2018-2019金太阳湖南省2月高三联考理科数学答案

全国大联考(湖南专用)2018届高三第二次联考·数学试卷(理)命题：湖南师大附中、长沙市雅礼中学等校：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 2． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．3． 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答题． 4． 本试卷主要考试内容：函数、集合、映射、简易逻辑．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中是同一函数的是A ．y ＝1与y ＝x 0B ．y ＝x 与y ＝log a xaC ．y ＝2lg x 与y ＝lg x 2D ． y ＝2x ＋1－2x 与y ＝2x2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ||x －3|≥6，x ∈R}，全集U ＝R ，则M ∩ðU N 的真子集个数是A ．15B ．7C ．16D ．8 3．已知a ，b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a +b 等于 A ．－1 B ．0C ．1D ．±14．已知f (x )＝－4－x 2在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是 A ．[－2，2] B ．[－2，0] C ．[0，2] D ．(－2，2) 5．已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )在R 上是A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增6．已知p ：关于x 的方程x 2－ax +4＝0有实根，q ：二次函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若“p 或q ”是真命题，而“p 且q 是假命题”，则a 的取值范围是 A．(－12，－4]∪[4，+∞) B．[－12，－4]∪[4，+∞) C ．(－∞，－12)∪(－4，4) D ．[－12，+∞) 7．设a >1，实数x ，y 满足|x |－log a 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是8．点P 是曲线y ＝2－ln2x 上任意一点，则点P 到直线y ＝－x 的最小距离为A ．54 2B ．34 2 C ．3－2ln2 2 D ．3－ln2 29．设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(0，4]D ．(0，2)10．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠11，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则222123x x x ++等于 A ．5 B ．2b 2＋2b2C ．13D ．3c 2＋2c 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上． 11．函数y ＝(49)x ＋(23)x －109的定义域为 ． 12．已知函数f (x )＝bx2－3x，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为 ． 13．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.18μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)． 14．已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个等式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b ． 其中可能成立的关系式是 (填序号)． 15．已知n 元集合M ＝{1，2，…，n }，设M 所有的3元子集的元素之和为S n ，则l imn →∞S nn 2＝ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |log 13(x －a 2)<0}，B ＝{x ||x －3|<a }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝a ·2x －12x ＋1为R 上的奇函数．⑴求f (x )及f －1(x )的解析式；⑵若当x ∈(－1，1)时，不等式f －1(x )≥log 21＋x m 恒成立，试求m 的取值范围．18．(本小题满分14分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )⑴若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；⑵若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调增减，求a 的取值范围．某水库进入汛期的水位升高量h n (标高)与进入汛期的天数n 的关系是h n ＝205n 2＋6n ，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)．⑴若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？ ⑵若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？ (参考数据：2.272＝5.1529，2.312＝5.3361)20． (本小题满分14分)设f (x )＝|x ＋1|＋|ax ＋1|．⑴若f (－1)＝f (1)，f (－1a )＝f (1a )(a ∈R 且a ≠0)，试求a 的值；⑵设a >0，求f (x )的最小值g (a )关于a 的表达式．定义函数f n(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为f n′(x)．⑴求证：f n(x)≥nx；⑵设f′n (x0)f′n+1 (x0)＝f n(1)f n＋1(1)，求证：0<x0<1；⑶是否在在区间[a，b] (－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．2018届高三第二次联考·数学试卷(理)参考答案（湖南专用）11．(－∞，1] 12．f (x )＝4x 3x －213．13 14．②④⑤ 15．12提示：1．D A 、B 、C 定义域不同，选D ． 2．BM ＝{0，1，4，9，…}，ðU N ＝{－3，9}，∴M ∩ðU N ＝{0，1，4}，∴M ∩ðU N 的真子集个数为23－1＝7．3．C 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1．4．B定义域和值域相等，图象本身关于直线y ＝x 对称，故原函数图象为圆x 2＋y 2＝4在第三象限的14圆．5．B 由f (x )的任意性，可用特例，令f (x )＝x ，则F (x )＝1－x －(3＋x )＝－2－2x ， ∴F (x )是减函数．6．C p ：△＝a 2－16≥0，a ∈(－∞，－4]∪[4，∞)． q ：－a4≤3，a ≥－12，a ∈[－12，＋∞)．p 真q 假：(－∞，－12)，p 假q 真：a ∈(－4，4)， 故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)7．By ＝(1a )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，a x，x <0。

2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题（二）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.函数lg(4)()2x f x x -=-的定义域是( )A ．(－∞,4)B ．(2,4)C ．(0,2)∪(2,4)D ．(－∞,2) ∪(2,4)2.设命题:P x ∀∈R ，使得20x ≥，则P ⌝为（ ）A.x R ∃∈，使得20x <B.x R ∃∈，使得20x ≤ C.x R ∀∈，使得20x < D.x R ∀∈，使得20x ≤ 3.已知函数若()()()()23,6log ,6f x x f x x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f -的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．14.若数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=nn a a 1-，则a 7等于（ ）A ．2B ．21C ．﹣1D ．20185.设1a b c <<<下列各式成立的是 （ ）A ．a a c b <B ．c ba a < C ．log log c c ab < D ．log logc c b a <6.把sin 2y x =的图像向左平移π3个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（ ）A.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.2πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．函数2()2(1)f x x a x =-+-与1()1a g x x -=+这两个函数在区间[1,2]上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a ∈( ) A. (2,1)(1,2)-- B ．(1,0)(0,2)- C ．(1,2) D ．(1,2]8. 两座灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离分别是akm 和2akm ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 之间的距离为（ ）A．akm B ．2akm C．akm D．akm9.若定义在R 上的偶函数()f x ，满足(+1)()f x f x =-且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log f x x=的实根个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D.6个 10.函数y =错误！未找到引用源。

2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （ ） A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数x x y --=22在R上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P Pq ⌝∧中，真命题是（ ） A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（ ）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（ ） A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（ ）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（ ） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（ ） A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（ ） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （ ） A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（ ） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（ ） A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（ ） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案解析（时间：60分钟 满分100分）班级__________ ___________ 学号___________注意事项：本试卷分选择题和非选择题，满分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题5分，共50分）1.设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案解析】D【详解】若x ，y 中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x 2＋y 2＞2不成立 若x 2＋y 2＞2（如x=-2，y=-2）则x ，y 中至少有一个数大于1不成立所以“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的既非充分又非必要条件 2.函数的图像大致是A B C D【答案解析】A3.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009【答案解析】C4.计算的结果为（ ）A．B． C. D．【答案解析】B5.已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（）A．随增大而大 B．随增大小而变小C．等于2 D．等于4【答案解析】D6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．-B．C．D．【答案解析】B【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========7.曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣11【答案解析】D【分析】由约束条件画出平面区域，由y=3x+b得y=3x+B，然后平移直线，利用z的几何意义确定目标函数的最小值即可．【解答】解：x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成的平面区域如图，由，解得A（6，7）由y=3x+b，平移直线y=3x+b，则由图象可知当直线经过点A时，直线y=3x+b的截距最小，此时b最小．∴b=﹣3x+y的最小值为﹣18+7=﹣11．故选：D．8.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案解析】C如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，∴∠DBE=.故选C.9.用秦九韶算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6，在x=﹣4时，v2的值为（）A．﹣4 B．1 C．17 D．22【答案解析】D【考点】秦九韶算法．【分析】先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，将x=﹣4代入并依次计算v0，v1，v2的值，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=208+9x2+6x4+x6=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，当x=﹣4时，v0=1，v1=1×（﹣4）=﹣4，v2=﹣4×（﹣4）+6=2210.过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【答案解析】B【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B二．填空题：（每小题5分，共25分）1．已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．【答案解析】﹣=1【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：2.一物体在力F（x）=，（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m）处，则力F（x）做的功为焦．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：W===36．故答案为：363.若x10－x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x－1)10，则a5=．【答案解析】251【分析】根据x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，利用二项式展开式的通项公式，求得a5的值．【解答】解：∵x10﹣x5=[（x﹣1）+1]10﹣[（x﹣1）+1]5，﹣=251，∴a5=故答案为：2514.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A）的概率为【答案解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率 P（A）=5.如图1是某高三学生进入高中﹣二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次．考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．【分析】该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个． 故答案为：10三、解答题(共25分)1.已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=AB=1，M 是PB 的中点．（1）求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值； （2）求直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．【答案解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC 与PB 所成的角的余弦值，（2）设=（x ，y ，z ）为平面的ACM 的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），C （1，1，0），B （0，2，0），M （0，1，）， 所以=（1，1，0），=（0，2，﹣1），||=，||=，=2，cos（，）==，（2）=（1，﹣1，0），=（1，1，0），=（0，1，），设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即，令x=1，则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1，2），则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α，则sinα=sin[﹣＜，＞]=cos＜，＞=2.（1）已知圆（x+2）2+y2=1过椭圆C的一个顶点和焦点，求椭圆C标准方程．（2）已知椭圆的离心率为，求k的值．【答案解析】解：（1）圆（x+2）2+y2=1与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），由题意可得椭圆的一个焦点为（﹣1，0），一个顶点为（﹣3，0），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），可得a=3，c=1，b==2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当焦点在x轴上时，椭圆+=1的a2=8+k，b2=9，c2=k﹣1，e2===，解得k=4；当焦点在y轴上时，椭圆+=1的b2=8+k，a2=9，c2=1﹣k，e2===，解得k=﹣．综上可得k=4或﹣．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出圆与x轴的交点，可得椭圆的一个焦点和一个顶点，再由a，b，c的关系可得椭圆方程；（2）讨论焦点在x，y轴上，求得a，b，c，e，解方程可得k的值．解答：解：（1）圆（x+2）2+y2=1与x轴的交点为（﹣1，0），（﹣3，0），由题意可得椭圆的一个焦点为（﹣1，0），一个顶点为（﹣3，0），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），可得a=3，c=1，b==2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当焦点在x轴上时，椭圆+=1的a2=8+k，b2=9，c2=k﹣1，e2===，解得k=4；当焦点在y轴上时，椭圆+=1的b2=8+k，a2=9，c2=1﹣k，e2===，解得k=﹣．综上可得k=4或﹣．。

2018届高三下学期重点中学第二次联考试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B 中元素的个数为 ▲ ．6 2.设复数z 满足i i z 510)2(-=+，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为▲ .33. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是 ▲ ．24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为▲ ．135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 ▲ .126.已知3(0,),sin()45αππα∈+=-，则tan α＝ ▲ .17-7.已知正三棱锥的体积为93cm 3，高为3cm ．则它的侧面积为 ▲ cm 2．1838. 已知双曲线22221x y a b-= (0a >，0b >)的左顶点为M，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足M A M B ⊥，则该双曲线的离心率是 ▲ ．2 9. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 .2 10.已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为▲ . [1,1]-11. 如图，已知AC 是圆的直径，,B D 在圆上且35AB AD ==，，则AC BD ⋅= ▲ .2 12.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+= 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+ ，则b = .5313. 若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 ▲ .102m m <=或14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为 ▲ ．165二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足I ←0While I <9 S ←2I + 1 I ←I +3End While Print S 第4题图ACBD2sin()6b C ac π+=+．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠． （Ⅰ）312sin (sin cos )sin sin 22B C C A C ⋅+⋅=+， 即3sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，3sin sin cos sin sin B C B C C ∴=+，3sin cos 1B B ∴=+，所以2sin()16B π-=，由(0,)B π∈ ,5(,)666B πππ-∈- 解得3B π=． ………………… 7分（范围不说明扣1分）（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，由正弦定理知，427sin sin 60x xBAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37,22a cb a ∴=∴=，由正弦定理知，72sin sin 60aa BAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分16. 如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB BC ⊥，CP PB ⊥，求证：CP PA ⊥； （2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABCBC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC． …………3分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB 又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． …………7分 （2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ． 因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC，所以PD ⊥平面ABC ．…………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．ACBP又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ． …………14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nE cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ， 该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -，所以200T =4v -，即2004T v =-，4v >； ……………………4分 （2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦ 162002(4)84c v v ⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）……………9分(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =． 答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少． ……………14分 )0(12222>>=+b a by a x 的18.如图,已知椭圆C ：32.上顶点为(0,1)A ,离心率为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是xyBAMO否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ） 由已知可得,2221,3,2,12,b c a b a a b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩, 所求椭圆的方程为2214x y += (5)分（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=， 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=； …………………8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=， 所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++， …………………12分所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++， 令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++， 故直线BD 过定点5(0,)3-. …………………16分19. 定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的 子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列． （1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *）， 当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2N *；………3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14． ……………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项 等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………7分 （ii ）设{a n k }(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q|＞1时，|q|n＞1，取n k ＞1＋log |q||d||a 1|(|q|－1)，从而|q|n k －1＞|d||a 1|(|q|－1)，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1q n k ＋1－1－a 1q n k －1|＝|a 1||q|n k －1·|q n k ＋1－n k －1|≥|a 1||q|n k －1(|q|－1)＞|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； ……………………12分 当|q|＜1时，|q|n＜1，取n k ＞1＋log |q||d|2|a 1|，从而|q|n k －1＜|d|2|a 1|， 故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1||q|n k －1|q n k ＋1－n k －1|≤|a 1||q|n k －1||q|n k ＋1－n k ＋1|＜2|a 1||q|n k －1＜|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； 又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1． (16)分20.设函数()()ln ,f x x a x x a a R =--+∈．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间22(,)e e -内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当a ＝0时，f(x)＝xlnx －x ，f ’(x)＝lnx ， 令f ’(x)＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……………………3分 （2）方法一、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax，其中x ＞0，令g(x)＝xlnx －a ，分析g(x)的零点情况．g ’(x)＝lnx ＋1,令g ’(x)＝0，x ＝1e，列表分析x (0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x) － 0 ＋ g(x)单调递减单调递增g(x)min ＝g(1e )＝－1e－a ，……………………5分而f ’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－ae ，f ’(e －2)＝－2－ae 2＝－(2＋ae 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a)，①若a ≤－1e ，则f ’(x)＝lnx －ax≥0，故f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)＞0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0， 因此f ’(x)在(e －2，e 2)有两个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有一个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点； 综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ……………………10分方法二、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1恒成立． ……………………11分证明如下：由（2）得g(x)在(1e ，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a ＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a ．因为当x ＞1时，lnx ＞1－1x (*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－1a ＋1)－a ＝0．故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……………………13分 又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x ＞1时，lnx ＜x －1(**)， 所以f(1＋a)＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f(1)． 即x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a)，使 f(x)＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F(x)＝lnx ＋1x －1，x ≥1．F ’(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx ＞1－1x ．补充证明（**）令G(x)＝lnx －x ＋1，x ≥1．G ’(x)＝1x －1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx ＜x －1． ……………………16分数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指．．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．证明：连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ． ……………………4分又因为AB ∥CD ， 所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ........................8分 从而ED DA ＝AD BA ，所以AD 2＝AB .ED ． (10)分A BCDEO ·（第21题（A ）图）B ．选修4－2：矩阵与变换已知，点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B ．若点B 的坐标为(3,4)-，求点A 的坐标． 解：011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………………………………………………4分设(,)A a b ，则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得324b a b -=-⎧⎨+=⎩．……………………………………8分所以23a b =-⎧⎨=⎩，即(2,3)A -． (10)分C ．选修4－4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为323x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB ．解：（1）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………………4分所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． ……………………5分（2）将323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22212121()[3()]28t t t t t t =-+-=-= (10)分解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22221212112()[3()]2()48t t t t t t t t =-+-=+-= ……………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈． （Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩ (2)分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==． ……………………4分（Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+， 令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ……………………7分∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =， 当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ． ……………………10分22.设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个. （1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率； （2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 解：可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（I ）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p . …………………4分（2）x 的可能值为1,2,3,4,5x12 3 4 5P131 231 431 831 1631()124816129=1+2+3+4+5=313131313131E x 创创? (10)分23. 设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-． 23.解⑴228S =，4232S =； ……………………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……5分若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

高三数学（理科）试题答案 第 1 页 共 6 页2019届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题13． 2114． ()10102024-写不扣分 15．120 16．)+∞三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（1）在ΔABC 中，cos 0,B <所以ππ2B <<，所以sin 7B ==， 由正弦定理可得，sinsin AC BC B A =7sin A=，得sin A =…………4分 又因为A B <，所以π0,2A ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3A = …………6分 （2）()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦1172⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ …………9分 11sin 8722ABC S AC BC C ∆==⨯⨯= …………12分 （18）（本小题满分12分）解：（1）取BS 的中点O ，连接CO AO ，，因为ΔSBC 是等边三角形，所以BS CO ⊥，又,BS AC AC CO C ⊥=，所以BS AOC ⊥面.又AO AOC ⊂面，所以BS AO ⊥. …………3分 又O 是BS 的中点，所以AB AS = …………4分高三数学（理科）试题答案 第 2 页 共 6 页（2）设2BS =，依题意可得1AO OS ==，OC =，2CA CS ==.因为222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥.又由（1）知，,OS OA OS OC ⊥⊥，如图以O 为原点，,,OS OC OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 …………6分 则()0,0,1A ，()1,0,0S，()C ，()1,0,0B -，()AD BC ==，()1,0,1AS =-，设面ASD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110AS n AD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即111100x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，得方程的一组解为1111x y z ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，即(13,n =- …………8分()1,0,1CDBA ==，()SC =-，设面SDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则220SC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222200x x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得方程的一组解为2221x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即(23,1,n =…………10分1212121cos ,77n n n n n n ===- …………11分所以二面角A SD C --的余弦值为17. …………12分（19）（本小题满分12分）12514x x k =+21211kx k=+=+223165214k AB d k-=+ ,t =则220,16t t k >=9t t14，高三数学（理科）试题答案 第 4 页 共 6 页（20）（本小题满分12分）解：（1） 设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A ，则()344445216C C P A +== 所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为516. …………3分 （2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X ，获得代金券数目为Y ，则53,16XB ⎛⎫⎪⎝⎭，132Y X =， 2111515332323216216EY E X EX ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⨯⎝⎭ …………6分 方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为ξ，则()31113310164096P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 22133151135111815551616164096P C ξ⨯⨯⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2233151131125825111616164096P C ξ⨯⨯⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 333331535125516164096P C ξ⨯⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………8分 （以上概率的值无需化简）323333311135111311251351330165516111651616E ξ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ …………10分 因为231512021616EY E ξ==<⨯ 所以统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二. …………12分高三数学（理科）试题答案 第 5 页 共 6 页（21）（本小题满分12分）解：（1）()2ln 12'x a f x x -=, …………1分 因为()f x 在()0+∞，上单调递减，所以()'0f x ≤，得ln 10x a --≤ 令()ln 1h x x a =--，则()max 0h x ≤ …………2分 ()'h x =，当016x <<时，()'0h x >，()h x 单调递增；当16x >时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以当16x =时，()h x 取得最大值()16ln163h a =+-由ln1630a +-≤得34ln 2a ≤- …………4分 （2）()1'g x x=，依题意有1211x x =-，化简整理得122x x -=，因为12x x ≠，所以2= ① …………6分()14122x x =，当且仅当12x x =时，等号成立成立，即()14124x x ≥，即12256x x ≥，又因为12x x ≠，所以12256x x > …………8分()()()121212ln ln ln g x g x x x x x +=+=，结合①式得 ()()()1212ln g x g x x x +=-，令12x x t =，则256t > 由（1）可知()ln 1h x x a =-在()16,+∞上单调递减，所以ln y t =在()16,+∞上单调递增， …………10分 所以当256t >时，ln ln 25688ln 2y t =>=- 即()()1288ln 2g x g x +>- …………12分高三数学（理科）试题答案 第 6 页 共 6 页（22）（本小题满分10分）解：（1）将C 的参数方程化为普通方程得()(2214x y -+=，将c o s ,s i n x y ρθρθ==代入，并化简得C的极坐标方程为2cos ρθθ=+. 2l 的极坐标方程为()πR 3θαρ=+∈ …………4分 （2）依题意可得()2cos ,A ααα+，即4sin ,6A παα⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2cos ,333B ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即π4cos ,3B αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ4sin 4cos 63OA OB ααα⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …………8分因为π02α<<，所以ππ5π336α<+<，当πππ,326αα+==即时，OA OB +取得最大值 …………10分（23）（本小题满分10分）解：（1）不等式()2f x >，即|2||22|2x x -+->. 可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩ …………3分解得223x x <>或，所以不等式的解集为2|23x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. …………5分 （2）()2211f x x a x x a x x =-+-=-+-+- ()11x a x x ≥---+-11a x =-+-1a ≥-当且仅当1x =时，两处等号同时成立， …………8分 所以12a -≥，解得1a ≤-或3a ≥ 实数a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞ …………10分。

2018-2019下学期高三理科数学好教育2月特供卷（三）附解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()UA B =ð（ ）A ．∅B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,42．在区间[]2,2-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．143．已知各项为正数的等比数列{}n a满足11a =，2416a a =，则6a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．44．欧拉公式i cos is n e i xx x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，πii 4πe e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知M 、N 是不等式组11106x y x y x y ≥≥-+≥+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所表示的平面区域内的两个不同的点，则MN的最大值是（ ）AB．C．D ．1726．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b++> D ．b a a b >7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8+B ．8+C ．283 D ．108．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记0,2πABP x x ∠⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，3B ．0，4C ．2，3D ．2，410．已知函数()()()sin ,0cos ,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到()cos y x a b =++的图像A ．π4B ．π3C ．π2 D ．π11．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===， 则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A． B． CD．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点．若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ） A．．4+ C．． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1x y C a b -=，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的离心率为 ． 14．62x ⎛⎝的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答） 15．设ABC △的外心P 满足()13AP AB AC =+，则cos BAC ∠=__________．16．数列{}n a的首项为1，其余各项为1或2，且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列{}n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2019S =__________． （用数字作答）三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知1cos23A =-，c ，sin A C =．（1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及ABC △的面积．18．（12分）如图（1），等腰梯形ABCD ，2AB =，6CD =，AD =，E 、F 分别是CD 的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF 、BE 折起，使得点C 和点D 重合，记为点P ，如图（2）．（1）求证：平面PEF ⊥平面ABEF ；（2）求平面PAF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点()01,P y 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F △的周长为6．（1）求椭圆的标准方程； （2）过点()0,1T 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-恒成立？请说明理由．20．（12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p ．（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（2）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数． ①当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．21．（12分）已知函数()()244ln 2f x x x m x =-+，其中m 为大于零的常数，（1）讨论()y f x =的单调区间；（2）若()y f x =存在两个极值点1x ，()212x x x <，且不等式()12f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-=⎧⎨⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程分别为ρθ=，3sin ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 的一个交点为点A （A 不为极点），直线l 与OA 的交点为B ，求AB．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()12f x x a x =-+-（a 为实数） （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若1a >，解不等式()f x a≤．2019届高三好教育云平台2月份内部特供卷理科数学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】C 【解析】因为{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B =ð，故选C ．2．【答案】D【解析】由20x x -<，得01x <<，所以所求概率为()101224-=--，故选D ．3．【答案】B【解析】由2416a a =，得24116a q =，416q =，q >，2q ∴=，5561232a a q ∴===，故选B ． 4．【答案】B【解析】因为πii 4πcos πisin πcos isin 44e ππe+===+，所以对应点⎛ ⎝⎭，在第二象限，故选B ．5．【答案】A【解析】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得()1,1A ，()5,1B ，()2.5,3.5C ，()1,2D ，M ，N 是区域内的两个不同的点，∴当M ，N分别与BD 对角线的两个端点重合时，距离最远，所以MN的最大值为BD =A ．6．【答案】B【解析】当9a =，3b =，时log 3log 3a b <；当4a =，13b =，时133ab a b++<；当4a =，2b =，时b aa b =，因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>>，故选B ．7．【答案】A【解析】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为311222832V =+⨯⨯=，故选A ．8．【答案】D【解析】当4π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()11tan 2y f x x==⨯⨯；当,42ππx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()11112tan y f x x ==-⨯⨯，根据正切函数图象可知选D ． 9．【答案】D【解析】执行循环，得1i =，2b =；2i =，4a =；3i =，2a =，结束循环，输出2a =，2b =，此时4i =，故选D ． 10．【答案】D【解析】因为函数()()()sin ,0cos ,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22ππa b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin πcos πa b -+=+，即sin cos b a =，sin cos a b =， 因此()π2π2a b k k +=+∈Z ，从而()()cos sin sin πy x a b x x =++=-=+，故选D ．11．【答案】B【解析】不妨设抛物线标准方程()220x py p =>，可设()1,C m ，(2,B m +，则(1242pmp m ⎧==⎪⎨⎪⎩，32∴=p ∴=，故选B ．12．【答案】A【解析】显然在正方体中BD ⊥平面11ACC A ，所以BD AM ⊥， 取AC 中点E ，取AE 中点O ，则1tan tan AOAACM ∠=∠，1AO AM ∴⊥， 取11AC中点1E ，取11A E 中点1O ，过1O 作11PQ B D ∥，分别交11A B ，11A D 于P ，Q ， 从而AM ⊥平面BDQP ，四边形BDQP 为等腰梯形，周长为2A ．二、填空题．13【解析】根据双曲线的方程，可知焦点在x 轴上，结合()2,1P 在渐近线上，所以12b a =，即2a b =，所以c ，从而有其离心率c e a =．14．【答案】60【解析】因为()()()36662166C 2C 21rrrr r rr r T x x---+⎛==- ⎝，所以令3602r -=，得4r =，即常数项为()()64446C 2160--=． 15．【答案】12【解析】设BC 中点为M ，所以()1233AP AB AC AM =+=，因此P 为重心，而P 为ABC △的外心，所以ABC △为正三角形，1cos 2BAC ∠=．16．【答案】3993【解析】第1k +个1为数列{}n a 第()21135211k k k k ++++++-=++项，当44k =时，211981k k ++=；当45k =，时212071k k ++=；所以前2019项有45个1和()24420191981+-个2，因此()2201945244201919813993S ⎡⎤=+⨯+-=⎣⎦．三、解答题．17．【答案】（1）；（2）5b =．【解析】（1）由2cos212sin A A =-，得22sin 3A =，因为()0,πA ∈，∴sin A =，由sin A C ，1sin 3C =，由正弦定理sin sin a cA C =，得a =．（2）角A 为锐角，则cos A =，由余弦定理得22150b b --=，即5b =，或3b =-（舍去），所以ABC △的面积1sin 2ABC S bc A ==△18．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）E ，F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF ⊥， 又BE PE ⊥，且PEEF E =，所以BE ⊥面PEF ，又BE ⊂面ABEF ，所以面PEF ABEF ⊥．（2）过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ， 又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0F -，(P ，所以()2,0,0AF =-，(FP =，()0,2,0AB =，(2,1,PA =-，设平面PAF 的法向量为()1111,,x y z =n ，则1100AF FP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，∴111200x y ⎧⎪⎨-=⎪⎩=，()10,=n ， 设平面PAB 的法向量为()2222,,x y z =n ，则2200AB PA ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，∴22222020y x y =-=⎧⎪⎨⎪⎩，)22=n，1212cos θ⋅===⋅n n n n ，所以平面PAE 与平面PAB．19．【答案】（1）22143x y +=；（2）当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．【解析】（1）由题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =，∵12PF F △的周长为6，∴122226PF PF c a c ++=+=，∴2a =，b∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）假设存在常数λ满足条件． ①当过点T 的直线AB的斜率不存在时，(A，(0,B ，∴)()311327OA OB TA TB λλλ⎡⎤⋅+⋅=-+=--=-⎣⎦，∴当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-；②当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩，化简得()2234880k x kx ++-=，∴122843k x x k +=-+，122843x x k =-+．∴()()1212121211OA OB TA TB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=+++--⎡⎤⎣⎦()()()21212111k x x k x x λ=+++++()()()()2222228118218117434343k k k k k k λλλ⎡⎤++-+++⎣⎦=--+=+=-+++，∴21143λλ++==，解得：2λ=，即2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．综上所述，当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．20．【答案】（1）0.243；（2）①见解析，②当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数．【解析】（1）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件:A 3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率()123C 0.10.90.243P A =⋅⋅=．（2）①当5K =，0.1P =时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9-，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为()11k P P k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1111k P P k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， ∴()()()111111111k k k E P P P k k k ξ⎛⎫⎡⎤=⋅-++--=--+⎪⎣⎦⎝⎭，不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需()1111kP k --+<，即1P ->，所以当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数．21．【答案】（1）见解析；（2）(],32ln2a ∈-∞--．【解析】（1）()()2840x x mf x x x '-+=>，①当12m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞在上单调递增； ②当102m <<时，设方程2840x x m -+=的两根为1x ，2x ，则1x =，2x =，∴1104x <<，21142x <<， ∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()12,x x 上单调递减．（2）由（1）可知，102m <<且1212x x +=，128mx x ⋅=，由()12f x ax ≥，∴()12f x a x ≤，因为()()()221111111144ln2211412ln2f x x x m x x x x x =-+=--+-，所以()()()1111121122128ln21122f x f x x x x x x x ==--+--，设12t x =，102t <<，令()()21214ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭，()()21212ln 1h t t t ⎡⎤=-+'⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 当102t <<时，()2112ln 01t t -+<-，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()132ln22h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，综上所述，(],32ln2a ∈-∞--时，()12f x ax ≥恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）sin cos 1ρθρθ+=；（2）52AB =【解析】（1）直线l 的参数方程为1x ty t =-=⎧⎨⎩（t 为参数），消参得10y x +-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标方程可得sin cos 1ρθρθ+=．（2）法1：由3sin ρθρθ==⎧⎪⎨⎪⎩，得tan θ=，所以π6θ=， 点A 的极坐标3,26πA ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点B 在直线OA 上，所以设B 的极坐标为π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由sin cos 1ρθρθ+=，得1B ρ=，所以1,6πB ⎫⎪⎭，所以52A B AB ρρ=-=法2：曲线1C 与曲线2C的直角坐标为220x y +=，2230x y y +-=，由2222030x y x y y +=+-=⎧⎪⎨⎪⎩，得点A的坐标34A ⎫⎪⎪⎝⎭， 所以直线OA的方程为y =，由1x y y x +==⎧⎪⎨⎪⎩，得点B的坐标为B ⎝⎭，所以32OA =，1OB =，52AB =AB =∴52AB =23．【答案】（1）1；（2）3111a x x a ⎧+⎫≤≤⎨⎬+⎩⎭．【解析】（1）1a =时，()()()12121f x x x x x =-+-≥---=，所以()f x 的最小值为1．（2）①2x >时，()12f x x ax a a=-+-≤，311a x a +≤+，因为3112011a a a a +--=>++，所以此时解得3121a x a +<≤+； ②12x ≤≤时，()12f x x ax a a=--+≤，1x ≥，此时12x ≤≤；③1x <时，()12f x x ax a a=--+≤，1x ≥，此时无解，综上：不等式的解集为3111a x x a ⎧+⎫≤≤⎨⎬+⎩⎭．。

2018届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数的实部与虚部之和为1，则实数的值为( )A. 2B. 1C. 4D. 3【答案】A【解析】由题意可得，，因为实部与虚部之和为，，实数的值为，故选A.2. 下列说法错误的是( )A. “若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的否定是“”D. 命题：“在锐角中，”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，，，错误，故选D.3. “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设水深为尺，根据勾股定理可得，解得，可得水深尺，芦苇长尺，根据几何概型概率公式可得，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为，故选B.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，由三视图可知：，，平面平面平面，则三棱锥的体积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5. 已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A. 3B.C.D. 1【答案】D【解析】，，，又，其渐近线方程为焦点到它的一条渐近线的距离为，故选D.6. 已知函数，把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移各单位长度，得到函数的图象，则函数的对称中心是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】，图象的横坐标伸长到原来的倍，可得的图象，可得的图象向左平移各单位长度，的图象，，函数的对称中心为，故选C.7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人的值分別为4,5,则输出的值为( )A. 211B. 100C. 1048D. 1055【答案】D【解析】执行程序框图，输入，则，进入循环，得；，故进入循环，得；，故进入循环，得，，故进入循环，得，此时，不满足，故结束循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 在中，，点是的重心，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设的中点为，因为点是的重心，所以，再令，则，，，当且仅当时取等号，故选B.9. 已知函数的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图象可知，且，，可知的两根为，由韦达定理得，异号，同号，又，异号，只有选项符合题意，故选B. 10. 在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.11. 当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数.如，则( )A. 342B. 345C. 341D. 346【答案】A【解析】，而，，，，又，，故选A.12. 已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是( )A. 存在 ,使得B. 存在，使得C. 的最大值为D. 的最大值为【答案】C【解析】依题，，，当时，，递增，不可能有极大值点（若有极值也是极小值），，此时有解，即有两个不等的正根，得：，由，，，，分析得的极大值点为，，在递增，在递减，当取得极大值，又，，即，令，原命题转化为恒成立，，在上递增，，，所以的最大值为，对、错，又，即不存在极大值点，排除，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则__________．【答案】【解析】由，由函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，得：，联立方程消元即得：，故答案为.14. 设，在约束条件下，目标函数的最小值为-5，则的值为__________．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，由，可得，由，得在轴上的截距越大，就越小，平移直线，由图知，当直线过点时，取得最小值，的最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若,则直线的斜率为__________．【答案】【解析】由题意得，，由，配方为，可得，所以直线过圆心，可设直线的方程为，联立，化为，，，由，可得，故答案为.16. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可得，，又平面，平面平面，平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中，，设，则有中，，又在中，，在中，，又，则，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列中，,为等比数列的前项和，且,若成等差数列.(1)求数列，的通项公式；(2)设,求数列的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）在等差数列中，设公差为,由,从而可得；设等⽐比数列列的公⽐比为，由从而可得的通项公式；（2）结合（1）可得.当，当时，利用“错位相减法”，结合等比数列的求和公式即可求得数列的前项和.试题解析：（1）在等差数列中，设公差为,,.设等⽐比数列列的公⽐比为，依题有：.(2).当.当时，,①②--②..18. 如图，平面平面,是等边三角形，是的中点.(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由是等边三⻆角形，是的中点，可得,利用直线与平面垂直的判定定理得出直线与平面垂直，再利用直线与平面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立空间直⻆角坐标系，根据直线与平面所成的角的余弦值为.可得，不妨设,利用向量垂直数量积为零，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而可得正弦值.试题解析：（1）因为是等边三⻆角形，是的中点，所以,因为平面平面，所以，因为,所以平面，因为平面，所以.(2)解法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立如图所示的空间直⻆角坐标系.因为平面，所以为直线与平面所成的角.由题意得,,即，从而.不妨设,又,则.故.于是,设平面与平面的法向量分别为,由令,得由令,得...故二面角的正弦值为1.(2)解法2：平面为直线与平面所成的角.由题意得,即，从而.不妨设,又,则，.由于平面，平面，则.取的中点，连接，则.在中，,在中，,在中，,取的中点，连接,则.所以为二面角的平面角.在中，,在中，,在中，,.故二面角的正弦值为1.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若,则；. 【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）因为,.此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理；（2）次品数的可能取值为，根据根据排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1),.此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理.(2),由题意可知钢管直径满足：为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.9560根钢管中，合格品 57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数的可能取值为:0,1,2,3..则次品数的分布列列为：得：.20. 已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.①求的最大值；②当取得最大值时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据离心率为、圆心到直线距离等于半径，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；(2) 直线与圆相切得：，将直线代入椭圆的方程得：①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果；②当取得最大值时，，.试题解析：(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,依题有：(2)由直线与圆相切得：.设.将直线代入椭圆的方程得：,且.设点到直线的距离为,故的面积为：,当.等号成立.故的最大值为1.设，由直线与圆相切于点，可得，..,【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21. 已知函数 .(1)当时，证明：；(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）时，即证,只需证明,利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，从而可得原不等式成立；(2) 依题在上恒成立，讨论三种情况：①当时，单调递增；,符合题意；②当时，,不符合题意，舍去；③当存在部分不合题意，综合三种情况可得结果.试题解析：证明：(1)当时，即证：,,令，则,当时，有.当时，单调递增；当时，有.当时，单调递减，.取等号条件不不⼀致，（此问可以参考如图理解）..(2)依题在上恒成立，令,又令,所以当时，在上单调递增，,因此,，讨论：①当时，单调递增；,符合题意②当时，,不符合题意，舍去.③当.,当时，在时单调递减，当时，在单调递减，，不符合题意舍去.综上：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）化曲线的参数方程为直⻆角坐标方程是:由点在曲线的内部，可得，解不等式可得实数的取值范围；(2)根据极径的几何意义可得直线截得曲线的弦长为：，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为:由点在曲线的内部，,求得实数m的取值范围为.(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，则直线截得曲线的弦长为：.即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.选修4-5：不等式选讲23. 已知.若函数的最小值为4.(1)求的值；(2)求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由,结合函数的最小值为，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得，再根据基本不等式即可求得的最小值.试题解析：(1),当且仅当时，等号成立，的最小值为.(2)法一（基本不不等式处理理）：.当.等号成立.法二（柯⻄西不不等式处理理）：。