含参变量的积分

含参变量的积分

1 含参变量的正常积分

1． 求下列极限：

(1) 1

lim

a -→⎰

；

(2) 2

2

0lim cos a x ax dx →⎰；

(3) 122

0lim

1a

a

a dx

x a

+→++⎰

. 2．求'

()F x ，其中： (1) 2

2

()x xy x

F x e dy -=⎰

；

(2) cos sin ()x

x

F x e =⎰

；

(3) sin()

()b x

a x

xy F x dy y

++=

⎰

； (4)

2

20

(,)x

x t f t s ds dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰. 3．设()f x 为连续函数，

2

01

()()x

x F x f x d d h

ξηηξ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰， 求''

()F x .

4．研究函数

1

22

()

()yf x F y dx x y =+⎰

的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数.

5．应用积分号下求导法求下列积分：

(1) 2220

ln(sin ) (1)a x dx a π

->⎰

;

(2) 20

ln(12cos ) (||1)a x a dx a π

-+<⎰

；

(3)

222220

ln(sin cos ) (,0)a x b x dx a b π

+≠⎰

；

(4)

20

arctan(tan )

(||1)tan a x dx a x

π

<⎰.

6．应用积分交换次序求下列积分： (1)

1

(0,0)ln b a

x x dx a b x

->>⎰

； (2) 1

1sin ln (0,0)ln b a

x x

dx a b x x

-⎛⎫>> ⎪

⎝⎭⎰. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0

()()()x

F x x y f y dy =+⎰

；

(2) ()()|| ()b

a

F x f y x y dy a b =

-<⎰

；

8．证明：22

22

1

1

11222222

0000()()x y x y dx dy dy dx x y x y --≠++⎰⎰⎰⎰.

9．设1

()ln F y =

⎰

，问是否成立

1

'00(0)ln y F dx y

=∂

=∂⎰

. 10．设

2cos 0

()cos(sin )x F x e x d π

θθθ=⎰

求证()2F x π≡.

11．设()f x 为两次可微函数，()x ϕ为可微函数，证明函数

11(,)[()()]()22x at

x at u x t f x at f x at z dz a

ϕ+-=-+++⎰ 满足弦振动方程

22

222

u u a t x ∂∂=∂∂ 及初始条件

(,0)(),(,0)()t u x f x u x x ϕ==.

2 含参变量的广义积分

1．证明下列积分在指定的区间一致收敛： (1)

22

cos()

(0)xy dy x a x y +∞

≥>+⎰

；

(2)

2

cos()

()1xy dy x y

+∞

-∞<<+∞+⎰； (3)

1

()x y y e dy a x b +∞

-≤≤⎰

；

(4)

1

cos (0,0)xy

p y

e dy p x y

+∞

->≥⎰

； (5)

2

sin (0)1p

x dx p x +∞

≥+⎰. 2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：

(1) 2

0 (0)x dx αα+∞-<<+∞⎰

；

(2)

xy xe dy +∞

-⎰

，

（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈；

(3)

2

()x e dx α+∞

---∞

⎰

，

（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞；

(4)

22(1)

sin (0)x y e

xdy x +∞

-+<<+∞⎰

.

3．设()f t 在0t >连续，0

()t f t dt λ+∞

⎰

当,a b λλ==皆收敛，且a b <。

求证：

()t f t dt λ+∞

⎰

关于λ在[,]a b 一致收敛.

4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22

()x

F x dy x y +∞

=

+⎰，(,)x ∈-∞+∞；

(2) 2

()1x

y F x dy y +∞

=

+⎰

，3x >； (3) 20

sin ()()

x x

y

F x dy y y π

π-=

-⎰

，(0,2)x ∈.