:(1)-(-)0++(2)lg25+lg2+()-log29×log32.18.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R}.(1)若A∩B={x|1≤x≤3},求实数m的值;(2)若A⊆∁R B,求实数m的取值范围.19.已知函数f(x)=log2(4x+b•2x+2),g(x)=x.(Ⅰ)当b=-3时,求函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若对于任意x≥1,都有f(x)>g(x)成立,求实数b的取值范围.20.已知函数f(x)=log a(1-)(a>0且a≠1).(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;(Ⅱ)当0<a<1时,判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明;(Ⅲ)是否存在实数a,使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+log a n,m]?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.1+loga21.已知函数f(x)=x2-3|x-a|.(Ⅰ)若函数y=f(x)为偶函数,求实数a的值;(Ⅱ)若a=,求函数y=f(x)的单调递减区间.(Ⅲ)当0<a≤1时,若对任意的x∈[a,+∞),不等式f(x-1)≤2f (x)恒成立,求实数a的取值范围.2019-2020学年学军中学(西溪校区)2019级高一上学期期中考试数学参考答案1.【答案】C【解析】解:∵M={x|x>0},N={x|-1<x≤2},∴∁R M={x|x≤0},(∁RM)∩N=(-1,0].故选:C.进行补集、交集的运算即可.考查描述法、区间的定义,以及补集、交集的运算.2.【答案】B【解析】解:相同的函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系,而函数f(x)=ln x4的定义域为非零实数集,g(x)=4ln x的定义域为正实数集合,故它们不是同一个函数;函数f(x)=x2和函数g(x)==x2,具有相同的定义域、值域、对应关系,故它们是同一个函数;函数f(x)=x-1的值域为R,而g(x)==|x-1|的值域为[0,+∞),故它们不是同一个函数;函数f(x)=x的值域为R,函数g(x)=|x|的值域为[0,+∞),故它们不是同一个函数,故选:B.由题意利用函数的三要素,判断两个函数是否为同一个函数,从而得出结论.本题主要考查函数的三要素,属于基础题.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题.根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)=2x,为指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,f(x)=x|x|=,既是奇函数又是增函数,符合题意;对于C,f(x)=-,在其定义域上不是增函数,不符合题意;对于D,f(x)=lg|x|,是偶函数,不符合题意;故选B.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数,对数函数的图象和性质,属于基础题.对a进行讨论,结合指数,对数的性质即可判断;【解答】解:由函数y=,y=1og a(x+),当a>1时,可得y=是递减函数,图象恒过(0,1)点,函数y=1og a(x+),是递增函数,图象恒过(,0);当1>a>0时,可得y=是递增函数,图象恒过(0,1)点,函数y=1og a(x+),是递减函数,图象恒过(,0);∴满足要求的图象为:D故选D.5.【答案】C【解析】解:若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则1≤x2+1≤2,∴1≤lg x≤2,∴10≤x≤100,故选:C.由函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],求出其值域,即f(lg x)的值域,从而求出其定义域.6.【答案】C【解析】解:∵函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且2x+1=f(x)+g∴f(1)+g(1)=21+1=4,①f(-1)+g(-1)=2-1+1=20=1,即-f(1)+g(1)=1②由①+②得2g(1)=5,则g(1)=,故选:C.根据函数奇偶性的性质,建立方程组进行求解即可.7.【答案】A【解析】解:根据题意,定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,则f(-x)=f(x),即()|x-m|=()|-x-m|,分析可得m=0,则f(x)=()|x|-1=,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又由a=f(log0.53)=f(log23),b=f(log2.53),c=f(2m)=f(0),且0<log2.53<log23,则有a<b<c;故选:A.根据题意,由偶函数的定义分析可得()|x-m|=()|-x-m|,进而可得m=0,即可得函数的解析式,分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合对数的运算性质分析可得答案.8.【答案】D【解析】解:令t=x2-ax+3a,则由题意可得函数t在区间(2,+∞)上是增函数,且t>0,∴,求得-4≤a≤4,故选:D.令t=x2-ax+3a,则由题意可得函数t在区间(2,+∞)上是增函数,且t>0,故有,由此求得a的范围.9.【答案】C【解析】解:依题意,f(x)==+2019x=2019-+2019x,当x∈[-a,a]时f′(x)>0,所以f(x)为[-a,a]上的增函数,所以M+N=2019--2019a+2019-+2019a=4038-=4037.故选:C.将函数f(x)分离常数后根据函数的单调性求解函数值域,即可得到M,N 的值,从而得到M+N.10.【答案】A【解析】解:由x∈[2,5],=1+∈[2,5],若m≤2则f(x)=的最大值为5,符合题意;当2<m≤5时,f(x)的最大值为f(2)与f(5)中较大的,由f(2)=f(5),即|5-m|+m=|2-m|+m,解得m=,显然2<m≤时,f(x)的最大值为5,m>时,f(x)的最大值不为定值.综上可得m≤时,f(x)在[2,5]上的最大值是5,故选:A.求得x∈[2,5],=1+∈[2,5],讨论m的范围,结合f(2),f(5)可得所求范围.11.【答案】【解析】解:设幂函数为f(x)=xα,∵f(x)的图象经过点(8,2),∴f(8)=8α=2,即23α=2,则3α=,则α=,则f(x)=x=,则f()==,故答案为:根据幂函数的定义,利用待定系数法求出函数的解析式,然后代入求值即可.12.【答案】2【解析】解:∵f(1+)=,∴f(3)=f(1+)==2.故答案为:2.由f(1+)=,f(3)=f(1+),能求出结果.13.【答案】【解析】解:f(x)的定义域为R,且=,∴f(x)是奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上单调递增,由f(a-1)+f(2a2)≤0得,f(a-1)≤f(-2a2),∴a-1≤-2a2,解得,∴实数a的取值范围是.故答案为:.容易判断出f(x)是R上的奇函数,且单调递增,从而根据f(a-1)+f(2a2)≤0可得出a-1≤-2a2,解出a的范围即可.14.【答案】(-∞,7]【解析】解:∵函数f(x)=,先讨论f(a)的取值情况:①若f(a)≤0,则f2(a)+2f(a)≤3,解得,-3≤f(a)≤1,即-3≤f(a)≤0,②若f(a)>0,则-log2(f(a)+1)≤3,显然成立;则综上得,f(a)≥-3,再讨论a的取值情况:①若a≤0,则a2+2a≥-3,解得,a∈R,即a≤0.②若a>0,则-log2(a+1)≥-3,解得,0<a≤7,综上所述,实数a的取值范围是:(-∞,7].故答案为:(-∞,7].a的正负,求实数a的取值范围.15.【答案】(0,2)【解析】解:根据题意,在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+2λ的图象,如图:若函数f(x)恰有2个零点,即函数f(x)图象与x轴有且仅有2个交点,可得△=16-8λ≥0,λ≤2,当λ=2时,函数f(x)恰有1个零点,所以λ<2;y=x2-4x+2λ的对称轴为x=2,(0,0)与(4,0)关于x=2对称;所以f(0)>0,可得λ>0,f(0)≤0时,函数f(x)恰有3个不同的零点,即λ的取值范围是:(0,2)故答案为:(0,2).根据题意,在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+2λ的图象,结合图象分析可得答案.16.【答案】1【解析】解:设log2a=log5b=lg(a+b)=k,∴a=2k,b=5k,a+b=10k,∴ab=10k,∴a+b=ab,则=1.故答案为:1.设log2a=log5b=lg(a+b)=k,可得a=2k,b=5k,a+b=10k,可得a+b=ab.即可得出.17.【答案】解:(1)0.064-(-)0+16+0.25 =-1++=2.5-1+8+0.5=10;(2)lg25+lg2+()-log29×log32=lg5+lg2+-2(log23×lo g32)=1+-2=-.【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质,属于基础题.(1)根据指数幂的运算性质计算即可;(2)根据对数的运算性质计算即可.18.【答案】解:由题意:集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}={x|-1≤x≤3},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R}={x|m-2≤x≤m+2},(1)∵A∩B={x|1≤x≤3},∴,解得:m=3,所以:A∩B={x|1≤x≤3}时,实数m的值为3;(2)∵B={x|m-2≤x≤m+2},B={x|m-2>x或m+2<x},∴∁R∵A⊆∁R B,∴m-2>3或m+2<-1,解得:m>5或m<-3.所以:A⊆∁R B时,实数m的取值范围是:(-∞,-3)∪(5,+∞).【解析】本题考查了集合的基本运算的运用求参数的问题,属于基础题.(1)求出B,A集合,根据集合的基本运算求解实数m的值;(2)求出根据集合B,求出∁R B,在A⊆∁R B,求实数m的取值范围.19.【答案】解:(Ⅰ)当b=-3时,f(x)=log2(4x-3•2x+2),由4x-3•2x+2>0,得2x>2或2x<1,∴x>1或x<0,∴f(x)的定义域为{x|x>1或x<0};(Ⅱ)对于任意x≥1,都有f(x)>g(x)成立,即4x+b•2x+2>2x,对任意x≥1恒成立,∴b>=,对任意x≥1恒成立,∴只需b>=-2,∴b的取值范围为[-2,+∞).【解析】(Ⅰ)将b=-3代入f(x)中,由4x-3•2x+2>0,解出x的范围;(Ⅱ)根据对于任意x≥1,都有f(x)>g(x)成立,可得b>对任意x≥1恒成立,因此只需b>=-2,从而得到b的取值范围.20.【答案】解:(1)由1->0,可得x<-1或x>1,∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞);∵f(x)=log a(1-)=log a(),且f(-x)=log a()=log a()=-log a()=-f(x);∴f(x)在定义域上为奇函数.(2)当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)单调递减,任取x1,x2且1<x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=log a();由(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,∴0<<1,又0<a<1,∴log a()>0则f(x1)>f(x2),∴f(x)在(1,+∞)单调递减;(3)假设存在这样的实数a,使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+loga n,1+logam];由0<m<n,又log a n+1<log a m+1,即log a n<log a m,∴0<a<1.由(2)知:f(x)在(1,+∞)单调递减,∴f(x)在(m,n)单调递减,∴,即m,n是方程log a=log a x+1的两个实根,即=ax在(1,+∞)上有两个互异实根;于是问题转化为关于x的方程ax2+(a-1)x+1=0在(1,+∞)上有两个不同的实数根,令g(x)=ax2+(a-1)x+1,则有,解得0<a<3-2;故存在实数a∈(0,3-2),使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+log a n,1+logam].【解析】(1)由1->0,可求出f(x)的定义域,利用定义法能求出f(x)在定义域上为奇函数.(2)当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)单调递减,利用定义法能进行证明.(3)把f(x)的定义域为[m,n]时值域为[1+log a n,1+1og a m]转化为f(x)在(1,+∞)上为减函数,进一步得到=ax在(1,+∞)上有两个互异实根,令g(x)=ax2+(a-1)x+1,转化为关于a的不等式组求解.21.【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)=x2-3|x-a|,若函数y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2-3|-x-a|=x2-3|x-a|,∴|x+a|=|x-a|,两边平方,得x2+2ax+a2=x2-2ax+a2,∴2ax=-2ax,∴4ax=0,∴a=0,∴实数a的值为0;(Ⅱ)若,则函数y=f(x)=x2-3|x-|=,画出函数f(x)的图象,如图所示;由图象知,单调减区间为(-∞,-],(,];(Ⅲ)不等式f(x-1)≤2f(x),化为(x-1)2-3|x-1-a|≤2x2-6|x-a|,即6|x-a|-3|x-1-a|≤x2+2x-1(*)对任意x∈[a,+∞)恒成立,①当0≤x≤a时,将不等式(*)可化为3a≤x2+5x+2,对0≤x≤a上恒成立,则g(x)=x2+5x+2 在(0,a]为单调递增,只需g(x)min=g(0)=2≥3a,解得0<a≤;②当a<x≤a+1时,将不等式(*)可化为9a≥-x2+7x-2,对a<x≤a+1上恒成立,由题意知h(x)=-x2+7x-2在x∈(a,a+1]上单调递增,则h(x)max=h(a+1)=-(a+1)2+7(a+1)-2≤9a,化简得a2+4a-4≥0,∴a≤-2-2或a≥-2+2;又0<a≤1,所以-2+2≤a≤1;③当x>a+1时,不等式(*)可化为3a≥-x2+x+4,则t(x)=-x2+x+4 在(a+1,+∞)为单调递减,则t(x)max=t(a+1)=-a2-a+4≤3a,解得a≤-2-2或a≥-2+2,又0<a≤1,所以-2+2≤a≤1;综上知,实数a的取值范围是(0,]∪[-2+2,1].【解析】(Ⅰ)根据偶函数的定义,化简整理,即可求得a的值;(Ⅱ)由分段函数的图象与性质,画出函数的图象,写出函数的单调区间;(Ⅲ)由题意可得,x∈[a,+∞)时,不等式恒成立,再分①当0≤x≤a时、②当x≥a+1、③当a<x<a+1时三种情况,分别求得a的取值范围,取交集即为所求.。
杭州学军中学2019学年第一学期期中考试
高二数学答题卷
命题人:叶秋平 审题人:徐 政
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11. , ; 12. ;
13. , ; 14. , ; 15. ; 16. , ; 17. 。
三、解答题(本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.(本题满分14分) 在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。
(1)若5
3cos =
C ,且9CB CA 2⋅=,求ABC ∆的面积;
(2)设向量x =(B 2sin 2),y =(cos B ,B cos 2),且x ∥y ,2=b ,求c a +的取值范围。
19.(本题满分15分)如图,在四棱锥ABCD P -的底面ABCD 中,BC AD ∥,且
BC AD 2=,E O ,分别为PD AD ,中点。
(1)设平面⋂PAB 平面PCD =l ,请作图确定l 的位置并说明你的理由;
(2)若Q 为直线CE 上任意一点,证明:OQ ∥平面PAB 。
20.(本题满分15分)已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)(32*∈=-N n n na S n n ,且52=a 。
(1)证明数列}{n a 为等差数列,并求}{n a 的通项公式;
(2)设n
n n n n a a a a b 111+++=,n T 为数列}{n b 的前n 项和,求使103>n T 成立的最小正整数n 的值。
21.(本题满分15分)对于函数()f x ,若存在实数对(n m ,),使得等式
n x m f x m f =-⋅+)()( 对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(n m ,)型函数”。
(1) 判断函数()f x =(n m ,)型函数”,并说明理由;
(2) ①若函数()g x 是“(4,1)型函数”,已知1)0(=g ,求)2(g ;
②若函数()g x 是“(4,1)型函数”,且当[0,1]x ∈ 时,2
()(1)1(0)g x x a x a =--+>,若当[0,2]x ∈时,都有1()4g x ≤≤成立,试求a 的取值范围。
22.(本题满分15分)如图,在等腰三角形ABC 中,
120,=∠=A AC AB ,M 为线段BC
的中点,D 为线段BC 上一点,且BA BD =,沿直线AD 将ADC ∆翻折至'ADC ∆,使BD AC ⊥',记二面角B AD C --'的平面角为α。
(1)证明:平面'AMC ∆⊥平面ABD ;
(2)比较DB C '∠与α的大小,并证明你的结论;
(3)求αcos 的值。