黑龙江省2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题文 Word版

12017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60 分） 1 - （5 分）向量.I’：.； ，若二.二，则 x 的值为（）A.- 3 B. 1 C. - 1 D . 32. （5分）已知函数f （x ） =x+lnx ,则f （1）的值为（ ）A. 1B. 2C. - 1 D .- 2 3.（5分）某学校高一、高二、高三共有学生 3500人，其中高三学生数是高一 学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300人，现在按十的抽样比用分层 抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A . 8 B. 11 C. 16 D . 104. （5分）某公司在2014年上半年的收入x （单位：万元）与月支出 万元）的统计资料如下表所示:马，田忌的中等马优于齐王的下等马， 劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐 王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛， 则田忌获胜的概率y （单位: 根据统计资料，则（ ）A. 月收入的中位数是15,B. 月收入的中位数是17,C.月收入的中位数是16, x 与y 有正线性相关关系 x 与y 有负线性相关关系 x 与y 有正线性相关关系x 与y 有负线性相关关系为（6. (5 分)点集Q= (x, y) | 0<x<e, 0<y<e}, A={ (x, y) | y>e x, (x, y)€內，在点集Q中任取一个元素a,贝U a€ A的概率为( )A.7. (5分)下列说法错误的是( )A.函数f (x)的奇函数”是“f(0) =0”的充分不必要条件.B•已知A, B, C不共线，若I1'. I := i,则P>△ ABC的重心.C. 命题? x o€ R, sinx o》T的否定是：? x€ R, sinx v 1”.D. 命题若a=，则cos : ”的逆否命题是：若cos ：亠，则•一”.3 2 2 32 28. (5分)过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双a2 b2曲线交于A, B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为( )A.匚B. ―:C. ―或―:D.二或T J―'9. (5分)若双曲线x2+my2=m (m€ R)的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 丄■1、B. 丄二'C.丄D. ，. I :.10. (5分)已知正三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则ABi与侧面ACCA1所成角的正弦值等于( )A. B. 1 C. - D.4 4 2 211. (5分)设函数f (x) =—x2- 9lnx在区间[a- 1, a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. (1, 2]B. [4, +x)C. (-X, 2]D. (0, 3]12. (5分)设函数f (x) =「sin旦,若存在f (x)的极值点X。

大庆中学2017-2018学年度上学期期末考试高二年级文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.命题“x R ∀∈，2x x ≠”的否定是（ ）A ．2,x R x x ∃∉≠B ．2,x R x x ∃∈=C ．2,x R x x ∀∉≠D ．2,x R x x ∀∈= 2.抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A ．(0,5)B ．(0,5)-C ．(5,0)D ．(5,0)-3.已知椭圆2221(0)25x y m m +=>的左焦点为1(3,0)F -，则m =（ ） A ．16 B ．9 C ．4 D ．34.如下图所示，程序框图的输出结果是（ ）A ．8B ．5 C.4 D ．35.在区间[1,5]上任取一个数，则此数不大于3的概率是（ ） A ．35 B ．25 C.12 D ．136.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（）C.A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.157.函数()sin x f x x e =+，则'(0)f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．38.已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2,21m m >-<<- B ．2,1m m ><- C.2m >- D ．12m -<< 9.函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C.(1,4) D ．(0,3)10.过双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΩ-=>>的右焦点F 作x 轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M ，且直线AM 的斜率大于2，其中A 为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(3,)+∞ C. D ．)+∞11.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =（ ）A ．3B ．2 C.52 D ．83 12.已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对任意的1(0,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）A ．5(,]4-∞-B ．5[,)4+∞ C.1[,)8-+∞ D ．15[,]84- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.离心率为2且与椭圆221259x y +=有共有焦点的双曲线方程是 ． 14.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.则a = ，d = .15.曲线21x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为 ．16.已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22每题满分12分）17.已知等差数列{}n a 中，1410a a +=，510a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.已知ABC ∆1，且sin sin B C A +. （1）求边BC 的长；（2）若ABC ∆的面积为1sin 3A ，求角A 的度数.19.为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计女生月“关注度”的中位数，及抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；（2）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率.20.如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=︒，//AF DE ，22DE DA AF ===.（1）求证：AC ⊥平面BDE . （2）求证：//AC 平面BEF .21.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过，且椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，O 为坐标原点，OP OQ ⊥，且l 与圆心为O 的定圆W 相切，求圆W 的方程.试卷答案一、选择题1-5:BACCA 6-10:DCABB 11、12：DC 二、填空题13.221412x y -= 14.30，0.2 15.310x y -+= 16.(,3)(6,)-∞-+∞ 三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵1410a a +=，510a =，∴112310410a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴12a =，2d =， ∴2n a n =（2）由上问可得：14111(1)1n n n b a a n n n n +===-++ ∴11111(1)()()22334n S =-+-+-+111()1111nn n n n +-=-=+++ 18.（1）由题意及正弦定理，得AC AB +.∵1AB BC AC ++=1BC +=， ∴1BC =. （2）∵11sin sin 23ABC S AC AB A A ∆=⋅⋅=，∴23AC AB ⋅=.又∵AC AB +=222cos 2AC AB BC A AC AB +-==⋅22()22AC AB AC AB BCAC AB+-⋅-⋅43113423--==，∴60A =︒.19.（1）由频率分布直方图，知0.10.20.20.5++=，女生月“关注度”的中位数为15（天） 根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频率，再求和(0.080.050.02)540++⨯⨯+(0.060.030.01)54050++⨯⨯=；（3）记“在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A ，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.0150.05⨯=，人数为0.05402⨯=人，分别记为12,a a .在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.0250.10⨯=，人数为0.10404⨯=人，分别记为1234,,,b b b b ，则在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，所有可能的结果为12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，14212223(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b ，24121314(,),(,),(,),(,)a b b b b b b b ，232434(,),(,),(,)b b b b b b 共15种，而事件A 包含的结果有12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，1421222324(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b 共9种，所以93()155P A ==. 20.（1）因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， 即D E AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，BD DE D = ，所以AC ⊥平面BDE . （2）设AC BD O = ，取BE 中点G ，连接FG 、OG ，如下图：所以OG 平行且等于12DE ， 因为//AF DE ，2DE AF =，所以AF 平行且等于OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，//AO FG ，因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .21.（1）函数()f x 的定义域为(1,)+∞，1'()11f x x =--， 当1'()101f x x =->-时，函数()f x 的递增区间为(1,2)，当1'()101f x x =-<-时，函数()f x 的递减区间为(2,)+∞ 所以函数()f x 的递增区间为(1,2)，函数()f x 的递减区间为(2,)+∞ （2）由()0f x ≤得ln(1)11x k x -+≥-，令ln(1)11x y x -+=-，则2ln(1)'(1)x y x --=-， 当12x <<时，'0y >，当2x >时，'0y <， 所以ln(1)11x y x -+=-的最大值为(2)1y =，故1k ≥.22.（1）因为C 经过点，所以22b =，又因为椭圆C 所以24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=. （2）设1122(,)(,)P x y Q x y ，l 的方程为y kx m =+由2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得222(12)4240k x kmx m +++-=， 122412mkx x k+=-+，21222412m x x k -=+， ∵OP OQ ⊥∴12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++ 222222(1)(24)4012k m k m m k+--=+=+. ∴2223444(1)m k k =+=+，2222164(21)(24)k m k m ∆=-+-=228(42)0k m -+>成立，因为l 与圆心为O 的定圆W 相切，所以O 到l 的距离d ==即定圆W 的方程为2243x y +=.。

2017——2018学年度第一学期期末检测高二数学 2018.1考试说明：1.本试题分第I 卷和第II 卷两部分。

第I 卷和第II 卷答案填涂在答题卡的相应位置，考试结束只上交答题卡。

2.满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题纸（或答题卡）上各题的答题区域内作答，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1.直线30x +=的倾斜角的大小是 A ．030B ．060C ．0120D ．01502．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝A.,sin 1x R x ∃∈≥B. ,sin 1x R x ∀∈≥C.,sin 1x R x ∃∈>D.,sin 1x R x ∀∈> 3．将半径为1的球形容器内的水倒入底面半径为1的圆锥容器中恰好倒满，求圆锥形容器的高h = A.8 B.6 C.4 D.24. 圆1:C 1)2()2(22=-++y x 与圆2:C 22410130x y x y +--+=的位置关系是 A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 平面α∥平面β的一个充分条件是A.存在一条直线a a ααβ，∥，∥B.存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C.存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D.存在两条异面直线αββα面，面面，面////,,,b a b a b a ⊂⊂ 6. 圆心在直线20x y -+=上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A ．222210x y x y ++-+=B ．222210x y x y +-++=C ．22220x y x y ++-=D ． 22220x y x y +--= 7. 如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下面结论错误．．的是 A ．//BD 平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CBD D ．异面直线AD 与1CB 角为608.已知椭圆：2249144x y +=，则以点(3,2)P 为中点的椭圆的弦所在直线的方程是 A ．02132=++y x B ．02123=-+y x C ．23120x y +-= D ．49300x y +-=9. 正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是 A.3aπ B.2aπ C. a π2 D. a π310. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 A ．2 B ．4 C ．8 D ．611.下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是①3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或有两个不同的零点 ②()()()x f y q xf x f p ==-:1:；是偶函数③βαβαtan tan :cos cos :==q p ； ④A C B C q A B A p U U ⊆=::； A.①② B. ①④ C. ②③ D.③④12. 若直线220(0,0)ax by a b +-=>>平分圆224210x y x y +--+=的周长，则ba 21+ 的最小值为A ．1B ．5 C．．223+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上 13.过点(1,3)P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为______________14. 命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 ； 15. 圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ； 16.设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① x 、y 、z 均为直线； ② x 、y 是直线，z 是平面； ③ z 是直线，x 、y 是平面； ④ x 、y 、z 均为平面. 其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是______________三、解答题：本题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内 17. (本小题满分共12分)设命题2:log (21)0,p x -<命题2:(21)(1)0,q x a x a a -+++≤若p ⌝是q ⌝的必要而非充分条件，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分共12分)如图，棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1；（Ⅱ）证明：平面AB 1C//平面DA 1C 119.(本小题满分共12分)若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为A .（Ⅰ）求区域A 的面积；（Ⅱ）求2m x y =+的最小值； （Ⅲ）求22n x y =+的最小值. 20．(本小题满分共12分)已知圆22:()5(3)C x m y m -+=<与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个公共点为(3,1),A 若点(4,4)P 与椭圆的左焦点1F 的连线1PF 与圆C 相. （Ⅰ）求m 的值及圆C 的方程 ； （II ）求椭圆E 的方程. 21，(本小题满分共12分)如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形.（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积.22．(本小题满分共14分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点.若椭圆的长轴长是6，且32cos =∠OFA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求点），10(R 与椭圆C 上的点N 之间的最大距离；(Ⅲ)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,3(-P ,交y 轴于点M .若2=,求直线l 的斜率．2017——2018学年度第一学期期中考试高二数学答题纸2018.1高二答案一，选择题： A C C D D A D C B B B D13.270x y -+= 14.若,a b 至少有一个为零,则a b 为零 15. 4S π 16.② ③ 三，解答题 17.解： 1:1,2p x <<:()((1))0,1q x a x a a x a --+≤≤≤+。

2017--2018高二上学期期末数学试卷(必修五——选修1-1 ，2-1)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0B．∃x∈R，x2≥0C．∀x∈R，x2＜0D．∀x∈R，x2≤02．双曲线的实轴长为（）A．4B．3C．2D．13．已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2B．5C．7D．84．若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x5．“”是“”的（）A. 充分而不必要B. 充分必要条件．C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．237．在△ABC中，若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+2n+1，则a n=（）A．a n=B．a n=2×3n﹣1C．a n=2×3n﹣1+2D．a n=9．设椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A. B. C. D.10．若不等式（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．11．已知,是直线，是平面，给出下列命题：①若，，，则或．②若，，，则．③若m,n,m∥,n∥,则∥．④若，且，，则．其中正确的命题是（）A. ①,②B. ②.③C. ②.④D. ③, ④12．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．1B．C．4D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，使得x2+mx+m＞0”为真命题，则实数m的取值范围为．14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.15.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆的方程为16．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q关于x的不等式4x2+4(m-2)+1>0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围.18．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．(理)19．（12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(文)19．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e．（1）求f（x）的单调区间；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1都成立，求k的最大值．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（Ⅰ）设b n=．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，x2+lnx＜x3是否恒成立，并说明理由．原阳一中高二期末数学试卷参考答案一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为：∃x∈R，x2＜0．故选：A．2．【解答】解：双曲线中，a2=1，∴a=1，∴2a=2，即双曲线的实轴长2．故选：C．3．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a=5，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，∵|PF1|=3，∴|PF2|=7．故选：C．4．【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7, ∴p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．5．【解答】由条件得x≠0，则x值可以小于0可以大于0，故推不出x>0；反之，当x>0时，一定有x≠0。

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=B．y=﹣C．y=x D．y=﹣12．（5分）若，则cos2α的值为（）A．B．C．D．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若α∥β，m⊥α，则m⊥β；③m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．x=π6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+6 B．6π+6 C．3π+12 D．127．（5分）P是双曲线右支上一点，F是其右焦点，点A（6，0），则|PA|+|PF|的最小值是（）A．3 B．6 C．16 D．198．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinB=2sinA，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2=x，过（1，0）的直线与抛物线交于A，B两点，则△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是（）A．B．1 C．2 D．411．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为（）A．B．C．D．12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数，则的值为．14．（5分）已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|=6，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则=．16．（5分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，AA1⊥l于A1，BB1⊥l 于B1，AB中点为M，MM1⊥l于M1，则下列说法：①△AOB为钝角三角形②△AM1B为直角三角形③△A1FB1为钝角三角形④AM1⊥A1F正确命题的序号是（填写你认为正确的所有命题的序号．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC周长的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值，并求出取得最大值时x的值．19．（12分）如图1，已知知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且，现将△ABD沿BD折起，如图2，点A的位置记为A'，此时．（1）求证：BD⊥面A'HE；（2）求三棱锥D﹣A'EH的体积．20．（12分）已知双曲线的离心率为2，右顶点为（1，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y=﹣x+m与y轴交于点P，与双曲线C的左、右支分别交于点Q，R，且，求m的值．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA=b，E为PD中点，F为PA上一点，且．（1）求证：CE∥平面BFD；（2）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为，求a：b的值．22．（12分）已知点A（1，1），P，Q为抛物线y2=x上两动点，且．（1）求证：直线PQ必过一定点；（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=B．y=﹣C．y=x D．y=﹣1【分析】根据题意，由抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再代入抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴正半轴上；所以：2p=4，即=1，则其准线方程是y=﹣1；故选：D．【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，关键掌握抛物线的标准方程的求法，属于基础题．2．（5分）若，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：若=﹣sinα，∴sinα=﹣，则cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若α∥β，m⊥α，则m⊥β；③m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断其真假性即可．【解答】解：对于①，当m⊥n，m⊥α时，则n∥α或n⊂α，∴①错误；对于②，当α∥β，m⊥α时，则m⊥β，∴②正确；对于③，当m⊥β，α⊥β时，则m∥α或m⊂α，∴③错误；对于④，当m∥α，n∥α时，则m∥n或m、n相交或m、n异面，④错误．综上，正确的命题是③，共1个．故选：B．【点评】本题考查了用符号语言表示的空间中的平行与垂直关系的应用问题，是综合题．4．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．x=π【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合余弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得y=cos（2x+﹣）=cos（2x+）的图象，令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，再令k=1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x=，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+6 B．6π+6 C．3π+12 D．12【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，然后由锥体体积求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，则其体积V=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（5分）P是双曲线右支上一点，F是其右焦点，点A（6，0），则|PA|+|PF|的最小值是（）A．3 B．6 C．16 D．19【分析】根据题意，设双曲线的左焦点为M，由双曲线的方程求出a的值，由双曲线的定义可得|PM|﹣|PF|=2a=8，进而分析可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|﹣2a≥|AM|﹣2a=3，即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为M，双曲线的方程为，其中a==4，若P是双曲线的右支上一点，则有|PM|﹣|PF|=2a=8，|PA|+|PF|=|PA|+|PM|﹣2a≥|AM|﹣2a=3，当PAM三点共线，即P在x轴上时，等号成立，故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义及应用，利用三点共线以及双曲线的几何性质是解决本题的关键．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinB=2sinA，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据正弦、余弦定理求出a、b的值，再计算△ABC的面积．【解答】解：△ABC中，若sinB=2sinA，则b=2a，又，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a•2acos=3a2=9，解得a=，∴b=2，∴△ABC的面积为S△ABC=absinC=××2×sin=．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【分析】由=，利用等积法能求出点A到平面A 1BC的距离．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用．10．（5分）已知抛物线y2=x，过（1，0）的直线与抛物线交于A，B两点，则△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是（）A．B．1 C．2 D．4【分析】当直线AB的斜率不存在时，求出三角形的面积，当直线的斜率存在时，设直线方程为x=ky+1，代入抛物线方程可化为y2﹣ky﹣1=0，根据弦长公式和点到直线的距离，即可求△AOB的面积．【解答】解：当直线AB的斜率不存在时，此时AB的方程为x=1，∴y=±1，=|AB|×1=×2×1=1，∴S△ABO当直线的斜率存在时，设直线方程为x=ky+1，代入抛物线方程可化为y2﹣ky﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=k，y1y2=﹣1，∴|AB|=•=•，点O到直线AB的距离d=，=×|AB|•d=＞1，∴S△ABO综上所述△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是1，故选：B．【点评】本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．11．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用对应图形的面积即可得到a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，若不等式组构成平面区域则a＞0，此时对应的区域为△ABC，则A（1，0），B（0，1），C（1，1+2a），∴AC=1+2a，则△ABC的面积S=×（1+2a）•1=4，解得a=，故选：C．【点评】本题主要考查线二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．B．C．1 D．2【分析】设AC=m，则BC=，=，当m最大时，体积最大，由=≤=2，推导出四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，AC=BC=，由此能求出“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】解：设AC=m，则BC=，==，∴当m最大时，体积最大，=≤=2，当且仅当m=时，取最大值，∴当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，AC=BC=，此时“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=（）×2=2．故选：D．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数，则的值为．【分析】利用辅助角公式化简，然后代入x=求解．【解答】解：∵=2sin（x+），∴=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．14．（5分）已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|=6，则动点P的轨迹方程为．【分析】利用椭圆的定义判断出动点P的轨迹，再由题意求出基本量，代入椭圆的标准方程即可．【解答】解：因为动点P满足|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，所以由椭圆的定义得：动点P的轨迹是以A（﹣2，0），B（2，0）为焦点的椭圆，则a=3、c=2，即b2=9﹣4=5，所以动点P的轨迹方程是，故答案为：．【点评】本题考查定义法求动点的轨迹方程，以及椭圆的定义、标准方程，熟练掌握椭圆的定义、标准方程是解题的关键．15．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则=3．【分析】由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得sinAcosB=3sinBcosA，由同角三角函数基本关系整体代入可得．【解答】解：∵△ABC中acosB﹣bcosA=c，∴由正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinC=sin（A+B），∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，∴sinAcosB=3sinBcosA，∴==3，故答案为：3．【点评】本题考查正弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式以及同角三角函数基本关系，属基础题．16．（5分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，AA1⊥l于A1，BB1⊥l 于B1，AB中点为M，MM1⊥l于M1，则下列说法：①△AOB为钝角三角形②△AM1B为直角三角形③△A1FB1为钝角三角形④AM1⊥A1F正确命题的序号是①②④（填写你认为正确的所有命题的序号．【分析】利用抛物线的定义、性质，平面几何知识逐一判定即可．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以设经过点F的直线的方程为x=my+，把它代入抛物线方程，可得y2﹣2pmy﹣p2=0；因为A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，x2＞0）则y1y2=﹣p2 ，∴x1x2=对于①，∴∠AOB为钝角，故①正确；对于③，如图，由抛物线的定义可知AA1=AF，三角形AA1F是等腰三角形；因为AA1∥OF，所以A1F平分∠OFA，同理B1F平分∠OFB，所以∠A1FB1=90°，故③错，对于②，由③得FM1=M1A1=M1B1，BB1=BF，AA1=AF．∴M1A平分∠A1M1F，M1B平分∠B1M1F∴，故②正确对于④，设AM1⊥与A1F交于点G，由②③得△AA1G≌△AFM1，∴AM1⊥A1F，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了抛物线的概念和性质的运用，考查了直线的方程和性质，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B；（2）由正弦定理求出周长，结合角A的范围即可求出△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴A+C=2B．又A+B+C=π，∴；（2）在△ABC中，由正弦定理，，∴△ABC的周长=．又∵，∴．∴△ABC周长的取值范围（，]．【点评】本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，关键是对A，B，C成等差数列的应用，是中档题．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值，并求出取得最大值时x的值．【分析】（1）利用和与差，二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数性质即可求解单调递减区间；（2）x在上，求解内层函数的范围，结合三角函数结合三角函数性质即可求解最大值．【解答】解：函数=4（cos2x）+sin2x+cos2x﹣2=cos2x=由，得：∴函数f（x）的单调减区间为．（2）∵x∈上，∴则当=，即时，f（x）取得最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，三角恒等式化简能力和计算能力．属于基础题．19．（12分）如图1，已知知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且，现将△ABD沿BD折起，如图2，点A的位置记为A'，此时．（1）求证：BD⊥面A'HE；（2）求三棱锥D﹣A'EH的体积．【分析】（1）推导出AE⊥BD，BD⊥A'H，BD⊥EH，由此能证明BD⊥面A'HE．（2）推导出AH=A′H=4，EH=1，DH=8，A′H⊥EH，由此能求出三棱锥D﹣A'EH的体积．【解答】证明：（1）∵ABCD为矩形，，∴AE⊥BD，∴图2中，BD⊥A'H，BD⊥EH，∵A'H∩HE=H，∴BD⊥面A'HE．（2）∵矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且，∴AE==5，BD==10，△BEH∽△DAH，∴==，∴AH=A′H=4，EH=1，DH=8，∵，∴A′H⊥EH，∴==2，∴三棱锥D﹣A'EH的体积：===．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．（12分）已知双曲线的离心率为2，右顶点为（1，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y=﹣x+m与y轴交于点P，与双曲线C的左、右支分别交于点Q，R，且，求m的值．【分析】（1）利用已知条件求出a，b，c，然后求解双曲线方程；（2）设Q点横坐标为x Q，P点横坐标为x P．通过，联立方程组，转化求解即可．【解答】解：（1）因为，所以（2）设Q点横坐标为x Q，P点横坐标为x P．平行线分线段成比例定理：，联立：得：2x2+2mx﹣3﹣m2=0，，则m2=1，m=1或m=﹣1（舍）与已知条件不符．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA=b，E为PD中点，F为PA上一点，且．（1）求证：CE∥平面BFD；（2）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为，求a：b的值．【分析】（1）取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF，=V P﹣MOD，即可求出（2）利用等体积法，即V M﹣POD【解答】（1）证明：如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO∥GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE∥FD．又GE∩GC=G，GE、GC⊂平面GEC，FO∩FD=F，FO，FD⊂平面FOD．∴平面GEC∥平面FOD．∵CE⊂平面GEC，∴CE∥面BDF，解（2）如图所示，连接OM，MD，PM，=V P﹣MOD，∴V M﹣POD∵四边形ABCD是边长为a的正方形，AC与BD交于点O，M为OC的中点=a2，∴S△OMD∵PA⊥平面ABCD，PA=b，=•b•a2，∴V P﹣MOD∵PA⊥AC，AO=a，∴PO==，OD=a，=×a•，∴S△POD=•b••a•，∴V M﹣POD∴•b••a•=•b•a2，整理可得8b2=21a2，∴a：b=2：【点评】本题考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积公式，考查了运算能力和识图能力，属于中档题22．（12分）已知点A（1，1），P，Q为抛物线y2=x上两动点，且．（1）求证：直线PQ必过一定点；（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程．【分析】（1）设直线方程为x=my+n，，整理得y2﹣my﹣n=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则y1+y2=m，y1y2=n，利用向量的数量积，转化求解即可．（2）由点差法得弦中点公式为．可得，整理得x=2y2+2y+2（在已知抛物线内部）．【解答】解：（1）设直线方程为x=my+n，，整理得y2﹣my﹣n=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）则y1+y2=m，y1y2=n，，=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，，（y1+1）（y2+1）+1=0，y1y2+y1+y2+2=0，﹣n+m+2=0，n=m+2则直线方程为x=my+n=my+m+2=m（y+1）+2过定点（2，﹣1）．（2）P，Q为抛物线y2=x上两动点，设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点M为（x M，y M），由点差法得弦中点公式为：=，因为PQ恒过（2，﹣1），则，整理得x=2y2+2y+2（在已知抛物线内部）．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，恒过定点的直线系方程的应用，考查计算能力．。

2017-2018学年高二上学期期末考试文科数学试卷1、考试时间：120分钟2、 满分：150分3、考试范围：导数，命题，圆锥曲线一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( )A. 14B. 12 C ．2 D ．4 2．对∀k ∈R ，则方程221+=x ky 所表示的曲线不可能是( )A ．两条直线B ．圆C ．椭圆或双曲线D ．抛物线 3． 不可能以直线b x y +=23作为切线的曲线是( ) A ．x y 1-=B ．x y sin =C ． x y ln =D ． x e y =4．已知)0,1(1-F ,)0,1(2F 是椭圆的两焦点，过1F 的直线l 交椭圆于N M ,，若N MF 2∆的周长为8，则椭圆方程为A.13422=+y xB.13422=+x yC.1151622=+y xD.1151622=+x y 5．“双曲线方程为622=-y x ”是“双曲线离心率2=e ”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.下列四个命题中，真命题是 ( )A. 若1>m ，则220-+>x x m ；B. “正方形是矩形”的否命题；C. “若21,1则==x x ”的逆命题； D. “若0,00则且+===x y x y ”的逆否命题.7．过点(0,1)作直线，使它与抛物线24=y x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. 23D. 349．函数f (x )＝x 2＋2x f ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)＜f (1)C ．f (－1)＞f (1)D ．无法确定10．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的两条渐近线均和圆C ：22650+-+=x y x 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154-=x yB.22145-=x yC. 22136-=x yD.22163-=x y 11、如图是甲、乙两人的位移s 与时间t 关系图象，以下说法错误的是（ ）A ．甲、乙两人在［0，0t ］内的平均速度相同B ．甲、乙两人在0t t =时刻的瞬时速度相同C ．甲做匀速运动，乙做变速运动D ．当0t t >时，在［0,t t ］内任一时刻乙的瞬时速度 大于甲的瞬时速度12． 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A. )53,55(B. )55,52(C. )53,52(D. )55,0( 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．14．抛物线ax y =2的焦点恰好为双曲线222x y -=的右焦点，则=a . 15．曲线y ＝x ＋1x 2(x ＞0)在点)2,1(处的切线的一般方程为_________________. 16. 已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是 ．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：方程13122=-++ty t x 所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式210()t a t a ---<.（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知命题:p x ∀∈R ，2sin 1≤+a x ，命题0:q x ∃∈R ，使得()200110x a x +-+<.若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围.19．(1)已知函数()xf x e =，过原点作曲线()y f x =的切线，求切线方程；(2)已知函数32()=+++f x x bx cx d 的图象过点P （0，2），且在点(1,(1))--M f 处的切线方程为076=+-y x ．求函数()=y f x 的解析式；20．已知定点()0,4A -，点P 是圆224x y +=上的动点。

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为 ． 15．（3分）若双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．16．（3分）△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P 到平面ABC 的距离是： ．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S的最大值．△ABM2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．17【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，则第6个红色球的编号为06，故选：C．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，x i y i=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．，θ1），则有，（2）设P（ρ设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，﹣，﹣4），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=﹣时，S取得最大值．。

一．选择题：本题共12个小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，1~7题只有一个选项正确，第8~12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1.用比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法。

下面四个物理量都是用比值法定义的，其中定义式错误的是 A.电流=q I t B.磁感应强度F B IL = C.电场强度2Q E k r = D.电阻U R I= 2.图中MN 是某电场中的一条水平电场线。

一带正电粒子射入此静电场中后，沿轨迹ABC 运动（B 在电场线上）。

下列说法中正确的是A.M N ϕϕ>B.粒子在B 点受电场力方向水平向左C.粒子一定做匀变速曲线运动D.粒子在A 点的电势能比在C 点的电势能大3.如图所示，截面为直角三角形的木块a 上放置一铁块b ，三角形木块某一直角边靠在竖直且粗糙的墙面上，现用竖直向上的作用力F ，推动木块与铁块一起向上做匀速运动，运动过程中铁块与木块始终保持相对静止，则下列说法正确的是A.木块a 与竖直墙面间一定存在水平弹力B.木块a 与铁块b 间一定存在摩擦力C.木块a 与竖直墙面间可能存在摩擦力D.竖直向上的作用力F大小一定大于铁块与木块的重力之和4.如图所示，电路中R1、R2均为可变电阻，电源内阻不能忽略，平行板电容器C的极板水平放置。

A板与静电计金属球相连，静电计的外壳和B板接地，闭合电键S电路达到稳定时，静电计指针偏转一定角度。

此时，在A、B板间有一点电荷q（带电量很小）静止在P点，则A.增大R1的阻值，点电荷q保持不动，但静电计指针偏角减小B.增大R2的阻值，点电荷q保持不动，但静电计指针偏角减小C.增大两板间的距离，点电荷q向下运动，但静电计指针偏角不变D.断开电键S，A板不动，将B板向下移动时，点电荷q保持不动5.如图所示，若α粒子（42He）和质子（11H）以相同速度垂直进入同一匀强磁场中，则α粒子和质子A.运动半径之比是2:1B.回到磁场边界时速度大小之比是2:1C.在磁场中运动时间之比是1:1D.受到的洛伦兹力之比是1:16.将阻值随温度升高而减小的热敏电阻Ⅰ和定值电阻Ⅱ串联，接在不计内阻的稳压电源两端。

齐齐哈尔市2017-2018年度高二上学期期末考试数学(文)试题答案 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13. （1）（4） 14. 2.6 15. 0.879 16.22145x y -= 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17.（1）2()sin cos sin f x x x x =⋅+=11cos 2sin 222x x -+=1)242x π-+ T π∴= ---------------5分（2）由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈,得3788k x k ππππ+≤≤+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ---------------8分()f x 的单调减区间为3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. --------------10分18.解：（1）因为样本容量与总体个数比是1811086= 所以样本中包含3个年龄段的个体数分别是：年龄在[7,20)人数为1181086=⨯ 年龄在[20,40)人数为3541086=⨯年龄在[40,80)人数为2361086=⨯所以三个年龄段的人数分别为1,3,2----------------------------6分（2）设在年龄为[7,20)抽取的1人为a ,在[20,40)抽取的三人为,,b c d 在[40,80)抽取的2人为,e f，任取2人构成的所有的基本事件为()()()()()()()()()()()()()()f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,()f e ,,共15个------------------------------10分没人被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现是等可能的。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．3．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）A．8 B．11 C．14 D．17【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．故弦心距d==．再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；故选：B．4．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=是奇函数，所以选项A，B不正确；当x=e时，y=＞0，图象的对应点在第一象限，D正确；C错误．故选：D．5．将函数y=（sinx+cosx）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数图象的解析式是（）A．y=cos B．y=sin（）C．y=﹣sin（2x+）D．y=sin（2x+）【解答】解：将函数y=（sinx+cosx）=sin（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=sin[（x+）+]=cos x，故选：A．6．函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（）A．1或2 B．1 C．2 D．1或﹣2【解答】解：由题意得，f（x）=，当a＜2时，f（a）=3a﹣2=1，则a=2，舍去；当a≥2时，f（a）==1，解得a=2或a=﹣2（舍去），综上可得，a的值是2，故选C．7．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2 B．﹣3 C． D．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，k=1，S=﹣3，不满足条件k≥2016，k=2，S=﹣，不满足条件k≥2016，k=3，S=，不满足条件k≥2016，k=4，S=2，不满足条件k≥2016，k=5，S=﹣3，…观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016=504×4，可得不满足条件k≥2016，k=2016，S=2，满足条件k≥2016，满足退出循环的条件，故输出的S值为2．故选：A．8．已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．9．设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．2B．8 C．9 D．10【解答】解：因为4a•2b=2，所以2a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选C．10．已知A，B，P是双曲线上的不同三点，且AB连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率e=（）A．B． C． D．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴kPA•k PB=，A，B代入两式相减可得=，∵，∴=，∴e2=1+=，∴e=．故选：B．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．12πD．π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选D．12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）==，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点P（﹣1，1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为y=﹣3x﹣2．【解答】解：点P（﹣1，1）在曲线上，可得a﹣1=1，即a=2，函数f（x）=的导数为f′（x）=，曲线在点P处的切线斜率为k=﹣3，则曲线在点P处的切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即为y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．14．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=﹣2．【解答】解：如图，∵，∴=，又D为AC中点，∴，则===．故答案为：﹣2．15．已知抛物线y2=4x与经过该抛物线焦点的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C，=2，则直线l的斜率为2．【解答】解：设A的横坐标为x，则∵=2，BC=1，∴AB=2，∴A（2，2），∵F（1，0），∴直线l的斜率为=2，故答案为：2．16．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且在区间[0，4]上市减函数，则f（10）、f（13）、f（15）这三个函数值从小到大排列为f（13）＜f（10）＜f（15）．【解答】解：∵f（x+4）=﹣f（x），∴f（x+8）=﹣f（x+4）=﹣[﹣f（x）]=f（x），∴周期T=8，∵f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（10）=f（2+8）=f（2），f（13）=f（5+8）=f（5）=f（﹣5）=f（﹣5+8）=f（3），f（15）=f（7+8）=f（7）=f（﹣7）=f（﹣7+8）=f（1），∵f（x）在区间[0，4]上是减函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（13）＜f（10）＜f（15）．故答案为：f（13）＜f（10）＜f（15）．三、解答题（本题共70分）17．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．【解答】解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1 （II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19．已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1），a1=2，令bn=．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn•3n}的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1）=3[（an﹣1）﹣（an+1﹣1）]，2·1·c·n·j·y∴=，即bn+1﹣bn=．∴数列{bn}是等差数列，首项为1，公差为．∴bn=1+（n﹣1）=．（2）=（n+2）•3n﹣1．∴数列{bn•3n}的前n项和Sn=3+4×3+5×32+…+（n+2）•3n﹣1．∴3Sn=3×3+4×32+…+（n+1）×3n﹣1+（n+2）•3n，∴﹣2Sn=3+3+32+…+3n﹣1﹣+（n+2）•3n=2+﹣（n+2）•3n=2+，∴Sn=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．21．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC ⊥x轴，若AB⊥x轴，计算即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．因为cos∠F1AF2=，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，则4•=2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2，即有e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=（x﹣b），代入椭圆方程得（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，可得y0y2=﹣，又λ2===，同理λ1=，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．22．已知函数f（x）=（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令g（x）=x，讨论m的范围，根据函数的单调性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为R，f′（x）=①当m+1=1，即m=0时，f′（x）≥0，此时f（x）在R递增，②当1＜m+1＜3即0＜m＜2x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（1，m+1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；③0＜m+1＜1，即﹣1＜m＜0时，x∈（﹣∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（m+1，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；综上所述，①m=0时，f（x）在R递增，②0＜m＜2时，f（x）在（﹣∞，1），（m+1，+∞）递增，在（1，m+1）递减，③﹣2＜m＜0时，f（x）在（﹣∞，m+1），（1，+∞）递增，在（m+1，1）递减；（Ⅱ）当m∈（0，]时，由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，m+1）递减，令g（x）=x，①当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，所以函数f（x）图象在g（x）图象上方；②当x∈[1，m+1]时，函数f（x）单调递减，所以其最小值为f（m+1）=，g（x）最大值为m+1，所以下面判断f（m+1）与m+1的大小，即判断ex与（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1，]，令m（x）=ex﹣（1+x）x，m′（x）=ex﹣2x﹣1，令h（x）=m′（x），则h′（x）=ex﹣2，因x=m+1∈（1，]，所以h′（x）=ex﹣2＞0，m′（x）单调递增；所以m′（1）=e﹣3＜0，m′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，]使得m′（x0）=ex0﹣2x0﹣1=0，所以m（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，）单调递增所以m（x）≥m（x0）=ex0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1，所以x0∈（1，]时，m（x0）=﹣+x0+1＞0，即ex＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，所以函数f（x）的图象总在直线y=x上方．。

佳一中2017-2018学年度第一学期第二学段高二数学试题（文科）考试时间:120分钟 满分：150分Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（共计12个小题,每题只有一个 符合题意，每个小题5分） 1.14x =-为准线的抛物线的标准方程为（ ） A ．2yx= B ．212y x= C ．212xy =D ．2xy=2。

2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币。

如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元。

为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） A ．27265mm πB ．236310mm πC ．23635mm π D ．236320mm π3. 如果数据12,,nx x x 的平均数为x ,方差为2s ,则1243,43,,43n x xx +++的平均数和方差分别为（ ) A ．,x sB ．243,x s + C ．2,16x s D ．243,16x s +4。

用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号,按编号顺序平均分成20组(1～8号,9～16号，…，153～160号）.若第15组应抽出的号码为116，则第一组中用抽签方法确定的号码是（ )A ． 4B ． 5C 。

6D ．7 5. 若a b c >>,则下列不等式成立的是（ ) A ．11a cb c>-- B ．11a cb c<-- C.ac bc> D ．ac bc < 6。

佳木斯一中从高二年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2017年全国高中数学联赛（黑龙江初赛),他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a 、b 满足a ，G ,b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则14a b+的最小值为（ )A ． 49 B ． 2 C 。

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（包括12个小题，每小题5分，共60分）1．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．下列说法中正确的是（）A．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的2．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1204．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为（）A． B．C．D．5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）A．5 B．6 C．4 D．86．如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜117．已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A． B．C．D．8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）A． B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．310．直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+（y﹣1）2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为（）A．16 B．4 C．D．11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A． B．C．D．12．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M 为抛物线C的准线与x轴的交点，若，则|AB|=（）A．4 B．8 C．D．10二、填空题（包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，V4的值为．14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当•取最小值时，点Q的坐标是．15．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为．16．已知F是抛物线E：y2=4x的焦点，过点F的直线交抛物线E于P，Q两点，线段PQ的中垂线仅交x轴于点M，则使|MF|=λ|PQ|恒成立的实数λ=．三、解答题（包括6个小题，共70分）17．（10分）从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数、中位数（保留2位小数）；（3）根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？18．（12分）在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．20．（12分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．22．（12分）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．参考答案与试题解析一、选择题（包括12个小题，每小题5分，共60分）1．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．下列说法中正确的是（）A．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的【分析】根据随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率都是解答．【解答】解：∵采用随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率都是，∴①②③种抽样方法中，每个教职工被抽到的概率相等．故选：A．【点评】本题考查了随机抽样、系统抽样、分层抽样的特征，正确理解三种抽样方法的特征是解题的关键．2．（2015•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480（人）．故选：B．【点评】本题主要考查了频率、频数、统计和概率等知识，属于基础题．4．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】每次摸出的号码（a，b）共有4×4=16 个，满足a﹣2b+4＜0的共有4个，由此使不等式a﹣2b+4＞0成立的事件发生的概率．【解答】解：每次摸出的号码（a，b）共有4×4=16 个，分别为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）其中满足a﹣2b+4＜0的共有（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）共4个故使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为：P==，故选：C．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，满足a﹣2b+4＜0的有4个，是解题的关键．5．（2015秋•葫芦岛期末）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）A．5 B．6 C．4 D．8【分析】由题设知=，故=（）2，由此能求出||．【解答】解：如图，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，∴=，∴=（）2=+++2+2+2=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°=25，∴||=5．故选A．【点评】本题以平行六面体为载体考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、、两两的夹角均为60°，进行合理转化．6．（2014•陕西三模）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11【分析】要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．【解答】解：∵S=，并由流程图中S=S循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环所以i＞10，应满足条件，退出循环判断框中为：“i＞10？”．故选A．【点评】本题考查直到型程序框图的应用，是高考常考题型，易错点是不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（2012•吉林二模）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l 于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知|OB|=|AF|，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1，直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为，故点B的坐标为（，）∵P（﹣1，0），∴k==故选B．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．8．（2012•山东模拟）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．【解答】解：如图，连接B1D∵D是A1C1的中点，△A1B1C1是正三角形∴B1D⊥A1C1，∵平面AC1⊥平面A1B1C1，平面AC1∩平面A1B1C1=A1C1，∴B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则AD==CD，由等面积法得AG==所以直线AD与面DCB1的正弦值为故选B．【点评】本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系．9．（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S 的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．10．（2013•湖州二模）直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+（y﹣1）2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为（）A．16 B．4 C．D．【分析】由已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x﹣4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，因为，有4y2﹣17y+4=0，由此能够推导出．【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x﹣4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，因为，有4y2﹣17y+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=，则有|AD|=（y1+y2）+2=，故=，故选C．【点评】本题考查圆锥曲线和直线的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化．11．（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y ≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选C【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．12．（2016•石家庄二模）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若，则|AB|=（）A．4 B．8 C．D．10【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=2，建立k的方程，即可得出结论．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），点M（﹣1，0），设直线方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴=2，化简整理得：2k（x1﹣x2）=2（x1+1）（x2+1）+2y1y2①，，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由韦达定理可知：x1x2=1，x1+x2=，y1y2=﹣4，∴①可转化成：2k（x1﹣x2）=2（），∴x1﹣x2=，∴=，∴k=±1，∴x1+x2=6，丨AB丨=•=8．故答案选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系及两角差的正切公式，正确使用韦达定理，计算过程繁琐，属于中档题．二、填空题（包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，V4的值为220．【分析】首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n 个一次多项式的值，求出V4的值．【解答】解：∵f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，∴v0=a6=3，v1=v0x+a5=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=v1x+a4=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=v2x+a3=34×（﹣4）+79=﹣57，v4=v3x+a2=﹣57×（﹣4）+（﹣8）=220．故答案为：220．【点评】本题考查通过程序框图解决实际问题，把实际问题通过数学上的算法，写成程序，然后求解，属于基础题．14．（2014秋•宝安区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当•取最小值时，点Q的坐标是（，，）．【分析】根据题意，设出点Q的坐标，求出•的表达式，计算•取最小值时点Q的坐标．【解答】解：根据题意，点Q在直线OP上运动，=（1，1，2）；设Q（t，t，2t），∵•=（t﹣1，t﹣2，2t﹣3）•（t﹣2，t﹣1，2t﹣2）=（t﹣1）（t﹣2）+（t﹣2）（t﹣1）+（2t﹣3）（2t﹣2）=6t2﹣16t+10，∴当t==时，•取得最小值．此时点Q的坐标是（，，）．故答案为：（，，）．【点评】本题考查了空间向量的共线问题以及数量积的应用问题，是基础题目．15．（2014•兴安盟一模）将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为．【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交时包含的基本事件数n，最后事件发生的概率为P=【解答】解：∵直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交，∴圆心到直线的距离即a＜b∵设一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中a＜b的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共5+4+3+2+1=15个，∴直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为P=故答案为．【点评】本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，直线与圆的位置关系及其判断16．已知F是抛物线E：y2=4x的焦点，过点F的直线交抛物线E于P，Q两点，线段PQ的中垂线仅交x轴于点M，则使|MF|=λ|PQ|恒成立的实数λ=．【分析】由根据抛物线的定义得：|PQ|=x1+x2+2，由y12=4x1，y22=4x2，相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），求得直线斜率k，求得直线PQ的方程，代入求得M点坐标，求得|MF|，则=，即可求得λ．【解答】解：抛物线E：y2=4x的焦点F为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则根据抛物线的定义得：|PQ|=x1+x2+2，由y12=4x1，y22=4x2，相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），∴k==，则线段PQ的中垂线的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0，得M的横坐标为2+，又F（1，0），∴|MF|=，则=．|MF|=|PQ|，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，直线的斜率公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（包括6个小题，共70分）17．（10分）从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数、中位数（保留2位小数）；（3）根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【分析】（1）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．【解答】解：（1）由已知作出频率分布表为：由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，∵[75，95）内频率为：0.06+0.26=0.32，∴中位数位于[95，105）内，设中位数为x，则x=95+×10≈99.74，∴中位数为99.74．（3）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、众数、中位数、方差的求法，考查产品质量指标所占比重的估计值的计算与应用．18．（12分）（2012•海淀区二模）在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C 四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．【分析】（Ⅰ）先列举出所有可能的结果有16个，找出其中事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”包含的基本事件有6个，从而求得甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率．（Ⅱ）在所有的基本事件中找出事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”包含的基本事件的个数，可得甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．【解答】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，A1），（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A2，A1），（A2，A2），（A2，B），（A2，C），（B，A1），（B，A2），（B，B），（B，C），（C，A1），（C，A2），（C，B），（C，C）．（Ⅰ）用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有：（A1，A1），（A1，A2），（A2，A1），（A2，A2），（B，B），（C，C），共有6个．所以．（Ⅱ）用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有：（B，A1），（B，A2），（C，A1），（C，A2，），（C，B），共有5个．所以．【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．【分析】解法一：（Ⅰ）连结AD1．判断AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．得到异面直线D1E与A1D所成的角．（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D1F，说明∠DFD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．利用等体积法，求点B到平面D1EC的距离．解法二：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）通过向量的数量积为0，即可求异面直线D1E与A1D所成的角；（Ⅱ）=（0，0，1）为面DEC的法向量，设=（x，y，z）为面CED1的法向量，通过二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求出x、y、z的关系，结合，求出平面的法向量，利用求点B到平面D1EC的距离．【解答】解：解法一：（Ⅰ）连结AD1．由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D．∵AB⊥平面AA1D1D，∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．根据三垂线定理得AD1⊥D1E，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．…（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D1F，则CE⊥D1F．所以∠DFD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．于是，易得Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以．设点B到平面D 1EC的距离为h，则由于，即f'（x），因此有CE•D1F•h=BE•BC•DD1，即，∴．…..…（12分）解法二：如图，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）由A1（1，0，1），得，设E（1，a，0），又D1（0，0，1），则．∵∴，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．…（Ⅱ）=（0，0，1）为面DEC的法向量，设=（x，y，z）为面CED1的法向量，则，∴z2=x2+y2．①由C（0，2，0），得，则，即，∴2y﹣z=0②由①、②，可取，又，所以点B到平面D1EC的距离．…（12分）【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角、异面直线及其所成的角、点、线、面间的距离计算、二面角的平面角及求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2016•大连校级模拟）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【分析】（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．【解答】解：（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，m，n的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个设“m，n均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）所以，故事件A的概率为（2）由数据得，，，，由公式，得，所以y关于x的线性回归方程为（3）当x=10时，，|22﹣23|＜2，当x=8时，，|17﹣16|＜2所以得到的线性回归方程是可靠的．【点评】本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．21．（12分）（2015•天津校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．【分析】（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P 点不存在．【解答】证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．（2分）∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．（4分）解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．（6分）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞=．（8分）∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．（9分）（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．22．（12分）（2013•山东）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．又，联立得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化为，∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．∴m的取值范围；．（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，则=，∴k==．∵，，∴=，∴==﹣8为定值．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．。

2017-2018学年黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1．（5分）用“辗转相除法”求得153和68的最大公约数是（ ）A．3B．9C．51D．172．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A．6B．8C．10D．124．（5分）将直线x+y=1变换为直线2x+3y=6的一个伸缩变换为（ ）A．B．C．D．5．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（ ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：甲乙丙丁R0.820.780.690.85M106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n∉N*，f（n）＞n8．（5分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（ ）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤89．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8在x=﹣4时的值，V2的值为（ ）A．﹣845B．220C．﹣57D．3410．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛11．（5分）已知抛物线y2=4x，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．12．（5分）椭圆C：+=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）把89化成二进制数为 ．14．（5分）在随机数模拟试验中，若x=3*rand（ ），y=2*rand（ ），（rand（ ）表示生成0到1之间的随机数），共做了m次试验，其中有n次满足+≤1，则椭圆+=1的面积可估计为 ．15．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，420]的人做问卷A，编号落入区间[421，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为 ．16．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ=cosθ+sinθ，直线l：（t为参数）．曲线C与直线l相交于P，Q两点，则|PQ|= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．18．（12分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．19．（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋的面积x（单位：m2）的数据：房屋面积11511080135105销售价格24.821.618.429.222（1）求线性回归方程=x；（提示：见第（2）问下方参考数据）（2）并据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（精确到0.1万元）．=i=109，=23.2，（x i﹣）2=1570，（x i﹣）（y i﹣）=308=，=﹣．20．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．21．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格），众数和中位数；（保留整数）22．（12分）已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．2017-2018学大庆高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1．（5分）用“辗转相除法”求得153和68的最大公约数是（ ）A．3B．9C．51D．17【解答】解：用“辗转相除法”可得：153=68×2+17，68=17×4．∴153和68的最大公约数是17．故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A．6B．8C．10D．12【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．4．（5分）将直线x+y=1变换为直线2x+3y=6的一个伸缩变换为（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设这个伸缩变化为，若将直线x+y=1变换为直线2x+3y=6，即x+y=1，则有m=3，n=2；即，故选：A．5．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（ ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵k＞9，∴9﹣k＜0，k﹣4＞0，∴方程表示双曲线，∵方程表示双曲线，∴（9﹣k）（k﹣4）＜0，解得k＞9或k＜4，∴k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选：B．6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：甲乙丙丁R0.820.780.690.85M106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选D．7．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n∉N*，f（n）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．8．（5分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（ ）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．9．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8在x=﹣4时的值，V2的值为（ ）A．﹣845B．220C．﹣57D．34【解答】解：由于函数f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8=（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8，当x=﹣4时，分别算出v0=3，v1=﹣4×3+5=﹣7，v2═﹣4×（﹣7）+6=34，故选：D10．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．11．（5分）已知抛物线y2=4x，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan60°=由直线方程的点斜式方程，设AB：y=（x﹣1）将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x﹣1）2=4x整理得：3x2﹣10x+3=0设A（x1，y1），B（x2，y2）由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|==．O到直线的距离为：d==，△AOB的面积为：=．故选：C．12．（5分）椭圆C：+=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【解答】解：由椭圆C：+=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则得=﹣．∵=，=kPA1=，∴=•==﹣．∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[，]故选：A．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）把89化成二进制数为　1011001（2）　．【解答】解：利用“除2取余法”可得：∴89（10）=1011001（2）．故答案为：1011001（2）．14．（5分）在随机数模拟试验中，若x=3*rand（ ），y=2*rand（ ），（rand（ ）表示生成0到1之间的随机数），共做了m次试验，其中有n次满足+≤1，则椭圆+=1的面积可估计为 ．【解答】解：根据题意：满足条件+≤1的点（x，y）的概率是，设阴影部分的面积为S，则有=，∴S=．故答案为：．15．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，420]的人做问卷A，编号落入区间[421，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为　11　．【解答】解：根据系统抽样的定义确定抽样间隔为960÷32=30，第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则抽到号码数为a n=9+30（n﹣1）=30n﹣21，由421≤30n﹣21≤750，解得14≤n≤25，∴n的取值为11，∴编号落入区间[421，450]内的人数为11．故答案为：11．16．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ=cosθ+sinθ，直线l：（t为参数）．曲线C与直线l相交于P，Q两点，则|PQ|= ．【解答】解：曲线C：ρ=cosθ+sinθ，转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0．把直线l（t为参数）．代入圆的方程得到：，则：，．则：|PQ|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．18．（12分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．19．（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋的面积x（单位：m2）的数据：房屋面积11511080135105销售价格24.821.618.429.222（1）求线性回归方程=x；（提示：见第（2）问下方参考数据）（2）并据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（精确到0.1万元）．=i=109，=23.2，（x i﹣）2=1570，（x i﹣）（y i﹣）=308=，=﹣．【解答】解：（1）=x i=109，=23.2，（x i﹣）2=1570，（x i﹣）（y i﹣）=308，则=≈0.1962，=﹣=23.2﹣0.1962×109=1.8142．故所求回时直线方程为=0.1962x+1.8142．（2）由（1）得：当x=150时，销售价格的估计值为=0.196×150+1.8142=31.2442≈31.2（万元）．答：当房屋面积为150 m2时的销售价格估计为31.2（万元）．20．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．【解答】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y=2x﹣p，联立，可得4x2﹣5px+p2=0．∵x1＜x2，p＞0，△=25p2﹣16p2=9p2＞0，解得，x2=p．∴经过抛物线焦点的弦|AB|=x1+x2+p=p=9，解得p=4．∴抛物线方程为y2=8x；（2）由（1）知，x1=1，x2=4，代入直线y=2x﹣4，可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），∴=+λ=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），∴C（4λ+1，4λ﹣2），∵C点在抛物线上，故，解得：λ=0或λ=2．21．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格），众数和中位数；（保留整数）【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.03，补全频率分布直方图如图所示；（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%，众数为最高小矩形底边的中点，是75；由0.1+0.15+0.15=0.4，0.4+0.3=0.7，∴中位数在[70，80）内，设中位数为x，则（x﹣70）×0.03+0.4=0.5，解x≈73.3；∴估计中位数是73.3分．22．（12分）已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）因为椭圆方程为，知a=2，b=1，，可得，，设P（x，y）（x＞0，y＞0），则，又，联立，解得，即为；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．，．又∠AOB为锐角，即为，即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，又，可得k2＜4．又，即为，解得．。

2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）椭圆+=1的一个焦点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（，0）D．（0，）2．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．3．（5分）已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（）A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，24．（5分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（）种不同的投放的方式．A．4 B．12 C．64 D．815．（5分）与二进制数110（2）相等的十进制数是（）A．6 B．7 C．10 D．116．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，98，则输出的a=（）A．9 B．3 C．7 D．147．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°8．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．129．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=10．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥9 B．a≤9 C．a≤8 D．a≥812．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2+1的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．14．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程是．15．（5分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．16．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线x﹣y+2=0上一点，若圆O 上存在一点N，使得，则y0的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称A B C D E销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附：线性回归方程中，，．19．（12分）已知椭圆经过点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．20．（12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）△OPE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标．2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）椭圆+=1的一个焦点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（，0）D．（0，）【解答】解：椭圆+=1的焦点在x轴上的椭圆，a=3，b=，c=2，椭圆的焦点坐标是（±2，0），故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．【解答】解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“”，．故选：C．3．（5分）已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（）A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，2【解答】解：∵公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，∴从公司抽取30个人进行身体健康检查，每个个体被抽到的概率是=，∴中级管理人员30×=6人，高级管理人员10×=2人，故选：D．4．（5分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（）种不同的投放的方式．A．4 B．12 C．64 D．81【解答】解：根据题意，把四封不同的信投到三个不同的信箱里，每封信都有3种不同的投放的方式，则四封不同的信有3×3×3×3=81种不同的投放的方式，故选：D．5．（5分）与二进制数110（2）相等的十进制数是（）A．6 B．7 C．10 D．11=0+1×2+1×22=2+4=6（10）【解答】解：110（2）故选：A．6．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，98，则输出的a=（）A．9 B．3 C．7 D．14【解答】解：由a=63，b=98，不满足a＞b，则b变为98﹣63=35，由b＜a，则a变为63﹣35=28，由a＜b，则，b=35﹣28=7，由b＜a，则，b=28﹣7=21，由b＜a，则，b=21﹣7=14，由b＜a，则，b=14﹣7=7，由a=b=7，退出循环，则输出的a的值为7．故选：C．7．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D8．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，点A（5，3）在抛物线内部，丨FA丨==5．P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|；∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5﹣（﹣1）=6，则（|PA|+|PF|）min=6．△PAF周长的最小值为：6+5=11．故选C．9．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D10．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：将方程转化为：半圆，与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有k=∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时．直线y=kx+3﹣2k=k（x﹣2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（﹣2，0）时直线的斜率k取最大值为k∈故选D11．（5分）命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥9 B．a≤9 C．a≤8 D．a≥8【解答】解：命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max=9．∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8．故选：D．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2+1的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=8，即有m=8，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8，则c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2+1＞+1=．∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：214．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程是．【解答】解：由题意可设：，（a＞0，b＞0），则，解得．∴双曲线的标准方程是．故答案为．15．（5分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．【解答】解：∵A1C1∥AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，易求，∴．故答案为：16．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线x﹣y+2=0上一点，若圆O 上存在一点N，使得，则y0的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=，则∠OMR≥．∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02 +4x0+4，∴2x02+4x0+4≤4，解得，﹣2≤x0≤0．∴x0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）．18．（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称A B C D E销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附：线性回归方程中，，．【解答】解：（Ⅰ）设回归直线的方程是：，，∴==0.5，=0.4，∴y对销售额x的回归直线方程为：=0.5x+0.4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，利润额为：=0.5×4+0.4=2.4（千万元）．﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知椭圆经过点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆经过点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，则，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）∵c=，F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），则•=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3，∵+y2=1，∴•=x2+y2﹣3=x2+1﹣﹣3=（3x2﹣8）≤，解得﹣≤x≤，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x≤，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．20．（12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．【解答】解：（1）∵，（2分）∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（4分）（2）男生抽取的人数有：（人）（5分）女生抽取的人数有：（人）（6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a，b，c，女生抽取的人数为2人，设为d，e，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种．（8分）其中满足条件的基本事件有：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e）共6种，（10分）∴恰有一男一女的概率为P==．（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）△OPE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（I）由题意知．x P=3，则，则S（3+p，0），或S（﹣3，0）（舍）则FS中点．因为|PF|=|PS|，则解得p=2．所以抛物线C的方程为y2=4x．…..（4分）（II）（i）由（I）知F（1，0），设P（x0，y0），（x0y0≠0），S（x S，0）（x S＞0），因为|FP|=|FS|，则|x S﹣1|=x0+1，由x S＞0得x S=x0+2，故S（x0+2，0）．故直线PQ的斜率K PQ=．因为直线l1和直线PQ平行，设直线l1的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设E（x E，y E），则y k=﹣，x K==，当y02≠4时，kPE==，可得直线PE的方程为，则O到直线PE的距离为，…..（6分）所以，△OPE的面积=2当时，S△OPE所以，△OPE的面积有最小值，最小值为2．…..（9分）（ii）由（i）知时，直线PE的方程，整理可得，直线PE恒过点F（1，0）．当时，直线PE的方程为x=1，过点F（1，0）．…..（12分）。

2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求）1．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2．（5分）把38化为二进制数为（）A．100110（2）B．101010（2）C．110010（2）D．110100（2）3．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A、C都有可能4．（5分）已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）6．（5分）对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．907．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，78．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（）A．﹣1 B．C．2 D．19．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设命题p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命题q：lg（2x﹣1）≤1，若p 是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为．14．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于．15．（5分）从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点，设M为线段F1P的中点，O为原点坐标，则|MO|﹣|MT|=．16．（5分）下列说法正确的有①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且a n+1=2S n+1+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=log3a2n，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求两人中恰有1人醉酒驾车的概率．19．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求∠B的大小；（2）若，且，求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD 所在平面和圆O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（2）求四棱锥F﹣ABCD的体积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD 中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求）1．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．2．（5分）把38化为二进制数为（）A．100110（2）B．101010（2）C．110010（2）D．110100（2）【解答】解：38÷2=19 019÷2=9 (1)9÷2=4 (1)4÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故38（10）=100110（2）故选：A．3．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A、C都有可能【解答】解：∵直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则=2，∴l⊥α．故选：B．4．（5分）已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），∴2﹣=（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•=0，∴﹣8+2n﹣1+4=0，解得，n=，∴=（1，，2）∴||==．故选：B．5．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．6．（5分）对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．90【解答】解：∵=5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，∴=54，∴55×4=20+40+60+70+m，∴m=80，故选：B．7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．8．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（）A．﹣1 B．C．2 D．1【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2，i=1执行循环体，可得a=﹣1，i=2不满足条件i≥6，执行循环体，a=，i=3不满足条件i≥6，执行循环体，a=2，i=4不满足条件i≥6，执行循环体，a=﹣1，i=5不满足条件i≥6，执行循环体，a=，i=6满足条件i≥6，退出循环，输出a的值为．故选：B．9．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．10．（5分）设命题p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命题q：lg（2x﹣1）≤1，若p 是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，得[x﹣（a+1）]（x﹣a）＜0，即a＜x＜a+1，即p：a＜x＜a+1，由lg（2x﹣1）≤1，得0＜2x﹣1≤10，解得：＜x≤，若p是q的充分不必要条件，则，解得：≤a≤，故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴离心率为﹣1．故选：A12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为．【解答】解：根据题意，双曲线的焦距为8，即2c=8，则c=4，若点在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为y=x，又由双曲线的方程为，则有=，又由c=4，则a2+b2=c2=16，解可得a2=4，b2=12，则双曲线的方程为：故答案为：14．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于．【解答】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2．则A1（2，0，2），F）1，0，0），D1（0，0，2），E（0，2，1）则，，==，∴异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于，故答案为：．15．（5分）从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点，设M为线段F1P的中点，O为原点坐标，则|MO|﹣|MT|=1．【解答】解：设F'是双曲线的右焦点，连接PF'．∵M、O分别为FP、FF'的中点，∴|MO|=|PF'|．|FT|==5，由双曲线定义得，|PF|﹣|PF'|=8，故|MO|﹣|MT|=|PF'|﹣|MF|+|FT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=﹣4+5=1．故答案为：1．16．（5分）下列说法正确的有①②③④①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．【解答】解：对于①，∵，∴函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0），故正确；对于②，∵===4，故正确；对于③，在△ABC中，A＜B⇒0＜sinA＜sinB⇒1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B⇒cos2A＞cos2B，反之也成立，故正确；对于④，∵f（x）=min{sinx，cosx}=，则f（x）的最大值为，故正确．故答案为：①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且a n+1=2S n+1+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=log3a2n，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵a n=2S n+1，n∈N∗，n≥2时，a n=2S n﹣1+1，+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．可得a n+1n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n﹣1．…．（6分）（2）c=log3a2n==2n﹣1．b n===（），数列{b n}的前n 项和T n=+…++]=（1+）…（12分）18．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求两人中恰有1人醉酒驾车的概率．【解答】解：（1）由已知得，（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．（2）利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，酒后驾车6人，从8人中抽取2人，恰有1人为醉酒驾车为事件A，则基本事件总数为：n==28事件A包含的基本事件数为：m==12，所以两人中恰有1人醉酒驾车的概率P（A）=．19．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求∠B的大小；（2）若，且，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理==，，因为sinC≠0，所以，又因为0＜B＜π，所以．（2）考虑△BMC，由余弦定理CM2=BM2+BC2﹣2BM•BC•cosB，即，，当且仅当BM=BC时等号成立，所以．20．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD 所在平面和圆O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（2）求四棱锥F﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：设DF的中点为N，则，又，∴，∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．（2）解：过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高，∴，∴S=2，△BCD∴．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD 中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．（4分）（2），设平面PDC的法向量为，则，取z=1得B点到平面PCD的距离…．（8分）（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．【解答】解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）。

黑龙江省双鸭山市2017-2018学年高二数学上学期期末考试题 文一、选择题（每个小题5分，共60分）1.椭圆192522=+y x 的焦点坐标是( ). A.()04,± B.()40±, C.()05,± D.()50±, 2.“1a >”是“2a a >成立”的（ ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知变量y ,x 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ，则y x +的最小值是（ ）.A.4B.3C.2D.14.）. D. 0,01x x ∃<≤≤ 5.运行右面的程序，若输出的结果为9，则输入x 的值等于（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.十进制数88对应的二进制数为（ ）. A ．1011000B ．1011001C ．1011010D ．10011007.某校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20， [)20,22.5， [)22.5,25，[)25,27.5， []27.5,30，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（ ）.A. 76B. 60C. 92D. 1088.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”.右上图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别是5，2，则输出的n 等于( ).A. 2B. 3C. 4D. 5 9.下列说法错误的是（ ）.A.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高B.在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心(),x yC.在回归分析中， 2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好D.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 10.函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( ). A ．12，－15 B ．5，－15 C ．5，－4 D ．－4，－1511. 在区间⎡⎣中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆()2231x y -+=相交”发生的概率为（ ）. A.12 B. 14 C. 16 D. 1812.已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，点D 为其准线与x 轴的交点，过点F 的直线l 与抛物线相交于A B ，两点，则△DAB 的面积S 的取值范围为（ ）. A. [)5+∞， B. [)2+∞， C. [)4+∞， D. []24， 二、填空题（每小题5分，共20分）13.以()11,为圆心，2为半径的圆的标准方程是 .14.双曲线191622=-y x 的渐近线方程是 . 15.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在(10,40]上的频率为 .16.若函数mx x x ln )x (f --=在区间[]21e ,内有唯一的零点，则实数m 的取值范围是. 三、解答题（共70分）17.（10分）求过点()13,M 且与圆()()42122=-+-y x 相切的直线方程.18.（12分）已知函数R x b ax x x f ∈+-=,)(3，若函数)(x f 在点（1,)1(f ）处的切线方程是032=+-y x . （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求()x f 的单调区间 .19.（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ20b =-，ˆˆa y bx =-； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)20.（12分）在平面直角坐标系xOy 中, 点P 到两点()3,0-、()3,0的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C , 直线1+=kx y 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的方程; （2）若OB OA ⊥,求k 的值.21.（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.（2）若对年龄在[)5,15的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考公式及数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=()2 3.8410.050P K ≥=，()2 6.6350.010P K ≥=，()210.8280.001P K ≥=.22.（12分）已知抛物线2:C y x =，点()0,2P ，,A B 是抛物线上两个动点，点P 到直线AB 的距离为1.（1）若直线AB 的倾斜角为，求直线AB 的方程；（2答 案一、选择题（每个小题5分，共60分）1--5 AACBB 6--10 ABCBB 11--12 BC 二、填空题（每个小题5分，共20分）13.()()41122=-+-y x 14.x y 43±=15.0.52 16.[﹣1，11} 三、解答题17.（10分）30543==--x y x 或 18.（12分）（1）53+-=x x )x (f（2）增区间是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,,3333减区间是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3333, 19.（12分）(1)由于()188.28.48.68.898.56x =⨯+++++=， ()1908483807568806y =⨯+++++=，所以ˆˆ80208.5250a y bx =-=+⨯=. 从而回归直线方程为ˆ20250yx =-+. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 00023320361.254x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．20.（12分）(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以()30±,为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴1=b ,故曲线C 的方程为1422=+x y . （2）设,其坐标满足,故.若,即.而,21.（12分）（1）2乘2列联表：99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.（2）年龄在[)5,15中支持“生育二胎”的4人分别为,,,a b c d ，不支持“生育二胎”的人记为M ，则从年龄在[)5,15的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a M b c ，()()()()(),,,,,,,,,b d b M c d c M d M .设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ，则事件A 所有可能的结果有：()()()(),,,,,,,a b a c a d b c ，()(),,,b d c d ，∴，所以对年龄在[)5,15的被调查人中随机选取两人进行调22.（12分）（1）设直线AB 的方程：∴0m =或4m =，∴直线AB的方程： （2）设直线AB 的方程：y kx m =+，则，∴()2212k m +=-．由2{y kx m y x =+=，得到20x kx m --=，∴1212,x x k x x m +==-，∴()()2221212||14AB kx x x x ⎡⎤=++-⎣⎦()()()()22221423k k m m m =++=-+，记()()()2223f m m m=-+，∴()()()222223f m m m m =--+'，又()22121k m +=-≥，∴1m ≤或3m ≥，当(],1m ∈-∞时，()()0,f m f m '<递减，当[)3,m ∈+∞时，()()0,f m f m '>递增，()()min 14f m f ==，∴min ||2AB =．。