三角函数求值-学生版 (1)

三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。

（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。

思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。

解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。

又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。

2010级数学专题 三角函数------求值化简专项训练选择题1.设θ为第二象限的角，则必有（ ）。

A .tan 2θ>c ot 2θB .tan 2θ<c ot 2θC .sin 2θ>cos 2θD .cos 2θ>sin 2θ 2．角α的终边上有一点P (a , a )，a ∈R ,且a ≠0, 则sin α的值是（ ）。

（A ）22 （B ）－22 （C ）＋22或－22 （D ）1 3.【07江西】．若tan()34πα-=，则cot α等于（ ）A ．2- B ．12- C ．12 D ．2 4．若sin x ＝5m 3m +-，cos x ＝5m m 24+-, 则m 的值是（ ）。

A.0 B.8 C.0或8 D.3<m <9 5．化简︒-1180sin 12的结果是（ ）。

A.cos100° B.cos80° C.sin80° D.cos206．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ）A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 7．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）AC ．45-D ．45 9．【2008年宁夏】23sin 702cos 10-︒=-︒（ ）A 12B 2C2 D 210．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭则c o s s i n αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12- Ｃ．12填空题1.设角α是第二象限的角，且2cos 2cosα-=α，试问2α是第 象限的角 2.【07江苏】．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则=βαtan tan ____ 3.（1）已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则23π3πsin(-α-)sin(-α)tan (2π-α)22ππcos(-α)(cos +α)cot(π-α)22的值 （2）若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为4．已知sin(α＋β)=－53，cos(βα-)=1312，且2π＜β＜α＜43π，则sin2α= . 5．（7）已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππππ∈=-⋅+a a a 则1cot tan sin 22--+a a a =6=解答题1．化简：(1) sin(－107︒1)·sin ︒99＋sin(－︒171)·sin(－︒261)－cot ︒1089·cot(－︒630); (2) ︒+︒+︒︒⋅⋅︒⋅︒89sin 2sin 1sin 89tan 2tan 1tan 222 ; (3) α-α++α+α-sin 1sin 1sin 1sin 1.2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求x x xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.3.已知71tan ,21)tan(-==-ββα且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值.4、已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.5.已知51sin(),tan ,(0,),(0,2),1322βαβαπβπ+==∈∈（1）求sin ,cos .ββ (2)求cos α.6、已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.7．已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量)sin ,(cos ),3,1(A A n m =-= ，且1=⋅n m .（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .8．已知ABC ∆的面积为22AB AC ∙= .（1）求A tan 的值；（2）求)4πcos(12cos 2sin 22sin 22A A A A --+的值9．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<．（Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求β．10.的值。

1.2有关三角函数的计算(1)【课前热身】1. sin30°= , cos45°= , tan60°= .答案：122. 用计算器求：（1）sin18°= ；(2)cos36°= ；(3)tan63°= . 答案：(1)0.3090 (2)0.8090 (3)1.96263. 用计算器比较大小:：sin20° sin40°；cos55° cos75°. 答案：< >4.计算: °tan 40tan50= . 答案：1【讲练互动】【例1】 (1)用计算器求：sin20°= ；sin40°= ；sin60°= ；sin80°= ； 由此，可用不等号连接：sin20° sin40° sin60° sin80°(2)用计算器求：cos15°= ；cos35°= ；cos55°= ； cos75°= ； 由此，可用不等号连接：cos15° cos35° cos55° cos75° ； 由此你能得到什么结论吗?【解】(1) 0.3420 0.6428 0.8660 0.9848 < < < (2) 0.9659 0.8192 0.5736 0.2588 > > >结论：锐角的正弦值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小.【变式训练】1. 用计算器求下列各式的值．（精确到0.0001 ) (1) sin15°18/+cos7°30/-tan54°42/； (2) sin48°25/+cos23°27/-tan48°•tan 81°52/. 【解】(1)2.6677 (2) 9.4366【例2】在△ABC 中，∠C =90°，已知AB =10cm, A ∠=42°, 求△ABC 的周长和面积.(精确到0.1cm)【解】∵∠C =90°，∴sin A =BC AB , cos A =ACAB, ∴BC =AB sin42°, AC =AB cos42°. ∴△ABC 的周长=AB (1+ sin42°+ cos42°)≈24.1cm ；△ABC的面积=12AB2·sin42°·cos42°≈24.9cm2.【绿色通道】求值时选项将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式, 再将边长和角度代入计算.【变式训练】2. 在某一时刻测得太阳光线与水平地面成44°角, 一棵竖起生长的松树在水平地面上的影子长为12m,则这棵松树的高度为(精确到0.1m).解析：树高=12·tan44°≈11.6m答案：11.6m【同步测控】基础自测1. 四位学生用计算器求cos27°40′的值正确的是……………………………………（）A. 0.8857B.0.8856C. 0. 8852D. 0.8851答案：B2. 锐角A>60°时,∠A的余弦值…………………………………………………………（）A.小于2B.大于32C.大于12D.小于12答案：D3. 下列不等式中能成立的是………………………………………………………（）A. cos5°<cosl0°<cos20°B. tan15°>tan35°＞tan55°C. cosl0°<tan70°<tan60°D. sin80°>sin55°>sin30°答案：D4. 给出下列式子：①cos45°>sin60°，②sin78°＞cos78°，③sin30°>tan45°, ④sin25°=cos65°. 其中正确的是……………………………………………………………（）A．①③B．②④C．①④D．③④答案：B5. 与°°sin34cos34的值相等的是……………………………………………………………（）A. sin68°B. cos68°C. tan68°D. tan34°答案：D6.计算: sin25°+cos25°= .(保留四个有效数字)答案：1.3297. 用不等号连接右面的式子：cos40°_____cos20°. 答案：<8. 若α为锐角，且sin α=35，则tan α等于 . 答案：349.计算：(1) sin20°·cos20°(结果保留四个有效数字)； (2) sin 266°+cos 266°-tan27°·tan63°.答案：(1) 0.3214 (2) 010. 如图，小红从A 地向北偏东28°的方向走100米到B 地，再从B 地向正西走200米到C 地，求这时小红距A 地的距离.解：∵AB =100m, ∠B =28°, ∴AD =AB ·sin B =100sin28°, BD = AB ·cos B =100cos28°. ∴CD =200-100cos28°. ∴AC121.17m.能力提升11.(2007滨州)如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是…………（ ）A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡 C. tan A 的值越小，梯子越陡 D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关 答案：A12. ∠A 是锐角，tanA>3，则∠A ……………………………………………………（ ） A ．小于30° B ．大于30° C ．小于60° D ．大于60° 答案：B13. 下列结论中(其中α是锐角)；①sin cos 1αα+≤；②cos 22cos αα=；③当°°090αβ<<<时, 0sin sin 1αβ<<<；④sin cos tan ααα=⨯其中正确的 .答案：③④14. 如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C 处测得对岸一棵树A 在正北东第15题南方向,测量员向正东方向走180米到点B 处,测得这棵树在南偏西68°的方向,求河的宽度（结果保留四个有效数字）.解：在Rt △ABC 中, BC =180m, ∠A =68°. ∴AC =18077.72tan tan 68BC A =≈m.15. °|tan 50tan 60|.-解：原式=tan50°-tan30°+tan60°-tan50°=+=创新应用16. 阅读下面的材料, 再回答问题.三角函数中, 常用公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 求sin75°的值,即sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=. 请你用公式cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 求cos75°的值.解：cos75°=cos(30°+45°)=cos30°·cos45°-sin30°·sin45°1.2有关三角函数的计算(2)【课前热身】1. 用计算器求下列三角函数值．(1)sin37°= ； (2)cos15°48/= ；(3)tan56°38/16//= . 答案：(1)0.6018 (2)0.9622 (3)1.5188 2.若tan 1α=, 且α为锐角,则α= 度. 答案：453.若sin 0.4515β=, 则锐角β= . 答案：26°50/24//4.已知,αβ为锐角, 若cos cos αβ>, 则α β(填”>””=”或”<”) 答案：<【讲练互动】【例1】已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α.(精确到1′) (1)sin α=0.4853；(2)cos α=0.3456；(3)tan α=2.808. 【解】(1)α≈29°02/；(2) α≈69°47/；(3)α≈70°24/. 【变式训练】1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =5, BC =12, 求△ABC 的各个锐角(精确到1′). 【解】在Rt △ABC 中，12tan 5BC A AC ===2.4, ∴∠A ≈67°23/. ∴∠B =90°-∠A =22°37/.【例2】如图, ⊙O 中, 直径AB ⊥弦CD 于点E , 若BE =14CD =4, 求∠COD 的度数.【解】∵直径AB ⊥弦CD , ∴∠COD =2∠EOC , CE =12CD =8. 设⊙O 的半径为R . 在Rt △OCE 中, OC 2=CE 2+OE 2, 即R 2=82+(R -4)2. 解得R =10. ∴tan ∠COE =841043CE OE ==-, ∴∠COE ≈53°08/, ∴∠COD =2∠COE =106°16/. 【变式训练】2. 某幼儿园中的滑梯如图, 已知滑梯长AB =10m, BC =4m, 求此滑梯的坡角A 的大小(精确到1′).ABCα解：在Rt △ABC 中, sin A =40.410BC AB ==, ∴∠A ≈23°35/. 【同步测控】基础自测1.(2007韶关)已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A =…………………………………（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：A2.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)（ ）A. 30°B. 37°C. 38°D.39°答案：B3. 已知β为锐角，且tan β=3.387, 则β等于……………………………………………（ ） A.73°33′ B. 73°27′ C. 16°27′ D. 16°21′ 答案：A4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果sin A =12，那么，下列等式中正确的是…………（ ）A. tan AB.cos B =2C.tan BD. tan B 答案：C5.1A =,则锐角A 的度数为 . 答案：45°6.已知若sin α=cos30°，则锐角α= . 答案：60°7. 要把7米长的梯子上端放在距地面5米高的阳台边沿上，则梯子摆放时与地面所成的角度为 .(精确到1°)答案：46°8.已知锐角α的三角函数值,使用计算器求锐角α(精确到1秒). (1) sin 0.8792α=； (2) cos 0.3469α=； (3) tan 1.6982α=. 答案：(1) 61°33′；(2) 69°42′；(3) 59°30′.9. 已知α的锐角，且sin α=0.7，则cos(90°-α)= ,由此你能发现sin α与cos(90°-α)的关系吗？答案：0.7 sin α=cos(90°-α)10.若用三根长度分别为50,50,40cm cm cm 的钢条焊成一个等腰三角形,求这个等腰三角形的各个角的度数(精确到1′).解：如图, AB=AC =50cm, BC =40cm. 作AD ⊥BC 于D , CE ⊥AB 于E , 则BD=DC =20cm, 则AD=∵12BC ·AD =12AB ·CE , ∴CE=BC AD AB ⋅==. 在Rt △ABD 中, cos B =200.450BD AB ==, ∴∠ACB =∠B ≈66°25′. 在Rt △ACE 中, sin ∠BAC=CE AC ==, ∴∠BAC ≈47°09′. 能力提升11. 已知 5.0cos <α，那么锐角α的取值范围是…………………………………（ ） A. 60°＜α＜90° B. 0＜α＜60° C. 30°＜α＜90° D. 0°＜α＜30° 答案：A12. 在△ABC 中，∠A ，∠B都是锐角，且21(sin )cos 02A B -+-=，则△ABC 的形状是………………………………………………………………………………………（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定 答案：B13. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是……（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 答案：D14.已知°3tan cos302α=,求锐角α的值. 解：tan 32α==∴α=60°. 15. 如图, Rt △ABC 中，∠C ＝90°, AD 平分∠B A C. 若AD =5, AC =4, 求∠B 的度数.解：在Rt △ACD 中, cos ∠CAD =45AC AD =, ∴∠CAD ≈36°52′. ∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAC =2∠CAD =73°44′. ∵∠C =90°, ∴∠B =16°16′.E DCBA创新应用16.如图,拱形桥的水面上部分呈圆弧形AB ,测得AB 两端的距离是200m,AB 所在的圆的半径是1000m,求 AB 的长. 解：设AB 的圆为O 点, 作OD ⊥AB 于C , 交 AB 于D . 则AC =12AB =100m, ∠AOB =2∠AOC . 在Rt △OAC 中, sin ∠AOC =1000.11000AC OC ==, ∴∠AOC =5.74°, ∴∠AOB =11.48°. ∴ 1000200.4180AOBAB π∠=⨯≈m.B。

三角恒等变换---完整版三角函数 —— 三角恒等变换公式:升幂公式- 21+cos = 2 cos —21-cos =2 sin 221 ± sin =( sin—22cos — )22 21=sin + cossin =2 sincos22降幂公式.21 cos 2cos 21 cos 2sin 22+ cos=1sin221 .sin cos = —sin 22考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。

“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。

互余两角的正余弦相等。

”（2） 二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、和升幕公式的两角和与差的三角函数关系sin( 1 )=sin cos cos sincos()=cos cos sin sin■丄 .、 tantantan( )’1 tan tan倍角公式sin2 =2sin cos 22cos2 =cos-sin=2cos 2 -1=1-2sin 2tan 22ta n 1 tan 2sin — 2 i1 cos1 cos\ 2 ，c °s2 ： 2tan — 21 cos _ 1 cos sin \ 1 cos sin 1 cos:cosGi HJ"I"UffTI!! I I ! I ■— —«■应用。

（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值一求二（7）辅助角公式逆向应用 （4）角的整体代换（5）弦切互化 （6 ）知半角公式平方关系2 2sin + cos =1 ,商数关糸sin -------- =ta n（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。

互余两 角的正余弦相等。

”快速进行逻辑判断。

注意构造两角和差因子9、（构造两角和差因子 +两边平方）【2015高考四川，理12】sin15 10、(逆向套用公式)tan 23 ° + tan 37 °+ ■. 3tan 23 °an 37。

用例题说话——三角函数式的求值问题根据任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值，要特别注意这个角所在的象限，以及因此出现的一组或两组结果的情况：1．如果正弦、余弦、正切中的一个具体数值，且角所在的象限也已指定，那么只有一个结果；2．如果正弦、余弦、正切中的一个具体数值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果；3．如果的三角函数值是用字母给出的，且角所在的象限没有指定，那么角可能在四个象限〔也可能是轴线角〕，但可以把四个象限的角的三角函数值分成两组〔每组为两个象限〕去求，所以形式上一般仍有两组结果。

例1 ()()60sin cos 8169παπα---=，且,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，试求sin α与cos α的值。

分析：欲求sin α与cos α的值，只需建立关于sin α与cos α的两个方程，显然可利用诱导公式化简条件得一方程，再注意到平方关系，即可使问题获解。

解析：条件可化为1202sin cos 169αα=， 又∵22sin cos 1αα+=，∴()()2228949sin cos ,sin cos 169169αααα+=-=。

∵,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0αα>>，∴sin cos 0αα->， ∴177sin cos ,sin cos 1313αααα+=-=， ∴125sin ,cos 1313αα==。

评注：一般地，由sin cos αα可导出sin cos αα±，反之亦然，即()()22sin cos 11sin cos sin cos 22αααααα+---==。

例2 sin m α=()0,1m m ≠≠±，试用m 表示α的其它三角函数值。

分析：所给α的正弦值为字母m ，必须对m 进行讨论，以确定三角函数值的符号。

解析：由于0,1m m ≠≠±，∴所求三角函数均有意义。

三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。

三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。

本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。

一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。

例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。

通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。

二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。

例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。

几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。

四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。

使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。

例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。

五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。

三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。

例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。

六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。

例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。

总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十五 三角函数化简求值（学生版）一．选择题（共24小题）1．（2014•新课标Ⅰ）若tan 0α>，则( ) A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>2．（2013•广东）已知51sin()25πα+=，cos (α= ) A ．25-B ．15-C ．15D ．253．（2004•北京）已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列不等关系中必定成立的是()A ．sin 0θ<，cos 0θ>B ．sin 0θ>，cos 0θ<C ．sin 0θ>，cos 0θ>D ．sin 0θ<，cos 0θ<4．（2016•新课标Ⅲ）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2(αα+= ) A ．6425B ．4825C ．1D ．16255．（2016•新课标Ⅱ）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725B ．15C ．15-D ．725-6．（2014•新课标Ⅰ）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=7．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．34-C ．15-D ．158．（2013•大纲版）若α为第二象限角，5sin 13α=，则cos (α= ) A ．1213-B ．513-C ．513D ．12139．（2012•辽宁）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．110．（2011•福建）若(0,)2πα∈，且21sin cos24αα+=，则tan α的值等于( )ABCD11．（2009•辽宁）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos (θθθθ+-= ) A ．43-B ．54 C ．34-D ．4512．（2019•新课标Ⅰ）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2+13．（2019•上海）已知tan tan tan()αβαβ=+．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则( ) A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对14．（2017•全国）cos20cos25sin 20sin 25(︒︒-︒︒= ) AB ．12C ．0 D． 15．（2015•重庆）若tan 2tan 5πα=，则3cos()10(sin()5παπα-=- ) A ．1B ．2C ．3D ．416．（2019•全国）已知tan 2A =，则2sin 2(1cos2A cos AA+=+ )A ．32B ．52C ．3D ．517．（2019•新课标Ⅱ）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15BCD18．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= ) A ．15BCD ．119．（2017•新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2(α= ) A ．79-B ．29-C ．29D ．7920．（2013•浙江）已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2(α= ) A ．43B ．34C ．34-D ．43-21．（2013•新课标Ⅱ）已知2sin 23α=，则2cos ()(4πα+= ) A ．16B ．13C ．12D ．2322．（2012•山东）若[4πθ∈，]2π，sin 2θ=sin (θ= )A ．35B ．45CD ．3423．（2012•江西）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2(θ= )A ．15B ．14 C ．13D ．1224．（2012•江西）已知2()sin ()4f x x π=+，若(5)a f lg =，1()5b f lg =，则( )A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=二．填空题（共10小题）25．（2019•新课标Ⅰ）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 26．（2019•江苏）已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 27．（2017•上海）设1a 、2a R ∈，且121122sin 2sin(2)a a +=++，则12|10|a a π--的最小值等于 ．28．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin β= ．29．（2015•四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是 ． 30．（2018•新课标Ⅱ）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 31．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-= ．32．（2017•新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα-= ．33．（2016•浙江）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A = ，b = ．34．（2016•新课标Ⅰ）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= ．三．解答题（共1小题）35．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十五 三角函数化简求值（教师版）一．选择题（共24小题）1．（2014•新课标Ⅰ）若tan 0α>，则( ) A ．sin 0α> B ．cos 0α> C ．sin20α> D ．cos20α>【答案】C【解析】tan 0α>，∴sin 0cos αα>，则sin22sin cos 0ααα=>．故选：C ． 2．（2013•广东）已知51sin()25πα+=，cos (α= ) A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2)sin()cos 2225πππαπααα+=++=+==．故选：C ． 3．（2004•北京）已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列不等关系中必定成立的是()A ．sin 0θ<，cos 0θ>B ．sin 0θ>，cos 0θ<C ．sin 0θ>，cos 0θ>D ．sin 0θ<，cos 0θ<【答案】B【解析】因为sin()0θπ+<，所以sin 0θ-<，即sin 0θ>； 又因为cos()0θπ->，所以cos 0θ->，即cos 0θ<．故选：B ． 4．（2016•新课标Ⅲ）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2(αα+= ) A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】3tan 4α=，22222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 29sin cos tan 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++． 故选：A ．5．（2016•新课标Ⅱ）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725 B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】法31:cos()45πα︒-=，297sin 2cos(2)cos2()2cos ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:cos()cos )425πααα︒-=+=，∴19(1sin 2)225α+=， 97sin 2212525α∴=⨯-=-，故选D ．6．（2014•新课标Ⅰ）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-= B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C 【解析】由1sin tan cos βαβ+=，得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos sin cos αβαβα=+， sin()cos sin()2παβαα-==-，(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈， ∴当22παβ-=时，sin()sin()cos 2παβαα-=-=成立．7．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．34-C ．15-D ．15【答案】C 【解析】sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1αα+=，②， 又α为第二象限的角，sin 0α∴>，cos 0α<， 联立①②，解得3sin 5α=，4cos 5α=-，则1sin cos 5αα+=-．故选C ． 8．（2013•大纲版）若α为第二象限角，5sin 13α=，则cos (α= ) A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】A【解析】α为第二象限角，且5sin 13α=，12cos 13α∴==-．故选A ．9．（2012•辽宁）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1- B． CD ．1【答案】A【解析】已知sin cos (0,)αααπ-=∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-， 故322πα=，34πα∴=，tan 1α=-．故选A ． 10．（2011•福建）若(0,)2πα∈，且21sin cos24αα+=，则tan α的值等于( )ABCD【答案】D【解析】由2cos212sin αα=-，得到221sin cos21sin 4ααα+=-=， 则23sin 4α=，又(0,)2πα∈，所以sin α=，则3πα=，所以tan tan3πα==D ．11．（2009•辽宁）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos (θθθθ+-= ) A ．43-B ．54 C ．34-D ．45【答案】D【解析】22sin sin cos 2cos θθθθ+-2222sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθ+-=+22tan tan 2tan 1θθθ+-=+4224415+-==+．故选D ．12．（2019•新课标Ⅰ）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2+【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30+︒+︒======+-︒︒D ．13．（2019•上海）已知tan tan tan()αβαβ=+．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限； 则( ) A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对【答案】D【解析】由tan tan tan()αβαβ=+，即为tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=-，设tan m α=，tan n β=，可得22(1)0n m n m m +-+=，若0m >，可得上式关于n 的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得0n >， 即有1m >，考虑△23()(1)4f m m m ==--，22115()2288()88f m m m m '=--=---，当1m >时，()f m 递减，可得()f m f <（1）40=-<，则方程无解， β在第三象限不可能，故①错；可令1tan 3α=-，由tan tan tan()αβαβ=+，即为tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=-，可得1tan 13tan131tan 3βββ--=+，解得tan 6β=-±，存在β在第四象限，故②对．14．（2017•全国）cos20cos25sin 20sin 25(︒︒-︒︒= ) AB ．12C ．0D ． 【答案】A【解析】因为cos20cos25sin20sin25︒︒-︒︒cos(2025)=︒+︒． 故选：A ．15．（2015•重庆）若tan 2tan 5πα=，则3cos()10(sin()5παπα-=- ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】tan 2tan 5πα=，则33333cos()cos cos sin sin cos tan sin1010101010sin()sin cos cos sin tan cos sin 55555πππππααααπππππαααα-++==---sin335cos2sin 331010cos2tan sin cos 1051052tan cos sin sin55552cos sin 55cos 53333cos cos 2sin sin cos()sin sin5105105105102sincoscossinsincossin()55555555cos sin sin 105ππππππππππππππππππππππππππππππππ++==--+-+==-+-+=31331cos [cos()cos()]cos cos10102510510102101212sin cos sin sin5525253cos 3cos3cos10101032sin sin()cos521010πππππππππππππππππππ-+--+======-16．（2019•全国）已知tan 2A =，则2sin 2(1cos2A cos AA+=+ )A ．32B ．52C ．3D ．5【答案】B【解析】tan 2A =，则222sin 22sin cos 2tan 151cos2222A cos A A A cos A A A cos A +++===+．17．（2019•新课标Ⅱ）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15BCD【答案】B【解析】2sin2cos21αα=+，∴可得：24sin cos 2cos ααα=，(0,)2πα∈，sin 0α>，cos 0α>，cos 2sin αα∴=，22222sin cos sin (2sin )5sin 1ααααα+=+==，∴解得：sin α=B ． 18．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15BCD ．1【答案】B【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=， 22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，|cos |α∴|sin |α∴==，|sin ||tan |||||21|cos |b a a b ααα-==-===-．故选B ．19．（2017•新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2(α= ) A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】4sin cos 3αα-=，216(sin cos )12sin cos 1sin 29ααααα∴-=-=-=， 7sin 29α∴=-，故选A ．20．（2013•浙江）已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2(α= ) A ．43B ．34C ．34-D ．43-【答案】C【解析】由sin 2cos αα+=，则25(sin 2cos )2αα+=，即225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=， 可得224tan 4512tan tan ααα++=+，解得tan 3α=．那么22tan 3tan 214tan ααα==--．故选C ． 21．（2013•新课标Ⅱ）已知2sin 23α=，则2cos ()(4πα+= )A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】2sin 23α=， 211121cos ()[1cos(2)](1sin 2)(1)4222236ππααα∴+=++=-=⨯-=．故选A ．22．（2012•山东）若[4πθ∈，]2π，sin 2θ=sin (θ= )A ．35B ．45CD ．34【答案】D【解析】由[4πθ∈，]2π，得2[2πθ∈，]π，又sin 2θ=1cos 28θ∴===-， 2cos212sin θθ=-，sin 0θ>，3sin 4θ∴==，故选D ． 23．（2012•江西）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2(θ= ) A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】2222sin cos 2tan 221sin 22sin cos 1sin cos tan 142tan tan θθθθθθθθθθθ======+++24．（2012•江西）已知2()sin ()4f x x π=+，若(5)a f lg =，1()5b f lg =，则( )A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=【答案】C【解析】21cos(2)1sin 22()sin ()422x x f x x ππ-++=+==又(5)a f lg =，1()(5)5b f lg f lg ==-，1sin 251sin 25122lg lg a b +-∴+=+=，1sin 251sin 25sin 2522lg lg a b lg +--=-= 故C 选项正确二．填空题（共6小题）25．（2019•新课标Ⅰ）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 【答案】4- 【解析】3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11t -，令2()231g t t t =--+的开口向下，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-． 26．（2019•江苏）已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ．【解析】由tan 23tan()4απα=-+，得tan 23tan tan 41tan tan4απαπα=-+-， ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin 215tan ααα==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，43sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=； 当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos215tan tan ααα-==+，34sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-． 综上，sin(2)4πα+．27．（2017•上海）设1a 、2a R ∈，且121122sin 2sin(2)a a +=++，则12|10|a a π--的最小值等于 ． 【答案】4π 【解析】根据三角函数的性质，可知1sin α，2sin 2α的范围在[1-，1]， 要使121122sin 2sin 2αα+=++，1sin 1α∴=-，2sin 21α=-．则：1122k παπ=-+，1k Z ∈．22222k παπ=-+，即224k παπ=-+，2k Z ∈．那么：12123(2)4k k πααπ+=+-，1k 、2k Z ∈． 12123|10||10(2)|4k k ππααππ∴--=+-+的最小值为4π． 28．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin β= ．【答案】13【解析】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，2k αβππ∴+=+，k Z ∈， 1sin 3α=，1sin sin(2)sin 3k βππαα∴=+-==． 29．（2015•四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是 ． 【答案】1-【解析】sin 2cos 0αα+=，即sin 2cos αα=-， tan 2α∴=-，则原式222222sin cos 2sin cos 2tan 1511141cos cos sin cos tan αααααααααα----=====-+++， 30．（2018•新课标Ⅱ）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin cos cos 1ααββ++=，①， cos sin 0αβ+=，两边平方可得：22cos 2cos sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，即22sin()1αβ++=， 2sin()1αβ∴+=-． 1sin()2αβ∴+=-．。

ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高中数学：三角函数求值的方法
1. 角的拼凑
适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利。

如单角α可以看成角α＋β与角β的差，也可以
看成角α－β与角β的和，既可以看成是的二倍，也可以看成是2α的一半。

角的分拆与配凑也是变角的常用策略。

如2α＝（α＋β）＋（α－β），α－β＝2α－（α＋β）等。

当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系，可通过三角公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数值而得解。

例1. 已知，
，求cos（α＋β）的值。

分析：所求余弦中的角与已知正、余弦中的角，其运算结构不同，所以要做角的拆拼，注意到。

解：因为，
所以，
于是
所以
从而
例2. 求的值。

分析：此题给出的是非特殊角，要设法把非特殊角化为特殊角，相互低消、约分求出值。

解：
2. 化弦（切）法
当已知的式子中切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角函数求值的常用方法。

例3. 求的值。

解：原式
3. 公式变形
对三角公式不仅要正用，还要注意逆用和变用，要熟悉公式的变形，只有这样才能全面掌握公式。

如
可变化为
特别地，若，有
可变形为；
例4. 化简
解：原式
例5. 化简
解：利用结论：若，得
原式
例6. 计算
解：原式
▍ ▍ ▍。

三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类题型一、两角和与差的三角函数公式的应用题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形题型三、角的变换问题题型四、二倍角公式的应用题型五、给角求值题型六、给值求值题型七、给值求角题型八、三角恒等变换的综合应用题型一、两角和与差的三角函数公式的应用知识要点两角和与差的正余弦与正切①sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β；②cos (α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；③tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β；精准练习1.(24-25高三·山东泰安·开学考试)已知sin α+β =13，sin α-β =12，则tan αtan β=()A.15B.-15C.5D.-52.(24-25高三上·安徽·开学考试)已知sin α+β =-35,1tan α+1tan β=2，则sin αsin β=()A.-310B.15C.-15D.3103.(24-25高三·重庆·阶段练习)已知cos α+β =13，cos αcos β=12，则cos 2α-2β =()A.23B.19C.-19D.-134.(2025·广东·一模)已知sin α+π3 -sin α=23，则cos 2α+π3 =()A.-59B.-19C.19D.595.(2024·江西九江·二模)已知α,β∈0,π2 ，cos α-β =56，tan α⋅tan β=14，则α+β=()A.π3B.π4C.π6D.2π36.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α-β =2cos α+β ,tan α-β =13，则tan α-tan β=()A.47 B.74C.45D.767.(2025·黑龙江大庆·一模)已知0<α<β<π，且sin α+β +cos α+β =0,sin αsin β=6cos αcos β，则tan α-β =()A.-1B.-12C.-16D.-178.(24-25高三上·河北张家口·开学考试)已知sin (α-β)=13,tan αtan β=4，则sin (α+β)=.题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形知识要点1、两角和与差的正切公式的变形tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β)；tan α⋅tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)=tan α-tan βtan (α-β)-1．2、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ)(其中sin ϕ=ba 2+b2，cos ϕ=aa 2+b2，tan ϕ=ba精准练习9.(23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13°+tan32°+tan13°tan32°=()A.tan19°B.1C.-tan19°D.-110.(2024·福建泉州·模拟预测)若sin θ+3cos θ=2，则tan θ=()A.-3B.-33C.33D.3题型三、角的变换问题知识要点拆分角问题：①α=2⋅α2；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α=12[(α+β)+(α-β)]；④β=12[(α+β)-(α-β)]；⑤π4+α=π2-π4-α ．注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π4+α=π2-π4-α 等．11.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-112.(2024·江苏镇江·三模)已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=()A.13B.17C.16D.213.(24-25高三·福建福州·开学考试)已知α，β∈(0,π)，且cosα=35，sin(α-β)=513，则cosβ=()A.5665B.1665C.3365D.636514.(23-24高一·江苏南京·期末)若sin(α+β)=cos2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为()A.62B.64C.22D.2415.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知α,β∈0,π4，cos2α-sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为()A.π12B.π6C.π4D.π316.(23-24高三·天津·阶段练习)已知角α，β为锐角，tanα=32，sin(α-β)=2114，则tan2α-β的值为．17.(24-25高三·福建·阶段练习)已知tanα+β=4，tanα-β=-3，则tan2β=．题型四、二倍角公式的应用知识要点1、二倍角公式①sin2α=2sinαcosα；②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；③tan2α=2tanα1-tan2α；2、降次(幂)公式sinαcosα=12sin2α;sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2;3、半角公式sinα2=±1-cosα2;cosα2=±1+cosα2;tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsin a.18.(2025·安徽·模拟预测)sin 2π12-sin 27π12=( )．A.32B.12C.-12D.-3219.(24-25高三·安徽亳州·开学考试)已知a ∈0,π2 ,sin3α=5sin a cos2α，则tan α值为()A.3B.32C.22D.120.(24-25高三·广西·阶段练习)已知sin π4+α =3sin π4-α ，则cos2α=()A.-45B.-35C.35D.4521.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)已知3sin θ+π3 =cos θ+π6 ，则cos2θ=()A.-12B.17C.12D.3222.(23-24高一·江苏无锡·阶段练习)已知函数f (x )=cos 2ωx +sin ωx cos ωx -12(ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.11423.(24-25高三·江苏徐州·阶段练习)已知sin2α=23,α∈0,π4 ，则cos α+π4 =()A.66B.56C.306D.15324.(24-25高三·全国·阶段练习)已知4tan π121+tan2π12cos αsin β+π3=1，则tan (β-α)=()A.3B.33C.1D.23325.(多选)(2024·辽宁·模拟预测)已知α∈π2,π ,β∈0,π ,cos2α=-35,cos β-α =-210，则()A.tan α=-12B.sin β-α =-7210C.α+β=5π4D.cos αcos β=-3210题型五、给角求值知识要点(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．精准练习26.(23-24高三·甘肃·阶段练习)计算12cos 35π+cos 25πcos 45π()A.2B.-12C.-1D.-227.(多选)(23-24高三·安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为14的是()A.cos 275°-sin 275°B.tan15°1+tan 215°C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°28.(23-24高三·吉林长春·阶段练习)cos20°1+cos20°tan20°+3 =.29.(2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° =.30.(23-24高三·安徽·期中)tan20°+4sin20°=．31.(2024高三·全国·专题练习)化简求值：cos36°cos72°+sin50°1+3tan10° -cos20°cos80°1-cos20°.32.(2024高一·湖南株洲·竞赛)1-2sin 25°2sin10°-2cos10°=．33.(11-12高一·全国·课后作业)3tan12°-34cos 212°-2 sin12°=．题型六、给值求值知识要点给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式精准练习34.(2024·河南新乡·模拟预测)设cos20°=a ，则13tan50°-1=()A.1-a 23B.a 2+12C.aD.a 235.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α+π3 +sin α=23，则cos 2α+π3=()A.-1927B.-19C.19D.192736.(24-25高三·湖南衡阳·开学考试)已知cosα+β=6-24,sinα⋅sinβ=24，则cos2α-2β=()A.12B.22C.32D.137.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)若sin160°=m，则sin40°=()A.-2mB.-2m1-m2C.-2m1+m2D.2m1-m238.(24-25高三·四川绵阳·开学考试)已知sin4θ2-cos4θ2=35,θ∈0,π，则1+sin2θcos2θ-sin2θ+cosθ=()A.-2635B.-325C.-314D.-172839.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-140.(24-25高三·贵州黔东南·开学考试)已知α∈0,π，且cosα+π4=13，则cos2α=()A.429B.±429C.79D.±7941.(2024·山东淄博·二模)设β∈0,π2，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ=22，则tan(α+2β)=()A.-24B.24C.-22D.2242.(2024·江西宜春·模拟预测)已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4-α，则1-sin2α4cos2α=() A.6+42 B.6-42 C.17+122 D.17-12243.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知cosπ5-α=13，则sin11π10+2α=()A.79B.-79C.429D.-42944.(2024·安徽合肥·三模)已知2sinα=1+23cosα，则sin2α-π6=()A.-18B.-78C.34D.7845.(2024·河北保定·三模)已知锐角α，β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β，则sin (α+β)的值为()A.31010B.255C.35D.4546.(2024·福建泉州·模拟预测)已知α，β均为锐角，sin 2α-β =253cos α+sin β，则sin α-β =()A.255B.55C.23D.5347.(2024·重庆·三模)已知α∈0,π3，且2sin2α=4cos α-3cos 3α，则cos2α=()A.29B.13C.79D.22348.(2024·山西·三模)若sin2α=33,sin β-α =66，且α∈π4,π ,β∈π,3π2 ，则cos α+β =()A.5+26B.306C.63D.25-26题型七、给值求角知识要点给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．精准练习49.(23-24高一·江苏盐城·期中)已知tan α=-13，tan β=2，且α,β∈0,π ，则α+β的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π450.(23-24高一·河南·阶段练习)已知0<α<π2，1+sin2α sin π7=2cos 2π14cos2α，则α=()A.3π14B.5π28C.π7D.π1451.(多选)(2023·山西·模拟预测)已知0<β<α<π4，且sin α-β =13,tan α=5tan β，则()A.sin αcos β=56B.sin βcos α=112C.sin2αsin2β=536D.α+β=π352.(2024·陕西铜川·模拟预测)若α∈-π2,π2 ，且cos2α=sin π4-α ，则α的值为．53.(2024高三·江苏·专题练习)已知α为锐角，且sin α+sin α+π3 +sin α+2π3=3，则α=.54.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)若α，β∈0,π2 ，cos α-β2=32，sin α2-β =-12，则α+β=.题型八、三角恒等变换的综合应用知识要点(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y =a sin x +b cos x 化为y =a 2+b 2sin (x +φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．精准练习55.(2024·广东珠海·一模)函数f x =23sin 2ωx +sin 2ωx +2π3，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是()A.ω=1B.函数f x 图象关于点π3,3对称C.函数f x 图象向右移φφ>0 个单位后，图象关于y 轴对称，则φ的最小值为5π12D.若x ∈0,π2，则函数f x 的最大值为3+156.(22-23高三上·河北唐山·开学考试)已知α,β∈0,π2 ，且1+sin βcos β=tan π4+α ，则()A.2α=βB.α=βC.α+β=π2D.α+β=π57.(2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为2π的是()A.f x =cos 2x +sin x cos xB.f x =1-cos2x2sin x cos xC.f x =cos x +π3+cos x -π3 D.f x =sin x +π6cos x +π6 58.(多选)(2023·河北保定·三模)已知f x =23cos 2x +2sin x cos x -3，则()A.f x =2cos 2x -π6B.f x 的图象的对称轴方程为x =2k π-π3k ∈Z C.f 2023π =3D.f x 在-3π2,-π2上单调递减59.(2024高三·全国·专题练习)设f x =2sin x cos x -2sin 2x -π4.当x ∈0,π2 时，f x +π6 =-13，则cos2x 的值为.60.(24-25高三上·河南·开学考试)已知函数f x =sin2x +sin 2x -π3在区间0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.61.(24-25高三·福建·阶段练习)已知函数f x =22cos 2x +22sin x cos x ．(1)将f x 化成f x =A cos ωx +φ +B A >0,ω>0,φ <π 的形式；(2)求f x 的单调区间；(3)若f x 在α,α+π4上的值域为a ,b ，求b -a 的取值范围．62.(24-25高三·北京·开学考试)已知函数f x =cos x 23sin x +cos x -sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (x )在区间[0,m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围.63.(22-23高三·陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m =sin x -π6 ,12 ,n =cos x ,12.(1)若m ⊥n ,x ∈0,π2，求实数x 的值；(2)求函数f (x )=m ⋅n的单调递增区间.64.(24-25高一·全国·期末)设f (x )=2sin x cos x +2sin x +π4 ⋅sin π4-x ．(1)当x ∈-π2,0时，求f (x )的最大值和最小值；(2)已知f -α2 =33，且当π2≤α≤2π时，求f (α)的值．。

三⾓函数给⾓求值前⾔三⾓函数中的给⾓求值类问题，⼤多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，⽐如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后最后⼀步约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

注意⾼频变形：分式约分，和加减抵消；相关变形切化弦[整式变分式]，1的代换，分式通分约分，根式升幂；配⽅展开，提取公因式，公式的逆⽤，变⽤，常⽤的互余、互补代换：sin70^{\circ}=cos20^{\circ}，cos40^{\circ}=sin50^{\circ}；sin140^{\circ}=sin40^{\circ}，cos110^{\circ}=-sin70^{\circ}=-cos20^{\circ}；常见的⾓的拆分：47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}；8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}；1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}常见的互余，倍⾓等(\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})；2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})；常见的配⾓技巧：2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)；3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)；3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；\beta=\alpha-(\alpha-\beta)；\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi；难点变形常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助⾓公式”等⾼频变形；\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\ cos\theta}1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cd ot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}注：在具体题⽬中，⾓\theta可以是具体的值，⽐如\tan12^{\circ}-\sqrt{3}，或1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}典例剖析№1求值：\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}分析：这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

专题三角函数目录2023真题展现考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换真题考查解读近年真题对比考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换考向三 同角三角函数间的基本关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记2023年真题展现考向一三角函数的图象与性质1(2023•新高考Ⅱ•第15题)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，如图，A ，B 是直线y =12与曲线y =f (x )的两个交点，若|AB |=π6，则f (π)= ．2(2023•新高考Ⅰ•第15题)已知函数f (x )=cos ωx -1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．考向二三角恒等变换3(2023•新高考Ⅱ•第7题)已知α为锐角，cos α=1+54，则sin α2=()A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+544(2023•新高考Ⅰ•第8题)已知sin (α-β)=13，cos αsin β=16，则cos (2α+2β)=()A.79B.19C.-19D.-79真题考查解读【命题意图】考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y =A sin (wx +φ)的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．【考查要点】三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y =A sin (wx +φ)的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．【得分要点】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α+cos 2α=1．(2)商数关系：sin αcos α=tan α．2.诱导公式公式一：sin (α+2k π)=sin α，cos (α+2k π)=cos _α，其中k ∈Z ．公式二：sin (π+α)=-sin _α，cos (π+α)=-cos _α，tan (π+α)=tan α．公式三：sin (-α)=-sin _α，cos (-α)=cos _α．公式四：sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos _α．公式五：sin π2-α =cos α，cos π2-α =sin α．公式六：sin π2+α =cos α，cos π2+α =-sin α．3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α-β)：cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β．(2)C (α+β)：cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β．(3)S (α+β)：sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β．(4)S (α-β)：sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β．(5)T (α+β)：tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β．(6)T (α-β)：tan (α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β．4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α：sin 2α=2sin αcos α．(2)C 2α：cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α．(3)T 2α：tan 2α=2tan α1-tan 2α．5.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y =sin xy =cos xy =tan x图象定义域R R k ∈Z值域[-1，1][-1，1]R单调性递增区间：2k π-π2，2k π+π2(k ∈Z )；递减区间：2k π+π2，2k π+3π2(k ∈Z )递增区间：(2k π-π，2k π)(k ∈Z )；递减区间：(2k π，2k π+π)(k ∈Z )递增区间：k π-π2，k π+π2 (k ∈Z )最　值x =2k π+π2(k ∈Z )时，y max =1；x =2k π-π2(k ∈Z )时，y min =-1x =2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =2k π+π(k ∈Z )时，y min =-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )对称轴：x =k π+π2，k ∈Z对称中心：k π+π2，0(k ∈Z )对称轴：x =k π，k ∈Z对称中心：k π2，0(k ∈Z )无对称轴周期2π2ππ6.函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换y =sin x 的图象变换得到y =A sin (ωx +φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤7.由y =A sin (ωx +φ)的部分图象确定其解析式在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A =M -m 2，k =M +m2，ω由周期T 确定，即由2πω=T 求出，φ由特殊点确定．近年真题对比考向一三角函数的图象与性质8(2022•新高考Ⅰ)记函数f (x )=sin (ωx +π4)+b (ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y=f(x)的图像关于点(3π2，2)中心对称，则f(π2)=()A.1B.32C.52D.39(多选)(2022•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3，0)中心对称，则()A.f(x)在区间(0，5π12)单调递减 B.f(x)在区间(-π12，11π12)有两个极值点C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线10(2021•新高考Ⅰ)下列区间中，函数f(x)=7sin(x-π6)单调递增的区间是()A.(0，π2) B.(π2，π) C.(π，3π2) D.(3π2，2π)考向二三角恒等变换11(2022•新高考Ⅱ)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ，则()A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1考向三同角三角函数间的基本关系1(2021•新高考Ⅰ)若tanθ=-2，则=()A.-B.-C.D.命题规律解密结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。

三角函数求值怎么计算公式三角函数是数学中重要的一部分，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们可以用来描述角度和长度之间的关系，解决各种问题。

在实际应用中，我们经常需要用三角函数来求值，下面将介绍三角函数求值的计算公式。

1. 正弦函数的求值公式。

正弦函数的求值公式为，sin(θ) = 对边/斜边。

其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。

举个例子，如果要求sin(30°)的值，可以先构造一个30°的直角三角形，然后根据公式sin(30°) = 对边/斜边，计算出对边和斜边的比值，从而求得sin(30°)的值。

2. 余弦函数的求值公式。

余弦函数的求值公式为，cos(θ) = 邻边/斜边。

其中，θ为角度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。

举个例子，如果要求cos(45°)的值，可以先构造一个45°的直角三角形，然后根据公式cos(45°) = 邻边/斜边，计算出邻边和斜边的比值，从而求得cos(45°)的值。

3. 正切函数的求值公式。

正切函数的求值公式为，tan(θ) = 对边/邻边。

其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度。

举个例子，如果要求tan(60°)的值，可以先构造一个60°的直角三角形，然后根据公式tan(60°) = 对边/邻边，计算出对边和邻边的比值，从而求得tan(60°)的值。

除了以上三种常见的三角函数，还有其它一些三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等，它们的求值公式也可以类似地通过构造直角三角形来求得。

在实际应用中，三角函数的求值可以帮助我们解决各种问题，比如在工程中用来计算力的方向和大小、在天文学中用来计算星体的位置和运动轨迹等。

高三数学三角函数恒等变换学生姓名授课日期教师姓名授课时长本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

1、本章网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

三角函数的求值与化简一 三角函数式的化简与证明 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(C α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(T α＋β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β(T α－β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)/(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)/(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式 sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3. 例1化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________.即时训练1化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________.例24cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32C.3D.22－1 (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－513，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝45且0<β<π2<α<π，则sin(α＋β)的值为________．即时训练2．(1)已知α为锐角，且sin α(1＋3tan 10°)＝1，则α的值为________． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．。

一、三角函数、实数、方程1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·15）（12分）（1）计算：20133tan 30()(2018)|1|2p-°-+---；（2）解方程：(2)36x x x +=+．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·15）（12分）（1）计算：1022cos30)p --°++；（2）解方程：23520x x -+=．3．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·15）用适当的方法解一元二次方程．（1）(2)(2)x x x -=--；（2）2430x x +-=．4．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·11）（12分）（4）解方程：24436x x x -+=-．5．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·11）（12分）（1）计算：101|1|()(2021)2p --+----6．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·15）（12分）（1）计算：．7．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·15）（12分）按要求解下列方程：（1）x 2﹣7x +10＝0（因式分解法）；（2）3x 2﹣2x ﹣1＝0（求根公式法）．8．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·15）（15分）解方程．（1）4（x ﹣1）2＝25．（2）x 2﹣4x ﹣1＝0．（3）（x +4）2＝5（x +4）．9．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·15）（12分）解方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0．（2）x2﹣7x＝﹣10．10．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·12）（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是 ．11．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·15）（12分）（1）计算：（﹣）﹣2+（+6）0+|﹣2×|﹣．（2）解方程：x2+2x﹣8＝0．12．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·15）（10分）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）（x+1）2＝2x（x+1）13．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·15）（12分）计算：（1）x2+3x+1＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．14．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·15）（12分）（1）计算：20210﹣|﹣|+（﹣）﹣1+4sin45°．（2）解方程：x 2﹣9＝2（x ﹣3）．15．（2021-2022成都九年级（上）期中·15）（10分）解下列方程：（1）x 2﹣5x +6＝0；（2）2x （x +2）＝1．16．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·15）（12分）用适当的方法解下列方程：（1）24(1)9x -=；（2）22310x x --=．17．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·15）（12分）（1）计算：04sin 60|2|°++（2）解方程：2(2)3(2)x x -=-．18．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·15）（10分）（1）计算：02tan 60(2021)2|p °--+；（2）解方程：2680x x -+=．二、分式、分式方程（一）分式化简求值1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·16）（6分）先化简，再求值：21(1)39a a a -¸--，其中3a =-．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·16）（6分）先化简2224421111x x x x x x x -+-¸+-+-，再从2-．1-，0，1，2中选一个合适的数作为x 的值代入求值．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·16）（6分）先化简，再求值：，其中x ＝﹣2．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·11（4分）若＝k ，则＝ ．（用含k 的代数式表示）5．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·16）（8分）先化简，再求值：，其中：a 2+2a ﹣＝0．6．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·16）（6分）先化简，再求值：2112(111x x x x +-¸-+-，其中1x =．7．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·16）（6分）先化简，再求值：2212(1)121x x x x x x ----¸+++，已知：20x x +=．8．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·16）（8分）先化简，再求值：2112(111x x x x +-¸-+-，然后从1-，1，3中选择适当的数代入求值．（二）分式方程1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·11）（12分）（3）解方程：322112x x x=---；2．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·22）（4分）若关于x 的分式方程11222ax x x-=---有正整数解，则整数a 的值为 ．三、不等式1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·11）（12分）（2）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x ；2．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·15）（12分）（2）解不等式组．3．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·23）（4分）有六张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为 ．。