2021年新高考专用版数学：一轮复习测评试卷-03 三角函数(学生版)

三角函数031.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q p //．求： （I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．【答案】解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， 依据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，21cos =∴A ， 又0A π<<3π=∴A ；sin A =23 ………6分（II ）原式C C C CC C C CC cos sin 2cos 21cos sin 1)sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+--=++-=，)42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ，∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． ………12分2.（本题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且sin cos b A B =. （1）求角B 的大小；（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值. 【答案】（1）sin cos b A B =，由正弦定理得sin sin cos B A A B =--3分即得tan B =3B π∴=.---------------------------------------------------6分（2）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，-------------------------8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，---------10分解得a =2c a ∴==分3.（本题满分12分）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 单调递增区间 【答案】（Ⅰ）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+--------1分1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =+-+----------2分 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+----4分 1(cos 2sin 2)2x x =-cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭------------------6分 函数)(x f 的最小正周期为 T π=，-------------------7分函数)(x f-------------8分 （II ）由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈------------------10分得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈------------------------11分函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈------------12分 4. (本小题满分12分)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位，得)(x g y =的图象， 求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】（Ⅰ）(1cos 2)()62)326x f x x x π+=-=++, ……３分故f (x )的最小正周期π=T , ………………………………………………4分 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ.……………６分（Ⅱ）由题意：()23cos[2()]323sin 2336g x x x ππ=-++=+, ………８分 x xxx g x F 2sin 323)()(=-=,2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, ……………………………………１０分因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ，故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x . …………………………………………………１２分 5.（本小题满分10分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2coscos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（1）求ω的值；（2）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值．【答案】解：（1）13()1cos cos sin 13sin()223f x wx wx wx wx π=++--=--…2分 由函数的图象及2AB π=，得到函数的周期222T w ππ==⨯，解得2w = ………4分（2）33()3sin(2),sin(2)3232f A A A ππ=--=-∴-=又是锐角三角形222333333A A ππππππ-<-<∴-=，，即A=，………6分 由133sin 33222ABCb Sbc A ==⨯=，得b=4 …………8分 由余弦定理得2222212cos 4324313132a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯==，即10分6.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-． （1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若36sin ,2,3===B b a ,求()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f （0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的取值范围． 【答案】解： （1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-…………2分 22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++ …………6分（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32由正弦定理得2sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以或43π=A 由于a b>，所以4π=A …………9分()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =2)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f …………12分 7.（本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，32sin a b A =． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若5a c +=，且7b =，求ABC ∆的面积。

卜人入州八九几市潮王学校平阳县鳌江2021届高三一轮复习全能测试专题三三角函数本套试卷分第一卷和第二卷两局部,总分值是150分，考试时间是是120分钟. 本卷须知： 1.2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：假设事件A,B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕； 球的外表积公式：24R S π=〔其中R 表示球的半径〕；球的体积公式：343VR π=〔其中R 表示球的半径〕； 锥体的体积公式：Sh V 31=〔其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高〕；柱体的体积公式Sh V=〔其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高〕； 台体的体积公式：)(312211S S S S h V++= 〔其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高〕．第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求〕 1、【2021高考全国文4】α为第二象限角，3sin 5α=，那么sin 2α= 〔A 〕2524-〔B 〕2512-〔C 〕2512〔D 〕2524 2、【2021高考文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象〔A 〕向左平移1个单位〔B 〕向右平移1个单位 〔C 〕向左平移12个单位〔D 〕向右平移12个单位 3、函数1)2sin()(--=ππx x f 〕A ．)(x f 是周期为1的奇函数B )(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数 D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4、角α的终边上一点P 〔4k ，3k 〕〔k≠0〕，那么sin α的值是A ．53 B ．53-C ．53±D ．不能确定5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，假设︒===45,2,3B b a ，那么角A=〔〕A ．30°B ．30°或者105°C ．60°D ．60°或者120° 6、25242sin =a ，那么)4cos(2a -π的值是 A ．51 B ．57 C ．51± D ．57±7、如图是函数)2,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y与的图象，那么A ．6,2πϕω-==B ．6,2πϕω==C ．6,1110πϕω==D ．6,1110πϕω-==8、【2021高考文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 9、假设函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，那么)(x f 的表达式为)(x f =〔〕A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x10、对任何锐角α，β，以下不等式一定成立的是〔〕A ．sin 〔α+β〕＞sin α+sin βB ．sin 〔α—β〕＞sin α—sin βC ．cos 〔α+β〕＜cos α+cos βD ．cos 〔α—β〕＜cos α—cos β非选择题局部〔一共100分〕本卷须知：1．用黑色字迹的签字笔或者钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使需要用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或者钢笔描黑．二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分．11、【2102高考文11】在△ABC 中，假设a =3，b=3，∠A=3π，那么∠C 的大小为_________。

高三数学一轮复习 三角函数测试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={|,}2n n Z παα=∈2{|2,}3n n Z ααππ=±∈，B={2|,}3n n Z πββ=∈1{|,}2n n Z ββππ=+∈，则A 、B 之间关系为（ ）A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．B AD ．A B2．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为（ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈3．设角35,6απ=-则222sin()cos()cos()1sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+++--+的值等于 （ ）A ．33B ．－33 C ．3 D ．－34．已知锐角α终边上一点的坐标为（),3cos 2,3sin 2-则α=（ ）A ．3-πB ．3C ．3－2π D ．2π－3 5．函数[]sin ,,y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）6．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ）A. y ＝cos （2x ＋6π） B ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｃ．y ＝sin （2x ＋6π）Ｄ．y ＝tan （x ＋6π） 7．已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是（ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．48．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=9. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为 （ ） A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}22,ππ-10．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最 小值－21，则该函数解析式为 （ ）A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x yC )63sin(21π-=x yD ．)63sin(21π-=x y 11．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 12．函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上（ A ）A ．可以取得最大值MB ．是减函数C ．是增函数D ．可以取得最小值－M二、填空题：本大题共4小题，把答案填在题中横线上．13．已知cos sin 2αα-=,这sin cos αα-的值为14．在区间[2,2]ππ-上满足sin sin 2xx =的x 的值有 个15．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若(2001)1,f =则(2005)f = .16．设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称；③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数。

2021届高考数学一轮复习测试卷函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数2()log 2f x x m =-的图象关于直线1x =-对称，则(3)(3)f f +-=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．函数2sin 3()1cos x xf x x=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．四个函数()10x f x =，()1()10xg x =，()lg h x x =，110()log x x ϕ=，方程()()f x x ϕ=，()()g x x ϕ=，()()g x h x =的实数根分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，则(2020)f -=（ ）A ．11B ．5C ．9-D ．1-5．已知定义在R 上的函数()f x 满足(6)()x x f f +=，(3)y f x =+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．1219()()(ln 2)2f f e f <<B ．1219()(ln 2)()2f e f f << C ．1219(ln 2)()()2f f f e <<D ．1219(ln 2)()()2f f e f << 6．已知[]2,3a ∈，b ∈R ，()22f x x x b a x a =++--，若当[]1,4x ∈时，()0f x ≤恒成立，则5a b +的最大值是（ ） A ．6-B ．2-C ．2D ．67．已知函数1()ln sin 1xf x x x +=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（ ）A ．(32)，B ．(32)-，C ．(12)，D ．35)，8．已知函数()()220202020log 120201xx f x x x -=++-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（ ）A ．1(,)2020-+∞ B ．()2020,-+∞C ．()2,3-+∞D ．2(,)3-∞-9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-．当[]0,1x ∈时，()21x f x =-， 则函数()(2)()1g x x f x =--在区间[]3,6-上的所有零点之和为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A ．()f x x =B ．()ln f x x =C ．()22x x f x -=+D ．()cos f x x x =11．函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-12．已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aB ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时242,10()cos ,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则(4)f =______．14．设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______．15．已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． 16．计算：121(lg lg 25)1004--÷=________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数2()21()f x x x x a a =--+∈R ． （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 在[]0,2上的最小值为0，求a 的值；（3）当0a >时，若函数()f x 在(,)m n 上既有最大值又有最小值，且11n m a ab -≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围．18．（12分）若函数22()log (8)log (8)f x x x =++-． （1）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的最大值．。

2021年高考数学一轮复习《三角函数》精选练习一、选择题1.若函数f(x)=ax ＋b 的零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，0.5C ．0，-0.5D ．2，-0.52.若函数f(x)=ax ＋1在区间(-1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，1)C ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)D ．(-1，1) 3.函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.函数f(x)=e x ＋2x-3的零点所在的一个区间为( )A ．(-1，0)B ．0，0.5 C.0.5，1 D ．1，1.5 5.函数f(x)=3x |ln x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A ．y=log 0.5xB ．y=2x－1 C ．y=x 2－0.5 D ．y=－x 37.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9.-510°是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A.2°B.2C.4°D.4 11.如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是（ ） A.(344-9π)cm 2 B.(344-3π)cm 2 C.(348-3π)cm 2 D.(328-3π)cm 212.已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ的值为( )A ．－12175 B.12175 C ．－7975 D.797513.已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 214.已知tan(α-π)=0.75，且α∈[23,2ππ]，则sin(2πα+)=( ) A.0.8 B.-0.8 C.0.6 D.-0.6 15.计算：0190sin 160sin 2350cos --=( )16.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（ ） A.3/5 B.-3/5 C.4/5 D.-4/517.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.4518.已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3=0垂直，则)222017cos(απ-的值为( ) A.0.8 B.－0.8 C.2 D.-0.5 19.)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A.sin2－cos2B.cos2－sin2C.±(sin2－cos2)D.sin2+cos220.已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)=3，则f(2018)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 21.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 22.log 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.2223.将函数f(x)=sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π6 D.π224.关于函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π25.若函数y=3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π226.已知函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kx ＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 27.函数y=sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A.-2，2πB.-2,2πC.-2，πD.-2，π 28.y=|cos x|的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π29.设函数f(x)=3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 30.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到31.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π632.将函数y=f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则下面对函数y=g(x)的叙述正确的是( )A ．函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．函数g(x)的周期为πC ．函数g(x)的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增33.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f(0)=1，|MN|=52，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )A ．g(x)=2cos π3xB ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3 D ．g(x)=－2cos π3x34.已知函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( )A ．x=56B ．x=13C ．x=12 D ．x=0二、填空题35.函数f(x)=3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n∈N)内，则n=________． 36.已知α是第二象限角，则α3是第________象限角.37.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ． 38.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直，其中θ∈(20π，)，则cos θ=________．39.已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-25，则sinθ＋cosθ=________.40.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f(x)=____________.答案解析41.答案为：C ； 42.答案为：C ；解析：由题意知，f(-1)f(1)<0，即(1-a)(1＋a)<0，解得a<-1或a>1. 43.答案为：C ；解析：函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x 2的图象的交点个数， 由图象易知交点个数为2，则f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为2，故选C. 44.答案为：C ； 45.答案为：B ；解析：选B.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的解， 作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点， 故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点．46.答案为：B ；解析：选B.函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y=2x－1， 当x=0∈(－1，1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增．故选B. 47.答案为：C ； 48.答案为：C ；49.[答案] C [解析] -510°=-720°＋210°，∴-510°角与210°角终边相同，故选C. 50.B 51.C 52.答案为：A解析：由已知得|OM|=5，因而cosθ=－35，sinθ=45，tanθ=－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ=925－1625－43=－12175.故选A.53.答案为：D ； 54.B. 55.D. 56.C57.答案为：C ；解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=45，cos α=35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=sin ( α－2 020π2＋π2 )=sin ( α＋π2 )=cos α=35.故选C. 58.A ． 59.A60.答案为：C ；解析：∵f(4)=asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)=asinα＋bcosβ=3，∴f(2018)=asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)=asinα＋bcosβ=3.故选C. 61.答案为：A ；解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13.故选A. 62.答案为：B ；解析：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4=log 222=－12.故选B.63.答案为：D ；f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=sin [ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ]=-cos 2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤π2时，g(x)单调递增，故a 的最大值为π2. 64.答案为：C ；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3=kπ2，k ∈Z ，得x=kπ4＋π6，k ∈Z.当k=0时，x=π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．65.答案为：A.解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ=3cos(2π3＋φ＋2π)=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，∴2π3＋φ=kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ=k π－π6，k ∈Z. 取k=0，得|φ|的最小值为π6. 66.答案为：C.解析：f(x)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x=cos 2xcos π3－sin 2xsin π3－cos 2x=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错误；当x=2π3时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6=1，故②正确；当x=5π12时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=－sin π=0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3. 67.A68.答案为：D ；将y=cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y=|cos x|的图象(如图)．故选D.69.答案为：C ；由题意f(x)=3sin ωx＋cos ωx=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω>0)．令ωx＋π6=π2＋kπ，k ∈Z ， 得x=π3ω＋kπω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋kπω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k＋2，k ∈Z. 又∵f(x)的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.70.答案为:A;解析：因为f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.71.答案为:B;解析：由题意，得T 2=π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6=π2，所以T=π，由T=2πω，得ω=2，由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，－π2<φ<π2，所以φ=π3.72.答案为：C.解析：将函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得函数y=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，故g(x)的周期为2π4=π2，排除A ，B.令x=－π12，求得g(x)=0，可得g(x)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，故C 满足条件． 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，函数g(x)没有单调性，故排除D.73.答案为:A ；解析：设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|=52，得T 4=32，则T=6，ω=π3.又由f(0)=1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ=12，φ=5π6.所以f(x)=2sin ( π3x ＋5π6 ).则g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3x －1＋5π6=2cos π3x.故选A.74.答案为:B ；解析：函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的最大值为2，由172－42=1可得函数f(x)的周期T=2×1=2，所以ω=π，因此f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π3.将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6，当x=13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6=2， 为函数的最大值，故直线x=13为函数y=g(x)图象的一条对称轴．故选B.75.答案为：2；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)=－1＋ln 2＜0，f(3)=2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n=2.76.[答案] 一或第二或第四 [解析] 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴右上方开始在每一等份中依次标数字1、2、3、4，如图所示.∵α第二象限角，∴图中标有数字2的位置即为α3角的终边所在位置，故α3是第一或第二或四象限角. 77.答案为：0.2; 78.答案：55. 79.答案为：-3125；解析：观察得sinθ=45，cosθ=35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ－2cosθ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ-85cosθ-2125=0，解得cosθ=35或-725.因为θ是第三象限角，所以cosθ=-725，从而sinθ=-2425，所以si nθ＋cosθ=-3125.80.答案为：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6； 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2=22，ω>0，所以ω=π2，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)=－12，即sin φ=12. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.。

课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( B )A ．－43πB ．－53πC ．－76πD ．－74π解析：－300×π180＝－53π.2．tan 8π3的值为( D )A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.3．若sin θ<0且cos θ>0，则θ是( D ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：sin θ<0，即θ的终边位于x 轴下方，又cos θ>0，即θ的终边位于y 轴右侧，综上可知，θ是第四象限角，故选D ．4．若角α的终边经过点(1，－3)，则sin α＝( B ) A ．－12B ．－32C ．12D ．32解析：∵α的终边经过点(1，－3)，∴x ＝1，y ＝－3，r ＝2，∴sin α＝y r ＝－32，故选B ．5．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin2 C ．2sin1D ．2sin1解析：r ＝1sin1，l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2sin1，故选C ．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( D )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.7．设α是第二象限角，P (x ,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.8．点P (cos α，tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若点P (cos α，tan α)在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tanα>0，可得α的终边在第三象限； 反之，若角α的终边在第三象限，有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tanα>0，即点P (cos α，tan α)在第二象限， 故选项C 正确．9．(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m ≠0)，则下列各式的值一定为负的是( AD )A ．cos αB ．sin α－cos αC ．sin α·cos αD ．sin αtanα解析：角α的终边经过点P (－1，m )(m ≠0)，故角α在第二象限或第三象限，若角α在第二象限，则有sin α>0，cos α<0，tan α<0，则sin α－cos α>0，sin α·cos α<0，sin αtan α<0；若角α在第三象限，则有sin α<0，cos α<0，tan α>0，则sin α－cos α不能判断其正负，sin α·cos α>0，sin αtan α<0，综上所述，cos α<0，sin αtan α<0，故选AD ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为－32，则cos2α＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：由题意知，cos α＝－32，所以cos2α＝2cos 2α－1＝12.故选D ． 11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α＝( A )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A ．12．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n)是角α终边上的一点，且|OP |＝10(O 为坐标原点)，则m －n ＝( A )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：因为角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，所以角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上的一点，故m <0，n<0，又|OP |＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2.故选A ．二、填空题13．(多填题)－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.14．若△ABC 的内角A ，B 满足sin A cos B <0，则△ABC 的形状是钝角三角形． 解析：∵A ，B 均为三角形的内角，∴sin A >0，又∵sin A cos B <0，∴cos B <0，∴B 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 15．已知点P (sin35°，cos35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝55°.解析：由题意知cos α＝sin35°＝cos55°，sin α＝cos35°＝sin55°，P 在第一象限，∴α＝55°. 16．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(12，32)，则cos(2θ＋π3)＝－1.解析：解法1：由题意，得cos θ＝12，sin θ＝32，则sin2θ＝2sin θcos θ＝32，cos2θ＝2cos 2θ－1＝－12，所以cos(2θ＋π3)＝cos2θcos π3－sin2θsin π3＝－12×12－32×32＝－1.解法2：由题意，得tan θ＝3，θ为第一象限角，所以θ＝2kπ＋π3(k ∈Z )，所以2θ＝4k π＋2π3(k ∈Z )，则cos(2θ＋π3)＝cos(4k π＋π)＝－1.17．(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( B )A ．4β＋4cos βB ．4β＋4sin βC ．2β＋2cos βD ．2β＋2sin β解析：如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧AB ︵上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和．因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB 的长为定值，故当点P 为优弧AB ︵的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧AB ︵的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P 为优弧AB ︵的中点时阴影部分的面积．因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝π－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(π－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β，故选B ．18．如图直角坐标系中，角α(0<α<π2)，角β(－π2<β<0)的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2(3cos α2－sin α2)＋12的值为( D )A ．－513B ．－1213C ．513D ．1213解析：因为sin β＝－513>－12(－π2<β<0)，所以－π6<β<0.又0<α<π2，S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ＝34，所以∠AOB ＝π3，所以∠AOB ＝α－β＝π3，即α＝β＋π3.sin α2(3cos α2－sin α2)＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α＋12cos α＝sin(α＋π6)＝sin(β＋π3＋π6)＝cos β＝1213.故选D ．。

2021年高考数学一轮复习 质量检测（二）三角函数、解三角形、平面向量 文一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2解析：由题意知2(1,2)＋(－3,0)＝λ[(1,2)－m (－3,0)]，即(2,4)＋(－3,0)＝(λ，2λ)＋(3λm,0)，则有λ＝2,3λm ＝－3，即6m ＝－3，则m ＝－12，所以选A.答案：A2．(xx·广州综合测试(二))对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是( )A ．|a ·b |＝|a ||b |B ．|a ＋b |＝|a |＋|b |C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．a ·a ＝|a |2解析：对于A ，|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|；对于B ，|a ＋b |≤|a |＋|b |；对于C ，(a ·b )·c 运算结果与向量c 平行，a ·(b ·c )所得结果与向量a 平行，而向量a 与向量c 的关系条件中并未明确；对于D ，a ·a ＝|a |·|a |cos 0°＝|a |2，故选D.答案：D3．(xx·北京东城综合练习(二))已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，那么sin 2x 的值为( )A.325 B.725 C.925 D.1825解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725，故选B.答案：B4．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A >sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π2.答案：C5．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1，选D.答案：D6．(xx·湖北八校高三第一次联考)在△ABC 中，sin(A －B )＋sin C ＝32，BC ＝3AC ，则∠B ＝( )A.π3 B.π6 C.π6或π3 D.π2解析：∵sin(A －B )＋sin C ＝32∴sin(A －B )＋sin(A ＋B )＝2sin A cos B ＝32①又∵a ＝3b ，∴a b ＝sin A sin B ＝3，∴sin A ＝3sin B 代入①得23sin B cos B ＝32，∴sin 2B ＝32，∴2B ＝120°或60°， ∴B ＝60°或30°当B ＝60°代入①sin A ＝32(舍)，故B ＝30°，选B.答案：B 7.(xx·淄博检测)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32 B.32C ．－1D ．1 解析：DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13DC →，DB →＝DA →＋DC →，∠ADC ＝120°，∴DM →·DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA →＋13DC →·(DA →＋DC →)＝DA →2＋13DC →2＋43DA →·DC →＝1＋43＋43×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，选D.答案：D8．(xx·福建质检)已知函数f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x －1的图象关于点(φ，0)对称，则φ的值可以是( )A ．－π6 B.π6 C ．－π12 D.π12解析：f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，关于(φ，0)对称，则2φ－π6＝k π(k ∈Z )，φ＝π12＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，φ＝π12，选D. 答案：D9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab＝3，则角B 的值为( )A ．30° B．45° C．90° D．120°解析：b 2＋c 2－bc ＝a 2，则cos A ＝12，A ＝60°，a b ＝3，sin A sin B ＝3，则sin B ＝12，又可知b <a ，故B 为锐角，B ＝30°.答案：A 10.(xx·河北高三质量监测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 的图象，可以将f (x )的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度解析：由图象可得A ＝1，ω＝2，φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝－A cos ωx ＝－cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π＋π3，故将f (x )的图象向右平移5π12个单位长度，可以得到g (x )的图象．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 11．(xx·石家第二次模拟)tan(－1 410°)的值为__________． 解析：tan(－1 410°)＝tan(－180°×8＋30°)＝tan 30°＝33. 答案：3312．(xx·山西太原模拟(一))已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a －b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝a 2－ab ＝2－22cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴夹角为π4.答案：π413．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________，y ＝__________.解析：解法一：结合图形特点，设向量AB →，AC →为单位向量，由AD →＝xAB →＋yAC →知，x ，y 分别为AD →在AB →，AC →上的投影，又|BC |＝|DE |＝2，∴|BD →|＝|DE →|·sin 60°＝62.∴AD →在AB →上的投影x ＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32，AD →在AC →上的投影y ＝62sin 45°＝32.解法二：∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)AB →2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°.∴由BD →·AB →＝(x －1)AB →2， 得62×1×cos 45°＝(x －1)×12，∴x ＝32＋1. 同理，在BD →＝(x －1)AB →＋yAC →两边取数量积可得y ＝32.答案：1＋32 3214．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为__________．解析：由已知条件可以知道，△ABC 的外接圆的圆心O 在线段BC 的中点处，因此△ABC 是直角三角形，且∠A ＝π2.又|OA →|＝|AC →|，所以∠C ＝π3，∠B ＝π6，AB ＝3，AC ＝1，故BA→在BC →上的投影|BA →|cos π6＝32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)(xx·资阳一模)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f (α)的值．解：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x ＝cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝sin α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－223，故sin 2α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429， cos 2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－1＝79，∵f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－429＋32×79＝73－4218.16．(12分)已知a ＝(sin ωx ＋3cos ωx,2cos ωx )，b ＝(sin ωx ，cos ωx )，设f (x )＝a ·b ，其中f (α)＝32，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调增区间；(2)设A ，B 为三角形的内角，且f (A )＝2，求f (B )的取值范围． 解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32. 由f (α)＝32， f (β)＝12，得到sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωα＋π6＝0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωβ＋π6＝－1，所以|α－β|的最小值为T 4＝π4，所以T ＝π，所以ω＝1，函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)f (A )＝2，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋32＝2， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，0<A <π，π6<2A ＋π6<7π6，所以2A ＋π6＝5π6，A ＝π3，0<B <2π3，所以π6<2B ＋π6<3π2， 所以f (B )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.17．(13分)(xx·河北联考)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin2B ＋C2－cos 2A ＝72. (1)求角A 的大小；(2)若BC 边上高为1，求△ABC 面积的最小值． 解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sinB ＋C2＝sinπ－A 2＝cos A2， 所以由已知得4cos 2A 2－cos 2A ＝72， 变形得2(1＋cos A )－(2cos 2A －1)＝72，整理得(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.因为A 是三角形的内角，所以A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝12×1sin C ×1sin B ×32 ＝34sin B sin C.设y ＝4sin B sin C ， 则y ＝4sin B sin2π3－B ＝23sin B cos B ＋2sin 2B ＝3sin 2B ＋1－cos 2B ＝2sin2B －π6＋1. 因为0<B <π2，0<2π3－B <π2， 所以π6<B <π2，从而π6<2B －π6<5π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S 的最小值为33. 18．(13分)(xx·浙江六校联考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac ＝cos A ＋Csin A cos A.(1)求角A ；(2)若a ＝2，求bc 的取值范围．解：(1)∵b 2－a 2－c 2ac ＝cos A ＋Csin A cos A，∴－2ac cos Bac＝－cos B sin A cos A， ∵△ABC 为锐角三角形，∴cos B ≠0，∴2sin A cos A ＝1，即sin 2A ＝1， ∴2A ＝π2，A ＝π4. (2)根据正弦定理可得：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴bc ＝4sin B sin C ， 又C ＝3π4－B ， ∴bc ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B＝4sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22cos B ＋22sin B＝2sin 2B ＋2(1－cos 2B )⇒bc ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π4＋ 2. 又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<3π4－B <π2，得到B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴2B －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则bc 的范围为(22，2＋2]．35312 89F0 觰-I/ U40393 9DC9 鷉vaB 23872 5D40 嵀402249D20 鴠z。

2021年高考数学第一轮复习 三角函数试题训练题1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于 A ．5 B ．2 C ．3D ．42．“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos(π2＋θ)”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为A ．103B ．53C ．.23D ．－24．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是A ．B ．C ．D ．5．△ABC 中，若sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 为A ．锐角三角形B ． 钝三角形C ．直角三角形D ．锐角或直角三角形 6．已知，则A ．B ．C ．D ． 7．在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角B 的值是A. B ．或 C ．或 D ． 8．在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为,则A. B. C. D.9．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是A ．16B ．72C ．86D ．100 10．若对任意，存在，使≤成立，则A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上． 11．已知为第二象限角,且为其终边上一点，若则的值为 ．12．已知，则的值为 ．13．计算： ．14．在△中，角所对的边分别为，已知，，则15．在ΔABC 中，，，则_____．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．16．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．(1)求cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．．17．在中，内角所对的分别是.已知，. （1）求和b 的值； （2）求的值．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. (1)求的值； (2)若，△ABC 的周长为5，求b.19．已知向量()()=cos sin ,sin ,=cos sin a x x x b x x x ωωωωωω---，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且 （1）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。

[考案3]第三章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2020·安徽示范高中高三测试)角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( C )A ．－43B ．43C ．－34D ．34[解析] 因为角θ的终边经过点P (4，y )，sin θ＝－35<0，所以θ为第四象限角，所以cos θ＝1－sin 2θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34，故选C.2．(2020·合肥市高三调研)已知tan α＝3，则sin (π2－α)·cos (π2＋α)的值为( B )A ．310 B ．－310C ．35D ．－35[解析] 因为tan α＝3，所以sin (π2－α)·cos(π2＋α)＝－cos αsin α＝－cos αsin αcos 2α＋sin 2α＝－tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 3．(2020·广东省茂名市五校联考)已知sin α＝－35，α是第三象限角，则tan (α－π4)＝( A )A ．－17B ．17C ．－34D ．34[解析] 因为sin α＝－35，α是第三象限角，所以cos α＝－45，即tan α＝34，所以tan (α－π4)＝tan α－tanπ41＋tan α·tanπ4＝－17.4．为了得到函数y ＝sin 3x 的图象，可以将y ＝cos 3x 的图象向( A ) A ．右平移π6个单位长度B ．左平移π6个单位长度C ．右平移π2个单位长度D ．左平移π3个单位长度[解析] y ＝cos 3x ＝sin (3x ＋π2)＝sin 3(x ＋π6)，将该函数的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝sin 3(x ＋π6－π6)＝sin 3x .故选A ．5．(2019·课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( B )A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换．由题可知tan α＝b －a2－1＝b －a ，又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－b －a21＋b －a2＝23，∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，即|b －a |＝55，故选B. 6．(2020·黑龙江双鸭山一中月考)函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别为( A )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3[解析] 由图可知34T ＝5π12－(－π3)＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，又2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3，故选A ．7．(2020·南开模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cos B －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C2＝0，因为cos2C2＝1＋cos C2＝1－cos A ＋B 2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B2，所以1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B2＝0，整理得：cos (A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，所以△ABC 一定为等腰三角形．故选B.8．(2020·广东百校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝π4，a ＝4，S △ABC ＝2，则2a ＋3c －b2sin A ＋3sin C －sin B＝( D )A ． 5B ．2 5C ．27D ．213[解析] 由C ＝π4，a ＝4，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×b ×22＝2，得b ＝2，根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝10，则c ＝10，所以2a ＋3c －b 2sin A ＋3sin C －sin B ＝2R ＝c sin C＝2 5.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是( ABC ) A ．若cos θ<0则θ是第二或第三角限角 B ．若α>β则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β则α与β终边相同D ．若α是第三象限象角，则sin αcos α>0且sin αtan α<0[解析] 当θ＝2k π＋π时，cos θ＝－1<0，此时θ不是象限角，A 错； 当α＝0，β＝－2π时，cos α＝cos β，故B 错；当α＝π6，β＝5π6时，sin α＝sin β，但α与β终边不相同，故C 错；当α是第三象限角时， sin α<0，cos α<0，tan α>0，故D 正确．因此选A 、B 、C.10．已知函数f (x )＝12cos x sin(x ＋π3)，则下列结论中错误的是( AC )A ．f (x )既是奇函数又是周期函数B ．f (x )的图象关于x ＝π12对称C ．f (x )最大值为1D ．f (x )在区间[0，π12]上递增[解析] f (x )＝12cos x sin(x ＋π3)＝14sin(2x ＋π3)＋38，f (x )为非奇非偶函数，故A 错，当x ＝π12时，2x ＋π3＝π2，图象关于x ＝π12对称，B 正确．f (x )最大值为2＋38，故C 错，f (x )在[0，π12]上单调递增，故D 正确，因此选A 、C.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且(a ＋b )︰(a ＋c )︰(b ＋c )＝9︰10︰11，则下列结论正确的是( ACD )A ．sin A ︰sinB ︰sinC ＝4︰5︰6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6则△ABC 外接圆平径为877[解析] 设⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9k a ＋c ＝10kb ＋c ＝11k解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4kb ＝5kc ＝6k利用正、余弦定理可知，A 正确，B 错误．由于cos C ＝18，cos A ＝34，cos2A ＝18＝cos C ，又C 、A 都是锐角，所以C ＝2A ，故C 正确，又sin C＝378，2R ＝6sin C ＝1677，∴R ＝877，故D 正确，因此选A 、C 、D. 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象经过点(π3，12)，且在区间(π12，π6)上单调，则ω、φ可能的取值是( BC )A ．ω＝2，φ＝－π6B ．ω＝2，φ＝－π2C ．ω＝6，φ＝π6D ．ω＝6，φ＝5π6[解析] 将ω＝2，φ＝－π6代入得f (x )＝sin(2x －π6)，显然不过点(π3，12)，A 错，同理B 、C 正确，D 错．故选B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (π3)＝ 32 . [解析] 由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x ＋π3，所以f (π3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.14．(2020·安徽省池州中学第二次质量检测)已知cos (α－π3)＝45，则sin (α＋7π6)的值是 －45.[解析] sin (α＋7π6)＝－sin (α＋π6)＝－sin (α－π3＋π2)＝－cos (α－π3)＝－45. 15．(2020·福州市期末测试)将函数y ＝2sin x ＋cos x 的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y ＝2sin x －cos x 的图象，则sin φ的值为 45.[解析] 因为y ＝2sin x ＋cos x ＝5sin (x ＋θ)，所以y ＝2sin x －cos x ＝5sin (x －θ)，其中cos θ＝25，sin θ＝15，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin 2θ＝2sin θcosθ＝45.16．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 20(6－2) 海里/小时．[解析] 根据题意可知∠NMS ＝45°， ∠MNS ＝180°－(45°＋30°)＝105°， ∴∠S ＝30°，∴|MN |sin 30°＝20sin 105°＝20sin 60°＋45°＝806＋2，∴|MN |＝406＋2＝10(6－2)，∴v＝|MN |12＝20(6－2)海里/小时．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2020·吉林市调研)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2)证明：sin β>1213.[解析] (1)因为tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43sin 2α＋cos 2α＝1，α∈(0，π2)，解得cos α＝35.另解：cos α＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan 2α2＝1－1221＋122＝35. (2)由已知得π2<α＋β<3π2，又sin (α＋β)＝513，所以cos (α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1213，又sin α＝1－cos 2α＝45，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝513× 35－(－1215)×45＝6365>1213.18．(本小题满分12分)(2020·辽宁重点中学协作体阶段测试)设函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π3，π]时，求f (x )的取值范围．[解析] (1)由图象知A ＝3，T 4＝4π3－π3＝π，即T ＝4π，又2πω＝4π，所以ω＝12，因此f (x )＝3sin (12x ＋φ)，又因为f (π3)＝－3，所以π6＋φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝－2π3，即f (x )＝3sin (12x －2π3)．(2)当x ∈[－π3，π]时，12x －2π3∈[－5π6，－π6]，所以－1≤sin (12x －2π3)≤－12，从而有－3≤f (x )≤－32.19．(本小题满分12分)(2020·湖南重点高中联考)已知函数f (x )＝cos (πx ＋π3)cos(πx －π3)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[13，a ]上的值域为[－34，－12]，求a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝(12cos πx －32sin πx )(12cos πx ＋32sin πx )＝14cos 2πx －34sin 2πx ＝14×1＋cos 2πx 2－34×1－cos 2πx 2＝12cos 2πx －14，令π＋2k π≤2πx ≤2π＋2k π，k ∈Z ，解得12＋k ≤x ≤1＋k ，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k ＋12，k ＋1]，k ∈Z .(2)∵f (x )的值域为[－34，－12]，∴－1≤cos 2πx ≤－12.∵x ∈[13，a ]，∴2π3≤2πx ≤2πa ，结合余弦函数图象可知π≤2πa ≤4π3，解得12≤a ≤23，∴a 的取值范围是[12，23]．20．(本小题满分12分)(2020·蓉城名校高三第一次联考)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋(sinx ＋cos x )2－2.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的集合；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，若AC 边上的高等于14b ，求cos C 的值．[解析] (1)由题意知f (x )＝2cos 2x ＋1＋2sin x cos x －2＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π4)．∴f (x )max ＝2，此时2x ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )取得最大值时x 的集合为{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }．(2)∵f (A )＝2sin (2A ＋π4)＝1，∴sin (2A ＋π4)＝22，又A ∈(0，π)， ∴2A ＋π4∈(π4，9π4)，∴2A ＋π4＝3π4，解得A ＝π4.设AC 边上的高为BD ，则BD ＝14b .∵A ＝π4，∴BD ＝AD ＝14b ，CD ＝34b ，∴AB ＝24b ，BC ＝104b ，∴cos C ＝CD BC ＝31010. 21．(本小题满分12分)(2020·广东六校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝2534，且a ＝5，求sin B ＋sin C .[解析] (1)∵b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A ， ∴2bc cos A ＝ac cos C ＋c 2cos A ， ∵c >0，∴2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin (A ＋C )． ∵sin (A ＋C )＝sin (π－B )＝sin B ，∴2sin B cos A ＝sin B ，即sin B (2cos A －1)＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝2534，∴bc ＝25.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－252×25＝12，∴b 2＋c 2＝50，∴(b ＋c )2＝50＋2×25＝100，即b ＋c ＝10(或求出b ＝c ＝5)，∴sin B ＋sin C ＝b ·sin A a ＋c ·sin A a ＝(b ＋c )·sin Aa ＝10×325＝ 3.22．(本小题满分12分)(2020·甘肃天水一中阶段考改编)已知函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋2sin2ωx ＋φ2－1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈(－π2，π4)时，求f (x )的单调递减区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[－π12，π6]时．若方程g (x )－m ＝0有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意可知：f (x )＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ－π6)， 因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝π，ω＝2，因为函数为奇函数，所以φ－π6＝k π，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π6，函数f (x )＝2sin 2x ，∵x ∈(－π2，π4)，∴2x ∈(－π，π2)，要使f (x )单调减，需满足－π<2x ≤－π2，即－π2<x ≤－π4，所以函数的减区间为(－π2，－π4]．(2)由题意可得：g (x )＝2sin (4x －π3)，∵－π12≤x ≤π6，∴－2π3≤4x －π3≤π3，∴－1≤sin (4x －π3)≤32，∴g (x )∈[－2，3]．列表：4x －π3－2π3 －π2 0 π3 x －π12－π24π12 π6 g (x )－3 －23描点连线得g (x )当4x －π3∈[－π2，π3]，即x ∈[－π24，π6]时，g (x )∈(－2，3] 由题意知y ＝m 与y ＝g (x )的图象在x ∈[－π12，π6]有两个交点． 则符合题意的m 的取值范围为(－2，－3]．。

2021-2022年高考数学一轮复习单元测试卷(I I I )-三角函数大纲人教版一、选择题（每题3分，共54分）1、若点P 在的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（ ） A ． B ． C ．D ．3、下列函数中，最小正周期为的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4、已知等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ． B ． C ． D ． 5、若是三角形的内角，且，则等于（ ）A ．B ．或C ．D ．或6、下列函数中，最小值为－1的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7、设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是（ ） A ． B ． C ．D ．8、的值是( )A ．B ．C ．D ．9、将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于() A ． B ． C ．D ．10、50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．B ．C ．D ．11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( )A ．B ．C ．D ． 12、若在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 13、函数( )A ．周期为的奇函数B ．周期为的偶函数C ．周期为的奇函数D ．周期为的偶函数 14、设分别表示函数的最大值和最小值，则( )A ．B ．C ．D ． 15、下列四个命题中，正确的是( )A ． 第一象限的角必是锐角B ．锐角必是第一象限的角C ．终边相同的角必相等D ．第二象限的角必大于第一象限的角 16、用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．B ．C ．D ． 17、化简得( )A ．0B ．1C ．D ． 18、25sin 20sin 65sin 70sin -= ( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题（每题3分，共15分） 19、已知的值为则ααπcos ,21)sin(-=+ 20、已知为则角απαα],2,0[,0cos ∈=21、函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若22、ABC B A B A ABC ∆<∆则中，若,cos cos sin sin 的形状为 23、已知角的终边过点ααcos sin 2),3,4(+-则P 的值为三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分） 24、已知αππαααtan ),,2(,2cos sin 求∈=25、已知函数)20,0,0( )sin(πϕωϕω<≤>>++=A b x A y 在同一周期内有最高点和最低点，求此函数的解析式26、化简27、求函数的值域二、19、 20、 21、－5 22、钝角三角形 23、三、24、33cos sin tan ,23cos ),,2((1sin 21sin sin 21sin ,2cos sin 2-==-=∴∈-==-=∴=ααααππααααααα由舍）或解得25、由题意知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+⋅=+⋅12323123127212b A b A b A ππϕωπϕπωπϕπω 所求函数的解析式为26、原式=ααααααααααααα2cot 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin )2sin 21(2cos 2sin 2112cos 22cos 2sin 212222=++=--+-++ 27、21)42sin(2221)2cos 222sin 22(2221)2cos 2(sin 212sin 2122cos 1cos sin cos 2++=++=++=++=+=πx x x x x x x x x x y 所以原函数的值域为30031 754F 畏 .N>31902 7C9E 粞31455 7ADF 竟%27521 6B81 殁29585 7391 玑30200 75F8 痸 •8。

课时作业26 正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1．如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( D )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m 后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( A )A ．50(3＋1) mB ．100(3＋1) mC ．50 2 mD. 100 2 m解析：如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，AB ＝200 m ，由正弦定理，得BC ＝200×sin30°sin45°＝1002(m)，所以河的宽度为BC sin75°＝1002×2＋64＝50(3＋1)(m)．3．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( D )A.3＋64 km 2B.3－64 km 2C.6＋34 km 2D.6－34km 2解析：连接AC ，根据余弦定理可得AC ＝ 3 km ，故△ABC 为直角三角形．且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，故△ADC 为等腰三角形，设AD ＝DC ＝x km ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3×(2－3)，所以所求的面积为12×1×3＋12×3×(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km 2)．4．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( A )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：在△ABC 中，∠A ＝60°.∵2sin B ＝3sin C ，∴由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝7，∴a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.5．如图，在△ABC 中，BD ·sin B ＝CD ·sin C ，BD ＝2DC ＝22，AD ＝2，则△ABC 的面积为( B )A.332B.372 C ．3 3D.37解析：过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为E ，F .由BD ·sin B ＝CD ·sin C 得DE ＝DF ，则AD 为∠BAC 的平分线，∴AB AC ＝BDDC ＝2，又cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，即8＋4－AB 22×2×22＝－2＋4－AC 22×2×2，解得AC ＝2.则AB ＝4.在△ABC 中，cos ∠BAC ＝42＋22－(32)22×4×2＝18，∴sin ∠BAC ＝378，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝372.6．(多选题)△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，在下列命题中，是真命题的有( BCD ) A ．若a ·b >0，则△ABC 为锐角三角形 B ．若a ·b ＝0.则△ABC 为直角三角形 C ．若a ·b ＝c ·b ，则△ABC 为等腰三角形D ．若(a ＋c －b )·(a ＋b －c )＝0，则△ABC 为直角三角形解析：如图所示，△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b .若a ·b >0，则∠BCA 是钝角，△ABC 是钝角三角形，A 错误；若a ·b ＝0，则BC →⊥CA →，△ABC 为直角三角形，B 正确；若a ·b ＝c ·b ，b ·(a －c )＝0，CA →·(BC →－AB →)＝0，CA →·(BC →＋BA →)＝0，取AC 中点D ，则CA →·BD →＝0，所以BA ＝BC ，即△ABC 为等腰三角形，C 正确；若(a ＋c －b )·(a ＋b －c )＝0，则a 2＝(c －b )2，即b 2＋c 2－a 2＝2b ·c ，即b 2＋c 2－a 22|b ||c |＝－cos A ，由余弦定理可得：cos A ＝－cos A ，即cos A ＝0，即A ＝π2，即△ABC 为直角三角形，即D 正确，综合可得真命题的有BCD ，故选BCD.二、填空题7．如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于15 6.解析：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin30°＝CDsin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.8.如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝64.解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A .设AD ＝BD ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠CDB ＝BDsin C ，可得4sin2A ＝x sin π3.①在△AED 中，ED sin A ＝ADsin ∠AED ，可得22sin A ＝x 1.②∴联立①②可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64. 9．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝2，则△ABC 解析：由BC →＝AC →－AB →，得BC →2＝(AC →－AB →)2，设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则b 2＋c 2＝8，又因为AB →·AC →＝bc ·cos A ＝2，所以cos A ＝2bc ，所以sin 2A ＝1－4(bc )2，设△ABC 的面积为S ，则S 2＝14(bc )2sin 2A ＝14(b 2c 2－4)，因为bc ≤b 2＋c 22＝4，所以S 2≤3(当且仅当b ＝c ＝2取“＝”号)，所以S ≤ 3.所以△ABC 面积的最大值是 3.10．(多填题)在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠ABD ＝π6.若AB ＝3BD ，则∠CAD＝π3.若AC ＝2AD ＝2，则△ABC 解析：设BD ＝m ，则AB ＝3m ，BC ＝2m ，根据余弦定理，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝m 2，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ＝m 2，∴AD ＝DC ＝AC ＝m ，即△ACD 是正三角形，∴∠CAD ＝π3.记△ABC 的三内角∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 所对的三条边分别为a ，b ，c ，则BD ＝12a ，由余弦定理可得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，∴1＝c 2＋(12a )2－32ac ，即4＝4c 2＋a 2－23ac ，又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，∴4＝c 2＋a 2－3ac ，于是，4c 2＋a 2－23ac ＝c 2＋a 2－3ac ，∴a ＝3c ，代入c 2＋a 2－3ac ＝4可得c ＝2，a ＝23，∴S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝ 3. 三、解答题11．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4 2.(1)若sin B ＝223，求△ABC 的面积；(2)若BD →＝2DC →，AD ＝32，求BC 的长． 解：(1)由正弦定理得42223＝6sin C ，所以sin C ＝1，因为0<C <π，所以C ＝π2，所以BC ＝62－(42)2＝2，所以S △ABC ＝12×2×42＝4 2.(2)设CD ＝x ，则BD ＝2x ， 因为∠ADC ＋∠ADB ＝π， 所以cos ∠ADC ＝－cos ∠ADB ，所以(32)2＋(2x )2－622×32×2x ＝－(32)2＋x 2－(42)22×32x ，解得x ＝693，所以BC ＝3DC ＝3x ＝69. 12．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b . (1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ，所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32， 又0<A <π，所以A ＝π6.(2)因为a ＝2，所以正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ，所以S△ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫56π－B ， 所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B＝4sin B ⎝⎛⎭⎫12cos B ＋32sin B ，即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B ＝sin2B －3cos2B ＋ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3＋ 3. 因为0<B <5π6，所以－π3<2B －π3<4π3，所以－32<sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3≤1，所以0<S △ABC ≤2＋ 3. 即△ABC 面积的取值范围为(0,2＋3]．13．线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos36°＝( B )A.5－14B.5＋14 C.5－12D.5＋12解析：设AB ＝2，AD ＝x ，又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ，即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1.在△ABD 中，由余弦定理得cos36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B.14．(多填题)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(b －c ，a －b )，n ＝(sin C ，sin A ＋sin B )，且m ⊥n ，则A ＝π3；若△ABC 的面积为3，则△ABC 的周长的最小值为6.解析：由题知m ⊥n ，所以(b －c )sin C ＋(a －b )(sin A ＋sin B )＝0，所以(b －c )c ＋(a －b )(a ＋b )＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.由题知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，所以bc ＝4，又b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ＝4，即a ≥2 ①，又b ＋c ≥2bc ＝4 ②，所以，由①②，知a ＋b ＋c ≥2＋4＝6，a ＝b ＝c ＝2时取等号．15．平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2. (1)求sin ∠ABD ；(2)若cos ∠BDC ＝17，求△BCD 的面积．解：(1)在△ABD 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝9＋4－6＝7，所以BD ＝7， 由正弦定理，得BD sin A ＝AD sin ∠ABD，所以sin ∠ABD ＝AD ·sin A BD ＝2×327＝37＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝90°， 所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝37， 所以sin ∠DBC ＝27. 因为cos ∠BDC ＝17，所以sin ∠BDC ＝437.所以sin C ＝sin(π－∠BDC －∠DBC ) ＝sin(∠BDC ＋∠DBC )＝sin ∠BDC cos ∠DBC ＋cos ∠BDC sin ∠DBC＝437×37＋17×27＝27.所以sin∠DBC＝sin C，所以∠DBC＝∠C，所以DC＝BD＝7，所以S△BCD＝12DC·BD·sin∠BDC＝12×7×7×437＝2 3.。

2021年高考数学第一轮复习 三角函数试题训练题2一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用“五点法”画函数的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为且则等于A ．B ．C ．D ．2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为A. B. C. D. 3．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则=A ．B ．C ．D ．4．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π12对称，且，则ω的最小值为A ．2B ．4C ．6D ．85．函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)的图像在上单调递增，则ω的最大值是6．将函数的图象向右平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是A ．B ．C ．D ．7．下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是A ．B ．C ．D ．8．将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是A ．B ．1C ．D ．2 9．函数的图象大致是10．已知函数，其中，若恒成立，且，则等于二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在题中的横线上. 11．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．12．如果函数的图象关于直线对称，那么a 等于 ．13．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.14．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为______________.. 15．已知函数，动直线与、的图象分别交于点、，的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．已知函数的最小正周期为,且图象过点. (1)求的值;(2)设,求函数的单调递增区间.17．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．18．已知函数.(1)求函数的定义域;(2) 求函数的单调递增区间.19．已知O 为坐标原点，对于函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，称向量OM →＝(a ，b )为函数f (x )的伴随向量，同时称函数f (x )为向量OM →的伴随函数．(1)设函数g (x )＝sin （π2＋x ）＋2cos （π2－x ），试求g (x )的伴随向量OM →的模；(2)记ON →＝(1，3)的伴随函数为h (x )，求使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π2]内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．20．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a cos x＋58a－32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．21．如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点A，且，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆与点B，及A，B（1）若=，求的值（2）分别过点A,B作X轴的垂线，垂足依次为C,D,记⊿AOC得面积为，⊿BOD的面积为，若=2，求角的值xx－xx学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学(六)参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A B A D D C C11. 12. 13. 14. 15. .三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．解：(1)由最小正周期为可知 ,由得 ,又, 所以 ,,(2)由(1)知 所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=解得所以函数的单调增区间为．17．解： (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33， ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36; (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x ≤2π3，∴0≤2x ≤4π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1. 故函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]．18．解:(1)因为所以 所以函数的定义域为； (2)因为又的单调递增区间为 , 令 解得 又注意到 所以的单调递增区间为, ．19．解： (1)∵g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋cos x ，∴OM →＝(2，1)．故|OM →|＝22＋12＝5；(2)由已知可得h (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. ∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，故h (x )∈[1，2]．∵当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6时，函数h (x )单调递增，且h (x )∈[3，2]；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，函数h (x )单调递减，且h (x )∈[1，2)． ∴使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为t ∈[3，2)．20．解：y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12. ∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.①若a 2＞1.即a ＞2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1a ＝2013＜2(舍去)；②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2， 则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4＜0(舍去)；③若a 2＜0，即a ＜0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1a ＝125＞0(舍去)．综上可知存在a ＝32符合题意．21．解：（1）因为 =，所以，所以因此21cos()cos cossin sin3336x πππααα-=+=-=； （2）=2sin cos 2sin()cos()33ππαααα⇒=-++，化简得：，又，所以． d35023 88CF 裏kX(27432 6B28 欨25731 6483 撃27070 69BE 榾39126 98D6 飖33321 8229 舩 {:q。

课时作业23 三角函数的图象与性质一、选择题 1．函数y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的定义域为( C ) A ．⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈Z B ．⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z C ．⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z D ．⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π，k ∈Z 解析：要使函数y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4有意义， 则1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0，故tan ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1， 故k π－π2<x －π4≤k π＋π4，k ∈Z ，解得x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z ，故选C ． 2．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则f (x )的最小正周期是( A ) A ．2π B ．π C ．3πD ．4π解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π.故选A ．3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于直线x ＝π6对称的是( B )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：由函数的最小正周期为π，得2πω＝π，∴ω＝2，故选项A ，C 错误；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝1，满足题意，故选项B 正确；当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝0，不满足题意，故选项D 错误． 4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的最大值是( C ) A ．2 B ．32C ． 3D ．2 3解析：sin π12＋cos π12＝⎝⎛⎭⎫sin π12＋cos π122＝1＋sin π6＝1＋12＝62， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋cos ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝sin x cos π12＋cos x sin π12＋cos π12cos x ＋sin x sin π12＝(sin x ＋cos x )⎝⎛⎭⎫sin π12＋cos π12＝62×2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤62×2＝3，故选C ．5．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( A ) A ．f (x )＝|cos2x | B ．f (x )＝|sin2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：A 中，函数f (x )＝|cos2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A ．6．(2019·某某卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( C ) A ．－2 B ．－ 2 C ． 2D ．2解析：由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 12ωx .由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x .g ⎝⎛⎭⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin2x ，故f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2. 7．(多选题)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是( BC )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 解析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可知B 正确；令π2＋2k π≤2x －2π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤7π12＋k π，13π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，可知C 正确，故选BC ． 8．(多选题)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的零点构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( AD )A ．在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数B ．其图象关于直线x ＝π2对称C ．函数g (x )是偶函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的值域为[－3，2]解析：f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，由题意知函数f (x )的最小正周期为π，则2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减，故A 正确；当x ＝π2时，g (x )≠±2，所以直线x ＝π2不是g (x )的对称轴，故B 错误；显然g (x )是奇函数，故C 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以g (x )∈[－3，2]，故D 正确，故选AD ．二、填空题9．(2019·卷)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是π2.解析：∵f (x )＝sin 22x ＝1－cos4x2， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为2或－2. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 11．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为π6. 解析：由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6. 12．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，则ω＝2.解析：因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，即f ⎝⎛⎭⎫π3＝0， 因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， 所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，解得ω＝3k －1(k ∈Z )．又12·2πω≥π2－π6，ω>0，所以ω＝2. 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8和⎣⎡⎦⎤5π8，π. 14．(2019·某某卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域． 解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x ＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32.15．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：解法1：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C ．解法2：∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C ．16．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增 ④ω的取值X 围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( D ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④解析：如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增，所以③正确．。

2021年高考数学一轮复习三角函数创优测评卷(新高考专用)一、单选题（共60分，每题5分） 1．现有下列三角函数：①4πsin π()3n n ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；②sin 2()3n n ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；③sin (21)()6n n ππ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦Z ；④sin (21)()3n n ππ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦Z ．其中函数值与πsin 3的值相同的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．①②④ 2．下列三角函数值的符号判断正确的是（ ） A ．sin1560< B ．16cos05π> C ．17tan 08π⎛⎫-< ⎪⎝⎭D ．tan 5560< 3．有如下关于三角函数的四个命题：1:p x R ∃∈，221sin cos 222x x += 2:,p x y R ∃∈，()sin sin sin x y x y -=- []3:0,πp x ∀∈，1cos2sin 2xx -= 4:p 若sin cos x y =，则π2x y +=其中假命题的是（ ）A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，4p 4．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①π6πsinsin 55=；②ππcos cos 44⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③π3πtan tan 88>；④3π4πsinsin 55>. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4yx π=+C ． cos()4y x π=+D ．3cos(2)4y x π=+6．将三角函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得到的函数解析式为 （ ） A ．sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 2xD ．cos2x7．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()sin()παα++-=（ ）A ．15-B ．15C ．75-D ．758．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e eππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④10．关于三角函数的图像，有下列命题：①sin ||y x =与sin y x =的图像关于y 轴对称；②sin y x =-与|sin |y x =的图像关于x 轴对称；③cos()y x =-与cos ||y x =的图像重合；④sin cos y x x =+的图像关于原点对称．其中错误命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置(),P x y .若初始位置为031,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，秒针从0P （注：此时0t =）开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（ ）A ．sin 306y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 606y t ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．sin 306y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．sin 306y t ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12．若三角函数()f x 的部分图象如下,则函数()f x 的解析式,以及(1)(2)(2012)S f f f =+++的值分别为（ ）.A ．1()sin 122x f x π=+,2012S = B ．1()cos 122xf x π=+,2012S =C ．1()sin 122xf x π=+,2012.5S =D ．1()cos 122xf x π=+,2012.5S =二、填空题（共20分，每题5分）13．对函数()f x ,若()()(),,,,,a b c R f a f b f c ∀∈为某一个三角形的边长，则称()f x 为“ζ三角函数”，已知函数()1x x e mf x e +=+为“ζ三角函数”，则实数m 的取值范围是__________14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，=90ACB ∠，4AC =，3BC =，1AB BB =，则异面直线1A B 与11B C ，所成角的大小是___________（结果用反三角函数表示）．15．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(2,1)q a =，(2,cos )p b c C =-，且//p q ，三角函数式2cos 211tan CCμ-=++的取值范围是 .16．欧拉公式i e cos isin θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos 2020n n a π=+isin 2020n π（1,2,3,n =⋅⋅⋅），则数列{}n a 前2020项的乘积为________三、解答题（共70分） 17．（10分）已知17tan 47πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭;（1）求tan α以及2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值;（2）若0,022ππαβ<<<<，且16cos()65αβ+=-，求β的值（用反三角函数表示）. 18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为2arctan.2（1）求PA 的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．(结果用反三角函数表示)19．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a ，3AD a =，且25arcsin ADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =.求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）； （2）点A 到平面PBC 的距离.20．（10分）已知角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点125,1313P ⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）写出三角函数,cos sin θθ的值；（2）求()()tan 2cos sin sin πθθπθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值. 21．（12分）已知a b c ，，分别是ABC △的内角A B C ，，所对的边长，且a c =，满()cos cos 3cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若点O 是ABC △外一点，24OA OB ==，记AOB α∠=，用含α的三角函数式表示平面四边形OACB 面积并求面积的最大值．22．（14分）已知向量(20)OB =，，向量(22)OC =，，向量(22)CA αα=，记OB 与OC 的夹角为θ．(Ⅰ)求3sin()cos 2cos tan()2ππθθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭(Ⅱ)求向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围．。

2021届高三数学第一轮复习过关测验 三角函数制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日(时量120分钟，满分是150分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．54cos 66cos 36cos 24cos -的值等于〔 〕 A ．0 B ．21 C ．23 D ．21-２．设α是第二象限角，以下各式中不可能．．．成立的是〔 〕 A.2sin2αα>tgB.42cosπα-= C.2cos 2sinαα< D.πα=2tg3.函数)6tan(π-=x y 的定义域是〔 〕A. },32|{Z k k x x ∈+≠ππ B. },32|{Z k k x x ∈-≠ππ C. },6|{Z k k x x ∈+≠ππ D. },6|{Z k k x x ∈-≠ππ4．函数)2cos()(x x x f -+=π，x ∈R 是〔 〕A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数 5．θθcos 22sin 3+=，那么2θtg 等于〔 〕A ．32 B ．23 C ．23或者不存在 D ．32或者不存在 6．把函数)34cos(π+=x y 的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y 轴对称， 那么φ的最小正值是〔 〕A ．32πB ．3πC ．34πD ．35π7． ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上递增，那么〔 〕 〔A 〕ω<0≤23〔B 〕ω<0≤2 〔C 〕ω<0≤724 〔D 〕ω≥28．在①||sin x y = ② |sin |x y = ③ )32sin(π+=x y ④ )21tan(-=x y π这四个函数中，最小正周期为π的函数序号为( )A. ① ② ③B. ① ④C. ② ③9．△ABC 不是锐角三角形，那么“B A >〞是“B A sin sin >〞成立的〔 〕 A ．充分条件，但非必要条件 B ．必要条件，但非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．如图，函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是〔 〕(A) (B) (C) (D) 11．M =sin α·tan2α+cos α,N =tan 8(tan 8ππ+2),那么M 与N 的关系是( )A.M >NB.M =NC.M <N α有关 12．对于函数⎩⎨⎧≤≥=时当时当x x x x x x x f cos sin ,cos cos sin ,sin )(，给出以下四个命题：○1该函数的值域是[－1，1]；○2当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时，该函数获得最大值1；○3该函数是以π为最小正周期的周期函数；○4当且仅当)(2322Z k k x k ∈+<<+ππππ时，0)(<x f ． 上述命题中正确的选项是〔 〕〔A 〕○1 〔B 〕○2 〔C 〕○3 〔D 〕○4 二、填空题 〔每一小题4分,一共16分〕 13．α是第二象限角，那么=-++1csc cot 2tan 1cos 122αααα___________14．log 4cos5π+log 4cos 52π的值等于______.15．α、0,1sin ,1sin ],2,2[2<+-=-=-∈βαβαππβ且a a ，那么a 的取值范围是．16．假如函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x …n x ，都有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≤+++ .假设x y sin =在区间〔0，π〕上是凸函数，那么在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________. 三、解答题(一共74分)17.),0(,πβα∈，且53cos )cos(2)2cos(=+-+αβαβα，求β2sin 的值. 18． 函数)(,2cos 4sin 5cos 6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．19. 求证：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+．20.函数)0(cos sin cos sin 2πθθθθθ≤≤--=y 试问这个关于θ的函数有没有最大值、最小值？假设有求出最值及获得最值时相应的θ的值.21．函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[ －5，1 ]，求常数a 、b 的值．22．某港口水深y 〔米〕是时间是t 〔0≤t ≤24，单位：时〕的函数，记作)(t f y =，下面是某日水深的数据：经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象． 〔1〕试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；〔2〕一般情况下，船舶航行时，船底离海底的间隔 为5米或者5米以上时认为是平安的〔船舶停靠时，船底只需不碰海底即可〕．某船吃水深度〔船底离水面的间隔 〕为6.5米．假如该船希望在同一天内平安进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间是〔忽略进出港所需的时间是〕．[参考答案]13. 3- 14. －1 15. 〔1，]2 16.233 17．解：由53cos )cos(2)2cos(=+-+αβαβα得53cos -=β，又),0(πβ∈， 所以54sin =β，因此2524cos sin 22sin -==βββ.18．解：由02cos ≠x ，得22ππ+≠k x ，故函数的定义域为},,42|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ；又212cos 232cos 422cos 15)22cos 1(6)(2+=--⋅++=x x x x x f ，其定义域关于原点对称，)(x f ∴为偶函数；其值域为)21,1[-∪]2,21(．19. 证明 左边 =x x xx x x x x 22442222cos sin cos sin sin cos cos sin +=+()x x x x x 2sin 41cos sin 2cos sin 222222-+=x x 2sin 22sin 4822-=()xx 4cos 14cos 124-++=()x x 4cos 14cos 32-+== 右边 ． ∴原式成立．20. 解：令)4sin(2cos sin πθθθ+=+=t ，因为21,0≤≤-∴≤≤t πθ， 而45)21(1,1cos sin 2222--=--=∴-=t t t y t θθ， 因此，当21=t ，即42arcsin 4342)4sin(-=⇒=+πθπθ时，45min -=y ；当1-=t ，即πθπθ=⇒-=+22)4sin(时，1max =y . 21．解：∵ ()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π ．∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ．当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b ，∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ， 解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值是 ⎩⎨⎧-==52b a 或者⎩⎨⎧=-=12b a 22．解:(1)由数据,易知)(t f y =的周期12=T ,所以62ππω==T .由,振幅A=3,b =10,所以106sin3+=t y π.(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5(米),所以5.11106sin3≥+t π,即216sin≥t π,解得)(652662Z k k t k ∈+≤≤+πππππ,所以 )(51212Z k k t k ∈+≤≤+.在同一天内,取10或=k ,所以171351≤≤≤≤t t 或.故该船可在当日凌晨1时进港,17时离港,它在港内至多停留16小时.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。