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两直线相对位置

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两直线的相对位置(工程制图)

两直线的相对位置(工程制图)


思考并回答：常 见工程结构中的 一些线的位置关 系。
时间共2分钟。 通过云教学软件 提问。
道路工程制图与识图
教学过程 课后作业
教师的活动
学生的活动
备注
通过三个实例讲授 做云教学软件预留 空间相交二直线的 的练习(画出相交 三个投影特征，通 二直线的三面投 过ppt动画的形式 影)。 进行投影图的绘制。
C
A
D
B
E F
G
5
道路工程制图与识图
1）两直线相交
投影特征:①相交两直线，其各同面投影必相交，且
交点符合点的投影规律（即各投影交点的连线必垂直于
相应的投影轴）。
c′
c"
b′
b"
k′ a′
d′
k" a" d"
db k a
c
道路工程制图与识图
②对两一般线在空间是否相交。 c’
道路工程制图与识图
二、本次课的衔接和配合
本次课（两直线的相对位置）的先导课为《各种位 置直线的投影》，后续课为《平面的投影》。在教材的 知识体系中，本次课与前面的特殊位置直线与一般位置 直线等知识相链接，也为以后系统地学习平面和立体的 投影奠定了理论基础。
道路工程制图与识图
三、教学设计
主题
两直线的相对位置（相交）
符合点的投影规律。 ②对两一般位置直线而言，只要根据任意2组
同面投影即可判断两直线在空间是否相交。 ③对于特殊位置直线而言，只要判断交点是否
具有定比性来验证两直线是否相交。
道路工程制图与识图
道路工程制图与识图
直线上的点的特性：
定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)详解

第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)详解

投影面平行线—— 水平线（平行于Ｈ面且…） 正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2020/9/21
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z
b
实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
正平线的投影特性：
1、正面a 投影反b 映直线段的实a长。该投b影与OX轴、OZ轴
的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。YH （a b=AB， 反映、角的真实大小）；
b’
1.根据直角三角形的组成，利
用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换 b 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点 V
直线上点的投影特性—— a
➢从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
对侧立投影面的倾角——
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
垂直于某一投影面
投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线
水平线 正平线 侧平线
铅垂线 正垂线 侧垂线
与三个投影面都倾斜 一般位置直线
各种位置直线的投影特性
b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
b Z
投影特性：
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
2.5.1两直线的相对位置

2.5.1两直线的相对位置

点、直线、平面两直线的相对位置目的和要求掌握由投影图判别两直线的相对位置关系。

两直线的相对位置两直线在空间的相对位置有三种：1. 两直线平行2. 两直线相交3. 两直线交叉 (异面直线)4. 两直线垂直（相交垂直、交叉垂直）两直线的相对位置1. 两直线平行空间两直线平行,则两直线各个同面投影也一定相互平行。

反之,若两直线的同面投影都两两平行,那么,两直线在空间也一定是相互平行的。

Xb 'aa 'd 'bbcc 'Xb 'a 'abdc 'd 'cA B C D两直线的相对位置1. 两直线平行若两直线同为某投影面的平行线时,用两面投影判断时，则须有平行面上的投影才能作出判断，否则须用三面投影才能判断。

当两直线是一般位置线时,只要二面体系中两对同面投影平行即可。

两直线的相对位置2. 两直线相交空间两直线相交,它们的同面投影也一定相交,且交点的投影符合点的投影规律。

b'X a' ab k'c'd'dckXBDACKbb'aa'c'cdd'k'ko两直线的相对位置当两直线是一般位置线时，用两面投影直接判断。

2. 两直线相交若有一根直线为某投影面的平行线时，已知投影必须包括平行投影面的投影才行，否则用三面投影才能判别。

两直线的相对位置3. 两直线交叉空间既不平行又不相交的两直线,称为交叉直线。

b 'Xa 'abc 'd 'dc11'(2')2XOBDA C b b 'aa 'c 'cdd '211'(2')21两直线的相对位置3. 两直线交叉可能有两组同面投影平行,但第三面投影绝不会平行；也可能有三组同面投影都相交,但三个交点绝不会符合点的投影规律。

3. 两直线交叉交叉两直线同面投影的“交点”,是两直线上对该投影面的重影点。

环境工程制图与CAD题库一

环境工程制图与CAD题库一

1.组合体叠加时，如果两个基本体在叠合处不存在公共的表面时，必须画出分界线.(A)A 正确B 错误答案解析: 组合体稥加表面过渡关系有共面和不共面两种情况，如果共面则不需要画出分界线，如果不共面，必须有分界线.2.将物体分解为若干基本体的叠加与切割，并分析这些基本体的相对位置，便可形成对整个形体形茯的完整概念，这种方法称为(A)A形体分析法B投影分析法C线面分析法D综合分析法答案解析:组合体形体分析法的基本概念:假设把组合体分解成若干个形体，需要搞清楚各个形体的形状、组合形式、相对位置以及连接关系，这就运用到形体分析法.3.以下两个立体都是回转体(B)A B答案解析:回转体是曲面立体中的一类特殊的立体，是由一条母线绕着中心轴线回转360°后所形成回转面组成的立体，题目中的四棱柱是平面立体，自然不属于回转体的范畴.4.在三面投影体系中存在一条空间直线AB，该直线在V面投影上的投影为一个点，则直线AB为(C)A 正平线B 侧平面C正垂线D铅垂线答案解析:投影体系中的空间直线，垂直于哪个投影面，在该投影面的投影积聚为一点，并为该投影面的垂直线5.尺寸线为竖直方向时，尺寸数字的字头方向应(A)A朝左B朝上C朝下D朝右答案解析:根据国标规定图样在尺寸标注时，如尺寸线为水平方向，则要求尺寸数字字头朝上，如尺寸线为竖直方向，要求尺寸数字字头朝左6.在三面投影体系中，已知点A的坐标为(10,30,15)，则点A到W投影面的距离为(B)A 15B 10C 30D 0答案解析:在三面投影体系中存在的点，其X坐标等于点到W投影面的距离，Y坐标等于点到V投影面的距离，Z坐标等于点到H投影面的距离7.绘制圆时，中心对称线应用细实线画出.(B)A对 B 错答室解析:在制图中，图形或立体的对称线和轴线都需要用点划线绘制.8.三视图的立体感好，而轴测投影图的立体感差.(B)A对 B 错答案解析:三视图的度量性好，但立体感差，而轴测图度量性不好，但立体感较强.9.在工程制图中，图样中的尺寸以(B)为单位时，不需要标注计量单位的符号或名称.A dmB mmC mD cm10.(B)被称为技术交流的共同语言.A 投影法B 图样C 制图标准D 比例答案解析:图样是工程界技术交流的共同语言，制图标准则相当于图样表达的”语法"，而投影法是图样形成的基本方法，比例则是图样绘制过程中的一个基本信息.11.为了使图纸幅面规整，便于管理，国标中规定了五种基本幅面，以下不属于国标规定的五种基本幅面的是(C)A A3B A2C A5D A4答案解析: 制图国家标准中规定了5种基本幅面，分别为A0，A1，A2，A3，A4.12.在画图时应尽量采用原值的比例，须要时也可采用放大或缩小的比例，其中3:1为(C)比例.A 任意B 缩小C 放大D 原值答案解析:图样的比例是指图中图形与其实物相应的要素的线性尺寸之比13.两直线的相对位置只有平行、垂直.(A)A 错B 对答案解析:空间中两直线的位置关系包括平行、相交、交叉和垂直(垂直相交和垂直交叉)，不仅仅是平行和垂直.14.在环境工程相关专业图纸中，如水处理工程建设项目，为能够清楚表达各水处理构筑物的高度布置关系所绘制的工程图样，一般称为(C)A 平面布置图B 土建图C 高程图D安装图答案解析: 高程图是表述个处理构筑物水平高度关系的工程图样.15.根据以下三面投影图，可判断两直线的空间位置关系为(D)A 交叉B 相交C 重合D 平行答案解析:根据三面投影图可以看出，两直线的各同面投影均为相互平行的线，对于三个投影均互相平行的投影线可判断空间中两条直线为平行关系.16.剖视图中已表达清楚的物体内部形状，在其他视图中投影为虚线时一般不必画出;但对于没有表示清楚的内部形状，仍应画出必要的虚线.(A)A 对B 错答案解析: 剖视图中已表达清楚的物体内部形状，在其他视图中投影为虚线时一般不必画出;但对于没有表示清楚的内部形状，仍应画出必要的虚线.17.如图所示，立体采用的剖切方法是(B)A 全剖B 阶梯剖C 旋转剖D 半剖答案解析:用相互平行的两个剖切平面剖切一个形体所得到的剖视图，称为阶梯剖视图.18.空间中点在一条线上，则点和线的同面投影中投影点异一定在投影线上，该特性称之为点在线上投影的(B)A 跟随性B 从属性C 定比性D 确定性答案解析: 空间中点在线上的投影特性是从属性和定比性，其中从属性描述的是，点和线的同面投影一定遵循点在线的关系.19.如下管件图形符号表示的意义是(B)A 活接头B 三通管C 弯头D 四通管20.组合体三视图的绘制中，选择的主视图应能比较明显的反应组合体的主要形状特征和各基本体的主要位置关系.(B)A 错B 对答案解析: 在三视图中，主视图是最为主要的投影图，最好能够比较明显的反应出立体的主要特征和结构.21.如以下三视图所示，表示空间中两个(B)体相贯.A 棱柱B 圆柱C 长方体D圆锥答案解析:根据三视图可以看出矩形对应的其他投影面的投影为圆形，所以可判断两个立体均为园柱.22.如果空间中两直线相交，其交点的投影(B)点的投影规律.A 不一定符合B 一定符合C一定不符合D可能符合答案解析:根据空间两相交直线的投影规律，如果空间中两直线相交，则其同面投影一定相交，并且其交点一定符合点的投影规律.。

3-直线的投影及两只线的相对位置关系

3-直线的投影及两只线的相对位置关系


一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3

练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
两直线的相对位置平面的投影

两直线的相对位置平面的投影

例1：判断点C是否在线段AB上。
点C不在直线AB上
点C在直线AB上
a
b
c
a
b
c
①
o
x
c
②
a
b
c
a
b
●
o
x
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
b
●
k
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
应用定比性
a
b
k
a
b
k
另一判断法?
Y
H
Y
W
X
Z
O
k
k
a
b
a
b
x
a1
b1
k1
●
例3：已知直线AB，在AB上取点C和D，点C距 H面10mm，点D分割AB成AD：DB=3：1，作点 C和D的两面投影。
2、AD、BC直线的投影不满足 平行条件，又不满足相交条件， 为交叉直线，则A、B、C、D四 点不共面
3、AB不平行于CD
例3：过C点作水平线CD与AB相交。
●
●
c
a
b
b
a
c
d
k
k
d
先作正面投影
O
X
分析： 1、水平线投影特性 2、相交两直线投影特性
例4：判断直线AB与CD的相对位置
X
C
d
a
b
c'
c
a
b
b
a
c
O
X
d
d
15
10
k
k
e'
e
f'
f
b
c
k
a
08根据两直线的投影判别两直线的相对位置

08根据两直线的投影判别两直线的相对位置


2.3 直线的投影
（2）直线平行于投影面（图2-16（b）） 其投影的长度反映空间线段的实际长度，即:ab=AB，这种特性称为真形性。
（3）直线倾斜于投影面（图2-16（c））
图2-16 直线对一个投影面的投影特性
其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了，即 ab=ABcosα。这种特性称为类似性。
图2-17 一般位置直线
2.3 直线的投影
2.3.3 直线上的点 如图2-18所示，直线与其上的点有如下关系: （1）点在直线上，则点的投影必定在直线的同面投影上; （2）点在直线上，则点分割线段之比等于其投影之比。 即ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″:c″b″=AC∶CB
图2-18 直线上的点
2.3 直线的投影
教学目的：
1.熟练掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性 判别直线对投影面的相对位置。 2.掌握直线上点的投影特性。 3.掌握不同相对位置的两直线的投影特性。
教学重点：
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点：
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求 出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平 行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。
工程制图第二章习题答案解析

工程制图第二章习题答案解析

第二章点、直线、平面的投影————点的投影班级学号姓名专业.整理第二章点、直线、平面的投影————点的投影班级学号姓名专业.整理13 第二章点、直线、平面的投影————点的投影班级学号姓名专业.整理14 第二章点、直线、平面的投影————直线的投影班级学号姓名专业.整理15 第二章点、直线、平面的投影————直线的投影班级学号姓名专业.整理16 第二章点、直线、平面的投影———直线的实长班级学号姓名专业.整理专业.整理17 第二章点、直线、平面的投影———直线的实长班级学号姓名专业.整理18 第二章点、直线、平面的投影———直线上的点班级学号姓名专业.整理19 第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名专业.整理专业.整理20 第二章点、直线、平面的投影———直线的相对位置班级学号姓名专业.整理专业.整理第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名专业.整理专业.整理22 专业.整理第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名专业.整理23 第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名专业.整理24第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名专业.整理25 第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名专业.整理专业.整理26第二章 点、直线、平面的投影——平面的投影 班级 学号 姓名A 面是 正垂面B 面是水平面C 面是 侧平面A 面是 水平面B 面是 圆柱面C 面是 正平面A 面是侧平面 。

B 面是 正平面 C 面是 水平面专业.整理第二章 点、直线、平面的投影——平面的投影 班级 学号 姓名A 面是 圆柱面B 面是 水平面A 面是 正平面A 面是 侧垂面 。

B 面是 水平面 。

专业.整理28第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名专业.整理专业.整理29第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名2-56 完成下列平面的两面投影。

两直线的相对位置

两直线的相对位置

第五课：两直线的相对位置
全面理解画法几何与机械制图 讲师：张志
空间两直线的相对位置
空间两直线 的相对位置
同面直线 异面直线
平行 相交 交叉
平行两直线投影特性
两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等于投影长度之比。
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？ ➢ 如都是一般位置直线，则有两个投影平行就平行 ➢ 如都是投影面平行线，则必须根据第三投影或比例关系判断
利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其 相关的求点到直线距离，求 直角三角形、 等腰三角形等平面 图形投影的作图问题。
• 如果两直线在空间上垂直(垂直相交 或垂直交叉)，当其中一条直线平行 于某一投影面时，则两直线在该投影 面上的投影垂直。
直角投影定理
水平线
Ｂ
Ａ bＣ
a
c
判断下列直线是否垂直？
对投影面倾角的方法，并能灵活运用直角三角形法 • 7．掌握两直线各种相对位置的投影特性及作图方法和判
别方法 • 8．掌握直角投影定理及其应用
垂直
c'
不垂直
a'
b'
a
c
b
垂直 不垂直 不垂直
例题：直角投影定理
已知CD与AB垂直相交，补全CD的投影
d'
b' a' c'
d' a'
b' c'
ac
b
d
a d
c b
例题：直角投影定理
已知CD与AB垂直相交，补全CD的投影
b'
d'
a'
c'
a' d'
《机械制图》两直线的相对位置

《机械制图》两直线的相对位置

机械制图
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
两直线的相对位置
两直线的相对位置
一、平行两直线
若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
B
A
D
C
a
b c
d
3
两直线的相对位置 一、平行两直线
平行于某一投影面的两条直线是否平行的判断： 如果两条直线同时平行于某一投影面，必须看 两条直线所平行的那个投影面上的投影平行与否，才能最后确定这两条直线在空间是否互相平行。
7
两直线的相对位置 三、交叉两直线
两直线既不平行也不相交，称两直线交叉 。
8
两直线的相对位置
三、交叉两直线
➢ 交叉两直线可能有一组或二组同面投影 互相平行,但决不可能三组同面投影都 互相平行。
➢ 交叉两直线的同面投影，可能有一组、 二组或三组同面投影都相交，但它们交 点的投影一定不符合点的投影规律。
6
两直线的相对位置
二、相交两直线
在空间两条直线是否相交要区分情况： （1）对于两条一般位置直线，只要根据其任意两组投影，就可确定这两条直线在空间是否相交。 （2）当两条直线中有一条是投影面平行线时，则要看两条直线在三个投影面上的投影交点是否符合 点的投影规律，才能确定两直线是否相交。
两条直线中有一条是投影 面平行线时，两直线是否 相交的判断
➢ 实际上，交叉两直线同面投影的交点是 空间两直线上的对该投影面的一对重影 点。
9
a X
a
1(2) c
2 1 c
d b
b d
两直线的相对位置
三、交叉两直线
《机械制图》测试题(附答案)

《机械制图》测试题(附答案)

《机械制图》测试题（附答案）一、单选题（共30题，每题1分，共30分）1、重合断面的轮廓用（）画出。

A、波浪线B、点划线C、细实线D、粗实线正确答案：C2、当轴的公差带完全在孔的公差带之上时，属于（）配合。

A、过盈配合B、间隙配合C、不明确性质D、过渡配合正确答案：A3、两圆柱齿轮轴线之间的最短距离称为（）。

A、分度圆B、中心距C、齿距D、全齿高正确答案：B4、空间两直线相交，交点为K，则点kk,的连线必须的连线符合（）。

A、垂直于ox轴B、垂直于oz轴C、垂直于oy轴D、倾斜于三个投影轴正确答案：A5、已知空间点 A（10，15，20），B（8，5，10）则 B 点相对 A点在（）A、右后下方B、左后下方C、右前上方D、右前下方正确答案：A6、当组合体一端为回转面时，该方向的总体尺寸一般不注，只标注（）A、轴线B、总长C、总宽D、总高正确答案：A7、产品用放大一倍的比例绘图，在标题栏比例项中应填（）。

A、1:2B、1×2C、放大一倍D、2:1正确答案：D8、当孔的公差带与轴的公差带相交时，属于( )A、不明确性质B、过渡配合C、间隙配合D、过盈配合正确答案：B9、对于半剖视图，视图与剖视图的分界线是（）。

A、虚线B、点画线C、粗实线D、细实线正确答案：B10、下列比例当中表示缩小比例的是（）。

A、1:1B、1:2C、2:1D、1正确答案：B11、中国国家标准之简称为( )。

A、ＣＮＳB、ＮＣＳC、ＳＣＮ正确答案：A12、确定平面图形的尺寸位置的几何元素称为（）。

A、定位尺寸B、基本尺寸C、尺寸基准D、定形尺寸正确答案：C13、画断面图时，若由两个或多个相交剖切平面剖切得出的移出断面，中间应用（）断开为两个图形。

A、粗实线B、虚线C、波浪线D、点画线正确答案：C14、共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影。

这两个点被称为对该投影面的一对( )。

A、平行点B、垂直点C、重合点D、重影点正确答案：D15、机械制图的线条规范中，看不见的轮廓线用（）绘制。

机械制图中两直线的相对位置解读

§3-4 两直线的相对位置
一、两直线平行
二、两直线相交
三、两直线交叉
§3-4 两线段的相对位置
一、两直线平行
两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行
平行
V 即若AB∥CD 则ab∥cd ； a’b’∥c’d’ 。
Z
c’ b’ d' X D d
平行
§3-4 两线段的相对位置
a’ B
c’
a’ b’ O
X
O
d
本节结束
§3-4 两线段的相对位置
投影符合点的投影规律。
c’
V
c'
Z
b’ d’
k'
b'
B
k' K b
a'
C X
O c
a’ O
d'
X
b
c k a
A
a d Y
D d
§3-4 两线段的相对位置
k
三、两直线交叉
既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。
投影图上的交点是重影点。
V
不符合投影规律
b’
（2’） 1‘
c' Z
3’ 4’ a’
c’
b'
相交
O b’ k’ f
结论： 由于
a’k’ :k’b’ = ak :kb
解题完毕
所以 AB、Βιβλιοθήκη EF 相交。§3-4 两线段的相对位置
判断两直线的相对位置
例2 判断AB 、CD 两直线的相对位置。
a’ b’
a b
交叉
§3-4 两线段的相对位置
c’
d’ c
分析： 平行？ 交叉？ 判断方法： 方法一作第三投影（略） 方法二按定比性。（略） 方法三： 假定AB、CD平行，则ABCD 共面，AD 和BC 必相交， 作图： 结论： AB、CD 两交叉直线。

第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)解读

点（ab积聚成一点） ； 2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于 OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b
OYW ）
2018/12/28 8
垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
2018/12/28 5
投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z

1-5点、直线与直线的相对位置


c'
e'
X c'
b' a
O
e e
b
19
c
例 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。
b′ e′ c′ X e b a′ d′ O f′
a d
f c
20
例 已知菱形对角线AC的两面投影及b’,求该菱形的投影 , 空间分析： 空间分析：
中点N 等分对角线 AC⊥BD 对边平行且相等
21
之间的距离。 例: 求作直线AB 与CD 之间的距离。 分析： 1.过 分析： 1.过AB 上任一点K，作KF ⊥ AB 及CD; 是一般位置线，求出实长， 2.KF是一般位置线，求出实长，即为所求 距离。 距离。
空间两直线平行， 空间两直线平行， 同名投影必相互 则其各同名投影 则其各同名投影必相互 平行，反之亦然。 平行，反之亦然。 由于AB //CD，则 必定ab//cd， a’b’//c’d’ ， a〃b〃//c〃d〃。 〃 〃 〃 〃
d′ ′
6
例：判断图中两条直线是否平行。 判断图中两条直线是否平行。
第五节 点、直线与直线的相对位置
一、直线上的点 直线上的点具有两个特性： 直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则 若点在直线上， 点的各个投影必在直线的各同面 投影上。 投影上。利用这一特性可以在直 线上找点， 线上找点，或判断已知点是否在 直线上。 直线上。 2 定比性 属于线段上的点分 割线段之比等于其投影之比。 割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= a′c′ : c′b′ = C: b= a″c″ : c″ b″
10
相交。 例：过C点作水平线 与AB相交。 点作水平线CD与 相交

直线的投影、两直线的相对位置平行、相交、交叉

Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
为什么？
两直线相交吗？
d
b
a
a
b
c
d
c
1
2
3
4
O
X
例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
a'
a
c'
d'
c
d
b’
b
c1
b1
X
O
例11 判断两直线的相对位置。
d
a
c
b
o
YW
YH
z
解法一：
*
例11 判断两直线的相对位置
1
1d
c 1
1
定比性：若点在直线上，则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
直线上点的投影特性——
例6：判断点C是否在线段AB上。
一般位置直线（投影面倾斜线）
思考：从属于投影面及投影轴的直线的投影特性是什么？其投影如何作图？
a
b
b
a
b
a
O
X
Y
Y
Z
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a
b
b
a
c
d
c
d
侧平线
侧垂线
铅垂线
水平线
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
O
X
O
X
Z
c
c
d
d
a

机械工程图学习题集加详细解答 第3章

第三章几何元素间相对位置
二、回答问题
1、属于平面的投影面平行线的投影特性？
答：具有投影面平行线的投影特性、满足直线从属于平面的几何特性、与相应的迹线平行。

2、空间两直线平行的投影特性是什么？
答：两直线空间平行同面投影也平行，空间长度之比等于各同面投影长度之比。

3、两直线垂直其投影特性是什么（即直角投影定理）？答：两直线互相垂直（相交垂直或交叉垂直），其中一条直线平行于某投影面时，则两条直线在该投影面中的投影仍互相垂直，即反映直角；反之，若两直线（相交或交叉）在同一投影面中的投影互相垂直（即反映直角），且其中一条直线平行于该投影面，则两直线空间必互相垂直。

二、回答问题
4、直线与平面垂直及两平面垂直的几何定理、投影特性
是什么？解决哪些问题？
答：
1）如果一条直线和一平面内两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于该平面。

反之，如果一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

2）若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。

3）投影特性：两种垂直关系最终都归结为两直线的垂直
问题，应用两直线垂直的投影特性解决此类问题。

4）可以解决各种位置线与线、线与面、面与面的垂直问题。

判断二直线相对位置问题的研究


（） ａ
（） ｂ
不 限
不 限
不 限
不 限
不 限
图 １ 侧 平 线 与 一 般 线 相 交 的 条 件
１ ． 投 影 特 点 ２
判断 二直线 相交 的关 键 ， 于抓 住它 们 的交 点 。 在 因 为该 交点 作为 直线上 的点 ，其 投影 必符 合 直线 上点 的 投影 规律 ： 该交 点 的投 影必 落在 直线 的投影 上 ： 交 点 该 作为 空间点 必符 合点 的正投 影规 律 。 因此 ， 相交 二直 线
内容 十分有 限 ， 而且 前 提条件 不 明确 ， 也未 提 出 明确 的
判 断方法 ， 使读 者难 以意会 ， 往掌 握不 了二直 线 相 会 往 对 位置 的判 断 ：也 没有 把两 直线 的相 对 位置 和直 线 与 投影 面 的相对 位置 联 系起来 ，不 利 于读 者对 知识 的 系 统 掌握 。 为此 ， 有必 要对 二直线 的相对 位置 问题进 行研 究讨 论 ， 出规律 ， 出明确 实用 的判 断方法 。 找 提
０ 引 言
相交 二直 线 。 （ ）二 直线 投影 的交 点 就是 二直 线交 点 ２ 的投 影 。 （ ）交点 的投影符 合 点 的正 投影 规律 。 ３
１ ． 判 断的前提 条 件及 判 断步骤 ３
画法几何 中 ，二直 线 的相对 位置 是重 要 的基 本 问 题 之一 。判 断二 直线 的空 间相对 位 置是识 别 空 间直 线 的类 型 ， 图解 某些 空间 几何 问题 ， 培养 空 间思 维想 象 能 力， 建立 空 间概念 的必要 训练 ， 是 为学 习平 面 和立体 也 投 影打 基础 ， 是学 习画法 几何 中第 一步 重要 的 台阶 。 然 而 ， 于 这部 分 内容 ， 多教 科 书 均无 深 入 阐述 ， 及 关 众 涉
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五、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时， ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。 在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
三个投影与各投影轴都倾斜。 三个投影与各投影轴都倾斜。 利用直角三角形法求投影、实长、 利用直角三角形法求投影、实长、倾角
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
五、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉(错 、 平行、相交、交叉 错)、垂直
⒈ 两直线平行
b′ ′ a′ ′ A B c′ ′ C c b d H D d′ ′ V
投影特性： 投影特性：
空间两直线平 则其各同名投 行，则其各同名投 必相互平行， 影必相互平行，反 之亦然。 之亦然。
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a′ ′ c′ ′ k′ ′ C A a c b′ ′ d′ ′ K D d k
Байду номын сангаас
交点是两直 线的共有点
B c′ ′ a′ ′ b′ ′ k′ ′ d′ ′
x
o
b H
x
a c k d b
o
判别方法： 判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 若空间两直线相交， 相交， 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 影规律。
相交。 例3：过C点作水平线 与AB相交。 ： 点作水平线CD与 相交
b′ ′ c′● ′ a′ ′ k′ ′ d′ ′
x
a c k
●
o
d b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题 过程有何变化？
⒊ 两直线交叉
a′ ′ c' c
●
1′(2′ ) 3′ ′ ′ ′ 4′ ′
●
d′ ′
为什么？ 为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？ 两直线相交吗？
投影特性: 投影特性 a'b'∥ox, ∠bac＝90° ∥ ＝ °
返回
交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ⊥ ac
过点A作 线段的垂线 线段的垂线AB 例4 过点 作EF线段的垂线
b′
f′
e′ x e
b
a′
o
a f
返回
以最短线KM连接 ，确定 点，并求出 连接AB，确定M点 例5 以最短线 连接 KM实长。 实长。 实长
②
c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a 如何判断？ 如何判断？ b′ ′ b″ ″ c″ ″ a″ ″ d″ ″
对于特殊位置直线， 对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行， 平行，空间直线不一定 平行。 平行。 求出侧面投影后可知： 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。 不平行。 与 不平行
两直线垂直相交（或垂直交叉） ⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
定理：相互垂直的两直线， 定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
B A b a a′ ′ b′ ′ b c c H c′ ′
证明： 证明：设 因 C
直角定理
a′ b′ c′ AB b′c′=BC a′b′
c
b
|yA-yB|
a
小 结
重点掌握： 重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性、直角三角形法。 直线的投影特性、直角三角形法。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 法及投影特性。 定比定理。 ★定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
x
a
例1：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
①
a′ ′ b′ ′ d′ ′ c′ ′ c b d
x
a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
k
k
k
a X a
b X
a
m
b X
a
m
b
a
m
a
m M0
k
b
k
b
k
LKM
b 返回
过点E作线段 作线段AB、 的公垂线 的公垂线EF。 例6 过点 作线段 、CD的公垂线 。 b′ e′ c′ x e b a d a′ d′ o f′
c
f
返回
[例题7] 作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN 例题7 例题 上，且BC:AB =2:3。
三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比， ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 定比定理。 成定比 定比定理 四、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 且符合空间一个点的投影规律。 交叉（交错） ⒊ 交叉（交错） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 同名投影可能相交， 交点” 间一个点的投影规律。 交点” 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 对重影点的投影。
一、点的投影规律 ① a′a⊥OX轴 ′ ⊥ 轴 a′a″⊥OZ轴 ′ ″ 轴 ② aax= a″az=y=A到V面的距离 ″ 到 面的距离 a′ax= a″ay=z=A到H面的距离 ′ ″ 到 面的距离 aay= a′az=x=A到W面的距离 ′ 到 面的距离
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
b′ ′
●
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 面的重影点， 面的重影点。 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 面的重影点
★ 同名投影可能相交， 同名投影可能相交， 交点” 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 一个点的投影规律。 交点” ★ “交点”是两直线上 交点 重影点的投影， 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。 的空间位置。
直角边BC//H面 面 直角边 BC⊥AB ⊥ BC⊥Bb BC∥bc ⊥ ∥ 所以 BC⊥ABba平面 ⊥ 平面 bc ⊥ABba平面 故 平面 因此 bc⊥ab ⊥ ∠abc为直角 即 为直角
直线在H面上的 直线在 面上的 投影互相垂直
x
a
.
垂直相交的两直线的投影
a A B C c a b x a c b c o b