2020-2021北京高三一轮01三角函数定义.学生版

专题 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系一、题型全归纳题型一 象限角及终边相同的角【题型要点】(1)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；①按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ①起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ①转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ①Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【易错提醒】注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ①Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角． 【例1】(2020·辽宁鞍山一中一模)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ①Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ①Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【例2】(2020·东北师大附中摸底)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ①Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】当k ＝2n (n ①Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ①Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.题型二 扇形的弧长、面积公式【题型要点】弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 【易错提醒】运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度． 【例1】已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【例2】．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为 ．【解析】：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518题型三 三角函数的定义命题角度一 利用三角函数定义求值【题型要点】三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值 方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．【例1】(2020·合肥一检)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( ) A.75 B.65 C.55D ．355【解析】因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D. 【例2】已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝ ．【解析】因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以tan α＝125. 【例3】(2020·山西太原三中模拟)若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ． 【解析】：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.命题角度二 判断三角函数值的符号【题型要点】三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． 【例3】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限、【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【例4】(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)题型四 同角三角函数的基本关系式命题角度一 公式的直接应用【题型要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎫其中x ≠k π＋π2，k ①Z . 2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．【例1】(2020·北京西城区模拟)已知α①(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43D ．－43【解析】因为cos α＝－35且α①(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.【例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．【解析】由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.命题角度二 sin α，cos α的齐次式问题【题型要点】关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略 已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的值．【例3】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解析】 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 命题角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系【题型要点】sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)． (2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二． 【例4】 已知α①(－π，0)，sin α＋cos α＝15.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．【解析】(1)由sin α＋cos α＝15，平方得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α①(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.【例5】．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D ．34【答案】B.【解析】：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32.故选B.题型五 诱导公式的应用【题型要点】1.三角函数的诱导公式①化负为正，化大为小，化到锐角为止；①角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．3.常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；①常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【例1】．若角A ，B ，C 是①ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin B 2 D ．sin B ＋C 2＝－cos A2【答案】C.【解析】：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2-2B π＝sin B 2，sin B ＋C 2＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛2-2A π＝cos A 2.【例2】已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝a ，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32的值是 ．【解析】：因为cos ⎪⎭⎫⎝⎛+θπ65＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝－a . sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛θπ-6＝a ，所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝0. 二、高效训练突破 一、选择题1.(2019·洛阳一中月考)计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1B ．1C ．0D ．12－32【解析】：原式＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-2ππ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-3ππ＝－sin π6＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ①4π3是第三象限角； ①－400°是第四象限角； ①－315°是第一象限角． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】：.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，①正确．－400°＝－360°－40°，从而①正确．－315°＝－360°＋45°，从而①正确．3．(2020·镇江期中)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎪⎭⎫⎝⎛απ-2的值为( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22【解析】：因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，cos α＝±223，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2＝cos αsin α＝±2 2.故选D.4．(2019·武汉调研)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D ．π3【解析】：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ， 所以tan θ＝3，因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.5.(2020·江西南昌一模)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】：由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.6．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π4 B.π2 C.22D ．2【解析】：设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ，因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，所以圆弧的长度为2r ，所以圆心弧度为2rr＝ 2. 7.(2020·海淀期末)已知f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ，则⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝( ) A.12 B.22 C.32D ．－12【解析】：.f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝cos π3＝12.8．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2【解析】：因为sin α＋cos α＝2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝12.所以tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.故选D.9.(2020·马鞍山质量检测)若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α 【解析】：如图所示作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.10.(2019·大同模拟)1．已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.257C.725 D ．2425【解析】：因为－π2＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 二、填空题1.(2020·楚雄龙江中学期中)与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．【解析】：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.2.(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝ ． 【解析】：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 3.设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝ ． 【解析】：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213. 4．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝ ． 【解析】：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 5.(2020·惠州调研)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ππ，则角α的最小正值为 ． 【解析】：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ①Z )，所以α的最小正值为11π6. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1①4，则这两个扇形的周长之比为 ．【解析】：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14， 所以r ①R ＝1①2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR＝1①2. 7．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝ ，cos α＝ ．【解析】：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225. 因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 8.(2020·福州调研)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝ ． 【解析】：因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1， 5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95. 三 解答题1.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解析】：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2. 2.已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值． 【答案】（1）－cos α；（2）265 【解析】：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α. (2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.。

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一 三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z)3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π题型二 三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，35．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．题型三 三角函数的单调性类型一 求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为 ； 递减区间为8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．类型二 已知单调性求参数值或范围 已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是 ．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．题型四 三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 4．函数 ＋ 的最小正周期为______.5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③6．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为________题型五 三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． 1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．若函数 是偶函数，则 等于______ 3．若函数是偶函数，则 ________．4．若 是定义在 上的偶函数，其中，则 _____5．将函数 向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则 最小值为__6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3题型五 三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解． (2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ； (x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z 1．下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，03．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π123．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或05．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称C ．关于直线x ＝π2对称D ．关于直线x ＝－π2对称6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π38．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)题型六 三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x )3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.326．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．。

考点01 三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换，是近几年高考的高频考点，无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。

例如：2020年山东高考[28],2020年浙江高考[18],2021年天津高考[16]，2021年浙江高考[18]，2022年天津高考[16]，2022年北京高考[16]，2022年全国乙卷（文）[17]等都对三角函数的图像与性质及三角恒等变换进行了考查。

〔1〕二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；ααα2tan 1tan 22tan -=。

由二倍角公式，经过推导，我们还可以得到：2)cos (sin 2sin 1ααα+=+；2)cos (sin 2sin 1ααα-=-。

〔2〕半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=； αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=。

〔3〕三倍角公式：ααα3sin 4sin 33sin -=；αααcos 3cos 43cos 3-=；αααα23tan 31tan tan 33tan --=。

〔4〕万能公式：2tan 12tan2sin 2ααα+=；2tan 12tan 1cos 22ααα+-=；2tan 12tan2tan 2ααα-=；（其中ππα+≠k 2，且2ππα+≠k ，Z k ∈）〔5〕辅助角公式：)sin()sin cos cos (sin cos sin 2222ϕϕϕ++=++=+=x b a x x b a x b x a y ；（其中角ϕ的终边所在的象限由a ，b 的符号确定，角ϕ的值由ab=ϕtan 来求）；常见的辅助角公式有：)4sin(2cos sin π±=±x x x ；)4cos(2sin cos πx x x =±；)3sin(2cos 3sin π±=±x x x ；)3cos(2sin 3cos π x x x =±；)6sin(2cos sin 3π±=±x x x ；)6cos(2sin cos 3πx x x =±。

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。

了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。

第10讲三角函数定义考点1：角的概念一、角的概念1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点、始边、终边称为角的三要素．2.范围：R3.正角、负角、零角①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．4.终边相同的角：设α表示任意角，所有与 终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S={β|β=α+k⋅360° ， k∈Z}．集合S的每一个元素都与α的终边相同，当k=0时，对应元素为α．5.象限角与轴线角象限角：定点在原点，始边在x轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角如：终边落在第一象限的角：{α|2kπ<α<2kπ+π2，k∈Z}或{α|k⋅3600<900+k⋅3600，k∈Z}终边落在y轴上的角：{α|α=kπ+π2，k∈Z}或{α|900+k⋅1800，k∈Z}．轴线角：如果角的终边在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为“轴线角”．二、弧度制1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2.弧度与角度的换算：1800=πrad，1rad=(1800π)≈57.300=57018′3.弧长与扇形面积公式：①弧长公式：l=|α|r②扇形面积公式：S=12lr=12|α|r2典例精讲【典例1】已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是﹣2π．【分析】根据1小时，分针转过一周角为2π，即可得到答案．【解答】解：由于经过了1小时，分针转过一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是﹣2π，故答案为：﹣2π．【点评】本题考查的知识点是弧度制，其中一周角＝2π，是解答本题的关键，属于基础题．【典例2】将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是−π3．【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．【解答】解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨快是顺时针旋转，∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为−1060×2π=−π3．故答案为：−π3．【点评】本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查顺时针旋转得到的角是负角．【典例3】终边在直线y=√3x上的角的集合为{α|α＝60°+n•180°，n∈Z} ．【分析】由直线方程求出直线的倾斜角，再分别写出终边落在直线向上和向下方向上的角的集合，由集合的并集运算求出终边落在直线y=√3x上的角的集合．【解答】解：∵直线y=√3x的斜率为，则倾斜角为60°，∴终边落在射线y=√3x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}，终边落在射线y=√3x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°+k•360°，k∈Z}，∴终边落在直线y=√3x上的角的集合是：S＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}∪{α|α＝240°+k•360°，k∈Z}＝{α|α＝60°+2k•180°，k∈Z}∪{α|α＝60°+（2k+1）•180°，k∈Z}＝{α|α＝60°+n•180°，n∈Z}．故答案为：{α|α＝60°+n•180°，n∈Z}．【点评】本题考查了终边相同角的集合求法，以及集合的并集的运算，需要将集合的元素化为统一的形式，属于中档题．【典例4】已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合M={x|x=k2×180°+45°，k∈Z}，N={x|x=k4×180°+45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？【分析】（1）所有与角α有相同终边的角可表示为45°+k×360°（k∈Z），列出不等式解出整数k，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数k是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【解答】解析：（1）由题意知：β＝45°+k×360°（k∈Z），则令﹣720°≤45°+k×360°≤0°，得﹣765°≤k×360°≤﹣45°，解得−765360≤k≤−45360，从而k＝﹣2或k＝﹣1，代回β＝﹣675°或β＝﹣315°．（2）因为M＝{x|x＝（2k+1）×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝（k+1）×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M⊊N．【点评】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．【典例5】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为6sin1 ，扇形面积为9 ．【分析】利用弧长公式可求扇形所对的圆心角α，由余弦定理即可求得该弧所对弦长，利用扇形的面积公式即可得解．【解答】解：∵扇形其弧长为6，半径为3，∴扇形所对的圆心角α＝＝2，∴由余弦定理可得该弧所对弦长为：＝＝＝＝6sin1．∴扇形面积S＝r2α＝＝9．故答案为：6sin1，9．【点评】本题主要考查了弧长公式，余弦定理，扇形的面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．【典例6】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为6sin1 ，扇形面积为9 ．【分析】利用弧长公式可求扇形所对的圆心角α，由余弦定理即可求得该弧所对弦长，利用扇形的面积公式即可得解．【解答】解：∵扇形其弧长为6，半径为3，∴扇形所对的圆心角α＝＝2，∴由余弦定理可得该弧所对弦长为：＝＝＝＝6sin1．∴扇形面积S＝r2α＝＝9．故答案为：6sin1，9．【点评】本题主要考查了弧长公式，余弦定理，扇形的面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．【典例7】315°＝弧度，弧度＝105 °．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用角度与弧度的互化，求解即可．【解答】解：315°＝315×＝＝＝105°故答案为：；105【点评】本题考查弧度与角度的互化，考查计算能力，是基础题．考点2：三角函数基本知识一、三角函数定义1.定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(x ，y)，它与原点的距离为r(r =√|x|2+|y|2=√x 2+y 2>0)，那么 (1)比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=yr ； (2)比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=xr ； (3)比值yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α=yx；2.符号：(1)正弦值yr 对于第一、二象限为正（y >0，r >0），对于第三、四象限为负（y <0，r >0）； (2)余弦值x r 对于第一、四象限为正（x >0，r >0），对于第二、三象限为负（x <0，r >0）；(3)正切值yx 对于第一、三象限为正（x ，y 同号），对于第二、四象限为负x ，y （异号）．4.三角函数同角公式：sin 2x +cos 2x =1；tan x =sin xcos x ．二、诱导公式1.各角与角α终边的关系2.诱导公式(1)角α与α+k ⋅2π(k ∈Z)的三角函数间的关系；sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，tan(α+2kπ)=tanα; (2)角α与−α的三角函数间的关系；sin(−α)=−sin α，cos(−α)=cos α，tan(−α)=−tan α; (3)角α与α+(2k +1)π(k ∈Z)的三角函数间的关系；sin [α+(2k +1)π]=−sin α，cos [α+(2k +1)π]=−cos α，tan [α+(2k +1)π]=tan α; (4)角α与α+π2的三角函数间的关系．sin(α+π2)=cos α,cos(α+π2)=−sin α，tan(α+π2)=−cot α．注：“奇变偶不变，符号看象限”：奇偶是指π2的奇数倍和偶数倍，符号看象限是令α为第一象限的角，考查变化后角所在的象限以及对应三角函数的符号．π2+αyα典例精讲【典例1】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sin α，3），则cosα＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32【分析】由已知结合任意角的三角函数的定义求得cosα=xr =√4sin2α+9，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，解方程即可得解．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r=√4sin2α+9，∴cosα=xr =√4sin2α+9，可得：cos2α=4sin2α4sin2α+9=4(1−cos2α)4(1−cos2α)+9，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α=14，或338（舍去），∴cosα=12．故选：A．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，考查了方程思想，属于中档题．【典例2】已知θ是第四象限角，且cos（θ−π4）=35，则tan（θ+π4）＝（）A．−43B．−34C．43D．34【分析】由θ是第四象限角得出θ−π4的取值范围，再根据同角的三角函数关系以及三角恒等变换求出tan（θ−π4）的值．【解答】解：θ是第四象限角，∴3π2+2kπ＜θ＜2π+2kπ，k∈Z；∴5π4+2kπ＜θ−π4＜7π4+2kπ，k∈Z；又cos（θ−π4）=35，∴sin（θ−π4）=−√1−cos2(θ−π4)=−45，∴tan（θ−π4）=−43；∴tan（θ+π4）＝tan[（θ−π4）+π2]=−1tan(θ−π4)=34．故选：D．【点评】本题考查了同角的三角函数关系以及三角恒等变换的应用问题，是中档题．【典例3】已知x∈R，则下列等式恒成立的是（）A．sin（﹣x）＝﹣sin x B．C．D．cos（π﹣x）＝cos x【分析】利用诱导公式化简即可求解．【解答】解：sin（﹣x）＝﹣sin x，故A成立；sin（﹣x）＝﹣cos x，故B不成立；cos（+x）＝﹣sin x，故C不成立；cos（π﹣x）＝﹣cos x，故D不成立．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【典例4】如图，单位圆Q的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于点（3，1）时，点P的坐标为（3﹣sin3，1﹣cos3）．【分析】当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标̂=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3﹣sin 为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，OP（π﹣3）＝3﹣sin3，纵坐标为1+cos（π﹣3）＝1﹣cos3，【解答】解：作辅助线如图，当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；̂=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3﹣sin（π﹣3）＝3当圆心Q位于（3，1）时，OP﹣sin3，纵坐标为1+cos（π﹣3）＝1﹣cos3，故答案为：（π，2），（3﹣sin3，1﹣cos3）．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．【典例5】已知，若，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】解：设θ＝﹣α，则cosθ＝﹣，α＝﹣θ，则＝sin（﹣θ+）＝sin（π﹣θ）＝sinθ，∵，∴θ∈（﹣，﹣），则sinθ＝﹣＝﹣，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式，利用换元法是解决本题的关键．难度不大．【典例6】已知sin(π−α)=−12，则sin（﹣2π﹣α）＝12．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵sin(π−α)=−12，∴sinα=−12，∴sin（﹣2π﹣α）＝﹣sin（2π+α）＝﹣sinα=12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用．【典例7】（2019秋•淮南期末）若，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为，则＝sin（）＝cos（）＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础试题．综合练习一. 选择题（共2小题）1.已知θ是第四象限角，且cos（θ−π4）=35，则tan（θ+π4）＝（）A．−43B．−34C．43D．34【分析】由θ是第四象限角得出θ−π4的取值范围，再根据同角的三角函数关系以及三角恒等变换求出tan（θ−π4）的值．【解答】解：θ是第四象限角，∴3π2+2kπ＜θ＜2π+2kπ，k∈Z；∴5π4+2kπ＜θ−π4＜7π4+2kπ，k∈Z；又cos（θ−π4）=35，∴sin（θ−π4）=−√1−cos2(θ−π4)=−45，∴tan（θ−π4）=−43；∴tan（θ+π4）＝tan[（θ−π4）+π2]=−1tan(θ−π4)=34．故选：D．【点评】本题考查了同角的三角函数关系以及三角恒等变换的应用问题，是中档题．2.定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（√3sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．√3B．√33C．2 D．1【分析】根据题意利用新定义及三角函数恒等变换的应用可求sin（2x−π3）=√33，求出y＝sin（2x−π3）的函数图象关于直线x=5π12对称，得出x1，x2的关系，利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵（√3sin x）⊗（cos x）＝2，∴由题意可得：2√3sin x（√3sin x+cos x）﹣3＝2，可得：√3sin2x﹣3cos2x＝2，∴2√3sin（2x−π3）＝2，即：sin（2x−π3）=√33，由于y＝sin（2x−π3）的函数图象关于直线x=5π12对称，且f（5π12）＝1，∴可得x1+x2=5π6，即x1=5π6−x2，∴cos（x1﹣x2）＝cos（5π6−2x2）＝cos（π2+π3−2x2）＝sin（2x2−π3）＝f（x2）=√33．故选：B．【点评】本题主要考查了新定义及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．二. 填空题（共4小题）3.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是−π3．【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．【解答】解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨快是顺时针旋转，∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为−1060×2π=−π3．故答案为：−π3．【点评】本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查顺时针旋转得到的角是负角．4.已知θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ＝−1213．【分析】先求出θ的终边上点P（﹣12，5）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义求出结果．【解答】解：∵θ的终边过点P（﹣12，5），∴x＝﹣12，y＝5，∴r＝13，由任意角的三角函数的定义得cosα=xr =−−1213．故答案为：−1213．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．5.已知角α的终边经过点P(−1，√3)，则cosα＝−12．【分析】由题意可得x＝﹣1，y=√3，r=√x2+y2=2，由此求得cosα=xr的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P(−1，√3)，∴x＝﹣1，y=√3，r=√x2+y2=2，故cosα=xr =−12．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义．6.已知sin(π−α)=−12，则sin（﹣2π﹣α）＝12．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵sin(π−α)=−12，∴sinα=−12，∴sin（﹣2π﹣α）＝﹣sin（2π+α）＝﹣sinα=12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用．三. 解答题（共2小题）7. 有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为多少，扇形面积为多少？【分析】利用弧长公式可求扇形所对的圆心角α，由余弦定理即可求得该弧所对弦长，利用扇形的面积公式即可得解．【解答】解：∵扇形其弧长为6，半径为3，∴扇形所对的圆心角α＝＝2，∴由余弦定理可得该弧所对弦长为：＝＝＝＝6sin1．∴扇形面积S＝r2α＝＝9．故答案为：6sin1，9．【点评】本题考查弧度制，考查计算能力，理解题意是关键，是中档题．8.已知扇形的圆心角为α（α＞0），半径为R．（1）若α＝60°，R＝10cm，求圆心角α所对的弧长．（2）若扇形的周长是8cm，面积是4cm2，求α和R．【分析】（1）利用弧长公式即可得出．（2）由题意可得：2R+Rα＝8，12R2α=4，联立解得即可得出．【解答】解：（1）α＝60°=π3，∴弧长=π3×10=10π3．（2）由题意可得：2R+Rα＝8，12R2α=4，联立解得α＝R＝2．【点评】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力．。

§2任意角2.1角的概念推广2.2象限角及其表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)下列说法不正确的是()A.终边在x轴非负半轴上的角是零角B.钝角一定大于第一象限的角C.第二象限的角不一定大于第一象限的角错,终边在x轴非负半轴上的角为k·360°,k∈Z,显然不只是零角;B错,390°是第一象限的角,大于任一钝角;C对,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°;D错,285°为第四象限角,但不是负角.可以是()2.(多选)已知角α是第四象限角,则角-α2A.第一象限角B.第二象限角D.第四象限角α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°(k∈Z),<k×180°(k∈Z),所以k×180°-45°<α2所以-k×180°<-α<-k×180°+45°(k∈Z),2是第一或第三象限角.所以角-α23.已知角α,β的终边相同,则角(α-β)的终边在()A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上α,β的终边相同,得α=k·360°+β,k∈Z.α-β=k·360°,k∈Z,得α-β的终边在x轴的非负半轴上,故选A.4.终边在第二象限的角的集合可以表示为()A.{α|90°<α<180°}B.{α|90°+k·180°<α<180°+k·180°,k∈Z}C.{α|-270°+k·180°<α<-180°+k·180°,k∈Z}D.{α|-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z}{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z},而选项,故选项D正确.5.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()° B.143° C.379° D.-143°37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D.6.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为()A.B⫋AB.A⫋BD.A⊆BA中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.°角的终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是.2016°终边相同的角为2016°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,216°为最小正角;当k=-6时,-144°为绝对值最小的角.°-144°α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z9.在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由.0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60=1440(分钟),时针和分针每重合一次间隔的时间为3606-0.5分钟,所以一昼夜时针和分针重合14403606-0.5=22(次).(2)假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是一共有24×2-4=44(次)时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为360360-6分,而由于360360-6与3606-0.5的最小公倍数为720分钟,即12个小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.能力提升练1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是()A.B=A∩CB.B∪C=CD.A=B=CB⊂A∩C,故A错误;B⊂C,所以B∪C=C,故B正确;A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误.2.(多选)在-180°~360°范围内,与2 000°角终边相同的角为()A.-160°B.200°° D.160°°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,所以在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个.°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是.-885°÷360°=-3……195°,且0°≤α<360°,所以k=-3,α=195°,故=195°+(-3)·360°.°+(-3)·360°β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=.°与150°的终边关于y轴对称,故β的终边与150°角的终边相同.故°+k·360°,k∈Z.°+k·360°,k∈Z2α的终边在x轴的上方,那么α是第象限角.k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),α在第一象限;当k=2n+1(n ∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),α在第三象限.故α在第一或第三象限.6.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.因为α,β都是锐角,所以0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①因为α-β=670°+k·360°,k∈Z,α,β都是锐角,所以-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.素养培优练如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从点A处出发,以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟又回到出发点A,求θ,并判断θ所在的象限.,14秒钟后,点P在角14θ+45°的终边上,所以45°+k·360°=14θ+45°,k∈Z.又180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°,所以67.5°<k·180°7<112.5°.又k∈Z,所以k=3或4,所以所求的θ的值为540°7或720°7.因为0°<540°7<90°,90°<720°7<180°,所以θ在第一象限或第二象限.。

tan αsin α教案37 三角函数的概念（2）——三角函数的定义一、课前检测 1. α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝___ __。

答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,23ππαα2. α是第一象限角，2α是第几象限角？ 答案：一或三3. 扇形的半径为r ，面积为22r ，则这个扇形的中心角的弧度数为___________ 答案：22二、知识梳理1.三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xy x y ===αααtan ,cos ,sin . 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0sin =α，r x 0cos =α，00tan x y=α.解读：2.αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号（一全正二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c ”）解读：3.三角函数线（单位圆中）正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.解读：解读：解读：(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:6.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。

即：Z)(k tan ) tan(2k ,cos )cos(2k ,sin )sin(2k ∈=+=+=+ααπααπααπ解读：1）化不在)[0,2π的角的三角函数为在)[0,2π的角的三角函数；2）三角函数值有“周而复始”的变化规律，呈现明显的周期性。

三、典型例题分析例1． 若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sin α等于（ ） A.12 B.－12 C.－32 D.－33答案：C变式训练1: 已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求αααtan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-===∴a a a a a a ααα 错因：在求得r 的过程中误认为a >0正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα变式训练2: 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|, 当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y .综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.小结与拓展：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论.例2．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 （1）3π （2）65π（3）32π-（4）613π-变式训练:下列四个值:sin3,cos3,tg3的大小关系是( )A.cos3＜tg3＜sin3B.sin3＞cos3＞tg3C.tan3＜cos3＜sin3D.sin3＞tan3＞cos3 答案：D小结与拓展：例3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23; (2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ， 则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练: 求下列函数的定义域： （1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）. 解：（1）∵2cosx -1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).小结与拓展：四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）：。