动点综合问题
一次函数或二次函数的图象
【2015年题组】
1．（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y
关于x
的函数图象大致是（）
A．
B．C
．D．
考点：动点问题的函数图象．
2．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
3．（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）
4．（2015广元）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 从A 点出发．按A→B→C 的方向在AB 和BC 上移动．记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（2015荆州）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm2），则y 关于x 的函数图象是（ ）
A B C D
6．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至C 点，直线l 与△ABC 的边相交于E 、F 两点．设线段EF 的长度为y ，平移时间为t ，则下图中能较好反映y 与t 的函数关系的图象是（ ）
A B ．C ． D ．
7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l
：
y kx =+x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P
与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8．（2015乐山）如图，已知直线
3
34y x =
-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是
以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大
值是（ ）
A ．8
B ．12
C ．212
D ．17
2
9．（2015庆阳）如图，定点A （﹣2，0），动点B 在直线y x =上运动，当线段AB
最短时，点B的坐标为．
10．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．
11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．
12．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂
足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG1．其
中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）
13．（2015江西省）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上
的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长
为．
14．（2015鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同
时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若
甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边上．
15．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，
BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
16．（2015宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若
=
AB BC，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．
17．（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
18．（2015桂林）如图，已知抛物线
2
1
2
y x bx c
=-++
与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，
动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED
的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD
的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说
明理由．
19．（2015淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；
（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．
【2014年题组】
1．（2014年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 AB
线段BO、OA匀速运动到点A，则
OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）
A B C．D．
2．（2014年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧
AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
A B．1C．2D．
3．（2014年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，
按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，
则y关于x的函数图象大致是（）
A B C D
合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．
5．（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__________
6．（2014年浙江嘉兴中考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB 上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；
②线段EF
的最小值为；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则
AD=；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF
扫过的面积是．7．（2014年湖南衡阳）如图，直线AB与x轴相交于点
()
40
A-，
，与
y轴相交于点()
03
B，
，点P从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时，将直线
3
4
y x
=
以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为
()
05
t t<<
秒．
⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
⑵当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理．
点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S．
①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．
基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直
基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质
注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC为等腰三角形．
归纳2：动点问题中的计算问题
基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．
基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．
注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A．12
5B．4C．
24
5D．5
B A C
基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．
基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．
【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）
模拟
1．如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，
沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过
的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图
形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2，则
AB边上的高是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
3．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A—B—C—D—A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）
4．某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O
沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿 BCA
回到点A，下面可以近似地刻画小江与中心点O的距
离S随时间t变化的图象是（）．
5．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）
A B C D ．
【
6．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，
，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE﹣EC
运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（）
A B C D ．
7．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=1
4x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y=1
4x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【答案】（1）t=1或32
41时，△BPQ∽△BCA；（2）t=
7
8．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），B（3，2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0，3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），且与x轴交于点D．
（1）求点C的坐标及b的值；
（2）求k的取值范围；
（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x轴，交PQ于点E，若抛物线y=ax2﹣5ax（a≠0）的顶点在四边形ABED的内部，求a的取值范围．
10．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与
直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若
，求点F的坐标．
11．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC 上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）求点N的运动速度；
（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？
（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．
12．如图，直线y=-1
2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，
0）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明问题．
13．如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．
（1）求证：PA=PE；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．
14．如图，抛物线y=1
2x2+mx+n与直线y=-
1
2x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，
已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位
速度运动到E点，再沿线段EA
A后停止，当点E的坐标是多少时，点M
在整个运动中用时最少？
15．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．
（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；
（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向
原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，
MN OP
MN OP
的值最大，并求出最大值；
（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．
17．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）求线段AB的长．
（2）当t为何值时，MN∥CD？
（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
专题15 动点综合问题 【典例分析】 【考点1】动点之全等三角形问题 【例1】如图，直线 4 4 3 y x =-+ 与x轴和 y轴分别交于,A B两点，另一条直线过点A和 点 (7,3) C. (1)求直线AC的函数表达式; (2)求证: AB AC ⊥; (3)若点P是直线AC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以,, P Q A为顶点的三角形与AOB ?全等，求点Q的坐标. 【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C
点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ 运动,点N 为射线BM 上一动点,满足PN=AB,随着P 点运动而运动,当点P 运动_______秒时，△BCA 与点P 、N 、B 为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合 ) 【考点2】动点之直角三角形问题 【例2】（模型建立） （1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o ，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ???； （模型应用） （2）已知直线1l ： 4 43y x = +与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45o 至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式； （3）如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为 ()8,6-，点A 、C 分别在坐 标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若 APD ?是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标. 【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC (1)求这个二次函数的表达式； (2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ.
2021中考数学 压轴专题训练之动点问题 1. 如图 1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)， A (3，33)， B (9，53)， C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB －BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，5 2(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式． (2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值． (3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值． 图1 图2 2. 如图，抛物线 y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于 点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合). (1)求抛物线和直线l 的解析式; (2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值; (3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.
1..如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），动点A 以每秒1个单位长的速度，从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点．将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转?90，得到线段AB ．过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，过点C 作y 轴的垂线，交直线BE 于点D ．运动时间为t 秒． （1）当点B 与点D 重合时，求t 的值； （2）设△BCD 的面积为S ，当t 为何值时，S 254 = （3）连接MB ，当MB ∥OA 时，如果抛物线2 y ax 10ax =-的顶点在△ABM 内部（不包括 边），求a 的取值范围． 2.如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4,tan ∠AOB=4 3 ,抛物线2y ax bx =+经过点A(4，0)与点（-2，6） （1）求抛物线的函数解析式． （2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ ⊥AD 时,求运动时间t 的值 （3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标. 3.如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x
轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE=13 ，A （3，0），D （﹣1，0），E （0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围． 4.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(－2，0)，点B 坐标为 （0，2 ），点E 为线段AB 上的动点(点E 不与点A ，B 重合)，以E 为顶点作∠OET=45°，射线ET 交线段OB 于点F ，C 为y 轴正半轴上一点，且OC=AB ，抛物线y=2-x 2+mx+n 的图象经过A ，C 两点. （1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE ； （3） 当△EOF 为等腰三角形时，求此时点E 的坐标； （4） 在（3）的条件下，当直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1） 中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（122+） 倍.若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.
专题34 动态问题 专题知识回顾 一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。二、动点与函数图象问题常见的四种类型：1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型： 1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤： （1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分
《动点问题》 一、单选题 1、（2016•宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（） A、4.8 B、5 C、6 D、7.2 2、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P 的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（） A、B、C、D、 4、（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M 时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（） A、B、C、D、 5、（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）
A、B、C、D、 二、填空题 6、（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC 上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________ 7、（2016•日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________． 三、综合题 8、（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM． (1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN； (2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由） ②是否存在满足条件的点P，使得PC= ？请说明理由． 9、（2016•海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． C M B （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017 t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
2023年九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题 1．如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM， 3 cos 5 B=，点C、E分别为射线BM上的动 点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∥DAE＝∥BAC，射线EA交射线CD 于点F．设,AF BC x y AC == (1)如图1，当x＝4时，求AF的长； (2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)若AC∥AE，求AF的长． 2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF (1)如图，当点落在BD上时，求AE的长； (2)如图，当2 AE=时，探索BF与CF的位置关系，并说明理由； (3)在点E从点A出发后，当BCF △为等腰三角形时，直接写出AE的长． 3．如图1，将等腰三角形ABC沿着底边AC对折得到∥ADC，∥ABC是锐角，E是BC
(1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)当AE ∥BC ，∥EAF ＝∥ABC 时，求证：AC 垂直平分EF ； (3)如图2，当∥EAF ＝∥BAC 时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连接BD ，MN ，若AB ＝4，sin∥ABD 1 4 =，则当CE ＝ 时， ∥AMN 是等腰三角形． 4．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在AB 边上，1AE =．点F 是直线BC 上的动点．将BEF 沿EF 折叠得到将GEF △．直线GF 与直线BD 的交点为点H ． (1)若点G 落在AD 边上（如图2），连结BG ，请判断BGF 的形状并说明理由； (2)若点F 与点C 重合（如图3），求点G 到直线BC 的距离； (3)在点F 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BHF 是以FH 为腰的等腰三角形？若存在，求CF 的长；若不存在，请说明理由． 5．已知，在矩形ABCD 中， BC AB ＝m ，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ． （1）如图，当F 为AB 的中点，G 与D 重合时，将∥AFD 沿FD 翻折至∥EFD ，连AE ，BE ．
专题10 动点类综合题目探究 题型一：二次函数中三角形面积最值存及平行四边形存在性问题 例1. （2019·巴中）如图，抛物线2 5y ax bx =++（a ≠0）经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+. （1）求抛物线解析式； （2）动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时动点E 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动. 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动. 设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值. （3）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过抛物线上一动点N (不与B 、C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于Q ，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标. 题型二：一次函数与圆结合及特殊三角形存在性问题
例2.（2019·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(－3,0)，B（3,0）.（1）如图1，已知圆P经过点O，且与直线l1相切于点B，求圆P的直径长； （2）如图2，已知直线l2：y=3x－3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q 为圆心，. ①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与圆Q相切； ②设圆Q与直线l1相交于M、N两点，连接QM、QN，问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.
题型三：二次函数中线段最值问题及特殊平行四边形存在性问题 例3.（2019·南充）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB =OC . （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在抛物线上，且∠POB =∠ACB ，求点P 的坐标； （3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m +4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E . ∠求DE 的最大值. ∠点D 关于点E 的对称点为F . 当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题 专题二几何证明之三角形中的动点综合问题 1、已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合数，b、c满足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，点 P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路径为S，移动的速度为每秒3个单位．如图1所示． （1）试求出△ABC的周长； （2）当点P移动到AC边上时，化简：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|； （3）如图2所示，若点Q是△ABC的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着△ABC的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当t为何值时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3？此时点P在△ABC的哪条边上？ 解：（1）∵a是最小的合数， ∴a＝4， ∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0， ∴b﹣5＝0，c﹣6＝0， ∴b＝5，c＝6， ∴BC＝4，AC＝5，AB＝6， ∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝4+5+6＝15； （2）∵点P移动到AC边上，AB+AC＝6+5＝11，
∴6≤S≤11， ∴S﹣4＞0，3S﹣6＞0，4S﹣45＜0， ∴|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35． （3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面， ∴3t+4﹣5t＝3， 解得：t＝． 此时点P在AB上． ②按顺时针方向移动，若Q在P的前面， ∴5t﹣4﹣3t＝3， 解得：t＝． 此时点P在AC上． 综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上． 2、如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向 点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
中考数学满分专题专题训练 数轴中的“动点”问题 已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为–1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）求MN的长； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，求x的值； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【参考答案】见试题解析 【试题解析】（1）MN的长为3–（–1）=4． （2）根据题意得：x–（–1）=3–x，解得：x=1； （3）①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：–1–x+3–x=8．解得：x=–3． ②P在点M和点N之间时，PN+PM=8，不合题意． ③点P在点N的右侧时，x–（–1）+x–3=8．解得：x=5． ∴x的值是–3或5． （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM=PN． 点P对应的数是–t，点M对应的数是–1–2t，点N对应的数是3–3t． ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以–1–2t=3–3t，解得t=4，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动， 出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故PM=–t–（–1–2t）=t+1，PN=（3–3t）–（–t）=3–2t． 所以t+1=3–2t，解得t=2 3 ，符合题意． 综上所述，t的值为2 3 或4． 【方法点拨】解决动点问题最常使用的就是分类讨论了．初中数学中的分类讨论思想，是指把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想.分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件.分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整. 1．把数轴上表示数2的点向右移动3个单位长度后，表示的数为 A．1 B．–1 C．5 D．–5 2．数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 A．6 B．–6 C．3 D．–3 3．一个点从数轴上表示–2的点开始，向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，则此时这个点表示的数是 A．0 B．2 C．1 D．–1 4．点A在数轴上距原点5个单位长度，将点A先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，此时点A所表示的数是 A．–1 B．9 C．–1或9 D．1或9 5．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为 A．a–3 B．a+3 C．3–a D．3a+3 6．如图，数轴上点A，B表示的数分别为–40，50．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当AQ=3PQ时，运动的时间为
动点综合问题 一、单选题 1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图.在▱ABCD中.∠A=60°.AB=2.AD=1.点E.F在▱ABCD的边上.从点A同时出发.分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动.到达点C时停止.线段EF扫过区域的面积记为y.运动时间记为x.能大致反映y与x之间函数关系的图象是（） A．B． C． D． 2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图.定直线MN∥PQ.点B、C分别为MN、PQ上的动点.且BC=12.BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点.点D是PQ下方一定点.且AE∥BC∥DF.AE=4.DF=8.AD=24√3.当线段BC在平移过程中.AB+CD的最小值为（）
A ．24√13 B ．24√15 C ．12√13 D ．12√15 3．（2022·四川乐山·中考真题）如图.等腰△ABC 的面积为2√3.AB =AC .BC =2．作A E ∠BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点.连接PE .过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F .M 是线段EF 的中点．那么.当点P 从A 点运动到B 点时.点M 的运动路径长为（ ） A ．√3 B ．3 C ．2√3 D ．4 4．（2022·湖北恩施·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.∠A =∠B =90°.AD =10cm.BC =8cm.点P 从点D 出发.以1cm/s 的速度向点A 运动.点M 从点B 同时出发.以相同的速度向点C 运动.当其中一个动点到达端点时.两 个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ）.下列结论正确的是（ ） A ．当t =4s 时.四边形ABMP 为矩形 B ．当t =5s 时.四边形CDPM 为平行四边形 C ．当C D =PM 时.t =4s D ．当CD =PM 时.t =4s 或6s 5．（2022·黑龙江·中考真题）如图.正方形ABCD 的对角线AC .BD 相交于点O .点F 是CD 上一点.OE ⊥OF 交BC 于点E .连接AE .BF 交于点P .连接OP ．则下列结论：∠AE ⊥BF ；∠∠OPA =45°；∠AP −BP =√2OP ；∠若BE:CE =2:3.则tan∠CAE =47；∠四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题16二次函数与动点综合问题 二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值. 解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题. 【例1】（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM 将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标； （3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→B匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
2019几何图形的动点问题 一、选择题 1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（） A. B. C. D. 2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做, 交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动 时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( ) A. B. C. 6 D. 5
3.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（） A. ① B. ④ C. ①或 ③ D. ②或④ 4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA 运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（） A. B. C. D. 5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动 ( ) A. 变短 B. 变 长 C. 不 变 D. 无法确定 二、填空题
2023年中考九年级数数学高频考点提升练习--三角形动点问题综合1．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=3厘米，CB=2厘米．动点P从点C出发，沿CB方向以1厘米/秒的速度向B运动，动点Q从点B同时出发，沿BC方向以1厘米/秒的速度向C运动．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，以CP为一边向上作正方形CPDE，过点Q作QF∥AB，交AC于点F．设点P的运动时间为t秒，正方形CPDE和梯形AFQB重合部分的面积为S平方厘米． （1）当t=秒时，点P于点Q重合； （2）当t=秒时，点D在QF上； （3）当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式． 2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD△BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似； （2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由； （3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．3．如图，直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8，OB=6.动点P从O点出发，沿路线O→A→B以每秒2个单位长度的速度运动，到达B点时运动停止.
（1）则A点的坐标为，B两点的坐标为； （2）当点P在OA上，且BP平分△OBA时，则此时点P的坐标 为； （3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并直接写出当S=8时点P的坐标. 4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由． 5．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC， （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P
专题36 动点综合问题解读考点 知识点名师点晴 动点问题中的特殊图形 等腰三角形与直角三角 形 利用等腰三角形或直角三角形的特殊 性质求解动点问题 相似问题 利用相似三角形的对应边成比例、对 应角相等求解动点问题 动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值 问题 理解最值或定值问题的求法 动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题 动点 问题的函数图一次函数或二次函数的 图象 结合函数的图象解决动点问题
象问 题 2年中考 2015年题组 1．2015牡丹江在平面直角坐标系中,点Px,0是x轴上一动点,它与坐标原点O的距离为y,则y关于x的函数图象大致是 A．B．C． D． 答案A． 考点：动点问题的函数图象． 2．2015盐城如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止不含点A和点B,则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是
A．B．C． D． 答案B． 解析 试题分析：当点P在AD上时,△ABP的底AB不变,高增大,所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在DE上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小； 当点P在FG上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
故选B． 考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．3．2015资阳如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y单位：度,那么y与点P运动的时间x单位：秒的关系图是 A． B．C． D． 答案B． 考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数． 4．2015广元如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P从A点出发．按A→B→C 的方向在AB和BC上移动．记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x
第七篇专题复习篇专题36动点综合问题 知 识点名师点晴 动点问题中的特殊图 形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题 相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题 动点问题中的计算问 题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法 动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题 动点问 题的函 数图象 问题 一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题 归纳1：动点中的特殊图形 基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等,直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方,平行四边形的对边平行且相等,矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直
基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合,解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质 注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质． 【例1】（2019吉林省,第25题,10分）如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE．动点P、Q从点A同时出发,点P以2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s）,在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）． （1）AE= cm,∠EAD= °； （2）求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围； （3）当PQ 5 4 cm时,直接写出x的值． 归纳2：动点问题中的计算问题 基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题． 基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答,面积采用割补法或面积公式,通常与二次函数、相似等内容． 注意问题归纳：在计算动点问题的过程中,要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合． 【例2】（2019内蒙古包头市,第26题,12分）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C,连接BC． （1）求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴；
题型六几何动态综合题 类型一点动型探究题 针对演练 1. (2016赤峰12分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒，连接AP，并过Q作QE⊥AP垂足为E. (1)求证：△ABP∽△QEA； (2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA； (3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围) (提示：解答(2)(3)时可不分先后) 第1题图
2. (2015省卷25，9分) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm. (1)填空：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)； (2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)； (3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．(参考数据：sin75°＝ 6＋2 4，sin15°＝ 6－2 4 ) 第2题图 3. (2016梅州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期） 专题30动点综合问题 一、单选题 1．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝12，D 为AC 边上的一 个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD ＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B 【分析】 如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．首先证明90CEB ∠=︒，求出AT ，ET ，根据AE AT ET ≥-，可得结论． 【详解】 解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ． 90ABC ∠=︒， 90ABD CBD ∴∠+∠=︒， ABD BCE ∠=∠， 90CBD BCE ∴∠+∠=︒， 90CEB ∴∠=︒， 6CT TB ==， 1 62 ET BC ∴==，10AT ，
AE AT ET ≥-， 4AE ∴≥， AE ∴的最小值为4， 故选：B ． 【点睛】 本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT ，ET 的长，属于中考常考题型． 2．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（ ） A ．95 B ．85 C ．7 5 D ．65 【答案】B 【分析】 利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝ 245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案． 【详解】 解：∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒== ∴AB 10==， ∵S △ABC ＝ 12×AB ×CN ＝12×AC ×BC ∴CN ＝245 ，