含参变量的积分

第25章含参变量的积分1．解答下列问题：（1）求极限（2）求极限（3）设，令试证明（4）设上连续，则对任意的，方程有连续解且惟一．（5）设f（x，y）是R2上单变量连续的函数，试证明存在R2上连续函数列，使得解：（1）作函数f如下：易知f（x，y）在[0，1]×[0，1]上连续，从而可得（2）令，则有因为F是a的连续函数，所以得到（3）设，令，则对任给，存在，使得当时有从而可得：当时有（4）依题设知，可设，并令，以及作易知．此外有依据归纳法，不难导出从而可知在[a，b]上当时是一致收敛列，若记其极限为，则，且有为证φ的惟一性，假设是方程的另一连续解，则令，易知，以及不妨设，则有由此得到（令证毕．（5）（i）不妨假定否则可用代替．此时，若有，则因，故当n充分大时．从而得到（ii）作函数，且设定注意到，用有界收敛定理可知；又有易知在R2上连续，则有由此即可得证．2．解答下列问题：（1）试求（2）试求解：（1）注意到与均在[0，π／2]上连续，故可得令，则．因此又知若k>0，则；若k<0，则而由题设知，从而可得．最后有（2）（i）令，易知，从而令，则在上连续．（ii）由，以及，令可知在上连续．从而有由此又得因为，所以，即3．设，求解：令，则．从而可得由此即知4．解答下列问题：（1）设，求F''（x），其中（2）设f（u，v）具有连续偏导数，求，其中（3）设f（u，v）具有连续偏导数，试证明，其中解：（1）改写原式为，则（满足求导条件）（2）易知满足积分号下求导条件，有，故可得。

含参变量瑕积分的狄利克雷判别法
摘要：
1.狄利克雷判别法的概述
2.含参变量瑕积分的定义
3.狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用
4.结论
正文：
一、狄利克雷判别法的概述
狄利克雷判别法是一种数学分析方法，用于判断一个函数或一个数列的有界性。

它可以用来证明一些数学问题的重要结论，如函数的单调性、函数的收敛性等。

狄利克雷判别法的基本思想是：如果一个函数在某一区间上的值域是有限的，那么这个函数在这个区间上一定是有界的。

二、含参变量瑕积分的定义
含参变量瑕积分是指，在给定的函数空间中，对某一函数进行积分，其中积分的区间和被积函数都包含一个或多个参数。

这种积分称为含参变量瑕积分。

例如，设函数f(x,t) 在[a,b] 上可积，其中t 为参数，则对t 的瑕积分为∫[a,b]f(x,t)dt。

三、狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用
在含参变量瑕积分中，狄利克雷判别法可以用来判断瑕积分的收敛性。

具体来说，如果一个含参变量瑕积分在某一参数区间上的值域是有限的，那么这个瑕积分在这个参数区间上一定是收敛的。

四、结论
狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用，为我们判断瑕积分的收敛性提供了一种有效的方法。

伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解第17章含参变量积分17.1复习笔记一、含参变量定积分1．基本概念设函数在平面区域上有定义．（1）若对于定积分存在，则由此定义了区间[a，b]上的函数I（x）称为含参变量定积分（简称含参变量积分），其中x为参变量．（2）若对于存在，则也称J（y）为含参变量定积分，其中y为参变量．2．基本性质（1）连续性定理①设函数在区域上连续，则对于含参变量定积分存在，并且I（x）在区间[a，b]上连续．注：f（x，y）在D上连续只是I（x）连续的充分条件．②设函数在区域上连续，则有③设函数在区域上连续，则对变上限含参变量积分存在，并且二元函数I（x，u）在D上连续．对于变下限含参变量积分，也有类似的结论．（2）可积性定理①设函数f（x，y）在区域上连续，则函数和分别在区间[a，b]和[c，d]上可积，并且②设函数f（x，y）在区域上连续，则（3）可导性定理①设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则函数在区间[a，b]上可导，并且有②设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则求导数运算与积分运算是可交换顺序的．③设函数及其偏导数在区域上连续，且是满足的可微函数，则函数在区间上可导，并且二、含参变量广义积分1．含参变量无穷积分（1）含参变量无穷积分的定义设函数在上有定义，其中为一个集合．若对于广义积分收敛，则可得到E上的函数称该函数为含参变量无穷积分．（2）含参变量无穷积分的一致收敛①含参变量无穷积分的一致收敛的定义设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于当时，对于有则称含参变量无穷积分在E上一致收敛．②含参变量无穷积分的绝对一致收敛的定义设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于收敛，则称在E上绝对收敛．若在E上绝对收敛，则在E 上收敛．另外，若在E上一致收敛，则在E上绝对一致收敛．（3）一致收敛的判别法则①柯西准则设函数在上有定义，其中是一个区间，则含参变量无穷积分在E上一致收敛的充分必要条件是：对当时，对，有②魏尔斯特拉斯定理设函数在上有定义，其中是一个区间．若存在函数使得对于及有并且收敛，则在E上绝对一致收敛．③狄利克雷判别法设函数在上有定义（其中是一个区间），并且满足：a．存在对于及有b．对任意固定的是y的单调函数，且对于当时，对一切有即当时，q（x，y）关于x一致趋于0，则含参变量无穷积分在E上一致收敛．④阿贝尔判别法设函数在上有定义（其中是一个区间，并且满足：a．在上一致收敛；b．对任意固定的是y的单调函数，并且存在常数对于及有则含参变量无穷积分在E上一致收敛．（4）基本性质①定理1设函数在上有定义，其中则含参变量无穷积分在上一致收敛的充分必要条件是：对任意的满足条件且的序列函数序列在E 上一致收敛．②定理2设函数在上连续，其中是一个区间，并且含参变量无穷积分在E 上一致收敛到函数I（x），则I（x）在E 上连续．③定理3设函数在上连续，且含参变量无穷积分在[a，b]上一致收敛，则有④定理4设函数f（x，y）及其偏导数在上连续，其中是一个区间，再设存在x 0∈E，使得收敛，并且在E 上一致收敛，则a．在E 上一致收敛；b．⑤狄尼定理设函数在上连续且不变号，设对于收敛，且I（x）在[a，b]上连续，则I（x）在[a，b]上一致收敛．2．含参变量瑕积分（1）定义设函数在上连续，当时，以c为瑕点．若对任意瑕积分（17-1）收敛，则I（x）在[a，b]上有定义．称I（x）为含参变量瑕积分．（2）基本性质利用变换可以将（17-1）式化成含参变量无穷积分从而得到含参变量瑕积分也有相应的一致收敛性以及其它的性质．三、函数与 函数1．函数（1）定义函数是指由如下含参变量积分定义的函数：（2）定义域。

第十八章 含参变量的广义积分一 一致收敛的定义定义1 设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，称()(,)aI y f x y dx +∞=⎰含参变量的无穷积分。

定义2设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，若()000 , A A a εε∀>∃=>, 当0',A A A >时,对一切[],y c d ∈，成立'(,)A Af x y dx ε<⎰或(,)Af x y d x ε+∞<⎰。

就称含参无穷积分(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

定义3设(,)baf x y dx ⎰对于[],c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在。

若()000 , 0εδδε∀>∃=>,当00,'ηηδ<<时，对一切[],y c d ∈，成立'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰，就称含参无穷积分(,)baf x y dx ⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分(,)af x y dx +∞⎰收敛。

定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()F x ，使得()(),,,f x y F x a x c y d ≤≤<+∞≤≤如果积分()aF x dx +∞⎰收敛，那么(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

例：证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx x xy在+∞<<∞-y 内一致收敛。

三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理定理 2 设函数),(y x f 在[ ,; , ]a c d +∞上连续，(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，那么()(,)aI y f x y dx +∞=⎰是[],c d 上的连续函数。

莱布尼茨公式含参变量常义积分中的leibniz公式莱布尼茨公式，也称作Leibniz公式，是由德国数学家威廉莱布尼茨（1646-1716年）于1684年提出的。

它是一种在处理参数变量常义积分中使用的数学公式。

它将一个参数变量常义积分表达式分解为一系列基本元素，并将其乘以对应的系数，使用可以简化计算。

莱布尼茨公式的推导要求求解一般形式的参数变量常义积分，首先应假定x的取值范围是(A,B)。

设f(x)的导数为f(x)，则根据定积分的定义，可得F(B)-F(A)=∫f(x)dx将变量x取两个值，一个是a+h（h>0），另一个为a，由此分别代入，此时积分变成F(A+h)-F(A)=∫f(x)dx（a,a+h）令h→0，以求得参数变量常义积分，得到F(A)=F/A=lim(h→0)[F(A+h)-F(A)]/h将上式两边同时乘上h，分两项恒等式得到F(A+h)-F(A)=hF(A)+1/2h2F’’(ξ)（0<h）将x=a+h代入定积分，得到F(A+h)-F(A)=∫f(x)dx（a,a+h）=hf(a)+1/2h2f’’(ξ)（0<h）将上式两边同时除以h，整理得到F(A)=f(a)+1/2hf’’(ξ)（0<h）再将h→0，则F(A)=f(a)+1/2hf’’(ξ)→f(a)即得到莱布尼茨公式：F(A)=∫f(x)dx（a,A）=f(a)+∫Δf’’(ξ)dx（a,A）其中Δf(x)=f’’(x)-f’’(a)。

应用莱布尼茨公式莱布尼茨公式使求解参数变量常义积分变得更为容易，可以使用此公式来优化数学计算，在物理和工程设计中更加高效。

例如，在求解热力学和动力学问题时，可以利用莱布尼茨公式来求解参数变量常义积分，并优化它们的计算方式。

另外，莱布尼茨公式可以用来解决各类数学问题，例如求解参数方程组等，而不必手工结合多个参数积分。

总结以《莱布尼茨公式参变量常义积分中的Leibniz公式》为标题，所讲述的是莱布尼茨公式，也称作Leibniz公式，是一种在处理参数变量常义积分中使用的数学公式，它将一个参数变量常义积分表达式分解为一系列基本元素，并将其乘以对应的系数，使用可以简化计算。