§12.3 .含参变量的积分
教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求
(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．
(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．
一、含参变量的有限积分
设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分
(,)b
a
f x u dx ⎰
存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b
a
f x u dx ⎰.于是，积分(,)b
a
f x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为
()(,),
[,]b
a
u f x u dx u ϕαβ=∈⎰
称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.
定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b
a u f x u dx ϕ=⎰在区间
[,]αβ也连续.
★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.
定理2 .若函数(,)f x u 与f
u
∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在
区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有
(,)()b a d
f x u u dx du u
ϕ∂=∂⎰，
或
(,)(,)b
b a a d f x u f x u dx dx du u
∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.
★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.
定理3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b
a u f x u dx ϕ=⎰在区间
[,]αβ可积，且
{}
{}
(,)(,)b
b
a
a
f x u dx du f x u du dx β
β
αα
=⎰⎰
⎰
⎰
.
简称积分号下可积分.
★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.
一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即
(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()
(,)b u a u f x u dx ⎰
，它仍是区间[,]αβ的函数，
设 ()
()
()(,),
[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰
.
下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.
定理4.若函数(,)f x u 与
f
u
∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有
(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，
则函数()
()
()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰
在区间[,]u αβ∈可导，且
()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u d
f x u u dx f b u u b u f a u u a u du u
ψ∂=+-∂⎰
二、例（I ）
例1. 求函数1
220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >
解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1
y εε
≤≤
，显然，被积函数
22ln()x y +与
22222ln()y
x y y x y
∂+=∂+ 在矩形域1
(01,)R x y εε
≤≤≤≤都连续，根据定理2，有
1
1'
22
22002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰
11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1
y εε
≤≤
，所以0y ∀>，有
'1()2tan
F y atrc y
=. 例2 .求0
()ln(1cos ),
1I r r x dx r π
=+<⎰.
解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即
(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与
cos 1cos f x
r r x
∂=
∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有
'00cos ()ln(1cos )1cos x
I r r x dx dx r r x π
π∂=+=∂+⎰
⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰
01.(0)1cos dx r r r r x
ππ=-≠+⎰ 设tan 2
x
t =（万能换元），有
222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t r
t +==-+++-++⎰⎰⎰
=
2
21121dt x C r r t r
⎫
=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，
00
1cos 2dx x r x π
π⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，
'()0)I r r r
π
=
≠ （3）
又有
'
00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝
.
