2015最后一课——三角函数(理)

高考数学总复习讲座第四讲复习三角函数一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲要紧内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

如此一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都能够表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记专门角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，能够把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它能够推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r xcos =α，xy tan =α，yxcot =α。

利用三角函数定义，能够得到（1）诱导公式：即α+πt 2k与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

第十三课时 三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是 ，分别记作：(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是其中正弦函数y=sinx ，x ∈R①当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值②当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R①当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值 .②当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值 .(3)周期性由⎩⎨⎧=+=+xk x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是 函数, (k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是(4)奇偶性正弦函数是 函数，余弦函数是 函数.(5)单调性从y ＝sinx ，x ∈［－π2 ，3π2］的图象上可看出： 当x ∈［－π2 ，π2］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cosx ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R.解：［例2］求下列函数的定义域：(1)y ＝1＋1sinx(2)y ＝cosx 解：［例3］求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2)Ⅲ.课堂练习课本P33 1～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题. Ⅴ.课后作业课本P46 习题 2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y＝sinx在第一象限是增函数；②α是锐角，则y＝sin(α＋π4)的值域是［－1，1］；③y＝sin｜x｜的周期是2π；④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；其中正确的命题的序号是_____.评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝lg(sinx－32) (2)y＝22cos3x－1分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)cos 32，sin110，－cos74(3)sin(sin 3π8)，sin(3π8).分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质（2）导学案文一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的范围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的范围；（3）数形结合法、换元法。

3、三角函数的奇偶怀的判定与代数函数的奇偶性的判断方法步骤一致：（1）先看定义域是否关于原点对称，（2）在满足（1）后，再看的关系。

4、求函数的值域和最值、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性、求函数的最小正周期都要通过恒等变形将函数转化为基本三角函数类型，因此，要注意化归思想的应用，但要注意变形前后的等价性，值得强调的是，要牢记各基本三角函数的性质，这是解决问题的关键。

二、反思感悟五、课时作业1、函数的图象的对称轴方程是（）A、x=B、x=C、x=D、x=2、若点P（sin,tan）在第一象限内，则在[0,2内的取值范围是（）A、 B、C 、D 、3、已知函数下面的结论错误的是（ ）A 、函数的最小正周期为2B 、函数在区间 上是增函数C 、函数的图象关于直线x=0对称。

D 、函数是奇函数 4、已知函数（>0）,在[0,2上的图象如下，那么=2π11oyxA 、1B 、2C 、D 、5、若动直线x=a 与函数和 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为（ ） A 、1 B 、C 、D 、26、（2009湖北卷文）函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-7．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z8．(2009年高考四川卷)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数9．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是( )A ．－π2 B ．0C.π2D ．π10.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0]11.函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．12．(原创题)若f (x )是以5为周期的函数，f (3)＝4，且cos α＝12，则f (4cos2α)＝________.13．已知函数f (x )＝sin2x －2cos 2x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．补 充 练 习1.f(x)=sinx-x 的零点个数为:A.1 B.2 C.3 D.42．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π43．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D.π45．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π86．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝f (tan 5π7)，则( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间[0，2π3]上的取值范围．。

高考数学回归课本教案第六章三角函数一、基础学问定义1 角，一条射线围着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的确定值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se c α=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tan α=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα, co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，依据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。

单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。

三角函数的概念【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 三角函数的概念角的概念的推广、弧度制正弦、余弦的诱导公式同角三角函数的基本关系式任意角的三角函数第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π= ；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc ryα=. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：222si ncos 1α+α=α=.2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα. 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sin cos =α+α，221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点五、诱导公式1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角. 方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。

15 三角函数的应用教学目标(一)教学知识点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 2能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明(二)能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力(三)情感与价值观要求1在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气2选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望教具重点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用 2发展学生数学应用意识和解决问题的能力教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ创设问题情境，引入新课[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等下面我们就看一个问题(多媒体演示)海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题(板书：船有触礁的危险吗)Ⅱ讲授新课[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?[生]应该是“上北下南，左西右东”[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出的[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，在B的正东方，且在A南偏东25°处示意图如下[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁决定?[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险A到B所在直线的最短距离为过A作AD⊥B，D为垂足，即AD的长度我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题下面我们就看AD如何求根据题意，有哪些已知条件呢?[生]已知B °＝20海里，∠BAD ＝55°，∠AD ＝25°[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △ABD 和Rt △AD 你能在哪一个三角形中求出AD 呢?[生]在Rt △AD 中，只知道∠AD=25°，不能求AD[生]在Rt △ABD 中，知道∠BAD=55°，虽然知道B ＝20海里，但它不是Rt △ABD 的边，也不能求出AD[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起，站在一个更高的角度考虑?[生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边而且B 是这两个直角三角形BD 与D 的差，即B ＝BD-DBD 、D 的对角是已知的，BD 、D 和边AD 都有联系[师]有何联系呢?[生]在Rt △ABD 中，tan55°＝AD BD ，BD=ADtan55°；在Rt △AD 中，tan25°＝AD CD ，D ＝ADtan25°[生]利用B ＝BD-D 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一下面我们一起完整地将这个题做完[师生共析]解：过A 作B 的垂线，交B 于点D 得到Rt △ABD 和Rt △AD ，从而BD=AD tan55°，D ＝ADtan25°，由BD-D ＝B ，又B ＝20海里得ADtan55°-ADtan25°＝20AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=︒-︒25tan 55tan 20≈2079(海里) 这样AD ≈2079海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险[师]接下，我们再研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔D 的高度他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50至B 处测得仰角为60°那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 )[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角30°的仰角指∠DA ，60°的仰角指∠DB[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)[生]首先，我们可以注意到D 是两个直角三角形Rt △AD 和Rt △BD 的公共边，在Rt △AD 中，tan30°=AC CD ， 即A ＝︒30tan CD 在Rt △BD 中，tan60°=BCCD 即B ＝︒60tan CD ，又∵AB=A-B ＝50 ，得 ︒30tan CD -︒60tan CD =50 解得D ≈43()，即塔D 的高度约为43[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量D 的高度时应考虑小明的身高[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏在实际测量时的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为16 ，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?[生]示意图如右图所示，由前面的解答过程可知′≈43 ，则D＝43+16＝446 即考虑小明的高度，塔的高度为446[师]同学们的表现太棒了现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下多媒体演示：某商场准备改善原楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到00l )请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)[生]在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量根据题意可画㈩示意图(如右图)其中AB表示楼梯的高度A是原楼梯的长，B是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度∠AB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角转化为数学问题即为：如图，AB ⊥DB ，∠AB ＝40°，∠ADB ＝35°，A ＝4求AD-A 及D 的长度[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧![生]解：由条件可知，在Rt △AB 中sin40°＝AC AB ，即AB ＝4sin40°，原楼梯占地 长B ＝4cs40°调整后在Rt △ADB 中，sin35°＝AD AB ，则AD ＝︒︒=︒35sin 40sin 435sin AB 楼梯占地长 DB=︒︒35tan 40sin 4 ∴调整后楼梯加长AD-A ＝︒︒35sin 40sin 4-4≈048()，楼梯比原多占D ＝DB-B=︒︒35tan 40sin 4 -4cs40°≈061()Ⅲ随堂练习1如图，一灯柱AB 被一钢缆D 固定，D 与地面成40°夹角，且DB ＝5 ，现再在点上方2处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?解：在Rt △BD 中，∠DB=40°，DB=5 ，sin40°=DBBC ，B=DBsin40°=5sin40°() 在Rt △EDB 中，DB=5 ，BE=B+E ＝2+5sin40°()根据勾股定理，得DE=2222)40sin 52(5︒++=+BE DB ≈796()所以钢缆ED 的长度为7962如图，水库大坝的截面是梯形ABD ，坝顶AD＝6 ，坡长D ＝8 坡底B ＝30 ，∠AD=135°(1)求∠AB 的大小：(2)如果坝长100 那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到001 3) 解：过A 、D 分别作AE ⊥B ，DF ⊥B ，E 、F 为垂足(1)在梯形ABD 中∠AD ＝135°，∴∠FD ＝45°，EF ＝AD=6 在Rt △FD 中，D ＝8 DF ＝F ＝Dsin45°=42 () ∴BE=B-F-EF=30-42-6=24-42()在Rt △AEB 中，AE ＝DF=42 ()tanAB ＝262242424-=-=BE AE ≈0308 ∴∠AB ≈17°8′21″(2)梯形ABD 的面积S ＝21(AD+B)×AE = 21(6+30)×4 2=722 (2) 坝长为100 ，那么建筑这个大坝共需土石料100×722 ≈1018234(3)综上所述，∠AB ＝17°8′21″，建筑大坝共需1018234 3土石料 Ⅳ课时小结。

三角函数的图像与性质知识梳理：y =sin xy =cos xy=tanx定义域 R R {|,,}2x x x k k ππ∈≠+∈R Z 且值域[－1，1][－1，1] R 最值当x ＝2k +2，k ∈Zy ma x =1当x ＝2k －2，k ∈Z ，y min ＝－1当x ＝2k ，k ∈Z ， y ma x ＝1； 当x =2k +，k ∈Z ， y min ＝－1无奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性 T ＝2T ＝2 T ＝单 调 性[2k －2，2k +2]， k ∈Z增函数[2k +2， 2k +32]，k ∈Z减函数[2k ，2k +]， k ∈Z减函数, [2k -，2k ]，k ∈Z 增函数 (－2π+k ，2π+k )（k ∈Z ） 增函数题组1：基础再现 1.函数sin2xy =的最小正周期为 . 2.函数sin()4y x π=+的单调增区间为 . 3.函数tan(2)y x π=-4.不求值，判断下列各式的符号：（1）tan138tan143- （2）1317tan()tan()45ππ---题组2：三角函数的定义域与值域问题例1求函数y =lgsin x +cos x －12的定义域．解：要使函数有意义，只需sin 0,1cos .2x x >⎧⎪⎨≥⎪⎩，∴22,22.33k x k k x k πππππππ<<+⎧⎪⎨-≤≤+⎪⎩∴定义域为(2,2]3k k πππ+（k ∈Z ）． 例2（1）求函数y ＝cos 2x +sin x ，x ∈[－4π，4π]的值域； （2）求函数cos 3cos 3x y x -=+的值域；（3）若函数f (x )=a －b cos x 的最大值为52 ，最小值为－12 ，求a ， b 的值．解：（1）令sin x ＝t ，∵x ∈[－4π，4π]，∴t ∈[－22，22]．∴y ＝－t 2+t +1＝－(t －12)2+54．∴当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－22时，y min ＝122-．∴所求值域为[122-，54]．（2）∵cos 3cos 3x y x -=+，∴33cos 1y x y +=-．∵|cos x |≤1，∴33||1y y +-≤1，∴－2≤y ≤－12． ∴所求值域为[－2，－12]．题组3：三角函数的单调性与对称性问题一般地，函数y ＝A sin(x +)的对称中心横坐标可由x +＝k 解得，对称轴可由x +＝k +2解得；函数y ＝A cos(x +)的对称中心、对称轴同理可得．例3求函数y ＝sin(π－2x )的单调减区间. -π ππ2x2π 3π2O -2π-3π2-π21 -1 yy ＝sin x y ＝cos x π xπ2-π2 -πyO解：∵定义域为R ，又sin(2)4y x π=--，∴要求sin(2)4y x π=-的减区间即求sin(2)4y x π=-的增区间．∴222242k x k πππππ-≤-≤+ ∴388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）．∴ 函数的定义域为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．变1求函数12log cos y x =的单调减区间．解：∵cos 0x >，∴定义域为(,)44k k ππππ-+（k ∈Z ）． ∴要求12log cos 2y x =的减区间即求cos2y x =在定义域的增区间． ∴2222k x k πππ-<≤，∴函数的定义域为(,]4k k πππ-（k ∈Z ）． 变2已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-是增函数，则的取值围为 ．例4判断下列函数的奇偶性：（1）3()cos()2f x x x π=-；（2）2()lg(sin 1sin )f x x x =++；（3）21sin cos ()1sin x xf x x+-=+．答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数．变1已知函数f (x )=sin(x +)+3cos(x － )为偶函数，求 的值．解 ∵f (x )为偶函数，∴sin(x +)+3cos(x － )＝sin(－x +)+3cos(－x － )，∴sin(x +)+ sin(x －)=3[ cos(x + )－cos(x － )]，化简得tan =－3，∴ =6k ππ-（k ∈Z ）．题组4：综合与创新1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．必要不充分2．函数f (x )＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12－xx －1的对称中心坐标为________．(1，－1)3.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解：（1）π()2cos (sin cos )1sin 2cos2224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π． （2）∵8π≤x ≤34π，∴0≤2x －4π≤54π，∴－22≤sin(2x －4π)≤1，∴函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．3.设函数232()cos 4sin cos 43422xx f x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（1）求()g t 的表达式；（2）讨论()g t 在区间(－1，1)的单调性并求极值．解：（1）f (x )232sin 12sin 434x t x t t t =--++-+223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（2）2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．列表如下： t (1)21--，12- 1()221-， 12 1(1)2， ()g t '+-+()g t极大值1()2g -极小值1()2g由此可见， ()g t 在区间(1)21--，和1(1)2，上单调递增，在区间1()221-，上单调递减，极小值为1()2g =2，极大值为1()2g -=4． 2．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．2．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .第26课时三角函数的图像与性质知识梳理：当x ＝2k +2，k ∈Zy ma x =1当x ＝2k －2，k ∈Z ，y min ＝－1当x ＝2k ，k ∈Z ， y ma x ＝1； 当x =2k +，k ∈Z ， y min ＝－1T ＝2T ＝2 T ＝[2k －2，2k +2]， k ∈Z增函数[2k +2， 2k +32]，k ∈Z减函数[2k ，2k +]，k ∈Z减函数, [2k -，2k ]，k ∈Z 增函数 (－2π+k ，2π+k )（k ∈Z ） 增函数题组1：基础再现 1.函数sin2xy =的最小正周期为 . 2.函数sin()4y x π=+的单调增区间为 . 3.函数tan(2)3y x π=-的定义域为 .4.不求值，判断下列各式的符号：（1）tan138tan143- （2）1317tan()tan()45ππ---题组2：三角函数的定义域与值域问题例1求函数y =lgsin x +cos x －12的定义域．例2（1）求函数y ＝cos 2x +sin x ，x ∈[－4π，4π]的值域； （2）求函数cos 3cos 3x y x -=+的值域；（3）若函数f (x )=a －b cos x 的最大值为52 ，最小值为－12 ，求a ， b 的值．题组3：三角函数的单调性与对称性问题一般地，函数y ＝A sin(x +)的对称中心横坐标可由x +＝k 解得，对称轴可由x +＝k +2解得；函数y ＝A cos(x +)的对称中心、对称轴同理可得．例3求函数y ＝sin(4π－2x )的单调减区间.变1求函数12log cos y x =的单调减区间．变2已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-是增函数，则的取值围为 ．例4判断下列函数的奇偶性：（1）3()cos()2f x x x π=-； （2）2()lg(sin 1sin )f x x x =++；（3）21sin cos ()1sin x xf x x+-=+．变1已知函数f (x )=sin(x +)+3cos(x － )为偶函数，求 的值．题组4：综合与创新1.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．2．函数f (x )＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12－xx －1的对称中心坐标为________．3.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．4.设函数232()cos 4sin cos 43422x x f x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（1）求()g t 的表达式；（2）讨论()g t 在区间(－1，1)的单调性并求极值．5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．。

第三章第三节、三角函数图像与性质【教学目标】Ⅰ.能画出函数x y sin =，x y cos =，x y tan =的图像，了解三角函数的周期性．Ⅱ．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性【基础训练】先欣赏正弦函数、余弦函数、正切函数的图像：【后画在自己的练习本上】有图可知x y sin =的周期T= ；有图可知x y cos =的周期T= ；有图可知x y tan =的周期T= ；函数的性质——周期性1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx_1_ - 1_y= s inx _ - 3 π _2_ - 5π _2_ - 7 π _2_7 π _2_5 π _2_3 π _2π_2_ - π_2_ - 4π _ - 3 π _ - 2 π _4 π _3 π _2π π_ - π_o_y_x对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的________．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 ． 2.基本公式①基本三角函数的周期x y sin =，x y cos =的周期为 ； x y tan =周期为 .②型三角函数的周期的周期为 ；的周期为 .巩固练习： 1.函数)62sin(2π+=x y 的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π、 2.下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ） A ．sin 4y x = B cos 4y x = C cos y x = D tan 2y x = 3.若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是23π，求正数k 值为 ； 4.函数x y sin =的周期为 ；函数x y tan =的周期为 .5.1)cos (sin 2-+=x x y 是( )A ．最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数二、理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．三角函数的图像与性质：看三角函数图象识特征“三部曲”：①选特殊周期：越靠近y轴越特殊；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，[教材改编]1．函数y＝2sin(2x－1)的最小正周期是；2．函数y＝A sin x＋1(A>0)的最大值是3，则它的最小值是；3．函数y＝2cos x在[－π，0]上是函数，在[0，π]上是函数．4．比较大小：tan 1 tan 4(填“<”“>”“＝”)．5.下列关系式中正确的是( )A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11°探究点一三角函数的定义域的求解例1 求下列函数的定义域：(1)求函数1sin 2-=x y 的定义域； (2)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的定义域．归纳总结：用三角函数的图像解sin x>a(cos x>a ，tan x>a)的方法： ①作直线y ＝a ，在三角函数的图像上找出在一个周期内(不一定是[0，2π])直线y ＝a 上方的图像；②确定sin x ＝a(cos x ＝a ，tan x ＝a)的x 值，写出解集． 变式迁移：(1)函数y ＝1－2cos x 的定义域是 ． (2)函数x y tan 3-=的定义域是 ．探究点二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．。

高三数学最后一课知识点在高三学习生涯的最后一课中，我们将回顾和掌握高中数学的一些关键知识点。

这些知识点将帮助我们巩固数学基础，为高考做好准备。

以下是本课程中的重点内容：1. 函数与方程1.1 函数的定义和性质函数是一种将一个集合中的每个元素（称为定义域）映射到另一个集合中的唯一元素（称为值域）的规则。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1.2 一次函数、二次函数和指数函数一次函数是一个变量的一次多项式，二次函数是一个变量的二次多项式，指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的函数。

我们需要了解它们的图像、性质和应用。

1.3 方程的解法方程是描述两个表达式相等的数学语句。

我们需要了解一元一次方程、一元二次方程和一元多次方程的解法，包括化简、配方、因式分解、求根公式等。

2. 三角函数2.1 基本三角函数和单位圆基本三角函数包括正弦、余弦和正切，它们描述了角度和三角形之间的关系。

单位圆是一个半径为1的圆，它与三角函数的值有密切关系。

2.2 三角函数的图像、性质和变换我们需要了解三角函数的图像、周期性、奇偶性等性质，以及如何通过平移和伸缩对三角函数进行变换。

2.3 三角函数的应用三角函数在解决三角形相关问题、测量天体距离、信号处理等方面有广泛的应用。

我们需要掌握如何应用三角函数解决实际问题。

3. 概率与统计3.1 概率的基本概念概率是事件发生的可能性的度量，它介于0和1之间。

我们需要了解概率的求解方法、概率的性质和概率的应用。

3.2 统计的基本概念统计是收集、整理、分析和解释数据的科学。

我们需要了解统计学的基本概念，包括样本、总体、频率分布、描述统计量等。

在高三数学最后一课中，我们重点回顾了函数与方程、三角函数和概率与统计这三个重要的数学知识点。

通过深入理解和掌握这些知识，我们能够提高数学解题能力，为高考取得优异成绩做好准备。

让我们努力学好数学，为未来的学习和发展打下坚实基础！。

数学高中最后一课教案
教学内容：综合运用知识进行复习与总结
教学目标：巩固学生对高中数学知识的掌握，提高解题能力和思维能力
教学重点：巩固各个章节的知识点，综合运用知识解决问题
教学难点：综合运用知识解决复杂问题
教学准备：教材、课件、习题集、计算器
教学过程：
一、复习与总结（10分钟）
1. 复习各章节的重点知识点，包括函数、三角函数、立体几何、导数等内容。

2. 总结常见的解题方法和技巧，如分步推导、化简、建立方程等。

二、综合练习（30分钟）
1. 给学生分发一些综合性的练习题，要求学生运用所学知识解决问题。

2. 强调要注重问题分析和解题思路，不要死记硬背。

三、思维拓展（15分钟）
1. 设计一些思维拓展题，让学生进行思考和讨论。

2. 强调解决问题的方法和策略，培养学生的逻辑思维和创新能力。

四、小结与反思（5分钟）
1. 让学生对本节课的学习进行总结，复习重点知识点。

2. 引导学生思考数学学习的意义和方法。

五、作业布置（5分钟）
1. 布置一些练习题和思考题作为作业，督促学生复习巩固知识。

2. 提醒学生要按时完成作业，定期进行自测。

教学反馈：
1. 鼓励学生提出问题和意见，及时解决学习困惑。

2. 对学生的综合能力和解题能力进行评价和反馈，指导学生合理规划学习计划。