2020北京各区一模数学试题分类汇编--三角函数(学生版)

2023年北京中考数学一模分类汇编——函数探究题1．（2023•海淀区一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：水平距离x/m00.41 1.42 2.4 2.8竖直高度y/m00.480.90.980.80.480根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m；②求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过篱笆．2．（2023•西城区一模）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m 的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）.（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y00.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系；②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：（A）﹣0.04×82+8b＞2.3；（B）﹣0.04×182+18b＞2.2；（C）﹣0.04×182+18b＜2.2；（D）．其中正确的不等式是．（填上所有正确的选项）3．（2023•东城区一模）已知乒乓球桌的长度为274cm ，某人从球桌边缘正上方高18cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y （单位：cm ）与水平距离x （单位：cm ）近似满足函数关系y ＝a （x ﹣h 1）2+k （a ＜0）．乒乓球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离x /cm 04080120160竖直高度y /cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系y ＝﹣0.005（x ﹣h 2）2+8．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．4．（2023•朝阳区一模）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种．测得一些数据如下：滑行时间t/s012340261220滑行距离s/m（1）s 是t的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；（2）求s关于t的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系t．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t2，则t1t2（填“＜”，“＝”或“＞”）．5．（2023•丰台区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．（1）水面的宽度OA＝m；（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．6．（2023•石景山区一模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：0123456水平距离x/m2.0 2.73.2 3.5 3.6 3.5 3.2竖直高度y/m①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是m．7．（2023•通州区一模）如图，OC是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．（1）灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．水平距离x/米00.61234竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.8752 1.875 1.5结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程OB的长度．（2）为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程OE＝2米，求此水流距离地面的最大高度．8．（2023•平谷区一模）如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y（单位：m）与距离喷射口的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）谷粒距离喷射口的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：水平距离x/m02345竖直高度y/m 3.5 4.3 4.4 4.3 4.0根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车箱的中心点．若货车车箱的中心点距地面1.9米，则货车车箱的中心点应距离喷射口几米？（2）谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线①被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为：A：y＝﹣0.09（x﹣3.2）2+4.42B：y＝﹣0.12（x﹣2.8）2+4.44则A、B对应的抛物线分别为A：；B：（写①或②即可）．9．（2023•门头沟区一模）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．比赛中，甲同学连续进行了两次发球．（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m1 2.4 3.44 4.24 3.4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是m；②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球（填“是”或“否”）可以过网；③求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y ＝﹣0.1（x﹣5）2+3.3．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.4m 时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，则d1﹣d20（填“＞”“＜”或“＝”）．10．（2023•房山区一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）．（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m23681012竖直高度y/m4 5.47.2 6.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.288（x﹣5）2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．11．（2023•延庆区一模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m012345竖直高度y/m 1.8 2.43 2.88 3.15 3.24 3.15根据上述数据，解决下列问题：（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是；（2）求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（3）求实心球从出手到落地点的水平距离．12．（2023•大兴区一模）羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02468…竖直高度y/m11…请根据上述数据，解决问题：（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；（2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m，当发球点O距离球网5m时羽毛球（填“能”或“不能”）越过球网．13．（2023•顺义区一模）铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m）．由电子监测获得的部分数据如下：水平距离x/m0369121518…竖直高度y/m2.00 4.25 5.60 6.05 5.60 4.25 2.00…（1）根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；（3）请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．14．（2023•燕山一模）某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（正方形ABCD为箱子正面示意图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行）．某同学将弹珠从点P处抛出，弹珠的竖直高度y（单位：dm）与水平距离x（单位：dm）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．下面是弹珠的水平距离x与竖直高度y的几组数据：水平距离x/dm0123456竖直高度y/dm 2.50 4.25 5.50 6.25 6.50 6.25 5.50（1）直接写出弹珠竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）若点B的坐标为（8，0），BC＝2dm，则该同学抛出的弹珠投入箱子（填“能”或“不能”）．。

1 / 312020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D【解析】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22m m -砛?，， 故选：D ．（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099，C. (]0100， D. ()0+∞，2 / 31【答案】B【解析】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）3 / 31A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【答案】C【解析】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即 1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-4 / 31【答案】A【解析】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0x y x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】C5 / 31【解析】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，0a b ∴<<331log log 021c =<=Q b a c ∴>>故选：C（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D【解析】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C【解析】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-，6 / 31当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，7 / 31由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增，所以x =min 22y ==+a ≤ 综上所述：02a ≤≤. 故选：C（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=【答案】D【解析】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2xy -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；8 / 31③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==-此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=. 所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾.9 / 31故函数②不具有性质P .对于③：取12x x = 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞. 【解析】由题可知：函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减 等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立 即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，10 / 31由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x(4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.11 / 31【答案】(,3)-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示：因为方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线32y x a =+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞．（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点, 则令()10y f x =-=,即()1f x =,12 / 31又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩, ①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =综上所以,函数()1y f x =-的零点是0或.故答案为：0（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数,函数()()21f x mx =-的图象二次函数,在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数.13 / 31最小值为()min 2m g x =,最大值为()max 12m g x =+; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m >时, 函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max minf xg x ≥()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ,14 / 31()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选:B（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b <<<<,即a c b <<. 故选：A（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，15 / 31对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增，所以函数x xy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【解析】 (I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，16 / 31∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x>>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， ()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220e a g e e e e=+-<-<Q ， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. （2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈17 / 31(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【解析】 (Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；18 / 31（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞19 / 31()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值. （2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=.当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间()0,+?上的最小值.20 / 31所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，()0g x ¢>，所以()g x 在()1,+?上单调递增.因为()10g a =<，而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.()f x ¢和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.21 / 31（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【解析】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.22 / 31设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合所以结论成立.（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =. 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表： .23 / 31所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.24 / 31当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.25 / 31【解析】（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由 又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-xs x x g x x e 则'()1e 0xs x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：26 / 31由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-， 若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，27 / 31又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h eh e所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.【解析】（1）()(1)x f x e ax =+Q ，()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a+∈-，)+∞，()0f x '>；28 / 31()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； （3）当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以()f x 无零点；当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a=-，只有一个零点． （2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.【解析】（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=>29 / 31①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x在)+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q fa a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【解析】（1）2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =.30 / 31所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a xf x x +-'+-=+()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x-≤在(0,)x ∈+∞恒成立，31 / 31 所以2102a a -≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a =-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a -≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.。

1 / 32020北京各区一模数学试题分类汇编—解三角形（2020海淀一模）在△ABC中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____.（2020顺义区一模）在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.（2020延庆一模）在ABC V 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若45CAD AC ∠=︒=，，则ABC V 的面积等于____________.（2020西城一模）已知ABC V 满足，且23b A π==，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4B π=，②a =a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）（2020东城一模）在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.（2020丰台一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin B C 的取值范围.2 / 3（2020朝阳区一模）在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（2020石景山一模）已知锐角ABC V ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC V 的面积.（2020怀柔一模）已知在ABC ∆中，2a =，b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）条件下，求B 及c 的值.（2020密云一模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.3 / 3（1）已知_______________，计算ABC V 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值.。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。

xyO π2π1-1北京2022高三数学理分类汇编（含9区一模及上年末试）专项：三角函数一、选择题1 ．（2020届北京大兴区一模理科）函数21cos ()cos xf x x-=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 2 ．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 第6题图A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =- D ．441sin()555y x =+ 3 ．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是 （ ）A ．11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf fC ．()x f 是奇函数D ．()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ4 ．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+二、填空题5 ．（2020届北京大兴区一模理科）函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。

6 ．（2020届北京海边一模理科）在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==7 ．（2020届北京海边一模理科）已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.8 ．（2020届北京市延庆县一模数学理）在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <.若6,32,2π===A c a ，则角=C .9 ．（2020届门头沟区一模理科）在∆ABC 中，若2a =，3c =，tan 15B =，则b = ．10．（北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．11．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考理科数学）在△ABC 中，若π,4B b ∠==，则C ∠= ． 12．（北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范畴是______．13．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b ,则=a _______,=c ________. 14．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知ABC ∆中，，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．15．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = .16．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．17．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于 . 三、解答题18．（2020届北京大兴区一模理科）在∆A B C中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5A，π4B，2b ．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积．19．（2020届北京丰台区一模理科）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.20．（2020届北京海边一模理科）已知函数2()2cos )f x x x =--.（Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.21．（2020届北京市延庆县一模数学理）已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6,0[π∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．22．（2020届北京西城区一模理科）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．23．（2020届东城区一模理科）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，求ac 的最大值．24．（2020届房山区一模理科数学）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22Cf =且2c ab =， 试判定△ABC 的形状．25．（2020届门头沟区一模理科）已知：函数2π()sin cos()2f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．26．（北京市东城区一般高中示范校2020届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.27．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题 ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5=a ，ABC ∆的面积为.（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求)3cos(π-B 的值.28．（北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．29．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考理科数学）已知πsin()4A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x=+的值域．30．（北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）在△ABC 中，已知21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．31．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.32．（北京市通州区2020届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．33．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.34．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.35．（【解析】北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分） 已知函数2()sin cos cos 1222x x x f x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.36．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．37．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.北京2020届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：三角函数参考答案一、选择题 1. D 2. D 3. 答案D 因为()()6f x f π≤恒成立,因此6π是函数的对称轴,即2,62k k Zππϕπ⨯+=+∈,因此,6k k Zπϕπ=+∈,又()()2f f ππ<,因此sin()sin(2)πϕπϕ+<+,即sin sin ϕϕ-<,因此sin 0ϕ>,因此6πϕ=,即()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k πππππ-+≤+≤+,得36k x k ππππ-+≤≤+,即函数的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ,因此D 正确,选D.4. 【答案】B解：由图象可知52882Tπππ=-=，因此函数的周期T π=，又2T ππω==，因此2ω=。

2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----数学文化1.（2020海淀一模）形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可. 【详解】32521F =+Q ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===⨯=.9.63291010m =≈，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=简化计算.2.（2020北京市模拟）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ． 3.（2020北京市模拟）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①② 【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．4.（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14【答案】C 【分析】假设圆的半径为r ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为36024o，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524=o o ，所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=o o r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈o o r r ，故选：C【点睛】本题考查分割法使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.5.（2020房山一模）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果．由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误．故选：D ．本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（2020通州一模）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）8,15n-7。

2023北京高三一模数学汇编三角函数章节综合1．（2023·北京房山·统考一模）已知函数()f x 同时满足以下两个条件：①对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=；②对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+.则函数()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2f x x =B ．()2f x x =−C ．()2x f x =D ．()2x f x =−2．（2023·北京西城·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N 间的关系为2ln (1)Mv N=+．若火箭的最大速度为12km /s ，则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：e 2.71828=）A ．200B ．400C ．600D ．8003．（2023·北京东城·统考一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．（2023·北京西城·统考一模）设c ∈R ，函数,0,()22,0.xx c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩ 若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．{0}[1,)+∞ C ．1(0,)2D ．1{0}[,)2+∞5．（2023·北京丰台·统考一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则()2f −=（ ） A ．1−B ．0C ．1D ．26．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+D ．()()1e e 2x x f x −=− 7．（2023·北京顺义·统考一模）函数()e e x x f x −=−的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2023·北京顺义·统考一模）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数．为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t =．若计算时取lg 20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ）A ．1.67B ．1.5C ．2.5D ．0.49．（2023·北京石景山·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0/v km s ．若要使火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A ．202tB ．200t t + C ．02t D ．2002t t +10．（2023·北京朝阳·统考一模）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()()1sin 2R 2sin f x x x x =+∈，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 的最大值为32C ．()f x 的图象关于直线πx =对称D ．()f x 在区间[]0,2π上有3个零点11．（2023·北京房山·统考一模）“π04x <<”是“tan 1x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2023·北京西城·统考一模）设lg 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（ ） A ．b<c<a B ．c b a << C ．b a c <<D ．a b c <<13．（2023·北京西城·统考一模）函数()sin 2tan f x x x =⋅是（ ） A ．奇函数，且最小值为0 B ．奇函数，且最大值为2 C ．偶函数，且最小值为0D ．偶函数，且最大值为214．（2023·北京西城·统考一模）下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ） A ．y x =− B ．22y x x =− C ．sin y x =D ．1y x x=−15．（2023·北京石景山·统考一模）若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π1216．（2023·北京丰台·统考一模）在ABC 中，若2cos sin sin A B C =，则该三角形的形状一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形17．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴非负半轴为始边，其终边与单位，则α的一个可能取值为（ ） A ．60−︒B ．30−︒C ．45︒D ．60︒18．（2023·北京顺义·统考一模）已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19．（2023·北京房山·统考一模）设函数2ln ,0,()41,0.x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②1a ∀>，方程()f x a =恰有3个实数根；③0x +∃∈R ，使得()()000f x f x −−=；④若实数1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===.则()()1234x x x x +−的最大值为44e e−.其中所有正确结论的序号是__________.20．（2023·北京朝阳·统考一模）函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为________．21．（2023·北京顺义·统考一模）如果函数()f x 满足对任意s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +<+，则称()f x 为优函数．给出下列四个结论：①()ln(1)(0)g x x x =+>为优函数；②若()f x 为优函数，则(2023)2023(1)f f <； ③若()f x 为优函数，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，则()f x 为优函数． 其中，所有正确结论的序号是______________．22．（2023·北京东城·统考一模）函数()ln f x x =的定义域是____________．23．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数()sin()(02π)f x x ϕϕ=+≤<．若()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ϕ的一个取值可以为_________．24．（2023·北京房山·统考一模）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π. (1)求ω值；(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定()f x 的解析式.设函数2()()2sin g x f x x =−，求()g x 的单调增区间.条件①：()f x 是偶函数；条件②：()f x 图象过点π,16⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 图象的一个对称中心为5π⎫⎪⎝⎭.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.25．（2023·北京东城·统考一模）已知函数()sin si πn 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期； (2)若π6x =是函数()()(0)y f x f x ϕϕ=−+>的一个零点，求ϕ的最小值. 26．（2023·北京朝阳·统考一模）设函数()()2sin cos cos 0,0f A x x A x x ωωωω=+>>，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得()f x 存在． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．条件①：()()=f x f x −； 条件②：()f x 的最大值为32； 条件③：()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 27．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()sin g x f x x =，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．28．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数()sin cos f x A x x x =的一个零点为π6． (1)求A 和函数()f x 的最小正周期；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围．29．（2023·北京海淀·统考一模）设函数()()11,1()lg ,1x a x x f x x a x ⎧−++<=⎨−≥⎩ ①当0a =时，((1))=f f _________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是_________．30．（2023·北京西城·统考一模）设(cos ,sin ),(2cos ,2sin )A B ααββ，其中,R αβ∈．当ππ,2==αβ时，AB =____；当AB =αβ−____．参考答案1．B【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=，故函数为奇函数； 对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+，即()()12120f x f x x x +−<−，即()()12120f x f x x x −<−，()12x x ≠，故函数单调递减.对选项A ：()2f x x =单调递增，不满足；对选项B ：()2f x x =−单调递减，且函数为奇函数，满足； 对选项C ：()2x f x =单调递增，不满足； 对选项D ：()2x f x =−不是奇函数，不满足. 故选：B 2．B【分析】根据所给关系式，求出6e 1MN=−，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为12km /s 时，可得122ln (1)MN=+， 即6e 1MN=−， 因为e 2.71828=，所以近似计算可得6e 1402MN=−≈， 故选：B 3．C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N ∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =. 故选：C. 4．D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩可由,0,()2,0.x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到，易知当0c 时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意； 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点； 当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥； 综上可得c 的取值范围是{}10[,)2∞⋃+.故选：D 5．A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =， 所以()()222log 21f f −=−=−=−. 故选：A 6．D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数()sin f x x =为奇函数，但在定义域R 上函数不单调，故A 不符合； 对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x −−===，则()2xf x =为偶函数，故B 不符合；对于C ，()3f x x x =+的定义域为R ，()()3f x x x f x −=−−=−，则()3f x x x =+为奇函数，又函数3,y x y x ==在R 上均为增函数，故()3f x x x =+在R 上为增函数，故C 不符合；对于D ，()()1e e 2x x f x −=−的定义域为R ，()()()1e e 2x x f x f x −−=−=−，则()()1e e 2x x f x −=−为奇函数，又函数e x y −=在R 上为减函数，e x y =在R 上为增函数，故()()1e e 2x xf x −=−在R 上为减函数，故D 符合. 故选：D. 7．B【分析】分析给定函数()f x 的奇偶性、单调性即可判断作答.【详解】函数()e e x x f x −=−定义域为R ，()e e (e e )()x x x x f x f x −−−=−=−−=−，函数()f x 是R 上的奇函数，函数()f x 的图象关于y 轴对称，选项A ，D 不满足；因为函数e x y =在R 上单调递增，e x y −=在R 上单调递减，则函数()f x 在R 上单调递增，选项C 不满足，B 满足. 故选：B 8．B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以，2020505n n ⨯=⨯，所以，542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B. 9．D【分析】根据对数运算法则可求得()200022000ln 12v t t =++，由此可得结果.【详解】由题意得：()002000ln 1v t =+，()()()220000024000ln 12000ln 12000ln 12v t t t t ∴=+=+=++，2002M t t m∴=+， 即当火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值为2002t t +.故选：D. 10．D【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的x 值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=−+≠，故A 错误；B.sin y x =，当π2π2x k =+，Z k ∈时，取得最大值1，1sin 22y x =，当π22π2x k =+，Z k ∈时，即ππ4x k =+，Z k ∈时，取得最大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以()f x 的最大值不是32，故B 错误；C.()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x −=−+−=−−≠，所以函数()f x 的图象不关于直线πx =对称，故C 错误；D.()1sin sin 2sin sin cos 02f x x x x x x =+=+=，即()sin 1cos 0x x +=，[]0,2πx ∈，即sin 0x =或cos 1x =−，解得：0,π,2πx =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上有3个零点，故D 正确. 故选：D 11．A【分析】当π04x <<时，()tan 0,1x ∈，满足tan 1x <，充分性，取3π4x =计算得到不必要性，得到答案. 【详解】当π04x <<时，()tan 0,1x ∈，满足tan 1x <，充分性； 取3π4x =，满足tan 11x =−<，不满足π04x <<，不必要性.故“π04x <<”是“tan 1x <”的充分而不必要条件. 故选：A 12．C【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定,,a b c 的取值范围即可得出结论. 【详解】根据对数函数lg y x =在定义域内为单调递增可知0lg1lg 2lg101=<<=，即()0,1a ∈； 由三角函数cos y x =单调性可知πcos 2cos02b ==<； 利用指数函数2x y =为单调递增可得0.20221c =>=； 所以b a c <<. 故选：C 13．C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得2()2sin 1cos 2f x x x ==−，由三角函数值域即可得[)()0,2f x ∈，即可得出结果.【详解】由题可知，()sin 2tan f x x x =⋅的定义域为π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，且2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin cos xf x x x x x x x=⋅=⋅=， 而()22()2sin 2sin ()f x x x f x −=−==，即函数()f x 为偶函数；所以2()2sin 1co Z ,ππ,2s 2f k x x x k x ≠+=−∈=，又(]cos 21,1x ∈−，即[)()1cos 20,2f x x =−∈，可得函数()f x 最小值为0，无最大值. 故选：C 14．D【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，当0x >时，y x x =−=−，则y x =−在()0,∞+上单调递减；对于B 选项，函数22y x x =−在区间()0,∞+上不单调； 对于C 选项，函数sin y x =在()0,∞+上不单调；对于D 选项，因为函数y x =、1y x =−在()0,∞+上均为增函数，所以，函数1y x x=−在()0,∞+上为增函数.故选：D. 15．A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得最小正周期T ，从而可求ω的值，结合图象代入已知点坐标即可得ϕ的值.【详解】由图可知()2π0,3f m f m ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，由图象可得最小正周期T 满足：1πππ2362T ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，又0ω>，所以2ω=， 则由图象可得π2π6k ϕ⎛⎫⨯−+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故选：A. 16．A【分析】利用内角和定理及诱导公式得到sin sin()C A B =+，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到0A B −=，即A B =，即可确定出三角形形状．【详解】解：在ABC 中，()sin sin πsin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =−+=+=+⎡⎤⎣⎦，2cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B ∴==+，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B −=−=，(),0,πA B ∈，()π,πA B ∴−∈−，0A B ∴−=，即A B =，则ABC 为等腰三角形． 故选：A ． 17．B【分析】根据三角函数的定义得到cos 2α=，再根据特殊角的三角函数判断即可.【详解】依题意可得cos α=30360,Z k k α=︒+⋅︒∈或30360,Z k k α=−︒+⋅︒∈， 所以α的一个可能取值为30−︒. 故选：B 18．A【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得.【详解】若存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++，则()()()cos cos 21πcos 2ππcos πcos k k αββββ=++=++=+=−⎡⎤⎣⎦，∴cos cos αβ=−，即cos cos 0αβ+=，∴存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++⇒cos cos 0αβ+=，∴“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的充分条件； 当π2αβ==时，cos cos 0αβ==，此时 ∴cos cos 0αβ+=存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++， ∴“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”不是“cos cos 0αβ+=”的必要条件.综上所述，“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的充分不必要条件.故选：A.19．②③④【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论. 【详解】因为函数2ln ,0,()41,0.x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，其图象如下图所示：对于①，由图可知，函数()f x 的值域不是R ，故①不正确；对于②，由图可知，1a ∀>，方程()f x a =恰有3个实数根，故②正确；对于③，当0x +∃∈R 时，使得有00()()f x f x −=成立，即24+1=−y x x 与ln y x =有交点，这显然成立，故③正确；对于④，不妨设互不相等的实数1234,,,x x x x 满足1234x x x x <<<，当满足()()()()1234f x f x f x f x ===时， 由图可知1222+=−x x ，即124x x +=−， 34ln ln x x =，即34341ln ln ,x x x x −==， 所以()124444114x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图可知，(]41,e x ∈， 而1y x x =−在(]1,e x ∈上单调递减，所以4411e,0e x x ⎡⎫−∈−⎪⎢⎣⎭，所以()12343411440,4e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤+−=−−∈− ⎪ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭⎝⎭， 则()()1234x x x x +−的最大值为44e e−，故④正确. 故答案为：②③④.20．(),3−∞【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求1x ≥和1x <的值域，再取并集即可.【详解】因为当1x ≥时，13log 0x ≤， 当1x <时，33x <，所以函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(),3−∞，故答案为：(),3−∞21．①②④【分析】①计算出()()()ln 1ln101st g s g t g s t s t ⎛⎫+−+=+>= ⎪++⎝⎭，故()()()g s g t g s t +>+，得到①正确； ②赋值法得到()()212f f >，()()313f f >，依次类推得到(2023)2023(1)f f <；③举出反例； ④由()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，得到()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t ++<<++，整理变形后相加得到()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，即()()()f s t f s f t +<+，④正确.【详解】因为(),0,s t ∈+∞，所以()()()()()()()()11ln 1ln 1ln 1ln1s t g s g t g s t s t s t s t+++−+=+++−++=++ 1ln ln 1ln1011s t st st s t s t +++⎛⎫==+>= ⎪++++⎝⎭， 故()()()g s g t g s t +>+，故()ln(1)(0)g x x x =+>是优函数，①正确；因为()f x 为优函数，故()()()1111f f f +>+，即()()212f f >，()()()()21213f f f f +>+=，故()()313f f >，同理可得()()414f f >，……，()()202312023f f >，②正确；例如()2,0f x x x =−>，满足()222()()()20f s t f s f t s t s t st +−−=−+++=−<， 即()()()f s t f s f t +<+，为优函数，但()2f x x =−在()0,x ∈+∞上单调递减，故③错误； 若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，任取(),0,s t ∈+∞，,s t s s t t +>+>，则()()()(),F s t F s F s t F t +<+<，即()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t++<<++， 变形为()()()()()(),sf s t s t f s tf s t s t f t +<++<+，两式相加得：()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，因为0s t +>，所以()()()f s t f s f t +<+，则()f x 为优函数，④正确.故答案为：①②④【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.22．(]0,1【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则满足：100x x −≥⎧⎨>⎩，解得：01x <≤ 所以函数()ln f x x =的定义域为(]0,1故答案为：(]0,123．π2（不唯一） 【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由ππ,π,π33x x ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且0πϕ≤<2， 所以有ππππ323π62π2ϕϕϕ⎧+≥⎪⎪⇒≤≤⎨⎪+≤⎪⎩， 因此ϕ的一个取值可以为π2， 故答案为：π224．(1)2ω=(2)答案见解析【分析】（1）根据周期公式，即可求解；（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求ϕ，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.【详解】（1）由条件可知，2ππω=，解得：2ω=；（2）由（1）可知，()sin(2)(0,0π)f x x ϕωϕ=+><<，若选择条件①：()f x 是偶函数， 所以π20π,Z 2k k ϕ⨯+=+∈，即π2ϕ=， 所以()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ()2cos 22sin 2cos 21g x x x x =−=−，令π2π22π,Z k x k k −+≤≤∈, 解得：πππ,Z 2k x k k −+≤≤∈, 所以函数()g x 的递增区间是ππ2,π,Z k k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−∈+， 若选择条件②：()f x 图象过点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，ππsin 2166f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0πϕ<<， 则ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即πZ π2,6k k ϕ=+∈，所以π6ϕ=， 所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2π1sin 22sin 2cos 2cos 2162g x x x x x x ⎛⎫=+−=++− ⎪⎝⎭32cos 212x x +−π213x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤+≤+∈， 解得：5ππππ1212k x k −+≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦. 如选择条件③：()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以5π2π,Z 12k k ϕ⨯+=∈，5ππ6k ϕ=−，0πϕ<<，π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2π1sin 22sin 2cos 2cos 21622g x x x x x x ⎛⎫=+−=++− ⎪⎝⎭32cos 2122x x =+−π213x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤+≤+∈， 解得：5ππππ1212k x k −+≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦. 25．(1)2π (2)π3【分析】（1）三角函数恒等变换的公式，化简函数()π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而求得函数的最小正周期；（2）由（1）得到函数ππ66y x x ϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据题意，得到方程πsin 3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）解：由函数1()sin sin sin sin 32f x x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭3πsin cos 226x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2πT =.（2）解：由ππ()()66y f x f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=−+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为6x π=是函数()()(0)y f x f x ϕϕ=−+>的一个零点，ππππ06666ϕ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 023ϕ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，即πsin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 可得ππ2π33k ϕ+=+或π2π2π,Z 33k k ϕ+=+∈， 即2πk ϕ=或ππ,Z k k ϕ=+∈23， 又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为π3.26．(1)选择条件②③，()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2)最大值为32，最小值为0.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简()f x ，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为()2sin 2cos 2A f x x x ωω=+，所以()()()22sin 2cos sin 2cos 22A A f x x x x x ωωωω−=−+−=−+， 由()()=f x f x −可得sin 20A x ω=对x ∈R 恒成立，与0,0A ω>>矛盾，所以选择条件②③，由题意可得()()()()22sin cos cos sin 2cos f x A x x x A x x ωωωωω−=−−+−=−+， 设ππ22ϕ−<<，由题意可得()()111sin 2cos 222222A f x x x x ωωωϕ=++=++， 其中cos ϕ=sin ϕ=因为()f x 的最大值为3213222+=，解得A = 所以1sin 2ϕ=，π6ϕ=， 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =， 所以2ππ2T ω==解得1ω=， 所以()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由正弦函数的图象可得当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，最小值为0. 27．(1)()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)和最小值为0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到,ωϕ，进而得到()f x 的解析式；（2）根据三角恒等变换化简()g x ，进而分析在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）由图象可知：3ππ2π4144T ωω⎛⎫=⨯−=∴= ⎪⎝⎭， 将点π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()y f x =得πππ2sin 22π444f k ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π0π4ϕϕ<<∴= ∴()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）())π()()sin sin cos sin 2cos 2sin 24g x f x x x x x x x x ⎛⎫=+=−− ⎪⎝⎭ 由π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2,444x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦ 当ππ244x −=−时，即()min 0,0x g x ==；当ππ244x −=时，即()max π,4x g x ==28．(1)2A =；π(2)[)2,+∞【分析】（1）解方程π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求A ，然后把函数()f x 降幂，辅助角公式后再求周期. （2）若()f x m ≤恒成立，即求max ()f x m ≤.【详解】（1）()sin cos 2f x A x x x =的一个零点为π6 ππππsin cos 06663f A ⎛⎫∴=⋅= ⎪⎝⎭，即11022A ⋅=，2A ∴= ()π2sin cos 2sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫∴=⋅==− ⎪⎝⎭ 所以函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2=. （2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π2,333x ⎡⎤∴−∈−⎢⎥⎣⎦当ππ232x −=时有最大值，即 ()max π2sin 22f x ==. 若()f x m ≤恒成立，即max ()f x m ≤,所以2m ≥，故m 的取值范围为[)2,+∞.29． 1 (][),02,−∞⋃+∞【分析】由分段函数解析式先求()1f ，再求()()1f f 的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.【详解】当0a =时，()21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩， 所以()1lg10f ==，所以()()()101f f f ==，令()0f x =，可得当1x <时，()()110x a x −++=，所以=1x −或1x a =−，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上有唯一解=1x −，当a<0或02a <<时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上的解为=1x −或1x a =−，当1x ≥时，lg 0x a −=，所以当0a ≥时，10a x =，当a<0时，方程lg 0x a −=在[)1+∞，上无解， 综上，当a<0时，函数()f x 有两个零点1,1a −−，当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1−，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a −−，当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a −，因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤，所以a 的取值范围是(][),02,−∞⋃+∞.故答案为：1；(][),02,−∞⋃+∞.30． π3（答案不唯一）【分析】将ππ,2==αβ代入计算可得()()1,0,0,2A B −，利用两点间距离公式可知AB =AB =即可得()()22cos 2cos sin 2sin 3αβαβ−+−=，化简整理可得()1cos 2αβ−=，即可写出一个合适的值. 【详解】根据题意可得当ππ,2==αβ时，可得()()1,0,0,2A B −，所以AB =当AB =()()22cos 2cos sin 2sin 3αβαβ−+−=， 整理可得()54cos cos sin sin 3αβαβ−−=，即()1cos 2αβ−=， 可得π2π3k αβ−=±+，所以αβ−的一个取值为π3.π3。

05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）3513．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____． 5. A13．π13. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u rA.1 B .C . 2D . 与α有关16.（本小题14分）已知△ABC ，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π， ① cos 7B =这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分 所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(122，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是(A))12 (B) (-12(C) ()12(D) ()-12(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uuu r>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(17)（本小题14分）已知函数ππ()sin()cos ()(f x a x x a =--+>2220)66，且满足 . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x =1在区间[,0m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点π(,0)6这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。