学而思高中题库完整版三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版

1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．y=f (x )O yx ban I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即10()lim ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积．2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()ba S f x dx =⎰．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[]a b ，中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和． 第四步：取极限．3．求积分与求导数互为逆运算．()()()baF x dx F b F a '=-⎰，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．4．微积分基本定理如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()baf x dx F b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数．知识内容板块五.微积分 与定积分的应用一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a F x ， 因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰．题型一：定积分的概念【例1】求22002y x x y x =-=，，≤≤围成图形面积．【例2】根据定义计算积分11x dx -⎰．【例3】根据定义计算定积分21(1)x dx +⎰．【例4】根据定义计算积分204x dx -⎰．【例5】求定积分120(1(1))x x dx --⎰．【例6】()211x dx --⎰等于（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例7】求定积分32166x x dx -+-⎰．【例8】由cos y x =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．【例9】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ ） A ．()d da f x x ⎰B ．()d daf x x ⎰C ．()d ()d ()d bcd abcf x x f x x f x x ++ D ．()d ()d ()d bcdabcf x x f x x f x x -+⎰⎰⎰O yxdcba【例10】 求曲线sin y x =以及直线π2x =-，5π4x =，0y =所围成的图形的面积S ．典例分析【例11】 已知函数()sin f x x =，⑴试用定积分表示sin y x =与x 轴围成的介于πx =-与πx =之间的平面图形的面积； ⑵结合sin y x =的图象猜出ππ()d f x x -⎰的值；⑶试将上述问题推广到一般的情况．【例12】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面t 1t 0v 甲v 乙tv (t )O【例13】 设()y f x =为区间[01]，上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[01]，上的均匀随机数1x ，2x …，N x 和1y ，2y …，N y ，由此得到N 个点11()x y ，(12)i N =L ，，，，在数出其中满足11()f x y ≤((12))i N =L ，，，的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 ．【例14】 3dx 1cos x xππ-=+⎰（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【例15】 函数()y f x =的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在[0,]n π上的面积为*2()n n∈N ，则函数sin3y x =在2[0,]3π上的面积为_____________．题型二：微积分基本定理 【例16】 11(23)x dx -+=⎰______．【例17】83x -=⎰_______．【例18】5(24)x dx -=⎰______．【例19】5(21)x dx +=⎰______．【例20】20(2)x x e dx -=⎰___________．【例21】 函数2()(1)f x x x =-，求1()d f x x ⎰．【例22】 下列等于1的积分是（ ）A ．10d x x ⎰B ．10(1)d x x +⎰C ．101d x ⎰D ．101d 2x ⎰【例23】1()xx ee dx -+=⎰（ ）A ．1e e +B ．2eC ．2eD ．1e e-【例24】 计算下列定积分的值：⑴321(4)d x x x --⎰；⑵251(1)d x x -⎰；⑶π20(sin )d x x x +⎰．【例25】2231111dx x xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．7ln 28+ B ．7ln 28- C ．5ln 24+ D ．1ln 28+【例26】 曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与坐标轴围成的面积是（ ） A ．4 B ．52C ．3D ．2【例27】121|4|d x x --⎰=（ ）A ．7B ．223C ．233D ．253【例28】12|8|xdx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233D ．253【例29】121(||)x x dx -+=⎰．【例30】 由曲线24y x =、直线1x =、6x =和x 轴围成的封闭图形的面积为 ．【例31】 设函数2()(0)f x ax c a =+≠．若100()d ()f x x f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为________．【例32】 若1(2)2x k dx +=⎰，则k =________．【例33】 若20(23)0kx x dx -=⎰，则k 等于（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定【例34】 已知()πsin cos d a x x x =+⎰，则二项式6x x ⎛⎝展开式中含2x 项的系数是 ．【例35】 已知0m >，若(21)d 6mx x -=⎰，则m = ．【例36】 求π20cos 2cos sin xdx x x+⎰的值．【例37】()π20sin cos 2x a x dx +=⎰，则实数a = ．【例38】42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e --B ．42e e +C ．422e e +-D ．422e e -+-【例39】2πsin dx x ⎰＝（ ）A ．0B ．πC ．2πD ．4π【例40】220(3)dx 10x k +=⎰，则k =______．【例41】121dx 1e x +=-⎰_______．【例42】 已知2()f x ax bx c =++，且(1)2f -=，(0)0f '=，1()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．【例43】 已知函数0()sin d af a x x =⎰，则π2f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．1 B ．1cos1-C ．0D ．cos11-【例44】 试用定积分表示由直线y x =，1y x =-+，及y 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【例45】 试用定积分表示由直线y x =，1y x =-+，及x 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【例46】 从如图所示的长方形区域内任取一个点()M x y ，，则点M 取自阴影部分的概率为 ．31Oxy =3x 2y【例47】 由曲线2y x=，3y x =围成的封闭图形面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．712【例48】 设函数()y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()K K f x Kf x f x f x K ⎧=⎨>⎩≤，则当函数1(),1f x K x ==时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln22+B ．2ln21-C ．2ln2D ．2ln21+【例49】 已知自由落体的速度为v gt =，则落体从0t =到0t t =所走过的路程为（）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt【例50】 若()1032x k dx -=⎰，则实数k 的值为 ．【例51】 由直线1x =，2x =，曲线2y x=及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．3B ．7C ．73D ．13【例52】 给出以下命题：⑴若()dx 0b af x >⎰，则()0f x >； ⑵20sin 4x dx π=⎰；⑶()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则0()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【例53】 给出下列四个命题：①已知πsin dx a x =⎰，点(3,)a 310x y -+=的距离为1；②若0()0f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ③1m -≥，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④在极坐标系中，点(2,)3P π到直线sin()36πρθ-=的距离是2． 其中真命题是 （把你认为正确的命题序号都填在横线上）【例54】 直线2y x =与抛物线23y x =-所围成图形的面积为．【例55】 如图，求曲线exy =，e x y -=及直线1x =所围成的封闭图形的面积S ．OyxS【例56】 求曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积．【例57】 如图，求曲线1xy =及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ．2121xy=1yxOCB A【例58】 求曲线22y x =以及直线4y x =-所围成的图形的面积S ．【例59】 已知()f x 为一次函数，且10()2()d f x x f t t =+⎰，则()f x =_______．【例60】 已知()f x 为一次函数，且10()22()f x x f t dt =+⎰，则()f x =_______．【例61】 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．⑴求()y f x =的表达式；⑵求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积．⑶若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围形的面积二等分，求t 的值．【例62】 求由抛物线24y ax =与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．【例63】 抛物线2y ax bx =+在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求max S ．。

第四章三角函数的综合-学而思培优
本文档主要介绍了学而思培优的第四章内容，即三角函数的综合。

三角函数是数学中一种重要的函数类型，常用于解决与角度相关的问题。

第四章内容主要包括以下几个方面：
1. 正弦函数和余弦函数
- 正弦函数和余弦函数的定义
- 正弦函数和余弦函数的性质和图像
- 正弦函数和余弦函数的应用案例
2. 正切函数和余切函数
- 正切函数和余切函数的定义
- 正切函数和余切函数的性质和图像
- 正切函数和余切函数的应用案例
3. 三角函数的综合应用
- 三角函数的和差化积
- 三角函数的倍角公式和半角公式
- 三角函数的诱导公式
通过研究本章内容，学生将深入了解三角函数的定义、性质和应用，并掌握三角函数的综合运用方法。

这将为他们在解决实际问题时提供有力的数学工具。

学而思培优的第四章内容旨在帮助学生通过系统的研究和练，掌握三角函数相关知识，提升数学能力，并为日后的数学研究打下坚实的基础。

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题型一：函数的图象【例1】 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是()【例2】 （1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（ba）x的图象只可能是（ ）【例3】 （06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）典例分析板块四.函数的图象与数字特征【例4】定义域和值域均为[],a a-（常数0a>）的函数()y f x=和()y g x=的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解；（2）方程()0g f x=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解；（3）方程()0f f x=⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解；（4）方程()0g g x=⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是。

【例5】某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )A BC D【例6】 （06江西 12）某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）【例7】 （2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加【例8】 函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxoyxoyxoyxA B C D【例9】 如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a ).(1)求函数f (a )和g(a )的表达式；(2)比较f (a )与g(a )的大小，并证明你的结论.【例10】 （2000春季北京、安徽，14）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b的范围。

题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++L L 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k【例5】用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aa a a a n nΛ，在验证n=1时，典例分析板块三.数学归纳法左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++D. 421a a a +++【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++Λ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n Λ，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.)12(2+k C.112++k k D.132++k k【例7】用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k【例8】设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f Λ，用数学归纳法证明“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++Λ”时，第一步要证的等式是【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。

学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。

A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。

2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。

A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。

A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。

A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。

A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。

题型二：导数与不等式综合不等式的证明：【例1】 当0x ≠时，有不等式（ ）A ．e 1x x <+B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+C ．e 1x x >+D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+【例2】 设0a b <<，且11()xf x ++ ）A ．()()2a b f a f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()2a b f f b f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ． ()()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭【例3】 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+．⑴若2()1x xf x ax '++≤，求a 的取值范围； ⑵证明：0(1)()x f x -≥．【例4】 已知函数32()f x mx nx =+（m 、n ∈R ，0m ≠），函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行．⑴ 用关于m 的代数式表示n ； ⑵ 求函数()f x 的单调递增区间；⑶ 若12x >，记函数()y f x =的图象在点1(())M x f x ，的切线为l ，设l 与x 轴的交点为2(0)x ，，证明：2x ≥3．【例5】 设函数()2f x x a =-．⑴ 求函数()()g x xf x =在区间[]0,1上的最小值；⑵ 当0a >时，记曲线()y f x =在点()()11,P x f x (1x a >处的切线为l ，l 与x 轴交于点()2,0A x ，求证：12x x a >>【例6】 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．【例7】 已知函数2()ln f x x x ax =+-．⑴若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；⑵设11n a n=+（*n ∈N ），求证：22212123()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++L L ．【例8】 已知函数()()x f x xe x -=∈R⑴求函数()f x 的单调区间和极值；⑵已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．【例9】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++L ≥．【例10】 设函数()1x f x e -=-．⑴证明：当1x >-时，()1xf x x +≥； ⑵设当0x ≥时，()1xf x ax +≤，求a 的取值范围．【例11】 已知函数()f x x =，()ln g x a x =，a ∈R ．⑴若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； ⑵设函数()()()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a φ的解析式；⑶对⑵中的()a φ和任意的0a >，0b >，证明：()()222a b a b ab a b φφφφ''++⎛⎫⎛⎫'' ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≤≤．【例12】 已知函数ln ()()x af x a x+=∈R ， ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --=平行，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间和极值；⑶当1a =，且1x ≥时，证明：()1f x ≤．【例13】 已知函数1()ln(1)(1)nf x a x x =+--，其中*n ∈N ，a 为常数．⑴当2n =时，求函数()f x 的极值；⑵当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有()1f x x -≤．【例14】 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【例15】 设a 为实数，函数()22x f x e x a =-+，x ∈R ．⑴求()f x 的单调区间与极值；⑵求证：当ln21a -＞且0x >时，21x e x ax >-+2．【例16】 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用a 表示b ，并求b 的最大值；⑵求证：()()f x g x ≥（0x >）．【例17】 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．⑴当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；⑵求函数()f x 的极值点；⑶证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．【例18】 设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．⑴求函数8()()y f x g x =-的单调区间；⑵求证：①当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；②有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．【例19】 已知21()ln(1)()2f x xg x ax bx =+=+，．⑴若2b =，且()(1)()h x f x g x =--存在单调递减区间，求a 的取值范围；⑵若01a b ==，时，求证()()0f x g x -≤对于(1)x ∈-+∞，成立； ⑶利用⑵的结论证明：若0x y <<，则ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+．【例20】 已知函数()f x 是定义在[)(]e 00e -U ，，上的奇函数，当(]0e x ∈，时，()ln f x ax x =+（其中e 是自然对数的底，a ∈R ）⑴求()f x 的解析式； ⑵设ln ()x g x x=，求证：当[)e 0x ∈-，，1a =-时，1()()2f xg x >+． ⑶是否存在负数a ，使得当[)e 0x ∈-，时，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．【例21】 已知函数22()ln ()f x x a x x x=++>0，()f x 的导数是()f x '．对任意两个不等的正数1x 、2x ， 证明：⑴当0a ≤时，1212()()22f x f x x x f++⎛⎫> ⎪⎝⎭；⑵当4a ≤时，1212|()()| ||f x f x x x ''-> -．。

学而思高中完整讲义：三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版题型一：与三角恒等变换的综合题【例1】 函数2π()sin 24f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是 ．【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，．⑴求()f x 的值域；⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =，c 求a 的值．【例3】 已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围；⑵当tan 2α=时，()35f x =，求m 的值．【例4】 已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；⑵若06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos2x 的值．【例5】 已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示．⑴求,ωϕ的值；⑵设()()4πg x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．【例6】 已知函数()22sin 2sin cos cos f x x a x x x b =+⋅++02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[,2]，求a 、b 的值．【例7】 已知函数21cos cos 12y x x x =⋅+，R x ∈．（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例8】 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22ππϕ-<<），其部分图象如图所示． ⑴求()f x 的解析式； ⑵求函数()44ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值．【例9】 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,13π⎛⎫⎪⎝⎭．⑴求实数a 、b 的值；⑵若0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值及此时x 的值．【例10】 设函数1()cos cos sin 22πf x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期； ⑵当0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例11】 已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【例12】 已知函数22()2sin cos sin cos ()2222R x x x xf x a a =+-∈⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式；⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos 21sin 2xx+的值．题型二：与二次函数的综合题【例13】 已知4πx ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值【例14】 求函数222sin cos y x x =--的最大值和最小值。

题型一：算法的含义 【例1】 下面对算法描述正确的一项是（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，结果必然不同【例2】 关于算法的说法中，正确的是（ ）A ．算法就是某个问题的解题过程B ．算法执行后可以产生不确定的结果C ．解决某类问题的算法不是唯一的D ．算法可以无限地操作下去不停止【例3】 下面四种叙述能称为算法的是（ ）A ．在家里一般是妈妈做饭B ．做米饭要需要刷锅．添水．加热这些步骤C ．在野外做饭叫野炊D ．做饭必需要有米【例4】 下面的结论正确的是（ ）A ．一个程序算法步骤是可逆的B ．一个算法可以无止境的运算下去C ．完成一件事的算法有且只有一种D ．设计算法要本着简单方便的原则【例5】 算法的有穷性是指（ ）A ．算法最后包含输出B ．算法的每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上都不正确【例6】 指出下列哪一个不是算法 （ ）A ．解方程260x -=的过程是移项和系数化为1B ．从济南到温哥华需要先乘火车到北京，再从北京乘飞机到温哥华C ．解方程2210x x +-=D ．利用公式2πS r =，计算半径为3的圆的面积为2π3⨯【例7】 看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ）A ．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B ．解一元一次方程的步骤是去分母．去括号．移项．合并同类项．系数化为1C ．方程210x -=有两个实根D ．求12345++++的值，先计算123+=，再由于336+=，6410+=，10515+=，最终结典例分析板块一.算法的含义与描述果为15【例8】不能描述算法的是（）A．流程图B．伪代码C．数据库D．自然语言【例9】早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）．刷水壶（2min）．烧水（8min）．泡面（3min）．吃饭（10min）．听广播（8min）几个步骤，下列选项中最好的一种算法为（）A．s1洗脸刷牙s2刷水壶s3烧水s4泡面s5吃饭s6听广播B．s1刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭s5听广播C．s1刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭的同时听广播D．s1吃饭的同时听广播s2泡面s3烧水的同时洗脸刷牙s4刷水壶【例10】已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算22=+；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；c a b③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是（）A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③题型二：算法分析（自然语言与数学语言）【例11】算法：S1 输入nS2 判断n是否是2，若2n>，则执行S3n=，则n满足条件，若2S3 依次从2到1n-检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是（）A．质数B．奇数C．偶数D．约数【例12】“鸡兔同笼“是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个这类问题的通用算法．【例13】某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼．羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜，设计安全过河的算法．【例14】人鬼过河现在河的岸边有三个人和三个鬼，河上只有一条小船，船上最多能坐两个“人”，在河的任何一边，当鬼的个数比人多时，鬼就会吃掉人．请问如何才能使人和鬼都平安的到达对岸．【例15】现在有三个油瓶，分别能装8kg．5kg．3kg的油，当8kg的瓶子装满油时，设计一个用这三个瓶子倒油的算法，怎样倒能使这些油被平分到两个瓶子里．（注：没有其它瓶子）【例16】设计一个算法求解方程组37 4513 x yx y+=⎧⎨+=⎩【例17】用二分法设计一个求方程220x-=的近似根的算法．【例18】分别用自然语言．数学语言写出对任意四个整数a．b．c．d，求出最小值的算法．【例19】某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣．计算客户应付货款的算法步骤如下：S1 输入订单数额x（单位：件）；输入单价A（单位：元）；S2 若250x<，则折扣率0d=；若250500x<≤，则折扣率0.05d=；若5001000x<≤，则折扣率0.10d=；若1000x≥，则折扣率0.15d=；S3 计算应付货款()1T Ax d=-（单位：元）；S4 输出应付货款T．已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是．题型三：算法的三种基本逻辑结构与程序框图【例20】流程图中表示判断框的是（）A．矩形框B．菱形框C．圆形框D．椭圆形框【例21】框图与算法相比，下列判断正确的是（）A．程序框图将算法的基本逻辑展现得很清楚B．算法使用自然语言描述解决问题的步骤，程序框图使得这些步骤更为直观C．实质不变，形势变复杂了D．程序框图更接近于计算机理解【例22】尽管算法千差万别，程序框图按逻辑结构分类有（）类A．2 B．3 C．4 D．5【例23】算法的三种基本结构是（）A．顺序结构、选择结构、循环结构B．顺序结构、流程结构、循环结构C．顺序结构、分支结构、流程结构．D．流程结构、循环结构、分支结构【例24】下列关于框图的逻辑结构正确的是（）A．用顺序结构画出电水壶烧开水的框图是唯一的B．条件结构中不含顺序结构C ．条件结构中一定含有循环结构D ．循环结构中一定含有条件结构【例25】 下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是（ ）（1）已知三角形三边长，求三角形的面积；（2）求方程0ax b +=（,a b 为常数）的根；（3）求三个实数,,a b c 中的最大者；（4）求123100++++L 的值．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例26】 已知函数()|3|f x x =-，以下程序框图表示的是给定x 值，求相应的函数值的算法，请将该程序框图补充完整．【例27】 写出下边程序框图的运行结果：否是输出ss=s+i i =i +2i <20s =0i =2结束开始【例28】 如图给出的是计算13599++++L 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）i=i+2T = T + i否i = 1T= 0是输出T结束开始99i <．99i > C ．100i < D ．100i >【例29】 写出右边框图中的运算结果，____S =． a = 2b = 4S=ab +ba输出S结束开始【例30】 写出右面的程序框图所表示的函数．y =1+ x *xy = 2*x +4输出y结束否是x > 0输入x开始【例31】 如右图给出的是计算1112420+++L 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） i=i + 1结束输出S否是n=n +2S=S+1nS =0,i =1,n =2开始C ．20i >D ．20i <【例32】 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A ．4?T > B ．4?T < C ．3?T > D ．3?T <S = S +1T ⋅ i T =T +1i =i+1S =0T =0i =1输出S 否是结束开始【例33】 按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6结束输出k否是x >100?k =k +1x =2x +1k =0输入x开始【例34】 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NB ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬的前11项和()n *∈N D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N 开始0S =2n =1k = 10k ≤ 输出S结束1S S n=+ 2n n =+1k k =+ 是否【例35】 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138输出y x y = z x = yz<20z = x +yx =1, y =1否是结束开始【例36】 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题结束输出 ai = i +1否是a = 1- 1a i ≥ 2010a = 2 , j = 1开始A ．1-B ．1C ．2D ．12【例37】 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________． 结束输出 ai = i +1否是a = 1- 1a i ≥ 20a = 2 , j = 1开始【例38】 如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是 ．S=S+nn=n+1n=1S=0n 10否是输出S 结束开始【例39】 右边程序框图的程序执行后输出的结果是 ．n=n+2S=0n=1S=S+nn 50否是输出S 结束【例40】 执行如图程序框图，输出S 的值等于 ．12题图否是输出Si <=4i=i + 1S =S + AA=A + iA=0，S=0，i=1结束开始【例41】 某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ． 【例42】 在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 ．N Y 结束输出 ix > 82i = i +1x = 3x -2i = 0输入 x【例43】 在右面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ）x > 109i = i + 1N Y输出i结束x = 3x -2i = 0输入x开始 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【例44】 执行如图所示的程序框图，输出的T 等于（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30【例45】 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是（ ）A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥D ．11i ≥【例46】 执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是_________． 否是结束输出yy = e x - 2x > 2x = xx = 16开始【例47】 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ） C ．16k < D ．8k ≥【例48】 若某程序的框图如图，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为 ． 开始S =0MS =S +k 2k k =⨯结束 输出S是 否k =1y=4xy=1y=x 2x < 1x > 1Y YNN 结束输出y输入x开始【例49】 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．B ．0C ．1D ．2x=1,x =an ≤4否是n=n+1x=2x+1输出x 结束开始【例50】 右面的程序框图，如果输入三个实数a ．b ．c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） x c > C ．c b > D ．b c >x =cx =b输出xb >xx =a输入a , b , c否否是是结束开始【例51】 某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）．随机选择了50位老人的进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表．序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值 （i G ） 频数 （人数） 频率（i F ）1 [4，5)4.5 6 0.12 2 [5，6)5.5 10 0.20 3 [6，7)6.5 20 0.40 4 [7，8)7.5 10 0.20 5 [8，9]8.5 4 0.08 S 的值是 ．i i ≥ 5?S+G i ×F i S ,F iG i i i +110S N Y输出S输入结束开始【例52】 执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．n =n +1S =S +12n S < p ?n =1, S =0输入 p输出m 否是结束开始【例53】 阅读如图的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）否i ＝i + 1输出a ，in 整除a ？a ＝m x ii = 1输入m ，n结束开始【例54】 执行右边的程序框图，输出的T = ．输出TT = T+nn = n+2S =S+5S=0 ,T=0, n=0T > S 否是结束开始【例55】 阅读右面的程序框图，则输出的S =（ ）A ．26B ．35C ．40D ．57输出Si >5?i = i+1S=S+TT = 3i -1S =0 , i =1否是结束开始【例56】 随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12n a a a L ，，，．则如图所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ． （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”）i =i +1S =(i -1)×S+a ii 否是开始结束输 出 Si ≤ n ? S=0, i=1输入 n ,a 1,a 2,...,a n【例57】 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7k=k+1S=S+2SS <100?S=0k=0输出k否是结束开始【例58】 如果执行右边的程序框图，输入2x =-，0.5h =，那么输出的各个数的和等于（ ）D ．4.5x ≥ 2输出 yx = x + hy = 1y = x y = 0x<1x < 0输入x, h否否否是是是结束开始【例59】 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ．开始T ←9，S ←0输出T ，S否是T ≤19T ←T +1输出a结束【例60】 阅读右边的程序框图，若输出s 的值为7-，则判断框内可填写( )A ．3?i <B ．4?i <C ．5?i <D ．6?i <否是结束输出 ss =s -ii =i +2s =2i =1开始【例61】 某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为( ) B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >否是结束输出SS =2S +kk =k +1S =1，k =1开始【例62】 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出x =__ __．开始x =1x=x +1x 是奇数x=x +2x >8?输出x结束是否否【例63】 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5结束输出i否是s>11?i=i+1s=s+aa =i ∙2at =1s =0开始【例64】 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x （单位：吨）．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，分别为1，2，则输出的结果s 为 ．开始输入 n,x 1,x 2,…x ns 1=0,s 2=0,i =1i ≤ n输出s结束i=i +1s =1i s 2-1i s 12()s 1=s 1+x i s 2=s 2+x i 2是否【例65】 如果执行右面的程序框图，输入正整数,n m ，满足n m ≥，那么输出的p 等于（ ）A ．1C mn - B ．1A m n - C ．C m n D ．A m n 开始输入 n,mk =1,p =1p=p (n-m+k )k<m 输出pk=k+1结束是否【例66】 如果执行下面的框图，输入5N =，则输出的数等于( )否是k =k +1结束输入Sk <NS =S +1k (k +1)k =1,S =0输入N开始 A ．4 B ．45 C ．65 D ．56【例67】 下面程序框图所表示的算法的功能是（ ）A ．计算11112349++++L 的值B ．计算11113549++++L 的值 C ．计算11113599++++L 的值 D ．计算11112399++++L 的值 第9题图否是结束输出Si=i+1n=n+2S=S+1n i>50S=0,n=1,i=1开始【例68】 右图是一个程序框图，其中判断框①处缺少一个判断条件，②为一输出框．⑴若在①处填空“2009n =”，请求出在输出框②处输出的y 的值； ⑵若在①处填空“2008②处输出的n 的值．是否否是结束②输入x=4,y=2,n=1x=x+3n=n+1①y=y+2x=4xn=n+1n 为偶数开始【例69】 程序program-3的任务为输入100个产品的内径尺寸数据，并找出其中的最值．该程序流程图如下，否是否否是是结束输出M1 , M2值i = i +1(2)(1)M2 < aM1 < a输入a 值i < 100M1= a , M2 = a , i = 1输入 a 值开始；（2）________．程序program-3执行完毕，M1，M2的输出值中是最大值的是______．【例70】 任意给定一个正数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的周长，并画出程序框图．【例71】 半径为r 的圆面积计算公式为2πS r =，写出计算圆面积的算法，并画出框图．【例72】 画出计算123⨯⨯的程序框图．【例73】 分别用数学语言和程序框图写出计算13579++++的算法．【例74】 三角形的面积公式12S ah =，用算法描述求7.18.5a h ==，时的三角形面积， 并画出算法的程序框图．【例75】 设计一个算法计算ABC ∆的面积，并画出算法的程序框图．【例76】 画出求1220⨯⨯⨯L 的程序框图．【例77】 画出求123100++++L 的程序框图．【例78】 写出计算3333123100++++L 的值的一个程序框图．【例79】 写出求解一般的二元一次方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的程序框图。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四三角函数一、选择题（每题4分，共10题）1．下列不等式中，正确的是 （ ） A.sin 57 π＞sin 47 π B.tan 158 π＞tan(－π7 )C.sin(－π5 )＞sin(－π6 )D.cos(－35 π)＞cos(－94π)2．已知cos(π＋θ)＝－45 ，θ是第一象限角，则sin （π＋θ）和tan θ的值分别为（ ）A. 35 ，－34 B.－35 ，34 C.－35 ，－34D.－35 ，－433．函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象，可由y ＝sin x 的图象经过下述哪种变换而得到( )A.向右平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移π6 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13 倍D.向左平移π6 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标缩小到原来的13倍4．已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜π2)的图象，那么 ( )A.ω＝1011 ，ϕ＝π6B.ω＝1011 ，ϕ＝－π6C.ω＝2，ϕ＝π6D.ω＝2，ϕ＝－π65．设A 是第三象限角，且|sin A 2 |＝－sin A 2 ，则A2 是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6．如果｜x ｜≤π4，那么函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为 （ ）A. 2－12B. 1－22 C.－2＋12D.－17.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a 、b 、α、β均为非零实数，若f (1988)＝3，则f (2002)的值为 ( )A.1B.5C.3D.不确定8.在函数y ＝｜tan x ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是( )A.1B.2C.3D.49．在［0，2π］上满足sin x ≥12 的x 的取值范围是( )A.［0，π6］B.［π6 ，5π6 ］C.［π6 ，2π3］D.［5π6，π］10．函数y ＝sin(2x ＋5π2 )的图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝5π4B.x ＝π2C.x ＝π8D.x ＝π4二、填空题（每题4分，共5题）1．已知扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为8 cm ，则扇形的面积为_________cm 2. 2．已知α是第三象限角，则sin （cos α)·cos(sin α) 0（>,<,=）3.︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ= 4．求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.5．cos 32 ，－cos 74 ，sin 110的大小关系是 .三、解答题（每题10分，共4题）1．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.2．已知函数f (x )＝2 cos(2x ＋π4 ) x ∈［0，π2］.求f (x )的最大值，最小值.3．已知tan α＝2，求下列各式的值.（1）4sin α－2cos α3cos α＋3sin α (2) 2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α(3) 23sin 2α＋14cos 2α 4．求函数y ＝log 21cos(x ＋π3)的单调递增区间.答案： 一.选择题1.B2.B3.B4.C5.D6.B7.C8.B9.B 10.B 二.填空题1. 42. 解：∵α是第三象限角3. 233 4. （－∞，13］∪［3，+∞)∴－1＜cos α＜0，－1＜sin α＜0， ∴sin(cos α)＜0，cos(sin α)＞0. ∴sin(cos α)·cos(sin α)＜0 5. cos 32 <sin 110 <－cos 74三.解答题1．解：∵cos(105°－α)＝cos ［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－13sin(α－105°)＝－sin ［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α) ∵cos(75°＋α)＝ 13＞0又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角 ∴sin （75°＋α)＝－1－cos 2（750＋α）＝－1－（13 ）2 ＝－223∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13 ＋223＝－1＋2232.解：∵0≤x ≤π2 .∴π4 ≤2x ＋π4 ≤45当2x ＋π4 ＝π4 时,cos(2x ＋π4 )取得最大值22；当2x ＋π4 ＝π时，cos(2x ＋π4 )取得最小值－1.∴f (x )在［0，π2 ］上的最大值为1，最小值为－2 .3.解：（1）∵cos α≠0∴ 原式＝4sin α－2cos αcos α3cos α＋3sin αcos α＝4tan α－23＋3tan α ＝23(2)∵cos 2α≠0∴2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α ＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝57(3) 23 sin 2α＋14cos 2α ＝23sin 2α＋14cos 2α sin 2α＋cos 2α ＝23 tan 2α＋14tan 2α＋1＝712.4. 解：依题意得π3，2kπ＋π6)(k∈Z)解得x∈［2kπ－。

第十四章三角函数综合测试题-学而思培优本次测试题主要考察同学们在三角函数的基本概念、公式推导和应用方面的掌握程度。

考试试卷分为选择题和填空题两部分，共计30道试题，满分100分。

其中选择题分值2分，填空题分值4分。

选择题1. 已知直角三角形中一条直角边的正弦为0.8，则斜边长为多少？A. 0.4B. 0.5C. 1.0D. 1.252. 已知正弦函数$y=2\sin x$的振幅为2，则函数$y=\cos(x-\frac{π}{2})$的振幅为多少？A. 1B. 2C. $2\sqrt{2}$D. $\sqrt{2}$3. 已知$\sin\alpha=-\frac{1}{3}$，$\alpha$在第四象限，则$\cos\alpha$的值是多少？A. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$B. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$4. 函数$y=2\sin(x+\frac{π}{3})$的最大值为多少？A. 2B. $\sqrt{3}$C. 2$\sqrt{3}$D. 45. 函数$y=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{π}{6})$的最小值为多少？A. 0B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. 1填空题1. 已知$\cos\alpha = \frac{4}{5}$，$\alpha$为第一象限角，则$\sin\alpha$ = \_\_\_\_。

2. 已知$\tan\beta = \frac{3}{4}$，$\beta$为第三象限角，则$\cos\beta$ = \_\_\_\_。

3. 函数$y=2\sin(2x-\frac{π}{6})$的周期为 \_\_\_\_。

4. 已知函数$f(x)=3\cos x$，则函数$f(-x)=$\_\_\_\_。

高中三角函数练习题附答案一、填空题1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.2．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为______ 4．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________. 5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.7．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号）8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．9．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 10．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．二、单选题11．函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ） A ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ）A B C D 13．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．已知sin 0.1a =，0.3πb =，20.9πc =，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5416．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．317．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16318．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()(2cos 2g x x =．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A．BC． D19．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3420．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB．C．D．三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.23．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小；（2）求BCD ∆面积的最大值.24．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.25．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.26．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.27．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．28．已知函数()2sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.29．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围. 30．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.【参考答案】一、填空题1．72．①③3．354．①②④526．②④⑤ 7．①②③8391010．80π 二、单选题 11．B 12．D 13．A 14．A 15．B 16．C17．A 18．D 19．A 20．C 三、解答题21．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难. 22．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3θ=时，()min 33f θ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.23．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题. 25．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.26．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可； （2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数. 【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.27．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =．（2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 242x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题. 28．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题 29．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.30．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.【解析】 【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=，故123x x π+=.【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．。

不等式恒成立的问题【例1】 设函数3()31f x ax x =-+（x ∈R ），若对于[]11x ∈-，，都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为（ ）A ．[4)+∞，B ．(4]-∞，C ．4D ．[24]，【例2】 设()321252f x x x x =--+，当[]12x ∈-，时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【例3】 设函数329()62f x x x x a =-+-，对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值．【例4】 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值，若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．【例5】 设函数()f x =21x e x ax ---．⑴若0a =，求()f x 的单调区间；⑵若当0x ≥时0()f x ≥，求a 的取值范围．【例6】 已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值．⑴求,a b 的值及函数()f x 的单调区间；⑵若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围．【例7】 已知函数1()1ax x f x e x -+=-， ⑴设0a >，讨论()y f x =的单调性；⑵若对任意(01)x ∈，恒有()1f x >，求a 的取值范围．【例8】 已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且1a -≤． 典例分析板块四.导数与其它知识综合⑴当1a =-时，求()f x 在2[e ,e ]（e 2.71828=L ）上的值域； ⑵若()e 1f x -≤对任意2[e ,e ]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【例9】 已知函数32()3f x ax bx x =+-(,)a b ∈R ，在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值； ⑶若过点(2,)M m (2)m ≠，可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【例10】 已知函数()()21ln 1f x a x ax =+++．⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵设1a <-．如果对任意1x ，()20x ∈+∞，，()()12124f x f x x x --≥，求a 的取值范围．【例11】 已知函数22()(1)x b f x x -=-， ⑴求导函数()f x '；⑵当3b =时确定()f x 的单调区间与极值．⑶若0b <，且1()3f x >-在定义域上恒成立，求b 的取值范围．【例12】 函数()()ln ln x f x ae g x x a ==-，，其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．⑴求函数()y g x =的解析式．⑵若关于x 的不等式()x m x g x ->m 的取值范围．【例13】 设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．⑴求()f x 的最小值()h t ；⑵若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．【例14】 设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1(1))A f ，，(())B m f m ，处的切线的斜率分别为0a -，，⑴求证：01b a <≤； ⑵若函数()f x 的递增区间为[]s t ，，求|s t -|的取值范围．⑶若当x k ≥时（k 是与a b c ，，无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值．【例15】 设函数()e e x x f x -=-．⑴证明：()f x 的导数()2f x '≥；⑵若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．【例16】 已知函数2()2ln f x x x a x =++，⑴若函数()f x 在区间(01]，上恒为单调函数，求实数a 的取值范围； ⑵当1t ≥时，不等式(21)2()3f t f t --≥恒成立，求实数a 的取值范围．【例17】 设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a ，b ∈R ．⑴当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； ⑵若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围．⑶若对于任意的[22]a ∈-，，不等式()1f x ≤在[11]-，上恒成立，求b 的取值范围．【例18】 已知函数11()f x a x =-(00)a x >>，． ⑴ 求证：()f x 在(0)+∞，上是增函数；⑵ 若()2f x x ≤在(0)+∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶ 若()f x 在[]m n ，上的值域是[]()m n m n <，，求a 的取值范围．【例19】 设函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数． ⑴已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；⑵已知不等式2()1f x x x a '>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．【例20】 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=> ⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若当0x >时，()1k f x x >+恒成立，求正整数k 的最大值．【例21】 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．⑴令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+∞，内的单调性并求极值； ⑵求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【例22】 设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 若当111x e e⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围； ⑶ 若关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[02]，上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．【例23】 已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，⑴求()f x 的单调区间；⑵证明对任意12(11)x x ∈-，，，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．【例24】 已知函数()ln a f x x x =-， ⑴求函数()f x 的单调增区间；⑵若函数()f x 在[1e]，上的最小值为32，求实数a 的值． ⑶若函数2()f x x <在(1)+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围．【例25】 函数()y f x =在区间(0)+∞，内可导，导函数()f x '是减函数，且()0f x '>．设0(0)x ∈+∞，，y kx m =+是曲线()y f x =在点00(())x f x ，处的切线方程，并设函数()g x kx m =+． ⑴用0x 、0()f x 、0()f x '表示m ；⑵证明当(0)x ∈+∞，，()()g x f x ≥；⑶若关于x 的不等式223312x ax b x ++≥≥在[0)+∞，上恒成立，其中a b ，为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系．不等式的其它问题：【例26】 设函数()xe f x x= ⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若0k >，求不等式()(1)()0f x k x f x '+->的解集．【例27】 设函数2()1f x x ax =+，其中0a >，⑴解不等式()1f x ≤；⑵求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【例28】 已知函数()2ln p f x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑶设函数2()e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立， 求实数p 的取值范围．【例29】 已知a 是实数，函数()()f x x x a =-．设()g a 为()f x 在区间[]02，上的最小值． ⑴求()g a 的表达式．⑵求a 的取值范围，使得6()2g a --≤≤．。

题型四：函数的最值【例1】 函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值和最小值分别是（ ）A ．11-，B ．117-，C ．317-，D ．919-，【例2】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37-【例3】 设函数1()22(0)f x x x x=+-< 则()f x 的最大值为 ．【例4】 函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-【例5】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数【例6】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为 ．【例7】 设函数()y f x =在()-∞+∞，内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x K f x Kf x K ⎧=⎨>⎩≤， 取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，，恒有()()K f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【例8】 下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点D ．函数()f x 在区间()a b ，上一定存在最值【例9】 函数42()25f x x x =-+在区间[22]-，上的最大值是 ；最小值是 ．典例分析板块三.导数的应用【例10】 对于函数22e ,0()12,02x x x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e-； ②函数()f x 的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(,1]-∞-上为减函数，在(0,1]上也为减函数．其中正确命题的序号是 ．【例11】 已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．【例12】 已知32()21f x x bx cx =+++在区间[]12-，上是减函数，那么2b c +（ ） A ．有最大值152- B ．有最大值152 C ．有最小值152- D ．有最小值152【例13】 求32()395f x x x x =--+在[44]-，上的最大值和最小值．【例14】 已知函数24()f x x x=+． ⑴ 求函数()f x 的单调递减区间；⑵ 当[14]x ∈，时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例15】 已知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．【例16】 已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．【例17】 已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？【例18】 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1(1))f ，处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-．⑴求a ，b ，c 的值；⑵求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[13]-，上的最大值和最小值．【例19】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【例20】 已知函数()3239f x x x x a =-+++，⑴ 求()f x 的单调递减区间；⑵ 若()f x 在区间[]22-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【例21】 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，，．⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值； ⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【例22】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； ⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性；⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【例23】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．⑴求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； ⑵设0a >，225()e 4x g x a ⎛⎫=+⎪⎝⎭．若存在12[04]ξξ∈，，使得12()()1f g ξξ-<成立， 求a 的取值范围．【例24】 已知函数247()2x f x x-=-，[01]x ∈，． ⑴求()f x 的单调区间和值域； ⑵设1a ≥，函数32()32g x x a x a =--，[01]x ∈，．若对于任意1[01]x ∈，，总存在0[01]x ∈，，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．【例25】 已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，，且()f x 有极值．⑴求实数a 的取值范围；⑵求函数()f x 的值域；⑶函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ∀∈，，0(1)x e ∃∈，，使得01()()g x f x =成立．【例26】 已知函数()()1ln 1a f x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【例27】 设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>⑴当1a =时，求()f x 的单调区间；⑵若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．【例28】 已知函数()ln a f x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值．【例29】 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．⑶求()f x 在区间[]02，上的最大值．【例30】 已知函数()21ln f x x a x x=-+-，0a >． ⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 设3a =，求()f x 在区间21e ⎡⎤⎣⎦，上的值域，其中e=2.71828L 是自然对数的底数．【例31】 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．⑴求导数()f x '；⑵若(1)0f '-=，求()f x 在[22]-，上的最大值和最小值； ⑶若()f x 在(2)-∞-，和(2)+∞，上都是递增的，求a 的取值范围．【例32】 已知函数32()2f x x ax x =+-+，()a R ∈⑴ 若()f x 在()01，上是减函数，求a 的最大值； ⑵ 若()f x 的单调递减区间是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求函数()y f x =图像过点()11，的切线与两坐标轴围成图形的面积．【例33】 设曲线e (0)x y x -=≥在点(e )t M t -，处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积为()S t ， ⑴求切线l 的方程；⑵求()S t 的最大值．【例34】 已知函数323()2f x x mx n =-+，12m <<， ⑴ 若()f x 在区间[11]-，上的最大值为1，最小值为2-，求m 、n 的值； ⑵ 在⑴的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程；⑶ 设函数()f x 的导函数为()g x ，函数2()31()6x g x x F x e ++=⋅，试判断函数()F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．【例35】 在实数集R 上定义运算(1)x y x a y ⊗⊗=+-：（），若()2f x x =，()g x x =，若()()()F x f x g x =⊗．⑴求()F x 的解析式；⑵若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；⑶若53a =，()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．【例36】 已知函数()2()ln 12ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥． ⑴若(2)1f '=，求a 的值；⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值；⑶求函数()f x 的单调递增区间．【例37】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R ⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【例38】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R ⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．【例39】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >． ⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性； ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【例40】 已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围； ⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【例41】 已知函数()ln f x x =-，(0)x e ∈，．曲线()y f x =在点(())t f t ，处的切线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值．【例42】 已知函数()2142f x x =- ⑴写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；⑵设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标．【例43】 函数2()1(00)f x ax a x =->>，，该函数图象在点P 200(1)x ax -，处的切线为l ，设切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M 和N ．⑴将MON ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示为0x 的函数0()S x ； ⑵若1(0)M x ，，函数()y f x =的图象与x 轴交于点(0)T t ，，则1x 与t 的大小关系如何？证明你的结论；⑶若在01x =处，0()S x 取得最小值，求此时a 的值及0()S x 的最小值．【例44】 如图，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象，BA x ⊥轴于点A ，曲线段OMB 上一点2()M t t ，处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ， ⑴若t 已知，求切线PQ 的方程；⑵求QAP ∆的面积的最大值． P QMBA O y x。

必修4三角函数综合测试题及答案详解、选择题1 •下列说法中，正确的是()A •第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. —831°是第二象限角D. —95° 20 , 984° 40 , 264° 40是终边相同的角a n2. 若点(a,9)在函数y= 3x的图象上，贝U tan^的值为()A. 0B.^C. 1D. 3g3. 若|cos g= cosg, |tan g= —tang,则2的终边在( )A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限或x轴上D. 第二、四象限或x轴上4. 如果函数f(x)= sin(册g)(0< g<2 n的最小正周期是T,且当x= 2时取得最大值，那么()nA. T = 2,g= 2 B . T= 1, g=nC. T = 2,n An D. T = 1, 0= 25 .若sin扌—x =—舌'，且n<<2n,贝U x 等于47A.3 nB/6n511C~ n D —冗6 .已知a是实数，而函数f(x)= 1 + asinax的图象不可能是()A .奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 10.函数 f(x)= x — cosx 在(0,+x )内()A .没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点7.将函数y = sinx 的图象向左平移（K0＜杯2 n ）单位长度后，得到 y =nsin x — 6的图象，则.nA ・6 _ 5 nB W 7n C.百11 n D .T8.若 tan 0= 2,…2sin 0—B . 13 C.45 D.59. 函数f(x)= 忌的奇偶性是（111. 已知 A 为锐角，lg（1 + cosA）= m, lg^—COsA= n,则IgsinA 的值是（）B . m — n1D.2（m — n ）n12. 函数f （x ）= 3sin 2x —3的图象为C , 11① 图象C 关于直线x = 12 n 对称；n 5 n② 函数f （x ）在区间—12, 12内是增函数;冗③ 由y = 3sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C ,其中正确命题 的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上） ,.,n 1 n _ M .13. 已知 sin a+ 2 — 3, a€ — 2， 0，则 tan a= ________ .14. 函数y — 3cosx （0W x < n 的图象与直线y — — 3及y 轴围成的图形的面积 为 ________ .15. ________________________________________________________ 已知函数f （x ） — sin （3x+©）（CD >0）的图象如图所示，贝U 3— ________ .16. 给出下列命题：① 函数y — cos |x +才是奇函数； ② 存在实数X ，使sinx + cosx — 2；③ 若a, B 是第一象限角且a < B,则tan a <tan B;八1 A- m + ni i Cim+n④x—81是函数y—sin 2x+于的一条对称轴；n n⑤函数y—sin 2x+ 3的图象关于点衫，0成中心对称. 其中正确命题的序号为__________ .三、解答题17. （10 分）已知方程 sin （a — 3 n 2cos （a — 4n ）sin n — a + 5cos 2 n — a 3n2sin ~2 — a — sin — a18. （12 分）在厶 ABC 中，sinA + cosA ^#，求 tanA 的值.n 319. (12分)已知 f(x) = sin 2x + 6 + 2, x € R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)的单调减区间；⑶函数f(x)的图象可以由函数y = sin2x(x € R)的图象经过怎样变换得到?n20. (12分)已知函数y = Asin@x+©)(A>0,心>0)的图象过点P ^, 0，图象n与P 点最近的一个最高点坐标为 3，5 .的值.(1) 求函数解析式；(2) 求函数的最大值，并写出相应的x的值;(3) 求使y w 0时，x的取值范围.21. （12 分）已知cos _a = . 2cos 3n+ p，_ 3sin 号―a =—慣sin 扌+ B，且0< a<n，0< 仟n，求a, p的值.n n 22. (12 分)已知函数f(x) = x2+2xtan B— 1,x€ [ —1, 3]，其中氏一2, 2 .⑴当皓—塾寸，求函数的最大值和最小值；(2)求B的取值范围，使y=f(x)在区间［—1, 3］上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).必修4三角函数综合测试题答案、选择题1. D；2. D;3.D; 4. A; 5. B6. D；7. D;8. C;9.A; 10. B11 .D;12.C二_ 、填空题13 .—22;14. 3 n 15.32 16. ①④三、解答题17.解〔Sin( a—3n^2cos(a—4 n，•'•—si n(3 — a = 2cos(4 n a).•••-sin( — M = 2cos(—a).•'si n a= — 2cos a 可知 COS aM 0. sin a+ 5cos a• • •原式= '——2cos a+ sin a—2cosa+ 5cos a3cos a—2cos a — 2cos a — 4coS a18 •解・.sinA + cosA =¥，①1两边平方，得2sinAcosA = — 2,n从而知 cosA<0,.・.jA €2, n .•'sinA — cosA = " ■' sinA + cosA 2 — 4sinAcosA由①②，得 sinA =4 , cosA =4sinAl•anA=cosA= — 2—3.2 n19. 解（1）T =~2 =冗.. 冗小 冗〜3 n⑵由 2k 卄 2= 2x + 6< 2k n+~2, k^Z ,n , 2 n得 k n+ 6= x < k n+_3, kZ所以所求的单调减区间为. n , 2 n k n+ 6，k n+~3 (k@).n334.1+1# ②(3) 把y= sin2x的图象上所有点向左平移石个单位，再向上平移2个单位，即得函n 3 数 f(x) = sin 2x + 6 + 2的图象.T n n n 20. 解(1)由题意知 4 = 3— 12= ~4，'T =n.2 n n n •••3= T = 2, 由 w 12 +©= 0, 得 R — 6，又 A = 5,n•'y = 5sin 2x —召. n n (2)函数的最大值为5,此时2x —6= 2k n+ 2(k®).n•'x = k n+ 3(k^Z). n n⑶-5sin 2x — 6 w 0 ,• 2k n — 2x —©w 2k n k ^Z).5 n , n •兀―12 w x w k n+ ^(k .n 321. 解 cos a = , 2cos 2 n+ B,即卩 sin a= , 2sin 辽3si 门号冗一a = — 2sin 2+ B ,即.3cos a= 2cos 迄①2+②2得，2= sin 2 a+ 3cos a.2 2 2又 sin a+ cos a= 1 ,「COS a=又Taq O , n n•B= 6. cos a=— 2 , a=3•a=4，或 4冗. ⑵当 a= ¥时,十5冗/宀「n n 亠 3 n 5 n又R0, n , •/= -Q.综上，a4, A6，或尸N, ^~Q.22. 解⑴当皓—訥寸，f(x) = x2—爭—1= X—尹—4・••xq —1，. 3］，•当x=¥时，f(x)的最小值为一3，当x= —1时，f(x)的最大值为(2)f(x) = (x+tan®2— 1 —tan20是关于x的二次函数.它的图象的对称轴为x=—tan 0••y=f(x)在区间［—1，. 3］上是单调函数，• —an (X —1，或一tan 0》一3，即卩tan0》1，或tan (X —3.n n .…n n n n2，2，••的取值范围是—2，—3 u4，2 .。

高中数学三角函数应用复习题集附答案高中数学三角函数应用复习题集附答案1. 问题描述：已知角A是第一象限角，sinA = 2/3，并且cosB = -1/2，角B是第三象限角，求sin(A+B)和cos(A-B)的值。

解答：由已知条件sinA = 2/3，cosB = -1/2，可以得到以下信息：sinA的值为正，故sinA = 2/3，由此可得cosA的值。

sinA = 2/3cos^2A+sin^2A=1 (三角函数的基本关系式)cos^2A+(2/3)^2=1cos^2A+4/9=1cos^2A=5/9cosA=±√(5/9) (cosA的值可以是正或负，在第一象限cos值为正数)由cosA = ±√(5/9)，可得cosB = -1/2时，sinB的值为负。

cosB = -1/2sin^2B+cos^2B=1 (三角函数的基本关系式)sin^2B+1/4=1sin^2B=3/4sinB=±√(3/4) (sinB的值可以是正或负，在第三象限sin值为负数)知道sinA、cosA和sinB的正负后，我们可以进一步求解sin(A+B)和cos(A-B)的值。

sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB= (2/3)*(-1/2) + (√(5/9))*(√(3/4))= -1/3 + (√15/18)= (√15-6)/18cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB= (√(5/9))*(-1/2) + (√(3/4))*(√(2/3))= -√(5/36) + √(6/12)= -√5/6 + √2/2= (√2-√5)/6综上所述，sin(A+B) = (√15-6)/18，cos(A-B) = (√2-√5)/6。

2. 问题描述：已知在直角三角形ABC中，∠B = 90°，sinA = 3/5，求角C的正弦值。

题型一：向量综合【例1】 设a r ，b r ，c r是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ②a b a b -<-r r r r③()()b c a c a b ⋅-⋅r r r r r r 不与c r垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-r r r r r r 中，真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【例2】 设向量a b r r ，满足：||3a =r ，||4b =r ，0a b ⋅=rr ．以a b a b -r r r r ，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【例3】 ⑴ 已知(13)A ,，()37B ,，(60)C ,，(81)D ,-，求证：AB u u u r⊥CD u u u r ．⑵ 已知(32)a ,=--r ，(44)b ,=r ．求23a b +r r，cos a ,b <>r r ．⑶ 已知(12)a x y ,x y =++-r ，(22)b x y ,x y =-+-r ，若23a b =r r，求x 、y 的值．【例4】 关于平面向量a b c r r r ，，．有下列三个命题： ①若a b a c ⋅⋅r r r r =，则b c =r r ．②若(1)a k =r ，，(26)b =-r ，，a b r r ∥，则3k =-．③非零向量a r 和b r 满足a b a b ==-r r r r，则a r 与a b +r r 的夹角为60︒．其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）【例5】 如图，以原点和(52)A ,为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=︒，求点B 和向量ABu u u r的坐标．典例分析板块四.平面向量的应用【例6】 设(1)A a ，，(2)B b ，，(45)C ，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA u u u r 与OBu u u r在OC u u u r方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=【例7】 已知(,)P x y ，(1,0)A -，向量PA u u u r与(1,1)m =u r 共线.（1）求y 关于x 的函数；（2）是否在直线2y x =和直线3y x =上分别存在一点,B C ，使得满足BPC ∠为锐角时x 取值集合为{|7x x <-7}x >？若存在，求出这样的,B C 的坐标；若不存在，说明理由.【例8】 已知向量,a b r r 满足||||1a b ==r r，且||3|a kb ka b -=+r r r r ，其中0k >.（1）试用k 表示a b ⋅r r ，并求出a b ⋅r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角θ的值；（2）当a b ⋅r r取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+r r 的值最小，并对这一结果作出几何解释.【例9】 已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP u u u r ＝OA u u u r ＋t AB u u u r OP u u u r OA u u u r AB u u u r求：(1) t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2) 四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.【例10】 已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+•-+-•=u u u r u u u r u u u r r,记()y f x =.求函数()y f x =的解析式；【例11】 已知{}|(10)(01)R P a a m m ==+∈r r，，，，{}|(11)(11)R Q b b n n ==+-∈r r ，，，是两个向量集合，则P Q =I （ ）A ．{}(11)，B ．{}(11)-，C ．{}(10)，D ．{}(01)，题型二：与三角函数综合【例12】 已知向量(2cos ,2sin )a θθ=，(,),(0,1)2b πθπ∈=-，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【例13】 已知a b c ，，为ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)m =-u r，(cos sin )n A A =r，．若m n ⊥u r r ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【例14】 已知向量(cos sin )a αα=r ，，(cos sin )b ββ=r ，，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b -r r的夹角的大小是_______．【例15】 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且,2πx π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.⑴求a b ⋅r r 及a b +r r ；⑵求函数()f x a b a b =⋅++r r r r的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值.【例16】 若cos sin αα()，a =，cos sin ββ()，b =，且3k k =-a +b b ，其中0k >．（1）用k 表示g a b ；（2）求当1k =时，a 与b 所成角(0)πθθ≤≤的大小．【例17】 已知向量cos sin θθ()u u r ，m =和2sin cos θθ(-)r，n =，()π2πθ∈，，且825=u u r r m +n ，求cos 2π8θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【例18】 设(1cos sin )αα+r ，a =，1cos sin ββ(-)r ，b =，0(1)r ，c =，(0)πα∈，，(0)πβ∈，，r a 与r c 的夹角为1θ，r b 与r c 的夹角为2θ（1）用α表示1θ；（2）若12π6θθ-=，求sin4αβ+的值．【例19】 已知O 为坐标原点，2(2cos 1)OA x =u u u r ，，32)OB x a =+u u u r ，（R x ∈，R a ∈，a 为常数），若y OA OB =u u u r u u u rg ，（1）求y 关于x 的函数解析式()f x ；（2）若0πx 2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并指出函数()(R)f x x ∈的单调区间．【例20】 在锐角ABC △中，已知2cos 2cos 32cos()A B A B +=++，求角C 的度数．【例21】 设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，向量()13cos sin 2a b αα⎛==- ⎝⎭r r ，，，． ⑴证明：向量a b +r r 与a b -r r 垂直；⑵当22a b a b +=-r r r r时，求角α．【例22】 已知点()2,0A ，()0,2B ，()cos ,sin C αα，且0πα<<．⑴若7OA OC +u u u r u u u r，求OB u u u r 与OC u u u r 的夹角；⑵若AC BC ⊥u u u ru u u r，求tan α的值．【例23】 已知A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，(3cos ,3sin )C αα．⑴若(),0πα∈-且AC BC =u u u r u u u r，求角α的值； ⑵若0AC BC ⋅=u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值．【例24】 已知向量(cos sin )(22)a x ,x ,b ==r r，若85a b ⋅=r r ，且42ππx <<.⑴试求出cos 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭和tan 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；⑵求sin 2(1tan )1tan x x x +-的值.【例25】 设向量()()3sin cos cos cos a x x b x x ==rr，，，，记()f x a b =⋅r r ．⑴求函数()f x 的最小正周期； ⑵画出函数()f x 在区间111212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图，并指出该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？⑶若63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值．【例26】 已知向量33cos sin 22x x a ,⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，cos sin 22x x b ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且02πx ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，⑴求a b ⋅r r 及a b +r r ；⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+r r r r 的最小值是32-，求λ的值．【例27】 设平面上P 、Q 两点的坐标分别是cos ,sin 22x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33cos ,sin 22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．⑴求PQ 的表达式；⑵记()2()4R f x PQ PQ λλ=-∈，求函数()f x 的最小值．【例28】 ,,a b c 为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos ,sin )22C C m =u r ，(cos ,sin )22C Cn =-r ，且m u r 与n r 的夹角为3π，求C ；【例29】 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边；若向量(2,0)m =u r与(sin ,1cos )n B B =-r 的夹角为3π，求角B 的大小【例30】 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B 、3(cos ,sin ),(,).22C ππααα∈（1）若||||AC BC =u u u r u u u r，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值。

【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为()1,3-．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ） A ．π1,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．4π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．4π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1-，若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．3π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5π2,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π2,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【例3】 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ．【例4】 将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为 ．【例5】 圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【例6】 已知曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为πcos 34cos 0,02ρθρθρθ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 、2C 交点的极坐标为 ．【例7】 若直线:30l x y -=与曲线2cos :2sin x a C y φφ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（φ为参数，0a >）有两个公共点,A B ，且||2AB =，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．典例分析板块二.极坐标.学生版【例8】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为πcos13ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，M N，分别为C与x轴，y轴的交点．写出C的直角坐标方程，并求M N，的极坐标．设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．。

组合体【例1】 （2003京春）一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．【例2】 已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则TS等于（ ） A ．19B ．49C ．14D ．13【例3】 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积．【例4】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A ．5π4B ．7π8C ．πD ．7π4【例5】 已知正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120．⑴求正三棱柱的高；⑵求正三棱柱的体积；⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．【例6】 （2008福建15） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．典例分析板块四.综合问题ABCD【例7】 正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积．【例8】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6______．【例9】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．【例10】 （2007年天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积__________．【例11】 （2008浙江卷14）如图，已知球O 的球面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3DA AB BC ===O 点体积等于__________DCBA【例12】 （2007全国文15）正四棱锥S ABCD -2点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_______．O'OH DCBAS【例13】 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．（等边圆锥是指轴截面是等边三角形的圆锥）【例14】 设圆锥的底面半径为2，高为3，求：⑴内接正方体的棱长；⑵内切球的表面积．【例15】 圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12,r r （12r r <）．【例16】 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【例17】 （2009全国卷I ）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120°BAC ∠=，则此球的表面积等于 ．【例18】 （06四川卷文9）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π OD CBAP【例19】 正四面体棱长为a ，求其外接球和内切球的表面积．【例20】 如图所示，正四面体ABCD 的外接球的体积为43π，求四面体的体积．DC BAOO 1【例21】 （2008新课标海南宁夏文理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【例22】 如图，在等腰梯形ABCD 中，22,60AB DC DAB ︒==∠=，E 为AB 的中点，将ADE ∆ 与BEC ∆分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积（ ）DECBAA 43πB 6πC 6πD 6π【例23】 （2008重庆理9）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A ．12VV >B ．22V V <C ．12V V >D ．12V V <【例24】 (2005全国Ⅱ，理12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( ) A 326+ B ．262 C ．264 D 4326+综合问题与三视图、直观图综合【例1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A ．183B ．153C ．2483+D ．24163+左视图俯视图主视图232【例25】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．左视图俯视图主视图232【例26】 （2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）3344366A ．48122+B ．482+C ．36122+D ．36242+【例27】 （2010年丰台一模）若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），侧视图俯视图主视图326则该几何体的体积是 3cm ．【例28】 （2010石景山一模）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ）A ．80B ．60C ．40D ．20【例29】 （2010年东城一模）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．侧（左）视图正（主）视图222211【例30】 （2010年东城一模）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．622+B ．62C ．522+D ．52+俯视图侧视图主视图122111【例31】 （2010年宣武一模）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．1112210题图俯视图左视图正视图【例32】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．左视图主视图俯视图424【例33】 （2010年崇文一模）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为（ ）A ．2324πcm ,12πcmB ．2315πcm ,12πcmC ．2324πcm ,36πcmD ．以上都不正确俯视图侧（左）视图正（主）视图56【例34】 （朝阳·文·题12）如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ．俯视图侧视图正视图【例35】 （2010天津高考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为俯视图22121侧视图正视图121【例36】 （2010浙江高考）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．(第12题)42223242俯视图侧视图正视图【例37】 （2010年崇文二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）2侧（左）视图2正（主）视图 4 俯视图2A ．12B 83C ．563D ．4【例38】 （2010年朝阳二模）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）A ．112B ．80C ．72D ．64俯视图侧视图正视图3444【例39】 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．⑴求该几何体的体积V ； ⑵求该几何体的侧面积S ．68【例40】 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，201010202020主视图左视图俯视图可得这个几何体的体积是_______．【例41】 （2009扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．243【例42】 （2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）2322俯视图侧(左)视图正(主)视图A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【例43】 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 ．俯视图左视图主视图【例44】 （2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．422642侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【例45】 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）．直观图三视图22222222NMFEDCBA⑴求证：MN ∥平面CDEF ；⑵求多面体A —CDEF 的体积．其他问题【例46】 已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为 ．【例47】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（包括上下底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【例48】 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（ ）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==杂题【例49】 （2008江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．【例50】 （2002年全国文最后一题）⑴给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、PP图12图图2中，并作简要说明；⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； ⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．图3图2图1【例51】 （2006江苏）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个【例52】 （06江西卷）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）FDBOA ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．1S ，2S 的大小关系不能确定【例53】 （2004福建，16）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图）． 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大．【例54】（2005全国Ⅱ，理12）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A 326+B．262C．264D4326+【例55】养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．⑴分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；⑵分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；⑶哪个方案更经济些？。