第3讲：两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线(一)

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【2014年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确．答案 D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析 由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾. 答案 C3．(2011·浙江)下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的． 答案 D4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 解析如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)． 答案 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分． 答案 3或4考向一平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR 交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[审题视点] (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23， ∴FG BD ＝23，且FG ∥BD .∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC . 同理，P ∈平面ADC .∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断． 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．【示例】►(2011·四川)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．实录甲同学：A乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B【试一试】(2010·江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()．A．1条B．2条C．3条D．4条[尝试解答]如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案 D。

直线、平面的相对位置关系教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方法。

包括：平行、相交和垂直。

教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。

学时：3§ 1平行关系1．1直线与平面平行几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。

投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。

根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图问题。

作图：如图5-1所示，已知b’d’∥e’f’,bd∥ef,且BD是ABC平面上的一直线，因此，直线BD∥ΔABC。

图5-1例1：过点K作一水平线，使之平行于ΔABC（图5-2）解：①在ΔABC上作一水平线AD。

（先作正面投影 aˊdˊ∥X）②过K点作直线KL∥AD。

（kl∥ad，kˊlˊ∥aˊdˊ）直线KL即为所求。

图5-2例2：过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB解：由于铅垂面的H投影为一直线，所以作铅垂面平行于直线AB，则P H必平行于ab。

1）过k作P H∥ab,与X轴交于P X点。

2）过P X点作P V⊥X轴，则P平面即为所求。

图5-31.2平面与平面平行几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平行，则这两个平面平行。

作图：由于AB∥A1B1,BC∥B1C1,所以平面ABC∥平面A1B1C1，如图5-4所示图5-4两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则不能确定两平面是相互平行的。

在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。

图5-5图5-6§2相交关系求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。

直线与平面的投影关系与计算方法直线和平面是几何学中常见的基本图形，它们在现实世界中广泛应用于建筑、工程、物理学等领域。

在这篇文章中，我们将讨论直线与平面之间的投影关系，并介绍一些计算方法。

一、直线在平面上的投影直线在平面上的投影是指直线在平面上的垂直投影或平行投影。

垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线，而平行投影是指直线在平面上的平行投影线。

1. 垂直投影垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线。

要计算直线在平面上的垂直投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。

首先，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。

如果直线与平面平行，则直线在平面上的垂直投影长度为0。

如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。

步骤二：确定垂直投影的起点。

在确定直线与平面相交的情况下，我们需要确定垂直投影的起点。

起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。

步骤三：确定垂直投影的方向。

垂直投影的方向是由直线在平面上的垂直投影线所确定的。

我们可以通过在平面上画出与直线平行的线段来确定垂直投影的方向。

步骤四：确定垂直投影的长度。

垂直投影的长度是直线在平面上的垂直投影线段的长度。

我们可以使用勾股定理或其他几何计算公式来计算垂直投影的长度。

2. 平行投影平行投影是指直线在平面上的平行投影线。

要计算直线在平面上的平行投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。

同样，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。

如果直线与平面平行，则直线在平面上的平行投影长度可以通过直线在平面上的任意两点之间的距离来计算。

如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。

步骤二：确定平行投影的起点和方向。

与垂直投影类似，平行投影的起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。

平行投影的方向由直线在平面上的平行投影线所确定。

步骤三：确定平行投影的长度。

平行投影的长度是直线在平面上的平行投影线段的长度。

B AC Pl线与线的位置关系一、知识点睛1. 平面上两条直线的位置关系只有两种，即______和______．2. __________________________叫做平行线．3. 平行的两个基本事实：____________________________________； ___________________________________． 4. 垂直的定义：_________________________________________________________________________． 5. 垂直的两个基本事实：_________________________________ __________________________________． 6. 直线外一点到这条直线的________________，叫做点到直线的距离． 7. 几何语言书写规范：①过点A 作AC ∥BD ；②过点A 作AC ⊥BD ，垂足为点C ． 8. 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为_____，即其中一个角是另一个角的____． 9. 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为____，即其中一个角是另一个角的_____． 10. 同角或等角的余角__，同角或等角的补角_． 11. 有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为_________，对顶角__________．二、精讲精练1. 平面内三条两两相交的直线（ ）A ．有一个交点B ．有一个或三个交点C ．有三个交点D ．有两个交点2. 在平面内有任意四个点，那么这四个点可以确定（ ）条直线． A ．1或6 B ．4C ．6D ．1或4或63. 下列推理正确的是（ ）A ．因a ∥b ，b ∥c ，故c ∥dB ．因a ∥b ，b ∥d ，故c ∥dC ．因a ∥b ，a ∥c ，故b ∥cD ．因a ∥b ，c ∥d ，故a ∥c4. 如图，要从小河引水到村庄A ，请设计并作出一条最佳路线，理由是____________________________________．第4题图 第5题图5. 如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 在直线l 上，且PB ⊥l ，那么下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到直线l 的距离是线段BP 的长度B ．P A ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短 C ．P A 是点P 到直线l 的垂线段D ．点A 到直线PB 的距离是线段AB 的长 6. 直线a 外有一定点A ，点A 到直线a 的距离是5 cm ，点P 是直线a 上的任意一点，则（ ） A ．AP >5 cmB ．AP ≥5 cmC ．AP =5 cmD ．AP <5 cm7. （1）体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是_________________； （2）直线l 的同侧有A ，B ，C 三点，如果A ，B 两点确定的直线l 1与B ，C 两点确定的直线l 2都与l 平行，那么A ，B ，C 三点在一条直线上，它的依据是__________________ __________________________________． 8. 下列说法中正确的个数为（ ）①在同一平面内不相交的两条线段叫做平行线②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行④平行于同一直线的两直线平行 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 下列推理中，错误的是（ ）A ．在m ，n ，p 三个量中，如果m =n ，n =p ，那么m =pFE D C A ED C BA12121221A BCDDCE AO BCDADCBACD EB ．在∠A ，∠B ，∠C ，∠D 四个角中，若∠A =∠B ，∠C =∠D ，∠A =∠D ，则∠B =∠C C ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cD ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c10. 如图，CD ⊥AB ，垂足为点D ，DE ，DF 为∠BDC 的三等分线．求∠BDF 的度数．11. 如图，O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC的平分线，OE 是∠COB 的平分线．你认为OD 和OE 互相垂直吗？请说明理由．12. 若∠2=60°，则∠2的余角为______，∠2的补角为_______．13. 一个角的补角是36°35′，这个角是________；已知一个角的余角等于42°35′，则它的补角等于________．14. 若∠α和∠β互余，则下列式子中：①180°∠β；②∠α+2∠β；③90°+∠α；④2∠α+∠β，能表示∠β补角的有____________． 15. ∠A 的余角与∠A 的补角互为补角，那么2∠A 是（ ） A ．直角 B ．锐角C ．钝角D ．以上三种都有可能16. 如图，∠1，∠2是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．17. 如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，若∠AOD =50°，则∠BOC 的度数是________．第17题图 第18题图 18. 如图，∠COD 为平角，AO ⊥OE ，∠AOC =2∠DOE ，则有∠AOC =__________． 19. 已知：如图，OA ⊥OB ，直线CD 经过顶点O ，若∠BOD :∠AOC =5:2，则∠AOC =_______，∠BOD =________．第19题图 第20题图20. 如图，在 直角△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则∠A 的余角是_____和______，因此∠ACD =______，所以∠BCD =_______． 21. 如图，∠AOB =180°，∠AOC =90°，∠DOE =90°，则图中相等的角有_____对，分别为_____________________；互余的角有_____对；互补的角有_______对．DBCA A A BCP QA BCDABCDACDBEF123ABCD O随堂测试1.在同一平面内互不重合的三条直线的交点个数可能是_____．2.下列语句正确的是__________（填序号）．①在同一平面内，两条直线不相交就平行②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④在同一平面内，两条直线没有公共点，那么这两条直线互相平行3.一个角的补角的余角等于这个角的25，则这个角的度数是__________．4.如图，∠AOB=120°，OD丄OA，OC丄OB，则∠COD=_____．作业1.下列说法中正确的是（）A．在同一平面内，两条不平行的射线必相交B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行D．一条直线有可能同时与两条相交直线平行2.已知同一平面内的直线l1，l2，l3，如果l1⊥l2，l2⊥l3，那么l1与l3的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．无法判断3.下列说法正确的是（）A.锐角一定等于它的余角B．钝角大于它的补角C．锐角大于它的补角 D．直角小于它的补角4.下列结论正确的是_____________（填序号）．①如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c②如果a∥b，b∥c，那么a∥c③如果a∥b，b⊥c，那么a∥c④如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c5.河边有一村庄（近似看作点A），如果在河岸上建一码头（近似看作点B），使村庄的人到码头最近，请作出点B，依据是________．第6题图第7题图6.如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上，理由是____________________．7.如图所示，直线AD，CF交于点O，过点O作射线OB，OE，点B，O，E不在一条直线上，试写出图中所有的对顶角：_______________________________．8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，写出所有互为余角的角：①_______与_______；②_______与_______；③_______与_______；④_______与_______．9.如图，∠AOC=∠BOD=90°，则AOD=_____，理由是：______________________．第9题第10题10.如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB，则______与∠3互为余角．11.如图，∠AOC=90°，∠BOC与∠COD互补，∠COD=115°，则∠AOB的度数为_______．12.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的CAB C D O 补角的度数为___．13. 已知∠α是它的余角的2倍，则∠α=_______． 14. 若互余的两个角的比是2:3，则其中较大角的补角是______．15. 一个角的余角比它的补角小_______．16. 根据下列语句作图，不要求写作法：（1）过点C 作直线MN ∥AB ；（2）过C 作CD ⊥AB ，交BA 延长线于点D ．17. 已知：如图，线段AB =10，点O 是线段AB延长线上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，求CD 的长．。

点直线平面投影知识点投影是几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体在某个平面上的阴影或映像。

在几何学中，我们经常需要计算点、直线或平面在一个给定平面上的投影，以便更好地研究物体的形状和位置。

本文将介绍点、直线和平面在投影过程中的一些基本知识点。

1.点的投影点的投影是指一个点在一个给定平面上的映像。

当我们将一个点垂直投影到一个平面上时，投影点与原点和投影平面上的点构成的直线相垂直。

我们可以使用垂直投影的概念来计算点的投影坐标。

2.直线的投影直线的投影是指一个直线在一个给定平面上的映像。

当直线与投影平面垂直时，其投影为一条线段，两者之间的关系是平行的。

当直线与投影平面不垂直时，其投影为一个线段或线段的集合，我们可以使用投影法来计算直线的投影。

3.平面的投影平面的投影是指一个平面在一个给定平面上的映像。

我们可以使用平行投影或透视投影来计算平面的投影。

平行投影时，平面的投影与原平面平行，透视投影时，平面的投影会根据视点的位置而有所变化。

4.投影的性质投影的性质是指投影过程中的一些重要特点。

首先，投影不改变物体之间的相对位置关系，即在投影平面上两个点的距离与它们在原物体上的距离相等。

其次，正交投影保持直线的直线性质，即投影线段仍然是直线。

最后，平行投影保持平面的平面性质，即投影平面上的点仍然在同一个平面上。

综上所述，点、直线和平面的投影是几何学中的基本概念。

了解投影的计算方法和性质可以帮助我们更好地理解物体的形状和位置。

通过使用适当的数学方法和工具，我们可以计算出物体在给定平面上的投影，从而更好地分析和描述几何问题。

这些投影知识不仅在几何学中有重要应用，还在计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域中发挥着重要作用。

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面平行线面平行面面平行定线面平面面平行面面平行3、平行关系与垂直关系互推。

以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。

线线平行传递性：b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫； 面面平行传递性：γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；线面垂直、线面垂直⇒线面平行：ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥；线面垂直线面垂面面垂直性质定理两平面面面垂直两平面内分别垂直于交线的面面垂线面垂直⇒线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；线面垂直⇒面面平行：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；线面垂直、面面平行⇒线面垂直：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //； 线线平行、线面垂直⇒线面垂直：αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行⇒面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //。

备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。

符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫；③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα； ⑤线面垂直:,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭；,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a ba //； ⑥面面垂直：二面角900;βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角） ⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形； ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系． 注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③三线三角公式12cos cos cos θθθ=．注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解； ②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法． 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：d=．3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。

直线与平面投影知识点总结在几何学中，直线与平面的投影是一个重要的概念。

它们常常出现在三维空间的几何关系中，同时也在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。

在本文中，我们将主要介绍直线与平面的投影的基本概念、性质和应用。

一、直线的投影：1. 直线的投影定义：在三维空间中，如果一个直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。

投影是一个向量，它的方向是垂直于平面，并且与直线平行。

投影的长度等于直线在该方向上的投影长度。

2. 直线的投影性质：（1）如果平行于平面的直线在平面上的投影为一线段，则该线段的中垂线必然在平面上。

（2）如果垂直于平面的直线在平面上的投影是一个点，则该点在平面上。

（3）直线在平面上的投影长度等于直线在法向量方向上的投影长度。

3. 直线的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了直线的投影。

（2）在几何学中，研究直线在平面上的投影可以帮助我们理解平行与垂直关系。

二、平面的投影：1. 平面的投影定义：在三维空间中，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。

平面的投影通常是一个多边形。

2. 平面的投影性质：（1）如果平行于平面的平面在另一个平面上的投影是一个多边形，则该多边形的边界一定是一个多边形的投影。

（2）如果垂直于平面的平面在另一个平面上的投影是一个点，则该点在另一个平面上。

3. 平面的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了平面的投影。

（2）在建筑设计中，考虑到平面的投影会对建筑物的外观和结构有着重要的影响。

三、直线与平面的投影：1. 直线与平面的投影定义：在三维空间中，如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。

同样地，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。