高等数学含参变量的正常积分

387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。

第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。

§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。

第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题， 一、 含参量（正常）积分.注．：1)（P172第4-8行) （1）式的意义如下：设),(y x f 是定义在矩形区域d c b a R ,,⨯=上的二元函数。

当x 取[]b a ,上某定值时，函数),(y x f 则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时),(y x f 在[]d c ,可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为)(x I ，就有[].,,),()(⎰∈=dcb a x dy y x f x I .2)（P172第9-16行) （2）式的意义如下：一般地，设),(y x f 为定义在区域{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上的二元函数，其中)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上 的连续函数（图19-1），若对于[]b a ,上每一 固定的x 值，),(y x f 作为y 的函数在闭区间[])(),(x d x c 上可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有 [].,,),()()()(⎰∈=x d x c b a x dy y x f x F二、含参量积分的连续性定理1.19（连续性）若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在[]b a ,上连续。

证明: 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间的端点，则仅考虑x ∆0>或x ∆0<），于是[].),(),()()(dy y x f y x x f x I x x I dc⎰-∆+=-∆+ （3）由于),(y x f 在有界闭区域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对R 内任意两点),(11y x 与),(22y x ，只要,,2121δδ<-<-y y x x就有.),(),(2211ε<-y x f y x f （4）所以由（3），（4）可推得：当δ<∆x 时，dy y x f y x x f x I x x I d c⎰-∆+≤-∆+),(),()()().(c d dx dc-=<⎰εε这就证得)(x I 在[]b a ,上连续. ▌ 同理可证：结论1：同理可证：若．．．．．．),(y x f 在矩形区域．．．．．R ．上连续，则含参量．．．．．．．．y 的积分．．．⎰=badx y x f y J ),()( （5）在．[]d c ,上连续．．．.．对于定理1.19的结论也可以写成如下的形式：结论2：若),(y x f 在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有⎰⎰→→=dc x xd cx x dy y x f dy y x f .),(lim ),(lim 0注．：1）结论2表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的。

第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。

第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。