2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二)理科数学试题

2021年高考理科数学全国2卷-含答案20__年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（） A． B． C． D．2.设集合，．若，则（） A． B． C． D．3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A． B． C． D． 5.设，满足约束条件，则的最小值是（） A． B． C． D． 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A．12种 B．18种C．24种 D．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（） A．2 B．3 C．4 D．5 9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B． C． D． 10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D． 11.若是函数的极值点，则的极小值为（） A.B.C.D.1 12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数213ii--在复平面内对应点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．（5分）若全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,6}A =，{2,3,4}B =，则(UA B = )A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}3．（5分）若抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+(p = )A ．1B ．2C ．D ．44．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积22(1cos )S r πα=-（单位：2)km ，则S 占地球表面积的百分比约为( ) A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A ．20+B ．C ．563D 6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ，则下列结论中不正确的是( ) A ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大 B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 7．（5分）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是( ) A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<8．（5分）已知函数()f x 的定义域为R ，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则( ) A ．1()02f -=B ．(1)0f -=C ．(2)0f =D ．(4)0f =二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（三）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，则A B =（ ）A. {}14x x -<< B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B 再求AB 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A B =,故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题.2.设复数1z bi =+（b R ∈）且234z i =-+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2-B. 2i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出． 【详解】z 2=﹣3+4i ，∴（1+bi ）2=﹣3+4i ，1﹣b 2+2bi=﹣3+4i ， ∴1﹣b 2=﹣3，2b=4， 解得b=2．则z =1﹣2i 的虚部为﹣2． 故选A ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.在等比数列{}n a 中，11a =，6835127a a a a +=+，则6a 的值为（ ）A.127B.181 C.1243D.1729【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列各项之间的关系化简6835127a a a a +=+求得13q =,再根据561a a q =⋅求解即可.【详解】设等比数列{}n a 公比为q ,则()335368353511273a a q a a q q a a a a ++===⇒=++,所以5611243a a q =⋅=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列各项之间的关系,属于基础题. 4.如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图逐步计算即可. 【详解】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题. 5.已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A. a ab c << B. ac b c <<C. ab a c <<D. c ac b <<【答案】C 【解析】 【分析】先判断,,a b c 的大致范围,再根据不等式的性质逐个判断即可.【详解】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<. 对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误. 故选；C 【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小判定以及不等式的性质.需要根据题意确定各数的范围,再逐个推导.属于基础题.6.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.7.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136v L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式23112v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227B.258C.289D.8227【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r ,根据圆锥的底面周长L 求得2L r π=,再代入体积公式得212L h v π=,再对照23112v L h ≈求解即可.【详解】设圆锥底面半径为r ,则22L r L r ππ=⇒=,所以22213283121129L h v r h L h πππ==≈⇒≈.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题. 8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()32x f x =-，则()()20192020f f +=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性可得()f x 最小正周期4T =,再利用函数的性质将自变量转换到(]0,1x ∈求解即可.【详解】∵()()f x f x -=-,()()11f x f x -+=+,∴()()2()f x f x f x +=-=-， ∴()()()42f x f x f x +=-+=， ∴最小正周期4T=,又()00f =,∴()()()()201950541111f f f f =⨯-=-=-=-,()()()2020505400f f f =⨯==,∴()()201920201f f +=-,故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据奇偶性推出函数的对称性,再将自变量利用性质转换到已知函数解析式的区间上求解.属于中档题.9.甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A.225B. 310C. 110D.325【答案】C 【解析】 【分析】分后四球胜方依次为甲乙甲甲,与乙甲甲甲两种情况进行求解即可. 【详解】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分步与分类计数求解概率的问题,需要根据题意判断出两种情况再分别求解,属于基础题.10.已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min3x x π-=,现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】 根据12min3x x π-=，即可求得ω，再根据平移后函数为偶函数，即可求得ϕ.【详解】令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-， 因为12min3x x π-=，故令21x x >，并取12711,66x x ππωϕωϕ+=+=，则()2123x x πω-=，即可求得2ω=. 此时()()2sin 21f x x ϕ=++，向左平移6π个单位得到2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 若其为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得26k πϕπ=+.当0k =时，6π=ϕ. 故选：A .【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.11.已知直线2x a =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左，右焦点分别为12,F F ，且211cos 4PF F ∠=-，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 15y x =±B. 315y x =±C. 215y x =±D. 15y x =±或315y =±【答案】B 【解析】【详解】设直线2x a =与x 轴交点为()2,0Q a ,由题可知()2,2P a b ,()1,0F c -,()2,0F c , ∵211cos 4PF F ∠=-,故2a c >,即12e << 且21cos 4PF Q ∠=. 故22F Q a c =-,)2241152PQ F Q a c =-=-.又2PQ b =,)()()22215221524a c b a c c a-=⇒-=-,整理得221160640c ac a +-=,即21160640e e +-=.∴1611e =或4e =.又12e <<,故1611e =∴渐近线方程为：y ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线中渐近线以及构造齐次方程求解离心率的问题.需要根据题意找到基本量,,a b c 之间的关系,再求得离心率的值进而求得渐近线方程.属于中档题.12.已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A. 20,e ⎡⎤⎣⎦B. 22,e ⎡⎤⎣⎦C. []0,4D. []0,3【答案】D 【解析】 【分析】当1x ≤时,根据二次函数的对称轴与最值求解()222f x x kx k =-+的最小值,再根据()0f x ≥求解.当1x >时求导分析()()31x f x x k e e =--+的单调性,再分1k ≤与1k >两种情况讨论函数的单调性进而求得最小值再求解()0f x ≥恒成立的k 的取值范围即可. 【详解】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k时,()f x 在(),1-∞上递减∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ，∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据分段函数的恒成立求解参数的问题,需要根据二次函数的最值以及求导分析函数的最值进行求解.属于难题.二、填空题13.已知向量()1,1a =-，向量()0,1b =，则2a b -=______.【解析】 【分析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】()()()21,10,21,3a b -=--=-==【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题. 14.已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______.【答案】116y =- 【解析】 【分析】代入()14P -,求解抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠,再化简成标准形式求解准线方程即可.【详解】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-.故答案为：116y =-【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题. 15.已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()10n n a a n N ++=∈，前n 项和为n S 满足()2211,102n n n S n N n +-+=-∈≤；数列{}n b 满足：()12n n b b n N ++=∈，且11b =，11n n n b b n +=+，(),12n N n +∈≤，则数列{}n n a b ⋅的第2020项的值为______.【答案】14【解析】 【分析】根据()10n n a a n N ++=∈可知数列{}n a 周期为10，并根据n S 求得{}n a 在10n ≤时的通项公式.又()12n n b b n N ++=∈可知数列{}n b 周期为12，再求出1n b n=，分析{}n n a b ⋅的周期再求解即可. 【详解】当1n =时,112111922a -+=-=； 当2n ≥时, ()()221121112112211n n n n n n n a n S S ----+-+=-=+=--, 故19,1211,210n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-≤≤⎩,又∵11b =,11n n nb b n +=+,∴()111n n nb n b +=+=(),12n N n +∈≤， 所以1n b n=(),12n N n +∈≤, 又数列{}n a ,{}n b 的公共周期为60,所以202020204040a b a b ⋅=⋅, 而40101a a ==,40414b b ==,所以20202020404014a b a b ⋅=⋅= 故答案为：14【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和与通项的关系，求解通项公式以及构造数列求通项公式的方法.同时也考查了周期数列的运用.属于中档题.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为四边形ABCD .其中ACD 为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅.设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别是12,V V ，三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的表面积分别是12,S S .对于以下结论：①12V V <；②12V V =；③12V V >；④12S S <；⑤12S S ；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤ 【解析】 【分析】设2AD =,根据DA DB DB DC ⋅=⋅化简可得DB AC ⊥. 【详解】不妨设2AD =,又ACD 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅,又DB DC DB DA ⋅=⋅,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒.化简可以得43DB =90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S .故⑤正确.故答案为：①⑤【点睛】本题主要考查了平面向量与立体几何的综合运用,需要根据平面向量的线性运算以及数量积公式求解各边的垂直以及长度关系等.同时也考查了锥体外接球的问题.属于难题.三、解答题17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 3A =，2B A =，8b =. （1）求边长a ；（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长度.【答案】（1）6（2）3AM = 【解析】 【分析】 (1)根据2cos 3A =可得sin 3A =,再根据2B A =与二倍角公式求解得sin 9B =,再利用正弦定理求解a 即可.(2)先求解得1cos 9B =-,再求解得22cos 27C =,再在ACM 中,由余弦定理求解AM 即可. 【详解】解：（1）由0A π<<,2cos 3A =,得sin A ==,所以2sin sin 22sin cos 23B A A A ====由正弦定理sin sin a b A B=,可得sin 6sin b Aa B ==. （2）2221cos cos 22cos 12139B A A ⎛⎫==-=⨯-=- ⎪⎝⎭,在ABC 中,()22cos cos sin sin cos cos 27C A B A B A B =-+=-=在ACM 中,由余弦定理得：2223052cos 9AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=所以,AM =【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式化简求解.属于中档题.18.已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB . （2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --5？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析 【解析】 【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MNPQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可.【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE ,则AE ND =,且AEND所以四边形ADNE 为矩形,故ADNE ,同理,FMBCAD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EF MN ,所以EFPQ故,,,E F P Q 四点共面 又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EFPQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+.若()1212225cos ,55216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】 【分析】(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,2P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可.【详解】解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.20.某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p .（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值. 【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】 【分析】(1)分①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次三种情况进行求和即可.(2)同(1),分别计算三种情况的概率化简求和,再代入1243p p +=可知221212833P p p p p =-,再设12t p p =,根据二次函数在区间上的最值方法求解可得当49t =时,max 1627P =.再根据他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ,利用二项分布的方法求解即可.【详解】解：（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次. 故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p ==【点睛】本题主要考查了排列组合在概率中的运用,需要根据题意分析三种情况的概率之和,再根据包含概率的函数解析式,结合二次函数与基本不等式的方法求最值即可.属于难题.21.已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)求导后分0a ≤与0a >两种情况分析函数的单调性即可. (2)参变分离()()f x g x ≥与[]1,a e ∈可得1ln ln x x x x b k x +-++≤,再令()1ln ln x x x x bg x x+-++=,求导得()2ln x x bg x x-+-'=,再分析()ln p x x x b =-+-的单调性,分()10p ≥,()0p e ≤与()()10p p e <三种情况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得b c +的解析式,再求导分析单调性与范围即可.【详解】解：（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a xf x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x b g x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x '=-+-⇒=-+()ln p x x x b⇒=-+-()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-， 则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间以及分情况讨论导函数零点以及参数范围的问题,需要根据题意构造合适的函数进行原函数单调性以及最值的分析等.属于难题. 22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2C 的极坐标方程为22483sin ρθ=+.（1）求曲线1C 和曲线2C 的一般方程；（2）若曲线2C 上任意一点P ，过P 点作一条直线与曲线1C 相切，与曲线1C 交于A 点，求PA 的最大值.【答案】（1）()2211x y -+=，2211612x y +=（2）max AP =【解析】 【分析】(1)根据圆的标准方程可得1C 的一般方程,再根据222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2C 化简可得2C 的一般方程. (2)易得221PA PC r =-,再设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,再利用三角函数范围以及二次函数的范围求解PA 的取值范围,进而求得max AP 即可.【详解】解：（1）曲线1C 表示圆心为()1,0,半径为1的圆.故1C 的一般方程是()2211x y -+=∵222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=,给2222222483sin 4834483sin x y ρρρθθ=⇒+=⇒+=+. ∴曲线2C 的一般方程为2211612x y +=（2）设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,∵221PA PC r =-,()()()2222214cos 123sin 4cos 8cos 134cos 19PC θθθθθ=-+=-+=-+∴()24cos 1826PA θ=-+≤,即cos 1θ=-时,max 26AP =【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了设点的参数坐标求解距离的最值问题.属于中档题.23.已知点(,)P x y 的坐标满足不等式：111x y -+-≤.（1）请在直角坐标系中画出由点P 构成的平面区域Ω，并求出平面区域Ω的面积S. （2）如果正数,,a b c 满足()()a c b c S ++=，求23a b c ++的最小值. 【答案】（1）2；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据111x y -+-≤，即可容易求得平面区域以及面积；（2）利用均值不等式即可容易求证.【详解】（1）因为111x y -+-≤，故可得当1,1x y ≤≤时，不等式等价于1x y +≥；当1,1x y ≤>时，不等式等价于1x y -≥-；当1,1x y >>时，不等式等价于3x y +≤；当1,1x y >≤时，不等式等价于1x y -≤；如图，平面区域平面区域Ω由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为(1,0),(2,1),(1,2),(0,1)，所以222S ==.（2）由（1）()()2a c b c ++=，而,,a b c 都为正数，所以 232()22()()4a b c a c b c a c b c ++=+++≥++=，当且仅当2()2a c b c +=+=取得最小值.【点睛】本题考查绝对值不等式表示的平面区域，以及利用均值不等式求最值，属综合基础题.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（二）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.1.已知全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,3A =，{}3,5B =,则U()A B ⋃=( )A. {}3B. {}7C. {}3,7D. {}1,3,5【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 与B 的并集，再根据补集的定义即可求出． 【详解】∵全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{5，3}， ∴A∪B＝{1,3,5}， ∴U()A B ⋃={7}，故选B ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.复数(12)1i i i++的虚部为（ ）A. 12-B.32C. 12i -D. 32-【答案】B 【解析】 【分析】复数的分式展开化简,然后利用复数的分子分母都乘分母的共轭复数化简为a bi +的形式即可得出结果.【详解】()()(12)-2(-2)(1-)1313==1111222i i i i i i i i i i i +-+==-++++-,所以虚部为32. 故选:B.【点睛】本题考查复数的乘除运算在化简复数中的应用,考查复数的虚部的概念,考查学生对概念的理解,难度容易.3.已知3log a e =，ln3b =，21()3c -=则（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】借助指数和对数的性质即可判断,,a b c 与0和1直接的大小关系,即可得出结果. 【详解】33log log 31a e =<=,ln3ln 1b e =>=且2ln3ln 2b e =<=,2-1221()(3)3==3=9c --=a b c ∴<<.故选:A.【点睛】本题考查对数值和指数值大小比较,是基础题,解题时要注意认真审题,注意对数函数和指数函数性质的灵活运用.4.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据，社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量，是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标.如图所示为我国2010-2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图.根据统计图分析，下列说法错误的是（ ）A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确,对于D, 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率,先上升后下降,所以错误. 故选:D.【点睛】本题考查了统计图的应用,从图表中准确获取信息是关键,属于简单题.5.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为（ ） A. 152 B. 134 C. 128 D. 102【答案】C 【解析】 【分析】根据数据找出规律,依次写出来即可.【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: 222n a n =.所以该数列第16项为21628=128a =⨯.故选:C.【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.二项式251(1)()x x x+-的展开式中含x 的项的系数是（ ） A. 6- B. 10- C. 10 D.–14【答案】B 【解析】 【分析】由于225552111(1)()()()x x x x x xxx+---=+,及251()x x-展开式的通项可知,只需满足则103=1r -,即可计算出结果.【详解】二项式251()x x-展开式的通项为()521031551(1)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()r N ∈, 225552111(1)()()()x x x x x x x x+---=+,r N ∈,∴1030r -≠,只需103=1r -即可.∴二项式251(1)()x x x+-的展开式中含x 的项的系数533()101C -=-.故选:B.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式及指定项的系数的性质,熟练掌握公式是解题的关键,属于基础题.8.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）”.若输入8n =，输出的结果P 可以表示为（ ）A. 11114(1)35711P =-+-+-B. 11114(1)35713P =-+-++C. 11114(1)35715P =-+-+-D. 11114(1)35717P =-+-++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果. 【详解】第1次循环:1,2S i ==;第2次循环:11,33S i =-=； 第3次循环: 111,435S i =-+=;…第8次循环: 1111135715S =-+-+⋯-,9i = 此时满足判定条件,输出结果111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭. 故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题9.已知椭圆2222:1(0)x y W a b b a +=>>的离心率为3，两点()0,0A 、()2,0B .若椭圆W 上存在点C ，使得ABC 为正三角形，则椭圆W 方程为（ ）A. 22113y x +=B. 22311010x y +=C. 22126x y +=D. 22123x y +=【答案】C 【解析】 【分析】根据已知ABC 为正三角形求出点C 坐标代入椭圆方程,根据性质即可求出226,=2a b =,得出结果.【详解】由点()0,0A 、()2,0B 且ABC 为正三角形解得(1,C ,因为点C 在椭圆上,代入可得:22131b a +=，因为c e a ==,222a b c =+,所以223a b ,代入22131b a+=，即可解得226=2a b =，,故椭圆方程为22126x y +=. 故选:C.【点睛】本题考查椭圆性质,考查已知离心率求椭圆标准方程,难度一般.10.对任意闭区间Ⅰ，用I M 表示函数cos y x =在I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =，则a 的值为（ ） A.56π或1312π B.3πC.76π D.3π或56π 【答案】D 【解析】 【分析】分a 在不同的区间进行讨论,得出符合条件的a 的值即可. 【详解】由题意得: [][]0,,22a a a M M =当[0,][,2]0,,2[0,],1,cos 2a a a a a M M a ππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦,可得1=2cos a ,3a π=; 当[0,][,2],,2[,2],1,cos 2, 2a a a a a M M a ππππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦可得 12cos2a =,523a π=,56a π= 当[0,][,2]3,,2[2,3],1, 1 2a a a a a M M ππππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦,不满足[][]0,,22a a a M M =;当[0,][,2]3,,1,1, 2a a a a M M π⎡⎤∈+∞==⎢⎥⎣⎦不满足[][]0,,22a a a M M =. 所以a 的值为3π或56π. 故选:D .【点睛】本题主要考查余弦函数的性质,分类讨论是解题的关键,难度较难.11.在ABC 中，已知4AB AC ⋅=，3BC =，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN ⋅的值是()A .5B.214C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】取BC 边的中点O ，由向量加法的三角形法则，把数量积转化为22||4AO OB -=，再由条件求得OB ，则AO 可求，把AM •AN 转化为|AO |2﹣|OM |2，再由已知求得12OM =，则答案可求． 【详解】如图，设BC 的中点为O ，由4AB AC ⋅=，得()()()()22||4AO OB AO OC AO OB AO OB AO OB +⋅+=+⋅-=-=， ∵3BC =，∴29||4OB =，由此可得：225||4AO =， 而()()()()AM AN AO OM AO ON AO OM AO OM ⋅=+⋅+=+⋅-=|AO |2﹣|OM |2，由已知12OM =， ∴|AO |2﹣|OM |2251644=-=， ∴AM AN ⋅=6． 故选C ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．12.在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，M 为线段AD （不含端点）上的动点，过B 、M 、1D 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得截面记为Ω，设Ω在该长方体的六个面上的正投影的面积之和为S ，则S 可能的值为（ ） A. 9 B. 10C. 12D. 18【答案】C 【解析】 【分析】由截面性质可知截面Ω即为平行四边形平面1MBND ,设()0,2AM x x =∈，,依次求出在六个面的投影,即可得出结果.【详解】由面面平行的性质可知,过B 、M 、1D 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得截面即为平面1MBND ,则1//BN MD ,1//BM ND ,设AM x =，()0,2x ∈ 平面1MBND 在面1DC 的正投影面积为31=3⨯,同理在面1AB 的正投影面积为31=3⨯, 平面1MBND 在面AC 的正投影面积为()32x ⨯-,同理在面11A C 的正投影面积为()32x ⨯-, 平面1MBND 在面1BC 的正投影面积为1=x x ⨯,同理在面1AD 的正投影面积为x ,()3362-=18-4S x x x x =++++02x <<()=18-410,18S x ∴∈.故选:C.【点睛】本题考查面面平行的性质,考查正投影定义,考查面积公式,难度一般.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若112a =，246a a =，则4S =________. 【答案】152【解析】 【分析】设公比为q ,由246a a =,化简可得24a q =.又341a a q =⋅.可解得q ,代入求和公式即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由246a a =,得222444,a a q a q =∴=.又332411,a a q a q q =⋅∴⋅=.且112a =. 2q ∴=.由等比数列求和公式可知()44112152122S ⨯-==-.故答案为: 152. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,考查学生的运算求解能力,属于基础题. 14.曲线()ln 2f x x x =-在点()()00,x f x 处的切线经过原点，则0x =__________. 【答案】e 【解析】 【分析】 求导得1()2f x x'=-,则斜率为()0012k f x x '==-,写出切线方程,切线经过原点()0,0代入化简即可得出结果.【详解】1()2f x x'=-,所以切线斜率为()0012k f x x '==-,所以切线方程为()()00001ln 22y x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=--,切线经过原点()0,0代入切线方程得()()000010ln 202x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=--, 即0ln 1x =,解得0e x =.故答案为:e .【点睛】本题主要考查导数的运算及其几何意义,意在考查考生的运算求解能力.15.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 【答案】38【解析】 【分析】1篇稿件被录用分为两种情况:（1）稿件通过了两位初审专家；（2）稿件通过了一位初审专家，也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率，再对两种情况的概率求和即可。

高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已合集合{}2|20A x x x =-，{|12}B x x =<则A B =（ ）A. (1,2]B. (1,2)C. [0.2]D. (0,1)【答案】A.【解析】因为{|02}A x x =，{|12}B x x =<，所以{|12}.AB x x =<2. 设复数z 满足()z 2i 2i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】因为2i 34i 34i 2i 555z --===-+，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.3．在ABC △中，BC =3AC =，1cos 3A =，则ABC △的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D ．92【答案】 B ．【解析】因为BC =3AC =，1cos 3A =，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以2280AB AB --=，所以4AB =，又1cos 3A =，所以sin A =1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅△1432=⨯⨯⨯=B 正确． 4. 生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象. 若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间. 在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =，80T =. 据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ ）（ln 20.69≈，ln3 1.10)≈A. 6. 9天B. 11. 0天C. 13. 8天D. 22. 0天【答案】C 【解析】因为1TQ λ=+，所以8091λ=+，解得10λ=. 设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K ，则21ln(4)ln ln 420ln 213.8K K n n λλλ-=-==≈天. 5 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】 D ．【解析】 该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图， 由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5．计算可得最长棱PB =3AB =．因为AB PA ⊥，所． 6 ．家庭开支是指一般生活开支的人均细分，如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）2017年各项支出2020年各项支出其他6%娱乐1%水、电、气、通讯8%饮食25%房贷60%存款7%娱乐8%饮食25%房贷40%水、电、气、通讯8%其他12%A ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C ．小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D ．小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%543正视图侧视图俯视图ABCP【答案】 C ．【解析】 因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a ，则2017年总收入为53a ，2020年总收入为号52a ．因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了56a ，即增加了50%，所以A 错误． 因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为110a 和310a ，所以B 错误．因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为512a 和58a ，明显增加，所以C 正确． 因为小王家2017年和2020年的总收入不一样，所以D 错误．7 ．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．45︒B ．. .C ．60︒D ．120︒【答案】 B ．【解析】 因为()()32a b a b -⊥+，2b a =，所以()222()32320a b a b a a b b a b a -⋅+=-⋅⋅=--=-，所以2a b a ⋅=- 设a 与b 的夹角为θ，则22cos 2a b a a aθ⋅===-⋅．因为[]0,180θ∈︒︒，所以135θ=︒．8 ．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）2433A ．3727cm 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．324cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．336cm 49π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3718cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】 A ．【解析】 由图可知，组合体的体积为 222333741333327cm 224V ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=π⨯⨯-+⨯⨯-π⨯⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．9 ．把函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数()f x 的图象，则A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】 D ．【解析】 将其图象向左平移3π个单位长度得到22sin 22sin 233y x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π⎝⎭的图象，再向上平移1个单位长度可得到2()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A ，B 错误． 令2232x k π+=+ππ，k ∈Z ，得122k x ππ=-+，k ∈Z ， 当0k =时，12x =-π；当1k =时，512x =π，故C 错误． 令23222232k x k ππ+π++ππ≤≤，k ∈Z ，得51212k x k π-ππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 在5,612π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故D 正确． 10．已知函数ln ()xf x x x=-，则 A ．()f x 的单调递减区间为()0,1 B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-【答案】 C ．【解析】 2221ln 1ln ()1x x x f x x x---'=-=．令2()1ln x x x ϕ=--，则1()20x x x ϕ'=--<，所以2()1ln x x x ϕ=--，在(0,)+∞上单调递减．因为()10ϕ=，所以当01x <<时，()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ<．所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为 ()1,+∞，故()f x 的极大值点为1，()() 11f x f ==-极大值，故选C ． 11. 已知2021220210122021(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0122021a a a a ++++=（ ）A. 40422B. 1C. 20212D. 0【答案】A【解析】因为20212021(2)[3(1)]x x -=-+的展开式中，0a ，2a ，4a ，…，2020a 都大于零，而1a ，3a ，5a ，…，2021a 都小于零，所以012202102420201()(a a a a a a a a a ++++=++++-+.352021)a a a ++++，令2x =-，则2021012345202020214a a a a a a a a -+-+-++-=所以404201220212a a a a ++++=，故选答案A.12．已知斜率为k 的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C的准线上一点(1,1)M --满足0MA MB ⋅=，则AB = A ． B ．C ．5 D ．6【答案】 C.【解析】（湖北咸宁吴威）由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为()1,0F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-． 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+． 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k =．因为点()00,Q x y 在直线l 上， 所以0221x k =+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，所以弦长2AB r =222222254k ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若1tan 2α=，22sin sin cos a αα+=_______. 【答案】45. 【解析】因为1tan ,2α=所以2222222sin sin cos 2tan tan 42sin sin cos sin cos tan 15ααααααααααα+++===++.14. 已知双曲线2212:1(0)4x y C b b-=>的右焦点为F 20y -=，点P 为双曲线1C 与圆()()2222:30C x y r r ++=>的一个交点，若4PF =，则双曲线1C 的离心率为______；r =______. 【答案】32，8. 【解析】设2F 为双曲线2212:14x y C b-=的左焦点，因为2a =20y -=，所以b =32. 圆2C 的圆心为双曲线1C 的左焦点，连接2(PF 图略). 因为||4PF =，所以P 在双曲线的右支上，由2||24PF PF a -==，得28r PF ==.15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，(2)3()f x f x +=恒成立，且当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则(7)f =______ 【答案】54【解析】因为(2)3()f x f x +=，所以23(7)3(5)3(3)3(1)54f f f f ====. 16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶. 它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形. 如图所属的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为 . 【答案】564. 【解析】（河南 李万锋） 由图可知，()114P -=，()128P -=，()138P -=，()104P =，()118P =，()1216P =，()1316P =， 所以两次投中分值之和为2的概率为1111115221641648864⨯⨯+⨯⨯+⨯=. 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.17. （本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足*11()n n a S n +=+∈N .(1)求n S ； (2)记11n nn n n S S b S S ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n n S =-；(2)11121n n T +=---11230-2-3【解析】(1)当2n ≥时，11n n a S -=+，所以11n n n n n a a S S a +--=-=，即12(2)n n a a n +=≥. 在11n n a S +=+中，令1n =，可得211a a =+. 因为11a =，所以212a a = 故{}n a 是首项为l ，公比为2的等比数列， 其通项公式为12n n a -=，所以1121n n n S a +=-=- (2)因为111111112121n n n n n n n n n S S b S S S S ++++-==-=---所以11111111(1)()()1337212121n n n n T ++=-+-++-=---- 18．（本题满分12分）2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目．为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y （单位：万只）与相应年份代码x 的数据如下表：（1）由表可知y 与x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2:3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元／只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元／只．为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间 的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所 求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全 部及时卖完）．（利润＝卖山羊的收入－山羊的养殖成本） 参考公式及数据：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-答案（1）ˆ29y x =+（2）8800（万元）．解析（湖北咸宁吴威）（1）因为123456 3.56x +++++==，111316152021166y +++++==，所以2222222.5(5)( 1.5)(3)(0.5)00.5(1) 1.54 2.5535ˆ2( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5b-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯===-+-+-+++ 可得ˆ162 3.59a=-⨯=． 所以y 与x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+ （2）由（1）可知，当8x =时，可得ˆ25y=， 其中甲品种山羊有225105⨯=万只，乙品种山羊有325155⨯=万只． 由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.270.3580.3590.17.35⨯+⨯+⨯+⨯=（月）．由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月 和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.170.380.490.27.7⨯+⨯+⨯+⨯=（月） 养殖每只甲品种山羊利润的期望为25007.3530025002205295-⨯=-=（元） 养殖每只乙品种山羊利润的期望为27007.730027002310390-⨯=-=（元） 故2022年该县养殖山羊所获利润的期望为10295153908800⨯+⨯=（万元）． 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒. （1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若113CP CC =，求二面角1P A B A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）35⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】（河南 李万锋）（1）证明：如图，连接1A C ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒,由余弦定理得1AC = ……1分 ∴22211AC AC A A +=，∴1AC AC ⊥， ……2分 ABC A 1B 1C 1P同理1A C BC ⊥. ……3分 又∵BCAC C =，∴ 1AC ⊥ 平面ABC . ……4分 ∵1AC⊂平面11A ACC ，∴平面ABC ⊥平面11A ACC . ……5分 （2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A，12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0C，(1A，13P ⎛- ⎝⎭. (1AA =-,32AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,112A B ⎛=- ⎝,11,0,3A P ⎛=- ⎝⎭. 设平面1A AB 的一个法向量为()111,,m x y z =.，则111110302m AA x m AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ， 令11z =，得1222122102103n A B x y n A P x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩. 设平面1PA B 的一个法向量为()222,,n x y z =.，则1222122102103n A B x y n A P x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ， 令21z =，得()23,0,1n =-. ∴5cos ,1313m n m n m n⋅===-， 又∵二面角1P A B A --为锐角，∴二面角1P A B A --的余弦值为513. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222+1(0)x y E a b a b=>>：的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l （斜率不为0）经过F 点，与椭圆E 交于A ，B 两点，问x 轴上是否存在一点P，使得B 1PA AF PBBF=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在(1,0)P ，(4,0)P 满足题意. 【解析】（1）因为12c e a ==，所以2a c =，因为椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1a c -=所以2a =，1c =，b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）当P 与F 重合时，显然符合题意；当P 与F 不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(,0)P t . 联立方程组221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩得()2234690m y my ++-=， 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 因为||||||||PA AF PB BF =，所以PF 为APB ∠的角平分线， 所以12120PA PB y yk k x t x t+=+=--， 即()()12210y x t y x t -+-=整理得()12122(1)0my y t y y +-+=， 即22962(1)03434m m t m m ⎛⎫⎛⎫⋅-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得4t =，故存在(1,0)P ，(4,0)P 满足题意. 21．（本题满分12分）已知函数()e 2x f x x ax a =-+．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）310x y --=；（2）()e,⎛+∞ ⎝．【解析】（1）当1a =-时，()e 21x f x x x =+-， 则()()1e 2x f x x '=++，所以()03f '=，()01f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为310x y --=；（2）因为()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不同的根，即关于x 的方程()e 21x x a x =-有两个不同的解， 当12x =时，方程不成立，所以12x ≠， 令()e 21x x g x x =-，则y a =与()e 21xx g x x =-的图象有两个交点， 且()()()()()()22221e 121e 2121xx x x x x g x x x ---+'==--， 当1122x -<<或112x <<时，()0g x '<，当12x <-或1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增， 所以当12x =-时，()g x取得极大值12g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当1x =时，()g x 取得极小值()1e g =，因为e >，且当0x <时，()0g x >， 所以实数a的取值范围为()e,⎛+∞ ⎝．(二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1(12x t t y t =-⎧⎨=-+⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212sin 3ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）已知点(1,1)P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+. 【答案】（1）C ：22143x y +=，l ：210x y +-=； 【解析】 （1）由112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，得210x y +-= 即直线l 的普通方程为210x y +-=…………2分 由2212sin 3ρθ=+，得222sin 312ρθρ+=，因为sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以223412x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=…………5分（2）直线l 的参数方程为112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，化为标准形式为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩…………6分 代入223412x y +=，得219250t --=设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，1225019t t =-<…………8分 可知1t ，2t异号，所以12121211192519t t PA PB t t -+====………10分 23. [选修45-;不等式选讲](10分)已知函数()|2|||(0)f x x t x t t =--+>.(1)当1t = 时,求不等式()1f x 的解集;(2)若2()t f x 对任意的x R ∈恒成立,81t M t t +=+-, 求M 的最小值. 【答案】（1）不等式()1f x 的解集为(,0]-∞；（2）M 的最小值为8【解析】(1)当1t =时,()|2||1|f x x x =--+.当1x <-时,2131x x -+++=恒成立,所以1x <-; 1分 当12x - 时, 由211x x -+--, 得0x , 所以10x -； 2分 当2x >时,211x x ---不成立. 3分 所以不等式()1f x 的解集为(,0]-∞. 5分(2)因为2()t f x 对任意的x ∈R 恒成立,所以2max ()t f x . 6分 因为()|2||||2|3||f x x t x t x t x t t =--+---=, 所以23||t t . 7分 因为0t >, 所以3t . 8分8912292811t M t t t t +=+=-+++=--, 当且仅当911t t -=-, 即4t =时取等号. 所以M 的最小值为8. 10分 评分细则：第(1)问也可以先将()f x 写成分段函数,再结合函数单调性解答,解答正确则正常给分; 第(2)问中没有说明取等条件,扣1分.。

2021年贵州省金太阳高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−3,−2,−1,0，1}B. {−2,−1,0}C. {x|x <−1或x >3}D. {x|−1≤x ≤3}2. 已知复数z =(1+i)3，则z −=( )A. −2−2iB. −2+2iC. 2+2iD. 2−2i3. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ⩽2x +2y ⩾2x −y ⩽2，则z =2x +y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 10D. 124. 拜年是中国民间的传统习俗，是人们辞旧迎新、相互表达美好祝愿的一种方式.随着时代的发展，拜年的习俗亦不断增添新的内容和形式，除了沿袭以往的拜年方式外，又兴起了礼仪电报拜年、电话拜年、短信拜年、网络拜年等.今年正月初一，小华一家五口人接收到的微信拜年短信数量分别是30，28，35，29，33，则小华一家收到的微信拜年短信数量的平均数和中位数分别是( )A. 30，35B. 30，31C. 31，35D. 31，305. 已知椭圆C ：x 2m+y 24=1(m >4)的离心率为√33，则椭圆C 的长轴长为( )A. √6B. 6C. 2√6D. 126. 已知l 表示一条直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若l ⊥α，l//β，则α⊥βB. 若l//α，l//β，则α//βC. 若l ⊂α，α⊥β，则l ⊥βD. 若l ⊂α，l//β，则α//β7. 已知函数f(x)=ln x−1x+1+asinx +2，且f(m)=5，则f(−m)=( )A. −5B. −3C. −1D. 38. 有以下四种变换方式：①向左平移π8个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； ②向左平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； ③将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位长度；④将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度． 其中能将函数y =sin(2x −π4)的图象变为函数y =sinx 图象的是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④9. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取三局两胜制(只要有一人胜了两局，比赛就结束).已知每局比赛甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25，则甲最终获胜的概率是( )A. 18125B. 36125C. 54125D. 8112510. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为5π12，则cos θ2=( )A. √6+√24B. √6−√24C. √3+14D. √3−1411. 阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD =3，且阳马P −ABCD 的体积为9，则阳马P −ABCD 外接球表面积的最小值是( )A. 9√3π2B. 9√3πC. 27πD. 27√3π12. 已知a =3e π，b =e e 3，c =πe 3，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(4,k)，b ⃗ =(3,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则k = ______ ． 14. (x −1)(x +1)6的展开式中，x 5的系数为______ .(用数字作答)15. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =1，CD =3，AD =√2，AC =√5，则△ABC 的面积是______ ．16. 已知圆C ：(x +3)2+y 2=4，动圆M 过点A(3,0)，且圆与圆M 外切，则动圆M的圆心M 的轨迹方程是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在等比数列{a n }中，a 2=3，a 5=81．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在棱AA1，BB1上，且A1E=2AE，BF=2B1F.(1)证明：AC//平面DEF；(2)求二面角A−DE−F的余弦值．19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：(1)根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关； (2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出9位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这9位车主中随机抽取3位车主赠送一份小礼物，记这3位车主中女性车主的人数为X ，求X 的分布列及期望． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 参考数据：20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上点A(−2p,0).若当MF ⊥x 轴时，△MAF 的面积为5． (1)求抛物线C 的方程；(2)若∠MFA +2∠MAF =π，求点M 的坐标．21. 已知函数f(x)=12ax 2−lnx(a >0)．(1)求f(x)的最值；(2)若函数f(x)有两个零点x 1，x 2． ①求a 的取值范围． ②证明：x 1+x 2>2√aa ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，点P(1,0)，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|2x +1|+|2x −1|．(1)求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)的最小值是m ，a >0，b >0，且a +b =m ，求1a +9b 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={x|−3<x <1}，B ={−3,−2,−1,0，1，2，3}， ∴A ∩B ={−2,−1,0}． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：z =(1+i)3=(1+i)(1+i)2=2i(1+i)=−2+2i ， 则z −=−2−2i ． 故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =2x −y =2，解得A(4,2)，由z =2x +y ，得y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为10． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得小华一家收到的微信拜年短信数量的平均数是30+28+35+29+335= 31，将短信数量从小到大排序得28，29，30，33，35，所以中位数为30．故选：D．求平均数直接利用平均数公式进行求解即可，求中位数只需将数据从小到大排序即可．本题主要考查了平均数与中位数的求解，解题的关键是弄清求解方法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可知：√m−4m =√33，解得m=6，所以椭圆长轴长为：2√6．故选：C．利用椭圆的离心率列出关系式，求解m即可得到椭圆长轴长．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：A、若l⊥α，l//β，则α⊥β，故A正确；B、若l//α，l//β，则α与β平行或相交，故B错误；C、若l⊂α，α⊥β，则l与β相交或平行，故C错误；D、若l⊂α，l//β，则α与β平行或相交，故D错误．故选：A．利用线面平行，面面平行的判定及性质，线面垂直面面垂直的判定及性质来分析，进而得出答案．本题考查了线面平行，面面平行的判定及性质，线面垂直面面垂直的判定及性质，考查的为基础的定理，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln x−1x+1+asinx+2，则f(−x)=ln−x−1−x+1+asin(−x)+2=−ln x−1x+1−asinx+2，则有f(x)+f(−x)=4，故f(m)+f(−m)=5，若f(m)=5，则f(−m)=−1，故选：C．根据题意，由函数的解析式求出f(−x)，相加可得f(x)+f(−x)=4，则有f(m)+ f(−m)=5，计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：①把函数y=sin(2x−π4)的图象，向左平移π8个单位长度，可得函数y=sin(2x+π4−π4)=sin2x的图象；再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即可变为函数y=sinx图象，故①正确．②把函数y=sin(2x−π4)的图象，向左平移π4个单位长度，可得函数y=sin(2x+π2−π4)=sin(2x+π4)的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即可得到y=sin(x+π4)的图象，故②错误．③把函数y=sin(2x−π4)的图象，将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin(x−π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，即可得到y=sinx的图象，故③正确．④把函数y=sin(2x−π4)的图象，将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin(x−π4)的图象，再向右平移π4个单位长度，可得y=sin(x−π2)=−cosx的图象，故④错误，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取三局两胜制(只要有一人胜了两局，比赛就结束)．每局比赛甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25， 则甲最终获胜的概率是：P =(35)2+C 21×35×25×35=81125．故选：D ．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．10.【答案】B【解析】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得S =12|θ|⋅r 2， 则12|θ|=Sr 2=5π12，可得cos θ2=cos 5π12=cos(π4+π6)=cos π4cos π6−sin π4sin π6=√22×√32−√22×12=√6−√24． 故选：B ．设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos θ2的值．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意可知阳马的体积为：13AB ⋅BC ⋅PD =AB ⋅BC =9，设阳马的外接球的半径为R ，则4R 2=AB 2+BC 2+PD 2=AB 2+BC 2+9≥2AB ⋅BC +9=27，当且仅当AB =BC 时等号成立，所以阳马的外接球的表面积4πR 2≥27π． 故选：C ．利用阳马的体积，结合外接球的半径，通过余弦定理以及基本不等式求解外接球的表面积的最小值即可．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：设f(x)=lnxe ，则f′(x)=1x−lnxe x，当x≥e时，1x−lnx<0，则f′(x)<0，故f(x)在[e,+∞)上单调递减，因为e<3<π，所以ln3e3>lnπeπ，所以eπln3>e3lnπ，则3eπ>πe3，即a>c．设g(x)=xα(α>0)，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，因为e<π，所以e e3<πe3，即b<c，所以b<c<a．故选：D．构造函数f(x)=lnxe x，利用导数可得f(x)的单调性，从而可比较a，c的大小，设g(x)= xα(α>0)，由幂函数的单调性即可比较b，c的大小，从而可得结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，幂函数的性质，指数大小的比较，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a⃗=(4,k)，b⃗ =(3,−6)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =12−6k=0，解可得k=2，故答案为：2．根据题意，由数量积的坐标计算公式可得a⃗⋅b⃗ =12−6k=0，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：(x−1)(x+1)6的展开式中，x5的系数为C62−C61=9，故答案为：9．由题意利用二项展开式的通项公式，求出x5的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：在△ACD中，由余弦定理可得：cos∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD =2×2×3=√22，所以sin∠ADC=√22，所以△ACD的面积为：12AD⋅CDsin∠ADC=12×√2×3×√22=32，因为CD=13AB．所以△ABC的面积为13×32=12．故答案是：12．在△ABC中，由余弦定理可得∠ADC的值，进而求出△ACD的面积，故△ABC的面积为13S△ACD．本题考查三角形的正弦定理即余弦定理的应用，及三角形面积公式的应用，属于中档题．16.【答案】x2−y28=1(x≥1)【解析】设圆M的圆心为M(x,y)，由题意可得圆C的圆心为C(一3，0)，半径r=2，则|MC|一|MA|=r=2<6，故点M的轨迹为双曲线的右支．由双曲线的性质可知该双曲线的实轴长2a=2，焦距2c=6，则a2=1，b2=8，故该双曲线的方程是x2−y28=1，即动圆M的圆心M的轨迹方程是x2−y28=1(x≥1)．故答案为x2−y28=1(x≥1)．根据两圆外切条件，得到M点满足的等量关系，再结合双曲线的定义即可进行求解．本题主要考查两圆外切条件以及双曲线定义，属于基础题．17.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，由题设可得：q3=a5a2=813=27，解得：q=3，∴a n=a2q n−2=3×3n−2=3n−1；(2)由(1)可得：b n=3n−1×3n=32n−1，∵b n+1b n =32n+132n−1=9，b1=3，∴数列{b n}是首项为3，公比为9的等比数列，∴S n=3(1−9n)1−9=32n+1−38．【解析】(1)由题设求得等比数列{a n }的公比q ，即可求得其通项公式； (2)先由(1)求得b n ，再利用等比数列的前n 项和公式求得其前n 项和即可． 本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：连接BD 交AC 于M ，取DF 中点N ，连接MN 、NE ，M 为BD 中点，所以MN//BF ，MN =12BF =AE ，又因为AE//BF ，所以MN//AE ， 所以四边形AENM 为平行四边形，所以AM//EN ，又因为EN ⊂平面DEF ，AM ⊄平面DEF ，所以AC//平面DEF ．(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB =3， E(0,0，2)，F(3,0，1)，D(0,3，3)， EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0，−1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，1)， 设平面DEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −z =0ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3y +z =0，令z =3，m⃗⃗⃗ =(1,−1,3)， 平面ADE 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为二面角A −DE −F 为钝角，所以其余弦值为−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√11⋅1=−√1111． 故二面角A −DE −F 的余弦值为−√1111．【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题中数据可得K 2=200×(100×30−20×50)2120×80×60×150×50=1009≈11.111， 因为11.111>10.828，所以有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出9位，其中男性车主有100100+50×9=6人，女性车主有3人，P(X =0)=C 63C 93=521，P(X =1)=C 62C 31C 93=1528，P(X =2)=C 61C 32C 93=314，P(X =3)=C 33C 93=184，则X 的分布列为：故E X =0×521+1×1528+2×314+3×184=1．【解析】(1)根据题中数据，计算观测值，对照临界值得出结论；(2)X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列和方差． 本题考查独立性检验，离散型随机变量的分布列以及期望，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当MF ⊥x 轴时，点M(p 2,±p)，F(p2,0)，则|AF|=P2+2P =5P 2，|MP|=p ，∴S △MAF =12|AF||MF|=12×5P 2×P =5，解得p =2，所以抛物线方程为y 2=4x ．(2)设M(x 0,y 0)，由(1)可知A(−4,0)，F(1,0)， ∴tan∠MAF =y 0x 0+4，tan∠MFA =−y 0x 0−1，因为∠MFA +2∠MAF =π，所以tan∠MFA =−tan(2∠MAF)=−2tan∠MAF1−tan 2∠MAF ， ∴−y 0x 0−1=−2×y 0x 0+41−(y0x 0+4)2，整理得y 0(x 02+2x 0−24)=0，解得x 0=4或x 0=−6，或y 0=0，因为∠MFA +2∠MAF =π，所以x 0>0， ∴x 0=4， ∴y 0=±4，故点M 的坐标为(4,4)或(4,−4)．【解析】(1)根据题中的条件，可表示出点M 的做标，利用三角形的面积，即可解出； (2)利用题中的条件，正切函数二倍角公式，即可解出．本题考查了抛物线的性质，数学转化思想，学生的运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为f′(x)=ax −1x =ax 2−1x ，令f′(x)<0，得0<x <√aa ，f(x)单调递减，所以f(x)的最小值为f(√aa )=lna+12，f(x)无最大值．(2)①因为f(x)有两个零点，所以f(x)min <0， 由(1)可知f(x)min =lna+12，则lna+12<0，解得0<a <1e ，此时f(1e )=a2e 2+1>0， 当x →+∞时，f(x)→+∞， 所以f(x)在(0,+∞)上有两个零点， 故a 的取值范围是(0,1e ).②证明：不妨设x 1<x 2，由(1)可知x 1<√a a <x 2，则2√a a −x 1>√a a ，要证x 1+x 2>2√a a，只需证x 2>2√aa−x 1，由(1)可知f(x)在(√aa,+∞)上单调递增，且f(x 2)=0，则只需证f(2√a a−x 1)<0，因为f(x 1)=12ax 12−lnx 1=0，所以12ax 12=lnx 1， 则f(2√aa−x 1)=12a(2√a a−x 1)2−ln(2√a a−x 1)=lnx 1−ln(2√aa−x 1)−2√ax 1+2，设g(t)=lnt −ln(2√a a−t)−2√at +2(0<t <√aa)， 则g′(t)=1t 2√aa−2√a =2√a a [1−at(2√aa−t)]t(2√a a−t)=√a[1−t(2√a−at)]t(2√a−at)， 因为0<t <√aa，所以0<t(2√a −at)<1， 则g′(t)>0，从而g(t)在(0,√aa )上单调递增，所以g(t)<g(√a a )=0，即f(2√a a−x 1)<0，即x 1+x 2>2√a a．【解析】(1)求导得f′(x)=ax −1x =ax 2−1x，分别令f′(x)>0，f′(x)<0，即可得出f(x)的单调区间，进而可得最值．(2)①若f(x)有两个零点，则f(x)min =lna+12<0，解得a 的取值范围．证x 2>2√a a−x 1，结合f(x)的单调性，且f(x 2)=0，则只需证f(2√a a−x 1)<0，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 22.【答案】解：，直线l 的参数方程是{x =1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为普通方程为x −y −1=0．曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0．(2)把直线l 的参数方程是{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，代入x 2+y 2−4x =0，得到t 2−√2t −3=0， 所以t 1+t 2=√2，t 1t 2=−3，所以|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√14．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)f(x)=|2x +1|+|2x −1|={−4x,x <−122,−12≤x ≤124x,x >12，因为f(x)≥6，所以{x <−12−4x ≥6或{−12≤x ≤122≥6或{x >124x ≥6，解得x ≤−32或x ≥32，故不等式f(x)≥6的解集为(−∞,−32]∪[32,+∞)．(2)由(1)可知f(x)的最小值为2，即m =2，所以a +b =2， 则1a +9b =12(1a +9b )(a +b)=12(ba +9ab +10)≥12×(6+10)=8，当且仅当ba =9ab，即a =12，b =32时等号成立，故1a +9b的最小值为8．【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后由f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知a+b=2，然后利用乘“1”法及基本不等式求出1a +9b的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想与运算求解能力，属于中档题．。

2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）（4月份）一.选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，0}B．{﹣4，﹣2，0，2}C．{0，2}D．{﹣2，0，2，4} 2．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a9＝a5+5，则S13＝（）A．35B．65C．95D．1304．函数图象的对称中心是（）A．（kπ+，）（k∈Z）B．（kπ+，0）（k∈Z）C．（+，）（k∈Z）D．（+，0）（k∈Z）5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（）A．24B．48C．72D．966．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是（）A．2πB．4πC．8πD．12π7．在等比数列{a n}中，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a5＝（）A．3B．3或C．D．±38．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s9．已知F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝（）A．1B．C．D．10．已知函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，则m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（﹣6，6）C．（﹣6，4]D．[4，6）11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二.填空题（每小题5分）.13．已知向量＝（2，m），＝（1，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100]男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b cos A＝2c﹣a．（1）求角B；（2）若a＝4，b＝2，求边BC上的中线AD的长．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF：DF＝BE：CE．（1）证明：EF∥平面PAB．（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：y＝kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P）若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0＝0．21．设函数f（x）＝，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．（2）证明：当a≥2时，f（x）++≥0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．参考答案一.选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，0}B．{﹣4，﹣2，0，2}C．{0，2}D．{﹣2，0，2，4}解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}．故选：C．2．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i解：由题意可得，．故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a9＝a5+5，则S13＝（）A．35B．65C．95D．130解：根据题意，等差数列{a n}中，a3+a9＝a5+5，则a3+a9﹣a5＝a1+6d＝5，即a7＝5，则S13＝＝13a7＝13×5＝65，故选：B．4．函数图象的对称中心是（）A．（kπ+，）（k∈Z）B．（kπ+，0）（k∈Z）C．（+，）（k∈Z）D．（+，0）（k∈Z）解：函数，令，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的对称中心为（+，0）（k∈Z）．故选：D．5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（）A．24B．48C．72D．96解：由题意得：抽样比为：＝，∴小学生应抽取的人数为：3600×＝72，初中生应抽取的人数为：2400×＝48，∴小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：72﹣48＝24，故选：A．6．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是（）A．2πB．4πC．8πD．12π解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则h＝2r，2πrh＝4π，从而，r＝1，h＝2，故该圆柱的体积为：πr2h＝2π．故选：A．7．在等比数列{a n}中，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a5＝（）A．3B．3或C．D．±3解：根据题意，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a2a8＝9，则有（a5）2＝9，解可得a5＝±3，故选：D．8．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge ≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，故选：C．9．已知F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝（）A．1B．C．D．解：|DF2|＝m，由椭圆的定义可得|DF1|＝4﹣m，由余弦定理可得|F1F2|2＝|DF1|2+|DF2|2﹣2|DF1||DF2|cos∠F1DF2，即m2+（4﹣m）2﹣2m（4﹣m）×＝12，即m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，所以|DF1|＝|DF2|＝2，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以|OD|＝1．故选：A．10．已知函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，则m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（﹣6，6）C．（﹣6，4]D．[4，6）解：∵函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，∴f（x）在[﹣2，2]上单调递减，且大于零，故有，求得4≤m＜6，故选：D．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，可得，解得b＝2a，则e＝＝＝，故选：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a＝2xlnx+x3﹣2x2+x，令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又m（1）＝0，∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h （x）→+∞，∴h（x）的大致图象如下，∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知向量＝（2，m），＝（1，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝﹣1．解：根据题意，＝（2，m），＝（1，﹣3），则2﹣＝（3，2m+3），若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝3﹣3（2m+3）＝0，解可得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是8．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+2×1＝8．故选答案为：8．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为210元．解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．故答案为：210．16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为π．解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点在球O的表面积上，即球O的半径为R，则（2R）2＝22+22+42＝24，解得R＝，由三棱锥的直观图可得最短棱BC，设BC的中点为E，则OE＝A1B＝＝，当截面面积最小时，OE⊥截面，设截面圆的半径为r，则r2+OE2＝R2，解得r＝1，此时截面面积为π．故答案为：π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100]男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．（2）根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性顾客8020100女性顾客6040100合计14060200根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，因为9.524＞6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b cos A＝2c﹣a．（1）求角B；（2）若a＝4，b＝2，求边BC上的中线AD的长．解：（1）因为2b cos A＝2c﹣a，所以2b×＝2c﹣a，整理得，a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得，cos B＝＝，因为0＜B＜π，所以B＝；（2）因为a2+c2﹣b2＝ac，所以16+c2﹣28＝4c，解得c＝6，△ABD中，AB＝6，BD＝＝2，∠ABD＝60°，则AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos∠ABD＝36+4﹣2×＝28，故AD＝2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF：DF＝BE：CE．（1）证明：EF∥平面PAB．（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．解：（1）证明：过点F作HF∥AD，HF∩PA＝H，连接BH，∵HF∥AD，∴＝，∵PF：DF＝BE：CE，∴，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，且BC＝AD，∴HF∥BE，且HF＝BE，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，且BC＝AD，∴HF∥BE，且HF＝BE，∴四边形BEFH是平行四边形，∴EF∥BH，∵BH⊂平面PAB，EF⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，的方向为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设AB＝2，则B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴＝（0，2，0），＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，0），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，0，），设平面PCD的法向量＝（a，b，c），则，取a＝2，得＝（2，2，），设二面角B﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为钝角，∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣＝﹣＝﹣，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：y＝kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P）若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0＝0．【解答】（1）解：设点P（x0，y0），由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，所以PF＝y0+1，即，所以p＝2，即抛物线C的方程为x2＝4y；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AP的斜率为k AP，直线BP的斜率为k BP，则，，因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，所以k AP＝﹣k BP，即，又点A（x1，y1），B（x2，y2）均值抛物线上，所以，化简可得x1+x2＝﹣2x0，因为，所以，故，则，因为x2＝4y，所以，故，故，所以k+k0＝0．21．设函数f（x）＝，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．（2）证明：当a≥2时，f（x）++≥0．【解答】（1）解：因为f（x）＝，所以f′（x）＝＝，因为函数f（x）在R上是增函数，所以f′（x）≥0恒成立，即﹣ax2+2ax+1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立，符合题意；当a≠0时，要使﹣ax2+2ax+1≥0恒成立，只需，解得﹣1≤a＜0，综上可得，实数a的取值范围是[﹣1，0]．（2）证明：当a≥2时，令g（x）＝f（x）++，g′（x）＝+＝﹣，令g′（x）＝0，可得x1＝﹣，x2＝2，因为a≥2，所以当x∈（﹣∞，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x→+∞时，g（x）＝+→＞0，g（﹣）＝﹣+≥0，所以g（x）≥0，即f（x）++≥0，得证．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．解：（1）由（α为参数），得，即曲线C的普通方程为；由ρcosθ﹣2ρsinθ＝3，结合x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x﹣2y＝，即直线l的直角坐标方程为x﹣2y﹣＝0；（2）由题意可设P（2cosα，sinα），则点P到直线l的距离d＝．∵﹣1，∴．∴，即．故点P到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，因为f（x）≤7，则有或或，解得﹣3≤x＜﹣2或﹣2≤x≤3或3＜x≤4，故不等式f（x）≤7的解集为[﹣3，4]；（2）由题意可得，f（x）＝|x+a|+|x﹣3|≥|x+a﹣x+3|＝|a+3|，因为f（x）≥1，所以|a+3|≥1，解得a≥﹣2或a≤﹣4，故a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）．。