金太阳5月高三理科数学联考试题及答案

【新结构】湖北省2024届高三金太阳5月联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的焦点坐标为()A. B. C. D.2.在菱形ABCD中，，则向量与的夹角为()A. B. C. D.3.已知为等比数列，，且，则的公比q的取值范围是()A. B.C. D.4.若集合，，则()A. B. C. D.5.已知，，某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量单位：克服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为()A.286B.293C.252D.2466.在四面体ABCP中，平面平面PAC，是直角三角形，，，则二面角的正切值为()A. B. C.2 D.7.某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为()A. B. C. D.8.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，若，则()A.1B.C.0D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则()A.的定义域为B.的值域为RC. D.的单调递增区间为10.将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且，则()A. B.在上先增后减C. D.的前n项和为11.已知曲线，曲线，下列结论正确的是()A.M与N有4条公切线B.若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是3C.直线与M，N的交点的横坐标之积为D.若是M上的动点，则的最小值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在复数范围内，方程的解集为__________.13.若一组数据，，，的中位数为16，方差为64，则另一组数据，，，的中位数为__________，方差为__________.14.在空间直角坐标系中，已知，，，，，，则几何体的体积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学5月大联考试题理〔扫描〕2021年5月份大联考 理科数学试题参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或者几种解法供参考，假设考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分参考制定相应的评分细那么.2．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假设假设后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题〔每一小题5分〕 1.B2.B3.D4.C5.A6.C 7.C8.A9.B10.D11.D12.A 二、填空题〔每一小题5分〕13．2－2i14．24x ＋y 2＝115.216.43三、解答题 17．解：(Ⅰ)由ACA CB cos cos sin sin sin 2=-，可得A C A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-， 即B C A A C A C A B sin )sin(sincos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =.6分〔Ⅱ〕由215-=⋅AC BA ，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ．又A bc c b acos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ．那么81)(2=+c b ，即9=+c b ．12分18．〔Ⅰ〕证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，那么EF ∥CD ，EF =CD ．又AB ∥CD ，AB =CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ， 所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE . 由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD . 由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面PAD .4分所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD . 所以BF ⊥平面PCD .6分(Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，那么PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 那么A 〔1,0,0〕，B 〔1，2，0〕，C 〔1，4，0〕，P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，那么0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以11130,0.x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取13x =，那么(3,0,1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，那么0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以22222230,0.x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩取21x =，那么(1,1,3)=--m ；那么15cos ,5⋅<>==m n m n m n ， 所以二面角A PB C --的正弦值为.12分19．解：(Ⅰ)由题意可知，假设选甲题，那么得0分、10分的概率均为0.5，0.5；假设选乙题，那么得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.2分又选择甲或者乙题的概率均为X 的分布列如下：X0 5 7 8 9 10 P于是00.2550.170.0580.290.05100.35 6.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.6分(Ⅱ,Y Z ，那么,Y Z 的分布列分别为Y5 10 Z5 7 8 9 10 PP10分故50.5100.57.5EY=⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此选择方案二更有利于A 同学获得更高的分数.12分20.解：〔Ⅰ〕设l ：x =my +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将x =my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 24my 4=0.2分∵Δ>0，∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4. 那么x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB ⋅=0可得x 1x 2+〔x 1+x 2〕+y 1y 2+1=0，∴m =0. 那么l ：x =1，所以AB =4.6分〔Ⅱ〕由于NFB 与NFA 有公一共底NF ，可得|FB |=2|FA |，由相似可得y 2=－2y 1由〔Ⅰ〕知y 1y 2=2y 12=－4，∴12=2,=22,y y ⎧⎪⎨-⎪⎩或者12=2,=2 2.y y ⎧-⎪⎨⎪⎩9分由y 1+y 2==4m ，得m =－；或者由y 1+y 2==4m ，得m =.故直线l 的方程为4x ±y4＝0．12分21．〔Ⅰ〕解：函数()ln 1(0)g x a x x x =-+>，那么'()g x =1a a xx x--=． 当0a ≤时，'()0g x <,函数()g x 在定义域上单调递减； 当0a >时，由g (x )<0得xa >，此时()g x 单调递减；由g(x )>0得0x a <<，此时()g x 单调递增；综上，当0a ≤时，()g x 单调递增区间为〔0，)∞+；当0a>时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+).4分〔Ⅱ〕证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+．因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立，所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-.∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln121212--+=x x x x x x ．9分由(Ⅰ)得，当1a =时，()ln 10g x x x =-+≤，当且仅当1x =时，等号成立.2221111,ln 10x x xx x x >∴-+<． 又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <．12分选做题22．〔Ⅰ〕直线PC 与圆O 相切．1分证明：连接OC ，OD ，那么∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴=，∴∠BOD =90°，即∠OED +∠ODE =90°． ∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ． ∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°， ∴直线PC 与圆O 相切．5分〔Ⅱ〕解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC AC EB AE ， EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =．10分23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x+y2=1，其右焦点为〔1，0〕，而直线l过该点，所以直线l与曲线C相交. 5分(Ⅱ)将21,222x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入椭圆方程22x+y2=1得3t2+2t2=0，设A，B对应的参数为t1，t2,那么t1t2=－，∴|PA||PB|=.由对称性可知，|PE||PF|＝.∴|PA||PB|＋|PE||PF|＝．10分24．解：〔Ⅰ〕∵|x+3|+|x+2|≥|(x+3)－(x+2)|=1，当(x+3)(x+2)≤0，即3≤x≤－2时取等号，∴a+b+c≤1，即a+b+c 的取值范围是〔∞，1]．5分〔Ⅱ〕∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+b²+c²=(a+b+c)²(2ab+2bc+2ca)≥12(a²+b²+c²)，∴a²+b²+c²≥．10分。

2023届高三5月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}022<--=x x x M ，{}012>+∈=x Z x N ，则=N M （）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛-2321，B .⎥⎦⎤ ⎝⎛-121C .{}2,1,0D .{}1,02.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .13.映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分原则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A 的原始分期间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（）A .91B .92C .93D .94等级原始分占比赋分区间A 3%[91，100]B+7%[81，90]B 16%[71，80]C+24%[61，70]C 24%[51，60]D+16%[41，50]D 7%[31，40]E3%[21，30]4.已知不共线的平面向量b a ,满足a b 2=，()a b a⊥+，则平面向量b a ,的夹角为（）A.6πB .3πC .2πD .32π5.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A .1B .2C .3D .316.学校安排老师到小区对指定的学生进行家访.甲、乙两位老师被安排从A,B,C,D,E 五个小区中各选两个小区进行家访，且甲、乙两位老师选择的小区最多可以有一个相同.若甲必须去A 小区，则甲、乙两位老师不同的安排方法有（）A .48种B .36种C .32种D .24种7.已知函数()x f 在[]2,2-上的图象如图所示，则()x f 的解析式可能是（）A .()x e x f --=22B .()22--=x x x fC .()xex x f -=22D .()()122ln 2-+-=x x x f 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A .28B .36C .64D .89.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，84=a ，3612=S ，则满足n n a S >的正整数n 的最大值为（）A .16B .15C .12D .810.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且位于第一象限，直线PO 与椭圆C 的另一个交点为A ，直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为B .若直线AB 平行于x 轴，且213PF PF =，则椭圆C 的离心率为（）A .21B .22C .23D .4211.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法不正确的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .1B .2C .3D .412.已知正三棱锥ABC S -的底面ABC ∆的中心为O ，M 为棱SC 的中点，⊥OG 平面SAC ，且GM AG 2=.若MAB ∆的面积为6，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积为（）A .π12B .π64C .π26D .π8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，222341+==S a a ，，则等比数列{}n a 的公比为.15.在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）.根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31.设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，过双曲线C 的左焦点F 作圆M ：04222=+++b cx y x 的切线，切点为B ，该切线交双曲线C 的右支于点A ，若FB F A 4=,则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，交C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c C a Cb cos cos 32cos 22+=.（1）若2π≠C ，求a b的值；（2）若32π=C ,ABC ∆的面积为23，求c 的值.18.（12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，G F E ,,分别为棱BC DD AD ，，1的中点，M 为线段G D 1上一点.（1）求证：∥AM 平面CEF ；（2）当12MD GM =时，求二面角C EF M --的正弦值.19.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.20.（12分）已知函数()0ln 12≠--=a x a x ex f ，.（1）求函数()x f 的单调区间；（2）当1=a 时，若关于x 的方程()m x f =（m 为实数）有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，求证：()112+<-m e x x .21.（12分）某公司生产B A ,两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒又12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式.（1）小明看中了A 型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他已经拥有.小明从中随机购买2款，若他购买到1宽他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式的玩偶，积1分.记X 表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X 的分布列和数学期望；（2）五一前，该公司推出D C ,两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买D C ,两种型号盲盒的概率都是21.如果上次购买C 型号盲盒，则这次购买C 型号盲盒的概率为32，购买D 型号盲盒的概率为31；如果上次购买D 型号盲盒，那么这次购买D C ,型号盲盒的概率都为21.如此重复，设一名爱好者第n 次购买C 型号盲盒的概率为n P .（1）求n P ；（2）如果这名爱好者长期购买D C ,型号盲盒，试判断该爱好者购买C 型号盲盒的概率能否达到53.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.D解析：由已知得{}21<<-=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∈=21x Z x N ，∴=N M {}1,0.2.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .3.C解析：根据赋分公式得9110081828287--=--T T，解得935.92≈=T .4.D 解析：设向量b a ,的夹角为θ，∵()a b a ⊥+，∴()0=⋅+a b a ，即2a b a -=⋅，∴2cos a b a -=⋅θ ,∴212cos 22-=⋅-=⋅-=a a a b a aθ.∵[]πθ，0∈，∴向量b a ,的夹角为32π.5.B 解析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x 所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由y x z +=2得z x y +-=2.作出直线x y 2-=，然后平移该直线，当直线经过点()01，A 时，z 取得最大值，即2012max =+⨯=z .6.B解析：（1）若甲、乙两位老师选择的家访小区完全不同，则有2314C C 种安排方法.（2）若甲、乙两位老师选择的家访小区有一个相同：①若甲、乙两位老师选择了A 小区，则有24A 种安排方法；②若甲、乙两位老师选择的相同小区不是A 小区，则有1314C C 种安排方法.综上，甲、乙两位老师不同的安排方法有361314242314=++C C A C C 种.7.C解析：由题图知函数()x f 的图象关于y 轴对称，∴函数是偶函数，故排除A；对于B，()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=0,20,222x x x x x x x f ，虽然函数()x f 为偶函数且在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛221上单调递增，但()02=f ，与图象不吻合，排除B；对于D，∵()()()x f x x x f -=-+-=122ln 2，∴函数()x f 是偶函数，但()012ln 2<-=f ，与图象不吻合，排除D；对于C，函数()x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，下面只分析y 轴右侧部分.当()+∞∈,0x 时，()xe x xf -=22，()xe x xf -='4，令()xe x x -=4ϕ，求导得()xe x -='4ϕ.当()4ln ,0∈x 时，()0>'x ϕ，()x f '单调递增，当()2,4ln ∈x 时，()0<'x ϕ，()x f '单调递减，∴()x f '在4ln =x 处取得最大值.又∵()00<'f ，()04ln >'f ，()02>'f ，∴()4ln ,00∈∃x ，使得()00='x f ,当()0,0x x ∈时，()0<'x f ，()x f 为减函数，当()2,0x x ∈时，()0>'x f ，()x f 为增函数，与图象吻合，故选C.8.A解析：如图，在棱长为4的正方体中，C 为棱的中点，三棱锥BCD A -即为该几何体.其中ABD ∆为直角三角形，BD AB BD AB ⊥==，，424，∴其面积为2824421=⨯⨯；BCD ∆为等腰三角形，4==BD CD BC ，，点C 到边BD 的距离为4，∴其面积为84421=⨯⨯；ABC ∆为等腰三角形，2452===AB AC BC ，，∴点C 到边AB 的距离为32，∴其面积为64243221=⨯⨯；ACD ∆为等腰三角形，3452===AD CD AC ，，∴点C 到边AD 的距离为22，∴其面积为64243221=⨯⨯；综上，该几何体各个面中面积最大的面为ABD ∆，其面积为28.9.B解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+3666128311d a d a ，解得⎩⎨⎧-==2141d a ，∴n n S n a n n 152162+-=-=，.由n n a S >得n n n 216152->+-，即016172<+-n n ，解得161<<n ，∴正整数n 的最大值为15.10.B 解析：由椭圆的对称性，知点A 与点P 关于原点对称.∵直线AB 平行于x 轴，∴点B 与点A 关于y 轴对称，∴点P 与点B 关于x 轴对称，即2PF ⊥x 轴，∴a b PF 22=.又213PF PF =，∴a b PF 213=.又a PF PF 221=+，∴a b a b a 2232+=，即2122=a b ，∴椭圆C 的离心率22122=-==ab ac e .11.C 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选C.12.A 解析：如图，连接SG 并延长交AC 于点D ，连接BD ∵GM AG 2=，∴M G A ,,三点共线，且GM AG 2=.又∵AM 为SAC ∆的中线，∴G 为SAC ∆的重心，∴D 为AC 的中点，且GD SG 2=.又O 为正三角形ABC 的中心，∴B O D ,,三点共线，且OD BO 2=，∴BS OG ∥，且BS OG 31=，∵⊥OG 平面SAC ，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA BS SC BS ⊥⊥，.又∵三棱锥ABC S -为正三棱锥，∴SA SC ⊥.设a SA 2=，则a MB MA a AB 522===，.在MAB ∆中，512cos 222=⋅⋅-+=∠MB MA AB MB MA AMB ，∴562sin =∠AMB ，∴265625521sin 21a a a AMB MB MA S MAB =⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆，即662=a ，解得1=a .由SB SA SB SC SA SC ⊥⊥⊥，，,且2===SC SB SA ，知正三棱锥ABC S -的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，棱长为2的正方体的体对角线长32即为外接球的直径，∴正三棱锥ABC S -的外接球的半径3=R ，表面积为ππ1242=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.3解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，由2234+=S a 得()22211131+++=qa q a a q a .又21=a，∴032223=---q q q ，即0323223=--+-q q q q ，∴()()0132=++-q q q ，解得3=q .15.72973解析：由题意，乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局比赛.若再比赛四局乙获胜，则概率为811314=⎪⎭⎫⎝⎛，若再比赛五局乙获胜，则概率为24383132414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯C ，若再比赛六局乙获胜，则概率为7294031324225=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C .综上，一在第一局负的情况下获胜的概率是72973729402438811=++.16.5解析：圆M ：04222=+++b cx y x 可化为42222a y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2c M ，半径2a r =.连接BM ，则AF BM ⊥.设双曲线C 的离心率为e ，右焦点为F '，连接F A '.∵c F F c FM 22='=，，∴41='F F FM .又FB F A 4=,∴41=F AFB ，∴F AFBF F FM ='，∴A F MB '∥，∴a MB A F 24=='，︒='∠90AF F ，即AF F A ⊥'.根据双曲线的定义，得a a A F F A 42=+'=.在F AF Rt '∆中，由勾股定理得222F F A F F A'='+，∴()()()222224c a a =+，即225c a =，∴5222==e ac ，∴双曲线C 的离心率为5.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由A c C a Cb cos cos 32cos22+=得()A c C a C b cos cos 3cos 1+=+.由正弦定理得：()A C C A C B cos sin cos sin 3cos 1sin +=+,∴()C A C A C B B ++=+sin cos sin 2cos sin sin ,∵()B C A sin sin =+，∴C A C B cos sin 2cos sin =.∵2π≠C ，∴0cos ≠C ，∴A B sin 2sin =，∴a b 2=，∴2=ab.（2）由（1）知a b 2=.∵32π=C ,ABC ∆的面积为23，∴232332sin 212==a ab π，解得12=a ，即1=a ，∴22==a b .由余弦定理得724132cos2222=++=-+=πab b a c ，∴7=c .18.解：（1）如图，连接AG AD ，1，∵F E ,分别为棱1DD AD ，的中点，∴EF AD ∥1.∵⊄1AD 平面CEF ，⊂EF 平面CEF ，∴1AD ∥平面CEF ，∵BC AD ∥，且BC AD =，G E ,分别为棱BC AD ，的中点，∴CG AE ∥且CG AE =，∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE AG ∥.∵⊄AG 平面CEF ，⊂CE 平面CEF ，∴AG ∥平面CEF .又∵A AG AD = 1，⊂AG AD ,1平面G AD 1，∴平面G AD 1∥平面CEF .∵⊂AM 平面G AD 1，∴∥AM 平面CEF .（2）如图，以1,,DD DC F A 所在的直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设()c b a M DA ,,2，=，则()()()020021001，，，，，，，，C G E ，()()4002001，，，，，D F .∵12MD GM =，∴132GD GM =，即()()4,2,132,2,1--=--c b a ，解得383231===c b a ，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛38,32,31M ，∴()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=32323138,32,32220021，，，，，，，，，FM EM FC EC .设平面MEF 的法向量为()1111,,z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FM n EM ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++-03232310383232111111z y x z y x ，令11=z ，则2211-==y x ，，∴平面MEF 的一个法向量为()1,2,21-=n.设平面CEF 的法向量为()2222,,z y x n =，在⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n FC n EC ，∴⎩⎨⎧=-=+-022022222z y y x ，令12=y ，则1222==z x ，，∴平面CEF 的一个法向量为()1,1,22=n.∴66633,cos 212121==⋅=n n n n n n.设二面角C EF M --的平面角为θ，∴630661,cos1sin 2212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n nθ，即二面角C EF M --的正弦值为630.19.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.20.解：（1）()exaex x a e x f -=-='22.①当0<a 时，()0>'x f 恒成立，∴()x f 在()∞+，0上单调递增；②当0>a 时，令()0>'x f ，解得2ae x >，令()0<'x f ，解得20aex <<，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae 上单调递增.综上所述，当0<a 时，()x f 的单调递增区间为()∞+，0，无单调递减区间；当0>a 时，()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .（2）当1=a 时，()x x ex f ln 12--=，由（1）可知()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .∵方程()m x f =有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，因此2120x ex <<<.由于2x 时()m x f =的实数根，∴m x x e=--22ln 12，整理得()2221ln x m e x e x -+=-.令()x e x x h ln -=，且2ex >，则()x e x x e x h -=-='1，令()0>'x h ，解得e x >，令()0<'x h ，解得e x e<<2，∴()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛e e ,2上单调递减，在()∞+，e 上单调递增，∴()()0ln =-=≥e e e e h x h ，即0ln 22≥-x e x ，∴()012≥-+x m e ，而01>x ，因此()0112>+-+x x m e ，即()112+<-m e x x .21.解：（1）由题意知X 的所有可能取值为-4，-2,0,2,4,6，且()221663421213===-=C C X P ；()22366922122316==+=-=C C C X P ；()331066200212121613==+==C C C C X P ；()22766212212261213==+==C C C C X P ；()112661242121612====C C C X P ；()661621222===C C X P ，∴X 的分布列为：∴()()()16616112422723310022322214=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=X E .（2）①记一名爱好者第1+n 次购买C 型号盲盒的概率为1+n P ，则()n n n P P P -+=+121321，即21611+=+n n P P ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+5361531n n P P .∵211=P ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+531n P 是以101531-=-P 为首项，61为公比的等比数列，∴16110153-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，即53611011+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P .②∵5353611011<+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，∴这名爱好者购买C 型号盲盒的概率不能达到53.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.X -4-2246P2212233310227112661又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。

2021-2022年高三5月联考数学理含答案一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1．已知集合，，则（）A．[1,2) B．C．[0,1] D．2．复数的共扼复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（）A．B．C．D．4．若，则的展开式中常数项为（）A．B．C．D．5．右图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.6．如图，已知圆，四边形 为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，的取值范围是 （ ） A ． B ． C ．D ．7．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．8．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，直线与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线上，且M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线的斜率为（ ） A ． B ．C ．D ．9．若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则的最小值为（ ） A ．B ．8C ．D ．2yxEF DB CMO A正视图侧视图俯视图10．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数的图像为（ ）二、选做题：（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评分，本题共5分。

卜人入州八九几市潮王学校局部重点高中2021届高三数学理科五月联考试卷〔时间是：120分钟总分值是：150分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共计50分〕{}|(1,2)(3,4),M a a k k R ==+∈,集合(){}R m m a a N ∈+--==),5,4(2,2，那么MN =〔〕A.{}(2,2)--B.{}(1,2),(2,2)--C.{}(4,2)D.Φ2.函数1()2x y =与函数216xy =-的图象关于〔〕A ．直线2x=对称B ．点(4,0)对称C ．直线4x =对称D ．点(2,0)对称3.“a(a-b)<0”是“1>ab〞成立的〔〕 4.c AC b BC a BA ===→→→,,且满足)0(0)||||(>=⋅+λλc b b a a ，那么ABC ∆为〔〕)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim1=-→x x f x ，那么)1(f 等于〔〕 A ．－2 B ．-1C ．0D ．26.n n n x a x a x a a x x x x ++++=+++++++ 221032)1()1()1(，且320a a a +++2)1(601+-=+-n n a n ，那么n ＝〔〕 〕Ⅰ：假设平面上的直线a 与平面上的直线b 为异面直线，直线c 是与的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么.A .ⅠⅡ不正确B .ⅡⅠ不正确C .D .8.设定义域值域均为R 的单调函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=，且2)()(=-+x f x f ，那么)3()1(11x fx f-+---的值是〔〕A ．0B ．2C ．2-D ．42-x9．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线)(x f y =〔实线表示〕，另一种是平均价格曲线)(x g y =〔虚线表示〕(如f(2)=3是指开场买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3表示二个小时内的平均价格为3元)，以下列图给出的四个图像中，其中可能正确的选项是〔〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕|)3sin(|c x y ++=π的周期为π，那么实数=c .0432:=++-a y ax l 恒过定点A ，l与曲线084522=+--+y x y x 交于P ,Q 两点，那么=⋅AQ AP13.设地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两地，它们的经度差120°，那么这两地间的较短的纬线长等于}{n a 中，),2(12,411N n n a a a n n ∈≥-==-，那么=-+∞→32lim1n nn a .a ，b ，c ，d 排成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(x ，y )在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(ax +by ，cx +dy )，假设曲线x 2+4xy +2y 2=1在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线x 2－2y 2=1，那么a +b 的值是三、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分〕16．〔本小题12分〕)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，且πα<<0.〔1〕假设1-=⋅BC AC ，求α2cos 的值.〔2〕假设13||=+OC OA ，求OB 与OC 的夹角θ.17．〔本小题总分值是13分〕函数)(x f y =对任意实数y x ,都有)()()(y f x f y x f ⋅=+且0)1(≠f .x xxxA B C D〔1〕记))((*N n n f a n∈=，∑==ni in a S 1，12+=nnna Sb ，且}{n b 为等比数列，求1a 的值. 〔2〕在〔1〕的条件下，设nn b a n c n n n 27)(2-++=.问是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有?3mC n >假设存在，求出m 的值，假设不存在，说明理由. 18．〔本小题总分值是13分〕矩形ABCD 中，12==AD AB ，，将ΔABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD内的射影落在DC 上，E 、F 、G 分别为棱BD 、AD 、AB 的中点。

2020届金大联考高三5月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足2i i z z -=，记i z ω=+，则ω=（ ）．A ．2 BCD 【答案】D【解析】根据复数的除法运算计算可得1z i =-+，根据复数的加法运算计算可得12i ω=-+，根据复数的模长公式可得结果.【详解】 由()()()()2i 1i 21i 2i1i 1i 1i 1i 2z +-+====-+-+-，则12i ω=-+，ω==故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．已知集合{}2144A x x =<<，{}8129B x x =-<<，则AB =（ ）．A ．131,,124⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．211,,1322⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2113,,3224⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．2131,,324⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】先利用一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法化简集合，再利用交集的运算求解. 【详解】因为112A x x ⎧=-<<-⎨⎩或112x ⎫<<⎬⎭，2334B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以2132A B x x ⎧⋂==-<<-⎨⎩或1324x ⎫<<⎬⎭， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为0.618时是最美的，如果某人的这个比值与0.618相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准.若某女性的身高170厘米，下肢部分之长为103厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高度最适合的为（ ）. A ．5.4厘米 B ．5.8厘米C ．4.9厘米D ．4.5厘米【答案】A【解析】人最美时下肢长与上身长之比是不变的，也就是说下肢长与上身长之比的比值是一定的，即两种量成正比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可． 【详解】设该女性选择高跟鞋的高度为x ， 由题意有1030.618170x x +=+，解得 5.4x ≈厘米.故选：A 【点睛】本题考查了黄金分割，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.4．若{}0,1,2a ∈，{}2,1,2b ∈-，则方程20x ax b ++=有解的概率为（ ）． A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B【解析】,a b 的取值共有339⨯=种，满足方程20x ax b ++=有解的,a b 的取值共有4种，由古典概型的概率公式计算可得答案. 【详解】因为a 的取值有3种情况，b 的取值有3种情况，所以,a b 的取值共有339⨯=种， 由24a b ∆=-知，①当0a =时，40b ∆=-≥得0b ≤，此时2b =-符合； ②当1a =时，140b ∆=-≥得14b ≤，此时2b =-符合； ③当2a =时，440b ∆=-≥得1b ≤，此时2b =-或1符合． 所以满足方程20x ax b ++=有解的,a b 的取值共有4种，根据古典概型的概率公式可得方程20x ax b ++=有解的概率为49． 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.5．函数()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）.A ．B ．12C D 【答案】D【解析】先利用两角和与差的三角函数，将函数转化为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求解. 【详解】()11cos cos sin 2222f x x x x x =-+-，)sin cos x x =+，π4x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为（ ）. A ．115 B ．118C ．120D ．128【答案】C【解析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和. 【详解】21113a aλλ=+=+=，则2λ=，可得121n na a+=+，可化为()1121n na a++=+，有12nna+=，得21nna=-，则数列{}n a前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-.故选：C【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式以及求数列前n项和，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由函数()πsin2xf x=，可求周期为4，()(1)(2)(3)40+++=f f f f，由题意可知()(1)(2)(2021)=2021(1)1=+++==S f f f f f【详解】由函数()πsin2xf x=的周期为2π4π2T==，()π1sin12f==，()2π2sin02f==，()3π3sin12f==-，()4π4sin02f==，()(1)(2)(3)40+++=f f f f()(1)(2)(2021)=2021(1)1∴=+++==S f f f f f .故选：C 【点睛】本题考查了程序框图求和，正弦型三角函数的周期等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.8．某企业召开优秀员工表彰大会，准备从含有甲、乙的6名优秀员工中选取4人作为代表发言．若甲、乙同时被选作代表发言时，甲在乙的前面发言，且甲、乙发言的顺序不相邻．则不同的发言顺序种数为（ ）． A ．252 B ．254 C ．256 D ．258【答案】A【解析】分四名代表中没有甲、乙，只有甲，只有乙，同时有甲、乙四种情况讨论求解，然后求和即可. 【详解】①四名代表中没有甲、乙时，不同的发言顺序种数为4443224A =⨯⨯=； ②四名代表中只有甲时，不同的发言顺序种数为3444443296C A =⨯⨯⨯=； ③四名代表中只有乙时，不同的发言顺序种数为3444443296C A =⨯⨯⨯=；④四名代表中同时有甲、乙时，不同的发言顺序种数为()()222422264236C A A +=⨯+=．故不同的发言顺序种数为24969636252+++=． 故选：A 【点睛】本题主要考查排列与组合实际问题以及分类加法计数原理，还考查了分类讨论的思想，属于中档题. 9．函数()2sin 1x xf x x +=+在[]π,π-的图象大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】可知函数为奇函数，通过构造函数()()sin 0πg x x x x =-<≤，可得sin x x >，进一步可得21sin +>+x x x ，即()1f x <，结合图象可得结果.【详解】 由()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x -+-+-==-=-+-+，可得函数()f x 是奇函数. 令()()sin 0πg x x x x =-<≤，()1cos 0g x x '=-≥， 可得函数()g x 单调递增，可得()0g x >，sin x x ∴>， 2sin ∴>+x x x 又212+≥x x （当且仅当1x =时取等号）， 22sin 1sin 11+∴+>+⇒<+x xx x x x即()1f x <，所以D 正确故选：D 【点睛】本题考查了通过函数解析式求函数图象，函数的奇偶性、利用导数证明不等式和基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.10．已知在等差数列{}n a 中，2222251448a a a a +=++，2120a a =>，记()12n n n b a a =+，则下列关于数列{}n b 的前n 项和n S 的说法错误的是（ ）．A ．415S =B ．22n nS n =+C ．14n S <D ．18n S ≥【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可求出12a d ==，得到2n a n =，求出()111122241n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求出n S 判断选项即可.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，有()()()112222111124348a d a a d a d a a d +=⎧⎪⎨+++=+++⎪⎩， 解得12a d ==，2n a n =，()111122241n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，111111111111,42231414484n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫=-+-++-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎣⎦， 故B 错误，C D 正确. 则4414445S ==⨯+，故A 正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项相消法求和的问题.属于较易题. 11．已知函数()12x f x +=可以表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之差，若()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题干条件构造方程组解出函数()g x 和()h x 的解析式，再用分离参数法将()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦对x ∈R 恒成立转化为()52222x x x x a --≥-++对x ∈R 恒成立，进而求得实数a 的取值范围. 【详解】由()()()12x f x g x h x +=-=，有()()()()()22xf xg xh x g x h x -=---=+=， 解得()22xxg x -=+，()22xx h x -=-，()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦可化为()()222221x x x x a ---++≥，有()()442221x x x xa --+-++≥，有()()2225220xx x x a --+-++≥，得()52222x xx xa --≥-++，又由222x x -+≥，有51222a ≥-=. 故选：C 【点睛】本题考查函数奇偶性、求函数解析式等知识点以及对恒成立问题的处理，属于中档题.12．如图，椭圆C 的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 、Q是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为（ ）.A ．[)2,4B ．[)3,4C ．[)1,4D ．()1.5,4【答案】B【解析】延长射线1PF 、2QF 分别与椭圆C 相交于M 、N 两点，由椭圆的对称性，则1211=PF QF PF MF ++，若直线1PF 的斜率不存在易得；若直线1PF 的斜率存在，设直线1PF 的方程为()()10y k x k =+≠，与椭圆方程联立， 利用两点间的距离公式结合韦达定理建立12PF QF +23343k =++求解.【详解】如图，延长射线1PF 、2QF 分别与椭圆C 相交于M 、N 两点，由椭圆的对称性可知12PF NF =，12MF QF =， 设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ， 则点Q 的坐标为()22,x y --.①若直线1PF 的斜率不存在，则点P 、Q 的坐标分别为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2⎛⎫⎪⎝⎭， 有123PF QF +=②若直线1PF 的斜率存在，设直线1PF 的方程为()()10y k x k =+≠，联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 后整理为()22224384120k x k x k +++-=， 有2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+， ()()22222111111111311111324224422PF x y x x x x x x =++=++-=+++=+，12122MF x =+， ()()()2221212222121343314442434343k k k PF QF x x k k k ++++=++=-==+++， ()2333,443k =+∈+， 则12PF QF +的取值范围为[)3,4. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的对称性以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.二、填空题13．已知单位向量a ，b 的夹角为2π3，记2x a b =-，2y a b =+，则x y ⋅=______． 【答案】32【解析】先求出12a b ⋅=-，再利用平面向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】因为2π11||||cos11()322a b a b ⋅==⨯⨯-=-， 所以2213(2)(2)23223()222x y a b a b a a b b ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯--=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了利用平面向量数量积的定义求数量积，属于基础题. 14．曲线()xf x e x =-过原点()0,0O 的切线方程为______.【答案】()e 1y x =-【解析】求出导函数()'f x ，设切点为(),mm e m -，写出切线方程，由切线过原点求出m 值，得切线方程． 【详解】设切点为(),mm e m -，()1x f x e '=-，()1mf m e '=-，所求切线方程为()()()1mmy e m e x m --=--，代入点()0,0可得m m m e m me -=-，得1m =，所求切线方程为()()()111y e e x --=--，整理得(1)y e x =-. 故答案为：(1)y e x =-． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题时要注意在求曲线在某点处的切线还是求过某点的切线，在某点处切线，该点是切线，该点导数值即为切线斜率，而过某点的切线，则需设出切点坐标，写出切线方程，由切线所过点求出切点坐标后得结论．15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，AP =则三棱锥P ABC -的外接球的体积为______.【答案】9π2【解析】将三棱锥P ABC -放在长方体中，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，球的直径为长方体的体对角线的长求解. 【详解】 如图所示：将三棱锥P ABC -放在长方体ACBD PGEF -中，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，球的直径是PB ，球的半径135422r =+=， 属于三棱锥P ABC -的外接球的体积为2439ππ322⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：9π2【点睛】本题主要考查几何体的外接球的体积，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.16．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q两点，若以线段PQ 为直径的圆过定点M ，则MF =______． 【答案】3【解析】当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-，此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=，过定点A （-1,0）；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程()2y k x =-，与双曲线方程联立，然后结合韦达定理，论证0AP AQ ⋅=即可.【详解】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩， ()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系以及圆过定点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin 0a B b A +=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2c =，求ABC 周长的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2π3B =；（Ⅱ）()4,+∞. 【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简sin 2sin 0a B b A +=即得2π3B =； （Ⅱ）求出1tan2a b C+=-，再根据C 的范围和正切函数的图象和性质求出三角形周长的取值范围. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin 2sin sin 0A B B A +=，又因为sin 0A >，得sin 2sin 0B B +=，有2sin cos sin 0B B B +=， 因为sin 0B >，得1cos 2B =-， ∵B 为ABC 的一个内角，有2π3B =． （Ⅱ）由π3AC =-，有π03C <<， 由正弦定理有sin sin sin a b cA B C==， 有22πsin sin sin 3a b A C ==，得2sin sin A a C =，b =，π2sin 2sin 3sin sin sin sin C A a b C C C C⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+()3cos13cos sin31sin sin sinCC CC C C+-=+=-223cos3cos3221112sin cos sin tan2222C CC C C=-=-=-，由π26C<<，有30tan23C<<，可得2a b+>，故ABC周长的取值范围为()4,+∞．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为边长为3的正方形，6AP=，3PD=，平面APD⊥平面ABCD，E为AP的中点，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：//EF平面PBC；（Ⅱ）求二面角A BP C--的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）66.【解析】（Ⅰ）取BP的中点G，连EG，CG，证明四边形CFEG为平行四边形，得//EF CG得证．（Ⅱ）过点P作OP AD⊥，证明PO⊥平面ABCD．以点O为原点，与向量DC同向方向为x轴，向量OD方向为y轴，向量OP方向为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：如图，取BP 的中点G ，连EG ，CG ，∵AE EP =，BG=PG ，∴//EG AB 且2EG AB =． ∵//AB CD ，2CF CD =，∴//EG CF 且EG CF =， ∴四边形CFEG 为平行四边形，得//EF CG ．∵CG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴//EF 平面PBC ． （Ⅱ）如图，过点P 作OP AD ⊥，垂足为O ， 在APD △中，2229AP PD AD +==， 可得AP PD ⊥，632AP PD OP AD ⨯⨯===22622AO AP OP -=-=，22321DO DP OP -=-=．∵OP AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，∴PO ⊥平面ABCD ．如图，以点O 为原点，与向量DC 同向方向为x 轴，向量OD 方向为y 轴，向量OP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系．点O 的坐标为(0,0,0)，点D 的坐标为(0,1,0)，点C 的坐标为(3,1,0)， 点A 的坐标为(0,2,0)-，点B 的坐标为(3,2,0)-，点P 的坐标为2)． 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，(0,2)AP =，(3,0,0)AB =，22030m AP y z m AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取0x =，1y =，2z =-(0,1,2)m =， 设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =，(0,3,0)BC =，(3,2)BP =-，303220n BC b n BP a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2a =0b =，3c =，可得(2,0,3)n =， 有32m n ⋅=-，3m =，11n =，3266cos ,33m n <>==， 故二面角A BP C --的余弦值为66． 【点睛】本题考查空间线面平行及利用空间向量求二面角余弦值.属于中档题.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且22PF =，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【解析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =可得||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==，解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =， ()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++()22111123044b b b b b =--++=+=， 得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.20．已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e-⎡+∞⎣有且仅有一个零点．【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，增区间为(),ae +∞，减区间为()0,ae ；当0a >时，增区间为()0,a 、(),ae +∞，减区间为(),aa e；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求得化简得到()()()4ln f x x a x a '=--，根据函数()f x 的定义域为()0,∞+，分0a ≤，0a >讨论求解。

高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已合集合{}2|20A x x x =-，{|12}B x x =<则A B =（ ）A. (1,2]B. (1,2)C. [0.2]D. (0,1)【答案】A.【解析】因为{|02}A x x =，{|12}B x x =<，所以{|12}.AB x x =<2. 设复数z 满足()z 2i 2i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】因为2i 34i 34i 2i 555z --===-+，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.3．在ABC △中，BC =3AC =，1cos 3A =，则ABC △的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D ．92【答案】 B ．【解析】因为BC =3AC =，1cos 3A =，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以2280AB AB --=，所以4AB =，又1cos 3A =，所以sin A =1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅△1432=⨯⨯⨯=B 正确． 4. 生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象. 若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间. 在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =，80T =. 据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ ）（ln 20.69≈，ln3 1.10)≈A. 6. 9天B. 11. 0天C. 13. 8天D. 22. 0天【答案】C 【解析】因为1TQ λ=+，所以8091λ=+，解得10λ=. 设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K ，则21ln(4)ln ln 420ln 213.8K K n n λλλ-=-==≈天. 5 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】 D ．【解析】 该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图， 由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5．计算可得最长棱PB =3AB =．因为AB PA ⊥，所． 6 ．家庭开支是指一般生活开支的人均细分，如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）2017年各项支出2020年各项支出其他6%娱乐1%水、电、气、通讯8%饮食25%房贷60%存款7%娱乐8%饮食25%房贷40%水、电、气、通讯8%其他12%A ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C ．小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D ．小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%543正视图侧视图俯视图ABCP【答案】 C ．【解析】 因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a ，则2017年总收入为53a ，2020年总收入为号52a ．因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了56a ，即增加了50%，所以A 错误． 因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为110a 和310a ，所以B 错误．因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为512a 和58a ，明显增加，所以C 正确． 因为小王家2017年和2020年的总收入不一样，所以D 错误．7 ．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．45︒B ．. .C ．60︒D ．120︒【答案】 B ．【解析】 因为()()32a b a b -⊥+，2b a =，所以()222()32320a b a b a a b b a b a -⋅+=-⋅⋅=--=-，所以2a b a ⋅=- 设a 与b 的夹角为θ，则22cos 2a b a a aθ⋅===-⋅．因为[]0,180θ∈︒︒，所以135θ=︒．8 ．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）2433A ．3727cm 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．324cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．336cm 49π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3718cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】 A ．【解析】 由图可知，组合体的体积为 222333741333327cm 224V ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=π⨯⨯-+⨯⨯-π⨯⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．9 ．把函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数()f x 的图象，则A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】 D ．【解析】 将其图象向左平移3π个单位长度得到22sin 22sin 233y x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π⎝⎭的图象，再向上平移1个单位长度可得到2()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A ，B 错误． 令2232x k π+=+ππ，k ∈Z ，得122k x ππ=-+，k ∈Z ， 当0k =时，12x =-π；当1k =时，512x =π，故C 错误． 令23222232k x k ππ+π++ππ≤≤，k ∈Z ，得51212k x k π-ππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 在5,612π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故D 正确． 10．已知函数ln ()xf x x x=-，则 A ．()f x 的单调递减区间为()0,1 B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-【答案】 C ．【解析】 2221ln 1ln ()1x x x f x x x---'=-=．令2()1ln x x x ϕ=--，则1()20x x x ϕ'=--<，所以2()1ln x x x ϕ=--，在(0,)+∞上单调递减．因为()10ϕ=，所以当01x <<时，()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ<．所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为 ()1,+∞，故()f x 的极大值点为1，()() 11f x f ==-极大值，故选C ． 11. 已知2021220210122021(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0122021a a a a ++++=（ ）A. 40422B. 1C. 20212D. 0【答案】A【解析】因为20212021(2)[3(1)]x x -=-+的展开式中，0a ，2a ，4a ，…，2020a 都大于零，而1a ，3a ，5a ，…，2021a 都小于零，所以012202102420201()(a a a a a a a a a ++++=++++-+.352021)a a a ++++，令2x =-，则2021012345202020214a a a a a a a a -+-+-++-=所以404201220212a a a a ++++=，故选答案A.12．已知斜率为k 的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C的准线上一点(1,1)M --满足0MA MB ⋅=，则AB = A ． B ．C ．5 D ．6【答案】 C.【解析】（湖北咸宁吴威）由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为()1,0F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-． 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+． 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k =．因为点()00,Q x y 在直线l 上， 所以0221x k =+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，所以弦长2AB r =222222254k ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若1tan 2α=，22sin sin cos a αα+=_______. 【答案】45. 【解析】因为1tan ,2α=所以2222222sin sin cos 2tan tan 42sin sin cos sin cos tan 15ααααααααααα+++===++.14. 已知双曲线2212:1(0)4x y C b b-=>的右焦点为F 20y -=，点P 为双曲线1C 与圆()()2222:30C x y r r ++=>的一个交点，若4PF =，则双曲线1C 的离心率为______；r =______. 【答案】32，8. 【解析】设2F 为双曲线2212:14x y C b-=的左焦点，因为2a =20y -=，所以b =32. 圆2C 的圆心为双曲线1C 的左焦点，连接2(PF 图略). 因为||4PF =，所以P 在双曲线的右支上，由2||24PF PF a -==，得28r PF ==.15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，(2)3()f x f x +=恒成立，且当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则(7)f =______ 【答案】54【解析】因为(2)3()f x f x +=，所以23(7)3(5)3(3)3(1)54f f f f ====. 16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶. 它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形. 如图所属的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为 . 【答案】564. 【解析】（河南 李万锋） 由图可知，()114P -=，()128P -=，()138P -=，()104P =，()118P =，()1216P =，()1316P =， 所以两次投中分值之和为2的概率为1111115221641648864⨯⨯+⨯⨯+⨯=. 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.17. （本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足*11()n n a S n +=+∈N .(1)求n S ； (2)记11n nn n n S S b S S ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n n S =-；(2)11121n n T +=---11230-2-3【解析】(1)当2n ≥时，11n n a S -=+，所以11n n n n n a a S S a +--=-=，即12(2)n n a a n +=≥. 在11n n a S +=+中，令1n =，可得211a a =+. 因为11a =，所以212a a = 故{}n a 是首项为l ，公比为2的等比数列， 其通项公式为12n n a -=，所以1121n n n S a +=-=- (2)因为111111112121n n n n n n n n n S S b S S S S ++++-==-=---所以11111111(1)()()1337212121n n n n T ++=-+-++-=---- 18．（本题满分12分）2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目．为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y （单位：万只）与相应年份代码x 的数据如下表：（1）由表可知y 与x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2:3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元／只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元／只．为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间 的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所 求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全 部及时卖完）．（利润＝卖山羊的收入－山羊的养殖成本） 参考公式及数据：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-答案（1）ˆ29y x =+（2）8800（万元）．解析（湖北咸宁吴威）（1）因为123456 3.56x +++++==，111316152021166y +++++==，所以2222222.5(5)( 1.5)(3)(0.5)00.5(1) 1.54 2.5535ˆ2( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5b-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯===-+-+-+++ 可得ˆ162 3.59a=-⨯=． 所以y 与x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+ （2）由（1）可知，当8x =时，可得ˆ25y=， 其中甲品种山羊有225105⨯=万只，乙品种山羊有325155⨯=万只． 由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.270.3580.3590.17.35⨯+⨯+⨯+⨯=（月）．由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月 和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.170.380.490.27.7⨯+⨯+⨯+⨯=（月） 养殖每只甲品种山羊利润的期望为25007.3530025002205295-⨯=-=（元） 养殖每只乙品种山羊利润的期望为27007.730027002310390-⨯=-=（元） 故2022年该县养殖山羊所获利润的期望为10295153908800⨯+⨯=（万元）． 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒. （1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若113CP CC =，求二面角1P A B A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）35⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】（河南 李万锋）（1）证明：如图，连接1A C ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒,由余弦定理得1AC = ……1分 ∴22211AC AC A A +=，∴1AC AC ⊥， ……2分 ABC A 1B 1C 1P同理1A C BC ⊥. ……3分 又∵BCAC C =，∴ 1AC ⊥ 平面ABC . ……4分 ∵1AC⊂平面11A ACC ，∴平面ABC ⊥平面11A ACC . ……5分 （2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A，12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0C，(1A，13P ⎛- ⎝⎭. (1AA =-,32AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,112A B ⎛=- ⎝,11,0,3A P ⎛=- ⎝⎭. 设平面1A AB 的一个法向量为()111,,m x y z =.，则111110302m AA x m AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ， 令11z =，得1222122102103n A B x y n A P x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩. 设平面1PA B 的一个法向量为()222,,n x y z =.，则1222122102103n A B x y n A P x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ， 令21z =，得()23,0,1n =-. ∴5cos ,1313m n m n m n⋅===-， 又∵二面角1P A B A --为锐角，∴二面角1P A B A --的余弦值为513. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222+1(0)x y E a b a b=>>：的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l （斜率不为0）经过F 点，与椭圆E 交于A ，B 两点，问x 轴上是否存在一点P，使得B 1PA AF PBBF=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在(1,0)P ，(4,0)P 满足题意. 【解析】（1）因为12c e a ==，所以2a c =，因为椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1a c -=所以2a =，1c =，b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）当P 与F 重合时，显然符合题意；当P 与F 不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(,0)P t . 联立方程组221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩得()2234690m y my ++-=， 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 因为||||||||PA AF PB BF =，所以PF 为APB ∠的角平分线， 所以12120PA PB y yk k x t x t+=+=--， 即()()12210y x t y x t -+-=整理得()12122(1)0my y t y y +-+=， 即22962(1)03434m m t m m ⎛⎫⎛⎫⋅-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得4t =，故存在(1,0)P ，(4,0)P 满足题意. 21．（本题满分12分）已知函数()e 2x f x x ax a =-+．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）310x y --=；（2）()e,⎛+∞ ⎝．【解析】（1）当1a =-时，()e 21x f x x x =+-， 则()()1e 2x f x x '=++，所以()03f '=，()01f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为310x y --=；（2）因为()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不同的根，即关于x 的方程()e 21x x a x =-有两个不同的解， 当12x =时，方程不成立，所以12x ≠， 令()e 21x x g x x =-，则y a =与()e 21xx g x x =-的图象有两个交点， 且()()()()()()22221e 121e 2121xx x x x x g x x x ---+'==--， 当1122x -<<或112x <<时，()0g x '<，当12x <-或1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增， 所以当12x =-时，()g x取得极大值12g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当1x =时，()g x 取得极小值()1e g =，因为e >，且当0x <时，()0g x >， 所以实数a的取值范围为()e,⎛+∞ ⎝．(二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1(12x t t y t =-⎧⎨=-+⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212sin 3ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）已知点(1,1)P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+. 【答案】（1）C ：22143x y +=，l ：210x y +-=； 【解析】 （1）由112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，得210x y +-= 即直线l 的普通方程为210x y +-=…………2分 由2212sin 3ρθ=+，得222sin 312ρθρ+=，因为sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以223412x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=…………5分（2）直线l 的参数方程为112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，化为标准形式为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩…………6分 代入223412x y +=，得219250t --=设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，1225019t t =-<…………8分 可知1t ，2t异号，所以12121211192519t t PA PB t t -+====………10分 23. [选修45-;不等式选讲](10分)已知函数()|2|||(0)f x x t x t t =--+>.(1)当1t = 时,求不等式()1f x 的解集;(2)若2()t f x 对任意的x R ∈恒成立,81t M t t +=+-, 求M 的最小值. 【答案】（1）不等式()1f x 的解集为(,0]-∞；（2）M 的最小值为8【解析】(1)当1t =时,()|2||1|f x x x =--+.当1x <-时,2131x x -+++=恒成立,所以1x <-; 1分 当12x - 时, 由211x x -+--, 得0x , 所以10x -； 2分 当2x >时,211x x ---不成立. 3分 所以不等式()1f x 的解集为(,0]-∞. 5分(2)因为2()t f x 对任意的x ∈R 恒成立,所以2max ()t f x . 6分 因为()|2||||2|3||f x x t x t x t x t t =--+---=, 所以23||t t . 7分 因为0t >, 所以3t . 8分8912292811t M t t t t +=+=-+++=--, 当且仅当911t t -=-, 即4t =时取等号. 所以M 的最小值为8. 10分 评分细则：第(1)问也可以先将()f x 写成分段函数,再结合函数单调性解答,解答正确则正常给分; 第(2)问中没有说明取等条件,扣1分.。