含参变量积分连续性

把被积函数分解为部分分式,得到
x 1[x ]. ( 1 x )1 (x 2 )1 21 x1 x 2 1 x 2
于是
()1[1 d x 1xd 1x d]x 1 20 1 x0 1 x 2 0 1 x 2
1 1 2[ ln 1 () 1 2 l2 n 4 ],
上式在 [0,1]上对 积分,得到
(1)(0) 01ln11(2 )d
1ln2
2
1 d 0 12
4
011d2,
即 I I l2 n l2 n I l2 n . 2442 42
从而
I ln2.
8
四、小结
1、含参变量的积分所确定的函数的定义 ； 2、含参变量的积分所确定的函数的连续性； 3、含参变量的积分所确定的函数的微分； 4、莱布尼茨公式及其应用.
x (xx)
(8)
当 x 0时，上式右端的第一个积分的积分限
不变，则
(x )f( x x ,y ) f( x ,y ) (x ) f( x ,y )
(x )
x
d y (x ) xd . y
对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得
1
(xx)
f(xx,y)dy
x (x)
1[(xx)(x)]f(xx,),
定理2 如果函数 f(x,y)在矩形
R ( a x b , y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x , y ) d ] d y [ x a f ( x , y ) d ] d .x y ( 2 )
公式（2）也可写成
a b d f ( x x , y ) d d y a b f ( x y , y ) d . x ( 2 )
(x ) f(x ,y ) d(a y x b )
确定的函数 (x)在 [a,b]上也连续.
证 设 x和 xx是[a,b]上的两点，则
(x x)(x)
[f(x x,y)f(x,y)d ].y(1 )
由于 f(x,y)在闭区域 R上连续，从而一致连续.
因此对于任意取定的 0,存在0,使得对于 R内
因此，令 x 0，取(8)式的极限便得公式(7).
公式(7)称为莱布尼茨公式.
例1
设
x2
(x)x
sinxydy, 求 y
(x).
解 应用莱布尼茨公式，得
(x )x 2 cx oy s sd x i2n y 2 x sx i2n 1
x
x 2
x
sixx nyx x22sxix n3sixx n2
(x)d (x)f(x,y)d y(x)f(x,y)dy
dx (x)
(x) x
f[x,(x)](x)f[x,(x)](x). (7)
证 由(4)式有
(xx)(x) (x) f(xx, y) f(x, y)
x
(x)
dy x
1
(xx)
f(xx, y)dy
x (x)
1 (x) f(xx, y)dy.
x
矩形 R ( a x b , y ) 上连续,那么由积分(1)
确定的函数( x) 在 [a, b]上可微分,并且
( x ) d d x f( x ,y ) d y f( x x ,y ) d .( y 5 )
证 因为 (x )li m (x x ) (x ),
x 0
跟着改变. 这个积分确定一个定义在[a,b]上的 x的函
数, 我们把它记作(x), 即
x f x ,y d( a y x b ).( )
这里变量 x在积分过程中是一个常量，通常称它为
参变量.
定理1 如果函数 f(x,y)在矩形
R ( a x b , b )
上连续，那么由积分
I bdy1xydy
a
0
b a
yxy1110dy
b
1 dylnb1.
a y1
a1
例3
计算定积分
1ln1(x)
I0 1x2 dx.
解 考虑含参变量的积分所确定的函数
()01ln 11 (x2x)d.x
显然， (0 ) 0 ,(1 ) I .根据公式(5)得
()01(1x)x1 (x2)d.x
x 小于某个正数 . 因此
( x ,y , x ) d y d y ( )( x ),
这就是说
l x i0m (x,y, x)d y0.
综上所述有
( x x ) x ( x ) f ( x x ,y ) d y ( x ,y , x ) d ,
练习题
一、求下列含积 参分 变所 量确 的定的限 函： 数的极
1．lxim 0 x1x1xd2yy2;
2．lim2 y2cosx(y)dy. x0 0
二、求下列： 函数的导数
1．(x) xln1 ( x)yd;y 2．(x) x2ex2yd.y
0y
x
三、 F(设 x) x(xy)f(y)d， y 其f(中 x)为可微函 0
当 x 0时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又
(x) f(xx,y)dy M (xx)(x),
(xx)
(x) f(xx,y)dy M (xx)(x).
(xx)
其中 M是 f(x, y)在矩形 R上的最大值. 根据(x) 与 (x)在 [a,b]上连续的假定，由以上两式可见，
源自文库
x
x
三 3 f、 (x ) 2 x f(x )．
四、 arcsa.in
(x x)
(x)
xx
f(xx, y)dy
(xx)
(x)
(x)
f(xx,y)dy f(xx,y)dy
(xx)
(x)
(xx)
f(xx, y)dy,
(x)
(x)
(xx)(x)
f(xx, y)dy
(xx)
(xx)
f(xx, y)dy
(x)
(x)
[f(xx, y) f(x, y)]dy. (4) (x)
x
其中在(x)与(xx)之间. 当 x 0时,
1[(xx)(x)](x),
x
f(xx,)f[x,(x)],
于是 1 x ( ( x x ) x )f(x x ,y ) d y f[ x ,(x )] (x )
类似地可证,当 x 0时,
1 x ( ( x x ) x )f(x x ,y ) d y f[x ,(x )] (x ).
x
为了求(x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x x ) ( x ) f( x x , y x ) f( x ,y ) d . y
由拉格朗日中值定理，以及 f 的一致连续性，我们有
x
f(xx,y)f(x,y)f(xx,y)
x
x
f(x,y)(x,y,x), (6)
x
其中 01， 可小于任意给定的正数 ，只要
3sinx32sinx2. x
例2 求 I0 1xb l n x xadx(0ab).
解 abxyd y[lxn yy]b axb l nxxa,
1b
I dxxyd.y 0a
这里函数 f(x,y)xy在矩形
R ( 0 x 1 , 0 a y b )
上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有
当 x 0时，（4）式右端的前两个积分都趋于 零. 于是，当 x 0时，
( x x ) ( x ) 0 ( a x b ),
所以函数 (x)在 [a,b]上连续.
定理得证
二、含参变量的函数的微分
下面考虑由积分(*)确定的函数 ( x) 的微分问题.
定理4 如果函数 f(x,y)及其偏导数 f ( x, y) 都在
令x 0取上式的极限，即得公式（5）.
三、莱布尼茨公式
定理5 如果函数 f(x,y)及其偏导数 f ( x, y)都在
x
矩形上 R ( a x b , y ) 连续，又函数 (x)
与(x)在区间 [a,b]上可微，并且 ( x ) , ( x ) ( a x b ),
则由积分(3)确定的函数 (x)在 [a,b]上可微，并且
求F(x)．
四、计 I 2 算 ln 1a 积 co x分 sdx： (a1 ).
0 1aco xsy co xs
练习题答案
一1． 、 ; 4
2． 8. 3
二 1 ． 2 l 、 1 n x 2 ) (;2 ． 2 x x 5 e e x 3 x 2 y 2 e x 2 d y . y
上连续，又函数(x)与(x)在区间 [a,b]上连续，
并且 ( x ) , ( x ) ( a x b ),
则由积分（3）确定的函数 (x)在 [a,b]上也连续.
证 设 x和 xx是[a,b]上的两点，则
(x x) (x)
(x x)
(x)
f(x x,y)d y f(x,y)d.y
一、含参变量积分的连续性
设函数 f(x,y)是在矩形R ( a x b , b )
上的连续函数. 在[a,b]上任意确定x的一个值, 于是
f(x,y)是变量 y在[,]上的一个一元连续函数,
从而积分
f(x,
y)dy存在,
这个积分的值依赖于取
定的 x值. 当 x的值改变时,一般来说这个积分的值也
我们在实际中还会遇到对于参变量 x的不同的值， 积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 x的函
数.这样,积分
x x x fx ,y dy3
也是参变量 x的函数.下面我们考虑这种更为广泛地
依赖于参变量的积分的某些性质.
定理3 如果函数 f(x,y)在矩形 R ( a x b , y )
于是由（1）式有
(x x)(x)
f(x x,y)f(x,y)d y().
所以(x)在 [a,b]上连续.
定理得证
注 既然函数(x) 在[a,b]上连续,那么它在 [a,b]上
的积分存在,这个积分可以写为
ab(x)dxab[ f(x,y)dy]dx
b
adx f(x,y)dy.
右端积分式函数 f(x,y)先对 y后对 x的二次积分.
的任意两点(x1, y1)及(x2, y2) ,只要它们之间的距离
小于 ,即
(x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2,
就有
f(x 2 ,y 2 ) f(x 1 ,y 1 ).
因为点(xx,y)与 (x, y)的距离等于 x ,所以当
x 时,就有
f(x x ,y ) f(x ,y ).