【二轮拨高】跨越一本线——决战高考之三角函数与解三角形(学生版)

专题01三角函数与解三角形题型简介三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1三角函数图像及性质问题，2结构不良试题3三角形面积周长问题4三角形三线问题5三角函数实际应用问题在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.典例在线题型一：三角函数的图象及其性质1．()π1cossin 2264xx f x ωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，已知点A ，B 是函数()f x 的图像与直线12y =的两个交点.且AB 的最小值为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对于ππ,123x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦都有()274f x m m ≥--，求m 的取值范围.变式训练1已知函数π()2sin cos 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)若0π2410f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0π7π,48x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．题型二：结构不良试题设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．①向量()cos ,1m B =u r与向量(),2n b c a =+ 平行．②22a b bc=+2cos 2cos 242424A B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)确定角A 和角B 之间的关系；(2)若D 为线段BC 上一点，且满足BD ＝AD ＝4，若2a ＝3b ，求b ．变式训练1．已知函数()21cos cos 2222x x x f x =-.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()0,f A a ==D 为BC 上一点，且满足____________，求ABC 的面积S .cos B b C =；②AD 为ABC的中线，且2AD =；③AD 为ABC的角平分线，且AD =这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）题型三：三角形面积，周长问题1ABC 中，74,cos ,8AB A AC AB ==>.(1)若12AB BC ⋅=，求BC ；(2)若1cos()4B C -=，求ABC 的面积.变式训练1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B =.(1)求cos C 的值；(2)若b =3cos a c B =，求ABC 的周长.题型四：三角形三线问题1．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，()sin sin 4sin C B a C =-.(1)求A ；(2)若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.变式训练1已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin a C C b c +=+．(1)求A ；(2)已知ABCM 为BC的中点，且AM =BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．题型五三角函数实际应用问题1如图，在ABC 中，cos 23cos()20B A C +++=，()0||||CA CB CA CB CA CB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，D 为ABC 外一点，2,1DA DC ==．(1)求角B 的大小，并判断ABC 的形状；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值．变式训练1．如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若AD =AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？模拟尝试1．如图,在平面四边形ABCD中,(0π),1ABC AB BC CD ∠θθ=<<===,AC CD ⊥.(1)试用θ表示BD 的长;(2)求22AC BD +的最大值.2．已知平面四边形ABCD 中，180,3A C BC ︒∠+∠==，若120ABC ∠= ，ABC(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长依次是a ，b ，c，b =222sin sin sin sin sin A C A C B ++=．(1)求角B 的大小；(2)当△ABC 面积最大时，求∠BAC 的平分线AD 的长．5．某地区组织的贸易会现场有一个边长为1的正方形展厅ABCD ，,M N 分别在BC 和AB 边上，图中DMN 区域为休息区，ADN △，CDM V 及BMN区域为展览区．(1)若BMN 的周长为2，求MDN ∠的大小；(2)若π6NDM ∠=，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积S 最大，并求出最大值．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知1231,sin 23S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．4．（2022·北京·统考高考真题）在ABC中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．5．（2021·全国·统考高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。

2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．3．（2021•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C ＝2：1：√2，b=√2．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C−π6）的值．4．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x−π4）在[0，π2]上的最大值．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A ＝2sin B ，求b 、c ； （2）若cos （A −π4）=45，求c ．8．（2020•天津）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin （2A +π4）的值．9．（2020•北京）在△ABC 中，a +b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A =−17； 条件②：cos A =18，cos B =916． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ； （2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．21．（2019•浙江）设函数f （x ）＝sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数y ＝[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域． 22．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ．（1）求A；（2）若√2a+b＝2c，求sin C．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2√2，求BC．27．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．28．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．29．（2018•北京）在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=43，cos（α+β）=−√55．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（−35，−45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．32．（2018•北京）已知函数f（x）＝sin2x+√3sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[−π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．33．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）＝a sin2x+2cos2x．（1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin （2B ﹣A ）的值．37．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B =35． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin （2A +π4）的值．38．（2017•山东）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．39．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．40．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A +C ）＝8sin 2B2．（1）求cos B ；（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ．41．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x −π3）﹣2sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x ∈[−π4，π4]时，f （x ）≥−12．42．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +√3cos A ＝0，a ＝2√7，b ＝2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．43．（2017•江苏）已知向量a →=（cos x ，sin x ），b →=（3，−√3），x ∈[0，π]． （1）若a →∥b →，求x 的值；（2）记f （x ）=a →⋅b →，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值． 44．（2017•北京）在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积．45．（2017•浙江）已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求f （2π3）的值．（Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．【解答】解：（1）∵c＝2b cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin2B，∵C=2π3，∴当C＝2B时，B=π3，即C+B＝π，不符合题意，舍去，∴C+2B＝π，∴2B=π3，即B=π6．（2）选①c=√2b，由正弦定理可得c b =sinCsinB=√3212=√3，与已知条件c=√2b矛盾，故△ABC不存在，选②周长为4+2√3，∵C=2π3，B=π6，∴A=π6，由正弦定理可得asinA =bsinB=csinC=2R，即a12=b12=√32=2R，∴a=R，b=R，c=√3R，∴a+b+c＝（2+√3）R＝4+2√3，∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2√3，∴△ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D，∴CD＝1，在△ACD中，运用余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即AD2=4+1−2×2×1×(−12)=7，AD=√7，∴BC边上的中线的长度√7．选③面积为S△ABC=3√3 4，∵A=B=π6，∴a＝b，∴S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos 2π3=3+34+√3×√32=214，AD=√212．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵2sin C＝3sin A，∴根据正弦定理可得2c＝3a，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=42+52−622×4×5=18，∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C=√1−cos2C=√1−(18)2=3√78，∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3√78=15√74．（II）∵c＞b＞a，∴△ABC 为钝角三角形时，角C 必为钝角，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)＜0， ∴a 2﹣2a ﹣3＜0， ∵a ＞0， ∴0＜a ＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴a +b ＞c ，即a +a +1＞a +2，即a ＞1， ∴1＜a ＜3， ∵a 为正整数， ∴a ＝2．3．（2021•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，b =√2． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值； （3）求sin （2C −π6）的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，∴a ：b ：c ＝2：1：√2， ∵b =√2，∴a ＝2b ＝2√2，c =√2b ＝2．（2）△ABC 中，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =2×2√2×√2=34．（3）由（2）可得sin C =√1−cos 2C =√74，∴sin2C ＝2sin C cos C =3√78，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=18， sin （2C −π6）＝sin2C cos π6−cos2C sinπ6=3√21−116． 4．（2021•浙江）设函数f （x ）＝sin x +cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求函数y ＝[f （x +π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）f （x −π4）在[0，π2]上的最大值．【解答】解：函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin(x +π4)，（Ⅰ）函数y ＝[f （x +π2）]2＝[√2sin(x +π2+π4)]2＝2cos 2（x +π4）＝1+cos[2（x+π4）]＝1+cos（2x+π2）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x−π4）=√2sin(x+π4)⋅√2sin(x−π4+π4)＝（√2(sin x+cos x）sin x=√2(sin2x+sinxcosx)=√2(1−cos2x2+12sin2x)=sin（2x−π4）+√22，因为x∈[0，π2]，所以2x−π4∈[−π4，3π4]，所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，f（x）max＝1+√22．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．【解答】解：（1）由余弦定理得cos A=−12=b2+c2−a22bc=5c2−94c2，解得c2=9 7，∴S△ABC=12bcsinA=√34×2c2=9√314；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sin B＝2sin C，又∵2sin B﹣sin C＝1，∴sin C=13，sin B=23，∴sin C＜sin B，∴C＜B，∴C为锐角，∴cos C=√1−(13)2=2√23．由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又∵a＝3，b＝2c，∴c2＝9+4c2﹣8√2c，得：3c2﹣8√2c+9＝0，解得：c=4√2±√53．当c=4√2+√53时，b=8√2+2√53，∴C△ABC＝3+4√2+√5；当c=4√2−√53时，b=8√2−2√53，∴C△ABC＝3+4√2−√5．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=c sin∠ACB=2R ，∴b ＝2R sin ∠ABC ，c ＝2R sin ∠ACB ，∵b 2＝ac ，∴b •2R sin ∠ABC ＝a •2R sin ∠ACB ， 即b sin ∠ABC ＝a sin C ， ∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ， ∴BD ＝b ；（2）法一：由（1）知BD ＝b ， ∵AD ＝2DC ，∴AD =23b ，DC =13b ，在△ABD 中，由余弦定理知，cos ∠BDA =BD 2+AD 2−AB 22BD⋅AD =b 2+(23b)2−c 22b⋅23b =13b 2−9c 212b 2， 在△CBD 中，由余弦定理知，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD =b 2+(13b)2−a 22b⋅13b =10b 2−9a 26b 2， ∵∠BDA +∠BDC ＝π， ∴cos ∠BDA +cos ∠BDC ＝0， 即13b 2−9c 212b 2+10b 2−9a 26b 2=0，得11b 2＝3c 2+6a 2， ∵b 2＝ac ，∴3c 2﹣11ac +6a 2＝0， ∴c ＝3a 或c =23a ，在△ABC 中，由余弦定理知，cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac2ac， 当c ＝3a 时，cos ∠ABC =76＞1（舍）； 当c =23a 时，cos ∠ABC =712； 综上所述，cos ∠ABC =712．法二：∵点D 在边AC 上且AD ＝2DC ， ∴BD →=13BA →+23BC →，∴BD →2=13BA →⋅BD →+23BC →⋅BD →，而由（1）知BD＝b，∴b2=13bc⋅cos∠ABD+23ab⋅cos∠CBD，即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，∴11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c=23 a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，当c＝3a时，cos∠ABC=76＞1（舍）；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=7 12．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A−π4）=45，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C=a2+b2−c22ab=22+12−c22×2×1=−14，可得c=√6．（2）因为cos（A−π4）=√22（cos A+sin A）=45，可得cos A+sin A=4√2 5，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A=7√210，sin A=√210，或sin A=7√210，cos A=√210，因为cos C=−14，可得sin C=√154，tan C=−√15，可得C为钝角，若sin A=7√210，cos A=√210，可得tan A＝7，可得tan B＝﹣tan（A+C）=tanA+tanCtanAtanC−1=7−√157×(−√15)−10，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，所以sin A=√210，由正弦定理2sinA=csinC，可得c=5√302．8．（2020•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2√2，b＝5，c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a＝2√2，b＝5，c=√13，则cos C=a2+b2−c22ab=2×2√2×5=√22，∵C∈（0，π），∴C=π4；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=π4，a＝2√2，c=√13，可得sin A=asinCc=2√2×√22√13=2√1313；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=2√1313，可得cos A=√1−sin2A=3√1313，则sin2A＝2sin A cos A＝2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A＝2cos2A﹣1=5 13，∴sin（2A+π4）=√22（sin2A+cos2A）=√22（1213+513）=17√226．9．（2020•北京）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−1 7；条件②：cos A=18，cos B=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2﹣b2＝49﹣14b×（−17）＝49+2b ， ∴（a +b ）（a ﹣b ）＝49+2b ， ∵a +b ＝11， ∴11a ﹣11b ＝49+2b ， 即11a ﹣13b ＝49，联立{a +b =1111a −13b =49，解得a ＝8，b ＝3，故a ＝8．（Ⅱ）在△ABC 中，sin A ＞0， ∴sin A =√1−cos 2A =4√37， 由正弦定理可得a sinA=c sinC，∴sin C =csinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12ab sin C =12×8×3×√32=6√3．选择条件②（Ⅰ）在△ABC 中，sin A ＞0，sin B ＞0，C ＝π﹣（A +B ）， ∵cos A =18，cos B =916， ∴sin A =√1−cos 2A =3√78，sin B =√1−cos 2B =5√716， 由正弦定理可得a sinA=b sinB，∴ab =sinA sinB=65，∵a +b ＝11， ∴a ＝6，b ＝5， 故a ＝6；（Ⅱ）在△ABC 中，C ＝π﹣（A +B ），∴sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√78×916+5√716×18=√74， ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×5×√74=15√7410．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．【解答】解：（1）由于f （x ）的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f （x ）＝sin 12x ．令sin 12x =12，故12x =2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3． 故解集为{x |x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3，k ∈Z }． （2）由于ω＝1， 所以f （x ）＝sin x ．所以g （x ）=sin 2x +√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x 2−√32sin2x =−√32sin2x −12cos2x +12=12−sin （2x +π6）． 由于x ∈[0，π4]，所以π6≤2x +π6≤2π3．12≤sin(2x +π6)≤1，故−1≤−sin(2x +π6)≤−12， 故−12≤g(x)≤0．所以函数g （x ）的值域为[−12，0]．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．【解答】解：（1）△ABC 中，B ＝150°，a =√3c ，b ＝2√7，cos B =a 2+c 2−b 22ac =222√3c 2=−√32，∴c ＝2（负值舍去），a ＝2√3， ∴S △ABC =12acsinB =12⋅2√3⋅2⋅12=√3． （2）sin A +√3sin C =√22，即sin （180°﹣150°﹣C ）+√3sinC =√22，化简得12cosC +√32sinC =√22， sin （C +30°）=√22， ∵0°＜C ＜30°， ∴30°＜C +30°＜60°， ∴C +30°＝45°， ∴C ＝15°．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：①ac =√3．△ABC 中，sin A =√3sin B ，即b =√33a ， ac =√3，∴c =√3a ， cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+a 23−3a22√3a 23=√32，∴a =√3，b ＝1，c ＝1． ②c sin A ＝3．△ABC 中，c sin A ＝a sin C ＝a sinπ6=3，∴a ＝6．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ，∴b =2√3．cos C =a 2+b 2−c 22ab =36+12−c 22×6×2√3=√32， ∴c =2√3． ③c =√3b ．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ， 又∵c =√3b ，cos C =a 2+b 2−c 22ab =√36≠cos π6，与已知条件C =π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．【解答】解：（1）因为a ＝3，c =√2，B ＝45°．，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC=b sinB，所以sin C =c b•sin45°=√2√5√22=√55，所以sin C =√55；（2）因为cos ∠ADC =−45，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC ＝sin （∠ADC +∠C ）＝sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 所以tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ；（2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解答】解：（1）∵cos 2（π+A ）+cos A ＝sin 2A +cos A ＝1﹣cos 2A +cos A =54，∴cos 2A ﹣cos A +14=0，解得cos A =12， ∵A ∈（0，π）， ∴A =π3；（2）证明：∵b ﹣c =√33a ，A =π3， ∴由正弦定理可得sin B ﹣sin C =√33sin A =12，∴sin B ﹣sin （2π3−B ）＝sin B −√32cos B −12sin B =12sin B −√32cos B ＝sin （B −π3）=12， ∵B ∈(0，2π3)，B −π3∈（−π3，π3）， ∴B −π3=π6，可得B =π2，可得△ABC 是直角三角形，得证．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵2b sin A =√3a ， ∴2sin B sin A =√3sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =√32，∵△ABC 为锐角三角形， ∴B =π3，（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形，B =π3， ∴C =2π3−A ，∴cos A +cos B +cos C ＝cos A +cos （2π3−A ）+cosπ3=cos A −12cos A +√32sin A +12=12cos A +√32sin A +12=sin （A +π6）+12， △ABC 为锐角三角形，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2， 解得π6＜A ＜π2，∴π3＜A +π6＜2π3， ∴√32＜sin （A +π6）≤1， ∴√32+12＜sin （A +π6）+12≤32，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为（√3+12，32]． 16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．【解答】解：（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ， 由正弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝bc ， 即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， 由0＜A ＜π，可得A =2π3； （2）由题意可得a ＝3， 又B +C =π3，可设B =π6−d ，C =π6+d ，−π6＜d ＜π6， 由正弦定理可得3sin 2π3=b sinB=c sinC=2√3，可得b ＝2√3sin （π6−d ），c ＝2√3sin （π6+d ）， 则△ABC 周长为a +b +c ＝3+2√3[sin （π6−d ）+sin （π6+d ）]＝3+2√3（12cos d −√32sin d +12cos d +√32sin d ），＝3+2√3cos d ，当d ＝0，即B ＝C =π6时，△ABC 的周长取得最大值3+2√3． 另解：a ＝3，A =2π3，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴9＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ≥（b +c ）2−14（b +c ）2， 由b +c ＞3，则b +c ≤2√3（当且仅当b ＝c 时，“＝”成立）， 则△ABC 周长的最大值为3+2√3．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．【解答】解：f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1＝1﹣cos2x ﹣2（1+cos2x ）+1＝﹣3cos2x ． （1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π；（2）g （x ）＝f （x2）=−3cos(2⋅x2)=−3cosx ，∵x ∈[0，π3]，∴﹣3cos x ∈[﹣3，−32]．即g （x ）在区间[0，π3]的最大值为−32，最小值为﹣3．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）【解答】解：（1）由题意可得，BC ＝BD sin22°，弧BC 所在的圆的半径R ＝BC sin π4=√22BC ， 弧BC 的长度为12πR =12π⋅BC ⋅√22=√24×3.141×39.2×sin22°=16.310km ； （2）根据正弦定理可得，BD sinA=AB sin58°，∴sin A =39.240×sin58°=0.831，A ＝56.2°， ∴∠ABD ＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°， ∴DH ＝BD ×sin ∠ABD ＝35.750km ＜CD ＝36.346km ∴D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离为35.750km19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解答】解：（1）a sin A+C 2=b sin A ，即为a sinπ−B 2=a cosB 2=b sin A ，可得sin A cosB 2=sin B sin A ＝2sin B 2cos B 2sin A ，∵sin A ＞0， ∴cosB 2=2sin B 2cos B2，若cos B 2=0，可得B ＝（2k +1）π，k ∈Z 不成立，∴sinB 2=12，由0＜B ＜π，可得B =π3；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，由余弦定理可得b =√a 2+1−2a ⋅1⋅cos π3=√a 2−a +1，由三角形ABC 为锐角三角形，可得a 2+a 2﹣a +1＞1且1+a 2﹣a +1＞a 2，且1+a 2＞a 2﹣a +1， 解得12＜a ＜2，可得△ABC 面积S =12a •sinπ3=√34a ∈（√38，√32）． 20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理bsinB=c sinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ．又因为b +c ＝2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a =−14．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B =√1−cos 2B =√154，从而sin2B ＝2sin B cos B =−√158，cos2B＝cos2B﹣sin2B=−7 8，故sin（2B+π6）＝sin2B cosπ6+cos2B sinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．21．（2019•浙江）设函数f（x）＝sin x，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．【解答】解：（1）由f（x）＝sin x，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2＝sin2（x+π12）+sin2（x+π4）=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2＝1−12(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6−sin2x)=34sin2x−√34cos2x+1 =√32sin(2x−π6)+1，∵x∈R，∴sin(2x−π6)∈[−1，1]，∴y=√32sin(2x−π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．22．（2019•北京）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32，由正弦定理有：csinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C =√32×1114−(−12)×5√314 =4√37．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． a ＝3c ，b =√2，cos B =23， ∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =10c 2−26c 2=23， 解得c =√33． （2）∵sinA a=cosB 2b， ∴由正弦定理得：sinA a=sinB b=cosB 2b，∴2sin B ＝cos B ，∵sin 2B +cos 2B ＝1， ∴sin B =√55，cos B =2√55， ∴sin （B +π2）＝cos B =2√55．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【解答】解：（1）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（2）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：a sinA=b sinB，∴sin A =asinB b =3×√327=3√314，∴sin （B +C ）＝sin （π−A ）＝sin A =3√314． 25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． （1）求A ；（2）若√2a +b ＝2c ，求sin C ．【解答】解：（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． ∴sin 2B +sin 2C ﹣2sin B sin C ＝sin 2A ﹣sin B sin C ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0＜A ＜π，∴A =π3． （2）∵√2a +b ＝2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC 解得sin （C −π6）=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sin C ＝sin （π4+π6）＝sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．（1）求cos ∠ADB ； （2）若DC ＝2√2，求BC ．【解答】解：（1）∵∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． ∴由正弦定理得：AB sin∠ADB=BD sin∠A，即2sin∠ADB=5sin45°，∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB ＜BD ，∴∠ADB ＜∠A ， ∴cos ∠ADB =1−(√25)2=√235．（2）∵∠ADC ＝90°，∴cos ∠BDC ＝sin ∠ADB =√25， ∵DC ＝2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8−2×5×2√2×√25=5．27．（2018•全国）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）证明a 2+b 2﹣c 2＝ab ； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）∵在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1， ∴由正弦定理得：a sinA=b sinB =c sinC=2R ＝2，∴sin A =a2，sin B =b 2，sin C =c2， ∵2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ， ∴2（a 24−c 24）＝（a ﹣b ）•b2，化简，得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ， 故a 2+b 2﹣c 2＝ab ． 解：（2）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，解得C =π3， ∴c ＝2sin C ＝2•√32=√3．28．（2018•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA=b sinB，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sinB ，∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√7，由b sin A ＝a cos （B −π6），得sin A =√3√7，∵a ＜c ，∴cos A =√7， ∴sin2A ＝2sin A cos A =4√37， cos2A ＝2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）＝sin2A cos B ﹣cos2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 29．（2018•北京）在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB得sin A =asinB b =7×4√378=√32，则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tan α=43，cos （α+β）=−√55．（1）求cos2α的值； （2）求tan （α﹣β）的值．【解答】解：（1）由{sinαcosα=43sin 2α+cos 2α=1α为锐角，解得{sinα=45cosα=35，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=−725；（2）由（1）得，sin2α=2sinαcosα=2425，则tan2α=sin2αcos2α=−247． ∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），∴sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=2√55． 则tan （α+β）=sin(α+β)cos(α+β)=−2．∴tan （α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （−35，−45）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （−35，−45）．∴x =−35，y =−45，r ＝|OP |=√(−35)2+(−45)2=1， ∴sin （α+π）＝﹣sin α=−yr =45； （Ⅱ）由x =−35，y =−45，r ＝|OP |＝1， 得sinα=−45，cosα=−35， 又由sin （α+β）=513， 得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±√1−(513)2=±1213， 则cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=1213×(−35)+513×(−45)=−5665， 或cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1213×(−35)+513×(−45)=1665． ∴cos β的值为−5665或1665． 32．（2018•北京）已知函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：（I ）函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x =1−cos2x 2+√32sin2x ＝sin （2x −π6）+12， f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6，2m −π6]， 即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．33．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ． （1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）＝﹣a sin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），∴﹣a sin2x +2cos 2x ＝a sin2x +2cos 2x ， ∴2a sin2x ＝0， ∴a ＝0；（2）∵f （π4）=√3+1，∴a sin π2+2cos 2（π4）＝a +1=√3+1，∴a =√3，∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1＝2sin （2x +π6）+1， ∵f （x ）＝1−√2，∴2sin （2x +π6）+1＝1−√2， ∴sin （2x +π6）=−√22，∴2x +π6=−π4+2k π，或2x +π6=54π+2k π，k ∈Z ， ∴x =−5π24π+k π，或x =1324π+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[﹣π，π]，∴x =13π24或x =19π24或x =−5π24或x =−11π24 34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值 【解答】解：（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]， 则cos α=13，则sin α=√1−(13)2=√89=2√23， 则f(α−π3)=cos （α−π3）＝cos αcos π3+sin αsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．（2）函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）＝cos2x ﹣2cos x ＝2cos 2x ﹣2cos x ﹣1＝2（cos x −12）2−32， ∵﹣1≤cos x ≤1，∴当cos x =12时，函数取得最小值，最小值为−32．35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12 ＝cos2x +12，x ∈（0，π），由2k π﹣π≤2x ≤2k π，解得k π−12π≤x ≤k π，k ∈Z ， k ＝1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5， 若f （A ）＝0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6＝0， 解得c ＝2或3， 若c ＝2，则cos B =19+4−252×√19×20，即有B 为钝角，c ＝2不成立， 则c ＝3，△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×5×3×√32=15√34． 36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由asinA =bsinB，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：a4b =ba，∴a＝2b．由ac=√5(a2−b2−c2)，得b2+c2−a2=−√55 ac，由余弦定理，得cosA=b2+c2−a22bc=−√55acac=−√55；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sinA=2√55，代入a sin A＝4b sin B，得sinB=asinA4b=√55．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=2√5 5．于是sin2B=2sinBcosB=45，cos2B=1−2sin2B=35，故sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A=sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA= 45×(−√55)−35×2√55=−2√55．37．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B=3 5．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B=35，可得cos B=45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sin A=asinBb=3√1313．∴b=√13，sin A=3√13 13；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A=2√1313，∴sin2A＝2sin A cos A=1213，cos2A＝1﹣2sin2A=−5 13．。

2021年辽宁省高考数学二轮解答题专项复习：三角函数及解
三角形（含答案解析）
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2021年辽宁省高考数学二轮解答题专项复习：三角函数及解三
角形
1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C +cos 2B
﹣1．
（1）求A ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2C ﹣sin A sin C ＝sin 2B ．
（1）求角B 的大小；
（2）若△ABC 为锐角三角形，其外接圆的半径为
5√33，求△ABC 的周长的取值范围．。

专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形适考素能特训 文一、选择题1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32B ．－12C.32D.12答案 D解析 sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12，故选D.2．[2016·广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.3．[2016·郑州质检]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 B解析 由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B. 4．[2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A ．9 hB ．10 hC ．11 hD ．12 h答案 B解析 记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002＋400t 2－2×20t ×400×22≤3002，即t 2－202t ＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.5．[2016·云南统测]已知△ABC 的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334 B.6＋324C.326－24D.36－324答案 A解析 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，c ＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a＝a 8＋34a －24≥2a8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立，此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334. 6．[2016·郑州质量预测]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334 B.736C.213D.334或736答案 D解析 sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cos B sin A ，sin2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.二、填空题7．已知tan α，tan β是lg (6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________. 答案 1解析 lg (6x 2－5x ＋2)＝0⇒6x 2－5x ＋1＝0，∴tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. 8．[2016·贵阳监测]在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，若sin 2B 2＝c －a 2c，则△ABC 的形状一定是________．答案 直角三角形解析 由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac ，整理，得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．9．[2016·西安质检]已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，若△ABC 的面积为453，则△ABC 外接圆的半径为________．答案 14解析 因为a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 5k 2＋ 3k 2－ 7k 22×5k ×3k ＝－12.因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝32，因为△ABC 的面积为453，所以12bc sin A ＝453，即12×5k ×3k ×32＝453，解得k ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，即2R ＝7k sin A ＝14332，解得R＝14，所以△ABC 外接圆半径为14.三、解答题10．[2016·重庆测试]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B ＋C2＋sin2A ＝1.(1)求A ；(2)设a ＝23－2，△ABC 的面积为2，求b ＋c 的值． 解 (1)由2cos2B ＋C2＋sin2A ＝1可得，21＋cos B ＋C 2＋2sin A cos A ＝1， 所以1＋cos(π－A )＋2sin A cos A ＝1，故2sin A cos A －cos A ＝0. 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ≠0，故sin A ＝12，从而A ＝π6.(2)因为△ABC 的面积为12bc sin A ＝14bc ＝2，所以bc ＝8.因为A ＝π6，故cos A ＝32，由余弦定理可知，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝3bc .又a ＝23－2，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝(2＋3)bc ＋a 2＝8×(2＋3)＋(23－2)2＝32.故b ＋c ＝32＝4 2.11．[2016·武汉调研]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解 (1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cosC －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.∴△ABC 的面积的最大值为 3.12．[2016·济宁模拟]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， 因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.典题例证[2016·天津高考]已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ( x －⎭⎪⎫π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.[规范解答] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎭⎬xx ≠2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3 ＝sin2x －3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －π12＋k π≤x ≤5π12＋ }k π，k ∈Z .易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.模型归纳利用y ＝sin x (y ＝cos x )的图象及性质解决三角函数性质的模型示意图如下：典题例证△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7. 模型归纳利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：。