金太阳11月高三联考理科数学试题

江西省2024-2025学年上学期调研测试高三数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =-，则()i i z -⋅=（）A.13i- B.13i+ C.3i- D.3i +2.已知集合{{},2A xy B x x ===∈≤Z ∣，则A B = （）A.{}1,0,1-B.{}2,0,2-C.{}2,1,1,2-- D.{}2,1,0,1,2--3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若13a =，且248,,a a a 成等比数列，则d =（）A.2B.3C.52D.534.已知函数()223x x x f =-+，则“()2,x ∈+∞”是“()3f x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知α为钝角，向量())2tan ,2,,sin a b ααα=-=，若a b⊥ ，则α=（）A.πB.5π6C.2π3D.π3或2π36.某种水果的有效保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）近似满足函数关系e ax b t +=（,a b 为常数，e 为自然对数的底数）.已知该水果在3C 下的保鲜时间为192小时，在6C 下的保鲜时间为96小时，若要使该水果保鲜时间不低于48小时，则温度不应超过（）A.6.5CB.7.5CC.8CD.9C7.已知()1656sin 2,sin 6565αβα-==，则()sin cos αββ-=（）A.3665B.3265C.2065D.12658.已知()10,0,e 1ln aa b ab b >>=+，则（）A.ln b a >B.ln 1a b >C.e ab > D.()1ln 1a b +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1212i,2i z z =-=+，则（）A.12z z ∈RB.12102z z -<-C.2z 在复平面内对应的点位于第四象限D.1212z z z z +>-10.已知0,0,2a b a b >>+<，则（）A.01ab <<B.22a b -<-<C.2212a b <+<D.02<<11.已知数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =，且121n n n a a a +=+，记1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则（）A.216a =B.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C.2224n n T n +=-- D.11111222n n n S +-<≤-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题2:0,1ln p x x x ∀>≥+，则p ⌝是__________.13.在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 的中点，且13EG EF = ，若AG AB AD λμ=+，则λμ=__________.14.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()21f x +和()2f x '+均为偶函数，且()22f '=，则20261()i f i ='=∑__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（*0,A ω>∈N 且π6,2ωϕ<<）的最大值为2，且满足()π01,12f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）求不等式()1f x ≥的解集.16.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 34cos C c A b ab a B+=.（1）求cos B ；（2）若4b =，求ABC V 面积的最大值.17.已知函数()()2ln 1f x x a x x =---.（1）当3a =时，求函数()f x 的最值；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求a 的取值范围.18.已知函数()()23log 331xx f x kx =+++是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）设函数()()()22233,1f x xxx x g x m h x x +-+=+⋅=-.（i ）若()g x 在()30,log 4x ∈上有且仅有1个零点，求实数m 的取值范围；（ii ）若[][]()()123122,4,0,log 2,x x h x g x ∀∈∃∈=，求实数m 的取值范围.19.已知正整数构成的集合{}123,,,,n A a a a a = ，定义,i i j j a A a a A a ÷⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，称A ÷为A 的商集，记()n A 为集合A 中的元素个数.（1）（i ）若{}1,2,3A =，求集合A ÷；（ii ）若148331,2,,,,,23348B ÷⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求出一个符合条件的集合B ；（2）若()2451n A ÷=，求n 的最小值；（3）当()n A 分别等于1,2,3,4时，比较()n A ÷与()21n A -的大小关系，并就一般情况证明上述关系的正确性.江西省2024-2025学年上学期调研测试高三数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC 【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】20,1ln x x x ∃><+【13题答案】【答案】59【14题答案】【答案】2四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()πππ,π62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【16题答案】【答案】（1）34；（2）.【17题答案】【答案】（1）最小值为2，无最大值（2）(],0-∞【18题答案】【答案】（1）1k =-；（2）（i ）21,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（ii ）11,16⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【19题答案】【答案】（1）（i ）13121,2,3,,,,2233A ÷⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（ii ）{}3,6,8（2）最小值为50（3）()()21n A n A ÷≥-，证明见解析。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，其图像关于点(0,1)对称，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 110，a1 = 1，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -15. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC为（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 145B. 150C. 155D. 1607. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为（）A. 1B. -1C. 0D. 不存在8. 在△ABC中，若a = 5，b = 6，c = 7，则sinA的值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 19. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，a1 = 2，则公比q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x) = 0，则x的值为______。

12. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinB的值为______。

13. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-1)的值为______。

高三一轮中期调研考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､函数与导数､不等式､三角函数与解三角形､平面向量､复数､数列､立体几何､解析几何.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,2,3U M N ===，则()U M N ⋃=ð（）A.{}4,5B.{}1,2 C.{}2,3 D.{}1,3,4,52.24i12i +=-（）A.68i 55- B.82i 5+C.82i 5-- D.68i55-+3.已知单位向量,a b 满足()()425a b a b +⋅-=- ，则a b ⋅= （）A.12B.13C.15D.144.已知等比数列{}n a 的前n 项和为135246,1,2n S a a a a a a ++=++=，则126S S -=（）A.18B.54C.128D.1925.已知O 为坐标原点，,,A B F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点､上顶点和右焦点点P 在椭圆C上，且PF OF ⊥，若AB ∥OP ，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.1D.226.设,,,4242ππππαβ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且sin cos ααβ+=，则（）A.4παβ+=B.4παβ-=C.2παβ+=D.4παβ-=-7.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，则min t 后该物体的温度C θ 可由公式()4010etθθθθ-=+-求得.若将温度分别为100C 和60C 的两块物体放入温度是20C 的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10C ，至少要经过（）（取：ln20.69=）A.2.76minB.4.14minC.5.52minD.6.9min8.已知20991ln ,,e 89a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在三棱台ABC A B C '-''中，的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则（） AA '⊥' AB'⊥ C.直线CC '与平面ABC 所成角的余弦值为64D.三棱台ABC A B C '-''的高为3310.若函数sin y x t =-在()0,∞+上的零点从小到大排列后构成等差数列，则t 的取值可以为（）A.0B.1C.12D.2211.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()11y f x xf y +=+，则（）A.()00f = B.()10f =C.()f x 是奇函数D.()f x 没有极值12.如图，有一组圆()k C k +∈N 都内切于点()2,0P -，圆221:(3)(1)2C x y ++-=，设直线20x y ++=与圆k C 在第二象限的交点为k A，若1k k A A +=，则下列结论正确的是（）A.圆k C 的圆心都在直线20x y ++=上B.圆99C 的方程为22(52)(50)5000x y ++-=C.若圆k C 与y 轴有交点，则8kD.设直线2x =-与圆k C 在第二象限的交点为k B ，则11k k B B +=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数sin 1y x =+的图象可由函数sin 16y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象至少向右平移个单位长度得到__________.14.已知函数()0,0,0,x f x x =<⎪⎩则满足()()12f x f x -<的x 的取值范围是__________.15.已知抛物线2:C y x =与直线y a =交于,A B 两点，点D 在抛物线C 上，且ABD 为直角三角形，则ABD 面积的最小值为__________.16.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则该几何体的体积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，D 为BC上一点，CD BD ==，且90BAD ∠= .（1）若AD =，求AC ；（2）若30CAD ∠= ，求ABAC.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，2,PD CD AD AB AB ===∥,CD AD CD ⊥.（1）在棱PD 上是否存在点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，请指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.（2）求平面PBC 与平面PAB 的夹角的大小.19.（12分）在数列{}n a 中，111,22n n a a a n +=-=+.（1）证明：数列{}11n n a a +--为常数列.（2）若14nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知函数()2f x x ax b =--+，曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线斜率为132.（1）求a 的值；（2）当[]0,(0)x b b ∈>时，()f x 的值域为[]0,b ，求b 的值.21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，渐近线方程为32y x =±.（1）求双曲线C 的方程.（2）已知双曲线C 的左､右顶点分别为,A B ，直线y kx m =+与双曲线C 的左､右支分别交于点,M N （异于点,A B ）.设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若点(m ）在双曲线C 上，证明12k k 为定值，并求出该定值.22.（12分）已知函数()()sin 1f x a x a x =-+.（1）当12a =-时，证明：()f x 只有一个零点.（2）若()()0,,cos 0x f x x x π∈+>，求a 的取值范围.高三一轮中期调研考试数学参考答案1.A【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.因为{}1,2,3M N ⋃=，所以(){}U 4,5M N ⋃=ð.2.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.()()224i 2(12i)68i 68i 12i 12i 12i 555++-+===-+--+3.C 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.因为()()224225a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=- ，所以15a b ⋅= .4.D 【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养.设等比数列{}n a 的公比为q ，则()135246a a a q a a a ++=++，解得2q =.()661267812126232192S S a a a a a a -=+++=+++⨯=⨯= .5.D【解析】本题考查椭圆，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.易知()()22,,,0,0,,,AB OP b b b P c A a B b k k a a ac ⎛⎫-== ⎪⎝⎭.因为AB ∥OP ，所以ABOP k k =，则2b b a ac=，即,b c a ===，所以22c e a ==.6.B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.因为sin cos 4παααβ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以sin cos sin 42ππαββ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为,,,4242ππππαβ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以3,,0,42424πππππαβ⎡⎤⎡⎤+∈-∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，所以42ππαβπ++-=，则4παβ-=.7.C 【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养.100C的物块经过min t 后的温度412080e ,60C tθ-=+的物块经过min t 后的温度422040e t θ-=+.要使得这两块物体的温度之差不超过10C ，则442080e 2040e 10t t --⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，解得8ln2 5.52t = .8.A【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.设函数()()211ln 1,x f x x f x x x-=+-='，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，则()()10f x f =，所以1ln 1x x - ，当且仅当1x =时，等号成立.令98x =，则91ln 89>.设函数()()e ln ,e e x x g x x g x x-=='-，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，则()()e 0g x g =，所以()33ln30e g =-<，即310ln3e 9<<，所以10209913e ,e 9-<>.故a b c >>.9.ABD 【解析】本题考查棱台，考查直观想象的核心素养.延长,,CC AA BB '''交于点P ，设,AB AC 的中点分别为,D E ，连接CD ，BE 并交于点O ，连接PO .在PAC 中，C A ''∥CA ，所以C A PC CA PC='''，可得1,2PC PC ='=.同理可得2PA PB ==，所以三棱锥P ABC -为正三棱锥.又222PC PA AC +=，所以PC PA ⊥，即,A CC AA ⊥''正确.易得AB ⊥平面POC ，所以CC AB '⊥，B 正确.因为PO ⊥平面ABC ，所以PCO ∠为直线CC '与平面ABC 所成的角.易知26236,C333CO CD CO PO PCO PC ∠=====错误.因为C '为PC 的中点，所以三棱台ABC A B C '-''的高为123PO =，D 正确.10.ABD 【解析】本题考查三角函数及等差数列，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.因为函数sin y x t =-有零点，所以[]0,1t ∈.画出函数sin y x =与y t =的图象，如图所示.当0t =或1时，经验证，符合题意.当()0,1t ∈时，由题意可得2132x x x x -=-.因为2123,2x x x x ππ+=+=，所以123352,,,4442x x x t πππ====.11.ACD【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养.令0x y ==，则()00f =，A 正确.当0x ≠且1y ≠-时，由()()()11y f x xf y +=+，得()()11f x f y xy +=+.令函数()()f x g x x=，则()()111f y g y y ++=+，所以()()1g x g y =+，所以()g x 为常函数.令()g x k =，则()f x kx =，所以()f x 是奇函数，C 正确.()f x 没有极值，D 正确.当0k ≠时，()10f k =≠，B 错误.12.ABD【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象､逻辑推理及数学运算的核心素养.圆k C 的圆心都在直线20x y ++=上，A 正确.由题意可得k C 的方程为22251(1)22222k k k x y +⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故圆99C 的方程为22(52)(50)5000x y ++-=，B 正确.若圆k C 与y 轴有交点，则)15222k k ++，解得38.6k +≈ .因为k +∈N ，所以k 9，C 错误.由22251(1)22222k k k x y +⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2x =-，可得y 的较大根为1k +，故11k k B B +=，D 正确.13.116π【解析】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.因为11sin 1sin 21,66y x x k k πππ⎡⎤⎛⎫=+=--++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，所以函数sin 1y x =+的图象可由函数sin 16y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象至少向右平移116π个单位长度得到.14.()0,∞+【解析】本题考查分段函数，考查逻辑推理的核心素养.画出()f x 的图象（图略），数形结合可得20,21,x x x >⎧⎨>-⎩解得0x >.15.1【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.设())()2,,,A a Ba D m m，则()()22,AD m m a BD m m a =-=- .因为ABD 为直角三角形，所以(()220AD BD m m m a⋅=+-+-=，即(222)0m a m a -+-=.因为20m a -≠，所以210,1m a a =- .()2112ABD S AB a m =⋅-= .16.23233【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象及数学运算的核心素养.过直线AD 和直线PQ 分别作平面α，平面β（图略），平面α和平面β都平行于坚直的正六棱柱的底面，则该坚直的正六棱柱夹在平面α和平面β之间的部分的体积为233242⨯⨯=.如图将多面体ABCDNM分成三部分，1111326A BFM D CEN V V --==⨯⨯⨯=，三棱柱BFM CEN -的体积为1122⨯=ABCDNM 的体积为263⨯=.两个正六棱柱重合部分的体积为43563433-⨯=.一个正六棱柱的体积为233282⨯⨯=.故该几何体的体积为5632323233⨯=.17.解：（1）在Rt ABD 中，5710,cos 14AB B ===.在ABC 中，2222cos 25AC AB BC AB BC B =+-⋅=，解得5AC =.（2）在ACD 中，sin sin AC CDADC CAD∠∠=，所以AC ADC ADB ∠∠==.在ABD 中，90,sin AB BAD ADB BD∠∠==，所以AB ADB ∠=.故2AB AC ==.18.解：（1）当E 为PD 的中点时，AE ∥平面PBC .理由如下：设F 为PC 的中点，连接,,EF FB AE .在PCD 中，EF∥1,2CD EF CD =.因为2,CD AB AB =∥CD ，所以EF∥,AB EF AB =，所以四边形EFBA 为平行四边形，所以AE ∥BF .因为BF ⊂平面PBC ，所以AE ∥平面PBC .（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设22PD CD AD AB ====，则()()()0,0,2,0,2,0,2,1,0P C B ，()()2,1,2,0,2,2PB PC =-=-.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令2y =，则()1,2,2m =.设G 为AP 的中点，连接DG （图略），易证得DG ⊥平面PAB ，所以DG是平面PAB 的一个法向量.又()()0,0,0,1,0,1D G ，所以()1,0,1DG =.设平面PBC 与平面PAB 的夹角为θ，cos cos ,2m DG m DG m DGθ⋅===，所以4πθ=，即平面PBC 与平面PAB 的夹角的大小为4π.19.（1）证明：令1n =，可得22a =.因为122n n a a n +-=+①，所以()1212n n a a n n --=+②.①-②得()11221n n n n a a a a +----=，即()11211n n n n a a a a +---=--.因为2110a a --=，所以数列{}11n n a a +--为常数列.（2）解：由（1）可得110n n a a +--=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，所以n a n =.因为14n n n b -=，所以01211234444n n nT -=++++ ③，123112344444n n n T =++++ ④.③-④得012313111114444444n n nnT -=+++++- 0111441414n nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--434334nn +=-⋅，所以11634994n n n T -+=-⋅.20.解：（1）()2f x x a =--'.()1134822f a =--='，解得1a =.（2）()()2,f x x x b f x =--+='.令函数()()21,g x g x ='=-=当16x >时，()0g x '>；当106x <<时，()0g x '<.所以()g x 在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,6∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.因为()()01,10g g =-=，所以当1x >时，()0g x >，即()0f x '>；当01x <<时，()0g x <，即()0f x '<.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增.当01b <时，()f x 在[]0,b 上的最小值为()20f b b b b =--=，解得2321b =>，舍去.当1b >时，()f x 在[]0,b 上的最小值为()120f b =-+=，解得2b =，此时()()()22,02,242f x x x f f =--==-<，符合题意.综上，b 的值为2.21.解：（1）因为渐近线方程为32y x =±，所以32b a =，即32b a =.222277,2,4c a b a a b =+====.故C 的方程为22143x y -=.（2）因为点()m 在双曲线C 上，所以22(3)143m -=，即2244m k -=.联立221,43,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m ----=.()22Δ48433360m k =-+=>.21212228412,3434km m x x x x k k--+==--.()22121212y y k x x km x x m =+++()222222241283434m k k m m k k --=++--()222234123434m k k k -==--.21x x -==22431294213434k k ==--.因为2122412034m x x k --=<-，所以2340k ->，所以21234x x k-=-.()1212121212212224y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--22212344128213434k k k =--=158+==-.故12k k为定值，定值为158+-.22.（1）证明：当12a =-时，()()()11sin ,cos 10222x f x x f x x '=--=-+ ，所以()f x 是减函数.因为()00f =，所以()f x 只有一个零点.（2）解：()cos 0f x x x +>，即()sin 1cos 0a x a x x x -++>.令函数()()()sin 1cos ,0,g x a x a x x x x π=-++∈，()()()1cos 1sin g x a x x x =+--'.()00g =，要使得()0g x >，则存在()10,x π∈，使得()g x 在()10,x 上单调递增，即当(0x ∈，)1x 时，()0g x '>.令函数()()()()()1cos 1sin ,0,h x g x a x x x x π=+-∈'=-，()()2sin cos h x a x x x =-+-'.()00h =，要使得()0h x >，则存在()20,x π∈，使得()h x 在()20,x 上单调递增，即当)2(0,x x ∈，时，()0h x '>.令函数()()()()2sin cos ,0,u x h x a x x x x π='=-+-∈，()()3cos sin u x a x x x =-++'.()()()00,03u u a '==-+.当()30a -+，即3a - 时，()()()()1cos 1sin 2cos 1sin g x a x x x x x x '=+----- .令函数()()()2cos 1sin ,sin cos s x x x x s x x x x -'=--=-.令函数()()()sin cos ,sin t x s x x x x t x x x =''==-.因为()0t x '>在()0,π上恒成立，所以函数()()t x s x ='在()0,π上单调递增.因为()()000t s ='=，所以()()0t x s x ='>在()0,π上恒成立，所以()s x 在()0,π上单调递增.因为()00s =，所以()0s x >在()0,π上恒成立，即()0g x '>在()0,π上恒成立，所以()g x 在()0,π上单调递增，()()00g x g >=，符合题意.当()30a -+<，即3a >-时，存在()00,x π∈，使得当()00,x x ∈时，()0u x '<，即()u x 在()00,x 上单调递减.因为()00u =，所以当()00,x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递减.因为()00h =，所以当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减.因为()00g =，所以当()00,x x ∈时，()0g x <，与题意不符.综上，a 的取值范围为(],3∞--.。

贵州省部分学校2025届高三上学期11月联考考试试题一、单选题（本大题共8小题）1．在等比数列{}n a 中，12a =，45678a a a a a =，则25a a +=（）A．36B．32C．16D．122．若复数()2i 1i z a a =+-+是纯虚数，则实数a =（）A．1B．1-C．1±D．03．已知直线1y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若MN =，则k =（）A．12B．1C．D．24．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在[50,100]内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）A．65B．75C．85D．955．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2239b c c =++，ABC ∠的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，则b =（）A．B．C．6D．6．2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（）A．243种B．162种C．72种D．36种7．已知函数()()2log 41x f x x =+-x 的不等式()()22f x f x +>解集为（）A．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B．211,232⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,C．211,,2322纟轹琪--È琪棼滕D．111,,222纟轹琪--È琪棼滕8．已知抛物线2:2E y x =，圆()()2200:11,,M x y N x y -+=为圆M 外一点，过点N 作圆M 的两条切线1l ，2l ，直线1l 与抛物线E 交于点()()1122,,,A x y B x y ，直线2l 与抛物线E 交于点()()3344,,C x y D x y ，，若22001x y +=，则1234y y y y =（）A．16B．8C．4D．1二、多选题（本大题共3小题）9．设离散型随机变量X 的分布列如表，若离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A．0.2x =B．()2E X =，() 1.8D X =C．()2E X =，() 1.4D X =D．()3E Y =，()7.2D Y =10．已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ，则下列说法正确的是（）A．不等式解集M =∅的充要条件为240a b ac <⎧⎨-≤⎩B．若111a b c a b c==，则关于x 的不等式21110a x b x c ++>的解集也为M C．若{}23M x x =-<<，则关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩，或>D．若2b M x x a ⎧⎫=≠-⎨⎬⎩⎭，且a b <，则24a b c b a ++-的最小值为811．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为'，()g x '，且()()25f x g x +-=，()()43g x f x --=，若+2是偶函数，则下列正确的是（）．A．()20g '=B．4为函数()f x 的一个周期C．()1f x +是奇函数D．()25g =，则()202412024k f k ==∑三、填空题（本大题共3小题）12．集合A 满足{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有个.13．已知函数()()3,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫=⎪⎝⎭．14．已知M 是椭圆22110x y +=上一点，线段AB 是圆()22:64C x y +-=的一条动弦,且AB =则MA MB ⋅的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =.(1)求角A 的大小；(2)若BC =，求ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,AB CD CD BC ⊥，24,,AB CD BD BP PCD === 为等边三角形.(1)证明：⊥BC 平面PCD .(2)若ABD △为等边三角形，求平面PBD 与平面PAD 夹角的余弦值.17．篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA 全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到22⨯列联表如下：喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第n 次触球的概率为n P ，则11P =.（i）证明：数列（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.19．已知函数()1e ln -=-xf x a x ．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >，若不等式()ln f x a a a ≥+恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．【答案】A【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以45678a a a a a =化为31221311a q a q ⋅=⋅，解得1a q =，又因为12a =，所以2q =，所以112n nn a q a -=⋅=，所以4251143236a a a q a q +=⋅+⋅=+=.故选：A 2．【答案】B【详解】由()()22i 1i 11i z a a a a =+-+=-+-，根据题意可知210110a a a ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩.故选：B 3．【答案】B【分析】先计算直线10kx y -+=到圆心O 的距离d ，然后根据勾股定理得到22144d MN +=，再代入条件即可解出2k ，从而得到k .【详解】如图所示：设坐标原点O 到直线10kx y -+=的距离为d ，则d =.设线段MN 的中点为P ，则MN OP ⊥，根据勾股定理，有22222144OMOP PMd MN ==+=+.由MN =22211144414d MN k =+=++，故21112k =+，解得21k =，故1k =.故选B.4．【答案】C【详解】因为2101a ⨯=，所以0.05a =.参赛成绩位于[50,80)内的频率为()100.010.0150.0350.6⨯++=，第75百分位数在[)80,90内，设为80y +，则0.030.15y =，解得y =5，即第75百分位数为85，故选：C.5．【答案】D【详解】因为3a =及2239b c c =++，可得222b a c ac =++，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，又由0πB <<，所以2π3B =，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即11sin ()sin 22ac ABC BD a c ABD ∠=⋅+∠，解得6c =，由余弦定理得222263263cos633b π=+-⨯⨯⨯=，即b =故选：D．6．【答案】B【详解】先安排甲、乙两人，有23A 种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有23A 333162⨯⨯⨯=（种）方法.故选：B.7．【答案】C 【详解】因为()()()222241log 41log 41log 2log 2x xxxx f x x +=+-++-++()2log 22x x -=+由210x -≥可得1x ≤-或1x ≥，即函数()f x 的定义域为(][),11,-∞-+∞ ，因为()()()()22log 22log 22x x x x f x f x ---=+=+=，所以，函数()f x 为偶函数，任取1x 、[)21,x ∈+∞，且12x x >，则12222x x >≥，122x x +>，1224x x +>，令22x x u -=+，则()1212121212111122222222x x x xx x x x u u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()12121212121222212222022x x x x x x x x x x x x +++---=--=>，即12u u >，所以，函数22x x u -=+在[)1,+∞上为增函数，又因为函数2log y u =在()0,∞+上为增函数，所以，函数()2log 22x xy -=+在[)1,+∞上为增函数，又因为函数y =[)1,+∞上为增函数，故函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，由()()22f x f x +>可得()()22f x f x +>，可得221x x +>≥，解得2132x -<≤-或122x ≤<，因此，原不等式的解集为211,,2322纟轹琪--È琪棼滕.故选：C.8．【答案】C【详解】由题意()00,N x y ，且12,l l 都与抛物线有两个不同的交点，所以00x ≠，故设过点N 且与圆M 相切的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，由题意得1=，整理得，()()220000022110x x k y x k y ---+-=（*），设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程（*）的两个实根，故()()()20000121200000211,222y x y x k k k k x x x x x --+===---，由00202kx y y kx y x-+-=⎧⎨=⎩，得()200220k y y y kx -+-=，因为()()()()11223344,,,,A x y B x y C x y D x y ，，，，所以()()010*********22,y k x y k x y y y y k k --==，所以()()()22012000120100201234121244y k k x y x k k y k x y k x y y y y k k k k ⎡⎤-++--⎣⎦==()()220000000000220000214224442y x x y x y x x x x y x x x ⎡⎤--+⋅⎢⎥--⎣⎦==+=-.故选C.9．【答案】BD【详解】因为0.10.40.20.21x ++++=，所以0.1x =，A 选项错误；由()00.110.420.130.240.22E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故22222()(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，因此选项B 正确；又21Y X =-，所以，()2()13E Y E X =-=，()4()7.2D Y D X ==，故C 错D 对.故选：BD 10．【答案】AD【详解】解：选项A：不等式20ax bx c ++>解集M =∅，等价于一元二次函数2y ax bx c =++的图象没有在x 轴上方的部分，故等价于2040a b ac <⎧⎨-≤⎩，所以选项A 正确；选项B：取值1,2,3a b c ==-=-，1112,31,a b c ===-，此时能满足111a b c a b c==，而2230x x -->的解集为{|1x x <-，或}3x >，2230x x -++>的解集为{}|13x x -<<，故B 选项错误；选项C：因为一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}23M x x =-<<，所以得到2-与3是20ax bx c ++=的根且a<0，故有2323b aca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得60b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，所以不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，等价于不等式2610x x --<的解集1132M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以选项C 错误；选项D：因为2b M x x a ⎧⎫=≠-⎨⎬⎩⎭，所以240b ac ∆=-=，即24b c a=，令()0b a t t -=>，所以()()()222222222244b a b a a t a t a a ab b a at ta b a a b a at at++++++++++===--4448a t t a =++≥+=，当且仅当4a t t a =即3b a =取“=”，选项D 正确.故选：AD.11．【答案】ABD【详解】A 选项，+2为偶函数，故()()22g x g x -+=+，两边求导得，()()22g x g x --+='+'，令0x =得()()22g g -'='，解得()20g '=，A 正确；B 选项，因为()()25f x g x +-=，()()22g x g x -+=+，所以()()25f x g x ++=①，因为()()43g x f x --=，所以()()223g x f x +--=②，则①②相减得，()()22f x f x +-=③，又()()242f x f x -+-=④，则③④相减得()()40f x f x --=，即()()4f x f x =-，故4为函数()f x 的一个周期，B 正确；C 选项，假如()1f x +为奇函数，则()()110f x f x -+++=，当1x =时，可得()()020f f +=，但()()22f x f x +-=，当2x =可得()()202f f +=，显然不满足要求，故()1f x +不是奇函数，C 错误；D 选项，因为()()25f x g x +-=，所以()()025f g +=，又()25g =，故()00f =，由B 选项得()()22f x f x +-=，故()()202f f +=，解得()22f =，且()()312f f +=，由B 选项知()f x 的一个周期为4，故()()400f f ==，所以()()()()12344f f f f +++=，则()()()()()20241506123450642024k f k f f f f =⎡⎤=+++=⨯=⎣⎦∑，D 正确.故选：ABD 12．【答案】3【详解】因为{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，即{}1,3{}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =，即集合A 的个数有3个.故答案为：3.13．【答案】8116【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<，313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：8116.14．【答案】70【详解】如图，设AB 中点为N ，由AB AN =⇒=CN =N 的轨迹为以()0,6为圆心，r =()()()()2222MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA MN NA MN ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，max max MN MC r =+，设),cos Mθθ，则MC ===，当且仅当2cos 3θ=-时，max MC ==所以max max MN MC r =+==()2maxmax272270MA MBMN⋅=-=-=故答案为：7015．【答案】(1)2π3(2)4【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin sin cos A B B A=sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =2π3A =.（2）由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△，即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=，在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc --=-，解得5bc =或4bc =-（舍去），所以11sin 5sin120224ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16．【答案】(1)证明见解析(2)35【详解】（1）记E 为PD 的中点，连接,BE CE .因为PCD △为等边三角形，所以PD CE ⊥，因为BD BP =，所以PD BE ⊥，又,,BE CE E BE CE =⊂ 平面BCE ，所以PD ⊥平面BCE ，因为⊂BC 平面BCE ，所以PD BC ⊥，又,,,CD BC CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以⊥BC 平面PCD .（2）以C 为原点，,CD CB 所在直线分别为,x y轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为PCD △为等边三角形，2CD =，所以P 到底边CD的距离为因为ABD △为等边三角形，4AB =，所以D 到底边AB的距离为则(0,(2,0,0),(4,P B D A ，所以(2,(1,0,(2,BD PD DA =-== ，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m BD m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令1y =，则1x z ==，故)m = ，设平面PAD 的法向量为 =s s ，则00n DA n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200a a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1c =，则1a b ==-，故1,1)n =- ，因为3cos ,5m n m n m n ⋅〈〉== ，所以平面PBD 与平面PAD 夹角的余弦值为35.17．【答案】(1)能认为喜爱篮球运动与性别有关(2)（i）证明见解析；（ii）甲第25次触球者的概率大【详解】（1）假设0H ：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得220.001200(60802040)10010.828100*********x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.（2）（i）由题意，()11111101333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-+，所以1111434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭又113044P -=≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，13-为公比的等比数列.（ii）由（i）得，1311434n n P -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，所以232431114344P ⎛⎫=⋅-+< ⎪⎝⎭，242531114344P ⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭.故甲第25次触球者的概率大.18．【答案】(1)是定值，定值为14(2)13-【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得t -<<2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BC x t x t y y k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x t x x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ= (0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ= ，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.19．【答案】(1)210x y --=(2)(]0,1【详解】（1）当1a =-时，()1e ln x f x x -=+，则()11e x f x x-'=+，()01e 12f '∴=+=，又()01e ln11f =+=，()y f x ∴=在()()1,1f 处的切线方程为：()121y x -=-，即210x y --=.（2）方法一：令()()1ln e ln ln x g x f x a a a a x a a a -=--=---，则()0g x ≥恒成立，()g x 的定义域为()0,∞+，()1e x a g x x -'=-且0a >；令()()h x g x ='，则()12e 0x a h x x -'=+>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，即()g x '在()0,∞+上单调递增，又()11e e 1011aa a g a a a '+=-=-+>++，11e 101a a g a a -+⎛⎫'=--< ⎪+⎝⎭，0,11a x a a ⎛⎫∴∃∈+ ⎪+⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0100min e ln ln x g x g x a x a a a -∴==---，由()00g x '=得：010e x a x -=，00ln 1ln x x a ∴+-=，010e x a x -=，()()000011110000000e e ln e e ln 1x x x x g x x x x x x x ----∴=---+-()012000e 12ln x x x x -=--，()012000e 12ln 0x x x x -∴--≥，即00012ln 0x x x --≥，令()12ln u x x x x=--，则()u x 在()0,∞+上单调递减，又()000012ln 0u x x x x =--≥，()10u =，001x ∴<≤，设()()1e 01x t x x x -=<≤，则()()11e 0x t x x -'=+>，()t x ∴在(]0,1上单调递增，()01t x ∴<≤，0100e 1x x -∴<≤，又010e x a x -=，a ∴的取值范围为(]0,1.方法二：由()ln f x a a a ≥+得：1e ln ln x a a a a x -≥++，()()()()ln 111e 1ln ln ln 1ln 1e ax x x ax a x ax ax ax +-⎡⎤-⎣⎦∴≥++=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当()ln 10ax +≤时，()1e 0ln 1x x ax ->≥+在0a >，0x >时恒成立，0a ∴>；当()ln 10ax +>时，设()()1e 0x h x x x -=>，则()()()ln 1h x h ax ≥+，()()11e 0x h x x -'=+> ，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()ln 1x ax ∴≥+，即()1e 0x ax x -≤>，()1e 0x a x x-∴≤>，令()()1e 0x u x x x -=>，则()()121e x x u x x--'=，∴当()0,1x ∈时，()0u x '<；当()1,x ∈+∞时，()0u x '>；()u x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11u x u ∴==，1a ∴≤，又0a >，01a ∴<≤；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.方法三：()f x 定义域为()0,∞+，()ln f x a a a ≥+恒成立，()11ln f a a a ∴=≥+必然成立；令()ln S a a a a =+，则()2ln S a a '=+，∴当()20,e a -∈时，()0S a '<；当()2e ,a -∈+∞时，()0S a '>；()S a ∴在()20,e -上单调递减，在()2e ,-+∞上单调递增，又()11S =，当10e a -<<时，()()1ln 0S a a a =+<，∴当01a <≤时，ln 1a a a +≤；下面证明：当01a <≤时，()ln f x a a a ≥+恒成立.ln 0a a ≤ ，()ln ln ln ln 1a x a a a a x a a x ∴++≤+=+，()11e ln ln e ln 1x x a x a a a a x --∴---≥-+，令()()1e ln 1x F x a x -=-+，则()1e x a F x x -'=-，令()()G x F x '=，则()12e0x a G x x -'=+>，()F x '∴在()0,∞+上单调递增，当1a =时，()11e x F x x-'=-，()10F '=，∴当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10F x F ∴≥=，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当01a <<时，()110F a '=->，()1e 10a F a -'=-<，()0,1x a ∴∃∈，使得()00F x '=，且当()00,x x ∈时，()0F x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()0100e ln 1x F x F x a x -∴≥=-+，由()00F x '=得：010e x a x -=，00ln ln 1x a x =+-，()()000001ln 1ln a F x a a x a x a a a x x ⎛⎫∴=-+-=+-- ⎪⎝⎭，()0,1x a ∈ ，0012x x ∴+>，()()0001ln ln 1ln 0F x a x a a a a a a a a x ⎛⎫∴=+-->-=-> ⎪⎝⎭，()()00F x F x ∴≥>，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当1a >时，()()111ln ln f a a a a a =<+=+，显然不满足()ln f x a a a ≥+恒成立；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得参数的取值范围；2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到自变量的大小关系；3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到a 的一个取值范围，再证明在此范围时不等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.。

一、选择题1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，则$f'(1)$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A解析：$f'(x) = 6x^2 - 6x + 2$，将$x=1$代入得$f'(1) = 6 - 6 + 2 = 2$。

2. 若$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是（）A. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$B. $a^2 > b^2$C. $\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. $\log_2 a > \log_2 b$【答案】C解析：选项A、B、D均不成立，只有选项C成立，因为平方根函数在$(0,+\infty)$上是增函数。

3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 5n$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，得$a_1 +a_n = 8n - 10$，又$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入得$a_1 + a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$，即$2a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$。

取$n=1$，得$2a_1 = 8 - 10$，解得$a_1 = -1$。

但题目要求$a_1 > 0$，故排除D选项，选A。

4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x=0$B. $x=1$C. $x=2$D. $x=-1$【答案】B解析：函数$f(x)$的定义域为$x \neq 0, 1$。

求导得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x-1)^2}$，令$f'(x) = 0$，得$x=1$。

2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期11月月考数学（理）试题（一）一、单选题1．已知i的共轭复数是（ ）A iB iC ．1+D ．1- 【答案】B【分析】利用复数代数形式的四则运算和共轭复数的概念得出结果．【详解】3ii=，i ． 故选：B ．2．已知集合{}==2,Z A x x k k ∈，{}==31,Z B x x k k ∈-，则A B ⋂=（ ）A ．{}=42,Z x x k k -∈B ．{}=4+2,Z x x k k ∈C ．{}=62,Z x x k k -∈D ．{}=6+2,Z x x k k ∈【答案】D【分析】当k 为偶数时，A B =∅，当k 为奇数时，令21k k '=+，Z k '∈，从而求出{}==6+2,Z A B x x k k ⋂∈''，得到答案. 【详解】集合A 为偶数集合，当k 为偶数时，集合B 为奇数集合，此时A B =∅；当k 为奇数时，令21k k '=+，Z k '∈，集合{}==6+2,Z B x x k k ∈''，此时{}==6+2,Z A B x x k k ⋂∈''．故选：D ．3．已知实数x ，y 满足1x y +≤，且1x ≥-，则3z x y =+最小值为（ ）A ．7-B ．6-C ．5-D ．1-【答案】A【分析】根据已知条件列出,x y 满足的不等式组，画出图象，通过平移基准直线30x y +=到可行域边界位置来求得z 的最小值.【详解】依题意，,x y 满足+1010x y x y -≤≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩或101<0x y x y --≤≥-⎧⎪⎨⎪⎩，1=0=1=1=2x y x x y ---⇒--⎧⎧⎨⎨⎩⎩，设()1,2A --， 画出可行域如下图所示，由图可知，当基准直线30x y +=平移到点()1,2A --时，z 取得最小值()1327-+⨯-=-.故选： A4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,i i y x c i =+=，),n c 为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样数据的样本众数相同D ．两组样本数据的样本方差相同【答案】D【分析】根据两组的线性关系，结合数据间的平均值、中位数、众数、方差的关系即可得.【详解】解：对于A ，()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；对于B ，若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；对于C ，由众数的定义知：若第一组的众数为n x ，则第二组的众数为n x c +，错误；对于D ，()()()()D y D x D c D x =+=故方差相同，正确；故选：D ．5．为了得到函数()ln 2y x =的图象，只需把函数ln y x =的图象（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移ln2个单位长度D ．向下平移ln2个单位长度 【答案】C【分析】根据对数函数的运算法则进行化简，结合函数图象变换规律进行判断即可．【详解】因为()ln ln2ln 2y x x =+=，所以只需把函数ln y x =的图象向上平移ln2个单位长度即可得到()ln 2y x =的图象．故选：C ．6．函数()()e e x xf x x -=-的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先求解函数的定义域，且()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除BC ；再求出()11e e 0f -=->，排除D ，选出正确答案.【详解】()()e e x xf x x -=-定义域为R ，且()()()()e e e e x x x x f x x x f x ---=--=-=，故()f x 为偶函数，所以排除选项B 和选项C ；又()11e e 0f -=->，排除D.故选：A ．7．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子出现的点数分别为1X ，2X ，记{}12min ,X X X =，则()24P X ≤≤=（ ）A ．34B ．23C ．1118D ．712【答案】D【分析】由题意可得共出现36个基本事件，然后列举出较小点数为2点，3点和4点的所有情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，共出现36个基本事件，其中较小点数为2点的情况有：（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2）共9种；较小点数为3点的情况有：（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（5，3），（6，3）共7种； 较小点数为4点的情况有：（4，4），（4，5），（4，6），（5，4），（6，4）共5种；所以()9757243612P X ++≤≤==． 故选：D ．8．已知函数()()22sin x x f x a x -=-⋅是偶函数，则=a （ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1±【答案】B 【分析】由偶函数的定义求解即可．【详解】因为()()22sin x x f x a x -=-⋅，所以()()()()22sin 22sin x x x x f x a x a x ---=-⋅-=--⋅，因为()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()22sin 22sin x x x x a x a x ----⋅=-⋅，∴()02222sin x x x x a a x ---⋅+⋅-=，()()02222sin x x x x a x --++⎡⎤-⋅=⎣⎦整理得()()122sin 0x x a x --+=，所以=1a ．故选：B ．9．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（ ）A ．288B ．336C ．368D ．412【答案】B【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.【详解】当四位数不出现1时，排法有：114224C C A 96⨯⨯=种； 当四位数出现一个1时，排法有：1142242C C A 192⨯⨯⨯=种；当四位数出现两个1时，排法有：112224C C A 48⨯⨯=种；所以不同的四位数的个数共有：9619248336++=．故选：B ．10．已知随机变量()~0,1N ξ，令()()x P x ξΦ=≤，0x >，则下列等式正确的序号是（ ） ①()()1x x Φ+Φ-= ②{}()12P x x ξ≤=-Φ ③{}()21P x x ξ<=Φ- ④{}()21P x x ξ>=-Φ⎡⎤⎣⎦A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③【答案】A【分析】根据题意可得正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义逐个分析判断即可.【详解】因为随机变量()~0,1N ξ，所以正态曲线关于0ξ=对称，因为()()x P x ξΦ=≤，0x >，所以根据正态曲线的对称性可知()()1x x Φ+Φ-=，{}()21P x x ξ<=Φ-，{}()21P x x ξ>=-Φ⎡⎤⎣⎦，所以①③④正确，②错误，故选：A11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若满足()()22f x f x +-=，且()f x '为奇函数，则下列选项中一定成立的是（ ）A ．()11f -=B ．()00f =C ．()10f =D ．()31f =- 【答案】A【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性，然后令1x =，即可求得()1f ，从而得到结果.【详解】因为()f x '为奇函数，则()()f x f x ''--=，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数， 由()()22f x f x +-=，得()()112f f +=，即()()111f f =-=，故A 正确，C 错误令=1x -，则()()132f f -+=，则()31f =，故D 错误；令0x =，则()()022f f +=，故()0f 不一定等于0.故B 错误.故选:A12．已知=3a ，b =ln 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】构造函数()2e 1x f x x =--，利用导数研究单调性可比较a 、b ，利用对数单调性可比较a 、c ，然后可得.【详解】因为3ln 4ln e 3<=，所以c a <；构造函数()2e 1x f x x =--，则()e 2x f x x ='-，记()e 2x g x x =-，则由()e 20x g x '=->，得ln 2x >，()f x '在()ln 2,+∞递增，由()e 20x g x '=-<，得ln2x <，()f x '在(),ln2-∞递减，所以()()ln 222ln 20f x f ''≥=->，所以()f x 在R 上递增，有()00f f >=，所以b a >，所以c a b <<.故选：D ．二、填空题13．已知0x 是方程1720x x-=的根，若()0,1x n n ∈+，n ∈Z ，则=n __________． 【答案】2 【分析】先判断函数()172x f x x=-的单调性，结合零点存在性定理，即得解 【详解】设函数()172x f x x =-，由于172,x y y x ==-都在(0,)+∞单调递增， 故()f x 为()0,+∞上增函数，故函数()f x 在()0,+∞至多存在一个零点，且()173803f =->，()172402f =-<，所以()02,3x ∈，所以=2n ． 故答案为：214．某学校的文学社团由高一、高二和高三学生组成，已知高一学生人数多于高二学生人数，高二学生人数多于高三学生人数，且高三学生人数的两倍多于高一学生人数，则该文学社团人数的最小值为__________．【答案】12【分析】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x ，y ，z ，则2z x y z >>>，且x ，y ，z ∈N ，讨论z 的取值，即可求解【详解】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x ，y ，z ，则2z x y z >>>，且x ，y ，z ∈N ，①当0z =时，00x y >>>，不符合题意；②当1z =时，21x y >>>，不符合题意：③当=2z 时，42x y >>>，不符合题意；④当3z =时，63x y >>>，此时=5x ，=4y ，满足题意．所以12x y z ++=．所以该文学社团人数的最小值12．故答案为：1215．已知任何一个正整数x 都可以表示成()10110,n x a a n =⨯≤<∈N ，即lg lg x n a =+，此时x 是一个+1n 位数，已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则10015是__________位数．【答案】118【分析】利用对数运算性质化简，结合题意求解即可．【详解】设()1001510110,n a a n =⨯≤<∈N ， 所以()100lg15lg 10n a =⨯，即()100lg3lg5lg n a +=+，所以()()lg 100lg31lg21000.477110.3010117.61a n n n =+--≈+--=-，又因为0lg 1a ≤<，N n ∈，所以lg 0.61a =，117n =，故10015是1171118+=位数．故答案为：118．16．中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算12023e ，所得的结果用分数表示为__________． 【答案】20242023【分析】令()e x f x =，可得()f x 在点（0，1）处的切线方程为=+1y x ，由“切线近似代替曲线”的思想可得1202311e 120232023f ≈⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得答案． 【详解】解：构造函数()e x f x =，则有()e x f x '=，(0)1f =，(0)1f '=，所以()f x 在点（0，1）处的切线方程为=+1y x ，根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得12023112024e 1202320232023f ⎛⎫=≈+= ⎪⎝⎭． 故答案为：20242023三、解答题17．已知函数()22x x x f x x λ=⋅+是奇函数． (1)求常数λ的值；(2)解方程()222x x f x x -=+．【答案】(1)1λ=(2)0或2log 3．【分析】（1）由()()f x f x -=-，代入求解即可； （2）转化方程为212222x x x x x x -⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭，分=0x ，0x ≠两种情况求解即可. 【详解】（1）函数定义域为：R x ∈，因为函数()22x x x f x x λ=⋅+是奇函数， 所以()()f x f x -=-，即2222x x x x xx x x λλ---⋅-=-⋅-，化简得()11202x x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故10λ-=，所以常数1λ=．（2）由（1）知()122x x f x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以方程为212222x x x x x x -⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭， 当=0x 时，方程成立；当0x ≠时，方程可化为2112222x x x -+=+，整理得()()23210x x -+=， 因为20x >，所以23x =，即2log 3x =，综上，方程()222x xf x x -=+的根为0或2log 3．18．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效王作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是根据调查结果绘制的问卷调查得分的频率分布直方图：将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．(1)根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？男 女 合计 了解不了解合计(2)已知问卷调查得分不低于90分的学生中有2名男生，若从得分不低于90分的学生中任意抽取2，求至少有一名男生的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：()20P x χ≥ 0.10 0.05 0.010 0.005【答案】(1)表格见解析，有关(2)710．【分析】（1）根据频率分布直方图求出问卷调查结果为了解的学生人数，完善列联表，求出卡方，即可判断；（2）首先求出问卷调查得分不低于90分的学生人数，再求出基本事件总数以及满足条件的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）解：问卷调查结果为了解的学生人数为：()0.0250.0150.00251020085++⨯⨯=， 又因为其中男生有50人，所以其中女生有855035-=人．可得22⨯列联表为：提出假设0H ：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关， 根据列联表中数据，可以求得()2220050653550 4.60410010011585χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为当0H 成立时，()2 3.8410.05P χ≥≈，这里的2 4.604 3.841χ=>，所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．（2）解：问卷调查得分不低于90分的学生人数为0.0025102005⨯⨯=人，其中男生有2人，女生有3人记“任意抽取2人，至少有一名男生”为事件A ，从5人中任意抽取2人共有54102⨯=种抽法，抽取2人中恰有1名男生的抽法有236⨯=种， 抽取2人中恰有2名男生的抽法有1种， 事件A 的概率()6171010P A +==， 综上，至少有一名男生的概率为710． 19．甲､乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，本次比赛规定：先连胜两局者直接获胜，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者获胜．(1)求比赛共进行5局且甲获胜的概率；(2)记甲､乙比赛的局数为X ，求X 的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)16243(2)分布列见解析，数学期望为224.81【分析】(1) 记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A ，先找出事件A 的情况，然后利用概率公式即可求解；(2)根据题意求出X 的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解. 【详解】（1）记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A ， 说明甲前4局胜了2局，且第5局甲胜， 且只有胜负胜负胜或负胜负胜胜两种情况所以()22212162333243P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以比赛共进行5局并且甲获胜的概率为16243（2）X 的可能取值为2,3,4,5,记甲在第i 局获胜为事件()1,2,3,4,5i A i =， 乙在第i 局获胜为事件()1,2,3,4,5i B i =，()()()()()1212221152;33339P X P A P A P B P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()12312312221123=3333339P X P B P A P A P A P B P B ==+=⨯⨯+⨯⨯，()()()()()()()()()123412344P X P A P B P A P A P B P A P B P B ==+2122121110;3333333381=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ()()()()851234;81P X P X P X P X ==-=-=-==所以X 的概率分布列为：故X 的数学期望()521082242345.99818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20．已知函数()1lgx f x xλ+=．(1)当2λ=时，解不等式()0f x >；(2)设0λ>，当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，求λ的取值范围．【答案】(1)()(),10,x ∈-∞-+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)将2λ=代入函数，再由对数函数的性质求解即可；(2)由题意可得()()max min lg2f x f x ≤-，先判断出函数()f x 在定义域上为单调递减函数，进而得()()1lg2f a f a -+≤，即得()2110a a λλ++-≥，对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，结合二次函数的性质求出()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值即可求得λ的取值范围．【详解】（1）解：当2λ=时，()21lg x f x x+= 由21lg0x x+>，得2121110x x x x ++>⇒->， 即10x x+>，等价于()10x x +>， 解得()(),10,x ∈-∞-+∞；（2）解：因为对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤， 所以对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()max min lg2f x f x ≤-， 设()f x 的定义域为I ，又当1x ，2x I ∈且12x x <时，有121211x x x x λλ++>，即121211lglgx x x x λλ++>，即()()12f x f x >，所以()f x 在I 上单调递减．因此函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值与最小值分别为()f a ，()1f a +．由()11()1lg lg lg 21a a f a f a a a λλλ+++⎛⎫⎛⎫-+=-≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简得()2110a a λλ++-≥，上式对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0λ>，2(1)40λλ∆=++>令()()211h a a a λλ=++-，对称轴为102a λλ+=-<， 所以函数()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()min h a =131242h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由31042λ-≥，得23λ≥．故λ的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21．已知函数()e xf x a x a =+-，a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对任意R x ∈恒有()()2e 1xf x x ≤+-，求a ．【答案】(1)答案见解析 (2)=2a【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况，讨论导函数正负，即得解；（2）转化为()()()2e 10xg x f x x =-+-≤，分=2a ，2a >，02a <<，0a ≤几种情况讨论函数单调性，求解即可.【详解】（1）因为()e 1xf x a '=+，当0a ≥时，对任意(),x ∈-∞+∞都有()0f x '>， 函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞当0a <时，由()=0f x '，得1ln x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，1ln ,x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，当0a <时，函数()f x 的单调增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤+-，所以设()()()22e 1e e 1x x xg x f x x a a =-+-=-+-+，根据题意，对任意R x ∈，要求()0g x ≤，()()22e e e 2e x x x x g x a a '=-+=-，①当=2a 时，()()2e 1e x xg x '=-，(),0x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 为(),0-∞上单调增函数，所以(),0x ∈-∞时，()()00g x g <=，()0,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为()0,+∞上单调减函数，所以()0,x ∈+∞时，()()00g x g <=，此时，对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤--；②当2a >时，由()=0g x '得，ln2a x =， ,ln 2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 为,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调增函数，因为0ln 2a <，所以()ln 002a g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符题意；③当02a <<时，由()=0g x '得，ln 2ax =，ln ,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 为ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减函数，因为ln02a <，所以()ln 002a g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符题意； ④当0a ≤时，对任意R x ∈都有()0g x '<，()g x 为R 上单调减函数， 所以(),0x ∈-∞时，()()00g x g >=，不符题意；综上，当=2a 时，对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤--．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为2224=21+4=1+x t t y t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ+=．(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =m 的值．【答案】(1)[)224,2,2x y x +=∈-，0x m +=(2)2【分析】（1）利用参数方程，经过平方相加可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用圆心距、半径、半弦长关系求解即可．【详解】（1）由2224=21+4=1+x t ty t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可得：222222442411t x y t t ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又因为2421x t =-+，所以024x <-≤，即[)2,2x ∈-， 所以曲线C 的直角坐标方程为：[)224,2,2x y x +=∈-，由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，代入cos sin 0m ρθθ+=，可得直线l的直角坐标方程为：0x m +=．（2）设坐标原点O 到l 直线的距离为d ，则2m d ==，因为2242AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2242m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2m =±．当2m =-时，直线:20l x -=经过点(2,0)，而点(2,0)不在曲线C 上，故2m =-不符合题意， 所以=2m ．23．已知正数x ，y ，z 满足247x y z ++=． (1)证明：22273x y z ≥++； (2)求222248x y z z x y++的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)72．【分析】（1）根据柯西不等式()()()222222212424x y z x y z ++++≥++，结合题干条件即得解；（2）利用均值不等式求解()2222412482x y z x y z z x y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值，再求解222248x y z z x y ++的最小值即可.【详解】（1）由已知247x y x ++=，根据柯西不等式，有()()()22222221242449x y z x y z ++++≥++=，即()2222149x y z ++≥，所以22273x y z ≥++； （2）因为()2222412482x y z x y z z x y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭222214282x y z z x y z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭247x y z ≥++=，所以22224782x y z z x y ++≥，当且仅当7=,37=,67=12x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩时等号成立，综上，222248x y z z x y ++的最小值为72．。

金太阳广东省2021届高三第一学期11月联考语文试卷一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1一3题。

张荣在《故宫经典》里说：“文房清供是中国传统文房辅助用具的一种雅称，也称文房杂器，又因多由精美的工艺造型和极具观赏性的器物组成而被称为文玩。

”他直接将“文玩”界定为“美”的“文房”“器物”。

传统意义上的“文玩”当是狭义的“文玩”，今天的“文玩”则是就广义来说的，今之“文玩”已成为“为生活增添赏玩之趣的物件”。

刘岳曾言，“从字面来看，‘文玩’二字中‘文’者大约可拆分出三层意思：第一层指活动主体为文人士大夫；第二层指活动场所为文房；第三层指对象需文雅，涉及审美价值的判断；而‘玩’字既可作名词指玩物，也有动词玩赏、玩味之意。

故而‘文玩’不同于声色犬马的物质享受和低层次娱乐，而是可以增长知识、陶冶性情的艺术欣赏对象。

”他比较精准地揭示并阐发了”文玩”的审美本质。

“文玩”之要即对雅致器物的赏玩。

任何一件“文玩”都应是一件完整的传统工艺作品，必须同时兼具内容、形式、技艺、材料“四美”，并在此基础上完美承载和体现中华优秀传统哲学美学思想。

“文玩”代表着玩家、藏家乃至社会、时代的审美意识，是尊崇传统、崇尚自然、礼敬人文的态度，是内省自觉、归属认同、渴求创新的符号，是悦心娱人、感染世人、引领时尚的欣赏。

“文玩”之“文”，蕴涵着崇文尚雅的核心意识。

无论是古时狭义的文房清供，还是今日为生活增添赏玩之趣的物件，都被赋予了诸如健康、平安、吉祥等丰富的精神追求，均饱含着深厚、丰富的文化底蕴和精巧雅致的内在意蕴，以及对美好生活的憧憬与向往。

“文玩”之“文”，是器玩至关重要、至为根本的质的规定性，意味着与文化修养相关，内蕴着人文之理、文化之道，勾连着情之所钟、性之所至，投射着心之所向、灵之所属，规约着“玩”之法理，影响着“玩”之意志，统帅着“玩”之雅趣，升华着“玩”之妙境。

“文玩”之“玩”，是“文”的载体和表现。

2023届广西柳州市高三毕业班11月模拟统考数学（理）试题一、单选题1．已知{N |25}A x x =∈≤≤，{2,4,6}B =，则A B =（ ）A ．{2,4}B ．{|25}x x ≤≤C ．{|26}x x ≤≤D ．{2,3,4,5,6} 【答案】A【分析】计算{}2,3,4,5A =，再计算交集得到答案.【详解】{}{N |25}2,3,4,5A x x =∈≤≤=，{2,4,6}B =，故{}2,4A B =.故选：A2．若复数2i 1i z =-，则复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．2i C ．1 D ．2 【答案】C【分析】利用复数的除法运算及复数的分类即可得解.【详解】因为()()()()22i i 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 2z ++====-+--+， 所以复数z 的虚部为1.故选：C3．如图所示,该几何体的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据几何体的直观图,将点和线投影到正方体左侧的面中即可得出结果.【详解】解:由题知如图所示则四边形ABCD 在左侧面的投影依旧是ABCD ,,,AE CF DG 在左侧面的投影分别为点,,A C D ,,,,EF BE FG BG 在左侧面的投影分别为,,,,AC BA CD BDEG 在左侧面的投影为AD ,且为虚线,由此只有选项A 符合.故选:A4．设a ∈R ，则“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据两直线平行列出方程，求出：2a =-或1，验证后均符合要求，从而得到“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的充分不必要条件.【详解】当1a =时，20x y +=与220x y ++=的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”，则满足()120a a +-=，解得：2a =-或1，经验证，：2a =-或1时，两直线不重合，故：2a =-或1，两直线平行，故必要性不成立.故选：A5．若3sin 2cos 82sin cos 3αααα+=-,则3πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3B ．13C ．-3D ．13- 【答案】B【分析】先讨论cos α是否为0,再将原式左侧分子分母均除以cos α,得到tan α的值,将3πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开,tan α代入即可.【详解】解:由题知,3sin 2cos 82sin cos 3αααα+=-, 当cos 0α=时,原等式不成立,故cos 0α≠,对原式左侧分子分母均除以cos α,可得3tan 282tan 13αα+=-,tan 2α∴=, 3tan tan 3π4tan 341tan tan 4πααπα+⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭-⋅ tan 111tan 3αα-==+. 故选:B6．函数π()ln cos πx f x x x +⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭在(π,π)-上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号即得.【详解】因为函数π()ln cos πx f x x x +⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭，(π,π)x ∈-， 又()()()ππln cos ln cos ππx x f x x x f x x x -+⎛⎫⎛⎫-=⋅-=-⋅=- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭， 所以()y f x =为奇函数图象关于原点对称，排除AD ；又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πcos 0,ln 0πx x x +>>-，所以()0f x >，排除C. 故选：B ．7．若直线0x y a ++=与曲线2ln y x x =-相切，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-【答案】C【分析】设切点，根据已知求解切点坐标，代入切线方程求出a 的值即可.【详解】解：设直线与曲线的切点00(,)P x y ，由于直线0x y a ++=斜率为1-，则0|1x x y ='=-，又21y x '=-， 所以0211x -=-，得01x =，所以012ln11y =-= 则切点为()1,1，切线方程为()11y x =--+，所以2a =-.故选：C.8．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若213AB =，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．3D ．4 【答案】D【分析】根据正三角形和全等三角形的性质得DB AF =，再运用余弦定理可求得DF 的长.【详解】由题可知：在DEF 中，3EDA π∠=，则23ADB π∠=， 不妨设2DF k =，由2DF AF =知，AF k =，则3AD k =，又因为AFC △与BDA △全等，所以DB AF k ==，由余弦定理可知：()22222231cos 2232k k AB AD BD AB ADB AD BD k k +-+-∠===-⋅⨯⨯， 解得2213AB k =，而213AB =，所以2k =，所以4DF =.故选：D.9．如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（ ）A ．圆锥的母线长为8B ．圆锥的表面积为8πC ．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为π2D ．圆锥的体积为83π3【答案】D 【分析】由题意可求出圆锥的母线长，可判断A;由此可求得圆锥的表面积，判断B;由侧面展开图为半圆可判断C;求得圆锥的体积判断D.【详解】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的12， 设圆锥母线长为l ，即有21π2π,42l l l ⨯⨯=⨯⨯∴= ，故A 错误； 圆锥的表面积为2π24+π212π⨯⨯⨯=，故B 错误；由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半，故侧面展开图扇形圆心角为π，故C 错误； 圆锥的体积为222183π2423⨯-= ，故D 正确， 故选：D10．已知的数2()2cos 52x f x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>），若对任意的实数t ，()f x 在区间(,6)t t +上的值域均为[5,3]--，则ω的取值范围为（ ）A ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．π,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】对()f x 运用倍角公式作恒等变换求出周期，则其周期66T t t ≤+-= ，据此可以求解.【详解】()()22cos 5cos 42x f x x ωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其周期为2πT ω= ， 由题意有：2ππ66,6,3T t t ωω≤+-=∴≤≥. 故选：D.11．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2 D【答案】D 【分析】根据正弦定理结合双曲线的定义得到1PF a =，23PF a =，由190OPF ∠=︒得到111cos PF a PFO OF c∠==，结合余弦定理求出离心率. 【详解】因为1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点， 由正弦定理得到211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠， 又因为1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠得213PF PF =， 又∵212PF PF a -=， ∴1PF a =，23PF a =，在1OPF 中，1OF c =，1PF a =，OP b =，∴190OPF ∠=︒，111cos PF a PFO OF c∠==， 在12PF F △中，22222214949cos 224a c a a c a PFO a c ac+-+-∠==⋅⋅， 所以222494a c a a ac c+-=，化简得==c e a故选：D.12．已知a ，b ，c ∈（0，1），且a 2－2ln a ＋1＝e ，b 2－2ln b ＋2＝e 2，c 2－2ln c ＋3＝e 3则 （ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a【答案】A【分析】设()()22ln ,e x f x x x g x x =-=-，则()()()()()()1,2,3f a g f b g f c g ===，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案【详解】设()()22ln ,e x f x x x g x x =-=-，则()()()()()()1,2,3f a g f b g f c g ===，又()()e 100x g x x =-'＞＞，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()()321g g g ＞＞，即()()()f c f b f a ＞＞，因为()()()()2'212200,1x f x x x x x -=-=∈＜，所以()f x 在()0,1上单调递减， 所以a b c ＞＞，故选：A二、填空题13．已知向量(1,)a k =，(3,2)b k =+，若a b ⊥，则||a b +=___________.【分析】根据0a b ⋅=求出k 的值，然后可得答案.【详解】因为(1,)a k =，(3,2)b k =+，a b ⊥，所以320a b k k ⋅=++=，解得1k =-，所以(1,1)a =-，(2,2)b =，所以()3,1a b +=，||91a b +=+=14．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．【答案】310##0.3 【分析】利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为310． 故答案为：310． 15．已知抛物()2:20C y px p =>的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为___________.【分析】由题知：242p p -=-⇒=，求得抛物线方程为：28y x =，利用抛物线的性质以及三角函数即可求出F 到AB 的距离.【详解】解：已知抛物线()2:20C y px p =>的准线方程为2x =-，则()2,0F ，242p p -=-⇒=， ∴抛物线方程为：28y x =，5||2||BF AB =，作BQ ⊥准线，交于点Q ，由抛物线的性质得：||||BF BQ =，5|2||BQ AB =，设ABQ θ∠=，则02BAF πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭， 25cos 5BQAB θ∴== 25sin 1cos θθ=-= 设F 到AB 的距离为d ，则545sin sin 4d d AF AF θθ=⇒===. 4516．已知空间四边形ABCD 的各边长及对角线BD 的长度均为6，平面ABD ⊥平面CBD ，点M 在AC 上，且2AM MC =，过点M 作四边形ABCD 外接球的截面，则截面面积的最小值为___________.【答案】12π【分析】先由面面垂直的性质得到⊥AE 平面CBD ，求得AE 、CE 、OH 、AH ，从而求得外接球的半径，再由平行线分线段成比例的推论证得,,H O M 三点共线，从而求得OM ，从而求得截面面积的最小值.【详解】由题意知ABD △和BCD △为等边三角形，取BD 中点为,E 连接,AE CE ， 则,AE BD ⊥由平面ABD ⊥平面,CBD 平面ABD ⋂平面,CBD BD =AE ⊂平面ABD 故⊥AE 平面CBD ，22226333AE AD DE =-=-=，则易知33CE AE ==， 易知球心О在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，在AE 上作OH AE ⊥于H ，易得11//,//,OH O E OO HE则在Rt OHA △中，3,23OH AH ==，所以外接球半径2215r OH AH =+=，连接,OM因为2,//,2,AH HE OH CE AM MC ==所以,,H O M 三点共线，所以23,3OM MH OH CE OH =-=-= 当M 为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为()()222215323r OM -=-=，截面面积为()2π2312π=. 故答案为：12π..三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知11a =,121n n a a -=+(2n ≥).(1)证明:{}1n a +为等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式,试判断,,n n n a S 是否成等差数列并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)21n n a =-,成等差数列,理由见解析【分析】(1)根据题意求出11a +的值,若证明{}1n a +为等比数列,只需证111n n a a -++(2n ≥)为一个常数,将121n n a a -=+代入上式,即可证明结论. (2) 由(1)结论求出{}n a 的通项公式,根据{}n a 的通项公式求出其前n 项和,若,,n n n a S 成等差数列,只需证n n n S a n a -=-,将,n n a S 通项公式代入上式即可证明结论.【详解】（1）解:由题知11a =,121n n a a -=+,2n ≥, 21122,213,411a a a a ==∴=++=+, 11121111221,n n n n a n a a a ---+++∴==+≥+, {}1n a ∴+是以2为首项,2为公比的等比数列; （2）由(1)知{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列, 12n n a ∴+=,即21n n a =-,,,n n n a S 成等差数列,理由如下: 21n n a =-1231n n n S a a a a a -∴=+++++ 12312121212121n n -=-+-+-+-+- 123122222n n n -=++++- ()21212n n -=--122n n +=--,21,n n a n n -=--()1222121n n n n n a n n S +-=----=--, 即n n n S a n a -=-,故,,n n n a S 成等差数列.18．热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y （单位：万元），得到以下数据：(1)根据表中所给数据，用相关系数r 加以判断，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若可以，求出y 关于x 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写22⨯列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”？3.162，()52110i i x x =-=∑，()52164i i y y =-=∑，()()5120i i i x y y x =-=-∑，注：r 与2K 的计算结果精确到0.001.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程：ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 临界值表：【答案】(1)ˆ23yx =-；(2)列联表见解析，有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”.【分析】（1）根据相关系数公式求出r ，再由最小二乘法即可求解；（2）由题意完善列联表，计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】（1）由已知得67891085x ++++==，1012111220135y ++++==，()52110ii x x =-=∑，()52164i i y y =-=∑，()()5120i i i x y y x =-=-∑，所以0.791r ===≈，因为||0.791[0.75,1]r ≈∈，说明y 与x 的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系， 设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+， 20ˆ210b∴==，ˆˆ13163a y bx=-=-=-， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =-； （2）由题可得22⨯列联表，()222007060403018.18210.82810010011090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”.19．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，平面ABC ⊥平面11,90,ACC A ABC AB BC ︒∠==，四边形11ACC A 是菱形，160,A AC O ∠=︒是AC 的中点.(1)证明：BC ⊥平面11B OA ； (2)求二面角11A OB C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)64【分析】（1）连接1A C ，先证1A O ⊥平面ABC ，得1A O BC ⊥，再由11,90AB A B ABC ∠=∥，得11BC A B ⊥，即可得到BC ⊥平面11B OA（2）连接BO ，以点O 为坐标原点，1,,OA OA OB 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出面1AOB ，面11C OB 的法向量，求得法向量的余弦值，即可得二面角的正弦值.【详解】（1）连接1A C ，因为四边形11ACC A 是菱形，所以1AC AA =， 因为160A AC ∠=，所以1AAC △为等边三角形，所以1A O AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面11A ACC ⋂平面1,ABC AC AO =⊂平面11AAC C ，所以1A O ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A O BC ⊥.因为11,90AB A B ABC ∠=∥，即AB BC ⊥，所以11BC A B ⊥.又1111OA B A A ⋂=，1OA 平面11B OA ，11B A ⊂平面11B OA ，所以BC ⊥平面11B OA ；（2）连接BO ，因为90,,ABC AB BC O ∠==是AC 的中点，所以BO AC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11,ACC A AC BO =⊂平面ABC ， 所以BO ⊥平面11ACC A .设2AC =，因为1A O AC ⊥，以点O 为坐标原点，1,,OA OA OB 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,0,0,3,1,3,0O A B C --，()()()111,0,0,1,3,1,2,3,0OA OB OC ==-=- 设平面1AOB 的法向量是()111,,m x y z =，则11111030m OA x m OB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13z (0,3m =-. 设平面11C OB 的法向量是()222,,n x y z =，则122122223030n OC x y n OB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x =(3,2,3.n =所以510cos ,210m m m nn n ⋅⋅-<>===因此，二面角11A OB C --210614⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 20．已知抛物线C 1：24y x =与椭圆C 2：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，C 2的左､右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12.(1)求椭圆C 2的方程；(2)如图，若直线l 与x 轴，椭圆C 2顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q 与∠PF 1R 互为补角，求△F 1QR 面积S 的最大值. 【答案】(1)22143x y += 33【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；（2）由题可知110QF RF k k +=，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得. 【详解】（1）由题意可得，抛物线的焦点为()1,0， 所以椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率12c e a ==，所以2a =，则222413b a c =-=-=，即3b = 所以椭圆2C 的方程为22143x y +=. （2）设()11,Q x y ，()22,R x y ，()11,0F -， ∵1PFQ ∠与1PF R ∠互补， ∴110QF RF k k +=，所以1212011y yx x +=++， 化简整理得1222110x y y x y y +++=①，设直线PQ 为()0x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简整理可得()2223463120m y mny n +++-=，()()222224364343120b ac m n m n ∆=-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -⋅=+③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①， 可得()()1212210my y n y y +++=④，再将③代入④，可得()()22264613434m n mn n m m -+=++，解得n =-4， ∴PQ 的方程为4x my =-，且由②可得，23416m +>，即24m >， 由点()11,0F -到直线PQ的距离d ==，112F QRS QR d =⋅==△t =，0t >，则121818163163F QR t S t t t==++△163tt =时，m =所以1F QR面积S 21．已知()e 1xf x x=-，()(1)g x a x =+.(1)求()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若关于x 的方程(1)()()0x f x g x ++=存在两个正实数根1x ，2x （12x x <），证明：2e a >且1212x x x x <+.【答案】(1)减区间为()2,+∞，增区间为(,1),(1,2)-∞； (2)证明见详解.【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；（2）由条件，分离参数e 1x a x =-，令()e 1x h x x =-，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a 的取值范围；令21e,1x x t t -=>，将证明的结论等价转化为()()121212111x x x x x x <+⇔--<，从而2222ln 1ln (1)0(1)t tt t t t <⇔--<-，令22()ln (1),(1)F t t t t t =-->，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；【详解】（1）()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，又22()e (1)xx f x x -'=-，由()0f x '=得2x =，当()2,x ∈+∞时，()0f x '<， 当(,1)(1,2)x ∈-∞时，()0f x '>，()y f x ∴=的减区间为：()2,+∞，增区间为：(,1),(1,2)-∞.（2）证明：由(1)()()0x f x g x ++=存在两个正实数根()1212,x x x x <，整理得方程()()e 11xa x x =-≠存在两个正实数根()1212,x x x x <．由0a >，知21e 1,1xx x a x >>=-，令()e 1xh x x =-，则()()()2e 21xx h x x -'=-，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x <'减函数；当(2,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'增函数．所以()()2min 2e h x h ==．因为x 趋向于1或+∞，()h x 趋向+∞，所以()h x 的值域为)2e ,⎡+∞⎣，问题等价于直线y a =和()y h x =有两个不同的交点．2e a ∴>，且12(1,2),(2,)∈∈+∞x x ，所以()()1212e 1e 1xx a x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而2211211e e e 1x x xx x x --==-．令21e ,1x xt t -=>，则2121ln 11x x tx t x -=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，解得12ln ln 1,111t t t x x t t =+=+--， ()()121212111x x x x x x <+⇔--<，而()()2122ln 11(1)t tx x t --=-，下面证明1t >时，2222ln 1ln (1)0(1)t tt t t t <⇔--<-， 令22()ln (1),(1)F t t t t t =-->，则22(ln 1)()ln 2ln 2(1),()t t F t t t t F t t-+'''=+--=，令()ln 1,(1)S t t t t =-+>，则1()10S t t'=-<，()S t ∴在(1,)+∞为减函数，()(1)0S t S ∴<=，()0,()F t F t '''∴<在(1,)+∞为减函数，()(1)0F t F ''∴<=，()F t ∴在(1,)+∞为减函数，()(1)0F t F ∴<=，即1212x x x x <+．【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为121x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C 上的两点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+．【答案】(1)22244cos sin ρθθ=-(2)34【分析】（1）利用代入法消参可得2244x y -=，根据cos ,sin x y ρθρθ==进行坐标转化；（2）题设问题与坐标原点O 有关，故利用极坐标处理问题，即设点得极坐标，代入处理． 【详解】（1）由参数方程可得222,2+=-=x y t x y t，两式相乘得普通方程为2244x y -=． 故曲线C 的极坐标方程为22224cos sin 4ρθρθ-=，即22244cos sin ρθθ=-．（2）因为OA OB ⊥，所以可设(),A A ρθ，(,)2B B πρθ±，2A 2244cos sin ρθθ=-，2B2244sin cos ρθθ=- 22221111||||A B OA OB ρρ+=+=22224cos sin 4sin cos 3444θθθθ--+= 23．已知函数()41f x x =-.(1)求不等式()()16f x f x ++≥的解集；(2)若函数()2y f x t =+的图象与函数()51y t f x =-+的图象有公共点，求实数t 的取值范围.【答案】(1)112x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；(2)[]1,4.【分析】（1）根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可； （2）运用转化法，结合绝对值的性质进行求解即可 【详解】（1）()()16f x f x ++≥即为43416x x ++-≥，所以3,4826,x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或31,4446,x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≥⎩或1,4826,x x ⎧>⎪⎨⎪+≥⎩ 解得1x ≤-，或x ∈∅，或12x ≥.故原不等式的解集为112x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）由题意知方程()()251f x t t f x +=-+有解，等价于()()215f x f x t t ++=-+，即243415x x t t ++-=-+有解，因为434143414y x x x x =++-≥+-+=， 所以254t t -+≥，即2540t t -+≤，解得14t ≤≤， 所以实数t 的取值范围为[]1,4.。

高分速递：福建金太阳高三11月期中半期联考
（福建金太阳）各科
分数
大家好，欢迎参加福建金太阳高三11月期中半期联考！本次考试结果已在高分速递上发布，现将联考各学科分数公布如下：
一、数学：数学科以上分数统计最低考试分数为90分，最高分数为150分，平均分数为121分，其中优秀的成绩及格90分以上，及格率为97.5%。

二、物理：物理科以上分数统计最低考试分数为85分，最高分数为140分，平均分数为113分，其中优秀的成绩及格90分以上，及格率为98.2%。

三、化学：化学科以上分数统计最低考试分数为86分，最高分数为135分，平均分数为119分，其中优秀的成绩及格90分以上，及格率为96.7%。

四、英语：英语科以上分数统计最低考试分数为90分，最高分
数为150分，平均分数为118分，其中优秀的成绩及格90分以上，及
格率为97.5%。

五、生物：生物科以上分数统计最低考试分数为90分，最高分
数为140分，平均分数为113分，其中优秀的成绩及格90分以上，及
格率为98.2%。

综上，大家可以从本次联考中获取良好的成绩，努力向前迈进，
继续努力做好学习，期待各位的更精彩的表现！
以上就是福建金太阳高三11月期中半期联考各学科分数的公布，
期待同学们的积极参与和努力，为每一位同学提供充分的支持和帮助，迎接高分速递的精彩陪伴！。

2023-2024学年广东省珠海市金砖四校高三上学期11月联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则( )A. B.C.D.2.若复数z 满足，则复数z 的虚部是( )A. B. C. D. 3.若，则( )A. B. C.D.4.若函数在区间上单调递增，则a 的可能取值为( )A. 2B. 3C. 4D. 55.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )A.B. C.D.6.今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上;有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间年近似满足关系式为大于0的常数且若时，若时，则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c 为时，大约需要参考数据：，( )A. 43年B. 53年C. 73年D. 120年7.已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为( )A.B.C.D.8.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知曲线：，：，则( )A.的长轴长为 B. 的渐近线方程为C. 与的离心率互为倒数D. 与的焦点相同10.已知事件满足，则下列结论正确的是( )A. A与B互斥B. A与B相互独立C.D.11.对于任意实数x，函数满足：当时，下列关于函数的叙述正确的是( )A.B. 是奇函数C.D. ，使得12.已知，且，则下列选项正确的是( )A. B.C. 的最大值为D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东金太阳高三11月联考山东金太阳高三11月份的联考是为了广大学生的考试准备而举办的一场重要的考试。

因此，这次考试被公认为学习成功的关键，也是广大学生平凡考取理想学校的唯一途径之一。

山东金太阳高三11月份联考对考生来说，是一次重要的考验。

考生们必须要求自己认真准备，全面掌握各科学科的知识，重点分析考点，较为全面地复习。

在所有科目及学习方面都有所提高，并在考试中发挥出自己的潜质。

首先，山东金太阳高三11月份的联考科目包括语文、数学、英语、理化、历史、政治等。

每门课程都有特定的学习任务，考生们要熟悉各科知识点，掌握相应的知识点，全面了解各科学科的基础知识，以便在联考中获得良好的成绩。

其次，要想在山东金太阳高三11月份联考中取得好成绩，学生们还必须要求自己有严格的计划和习惯，安排科学合理的复习。

复习应从轻松的基础题开始，然后逐步加深，让自己得到全面的提高，形成一定的知识点，并能够在熟悉的题材中有更好的表现。

此外，在备考期间，考生应该尽量避免提出过高的要求，合理安排复习时间，保持充沛的精力，同时也要保持良好的心态，坚持每天定期复习，坚持不懈，坚持积极进取，确保存在一定的积极性，最后要坚持自我检查和分析，整理自己的学习思路，检查自己的复习情况，以及如何做到在联考中取得良好的成绩。

在山东金太阳高三11月份的联考中，学生们必须严格按照之前的计划，认真准备，从而获得较好的成绩，同时，学生们还要努力去了解考试的规则并做好充足的准备，以便在考试中发挥自己的潜力，取得满意的考试成绩。

总之，山东金太阳高三11月份联考是学生们取得理想学校入学资格的重要环节，学生们一定要认真备考，认真学习，做到有计划有目标，给自己制定具体的复习计划，以便在考试中取得良好的成绩。

高二期中考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线123x y+=的斜率为A ．32B ．32-C ．23-D ．232．古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆2211210x y +=的面积为A ．30πB ．120πC ．D ．3．在三棱锥P -ABC 中，M 是平面ABC 上一点，且342PM PA tPB MC ++=，则t =A ．1B ．3C ．17D ．124．若双曲线()22210x y m m-=>的渐近线与圆22650x y x +++=相切，则m =A ．3B ．2C D ．55．已知某抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点A 在F 的正上方，过点A 的直线l 与抛物线交于另一点B ，满足2BF AF =，则钝角AFB ∠=A ．712πB ．23πC ．34πD ．56π6．如图所示，在几何体ABCDEF 中，AD BC ∥，2BAD π∠=，2AB BC ==，AE CF ∥，21AE CF ==，AE ⊥平面ABCD ，则异面直线EF 与AB 所成的角为A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π7．一条沿直线传播的光线经过点()4,8P -和()3,6Q -，然后被直线3y x =-反射，则反射光线所在的直线方程为A ．230x y +-=B ．2150x y +-=C ．250x y --=D ．230x y ++=8．已知对任意的[]1,1x ∈-224111mx x m +--+恒成立，则实数m 的最大值是A 3B ．2C 2D ．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线C ：22197y x -=，则下列选项中正确的是A ．C 的焦点坐标为()4,0±B ．C 的顶点坐标为()0,3±C ．C 的离心率为43D ．C 的虚轴长为2710．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB ==，则A ．三棱锥11B ABC -的体积为233B ．三棱锥11B ABC -的体积为23C ．点C 到直线1AB 的距离为142D ．点C 到直线1AB 1411．已知直线l ：10x y λλ--+=和圆C ：2240x y y +-=，则下列说法正确的是A ．直线l 过定点()1,1B ．对任意λ，直线l 与圆C 相交C ．若0λ<，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则AB 的最大值为D ．对任意λ，圆C 上恒有4个点到直线的距离为112．已知左、右焦点分别是1F ，2F 的椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，过左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，则下列说法中正确的有A ．2ABF ∆的周长为4aB ．若直线OP 的斜率为1k ，AB 的斜率为2k ，则2122a k kb =-C ．若2125AF AFc ⋅= ，则e 的最小值为77D ．若2126AF AF c ⋅= ，则e 的最大值为7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线230x y --=与360mx y +-=互相垂直，则m =．14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽6m ，高0.5m ，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为．15．已知圆1C ：()()22429x y +++=与圆2C ：22240x y x y m ++-+=相离，则整数m 的一个取值可以是．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1BC =，2AB =，13DD =，则11BD C D ⋅=；点C 到平面11A C B 的距离为．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C ：()()22114x y -++=．（1）过点()3,2P 向圆C 作切线l ，求切线l 的方程；（2）若Q 为直线m ：3480x y -+=上的动点，过Q 向圆C 作切线，切点为M ，求QM 的最小值．18．（12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，M ，N 分别是AD ，1BD 的中点．（1）证明：MN 与平面BCN 不垂直；（2）求MN 与平面1CMD ，所成角的正弦值．19．（12分）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，()0,4A x 是抛物线C 上的点，且6AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点坐标为()1,2-，求△MNF 的面积．20．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，AB CD ∥，2PA =，122AB BC CD ===，PA ⊥平面ABCD ，M 为PD 的中点．（1）证明：AM ∥平面PBC ．（2）求平面PBC 与平面PCD 的夹角．21．（12分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3，且焦点到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）若动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，O为坐标原点，证明：△OPQ 的面积为定值．22．（12分）已知椭圆W ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为255，左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 所截得的线段长为5．（1）求椭圆W 的方程；（2）直线()0y kx k =≠与椭圆W 交于A ，B 两点，连接1AF 交椭圆W 于点C ，若ABC S ∆=AC的方程．高二期中考试数学参考答案1．B 直线123x y +=的一般式为3260x y +-=，其斜率为32-．2．C因为a =，b ==．3．A因为()32424PM PA tPB MC PA tPB PC PM=++=++- ，所以724PM PA tPB PC =++，即PM = 24777t PA PB PC ++ ．因为M 是平面ABC 上一点，所以241777t ++=，所以1t =．4．B双曲线2221x y m-=的渐近线方程为0x my ±=，圆22650x y x +++=的圆心为()3,0-，半径为2，则2=，得2m =．5．D由题知，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，因为点A 在F 的正上方，所以点A 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222B p x BF AF p +===，解得32B x p =，即B 点坐标为32p ⎛⎫⎪⎝⎭（舍去）或3,2p ⎛⎫⎪⎝⎭．因为直线BF的斜率为322p p =-，所以倾斜角为23π，故钝角5236AFB πππ∠=+=．6．A以A 为原点，AB ，AD ，AE的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)B ，()0,0,1E，1,22F ⎫⎪⎪⎭．因为)AB =，31,22EF ⎫=-⎪⎪⎭ ，所以cos ,2AB EF AB EF AB EF⋅〈〉==，故异面直线EF 与AB 所成的角为6π．7．D入射光线所在的直线方程为()()368643x y ---=----，即20x y +=．联立方程组3020x y x y --=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩，即入射点的坐标为()1,2-．设P 关于直线3y x =-对称的点为(),'P a b ，则()483022814a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=---⎪⎩，解得171b a =⎧⎨⎩=-即()7'11,P -．因为反射光线所在直线经过入射点和'P 点，所以反射光线所在直线的斜率为()7211112---=--，所以反射光线所在的直线方程为()1212y x +=--，即230x y ++=．8．A设直线l ：4y mx =+，半圆C ：()2210x y y +=≥，则1表示半圆弧上任意一点(x 到直线l 的距离大于或等于1，即原点O 到直线l 的距离d 大于或等于2．由2d =，得m ，即实数m9．BCD因为29a =，27b =，所以3a =，b =，4c ==．因为焦点在y 轴上，所以C 的焦点坐标为()0,4±，顶点()0,3±，离心率为43，虚轴长为．10．AC三棱锥11B ABC -即三棱锥11C ABB -，其体积为1122323⨯⨯⨯=，故A 正确，B 不正确；取AC 的中点O ，则BO AC ⊥，BO =，以O 为原点，OB ，OC的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角系（图略），则()0,1,0A -，)12B ，()0,1,0C ，所以)12AB =，()0,2,0CA =- ，所以CA 在1AB上的投影的长度为112CA AB AB ⋅== ，故点C 到直线1AB的距离2d ==．11．AB整理直线l 的方程，得()()110x y λ---=，可知l 过定点()1,1，故A 正确；将()1,1代入圆C 的方程，得到20-<，可知点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 相交，故B 正确；因为圆心()0,2到直线l的距离d =，所以AB ==0λ<，所以12λλ+-≤，当且仅当1λ=-时，等号成立，所以AB 有最大值4，故C 不正确；因为圆心()0,2与点()1,1，半径为2，所以圆C 上只有2个点到直线的距离为1，故D 不正确．12．ACD根据椭圆的定义，2ABF ∆的周长为11224AF BF AF BF a +++=，故A 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以12112y y k x x +=+，12212y y k x x -=-，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22221212220x x y y a b --+=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=-+-，即2122b k k a =-，故B 不正确；()()22212111111,,AF AF c x y c x y x y c ⋅=-----=+- ，因为()22221222211221b a x c y x a c a a -⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭，所以22222222121222,c AF AF x a c a c a c a⎡⎤⋅=+-∈--⎣⎦ ，由2222225a c c a c --≤≤得76e ≤≤，故C 正确；由2222226a c c a c --≤≤，得2747e ≤≤，故D 正确．13．6由()1230m ⨯+-⨯=，得6m =．14．92y =-设这条抛物线的方程为()220x py p =>，由图可知B 点坐标为()3,0.5，所以2320.5p =⨯，得9p =，故这条抛物线的准线方程为922p y =-=-．15．2（或3或4）（只需从2，3，4中写一个答案即可）因为圆1C 的圆心为()4,2--，圆2C 的圆心为()1,2-，所以两圆圆心的距离为5=．因为圆1C 的半径为3，圆2C，所以3550m +<->⎪⎩，所以15m <<，故整数m 的取值可能是2，3，4．16．5-；67以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．因为1BC =，2AB =，13DD =，所以()0,2,0C ，()1,2,0B ，()11,0,3A ，()10,2,3C ，()10,0,3D ．因为()11,2,3BD =-- ，()10,2,3C D =-- ，所以()()()11022335BD C D ⋅=+-⨯-+⨯-=-．设平面11A C B 的法向量为(),,n x y z = ，因为()111,2,0A C =- ，()11,0,3BC =- ，所以1112030A C n x y BC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，得()6,3,2n =．因为()10,0,3CC = ，所以点C 到平面11A C B 的距离122267632CC n d n ⋅==++ ．17．解：（1）若切线l 的斜率不存在，则切线l 的方程为3x =．若切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=．因为直线l 与圆C 相切，所以圆心()1,1-到l 的距离为2，22321k k -+=+，解得512k =，所以切线l 的方程为()52312y x -=-，即51290x y -+=．综上，切线l 的方程3x =或51290x y -+=．（2）易知直线m 与圆C 相离，因为224QMQC =-，所以当QC 最小时，QM 有最小值．当MC m ⊥时，MC 22348334++=+，所以QM 2345-=18．解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0M ，()1,1,2N ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,4D ，()0,1,2MN =．（1）证明：因为()2,0,0BC =- ，()1,1,2CN =-，所以0MN BC ⋅= ，但30MN CN ⋅=≠，所以MN 与平面BCN 不垂直．（2）设平面1CMD 的法向量为(),,n x y z =，因为()1,2,0CM =- ，()10,2,4CD =-，所以124020CD n y z CM n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，得()4,2,1n =．设MN 与平面1CMD 所成的角为θ，则105sin cos ,105MN n MN n MNθ⋅=〈〉==，故MN 与平面1CMD 所成角的正弦值为105105．19．解：（1）因为462pAF =+=，所以4p =，故抛物线C 的方程为28x y =．（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，()11,M x y ，()22,N x y ，则21122288x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212128x x y y -=-，整理得1212128y y x x x x -+=-．因为MN 的中点为()1,2-，所以()121221184y y k x x ⨯--===--，所以直线l 的方程为()1214y x -=-+，即470x y +-=．联立方程组24708x y x y +-=⎧⎨=⎩，得22140x x +-=，则12x x -==．因为直线l 与y 轴的交点为70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以△MNF的面积为172244⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭．20．（1）证明：设PC 的中点为N ，连接MN ，NB ，则MN CD ∥且12MN CD =．因为AB CD ∥且12AB CD =，所以MN AB ∥且MN AB =，所以四边形MNBA 为平行四边形，所以AM BN ∥．又因为BN ⊂平面PBC ，AM ⊂/平面PBC ，所以AM ∥平面PBC ．（2）解：过A 作AH CD ⊥，垂足为H ，则2DH =．如图，以A 为坐标原点，AH ，AB ，AP的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()0,0,2P ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,2,0D -．设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z = ，因为()0,2,2BP =- ，()2,0,0BC = ，所以11122020m BP y z m BC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令11y =，得()0,1,1m = ．设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z = ，因为()2,2,2PC =- ，()2,2,2PD =-- ，所以22222222202220n PC x y z n PD x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令21x =，得()1,0,1n = ．设平面PBC 与平面PCD 的夹角为θ，则1cos 2m n m nθ⋅=== ，所以平面PBC 与平面PCD 的夹角为3π．21．（1）解：设双曲线C 的一个焦点为(),0F c ，一条渐近线的方程为0bx ay -=，1b ==．因为3c e a ==，所以a =2c =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为x =此时2PQ =，122OPQ S ∆==．当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l ：y kx m =+，且斜率3k ≠±，联立方程组2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222136330k xmkx m ----=，由()()222236413330m k k m ∆=+-+=，得2231k m =+，联立方程组33y kx m y x -+⎧⎪⎨=⎪⎩，得x =．不妨设直线l与3y x =的交点为P，则P x =．同理可求Q x =所以2||13P Q m PQ x x k=-=-．因为原点O 到直线l的距离d =，所以2213213OPQS PQ d k ∆==-，又因为2231k m =+，所以OPQ S ∆=，故△OPQ．22．解：（1）由题意得225b a =，所以255b a =．因为椭圆W 的离心率255c e a ==，所以2245c a =．因为222a b c =+，所以25a =，21b =，故椭圆W 的方程为2215x y +=．（2）由题意知，直线AC 不垂直于y 轴，设直线AC 的方程为2x ty =-，()11,A x y ，()22,C x y ，联立方程组22255x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()225410t y ty +--=，所以12245t y y t +=+，12215y y t =-+，所以)2215t A t C +====+．因为点O到直线AC 的距离d =O 是线段AB 的中点，所以点B 到直线AC 的距离为2d ，所以)222112255ABC t S AC d t t ∆+=⋅=⨯++．由25t =+23t =，所以t =，故直线AC 的方程为2x=-，即20x-+=或20x +=．。