含参变量的积分

第25章含参变量的积分1．解答下列问题：（1）求极限（2）求极限（3）设，令试证明（4）设上连续，则对任意的，方程有连续解且惟一．（5）设f（x，y）是R2上单变量连续的函数，试证明存在R2上连续函数列，使得解：（1）作函数f如下：易知f（x，y）在[0，1]×[0，1]上连续，从而可得（2）令，则有因为F是a的连续函数，所以得到（3）设，令，则对任给，存在，使得当时有从而可得：当时有（4）依题设知，可设，并令，以及作易知．此外有依据归纳法，不难导出从而可知在[a，b]上当时是一致收敛列，若记其极限为，则，且有为证φ的惟一性，假设是方程的另一连续解，则令，易知，以及不妨设，则有由此得到（令证毕．（5）（i）不妨假定否则可用代替．此时，若有，则因，故当n充分大时．从而得到（ii）作函数，且设定注意到，用有界收敛定理可知；又有易知在R2上连续，则有由此即可得证．2．解答下列问题：（1）试求（2）试求解：（1）注意到与均在[0，π／2]上连续，故可得令，则．因此又知若k>0，则；若k<0，则而由题设知，从而可得．最后有（2）（i）令，易知，从而令，则在上连续．（ii）由，以及，令可知在上连续．从而有由此又得因为，所以，即3．设，求解：令，则．从而可得由此即知4．解答下列问题：（1）设，求F''（x），其中（2）设f（u，v）具有连续偏导数，求，其中（3）设f（u，v）具有连续偏导数，试证明，其中解：（1）改写原式为，则（满足求导条件）（2）易知满足积分号下求导条件，有，故可得。

a
又积分
a f y (x, y) dx
在c, d 上一致收敛，
则含参变量的无穷积分
g( y) f (x, y) dx
a
在c, d 上可导且
d
dy a
f (x, y) dx a
f (x, y) dx y
3. 函数和函数
本段介绍用含参数广义积分表达的两个特殊
函数 , 即 ( ) 和 B( p, q) 。 在积分计算等方面, 它
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分 f (x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的 a
充要条件是： 0 , 存在与y 无关的常数 N, 使得
A N, A N, y Y , 都有
A
f (x, y) dx
。
A
利用柯西收敛准则证明下列M判别法:
定理1： 若 | f (x, y) | (x), x a , y Y ,
它在任意区间[0, A]上关于x是可积的，即定积分 A 0
存在. 又这时
| tetx2 | decx2 ,
tetx2 dx
而无穷积分 d ecx2 dx是收敛的. 因此J(t)在[c, d ]上一 0
致收敛.
(2) 当0 t d时，对于任意取定的 A 0, 有
|
tetx2 dx |
只要 A N, 则有
A
f (x, y0 )dx f (x, y0 )dx g( y0 ) 。
A
a
上面收敛定义中的常数 N 通常与 y0 有关。许多应用
中都需要如下一致收敛概念。
定义： 设无穷积分
g( y) f (x, y)dx ,
a
对区间Y（Y 为任意区间）中的一切 y 都收敛，如果

d
d
d
g( y)dy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 。
c
c
a
a
c
定理5： 设函数 f (x, y) , f y (x, y) 在区域
{(x, y) | a x , c y d} 上连续且积分

g( y) f (x, y) dx
0
2 1t2
及 ue 1t2 u2 dt eu2 I 0
分别对于t 及u是连续的, 积分互换后的逐次积分显然存在.
于是,(1)式中的积分顺序可以互换, 且有
I 2

dt
0
ue 1t2 u2 du
0
1 2
dt 0 1t2
.
4
I 0, I ex2 dx .
则含参变量无穷积分

f (x, y)g(x, y)dx
a
在 Y 上一致收敛。
对任意项级数（阿贝尔判别法）
若序列an 单调有界，而级数

则级数 anbn 收敛。 n1

bn
n1
收敛，
对函数项级数（Abel 判别法）

若函数项级数 an (x)bn (x) 满足： n1
（1）函数序列an (x) 对于固定的 x X 关于n单调，
都有
f x, y dx A
,
则称含参变量的无穷积分

a
f

x,
y dx
在
Y上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, ydx
a
在 Y上
点点收敛, 若存在常数 l 0 , 不论 N 多么大,

含参变量瑕积分的狄利克雷判别法
摘要：
1.狄利克雷判别法的概述
2.含参变量瑕积分的定义
3.狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用
4.结论
正文：
一、狄利克雷判别法的概述
狄利克雷判别法是一种数学分析方法，用于判断一个函数或一个数列的有界性。

它可以用来证明一些数学问题的重要结论，如函数的单调性、函数的收敛性等。

狄利克雷判别法的基本思想是：如果一个函数在某一区间上的值域是有限的，那么这个函数在这个区间上一定是有界的。

二、含参变量瑕积分的定义
含参变量瑕积分是指，在给定的函数空间中，对某一函数进行积分，其中积分的区间和被积函数都包含一个或多个参数。

这种积分称为含参变量瑕积分。

例如，设函数f(x,t) 在[a,b] 上可积，其中t 为参数，则对t 的瑕积分为∫[a,b]f(x,t)dt。

三、狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用
在含参变量瑕积分中，狄利克雷判别法可以用来判断瑕积分的收敛性。

具体来说，如果一个含参变量瑕积分在某一参数区间上的值域是有限的，那么这个瑕积分在这个参数区间上一定是收敛的。

四、结论
狄利克雷判别法在含参变量瑕积分中的应用，为我们判断瑕积分的收敛性提供了一种有效的方法。

伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解第17章含参变量积分17.1复习笔记一、含参变量定积分1．基本概念设函数在平面区域上有定义．（1）若对于定积分存在，则由此定义了区间[a，b]上的函数I（x）称为含参变量定积分（简称含参变量积分），其中x为参变量．（2）若对于存在，则也称J（y）为含参变量定积分，其中y为参变量．2．基本性质（1）连续性定理①设函数在区域上连续，则对于含参变量定积分存在，并且I（x）在区间[a，b]上连续．注：f（x，y）在D上连续只是I（x）连续的充分条件．②设函数在区域上连续，则有③设函数在区域上连续，则对变上限含参变量积分存在，并且二元函数I（x，u）在D上连续．对于变下限含参变量积分，也有类似的结论．（2）可积性定理①设函数f（x，y）在区域上连续，则函数和分别在区间[a，b]和[c，d]上可积，并且②设函数f（x，y）在区域上连续，则（3）可导性定理①设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则函数在区间[a，b]上可导，并且有②设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则求导数运算与积分运算是可交换顺序的．③设函数及其偏导数在区域上连续，且是满足的可微函数，则函数在区间上可导，并且二、含参变量广义积分1．含参变量无穷积分（1）含参变量无穷积分的定义设函数在上有定义，其中为一个集合．若对于广义积分收敛，则可得到E上的函数称该函数为含参变量无穷积分．（2）含参变量无穷积分的一致收敛①含参变量无穷积分的一致收敛的定义设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于当时，对于有则称含参变量无穷积分在E上一致收敛．②含参变量无穷积分的绝对一致收敛的定义设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于收敛，则称在E上绝对收敛．若在E上绝对收敛，则在E 上收敛．另外，若在E上一致收敛，则在E上绝对一致收敛．（3）一致收敛的判别法则①柯西准则设函数在上有定义，其中是一个区间，则含参变量无穷积分在E上一致收敛的充分必要条件是：对当时，对，有②魏尔斯特拉斯定理设函数在上有定义，其中是一个区间．若存在函数使得对于及有并且收敛，则在E上绝对一致收敛．③狄利克雷判别法设函数在上有定义（其中是一个区间），并且满足：a．存在对于及有b．对任意固定的是y的单调函数，且对于当时，对一切有即当时，q（x，y）关于x一致趋于0，则含参变量无穷积分在E上一致收敛．④阿贝尔判别法设函数在上有定义（其中是一个区间，并且满足：a．在上一致收敛；b．对任意固定的是y的单调函数，并且存在常数对于及有则含参变量无穷积分在E上一致收敛．（4）基本性质①定理1设函数在上有定义，其中则含参变量无穷积分在上一致收敛的充分必要条件是：对任意的满足条件且的序列函数序列在E 上一致收敛．②定理2设函数在上连续，其中是一个区间，并且含参变量无穷积分在E 上一致收敛到函数I（x），则I（x）在E 上连续．③定理3设函数在上连续，且含参变量无穷积分在[a，b]上一致收敛，则有④定理4设函数f（x，y）及其偏导数在上连续，其中是一个区间，再设存在x 0∈E，使得收敛，并且在E 上一致收敛，则a．在E 上一致收敛；b．⑤狄尼定理设函数在上连续且不变号，设对于收敛，且I（x）在[a，b]上连续，则I（x）在[a，b]上一致收敛．2．含参变量瑕积分（1）定义设函数在上连续，当时，以c为瑕点．若对任意瑕积分（17-1）收敛，则I（x）在[a，b]上有定义．称I（x）为含参变量瑕积分．（2）基本性质利用变换可以将（17-1）式化成含参变量无穷积分从而得到含参变量瑕积分也有相应的一致收敛性以及其它的性质．三、函数与 函数1．函数（1）定义函数是指由如下含参变量积分定义的函数：（2）定义域。

第十八章 含参变量的广义积分一 一致收敛的定义定义1 设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，称()(,)aI y f x y dx +∞=⎰含参变量的无穷积分。

定义2设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，若()000 , A A a εε∀>∃=>, 当0',A A A >时,对一切[],y c d ∈，成立'(,)A Af x y dx ε<⎰或(,)Af x y d x ε+∞<⎰。

就称含参无穷积分(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

定义3设(,)baf x y dx ⎰对于[],c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在。

若()000 , 0εδδε∀>∃=>,当00,'ηηδ<<时，对一切[],y c d ∈，成立'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰，就称含参无穷积分(,)baf x y dx ⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分(,)af x y dx +∞⎰收敛。

定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()F x ，使得()(),,,f x y F x a x c y d ≤≤<+∞≤≤如果积分()aF x dx +∞⎰收敛，那么(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

例：证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx x xy在+∞<<∞-y 内一致收敛。

三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理定理 2 设函数),(y x f 在[ ,; , ]a c d +∞上连续，(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，那么()(,)aI y f x y dx +∞=⎰是[],c d 上的连续函数。

高等数学（下）
例4 1cosx y zdz.
x 0
解
x
1
0
cos
x
y
z dz
1
0
sinx
y
z dz
cosx y 1 cosx y
高等数学（下）
证 因为 ( x) lim ( x x) ( x) ,
x0
x
为了求 ( x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x) ( x)
第四节 含参变量积分
高等数学（下）
河海大学理学院
一、含参变量积分的连续性
设函数 f ( x, y) 在矩形 R(a x b, b )
上的连续函数. 积分
x
f
x,
ydy
(a x b).
()
确定了一个定义在 [a, b] 上的 x 的函数
称为含参变量 x 积分。
高等数学（下）
定理1 如果函数 f ( x, y)在矩形
( x) d
( x)
f ( x, y)dy
( x) f ( x, y) dy
dx ( x)
( x) x
f [x, ( x)] ( x) f [x, ( x)] ( x). (7)
称为莱布尼茨公式.
高等数学（下）
下面先考虑由积分(*)确定的函数 ( x) 的微分问题.
x
f
x,
ydy
解1
lim
1 e xydx
lim
1
e xy
1
ey lim
1
1
y0 0
y0 y
y 0 y0
解2
Hale Waihona Puke lim1 e xydx

莱布尼茨公式含参变量常义积分中的leibniz公式莱布尼茨公式，也称作Leibniz公式，是由德国数学家威廉莱布尼茨（1646-1716年）于1684年提出的。

它是一种在处理参数变量常义积分中使用的数学公式。

它将一个参数变量常义积分表达式分解为一系列基本元素，并将其乘以对应的系数，使用可以简化计算。

莱布尼茨公式的推导要求求解一般形式的参数变量常义积分，首先应假定x的取值范围是(A,B)。

设f(x)的导数为f(x)，则根据定积分的定义，可得F(B)-F(A)=∫f(x)dx将变量x取两个值，一个是a+h（h>0），另一个为a，由此分别代入，此时积分变成F(A+h)-F(A)=∫f(x)dx（a,a+h）令h→0，以求得参数变量常义积分，得到F(A)=F/A=lim(h→0)[F(A+h)-F(A)]/h将上式两边同时乘上h，分两项恒等式得到F(A+h)-F(A)=hF(A)+1/2h2F’’(ξ)（0<h）将x=a+h代入定积分，得到F(A+h)-F(A)=∫f(x)dx（a,a+h）=hf(a)+1/2h2f’’(ξ)（0<h）将上式两边同时除以h，整理得到F(A)=f(a)+1/2hf’’(ξ)（0<h）再将h→0，则F(A)=f(a)+1/2hf’’(ξ)→f(a)即得到莱布尼茨公式：F(A)=∫f(x)dx（a,A）=f(a)+∫Δf’’(ξ)dx（a,A）其中Δf(x)=f’’(x)-f’’(a)。

应用莱布尼茨公式莱布尼茨公式使求解参数变量常义积分变得更为容易，可以使用此公式来优化数学计算，在物理和工程设计中更加高效。

例如，在求解热力学和动力学问题时，可以利用莱布尼茨公式来求解参数变量常义积分，并优化它们的计算方式。

另外，莱布尼茨公式可以用来解决各类数学问题，例如求解参数方程组等，而不必手工结合多个参数积分。

总结以《莱布尼茨公式参变量常义积分中的Leibniz公式》为标题，所讲述的是莱布尼茨公式，也称作Leibniz公式，是一种在处理参数变量常义积分中使用的数学公式，它将一个参数变量常义积分表达式分解为一系列基本元素，并将其乘以对应的系数，使用可以简化计算。

A
g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y) f (x, y)dx 2L,
存在。如果对于任意 0，存在与 y 无关的 0 ，使得当 0 时， 对所有 y [c, d] 成立
b f (x, y)dx I ( ， b
则称
b
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c, d ] 上一致收敛（于
I ( y)
）。在参变量明确时，
也常简称
dx
在[0,)
上一
致收敛。
定理 15.2.3 设函数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足以下两组条件之一，则含
参变量的反常积分
a f (x, y)g(x, y)dx
关于 y 在[c, d ] 上一致收敛。
1．（Abel 判别法）
（1）
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c,
d
]
上一致收敛；
（2） g(x, y) 关于 x 单调，即对每个固定的 y [c, d] ， g 关于 x 是单
y)dx
在[c,
d ] 上一致收敛。
证
因为
a
F ( x)dx
收敛，由反常积分的
Cauchy
收敛原理，对于任
意给定的 0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A F(x)dx 。 A
因此当 A, A A0 时，对于任意 y [c, d] ，不等式
A
A
A f (x, y)dx A F(x)dx
y 无关的正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A f (x, y)dx ， y [c, d] 。 A

注：定义种关键的是 ������������ 的选取与 ������ 无关.
类似可定义含参变量积分‫׬‬���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ , ‫׬‬−+∞∞ ������ ������, ������ ������������ 的一 致收敛性.
定理15.2.2（Weierstrass判别法） 如果存在函数 ������(������) 使得
(������) ������ ������, ������ ≤ ������ ������ ，������ ≤ ������ ≤ +∞， ������ ≤ ������ ≤ ������，
(������) 反常积分‫׬‬���+��� ∞ ������(������)������������ 收敛， 则含参变量积分‫׬‬���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 [������, ������] 上一致收敛.
������
收敛，则称含参变量反常积分‫׬‬���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 ������ = ������������ 处 收敛，并称 ������������ 是它的收敛点。记 ������ 是含参变量反常积分 ‫׬‬���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 的所有收敛点构成的集合，则 ������ 是函数
(������) 对每个固定的 ������ ∈ [������, ������], ������(������, ������) 关于 ������ 是单调函数; (������) ������(������, ������) 一致有界: ∃ ������，使得对任意 ������ ∈ ������, +∞ , ������ ∈ [������, ������]， 有 ������ ������, ������ ≤ ������.

Ak
f ( x)dx
证明提示:
f ( x)dx lim
n
f ( x)dx
Ak 1 Ak
lim
k 1
f ( x)dx
k 1

Ak 1
Ak
f ( x)dx
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四、无穷积分的判别法
定理1


a
| f ( x) | dx 收敛
u

u
a
| f ( x) | dx 有上界。
a
| f ( x) | 注意 lim l ， ( l ) g( x ) | f ( x ) | ( l ) g( x ) 则 x g ( x )
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由


a
dx 当 p 1 时，收敛； (a 0) p x 当 p 1 时，发散．
u
由函数极限的柯西准则 ，得 定理 11.1（Cauchy准则）
a

f ( x )dx 收敛 0, G a , u1 , u2 G , 有
a
u2
f ( x )dx f ( x )dx
a
u1
u
u2
1
f ( x )dx .
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性质1
若
a f ( x )h( x )dx h(a )a
b b a a
b

f ( x )dx [ g(a ) g(b)] f ( x )dx.
a b a

f ( x )h( x )dx f ( x ) g( x )dx g(b) f ( x )dx, [ g(a ) g(b)] f ( x )dx f ( x ) g( x )dx g(b) f ( x )dx,

含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。

关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。

本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。

一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u e du +∞-⎰u=x α令2()0(0)x e dx ααα+∞-∀>⎰，求2e d αα+∞-⎰的值。

分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。

(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分

c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
d


f (x, y) dx
f (x, y) dx
dy a
a y
证明 因为 f y (x, y) 在 [a, ; c, d] 连续，由连续性定理

( y) a
f y (x, y) dx 在
[c, d ]连续，
沿区间 [c, y] (c y d) 积分 ( y) ，由积分顺序交
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得

| eyx2 sin ydx |
| sin y

et2 dt |
A
y yA
|
sin
y
|

et2 dt

| sin y |
y0
2
y
因为 lim sin y 0 y y0
则 0， 0 ，当 0 y 时，有
y)dy
在[a, b]上一

含参变量瑕积分的狄利克雷判别法
瑕积分是指在某一点处不可积的积分，例如在函数f(x)中，当x=a时，f(x)无界或不可积。

狄利克雷判别法是判断瑕积分是否收敛的一种方法。

它的条件如下：
1. 函数f(x)在某一区间[a, b]上单调。

2. 函数f(x)在[a, b]上有界。

3. 函数f(x)在[a, b]上只有有限个第一类或第二类间断点。

如果满足以上条件，则瑕积分∫[a, b]f(x)dx收敛。

具体步骤如下：
1. 首先判断函数f(x)在[a, b]上是否满足单调性和有界性。

2. 如果函数f(x)在[a, b]上有有限个第一类或第二类间断点，记为c1, c2, ..., cn，则将区间[a, b]分为若干个子区间，并在每个子区间内判断函数f(x)的单调性和有界性。

3. 判断每个子区间上的函数f(x)是否满足单调性和有界性。

4. 如果所有子区间上的函数f(x)都满足单调性和有界性，则瑕积分∫[a, b]f(x)dx收敛。

需要注意的是，狄利克雷判别法只适用于具有特定性质的函数，对于其他类型的瑕积分可能需要使用其他方法进行判断。

同时，狄利克雷判别法只判断瑕积分的收敛性，对于发散的瑕积分无法给出结论。

简称为含参量反常积分.
2、 含参量反常积分一致敛收的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I (x)
若 0 , N 0 , M N , x [a ,b ]都 , 有 f(x,y)dy, M
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy在 [a,b] 上一致收敛于 I ( x) .
可以交换.即
df(x,y)d y f(x,y)d.y
dc x
c x
• 可积性
设 f(x,y)在[区 a ,b ] [c 域 ,)上 ， 连 若 I(x续 ) f(x,y)dy
在 [a,b]上一,则 致 I(x)在 收 [a,b]上 敛可 ，且 积c
b
b
adcxf(x ,y )d y c dayf(x ,
在
[c, d ]
内一致收敛，所以
a
0 , A 0 a , A A 0 , y [ c ,d ]|,A f ( x ,y ) d | x
因此，当 y[c,d] 时， f(x,yy)dx A
又 f (x, y) 在 [a,A;c,d] 上连续，所以
A
f (x, y)dx
含参量反常积分 e ux2dx 0
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
例4 证明
（1） eyx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛； 1
（2） e yx2 sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛. 1
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
ac
c
a
则另一个也收敛 ,且
a dcxf(x ,y )d y c dayf(x ,y )d .x
例 1 :

教案27含参变量有限积分一、含参变量有限积分定义设二元函数),(y x f 在区域{}I u b x a y x D ∈≤≤=,|),(有定义，I u ∈∀，一元函数),(u x f 在],[b a 可积，称⎰=ba dx u x f u ),()(ϕI u ∈为含参变量有限积分定义，u 为参变量。

二、含参变量有限积分性质 1、极限性质：如果二元函数),(u x f 在0u u =点关于x 一致连续，（即0>∀ε，0),(0>∃u εδ，当δ<-||0u u 时，],[b a x ∈∀，有ε<-|),(),(|0u x f u x f ．）则 ⎰⎰⎰==→→bab a u u bau u dx ux f dx u x f dx u x f ),(),(),(0lim lim．2、连续性：若二元函数),(u x f 在区域{}I u b x a u x D ∈≤≤=,|),(连续，则⎰=ba dx u x f u ),()(ϕ在区间I 上连续，且⎰⎰⎰→→→====ba uu bau u bauu dx u x f dx u x f u u dx u x f ),(),()()(),(lim lim lim 0000ϕϕ．即可在积分号下取极限。

3、可微性（积分号下求导）若),(),,(u x f u x f u '在区域{}I u b x a u x D ∈≤≤=,|),(连续，则⎰⎰'='b au ub adx u x f dxu x f ),(),()(．4、莱布尼兹公式：若函数)(u a ϕ=与)(u b ψ=在区间],[d c 上连续，可导；函数),(u x f 与),(u x f u '在区域{})()(,|),(u x u d u c u x D ψϕ≤≤≤≤=内连续，则)(]),([)(]),([),(),()()()()()(u u u f u u u f dx u x f dxu x f u u u uu u ϕϕψψψϕψϕ'⋅-'⋅+'=⎰⎰'．5、可积性（积分号下求积分）若二元函数),(u x f 在区域{}d u c b x a u x D ≤≤≤≤=,|),(连续，则⎰⎰⎰⎰=dad cdcbadu u x f dx dx u x f du ),(),(．例1 设⎰⎰-=xxtr t d dr e x f 02][)(，求)(x f 、)(x f '．解：0>∀a ，设{}x t a x a t x D ≤≤≤≤-=0,|),(，则函数⎰-=xtr dr e t x g 2),(及2),(x x et x g -='在区域D 上连续，所以，222][)(xxxx xtrxedr et d dr ex f ---==='⎰⎰⎰．将上式从0到x 积分，)1(21)0()(22-=+=--⎰x xte f dt tex f ． 例 2 在闭区间]3.1[上求一线性函数bx a +，用其近似代替函数2)(x x f =，使得⎰-+3122)(dx x bxa 最小。

冲刺高考数学含参量积分的概念与性质在高考数学的众多考点中，含参量积分是一个相对较难但又十分重要的部分。

对于即将面临高考的同学们来说，深入理解含参量积分的概念与性质，掌握相关的解题方法和技巧，是在数学考试中取得高分的关键之一。

一、含参量积分的概念含参量积分是指被积函数中含有参量的积分。

简单来说，如果积分表达式中的被积函数不仅仅是变量 x 的函数，还包含了另一个变量 y （或其他符号表示的参量），那么这样的积分就称为含参量积分。

例如，我们有积分：∫f(x,y)dx ，其中 y 就是参量。

含参量积分主要有两种类型：含参量正常积分和含参量反常积分。

含参量正常积分是指积分上限和下限都是确定的有限值，并且被积函数在积分区间上连续。

比如：∫ₐᵇ f(x,y)dx ，其中 a 和 b 是确定的常数。

含参量反常积分则是指积分上限或者下限是无穷，或者被积函数在积分区间内存在奇点（即函数在该点无定义或极限不存在）。

比如：∫₀^＋∞ f(x,y)dx 。

二、含参量积分的性质1、连续性若函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上连续。

这意味着当参量 y 在 c,d 内连续变化时，积分的值也会连续变化。

2、可微性若函数 f(x,y) 及其偏导数f'ₓ(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上可微，并且其导数为 I'（y) ＝∫ₐᵇf'ₓ(x,y)dx 。

这个性质在解决一些与导数相关的问题时非常有用。

3、积分顺序交换对于一些特定的含参量积分，我们可以交换积分顺序。

比如对于二元连续函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上的积分，∫ₐᵇ（∫ₐᵈ f(x,y)dy)dx ＝∫ₐᵈ（∫ₐᵇ f(x,y)dx)dy 。