浙江省杭州学军中学高考数学(理)模拟试卷

2024届浙江省杭州市学军中学高三模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.82．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．124．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 7．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．7410．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．1(,0)2e-D ．1(0,)2e11．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．312．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <D ．b a >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷〔5月份〕一．选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则〔∁R A〕∩B=〔〕A．〔﹣2，0〕B．[﹣2，0〕C．∅D．〔﹣2，1〕2．设复数z满足=i，则|z|=〔〕A．1 B．C．D．23．q是等比数{a n}的公比，则q＜1〞是“数列{a n}是递减数列〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如下图，则该几何体的外表积为〔〕A．16 B．26 C．32 D．20+5．假设存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是〔〕A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥36．展开式中全部奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是〔〕A．790 B．680 C．462 D．3307．正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=〔〕A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为38．正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是〔〕A．B．C． D．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是〔〕A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]10．定义在〔0，+∞〕上的函数f〔x〕的导函数f'〔x〕满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是〔〕A． B．〔0，e〕 C． D．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．假设2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan〔α﹣〕=．12．商场举行有奖促销活动，顾客购置肯定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖；假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX=．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin∠ABD=，BC=．14．抛物线y=x2和直线l：y=kx+m〔m＞0〕交于两点A、B，当时，直线l过定点；当m=时，以AB为直径的圆与直线相切．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试时机，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试时机安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的外表上．则这个直三棱柱的体积是．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．设函数f〔x〕=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈〔，1〕．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕假设y=f〔x〕的图象经过点〔，0〕，求函数f〔x〕在区间[0，]上的取值范围．19．在如下图的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．〔I〕G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；〔Ⅱ〕EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20．函数f〔x〕=+x〔a，b∈R〕．〔Ⅰ〕当a=2，b=3时，求函数f〔x〕极值；〔Ⅱ〕设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'〔x〕|恒成立，求m的最小值．21．椭圆+y2=1〔a＞1〕，过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．22．函数f n〔x〕=x n〔1﹣x〕2在〔，1〕上的最大值为a n〔n=1，2，3，…〕．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求证：对任何正整数n〔n≥2〕，都有a n≤成立；〔3〕设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．2021年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷〔5月份〕参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则〔∁R A〕∩B=〔〕A．〔﹣2，0〕B．[﹣2，0〕C．∅D．〔﹣2，1〕【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴〔∁R A〕∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0〕，应选：B．2．设复数z满足=i，则|z|=〔〕A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z〔1+i〕=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，应选：A．3．q是等比数{a n}的公比，则q＜1〞是“数列{a n}是递减数列〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1〞是“等比数列{a n}是递减数列〞的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1〞是“等比数列{a n}是递减数列〞的既不充分也不必要的条件．应选D．4．某几何体的三视图如下图，则该几何体的外表积为〔〕A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的外表积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如下图：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的外表积S=6+6+10+10=32．应选：C．5．假设存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是〔〕A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=y=3时，z取得最小值为﹣3；当x=4且y=2时，z取得最大值为0，由此可得z的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m使不等式x﹣2y+m≤0成立，即可算出实数m的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地域，得到如图的△ABC及其内部，其中A〔4，2〕，B〔1，1〕，C〔3，3〕设z=F〔x，y〕=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，4，2〕=0当l经过点A时，目标函数z到达最大值，可得z最大值=F〔3，3〕=﹣3当l经过点C时，目标函数z到达最小值，可得z最小值=F〔因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3应选：B6．展开式中全部奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是〔〕A．790 B．680 C．462 D．330【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．可得展开式中各项系数的最大值是或．【解答】解：由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．则展开式中各项系数的最大值是或，则==462．应选：C．7．正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=〔〕A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为3【考点】7F：根本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用根本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．应选：B．8．正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是〔〕A．B．C． D．【考点】93：向量的模．【分析】如下图，建立直角坐标系．B〔0，0〕，C．A．点P 的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π〕．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如下图，建立直角坐标系．B〔0，0〕，C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π〕．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．应选：B．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是〔〕A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B〔0，0，0〕，D〔1，1，0〕，C〔1，0，0〕，E〔1，〕，F〔0，，〕，当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G〔1，，〕，此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P〔，0，0〕，Q〔0，〕时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=〔1，1，0〕，=〔﹣，，〕，∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．应选：B．10．定义在〔0，+∞〕上的函数f〔x〕的导函数f'〔x〕满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是〔〕A． B．〔0，e〕 C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g〔x〕=xf〔x〕，分析可得g′〔x〕=[xf〔x〕]′=，对g〔x〕求积分可得g〔x〕的解析式，进而可得f〔x〕的解析式，再令h〔x〕=f〔x〕﹣x，对其求导可得h′〔x〕=f′〔x〕﹣1＜0，分析可得函数h〔x〕=f〔x〕﹣x在〔0，+∞〕上递减，将不等式变形可得f〔x〕﹣x＞﹣e=f 〔e〕﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g〔x〕=xf〔x〕，则有g′〔x〕=[xf〔x〕]′=，则g〔x〕=〔lnx〕2+C，即xf〔x〕=〔lnx〕2+C，则有f〔x〕=〔lnx〕2+，又由，即f〔e〕=+=，解可得C=，故f〔x〕=〔lnx〕2+，令h〔x〕=f〔x〕﹣x，则h′〔x〕=f′〔x〕﹣1=＜0，故函数h〔x〕=f〔x〕﹣x在〔0，+∞〕上递减，不等式，即f〔x〕﹣x＞﹣e=f〔e〕﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为〔0，e〕；应选：B．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．假设2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan〔α﹣〕=3．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数根本关系的运用．【分析】根据及同角三角函数的根本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+〔2sinα﹣〕2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan〔α﹣〕===3．故答案为：，3．12．商场举行有奖促销活动，顾客购置肯定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖；假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=，∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=；抽奖1次获一等奖的概率为=，∴随机变量X服从二项分布，即X～B〔3，〕，∴EX=3×=．故答案为：，．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin∠ABD=，BC=6．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k〔k＞0〕，则BD=k，BH=k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin ABC∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k〔k＞0〕，则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，=×AC×BH==3=3，又S△ABC解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．14．抛物线y=x2和直线l：y=kx+m〔m＞0〕交于两点A、B，当时，直线l过定点〔0，2〕；当m=时，以AB为直径的圆与直线相切．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点〔0，2〕；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=〔x1x2〕2=m2，y1+y2=k〔x1+x2〕+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点〔0，2〕，设以AB为直径的圆的圆心M〔x，y〕，圆M与相切于P，由x==，则P〔，﹣〕，由题意可知：•=0，即〔x1﹣，y1+〕•〔x2﹣，y2+〕=0，整理得：x1x2﹣〔x1+x2〕++y1y2+〔y1+y2〕+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：〔0，2〕，．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试时机，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试时机安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114种不同的考试安排方法．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次〔有种方法〕，每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，其它两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试时机安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次〔有种方法〕，每次考两科，第一次有种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，第三次只能是种方法，根据分布乘法计数原理，共有：••〔•〕•=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，其它两次各考一科，共=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．假设为2211，第一次有种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有••1•1=3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，则第三次与第四次共有种方法，故共有•••=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；假设方案为2121，共有〔••+••〕=15种方法；假设方案为2112，共有〔••+••〕=15种方法；同理可得，其它3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．综合①②得：共有24+90=114种方法．故答案为：114．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的外表上．则这个直三棱柱的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C 的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱〔侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱〕，∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是{a|a＜﹣或a=0或a} ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对a进行分类商量，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数推断a的范围．【解答】解：〔1〕假设a=0，则y=2x与y=x为相交直线，显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于，符合题意；〔2〕假设a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于，又直线y=x与y=x﹣2的距离为，∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交，联立方程组，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．〔3〕假设a＜0，同理可得a＜﹣．故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a}．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．设函数f〔x〕=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈〔，1〕．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕假设y=f〔x〕的图象经过点〔，0〕，求函数f〔x〕在区间[0，]上的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】〔Ⅰ〕先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f〔x〕化为y=Asin 〔ωx+φ〕+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；〔Ⅱ〕先将点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f〔x〕的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin〔2ωx﹣〕+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈〔，1〕，令k=1时，ω=符合要求，∴函数f〔x〕的最小正周期为=；〔Ⅱ〕∵f〔〕=0，∴2sin〔2××﹣〕+λ=0，∴λ=﹣，∴f〔x〕=2sin〔x﹣〕﹣，∴f〔x〕∈[﹣1﹣，2﹣]．19．在如下图的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．〔I〕G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；〔Ⅱ〕EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】〔Ⅰ〕取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．〔Ⅱ〕由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：〔Ⅱ〕∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A〔，0，0〕，C〔﹣2，0，0〕，B〔0，2，0〕，O′〔0，0，3〕，F〔0，，3〕，=〔﹣2，﹣，﹣3〕，=〔2，2，0〕，由题意可知面ABC的法向量为=〔0，0，3〕，设=〔x0，y0，z0〕为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=〔1，﹣1，﹣〕，∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20．函数f〔x〕=+x〔a，b∈R〕．〔Ⅰ〕当a=2，b=3时，求函数f〔x〕极值；〔Ⅱ〕设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'〔x〕|恒成立，求m的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；〔Ⅱ〕对a进行分类商量：当a=0时，f〔x〕=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行商量，当＜2时，即a＞；当≥2时，即a≤，分别去求|f〔x〕|的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕a=2，b=3时，f〔x〕=x3﹣x2+x，f′〔x〕=2x2﹣3x+1=〔2x﹣1〕〔x﹣1〕，令f′〔x〕＞0，解得：x＞1或x＜，令f′〔x〕＜0，解得：＜x＜1，故f〔x〕在〔﹣∞，〕递增，在〔，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，=，f〔x〕极小值=f〔1〕=，故f〔x〕极大值=f〔〕〔Ⅱ〕当b=a+1，f〔x〕=ax3﹣〔a+1〕x2+x，f′〔x〕=ax2﹣〔a+1〕x+1，f′〔x〕恒过点〔0，1〕；当a=0时，f′〔x〕=﹣x+1，m≥|f′〔x〕|恒成立，∴m≥1；0＜a≤1，开口向上，对称轴≥1，f′〔x〕=ax2﹣〔a+1〕x+1=a〔x﹣〕2+1﹣，①当a=1时f′〔x〕=x2﹣2x+1，|f′〔x〕|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；要m≥|f′〔x〕|，则m≥1；②当0＜a＜1时，根据对称轴分类：当x=＜2，即＜a＜1，△=〔a﹣1〕2＞0，f′〔〕=﹣〔a+〕∈〔﹣，0〕，又f′〔2〕=2a﹣1＜1，所以|f′〔x〕|≤1；当x=≥2，即0＜a≤；f′〔x〕在x∈[0，2]的最小值为f′〔2〕=2a﹣1；﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′〔x〕|≤1，综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′〔x〕|恒成立，有m≥1，∴m≥1．21．椭圆+y2=1〔a＞1〕，过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】〔Ⅰ〕由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；〔Ⅱ〕设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP 的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：〔1〕当P点在x轴上时，P〔2，0〕，PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5〔2〕设切线为y=kx+m，设P〔2，y0〕，A〔x1，y1〕，则⇒〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴〔S﹣k〕2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1522．函数f n〔x〕=x n〔1﹣x〕2在〔，1〕上的最大值为a n〔n=1，2，3，…〕．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求证：对任何正整数n〔n≥2〕，都有a n≤成立；〔3〕设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】〔1〕由得=〔n+2〕x n﹣1〔x﹣1〕〔x﹣〕，由此利用导数性质能求出数列{a n}的通项公式．〔2〕当n≥2时，欲证≤，只需证明〔1+〕n≥4，由此能证明当n≥2时，都有成立．〔3〕S n＜＜，由此能证明任意正整数n，都有成立．【解答】解：〔1〕∵f n〔x〕=x n〔1﹣x〕2，∴=x n﹣1〔1﹣x〕[n〔1﹣x〕﹣2x]=〔n+2〕x n﹣1〔x﹣1〕〔x﹣〕，…当x∈〔，1〕时，由，知：x=，…∵n≥1，∴，…∵x∈〔，〕时，；x∈〔〕时，〔x〕＜0；∴f〔x〕在〔〕上单调递增，在〔〕上单调递减∴在x=处取得最大值，即=．…〔2〕当n≥2时，欲证≤，只需证明〔1+〕n≥4，…∵〔1+〕n=≥1+2+≥1+2+1=4，…∴当n≥2时，都有成立．…〔3〕S n=a1+a2+…+a n＜＜=＜．优选文档∴对任意正整数n ，都有成立．….。

2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。

2016届浙江省杭州学军中学高三5月高考模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|2A x x =<-或1}x >，{|2B x x =>或0}x <，则()R C A B = （ ） A.(2,0)- B.[2,0)- C.∅ D.(2,1)- 【答案】B【解析】试题分析：{}{}21,()20R R C A x x C A B x x =-≤≤∴=-≤< ，故选B. 【考点】集合的运算.2．已知直线,l m 和平面α，则下列结论正确的是（ ）A ．若//l m α⊂，则//l αB ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥D ．若//,l m αα⊂，则//l m 【答案】B【解析】试题分析：A ．若//l m α⊂，则//l α或l α⊂， 故本命题错误；B ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥，考查直线与平面垂直的定义，正确；C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥ 或m α⊂或//m α，故本命题错误；D ．若//,l m αα⊂，则//l m ，或,l m 异面，本命题错误；故本题选B.【考点】直线与平面垂直的定义、直线与平面平行的判定定理.3．若“:p x a >”是“:13q x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤- 【答案】A【解析】试题分析：由题意知{}x x a >是{1x x >或}3x <-的真子集，故选A ． 【考点】充分条件；必要条件.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.32C.63D.20【答案】B【解析】试题分析：其几何体如图其表面积为324521452143214321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=S ，故选B. 4152.45434【考点】空间几何体的表面积. 5．已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意得2ππω=，2ω∴=，由()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭得到x x g ωcos )(=，原图象各点向若平移8π个单位长度.故选D ．【考点】函数图象的变换. 【易错点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换．在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由x A y ωcos = 的图象得到)cos(ϕω+=x A y 的图象时，需平移的单位数应为ωϕ． 6．设关于x, y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-0001m y m x y x 表示的平面区域内存在点P ),(00y x 满足3200>-y x 则实数m 的取值范围是（ ）A. ),(01-B. ),(10C. ),(+∞-1D.),(1--∞ 【答案】D【解析】试题分析：如图，只需点),(m m -满足3200>-y x ，得1-<m ，故选D.【考点】线性规划.7．如图，在三棱锥P ABD -中，已知⊥PA 面ABD ，AD BD ⊥，点C 在BD 上，1===AD CD BC ，设P D x =，θ=∠BPC ，用x 表示tan θ，记函数tan θ=()f x ，则下列表述正确的是（ ）A ．()f x 是关于x 的增函数B ．()f x 是关于x 的减函数C ．()f x 关于x 先递增后递减D ．()f x 关于x 先递减后递增 【答案】C【解析】试题分析：首先证明PD BD ⊥：⊥PA 面ABD ，推出PA BD ⊥，又因为BD AD ⊥，能够推出⊥BD 面PAD ，因此，PD BD ⊥．在BPD ∆中，θθθt a n t a n 1t a n t a n )t a n (2t a n C P D C P D C P D x PD BD BPD ∠-+∠=+===∠，而x PD CD CPD 1tan ==∠，化简可得，xx x x 212tan 2+=+=θ，对勾函数x x y 2+=关于x 先递减后递增，因此)(x f 关于x 先递增后递减．选C ．【考点】基本不等式. 【易错点睛】本题主要考查了勾股定理，考查了基本不等式，考查了余弦定理等知识．本题的解题关键在于用x 表示tan θ即如何建立x 与θ的等量关系，也就是应该放在BPC ∆去研究，即找到各个边与x 的关系．本题的难点是将三角形的问题与基本不等式产生联系，本题难度中档．8．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且2||||BC CF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.【答案】C【解析】试题分析： 过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点C B ,，且2CF BC =，a BF 21=，设切点为T ，),(y x B ，则利用三角形的相似可得c a b x c a y 2=+=，c c ab x 22-=∴，c a y 22=，)2,2(22ca c c ab B -∴，代入双曲线方程，整理可得a b )13(+=，则a b ac 32522+=+=，即有325+==ace .所以C 选项是正确的. 【考点】双曲线的性质.【易错点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查了学生的计算能力．本题难点在于如何用c b a ,,来表示点B 的坐标，即如何利用三角形相似建立c b a ,,与y x ,的等式关系．而后代入双曲线方程即可．本题也考查了学生的分析能力，本题难度中等．二、填空题9．若2sin cos αα-，则sin α= ，tan()4πα-= .【答案】552 3 【解析】试题分析：由同角三角函数基本定理得1)5sin 2(sin 22=-+αα解得552sin =α，cos α=，tan 2α∴=-，tan tan4tan()341tan tan 4παπαπα-∴-==+． 【考点】同角三角函数基本关系式；两角差的正切公式.10．已知直线l ：1mx y -=,若直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，则m 的值为______动直线l ： 1mx y -=被圆C ：22280x x y -+-=截得的最短弦长为 . 【答案】0=m 或2=m ；72【解析】试题分析：由两直线垂直的充要条件得1(1)(1)0m m m ⨯+-⨯-=，0m ∴=或2=m ；圆的半径为3，当圆心)0,1(到直线的距离最长即2)]1(0[)01(22=--+-=d 时弦长最短，此时弦长为72)2(3222=-．【考点】两直线垂直；直线与圆的位置关系.11．已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ．若3542,,3a a a 成等差数列，24664a a a =，则q =_______，n S =_______．【答案】2)12(21-n【解析】试题分析： 等比数列{}n a 的公比0>q ,前n 项和为n S .若1533,,2a a a 成等差数列,24664a a a =，⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅⋅+=∴06432251311312141q q a q a q a q a q a q a ,计算得出2,211==q a .)12(2121)21(21-=--=∴n n n S .【考点】等差中项；等比数列的通项公式；等比数列的求和公式.12．设函数()f x 2221log 11x x x x ⎧-+⎪=⎨<⎪⎩≥(1)(-)()，则((4))f f ＝ .若()f a 1=-,则a = .【答案】5；1=a 或21=a 【解析】试题分析：5)]31(1([log ))4((,31142)4(22=--=∴-=+⨯-=f f f ；当1≥a 时，2211a -+=-，1a ∴=；当1<a 时，2log (1)1a -=-，12a ∴=，故1=a 或21=a ． 【考点】分段函数. 13．如图，在二面角A-CD-B 中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A 在直线AD 上运动，满足AD⊥CD， AB=3.现将平面ADC 沿着CD 进行翻折，在翻折的过程中，线段AD 长的取值范围是_________.【答案】]25,25[+-【解析】试题分析：添加如图辅助线，取BC DE BC DE =,//,连结AE BE ,,则⊥BE 平面A D ,AE BE ⊥,设xAD =，则22222,c o s 224BE AE AB ADE x x AE +=∠⨯⨯-+=即ADE x x ∠-++=cos 44492,1411]1,1[41cos 22≤-≤-∴-∈-=∠xx x x ADE 解得2525+≤≤-x ．E【考点】直线与平面垂直；余弦定理.14．已知实数,a b R ∈，若223,a ab b -+=则222(1)1ab a b +++的值域为 ．【答案】[0,16]7【解析】试题分析：由223a ab b -+=得222213()2ab a b a b =+-≤+，226a b ∴+≤，令22117t a b ≤=++≤可得2222222(1)(13)(3)961ab a b t t a b t t t+++--===+-++，当3t =有最小值0；当7t =时有最大值为167；所以所求整式的值域为[0,16]7． 【考点】基本不等式.【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取ACDB等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．在OAB ∆中，已知1OB AB ==，45AOB ∠=︒，若OB OA OP μλ+=，且22=+μλ，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 .【答案】]1,22(-【解析】试题分析：由μλ+=得22=+μλ， 则⋅=⋅OA OP OA ]21([λλ-+OB OA OA ⋅-+=)21(2λλ，由1OB AB == ，45AOB ∠=︒，余弦定理可得1OA =，(1)11222OA OP λλλ∴⋅=+-⨯=+ 2+=， 故在42222++⋅=λλOP OP OA ， 2-<λ时，上式]0,22(44122-∈++⋅-=λλ；2-≥λ时上式4)2(2222++⋅-=λλ； 0=λ，上式22=； 20-≥>λ，上式)22,0[44122∈++⋅=λλ；0>λ，上式]1,22(44122∈++⋅=λλ．综合以上情况，OA 在OP 上的投影的取值范围是]1,22(-． 【考点】平面向量的数量积的运算.【易错点睛】本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题的难点在于对λ的分类讨论思想，根据不等式的性质讨论λ的不同范围对投影的影响．本题综合性强，本题是中档题.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围． 【答案】（I ）3π=A ；（II ）221<<p ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得)cos(3)sin(3C B C B +=+-，从而可求得3)tan(-=+C B ，即可解得A 的大小；（Ⅱ）由已知得21tan 23sin )120sin(sin sin +=-︒==C C C C B p ，由ABC ∆是锐角三角形，3π=A ，可求得C tan 的取取值范围，即可解得实数p 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）由题意得C B C B C B C B C B cos cos 4sin cos 3cos sin 3cos cos sin sin 3=--+⇒)cos(3)sin(3C B C B +=+-323)tan(π=+⇒-=+⇒C B C B 3π=∴A（Ⅱ） 21tan 23sin )120sin(sin sin +=-︒==C C C C B p ABC ∆ 为锐角三角形，且3π=A33tan 26>⇒<<∴C C ππ221<<∴p ． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，,//A B P A A B C D⊥，且,22,120P B B C D C A B P A D ===∠=.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值． 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）510． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平面与平面垂直的判定定理可知，要在其中一个面内找一直线与另一平面垂直，即证明⊥AB 平面PAD ；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值.试题解析：（1）∵BC=BD ，E 为CD 中点，∴BE ⊥CD ， ∵AB∥CD，∴CD=2AB，∴AB∥DE，且AB=DE ，∴四边形ABED 是矩形， ∴BE∥AD，BE=AD ，AB⊥AD，∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD，且CD⊥AD，又∵在平面PCD 中，EF∥PD，∴CD⊥EF， ∵EF∩BE=E，∴EF ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ， 又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF⊥平面PCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立空间直角坐标角系，，=，，则P （0，﹣1D （0，2，0），B ），C （2，0），D P =（0，3BP=1-C B =），设平面PBC 的法向量n=（x ，y ，z ），则C 200n y n y ⎧⋅B =+=⎪⎨⋅BP =-=⎪⎩ ，取n=1-，）， 设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，sin θ=|cos ＜D,n P＞|=|D D n nP ⋅P ⋅|= ∴直线PD 与平面PBC【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题要认真审题，注意和法的合理运用．利用向量求线面角的方法（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）．（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 18．已知函数2()1,()1f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（Ⅱ）若2a >-，设函数()()()h x f x g x =+在]2,0[上的最大值为()t a ，求()t a 的最小值. 【答案】（Ⅰ）2-≤a ；（Ⅱ）0． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，然后取交集求得实数a 的取值范围；（Ⅱ）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段函数上的最值得到函数的最大值.试题解析：（Ⅰ）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--+=<≤++--=21,11,010,1)(22x a ax x x x a ax x x h 0,02a a x ≤∴=-≥ 对称轴① 当012a ≤-≤时，即20a -≤≤，14)2()1(2max 2++=-=++--a a a h a ax x3)2()1(max 2+==--+a h a ax x2281(3)044a a a a -++-+=<∴3)(max +=a x h ②当221≤-<a 时，即24-<≤-a ，0)1()1(max 2==++--h a ax x ⎩⎨⎧-<≤-+-<≤-=+==--+23,334,0}3,0max{)}2(),1(max{)1(max 2a a a a h h a ax x此时⎩⎨⎧-<≤-+-<≤-=23,334,0)(max a a a x h ③ 当22>-a 时，即4-<a ，0)1()1(max 2==++--h a ax x 0)1()1(max 2==--+h a ax x此时0)(max =x h综上：max ()()h x t a =3,300,3a a a +-≤≤⎧=⎨<-⎩ min ()t a ∴=0【考点】利用导数求闭敬意上函数的最值．【易错点睛】本题考察函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是根据所给的条件及相关的知识对问题进行正确转化，本题比较抽象，对问题的转化尤其显得重要，本题在求解问题时用到了分类讨论的思想，转化化归的思想，数学综合题的求解过程中，常用到这两个思想，繁杂的分类使该题难度较大．19．已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，过直线:2l x =上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x 轴上时，切线PA的斜率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．【答案】（Ⅰ） 1222=+y x ；（Ⅱ）22 ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知点P 的坐标，PA 的斜率，得到直线PA 的方程，联立椭圆与直线方程，利用方程有唯一解可得到22=a ，可得椭圆方程；（Ⅱ）可先设直线PA 的方程，利用条件得出PA 及点O 到直线PA 的距离d ，由此可表示三角形面积，利用已知条件可求得面积的最小值.试题解析：（I ）当P 点在x 轴上时，P （2，0），PA ：)2(22-±=x y 012)211(1)2(2222222=+-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-±=x x a y a x x y 202=⇒=∆a ，椭圆方程为1222=+y x （II ）设切线为m kx y +=，设),2(0y P ，),(11y x A ，则⎩⎨⎧=-++=02222y x m kx y 0224)21(222=-+++⇒m kmx x k 12022+=⇒=∆⇒k m ， 且212121,212km y k km x +=+-=，m k y +=20 则4||20+=y PA ，PA 直线为⇒=x y y 20，A 到直线PO 距离4|2|20110+-=y y x y d ，则|212212)2(|21|2|21||2122110km k km m k y x y d PA S POA +-+-+-=⋅=∆＝ |21||||2121|222k k m k m kkm k ++=+=+++=-01221)(2222=+-+⇒+=-S Sk k k k S220482≥⇒≥-=∆S S ，此时22±=k 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系.20．已知数列{}n a 满足：11=a ，221)1(++=+n a a a n n n （*N n ∈）． （Ⅰ）证明：21)1(11++≥+n a a n n ； （Ⅱ）求证：13)1(21+<<+++n a n n n ． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）2120(1)n n n a a a n +-=>+⇒111≥>>+a a a n n ，可得：221)1(11)1(1++≥++=+n n a a a n n n ；（Ⅱ）由题意可知111)1(1)1(1)1(1112121+-=+<+<+=-++n n n n n a a n a a n n n n ，累加得1111111+-<-+n a a n ，得11+<+n a n ，得2111111+-+>-+n n a a n n ，累加得11211111+->-+n a a n 得3)1(21++>+n n a n ． 试题解析：（I ）0)1(221>+=-+n a a a n n n ⇒111≥>>+a a a n n ， 可得：221)1(11)1(1++≥++=+n n a a a n n n （II ）1211)1(1++++=-n n n n n n a a n a a a a ， 所以：101<<+n n a a 111)1(1)1(1)1(1112121+-=+<+<+=-⇒++n n n n n a a n a a n n n n ，累加得：111111111+<⇒+-<-++n a n a a n n （该不等式右边也可以用数学归纳法证明）另一方面由n a n ≤可得：原式变形为2112111)1(1)1(11221++>⇒++=++<++≤++=++n n a a n n n n n n a a a n n n n n 所以：2111)2)(1(121)1(1)1(1112121+-+=++=+++>+=-++n n n n n n n a a n a a n n n n 累加得3)1(2112111111++>⇒+->-++n n a n a a n n【考点】不等式的性质．。

2021学年杭州学军中学高三年级第一次月考数学〔理〕试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．卷面共150分，考试时间120分钟.第I 卷〔共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、集合A 可以表示为},xy,x {1，也可以表示为},,0{y x x +，那么x y -的值为〔 〕 A.-1B.0C.1D.-1或12．集合M ＝｛x |0)1(3≥-x x ｝，N ＝｛R x ,x y y ∈+=132｝，那么M ⋂N ＝ 〔 〕 A ．∅ B ．{x |x ≥1} C ．｛x |x >1｝ D ．{x | x ≥1或x <0}3．“18a =〞是“对任意的正数x ，21ax x+≥〞的 ( ) Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条4.函数)(x f 在定义域R 内可导，假设()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，假设),3(),21(),0(f c f b f a ===那么c b a ,,的大小关系是 〔 〕A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>5.以下函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是 〔 〕A. x x f sin )(=B. |1|)(+-=x x fC. )a a ()x (f xx -+=21 D. xx x f +-=22ln )(6．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，那么函数()d f l =的图象大致是 〔 〕 ．7．函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如以下列图，那么a b ，满足的关系是( ) A ．101a b -<<< B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<-D ．1101ab --<<<1-Oy x8.⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，那么[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,-∞B. )+∞C.(,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞9．定义域为R 的函数)(x f y =满足)4()(+-=-x f x f ， 当2>x 时，)(x f 单调递增，假设421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，那么)()(21x f x f +的值〔 〕A ．恒大于0 B ．恒小于0C ．可能等于0D ．可正可负10．假设函数)(log )(3ax x x f a -=)1,0(≠>a a 在区间21(-，0)内单调递增，那么a 的取值范围是 ( )A.[41，1)B.[43，1)C.49(，)+∞D.(1，49)第II 卷〔共100分〕二、填空题〔本大题共7小题，每题4分，共28分〕11．假设函数2()f x x x a =-+为偶函数，那么实数a = 12．假设1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围13. 函数32()21f x x x ax =+-+在区间)1,1(-上是单调函数，那么实数a 的取值范围 是14．关于x 的方程142310x x m +-+-=有实根，那么m 的取值范围是1*()n y x n N +=∈在点〔1，1〕处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，那么1299a a a +++的值为 .16．函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，那么()2010f =_____________.17．定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于f(x)的判断： ①()x f 关于点P(021,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称； ③()x f 在[0，1]上是增函数； ④()()02f f =.其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)三、解答题〔本大题共5小题，共72分。

杭州学军中学2018-2018学年高三第二次月考数学 (理科) 试卷选择题部分（共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 已知全集为R U =,集合2{230}M xx x =--≤,2{1}N y y x ==+，则(C )U M N ⋂ 为 ( )A. {11}xx -≤< B. {11}x x -≤≤ C. {13}x x ≤≤ D.{13}x x <≤2. 已知,,,a b c d 为实数，且c d >。

则“a b >”是“a c b d ->-”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知函数())0,0( )sin(2πϕωϕω<<>+=x x f ， 且函数的图象如图所示，则点),( ϕωA )3,2( πB )3,4( π C )32,2( π D )32,4( π 4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为122+=x y ，值域为{}9的“孪生函数”就有三个，那么解析式为22log (1)=-y x ，值域为{}5,1的“孪生函数”共有（ ）.A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个5．已知函数()()()2sin 2,9f x x f x f πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭其中为实数，且对x R ∈恒成立。

记257,,,,,366P f Q f R f P Q R πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则的大小关系是 （ ） A ．R P Q << B ． Q R P << C ． P Q R << D ． Q P R <<6．已知函数y =sin x +a cos x 的图象关于x =35π对称,则函数y =a sin x +cos x 的图象关于直线 ( )A. x =3π对称 B. x =32π 对称 C.x =611π对称D.x =π对称7.对于实数b a ,，定义运算“*”： 2221,,a ab a b a b b ab a b⎧-+-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是( ) A.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,32⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭8.已知x R∈ ,符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()x f x a x=-有且仅有3个零点,则a 的取值范围是( )A.3443,,4532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B.3443,,4532⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C.1253,,2342⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.1253,,2342⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦9.已知函数)(x f 是定义在R上的奇函数，当≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 66⎡-⎢⎣⎦ C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 33⎡-⎢⎣⎦10.定义在R 上函数1(2)2()1(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=（其中2)m >有n 个不同的实数根121,,...,,()nn i i x x x f x =∑则的值为（）A.14B. 18C.112D.116二、填空题(本大题共7小题，共28分．)11. 函数2()cos sin cos 1f x x x x =+-的最小正周期是 ，单调递增区间是 ． 12.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(31)f x f x >-成立的x 的取值范围是13.不等式)1(122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m 都成立， x 的取值范围是.,,sin 21010αβαβαβ==+=14.已知为锐角则 15.设函数()1()cos 2f x x ωϕ=+，对任意x ∈R都有3f x π-⎛⎫ ⎪⎝⎭3f x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则3g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为16.已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当2o πθ≤≤时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 17．若实数,x y 满足()()()2221122cos 1,1x y xyx y x y ++--+-=-+则xy 的最小值为三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18. (本题满分14分)已知集合122P x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭22log (22)=-+y ax x 的定义域为Q ． （1）若PQ φ≠ ,求a 实数的取值范围；（2）若方程22log (22)2-+=ax x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，求实数a 的取值的取值范围．19．(本题14分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令4ω=,将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有20个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.20.(本题满分15分) 已知函数2()3f x ax x =--， （1）求a 的范围，使)(x f y =在]2,2[-上不具单调性；（2）当12a =时，函数)(x f 在闭区间]1,[+t t 上的最大值记为)(t g ，求)(t g 的函数表达式；（3）第（2）题的函数)(t g 是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由。

2017-2018学年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减D．关于x先递减后递增8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=．10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=，S n=．12．设函数f（x）=，则f（f（4））=；若f（a）=﹣1，则a=．13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为．15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜a n+1＜n+1．2016年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；【解答】解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，可得：g（x）=cos2x，∴可得：f（x）=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只要将y=f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：D．6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则平面区域内必存在一个点在直线x0﹣2y0=3的下方，由图象可得m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点A的坐标为（﹣m，m），直线x0﹣2y0=3的斜率为，截距式方程为y0=x0﹣，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则点A（﹣m，m）必在直线x﹣2y=3的下方，即﹣m﹣2m＞3，解得m＜﹣1．故m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）．故选：D．7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减D．关于x先递减后递增【考点】空间点、线、面的位置；棱锥的结构特征．【分析】由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判断选项．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，∴可求得：AC=，AB=，PA=，PC=，BP=，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ==∴tan2θ=﹣1=﹣1=，∴tanθ==≤=（当且仅当x=时取等号）；所以f（x）关于x先递增后递减．故选：C．8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=3．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为0或2，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直的性质能求出m；求出圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心、半径，由直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，由此能求出动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长．【解答】解：∵直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）=0，解得m=0或m=2．圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r==3，直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，∵|PC|==，∴最短弦长为：2=2．故答案为：0或2，2．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=2，S n=（2n﹣1）．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，解得．∴=．故答案为：2，．12．设函数f（x）=，则f（f（4））=5；若f（a）=﹣1，则a=1或．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=﹣2×42+1=﹣31．f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a2+1=﹣1，解得a=1；当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=；故答案为：5；1或．13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据条件利用向量法得到=++，利用三角函数的有界性转化为不等式问题进行求解就．【解答】解：由题意得⊥，，设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角A﹣CD﹣B的夹角为θ，则＜，＞=θ，∵=++，∴平方得2=2+2+2+2•+2•+2•，设AD=x，∵BC=CD=2，AB=3∴9=x2+4+4﹣4cosθx，即x2﹣4cosθx﹣1=0，即cosθ=∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣1≤≤1，即，即，则．∵x＞0，∴﹣2≤x≤+2，即AD的取值范围是，故答案为：14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为．【考点】基本不等式．【分析】a2﹣ab+b2=3，可得ab+3=a2+b2≥2|ab|，因此﹣1≤ab≤3，令ab=t∈[﹣1，3]．==t﹣2+=f（t）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵a2﹣ab+b2=3，∴ab+3=a2+b2≥2|ab|，∴﹣1≤ab≤3，当且仅当a=b=±时取右边等号，ab=﹣1时取左边等号．令ab=t∈[﹣1，3]．则==t﹣2+=f（t）．f′（t）=1﹣==∴f（t）在[﹣1，3]上单调递增．f（﹣1）=0，f（3）=．∴f（t）∈．故答案为：．15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=λ+μ，且λ+2μ=2，得到= [λ+（1﹣）]，展开多项式乘多项式，求得=1+，再求出，代入投影公式，对λ分类求解得答案．【解答】解：由=λ+μ，且λ+2μ=2，则= [λ+（1﹣）]=λ+（1﹣），又||=，||=1，∠AOB=45°，∴由余弦定理求得||=1，∴=λ+（1﹣）×=1+，===，故在上的投影=．当λ＜﹣2时，上式=﹣==∈；当λ≥﹣2时，上式=；①λ=0，上式=；②﹣2≤λ＜0，上式=∈；③λ＞0，上式=∈．综上，在上的投影的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得，从而可求tan（B+C）=﹣，即可解得A的值．（Ⅱ）由已知得，由△ABC为锐角三角形，且，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得⇒∴（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且∴∴．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，又∵AB∥CD，AB=CD=DE，∴四边形ABED是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．∵AB∥CD，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：∵PB=BD=，AB=，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA=AD=2．∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），∴=（0，3，﹣），=（﹣，﹣1，），=（，2，0）．设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，∴，取x=，得=（，﹣1，），∴cos＜，＞===﹣．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）按照x与1进行讨论，分离常数得a≤，令φ（x）=，去掉绝对值符号化简解析式，由一次函数的性质分别求出φ（x）的范围，由恒成立问题求出a 的范围，最后取并集；（Ⅱ）由题意求出h（x），求出对称轴，由区间和对称轴对a进行分类讨论，分别由二次函数的性质判断出h（x）在区间上的单调性，并求出对应的最大值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；…②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==，因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，…所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…（Ⅱ），…∵a≤0，∴，①当时，即﹣2≤a≤0，（x2+ax ﹣a﹣1）max=h（2）=a+3，∵，∴h（x）max=a+3，…②当时，即﹣4≤a＜﹣2，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0，，此时，…③当时，即a＜﹣4，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0（x2+ax﹣a﹣1）max=h（1）=0，此时h（x）max=0，…综上：h（x）max=t（a）=，∴t（a）min=0．…19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PA直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1520．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜a n+1＜n+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）由题意知，从而可得a n+1＞a n＞a1≥1，再化简可得，（Ⅱ）化简，从而可得﹣＜＜﹣，从而利用累加法可证明a n+1＜n+1，再由a n≤n可得＞，从而证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴a n+1＞a n＞a1≥1，∴．（Ⅱ）∵，∴0＜＜1，即﹣=＜＜﹣，累加可得，﹣＜1﹣，故a n+1＜n+1，另一方面，由a n≤n可得，原式变形为故累加得，故＜a n+1＜n+1．2016年8月20日。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．722．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭5．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ）①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．28．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．9．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±11．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-12．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68π B ．64π C ．32π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2008年浙江省杭州学军中学高考模拟考试数学试卷（理科）2008.5一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在答题卡上． 1.已知集合A={1,log |2>=x x y y }, B={1,)21(|>=x y y x},则A ∩B=( ) A. {10|<<y y } B. {210|<<y y } C. {121|<<y y } D. φ 2．函数)1(322-≤++=x x x y 的反函数为 （ ）A ．)2(21≥--=x x yB ． )2(21≥-+-=x x yC ．)2(21≥-+=x x yD ．)2(21≥---=x x y3．如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．104.设l m ，均为直线，α为平面，其中,l m αα⊄⊂，则“//l α”是“//l m ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5.若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为（ ）．A ．43 B ．34 C ．43- D ．34- 6．曲线1y =:(2)4l y k x =-+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A.（512，+∞） B.（512，3]4 C.（0，512） D.（13，3]47．函数2|log |1()2x f x x x =--的图像为（ ）8.异面直线a ，b 成80o 角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ属于集合( )A ．{θ|0o <θ<40o } B.{θ|40o <θ<50o } C.{θ|40o <θ<90o } D.{θ|50o <θ<90o }2tan2tan 3tan 2tan C A C A ++9.设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则O A O B ⋅取得最小值时，点B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个10．双曲线222x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点(),n n n P x y （1,2,3n =）在其右支上，且满足121n n P F P F +=，1212PFF F ⊥，则2008x 的值是 （ ）A ． B. C. 4015 D. 4016二．填空题：(本大题共7小题，每小题4分，满分28分)11.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则 的值为________. 12.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为 .13．三条正态曲线对应的标准差分别为1σ,2σ,3σ(如图)， 则1σ,2σ, 3σ的大小关系是 . 14.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2,AD DB CD CA CB λμ==+，则λμ的值为____ _ . 15．从北京等8座城市中选6座参加2008年奥运会火炬接力的传递活动,规定从举办城市北京出发最后回到北京,中间必须按先后顺序经过杭州,上海两座城市,则不同的传递路线条数为 . 16．如图，P 是正四面体ABC V -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 的距离与到点V 的距离相等，则其轨迹为 ，离心率等于 ．17.已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,则a 的取值范围是 ．三：解答题18. （本题满分14分） 某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为23． (1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19. （本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形，090=∠ADC ，G AC AB AC AB BC AD ,2,,//==⊥为PAC ∆的重心，E 为PB 的中点，F 在线段BC 上，且FB CF 2=.(1)求证：//FG 平面PAB ； (2)求证：AC FG ⊥；(3)当二面角A CD --P 多大时，⊥FG 平面AEC ．20.（本题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()c b a >>.（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为23，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围;（3）如图，过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆22221x y a b+=(0>>b a )相交于Q R S P ,,,四点，设原点O 到四边形PQSR 一边的距离为d ，试求1=d 时b a ,满足的条件.21．（本题满分15分） 已知函数x a x x f ln )(2-=在(]2,1是增函数，x a x x g -=)(在(0,1)是减函数；⑴求)(x f 、)(x g 的表达式； ⑵求证：当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解； ⑶当1->b 时，若212)(x bx x f -≥在∈x (0,1]内恒成立，求b 的取值范围；22. （本题满分15分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11>S ，且n a a S n n n )(2)(1(6++=为正整数）.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n a b na n n ,2,，求n nb b b T +++= 21； （3）设为正整数）n b b C nn n (1+=，问是否存在正整数N ，使得N n >时恒有2008>n C 成立？若存在，请求出所有N 的范围；若不存在，请说明理由.。

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷满分150分, 考试时间120分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|21}xA y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()U C A B =（ ）A ．ÆB ．1{|1}2x x <£C ．{|1}x x <D ．{}01x x <<2. 已知0m >，且cos sin 5sin()m a a a j -=+，则tan j 为（为（ ） A.12- B. 12C. 2D. 2-3. 若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为，则条件①可为( ( ) A ．5n £ B B．．6n £ C C．．7n £ D D．．8n £4. 对于不重合的两平面b a ,，给定下列条件：，给定下列条件： ①存在平面；都垂直于，使得g b a g , ②存在平面；都平行于，使得g b a g ,③存在直线m l m l //,,使得b a ÌÌ；④存在异面直线b a b a //,//,//,//,,m m l l m l 使得参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A ，B 相互独立，那么相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的概率 P n (k )=C kn p k (1-p )n -k (k =0,1,2,…，n ) 台体的体积公式：V=)(312211S S S S h ++ （其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高）柱体的体积公式：Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）柱体的高）锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）锥体的高）球的表面积公式：S =4πR 2 球的体积公式：343V R p =（其中R表示球的半径）3122(8)3p +(82)3p +(6)3p +(92)3p +x)2(3128过3363 3若不等式组表示的______.222= . ()()11,PM PA PB PN PA PB PC MN BC AC AB 3p ,2pBC AB .22na -{}1n a -(Ⅱ)设11n nb a =-,数列{}n b 的前n 项和为n B ,对任意2n ³都有320n n mB B ->成立成立,,求整数m 的最大值的最大值. .20. （本题满分15分）如图，如图，四棱锥四棱锥S ABCD -中，中， SAB D 是正三角形，是正三角形，四边形四边形ABCD为正方形，平面SAB ^平面ABCD ，4AB BC ==，E 为SB 中点，点F 在线段BC 上. （Ⅰ）当EF BD ^时，求BF 的长度；的长度；（Ⅱ）设二面角E AF B --的大小为q ，当点F 在线段BC 中点时，求tan q . 22721.(15C 1O F AB 432P 4AB AB AOB x y x F +==D 本题满分分）已知椭圆：，为坐标原点，为右焦点，为长为的动弦，为直线上的动点上的动点..若过点 (求直线的方程；(判断直线ＰＡ，ＰＦ，ＰＢ的斜率是否依次成等差数列，说明理由；（（Ⅰ）ⅰ））求面积的取ⅱ）Ⅱ值范围值范围..22．（本题满分14分）已知函数2()ln(1)4,f x x ax x =+--+.a R Î （Ⅰ）若0x =是()f x 的极小值点，M 是()f x 的极大值。

2011年学军中学高考模拟考试自选模块试卷题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）（1）已知,,0,x y z >且 1.x y z ++= 求222(1)(1)(1)x y z y y z z x x ++---的最小值。

（2）对于任意的n ∈N +,x 1,x 2,⋯,x n 均为非负实数，且2121≤++n x x x ，试证明： 21)1()1)(1(21≥---n x x x 题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）在极坐标系Ox 中，已知曲线12:cos():1(0),4C C πρθρθπ+==≤≤ 22321cos :sin .3C θθρ=+设1C 与2C 交于点.M （1）求点M 的极坐标；（2）若动直线l 过点M ，且与曲线3C 交于两个不同的点,,A B 求||||||MA MB AB ⋅的最小值。

题号03 数学（1）222,x y z xy yz zx ++≥++22223()() 1.x y z x y z ∴++≥++=2221.3x y z ∴++≥ 由柯西不等式，得2222[][(1)(1)(1)]() 1.(1)(1)(1)x y z y y z z x x x y z y y z z x x ++-+-+-≥++=--- ∴22222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()x y z y y z z x x y y z z x x x y z ++≥=----+-+--++13.1213≥=- 当且仅当a b c ==时，222(1)(1)(1)x y z y y z z x x ++---取到最小值3.2 （2）数学归纳法题号04数学（1）由221,1(0).x y x y y -=⎧⎨+=≥⎩解得点M 的直角坐标为(1,0),因此点M 的极坐标为(1,0). （2）设直线l 的参数方程为1cos ,(sin .x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），代入曲线3C 的直角坐标方程并整理得222(3sin cos )(2cos )20.t t ααα++-= 设点,A B 对应的参数分别为12,,t t 则121222222cos 2,.3sin cos 3sin cos t t t t ααααα+=-=-++ 12222||||||,3sin cos MA MB t t αα∴⋅==+12||||AB t t =-==22.3sin cos αα=+||||||MA MB AB ⋅∴= 20,0sin 1.απα≤<∴≤≤∴当2πα=时，sin 1α=，||||||MA MB AB ⋅有最小值6。

2019届学军中学高考模拟考一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ,}421{，，=P ,}6432{，，，=Q .则）Q C P U ( =（ ） A. }1{ B. }42{， C. {1234}，，， D.}5421{，，，2．双曲线C ：14922=x y —的离心率是（ ） A ．35 B ．313 C ．913D ．213 3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.16 B. 32 C. 48 D. 1444．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或15．函数|)1ln(|)1()(-+=x x x f 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知直线042:1=++y ax l ，02)1(:2=+-+y a x l ，则“1-=a ”是“21//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( )A ． 18种B ． 12种C ． 36种D ． 24种 8．已知随机变量ξ的分布列如下，则)(ξE 的最大值是（ ）A ．85-B ．6415-C ．41-D ．6419- ξ 1-aP41 a +21b -411-21xyO1-21yx O 1-21xyO1-21xyO9．设函数(),f x x =点*(00),(0,1),(,()),,n O A A n f n n N ∈，设n n AOA θ∠=，若对一切*n N ∈,不等式222223122222sin sin sin sin 22123n t t nθθθθ++++<--成立，则正数t 的最小值为（ ） A ．3B ． 4C ． 5D ． 610.已知βα,为两个不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，且m =βα ，β⊂n . 记直线m 与直线n 的夹角和二面角βα--m 均为1θ，直线n 与平面α的夹角为2θ，则下列说法正确的是（ ） A ．若601πθ<<,则212θθ> B ．若461πθπ<<,则21tan 2tan θθ> C ．若341πθπ<<,则21sin sin θθ< D ．若231πθπ<<,则21cos 43cos θθ>二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

一、单选题二、多选题1. 已知虚数满足，表示的共轭复数，则结论不正确的是（ ）A．B．C．D．2. 如图所示，的面积为，其中，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若，则的值为（）A．B．C．D．3. 如图所示，样本A 和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本极差分别为和，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 设是虚数单位，复数的实部与虚部相等，则（ ）A．B．C．D．5. 若函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D．可以取得最小值6. 在中，点满足，则（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线E：（，）的右焦点为F ，以（O 为原点）为直径的圆与双曲线E 的两条渐近线分别交于点M ，N （M ，N 异于点O ）.若，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．4B ．2C．D．8. 已知椭圆：，点，在椭圆上且在轴异侧，，分别为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（ ）A ．8B ．4C ．3D．9. 已知向量，将绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（ ）.A．B．浙江省杭州市学军中学2022届高三下学期5月模拟周末练数学试题浙江省杭州市学军中学2022届高三下学期5月模拟周末练数学试题三、填空题四、解答题C．D ．点坐标为10. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）A．收入最高值与收入最低值的比是B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元11. 已知函数为奇函数，的图象关于直线对称，若，则（ ）A ．函数为奇函数B．函数的最大值是C．函数图象关于直线对称D．函数的最小值为12. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，若为边长是的等边三角形，则此抛物线方程为____________.14.已知函数，，则______，若方程的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是______.15.，则向量的夹角为___________16.已知定义在上的函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.17. 甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0.5，0.6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0.5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5，假设每场比赛结果相互独立.(1)求甲队仅比赛3场获胜的概率；(2)已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和的分布列及期望.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，，是棱上的一个点，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 某实验室为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物实验，根据个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用251540服用501060合计7525100(1)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；(2)现在实验室计划进行临床试验，对名志愿者进行用药且每位志愿者的用药互不影响.根据服用药物的动物实验数据用频率来估算概率，记为用药后成功预防疾病的人数，求的分布列及期望.附：0.050.010.0052.7066.6357.87920. 已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：.21. 已知函数.(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；(2)若，证明：函数有两个零点.参考数据：。