几类含参变量积分方程的求解

含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。

设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。

这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。

其次，含参量积分具有可微性。

设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。

这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。

此外，含参量积分还具有积分区间可微性。

设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。

这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。

1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。

例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。

2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。

例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。

3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。

例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。

4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。

含参积分的求导在数学中，含参积分是一种常用的求解数学问题的技术，在科学、工程、物理方面也影响甚大。

本文主要介绍含参积分的求导的基本概念、原理和技术，以及含参积分的几个应用。

一、含参积分的求导含参积分也叫复合积分，是指在不同参数的函数中，用一种统一的方法进行多次积分的过程，它与一次积分就可以解决问题的积分名义上不同。

含参积分求导中，我们以积分公式∫f(x,θ)dx为例，其中θ是一个参数，要求θx∫f(x,θ)dx，也可以写成θxF（x），其中F（x）代表积分结果。

由于参数θ依赖于x，所以要计算上述导数，需要用到链式求导法则，即F（x）x=θxF（x）+F（x）θ，根据这个法则，可以将含参积分求导拆分成两部分，即求θ的变化量和求F（x）的变化量。

这里的技巧就是，可以将θ的参数求导和F（x）的积分求导分别处理，先求θ的导数，再求F（x）的导数，最后将两个结果相乘，便得到了：θx∫f(x,θ)dx的结果。

二、含参积分的应用1、几何学几何学是数学的一个分支，它研究各种图形，在几何学中有许多含参积分的应用。

例如，在微积分中，曲线的振幅方程多用来对曲线求解，其中积分可以看作是一个复杂的变量，而这个变量又可以用含参积分来求解。

2、推进力学推进力学是研究空间物体运动及其影响的实用科学，它需要利用含参积分来研究不同情况下空间物体的运动规律，例如以恒定加速度推进物体，根据相关物理学原理，可以用含参积分来分析物体经过某一时刻的位移和速度。

3、量子力学量子力学是研究微观粒子的一门科学，它被认为是物理学的基本理论，它的内容涉及电磁学、核力学、量子动力学等，这些都需要用到含参积分来解决，例如，如果要计算一个系统的能量，则必须对相应的波函数进行积分，而这就要用到含参积分。

三、结论从上述介绍可以看出，含参积分是一种非常重要的技术，它在数学中的应用比较多，而且在几何学、推进力学、量子力学等科学领域也都有用处。

含参积分的求导也是一项比较复杂的技术，它需要熟练掌握相关的数学知识和技巧，才能解决具体的问题。

2011考研：高数组合积分法对几类积分进行求解0 引言及定义积分在微积分中占有极为重要的地位,它与微分比较,难度大,方法灵活,掌握积分的基本方法(如换元法,分部积分法等)是十分必要的,但这是远远不够的,还必须掌握一些特殊的积分方法,以便能顺利、快速、准备地计算出函数的积分来.组合积分法是一种全新的积分方法,它能顺利解决用传统积分法很难求解甚至不能求解的各类函数有理式的积分问题.华罗庚教授在他的著作《高等数学引论》一书中,举出了这样一个求不定积分的例子：求 dx x b x a x T ⎰+=sin cos sin 1,dx xb x a xT ⎰+=sin cos cos 2 .我们可以用代换2tan xt =,分别求出1T 与2T ,但还有更简单的方法,即)2(,sin cos ln )sin cos ()sin cos (sin cos cos sin )1(,221121C x b x a x b x a x b x a d dx x b x a x b x a bT aT C x dx aT bT ++=++=++-=+-+==+⎰⎰⎰由此可得,,]sin cos ln [1221C x b x a a bx b a T ++-+=,]sin cos ln [1'222C x b x a b ax ba T ++++= 华教授的解法为什么可以简化运算呢？在这里,他巧妙地两个结构相似的积分 组合在一起,成为一个以所求积分为变量的 1T ,2T 的二元方程组,解此方程组,即得所求不定积分,像这样用解方程组求解问题的方法称为组合法,用组合法求积分的方法称为组合积分法.用组合法求解积分问题的关键,是在式(2)中利用了凑微分公式(-asinx+bcosx)dx=d(acosx+bsinx).下面给出一些定义：定义1 设函数()f x 与()g x 为可导函数,如果'()()f x g x α=,且'()()g x f x α=,( α为任意常数),那么称()f x 与()g x 为互导函数,若'()()f x g x α=, 且'()()g x f x α=,则称()f x 与()g x 为相反互导函数,α为互导系数.定义 2 设函数()y f x =为可导函数,如果'()()f x f x ω=( ω为任意常数),那么,称函数()y f x =为自导函数,ω为自导系数.组合积分法分为两大类型,即参元组合法与分解组合法.在求一个积分I 时,找出另一个与I 结构相似的积分J,然后将两个积分组合起来,通过解I 与J 的方程组求解积分的方法叫做参元组合法.将一个积分分为两个结构相似的积分为I 与J,将I 与J 组成一个方程组,解方程组即得积分I 与J,最后将I 与J 联合成所要求的积分,这种求积分的方法叫做分解组合法.1 三角函数有理式的积分１.１ 含有 ()nx b x a cos sin +的积分对于分母含有()nx b x a cos sin +的三角函数有理式的积分,可考虑使用组合积分法,先证明两个递推公式.定理1 设)arctan ,1(,)cos sin (a bk x n x b x a dx J nn -≠>+=⎰π则 ])cos sin (cos sin )2[())(1(11122--+-+-+-=n n n x b x a xa xb J n b a n J . 证 由()nn n n n n n n n J n dx x b x a b a n x b x a x a x b dx x b x a x a x b n x b x a x a x b x b x a d x a x b x b x a xa xb x b x a x a x b d x b x a dxx b x a J )1()cos sin ()()1()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin ()1()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin ()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin (cos sin )cos sin (2221221111+++++-+-=+-+-+-=+--+-=+-=++=⎰⎰⎰⎰⎰++++++++所以有1222)cos sin (cos sin ))(1(+++--++=n n n x b x a xa xb J b a n nJ 将n-2代替式中的n,得,)cos sin (cos sin ))(1()2(1222--+--+-=-n n n x b x a xa xb J b a n J n故得递推公式].)cos sin (cos sin )2[())(1(11222--+-+-+-=n n n x b x a xa xb J n b a n J 定理2 设,)cos sin (⎰+=nn x b x a dxJ ,2211b a bb aa A ++= 2211b a ba ab B +-= 则 ).arctan ,1.(,)cos sin (11)cos sin (cos sin 1111a bk x n x b x a n B AJ dx x b x a x b x a I n n n -≠>+--=++=--⎰π 证 用组合积分法来证明.令,)cos sin (sin 1dx x b x a x I n⎰+= ,)cos sin (cos 21dx x b x a x I n ⎰+= 则 121)cos sin (111)cos sin ()cos sin (-+--=++=+-⎰n n x b x a n x b x a x b x a d aI bI 所以有,)cos sin (1111221221--+-+++=n n x b x a n b a b J b a a I .)cos sin (1111221222--+-+-+=n n x b x a n b a a J b a b I 于是有.)cos sin (11)cos sin (1111112211122112111----+--=+-+--++=+=n n n n x b x a n B AJ x b x a n b a ba ab J b a bb aa I b I a I要记住这两个递推公式不是一件容易的事情,实际上只需记住递推公式的证明思路,直接用组合积分法求解即可.１.２ 含有a+bsinx 与c+dcosx 的积分例1 求⎰+.sin 1sin dx xx解法1 令=I ⎰+.sin 1sin dx x x ⎰-=.sin 1sin dx xxJ 则 x x dx x dx x dx xxJ I x dx xx dx x x J I 2tan 2)1(sec 2tan 2sin 1sin 2,cos 2cos sin 2.sin 1sin 22222222+-=--=-=--=-==-=+⎰⎰⎰⎰⎰所以有 I=C x x x++-tan cos 1解法2 C x x x dx x x x dx x x ++-=-=+⎰⎰tan cos 1cos sin sin .sin 1sin 22 解法3 用代换 ,2tanu x = ,12sin 2u u x += ,122u dudx += 所以有 .)1)(1(41212112.sin 1sin 22222du u u u u du u u u u dx x x ⎰⎰⎰++=++++=+ 显然以上解法太繁,不宜采用.事实上,将原积分化为,sin 1.)sin 111(⎰⎰⎰+-=+-xdxdx dx x 再对后一积分做代换,2tan u x = ,12sin 2u u x +=,122u dudx += 则有 .2tan 1212)1(2121211sin 1222xu u du u du uu xdx+-=+-=+=+++=+⎰⎰⎰ 所以有 .2tan12sin 1sin C x x dx xx+++=+⎰显然用解法2较简单,但较复杂的情形用解法1较好. 例2 求⎰++=dx xd c xb a I cos cos 11 (dc >)解 设 ⎰+=,cos 1x d c dx I ,cos 2⎰-=xd c dxI 则x dxd x c c xd c dx c I I 222222221cos sec 12cos 2⎰⎰-=-=+ ,tan arctan 2)tan ()tan (22222222dc x cd c x c d c x c d --=+-=⎰),(sin sin 2cos cos 2222222221x d x d d c d dx xd c x d I I ⎰⎰+--=--=- 2222sin arctan2dc xd dc ---=所以有 )sin arctantan (arctan1222221dc xd dc x c dc I --++=22222222sin tan 1sin tan arctan1d c x d d c x c d c xd x c d c --+---=,cos sin arctan12222xc d xd c dc +--=上述结果与查表求得的结果一致,可见用组合积分法能顺利地求出积分表中较难的积分公式.此公式如用万能代换,令 来求出,将是比较困难的. １.３ 有a+bsinxcosx 的积分例3 求 ⎰+=.cos sin 1cos dx xx xI 解 这里如果用万能代换,设,2tan u x=,则,11cos 22uu x +-= ,12sin 2u u x += ,122u du dx += 原积分可变为.1222)1(2)1(2)1()1(212111211123422222222222⎰⎰⎰+++--=-++-=++-+++-=u u u u du u u u u du u u du u u u u u u I 以上有理函数的积分,要求出开相当困难,如果改用组合积分法将能很快地求出.令 ⎰+=,cos sin 1sin dx x x xJ 则有 ⎰⎰⎰---=+-=++=+2)cos (sin 3)cos (sin 2cos sin 22)cos (sin 2cos sin 1cos sin x x x x d x x x x d dx x x x x J I ,cos sin 3cos sin 3ln31xx x x +--+=⎰⎰⎰+++=++=+-=-,)cos (sin 1)cos (sin 2cos sin 22)cos (sin 2cos sin 1sin cos 2x x x x d x x x x d dx x x x x J I ).cos arctan(sin 2x x +=所以Cx x xx x x J C x x x x x x I ++-+--+=++++--+=)]cos arctan(sin 2cos sin 3cos sin 3ln 31[21.)]cos arctan(sin 2cos sin 3cos sin 3ln 31[21还有许多含有asecx+btanx 、acscx+bcotx 、b+atanx 、atanx+bcotx 等形式的积分可化为以上类型进行积分计算2 指数函数有理式的积分指数函数 x e 与x a 具有自导性,x e 与x e -、x a 与x a -的代数和具有互导性,这就为凑微分提供条件,这里主要用到以下的凑微分公式： ),()(x x x x e e d e e ---=+),()(x x x x e e d e e --+=-一般的指数函数x a 与)1,0(≠>-a a a x 也有类似的凑微分公式：),(ln 1)(x x x x a a d a a a ---=+ ),(ln 1)(x x x x a a d aa a --+=- 这就为使用组合积分法提供了保证.２.１ 有 n x x be ae )(-+ 积分.对于分母n x x be ae )(-+ 的指数函数有理式的积分,也和三角函数有理式的积分一样,可以考虑使用组合积分法求解.证明两个递推公式 定理1 设⎰-+=nx x n be ae dxJ )(, )0,1(≠>ab n 则 ],)()2[()1(4112----+-+--=n x x xx n n be ae be ae J n n ab J 证 因为 ⎰⎰+---+-=+=1)()()(n x x x x n x x n be ae be ae d be ae dx J dx be ae be ae n be ae be ae n x x x x n x x x x ⎰+--+--+-+++-=221)()()1()( = n n x x x x x x n x x x x J n dx be ae ae ae be ae n be ae be ae )1()()()()1()(2221++++--+++-⎰+---+--=n n x x n x x x x J n dx be ae abdxn be ae be ae )1()(4)1()(21++++-+-⎰+-+-- 所以有 12)()1(4+--++--+=n x x xx n n be ae be ae J n ab nJ 用n-2代替上式中的n,得12)()1(4)2(----+---=-n x x xx n n be ae be ae J n ab J n 故得递推公式])()2[()1(4112----+-+--=n x x xx n n be ae be ae J n n ab J 定理2 设 ⎰-+=nx x n be ae dxJ )(, ab ba ab B ab ab ba A 2,21111-=+= 则 ).0,,1(,)(11)(1111≠∈>+-+=++=-----⎰ab N n n be ae n B AJ dx be ae e b e a I n x x n n x x x x 证 令 ,)(,)(21⎰⎰---+=+=nx x x n x x x be e a dxe I be ae dx e I则有 ,121-=+n J bI aI.)(111)()()(121------+--=++=+-=-⎰⎰n x x n x x x x n x x x x be ae n be ae be ae d dx be ae be ae bI aI 所以 ],1)(111[2111-+--=--n be ae n J a I x x n ].1)(111[2112-+-+=--n be ae n J b I x x n 于是有 1111112111)(12112---+--++=+=n x x n be ae ab ba ab n J ab a b ba I b I a I 11)(11---+-+=n x x n be ae n B AJ这两个定理主要是给出用组合积分法求解此类积分问题的解题思路. ２.２ 含有n x x qa pa )(-+的积分用组合积分法证明下列递推公式给出解题思路.定理1 设n 为正整数,且0,1≠>pq n ,并另⎰-+=nx x n qa pa dxJ )(,则有递推公式])(ln 1)2[()1(4112+---+-+--=n x x xx n n qa pa qa pa a J n n pq J .证 由⎰⎰+---+-=+=1)()(ln 1)(n x x x x n x x n qa pa qa pa d a qa pa dx J =])()(ln )1()([ln 1221dx qa pa qa pa a n qa pa qa pa a n x x x x n x x x x ⎰+--+--+-+++-n n x x x x x x n x x x x J n dx qa pa qa pa qa pa n qa pa qa pa a )1()()()()1()(ln 11221++++--+++-=⎰+---+-- n n x x n x x x x J n dx qa pa pqn qa pa qa pa a )1()(4)1()(ln 121++++-+-=⎰+-+-- 所以有.)(ln 1)1(412+--++--+=n x x xx n n qa pa qa pa a J n pq nJ 用n-2代替上式中的n,得.)(ln 1)1(4)2(12----+---=-n x x xx n n qa pa qa pa a J n pq J n 故得递推公式].)(ln 1)2[()1(4112+---+-+--=n x x xx n n qa pa qa pa a J n n pq J定理2 设0,,1≠∈>pq N n n ,并令 pqqa pb B pq pb qa A 2,21111-=+=则有递推公式 1211)(1ln 11)(-----+-+=++=⎰n x x n nx x x x qa pa a n B AJ dx qa pa a b a a I .证 令 ,)(,)(21dx qa pa a I dx qa pa a I nx x xn x x x ⎰⎰---+=+= 则有 ⎰⎰----++=+-=-n x x x x n x x x x qa pa qa pa d a dx qa pa qa pa qI pI )()(ln 1)(21 1)(111ln 1--+--=n x x qa pa n a 所以有 ],)(111ln 1[21111---+--=n x x n qa pa n a J p I ].)(111ln 1[21112---+-+=n x x n qa pa n a J q I 于是 1111112111)(1ln 12112---+--++=+=n x x n qa pa a pq qa pb n J pq pb qa I b I a I .)(1ln 1111---+-+=n x x n qa pa a n B AJ 3 一类无理函数的积分对一类无理式的积分,可考虑使用组合积分法求解,特别对比较复杂的情形用组合积分法更为方便,对于这类无理函数的积分,其求法如下： 三角代换或一般换元法例4 求 .12⎰-+=xb ax dx I解 设t x sin =,则dx=cosxdt,于是原积分可变为 ,cos sin cos ⎰+=tb t a tdtI再令 ,cos sin sin ⎰+=tb t a tdtJ无理函数积分三角函数的有理式积分有理式积分组合积分 法则有 ,cos sin sin cos t dt t b t a ta tb aJ bI =++=+⎰.cos sin ln cos sin )cos sin (cos sin sin cos ⎰⎰+=++=+-=-t b t a t b t a t b t a d dt t b t a t b t a bJ aI 所以有 C t b t a a bt ba I ++++=]cos sin ln [122又由sint=x, 得 ,arcsin ,1cos 2x t x t =-= 所以 C x b ax a x b ba I +-+++=]1ln arcsin [1222 例5 求 )0(,22b a a ax b ax dx I ≠>++=⎰且解 设achtdt dx ,asht x ==,则原积分可变为dt bcht asht chtdt abchtsht a acht I ⎰⎰+=+=.2 再令 ,J dt bcht asht sht⎰+= 则 ).ln()(bcht asht bcht asht bcht asht d dt bcht asht bsht acht aJ bI +=++=++=+⎰⎰解得 122])ln([1C bt bcht asht a ba I +-++=, 由,asht x = 得 221,a x sht a x a cht +==,.ln )ln(]1)(ln[222a a x x ax a x a x arsh t -++=++== 所以 1222222]ln )ln(ln )ln([b a 1I C a b a x x b a a a x b ax a +-++--++-=C a x x b a x b ax a ba +++-+++=)]ln()ln([1222222))](ln[(221ba b a a C C -++= 例6 求 )(,))((n m n b ax m b ax dxI ≠++++=⎰解 设t b ax =+,则tdt adx b t a x 2),(12=-=, 于是原积分可变为 ⎰⎰++=++=))((2))((2n t m t tdt a n t m t dta I再令 ,))((,))((21⎰⎰++=++=n t m t dtI n t m t tdt I则有 ,ln 21n t n t dt mI I +=+=+⎰ .ln 21m t m t dt nI I +=+=+⎰ 所以有 11)ln ln (1C m t m n t n mn I ++-+-= 由t b ax =+, 得 11)ln ln (1C m b ax m n b ax n mn I +++-++-= 所以 C m b ax m n b ax n m n a I a I +++-++-==)ln ln ()(221 ).2(1C a C = 4用积分法求拉普拉斯逆变换求拉普拉斯逆变换是工程数学中的难点,用组合求逆法求拉普拉斯逆变换,无须用部分分式法将像函数F(P)分解为几个分式,然后查逆变换表再分别求之.在一定程度上,这种求逆变换的方法具有较多的优越性,特别是对于比较复杂的情形更是如此.例7 求)4)(5(1)(2++=P P P F 的逆变换 解法1 令 ],)4)(5(1[)(21++=-P P L t f ])4)(5(1[)(21++=-P P L t g . 则 ,]51[])4)(5(4[)(4)(51221t e P L P P P L t f t g ---=+=+++=+ ]42[25]4[]45[])4)(5(25[)(25)(212121221+-+=+-=++-=-----P L P P L P P L P P P L t f t g .2sin 252cos t t -= 所以 )2sin 252cos (291)(5t t e t f t +-=- 为所请求的逆变换 解法2 用传统的方法.设 ,45)4)(5(122++++=++P C BP P A P P 去分母 ))(5()4(12C BP P P A ++++=,令P=-5,得 291=A .比较2P 项的系数, 得 2910-=⇒=+B B A , 比较常数项,得 ,295)2941(51054=-=⇒=+C C A 所以有 ).4551(291)4)(5(122++-++=++P P P P P故有 ]4551[291])4)(5(1[)(2121++-++=++=--P P P L P P L t f ).2sin 252cos (291]4225451[2915221t t e P P P P L t +-=+++-+=-- 比较上述两种解法,不难看出用组合积分法求逆变换比用传统的方法求逆变换要简便顺利得多.参考文献[1] 朱永银,郭文秀,朱若霞积分法[M].武汉:华中科技大学出版社.2002.10.[2] 华罗庚.高等代数引论[M].北京:科学出版社.1963.[3] 《现代数学手册》编纂委员会.现代数学手册：经典数学卷[M].武汉:华中科技大学出版社.2000.[4] [俄]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:人民教育出版社.1959.[5] 朱永银,郭文秀.一种积分方法--组合积分法[J].数学通报,1992(6).32-35.[6] 《数学手册》编写组.数学手册[M].北京:人民教育出版社.1979.[7] 华中科技大学高等数学教研室.微积分学习题课教程[M].武汉:华中科技大学出版社.2003.9.[8] 单立波,张主梵.微积分习题集[M].天津:南开大学出版社.2004.3.[9] 刘书田.微积分[M].北京:高等教育出版社.2004.6.[10] Wilfred Kaplan.Advanced Calculus,Fifth Edition[M].北京:电子工业出版社.2004.4.[11] Fitzpatrick,P.M.Advanced Calculus:A Cource in Mathematics Analysis[M].北京:机械工业出版社.2003.5.[12] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1980.9.[13] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.1993.5.[14] Bronson.R.微分方程[M].北京:高等教育出版社.2000.7.[15] R.布朗森.微分方程（第二版）[M].北京:科学出版社.2002.1.[16] 东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1982.10.。

含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。

关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。

本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。

一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u edu+∞-⎰u=xα令2()0(0)x edx ααα+∞-∀>⎰，求2ed αα+∞-⎰的值。

分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。

不定积分的求解及相关应用目录摘要一引言二不定积分的求解方法及所对应例题解析（一）基本公式法（直接积分法）（二）逐项积分法、因式分解法（三）“凑”微分法（第一类换元法）（四）第二类换元法（参变量积分法）（五）分部积分法（六）有理函数的积分（七）其他类型的积分举例三解不定积分的一般步骤四不定积分的应用举例（一）在几何中的应用（二）在物理中的应用（三）在经济学中的应用参考文献致谢【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法（直接积分法）、逐项积分法+因式分解法、换元积分法（第一类换元法和第二类换元法）、分部积分法、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分技巧与方法（三角函数有理式与简单无理函数的积分），并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最佳的解题方法。

（英文摘要，暂略）【关键词】不定积分基本公式法换元积分法分部积分法有理函数的积分三角函数有理式与简单无理函数的积分（英文关键词，暂略）一引言定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。

直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的贡献。

在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。

20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。

所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。

不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。

含参变量的反常积分dini定理一、反常积分的基本概念反常积分也称为广义积分，是一种积分范围超越常规定积分的积分。

在定义上，反常积分可以看作是对定积分的推广，其积分区间可以是无穷区间，也可以是其他非正常区间。

反常积分具有广泛的应用，包括物理学、工程学、概率论等领域。

二、含参变量的反常积分含参变量的反常积分是指在积分过程中包含参数的积分。

这种积分在处理一些复杂问题时非常有用，例如物理中的热传导问题、弹性力学中的应变问题等。

含参变量的反常积分在处理这些问题的过程中，通过引入参数来简化问题，使问题得到更有效的解决。

三、Dini定理的背景和意义Dini定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到含参变量的反常积分。

Dini定理的背景可以追溯到19世纪末，当时数学家开始关注含参变量的反常积分。

Dini定理的意义在于，它提供了一种判断含参变量的反常积分收敛性的方法，从而为解决一系列相关问题提供了理论支持。

四、Dini定理的证明过程Dini定理的证明过程相对复杂，需要使用到实数性质、微积分基本定理等知识点。

在证明过程中，首先需要引入一个与被积函数有关的辅助函数，然后通过分析这个辅助函数的性质，逐步推导出Dini定理的结论。

具体证明过程可以参考数学分析教材或相关论文。

五、Dini定理的应用举例Dini定理的应用非常广泛，下面举几个具体的例子来说明其应用。

1. 在物理学中的应用：在研究波动方程时，Dini定理可以用来判断波动方程解的存在性和唯一性。

例如，在研究弦振动时，通过引入参数和利用Dini定理，可以证明弦振动方程解的存在性和唯一性。

2. 在工程学中的应用：在电气工程中，Dini定理可以用来判断电路中的电流和电压是否收敛。

例如，在分析交流电路时，通过引入角频率作为参数，并利用Dini定理判断电流和电压的收敛性，从而为电路的分析和设计提供依据。

3. 在概率论中的应用：在随机过程和概率论中，Dini定理可以用来判断随机过程的样本函数的收敛性。

§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰，或(,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()yx y y x y∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f xr r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰01.(0)1cos dx r r r r xππ=-≠+⎰ 设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，001cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝.将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有1()((ln ln I r dr r C r rππ==++⎰ln(1C π=+.已知'(0)0.I =，有 1ln 2ln 2C ππ=-=.于是 ，1()ln(1ln ln 2I r πππ=+=.例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!x n a y x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0n y a y a y a -===.证明： 逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=--+---⎰ =21()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!x n a y x x t f t dt n -=--⎰(1)()(),xn a y x f t dt -=⎰()()()n y x f x =，即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，'()()0,()0,()0n y a y a y a ===.例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x∂=∂ 即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abbyyaax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yyx x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。

第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。

常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。

)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。

详细例子可参照书本P10—P11旳例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。

将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。

含参量积分与函数项级数的联系一、引言积分和级数是高等数学中的两个重要概念，它们在多个领域都有广泛应用。

在本文中，我们将探讨含参量积分与函数项级数之间的联系。

二、含参量积分1.定义含参量积分是指对一个函数进行积分时，其中包含一个或多个参数。

通常表示为：$$F(x)=\int_{a}^{b}f(x,t)dt$$其中，$x$ 是变量，$a$ 和 $b$ 是常数，$f(x,t)$ 是关于 $x$ 和$t$ 的连续函数。

2.求导法则对于含参量积分，我们可以使用求导法则进行求导。

具体来说，如果$F(x)$ 可以表示为上式，则有：$$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)dt=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\p artial x}f(x,t)dt$$其中 $\frac{\partial}{\partial x}$ 表示对 $x$ 求偏导数。

3.应用举例含参量积分在实际应用中有很多场景。

例如，在微积分中，我们可以使用含参量积分来计算曲线的长度、曲率等；在物理学中，我们可以使用含参量积分来计算质心、转动惯量等。

三、函数项级数1.定义函数项级数是指由一系列函数组成的级数，通常表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$$其中，$f_n(x)$ 是一系列关于 $x$ 的函数。

2.收敛性与发散性对于函数项级数，我们需要考虑它的收敛性和发散性。

如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛；如果该级数在某个区间内发散，则称该级数在该区间内发散。

3.应用举例函数项级数在实际应用中也有很多场景。

例如，在微积分中，我们可以使用泰勒展开将一个函数表示为一个无限级数的形式；在物理学中，我们可以使用傅里叶级数将一个周期函数表示为一个无限级数的形式。

四、含参量积分与函数项级数之间的联系1.积分与求和的联系首先，我们注意到含参量积分和函数项级数都涉及到求和操作。

两类含参变量Dirichlet积分的公式解
赵剑;许丙胜;张维荣
【期刊名称】《南京工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(027)002
【摘要】给出了含参变量Dirichlet积分In,m(s)的定义.数学分析中的许多含参变量积分都是Ln,m(s)的特例.利用三角降次公式及解析函数的理论解决了含参变量Dirichlet积分的公式解问题,由此推出第一类Dirichlet积分与第二类Dirichlet积分的公式解.通过计算,解决了Ln,m(s)的表示问题.
【总页数】4页(P47-50)
【作者】赵剑;许丙胜;张维荣
【作者单位】南京工业大学,理学院,江苏,南京,210009;南京工业大学,理学院,江苏,南京,210009;南京工业大学,理学院,江苏,南京,210009
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.第一类Dirichlet积分的公式解 [J], 张维荣;朱耀亮
2.第二类Dirichlet积分的公式解 [J], 朱耀亮;张维荣
3.含参变量积分方程的求解公式 [J], 汤光宋;夏世锋
4.三类含参变量积分方程的求解公式 [J], 谭丹英
5.利用含参变量积分证格林公式 [J], 刘开生
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数学中的积分方程积分方程是数学中重要而有趣的概念，它在不同领域的数学和应用中都有广泛的应用。

本文将介绍积分方程的定义、性质以及一些经典的应用领域。

一、积分方程的定义与形式积分方程是指方程中含有一个或多个未知函数的积分表达式。

一般来说，积分方程的形式可以表示为：f(x) = g(x) + λ∫[a,b] K(x,t) f(t) dt其中，f(x)是未知函数，g(x)是已知函数，λ是参数，K(x,t)是已知函数。

二、积分方程的类型根据积分方程中未知函数和积分变量的关系，积分方程可以分为几种类型：1. 调和积分方程：其中未知函数为调和函数，即满足拉普拉斯方程的函数。

调和积分方程在物理、工程等领域有广泛的应用。

2. 特殊函数积分方程：这类积分方程中的未知函数具有特殊函数特点，如Bessel函数、Legendre函数等。

这些特殊函数积分方程的解具有重要的数学和物理意义。

3. 直接积分方程：这类积分方程直接含有未知函数的积分项，常见的有Abel积分方程、Fredholm积分方程等。

这些方程的解可以通过迭代法或其他数值方法求解。

4. 间接积分方程：这类积分方程的未知函数出现在方程的内部，而不是直接作为积分变量。

这类方程的求解方法多种多样，常见的有Volterra积分方程、Hilbert积分方程等。

三、积分方程的性质积分方程具有许多有趣的性质，其中一些性质如下：1. 线性性质：积分方程是线性的，即满足线性叠加原理。

如果f1(x)和f2(x)是积分方程的解，那么f(x) = αf1(x) + βf2(x)也是积分方程的解，其中α和β是任意常数。

2. 解的存在性：对于一些特定的积分方程，解的存在性是有保证的。

例如，对于某些特殊函数积分方程，其有解的存在性得到了严格证明。

3. 解的唯一性：对于一些特殊形式的积分方程，解的唯一性也是可以保证的。

这些方程的解在一定的条件下是唯一的。

四、积分方程的应用积分方程在数学和应用中有广泛的应用，下面介绍几个经典的应用领域：1. 物理学中的应用：积分方程在电磁场、流体力学等领域中有着广泛的应用。

莱布尼茨公式含参变量常义积分中的leibniz公式Leibniz公式是一个有趣而又具有重要意义的数学定理，它是由德国数学家和哲学家Gottfried Wilhelm Leibniz（1646-1716年）提出的，并由他发表于1684年的著作《A Collection of Recently Discovered Articles》中。

Leibniz公式这一公式，其形式为：比如说：∫f（x）dx= a^3/3+a^2b/2+abc+bd^2/2+cd^3/3+d^4/4 Leibniz公式是一个有趣的定理，它可以用来表示函数的常量变换，这可以通过它的四个参数（a，b，c和d）来实现。

它的概念可以追溯到古希腊数学家Euclid的时代。

在17世纪，Leibniz将这个概念用于数学，使它变成了一种工具，用于计算积分。

简而言之，Leibniz公式可以用来计算变换后函数中的积分。

这个公式有助于求解变参函数的积分。

这意味着它可以用来求解各种函数，从函数和方程到曲线、曲面和曲线面的各种情况。

Leibniz公式求解积分的方法有两种：第一种是特殊定积分，这种方法适用于特殊函数，如指数函数；第二种是综合定积分，这种方法适用于一般函数，如多项式函数。

特殊定积分的做法是通过Leibniz 公式来求指定函数的变换后的定积分；综合定积分的做法是通过Leibniz公式来求解变参函数的定积分。

Leibniz公式在数学上有着广泛的应用。

它用于解决各种复杂的数学问题，如估算多元函数的最值、分析各种曲线、求解各种曲线方程以及计算各种曲线的面积等。

这些应用使Leibniz公式在数学研究中变得更加重要，并受到了学者们的广泛重视和欢迎。

Leibniz公式的应用也不仅限于数学领域。

它也被用于解决工程学和物理学等领域中的相关问题，这些问题可能涉及数学建模、估算函数最值、求解复杂曲线方程以及计算曲线面积等。

因此，Leibniz 公式无论在数学和其他学科领域，都有着重要的意义和广泛的应用前景。