湘教版数学八年级上册3.3实数第1课时实数的分类及性质
3.3 实数第1课时实数的分类及性质学习目标 1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；2.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.（难点）
【自主探究】
说一说下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
32,0,1.414,2,9,,23π-
有理数是。
无理数是。
一：实数的分类
有理数和无理数统称为实数。
请用大括号表述实数的分类：
【练一练】把下列各数填入相应的括号内。 3910,
2,64,0.9,2,,8,5,6,0.1010010001......172π?--
（1）有理数：
（2）无理数：
（3）正实数：
（4）负实数：
二：与实数有关的概念及它与数轴的关系
讨论：你能在数轴上表示无理数8吗？
做一做
（1）实数按符号可分为、、。
（2）实数a 的相反数是。
（3）叫做这个实数的绝对值。
（4）一个正实数的绝对值等于。
（5）一个负实数的绝对值等于。
（6）0的绝对值等于。
（7）互为相反数的两实数的绝对值。
（8）实数大小的比较方法：①减法：。
②数轴：。
法则：。
（9）实数的平方根和立方根：。
【基础演练】一、选择题 1. 与数轴上的点建立一一对应的是（）
A 、全体有理数
B 、全体无理数
C 、全体实数
D 、全体整数
2. π、722、3-、3343、1416.3等，无理数的个数是（）
A 、1个
B 、 2个
C 、 3个
D 、 4个
二、填空题
1. 2-3的相反数是；绝对值是
2. 如果+2（）= 0 那么“（）”内应填的实数是
3. 数轴上表示1，2的对应点分别是A 、B ，线段AB 的中点为
C ，则C 点所表示的数为 .
三、解答题
1.求下列各数的相反数、绝对值、倒数。
3(1)64- (2)11 (3)225 (4)21
2.已知,m n 为实数，且
320m n --=，求n
m
3.是否存在正整数)(.b a b a <，使其满足1476=+b a ？若存在，请求出b a .的值；若不存在，说明理由.
《实数》教案 教学目标 1、从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 2、让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法. 3、培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点. 重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数. 难点：理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系. 教具准备：多媒体，投影仪 教学过程 1、复习旧知，揭示矛盾，引入概念 回顾书本知识，复习前面所学的有理数的分类，2既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说2不是有理数，但由此题可知2确实是存在的，同时π也是如此. 出现矛盾以后，本课以2为例，从2开始，来探索无理数的特征，学习实数. 2、联系实际创设问题情境 如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪2米布，你将会给我剪多少比较合适？学生能从图3-2中估计2在1与2之间，引导学生借助计算器进行合作学习：根据1＜2＜2，确定√2=1.…确定小数点后第一位数计算1.12 ，1.22 1.32，1.42，1.52 1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了，很明显1.4＜2＜1.5 .也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.4＜2＜1.5. 根据以上得：2=1.4…再求下一位，计算1.412 ，1.422 等2=1.41… 到此为
3．3 实数 第1课时实数的分类及性质 1．进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；(重点，难点) 2．了解实数范围内的数轴、相反数、绝对值的意义．(难点) 一、情境导入 前面我们学习了有理数和无理数，把数的范围又扩大了，那么这个大范围的数叫作什么数？怎样分类？ 二、合作探究 探究点一：实数的概念和分类 把下列各数分别填到相应的集合内： －3.6，27，4，5，3 －7，0， π 2 ，－ 3 125， 22 7 ，3.14，0.10100…. (1)有理数集合{ …}； (2)无理数集合{ …}； (3)整数集合{ …}； (4)负实数集合{ …}． 解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数． 解：(1)有理数集合{－3.6，4，5，0，－3 125， 22 7 ，3.14，…} (2)无理数集合{27，3 －7， π 2 ，0.10100…，…} (3)整数集合{4，5，0，－3 125，…} (4)负实数集合{－3.6，3 －7，－ 3 125，…} 方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．探究点二：实数与数轴上的点一一对应
【类型一】 求数轴上的点对应的实数 如图所示，数轴上A ，B 两点表示的数分别是－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，求点C 所表示的实数． 解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB 的长度，然后利用对称的性质即可求出C 所表示的实数． 解：∵数轴上A ，B 两点表示的数分别为－1和3，∴点B 到点A 的距离为1＋ 3.则点C 到点A 的距离也为1＋3，设点C 表示的实数为x . 则点A 到点C 的距离为－1－x ，∴－1－x ＝1＋3，∴x ＝－2－ 3. ∴点C 所表示的实数为－2－ 3. 方法总结：本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 【类型二】 利用数轴进行估算 如图所示，数轴上A ，B 两点表示的数分别是2和5.1，则A ，B 两点之间表示整数的点共有( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 解析：∵2≈1.414，∴2和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A ，B 两点之间表示整数的点共有4个，故选C. 方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 【类型三】 结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a 2－|b －a |－（b ＋c ）2. 解析：由于a 2＝|a |，（b ＋c ）2＝|b ＋c |，所以解题时应先确定a ，b －a ，b ＋c 的符号，再根据绝对值的意义化简． 解：由图可知，a <0，b －a >0，b ＋c <0. 所以，原式＝|a |－|b －a |－|b ＋c |＝－a －(b －a )＋(b ＋c )＝－a －b ＋a ＋b ＋c ＝c . 方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a |＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 探究点三：相反数和绝对值 求下列各数的相反数和绝对值． (1)5； (2)2－3； (3)－1＋ 3. 解析：根据相反数、绝对值的定义求解． 解：(1)5的相反数是－5，绝对值是5； (2)2－3的相反数是－2＋3，绝对值是－2＋3；
湘教版数学八年级上册3.3实数第1课时实数的分类及性质 3.3 实数第1课时实数的分类及性质学习目标 1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；2.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.（难点） 【自主探究】 说一说下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？ 32,0,1.414,2,9,,23π- 有理数是。 无理数是。 一：实数的分类 有理数和无理数统称为实数。 请用大括号表述实数的分类： 【练一练】把下列各数填入相应的括号内。 3910, 2,64,0.9,2,,8,5,6,0.1010010001......172π?-- （1）有理数： （2）无理数： （3）正实数： （4）负实数： 二：与实数有关的概念及它与数轴的关系 讨论：你能在数轴上表示无理数8吗？ 做一做 （1）实数按符号可分为、、。 （2）实数a 的相反数是。 （3）叫做这个实数的绝对值。 （4）一个正实数的绝对值等于。 （5）一个负实数的绝对值等于。 （6）0的绝对值等于。
（7）互为相反数的两实数的绝对值。 （8）实数大小的比较方法：①减法：。 ②数轴：。 法则：。 （9）实数的平方根和立方根：。 【基础演练】一、选择题 1. 与数轴上的点建立一一对应的是（） A 、全体有理数 B 、全体无理数 C 、全体实数 D 、全体整数 2. π、722、3-、3343、1416.3等，无理数的个数是（） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 二、填空题 1. 2-3的相反数是；绝对值是 2. 如果+2（）= 0 那么“（）”内应填的实数是 3. 数轴上表示1，2的对应点分别是A 、B ，线段AB 的中点为 C ，则C 点所表示的数为 . 三、解答题 1.求下列各数的相反数、绝对值、倒数。 3(1)64- (2)11 (3)225 (4)21 2.已知,m n 为实数，且 320m n --=，求n m 3.是否存在正整数)(.b a b a <，使其满足1476=+b a ？若存在，请求出b a .的值；若不存在，说明理由.
湘教版八年级数学上册《实数》教案及教学反 思 教学目标 1.了解实数的概念和分类。 2.充分理解实数的大小比较、运算及其性质。 3.掌握实数间四则运算的计算方法，能够熟练应用到 算式的解题中。 4.能够运用实数的性质灵活地解决问题。 5.感受实数的应用价值，培养学生的数学思维能力和 逻辑思维能力。 教学内容 1.实数的概念和分类 2.实数的四则运算及其性质 3.实数在数轴上的表示和大小比较 4.实数的应用：分数的大小比较、定比分点、代数中 的实数、实数的科学计数法等。 教学重点和难点 1.实数概念的理解和分类的掌握 2.实数大小比较和运算的灵活运用 3.实数的应用：如何运用实数解决各种问题 教学方法 采用“示范教学法”结合“互动教学法”，注重学生的情感体验和思维方法的引导。
学情分析 本课学生对实数的概念和大小比较已经有一定的了解，但掌握的程度不是很深入，同时学生对实数的应用不是很熟练，反应较为迟钝。因此，在教学过程中需要注重引导学生对实数的全貌进行全面理解，同时加强实数应用部分的练习，以提高学生的应用能力。 教学过程 Step1 导入新知识 在翻阅教材后，可以用以下例子展示实数的概念：以平常生活中出现的一个数1/3，此时就需要提到它既是分数，又是小数，同样这个数字也可以用一个近似的整数1来近似表示。教师可以采用实物、图片或者生动有趣的例子引入实数的定义和概念，旨在激发学生学习数学的兴趣。 Step2 实数的分类 教师通过PPT或板书展示实数的分类，从有理数和无理数的角度，旨在让学生全面了解实数的分类，为后续内容的学习打下良好的基础。 Step3 实数的四则运算 教师通过实际讲解和练习，让学生掌握实数的四则运算和各种特殊情况的应对方法。如有理数加减乘除、平方根的运算等。 Step4 实数在数轴上的表示和大小比较 教师通过实际讲解和练习，让学生了解实数在数轴上的表示以及如何进行大小比较。通过实际练习，给学生足够的时间去熟悉各种相关符号的含义，逐渐熟悉各种不同的实数之间的大小以及如何进行表示和比较。
第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1.数的分类及概念 1 说明：“分类〞的原那么：1〕相称〔不重、不漏〕2〕 有标准 2．非负数：正实数与零的统称。〔表为：x ≥0〕 常见的非负数有： 性质：假设干个非负数的和为0，那么每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义:如果两个数的乘积为 1.那么 这两个数互为倒数. ②性质：A.a ≠1/a 〔a ≠±1〕;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数. ②求相反数的公式: a 的相反数为-a. ③性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置关于原点对称;C. 两个相反数的和为0,商为-1。 5．数轴： ①定义〔“三要素〞〕:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. ②作用： A.直观地比拟实数的大小;B.明确表达绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，2都可以在数轴上表示出来，故数轴上的 实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数0 负整数 (有限或无限循环小数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 正数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) 负数
点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数〔正整数—自然数〕 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n 〔n 为自然数〕 7．绝对值： ①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实 数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││〞是“非负数〞的标志; ③数a 的绝对值只有一个; ④处理任何类型的题目，只要其中有“││〞出现，其关键一步是去掉“││〞符号。 11．科学记数法：N=n a 10⨯〔1≤a ＜10，n 是整数〕。〔1〕当N 是大于1的数时， n ＝N 的整数位数减去1。如：3 3241.56 3.2415610=⨯.(2) 当N 是小于1的数时，n ＝N 的第一个有效数字前0的个数.如:5 0.0000324156 3.2415610-=⨯ 12 有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个. 二、实数的运算 1 运算法那么〔加、减、乘、除、乘方、开方〕 2 运算定律〔五个:加法交换律,加法结合律; 乘法交换律,乘法结合律,乘法对加 法的分配律〕 3 运算顺序：高级运算到低级运算，同级运算从左到右〔如5÷5 1 ×5〕，有括号时由小中大。 4 逆运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为 a(a≥0) -a(a<0) │a │=
湘教版初二数学第一单元知识点：实数对于初中同学,每天学习的知识都在不断更新,知识就需要不断地归纳总结,查字典数学网为大家总结了初二数学第一单元知识点,一定要仔细阅读哦! 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类：2.按性质符号分类： 注：0既不是正数也不是负数. 【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数,或数轴上,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 |a|≥0. 3.倒数(1)0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数. 4.平方根 (1)如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方 根.a(a≥0)的平方根记作. (2)一个正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根.a(a≥0)的算术平方根记作.
5.立方根 如果x3=a ,那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零. 【知识点三】实数与数轴 数轴定义：规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可. 【知识点四】实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0 ,负数都小于0 ,两个正数,绝对值较大的那个正数大;两个负数;绝对值大的反而小. 3.无理数的比较大小： 【知识点五】实数的运算 1.加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数. 2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.乘法 几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.几个数相乘,有一个因数为0 ,积就为0. 4.除法 除以一个数,等于乘上这个数的倒数.两个数相除,同号得正,异号得负,
实数 尊敬的各位老师： 大家好！我今天说课的内容是湘教版八年级数学（上册）第三章第三节“实数”第一课时，下面，我将从以下几个方面对这节课的设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数X围扩充到实数X 围。从有理数到实数，这是数的X围的一次重要扩充。对今后学习数学有重要意义。在中学阶段，多数数学问题是在实数X围内研究的。例如，函数的自变量和因变量都在实数X围内讨论，平面几何、立体几何中的几何量（长度、面积、体积等）都用实数表示等。 2、教学目标：（根据新课程标准的要求，结合本节教材的特点，以及八年级学生的认知规律，我制定如下目标）。 知识技能：1 了解无理数和实数的概念以及实数的分类。 2 知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。 数学思考：1 经历对实数进行分类的过程，发展学生的分类意识。 2 经历从有理数逐步扩充到实数的过程，了解人类对数的认识是不断发展的。 解决问题：通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数。 情感态度：1 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用。 2 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。 3、教学重点、难点 重点：了解无理数和实数的概念；实数的分类。 难点：对无理数的认识。 二、学情分析 在学习本节课前，学生已掌握对一个非负数开平方和对一个数开立方运算。课本对学生掌握实数要求不高。只要求学生了解无理数和实数的意义。但实数的知识却贯穿中学数学
始终，所以我们只能逐步加深学生对实数的认识。本节主要引导学生熟知实数的概念和意义，为后面学习打下基础。 三、教法学法分析： 教法分析：为了更好的把握教学内容的整体性、联续性，我采用问题情境导入法引入新课，用类比归纳法和探究分析法展开数学活动。在教学中注重学生的动手实践能力和自主探究能力的培养，使学生经历：观察、比较、交流、归纳、反思等理性思维的基本过程。 学法分析：为了有效地突出重点、突破难点，本节课我采用以学生自主探究、小组合作交流为主的学习方式，启发学生进行观察、类比、分析，让学生多动手动脑，积极参与到概念的建立，问题求解当中来，使学生的主观能动性得到最大程度的发挥。 四、教程分析：针对本节教材的特点，我把教学过程设计为以下五个环节： 一、创设问题情景，引出实数的概念 1、什么叫无理数，什么叫有理数，举例说明。 2、把下列各数分别填入相应的集合内。 32，41，7，π，2 5-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数（real number ）。 教师点明：实数可分为有理数与无理数。 二、议一议 1、在实数概念基础上对实数进行不同分类。 无理数与有理数一样，也有正负之分，如3是正的，π-是负的。 教师提出以下问题，让学生思考： （1）你能把32，41，7，π，2 5-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？
3.3 实 数 第1课时 实数的分类及性质 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4、23的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5、23-的绝对值是 ，13111-的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7、23+的相反数是 ，23-的相反数的绝对值是 。 8、27-的绝对值与726-+的相反数之和的倒数的平方为 。 9、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---∙- 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 1．下列各式中正确的是（ ） A ． B. C. D. 2. 的平方根是( )
A．4 B. C. 2 D. 3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有（） A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 4．和数轴上的点一一对应的是（） A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数 5．对于来说（） A．有平方根B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定 6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数 的个数有（） A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（） A． B. C. D. 8．下列各组数中，互为相反数的是（） A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与 9．-8的立方根与4的平方根之和是（） A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4 10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（） A． B. C. D.
第1课时 实数的有关概念 1.通过数形结合，引导学生掌握实数与数轴上的点一一对应. 2.引导学生掌握有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立 . 自学指导：阅读课本P116-117，完成下列问题. 知识探究 从教材“说一说”中我们可以知道： 0,1.414，9，-23 是有理数.2，π，32，0.101 001 000 1…是无理数. 归纳：1.有理数和无理数统称为实数 . 2.⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧）无理数（无限循环小数 小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数实数 3.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，且数轴上每一个点都可以表示唯一的实数. 即：实数和 数轴上的点一一对应. 4.规定正实数都大于0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边. 5.与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中一个叫作另一个数的相反数，也说它们 互为相反数.0的相反数是0 .实数a 的相反数记作-a . 6.正实数的绝对值是 它本身，负实数的绝对值是它的相反数 ， 0的绝对值是 0. 自学反馈 (1)与数轴上的点建立一一对应关系的是实数. (2) 下列命题中正确的是(D) A.有限小数不是有理数 B.无限小数是无理数 C.数轴上的点与有理数一一对应 D.数轴上的点与实数一一对应 数轴上的点与实数一一对应的意思就是每个实数都可以在数轴上找到唯一的点与之对应，数轴上的每个点都表示一个实数. 活动1 学生独立完成 例1、把下列各数填入相应的集合内： 213、38-、0、27、3 π、0.5、3.14159、－0.020020002 0.12121121112…
1．3实数（第一课时） 一、教学目的： 知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类同时会判断一个数是有理数还是无理数。 知道实数和数轴上的点一一对应。 经历用有理数估算2的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想，发展数感，激发学生的探索创新精神。 二、教学重点与难点： 重点：会判断一个数是有理数还是无理数。 难点：2不是有理数，2有多大？ 三、教学方法:观察、比较、合作、交流、探索. 四、教学过程。 （一）创设情境 情境一：提出问题—我们通过研究边长为1的正方形的对角线的长为2，说说你对2的认识。 [设计说明：由学生熟知的实例提出问题，从而激发学生的学习兴趣和求知欲。] 情境二：大家都知道2是一个有理数，它的算术平方根为多少？还是一个有理数吗？ [设计说明：通过提出问题和解决问题，让学生感受2的客观存在性，同时又产生一个疑问，从而会主动探索研究这个新问题，直至完全没有疑问。] 情境三：为了生活的需要人们引入了负数，数就由原来的正数和0扩充为有理数。细心的同学会发现还有一些不是有理数的数，和有理数一起构成了实数，它们到底是什么数呢？引出课题：实数。 [设计说明：让学生明白引入负数和引入无理数一样，都是生活的需要，同时说明了它们的客观性，同时告诉学生作好准备，迎接新的“挑战”。] （二）探索活动 问题1：2是有理数吗？ [设计说明：有理数范围很大，不少学生想到：整数和分数统称有理数，自然会将此问题 变成两个小问题：a、2是整数吗？b、2是分数吗？若两者都不是，就说明2不是有理数。] 问题2：2是一个整数吗？ [设计说明：从说说对2的认识中部分学生就认识到2不是整数，如：用刻度尺测量，可知2约等于1.4；在等腰直角三角形中，斜边大于直角边，可知2大于１，三角形中两边之和大于第三边，可知2<2，所以１<2<2，而在1与2之间没有整数。
3.3 实数 3.3.1 实数的概念 （第5课时） 教学目标 (1) 了解无理数、实数的概念和实数的分类。 (2) 让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。 重点：无理数、实数的概念和实数的分类。 难点：正确理解无理数的意义。 教学过程 一、情景导入 P116 说一说 1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 2、实数的概念 我们把无限不循环小数叫做无理数，例如：2、3.38338333833338…、π等都是无理数。有理数与无理数统称实数。 二、探究新知 1、根据2的近似值，你能想象出它在数轴上的位置吗？试一试，在数轴上找到表示2的点。 说明每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上唯一的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示唯一的一个实数。 换句话说，实数与数轴上的点一一对应。 相关的概念：正实数、零、负实数、相反数等。 2、例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ —π、—3.1415926、355 113 、39、2 1 3 、38 -、0、27、3 ∏ 、5.0、3.14159、 -0.020*******、13、 2 2 、 25 36 、0.10010001… 例2 判断下列说法是否正确 (1) 无限小数都是无理数 (2) 有理数都是有限小数(3) 无理数都是无限小数 (4) 带根号的数都无理数 例3 （1）求—364、3—π的相反数和绝对值； （2）求满足x＜41 2 的整数。 练习： P118 练习 1、2、3
小结 本节课我们学习了无理数、实数的概念、实数与数轴上的点的一一对应关系等。 作业：（1）P121 习题 3.3 A组 1、2 （2）实数x满足x+2x=0,则x是 ( ) A. 非零实数 B.非负数 C. 零和负数 D. 负数 五、教后反思：
3.3.1 实数的概念 教学目标 (1) 了解无理数、实数的概念和实数的分类。 (2)让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际效劳的辩证关系。 重点：无理数、实数的概念和实数的分类。 难点：正确理解无理数的意义。 教学过程 二、探究新知 1、根据2的近似值，你能想象出它在数轴上的位置吗？试一试，在数轴上找到表示2的点。 说明每一个实数〔有理数或无理数〕都可以用数轴上唯一的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示唯一的一个实数。 换句话说，实数与数轴上的点一一对应。 相关的概念：正实数、零、负实数、相反数等。 2、例1 以下各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ —π、—3.1415926、355 113 、39、2 1 3 、 38 -、0、27、3 ∏ 、5.0、3.14159、 -0.020*******、13、 2 2 25 36 例2：判断以下说法是否正确
(1) 无限小数都是无理数 (2) 有理数都是有限小数 (3) 无理数都是无限小数 (4) 带根号的数都无理数 例3 ：〔1〕求—364 、3—π的相反数和绝对值； 〔2〕求满足x ＜4 12 的整数。 一次函数复习〔二〕 课题 第四章一次函数复习〔二〕 本课〔章节〕需13课时 ，本节课为第12—13课时，为本学期总第46—47课时 教学目标 知识与技能：1、使学生理解一次函数的意义，掌握根据条件确定一次函数表达式的方法，会画一次函数图像。探究并掌握一次函数性质，并用之解决实际问题。 过程与方法：通过例题讲解，使学生体会一次函数性质及应用。 情感态度与价值观：体会函数作为数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。 重点 应用一次函数的概念、图像和性质解题 难点 一次函数在实际问题中的应用 教学方法 课型 练习 教具 多媒体 教学过程： 一、根底练习 1.如图1，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，， 直线2y x =过点A ，那么不等式20x kx b <+<的解集为〔 〕 A ．2x <- B ．21x -<<- C ．20x -<< D ．10x -<< 2.如图2，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线x y =上 运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为〔 〕 A.〔0，0〕 B.〔－1，－1〕 C.〔－21，－2 1〕 D.〔－22，－22〕 3.沪杭高速铁路已开工建设，在研究列车的行驶速度时， 得到一个数学问题．如图3，假设v 是关于t 的函数，图象为 折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,80 17(C ， 四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51 B ．163 C ．807 D ．16031 4.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点 的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 个案修改 y x O B A 〔2题〕 y O x B A 〔1题〕 O 1t 2t A B C t v 3508017〔3题〕 (米) (分) 乙甲5000 4000 3000 2000 1000 2015105O x y A
3.3 实数 第1课时 【教学目标】 1. 了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力. 2. 了解分类的标准与分类结果的相关性. ⒊了解实数范围内相反数和绝对值的意义. 【教学重点】 了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，了解实数范围内相反数和绝对值的意义. 【教学难点】 了解分类的标准与分类结果的相关性, 培养分类的能力. 【教学过程】 一、新课引入 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？ .01...(1010010001.0,2,3 2,,9,414.1,0,23）之间逐次增加一个相邻两个-π 有理数 ； 无理数 . 二、自主探究 ⒈实数的概念： 有理数和无理数统称为 ； 所有实数组成的集合叫作 . 实数分为正实数、零、负实数 ⒉实数的分类: 实数}⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧) (无限不循环小数无理数小数有限小数或无限不循环分数 整数有理数 实数⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数0 ⒊探究：实数与数轴
已经知道，每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 试问：每一个无理数是不是也可以用数轴上唯一的一个点来表示呢？ 实数与数轴上的点的关系：数轴上找到表示2的点. 总结归纳：⑴每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. ⑵数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 上面两个结论结合起来可以简洁地说成： ⒋实数的相反数、绝对值、倒数 ⑴与有理数的情形类似，如果两个实数 ，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数，也说它们互为相反数. 例如2与 互为相反数，0的相反数是 ， 实数a 的相反数记为 . ⑵在数轴上，表示一个数的点 叫作这个实数的绝对值. 例如2-= ，2= . ⑶对一个非零实数a ，存在一个实数记作 a 1，我们把a 1叫作a 的 . ⒌归纳：⑴一个正实数的绝对值等于 ； ⑵一个负实数的绝对值等于 ； ⑶0的绝对值等于 ； ⑷互为相反数的两个实数的绝对值 . 三、应用迁移 （一）典例精析 例1 求下列各数的相反数和绝对值： .14.3,3--π －2 －1 0 1 2 B A 22
第3章实数 一·实数的组成 实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二·相反数、绝对值、倒数 1.相反数：只有符号不同的两个数称为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为 a 1.0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a ≥0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 正确理解：、、、 几个性质：、、、 四·实数的运算 1.有理数的加法法则： a ± a a - a ±3a | |a 2 a a =()2a a=33a a= 3a ()33a a= ()0≥a
a ）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a ）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零． b ）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c ）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则： a ）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。 b ）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5.有理数的乘方: 在a n 中，a 叫底数，n 叫指数 a ）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0 b ）a 0=1（a 不等于0） 6.有理数的运算顺序： a ）同级运算，先左后右 b ）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减 五·实数大小比较的方法 1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2）比差法：若a-b>0则a>b ；若a-b<0则a1则a>b ；a/b<1则a1则ab C.一正一负时，正数>负数 4）平方法：a 、b 均为正数时，若a 2>b 2，则有a>b ；均为负数时相反 5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负） 二次根式知识点归纳 定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。 性质：1、 a （a ≥0)是一个非负数。即a ≥0 2、()a a =2（a ≥0)
第3章 实数 3.1 平方根 第1课时 平方根、算术平方根 1.能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.(重难点) 2.理解开平方与平方两者之间的联系与区别. 3.认识非负数的平方根的特点.(重点) 自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题. (一)知识探究 1.平方根：如果有一个数r ，使得r 2＝a ，那么我们把r 叫作a 的一个平方根，(±r)2＝a ，所以a 的平方根有且只有两个：r 与－r ；算术平方根：把a 的正平方根叫作a 的算术平方根. 2.正数a 的平方根表示为±a ；算术平方根表示为a ；负平方根表示为－ a. 3.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数. 4.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作0，负数没有平方根. 5.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算. (二)自学反馈 1.25的平方根是±5，3是9的算术平方根. 2.3表示3的算术平方根；如果－x 2有平方根，那么x 的值为0. 3.切一块面积为16 cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？ 解：4 cm. 活动1 小组讨论 例1 分别求下列各数的平方根：36，259 ，1.21. 解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±36＝±6. 由于(53)2＝259，因此259的平方根是53与－53，即±259＝±53. 由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即± 1.21＝±1.1. 求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.
例2 分别求下列各数的算术平方根：100，1625 ，0.49. 解：由于102＝100，因此100＝10. 由于(45)2＝1625，因此1625＝45. 由于0.72＝0.49，因此0.49＝0.7. 活动2 跟踪训练 1.下列说法不正确的是(C) A.－2是2的平方根 B.2是2的平方根 C.2的平方根是 2 D.2的算术平方根是 2 一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根. 2.求下列各式的值： (1)± 2.89；(2)－256169；(3)1916；(4)±（－11）2. 解：(1)±1.7.(2)－161 3.(3)54 .(4)±11. 活动3 课堂小结 本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算. 第2课时 无理数、用计算器求算术平方根 1.理解无理数的概念和它的本质特征.(重点) 2.正确使用计算器求一个数的算术平方根.(重点) 自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题. (一)知识探究 1.无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：(1)圆周率：π；(2)开方不尽的数：如2；(3)特殊规律的数，如：0.010__010__001…. 2.用计算器求正数a 的平方根：按 键→输入数字a →按＝键.
3.3实数 第1课时 实数的概念 【知识与技能】 从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 【过程与方法】 让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系 . 【情感态度】 培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点. 【教学重点】 无理数、实数的概念和实数的分类. 【教学难点】 无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系. 一、情景导入，初步认知 我们在前面学过无理数，什么样的数是无理数呢？举例说明？ 【教学说明】复习相关内容，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 2、0、1、414、9、π、-3 2、3 2、0.1010010001… （相邻两个1之间逐次增加一个0） 【教学说明】学生自己回忆有理数、无理数的分类，为引入实数的概念及分类作好铺垫． 【归纳结论】有理数和无理数统称为实数.
2.根据实数的概念，你能对实数分类吗？ 【归纳结论】实数以概念可分为： 【教学说明】通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解. 3.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢？ 思考：如何用数轴上的点表示无理数8和-8？我们已经知道，一个面积为8的正方形的边长是8，因此我们以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与正半轴的交点M就表示8，与负半轴的交点N就表示-8，如图所示： 这样，我们就分别用数轴上唯一的一个点表示出了无理数8和-8.事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 【归纳结论】每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.即：实数和数轴上的点一一对应. 4.实数从正负性又如何分类呢？ 【归纳结论】实数分为正实数、零、负实数. 5.有理数中有互为相反数的两个有理数，那么实数中有没有互为相反数的两个实数呢？举例说明. 6.对于实数a的绝对值，又是什么样的呢？ 【归纳结论】设a表示一个实数，则：
一、平方根 1.定义:如果有一个数r,使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 2.记法与读法:正数a的平方根可以用“±”来表示,读作“正、负根号a”. 3.平方根的性质 如果r是正数a的一个平方根,那么a的平方根有且只有两个:r与,0的平方根是0;负数没有平方根. 二、算术平方根 1.正数a的叫作a的算术平方根. 2.记法与读法:正数a的算术平方根用“”来表示,读作“根号a”. 三、开平方 1.定义:求一个非负数的平方根的运算,叫作开平方. 2.开平方与互为逆运算. 四、无理数 定义:小数叫作无理数. 探究一:平方根的求法 【例1】判断下列各数是否有平方根,若有,求出它们的平方根. (1)2;(2)-2;(3)0;(4)-2.
【导学探究】 因为2,0,-2都是数,所以(填“有”或“没有”)平方根,-20,所以(填“有”或“没有”)平方根. 变式训练1-1:(2013资阳)16的平方根是() (A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8 变式训练1-2:下列说法中,正确的是() (A)9的平方根是-3 (B)-25的平方根是-5 (C)任何一个非负数的平方根都是非负数 (D)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数 变式训练1-3:一个数的平方根是±8,则比这个数大36的数的平方根是. 探究二:算术平方根的求法 【例2】求下列各数的算术平方根. (1)(-3.9)2;(2)0.81;(3)12. 【导学探究】 对于(1)应先计算(-3.9)2=,再计算它的算术平方根. 对于(3)应把带分数化成. 变式训练2-1:(2013珠海)4的算术平方根是() (A)-2 (B)2 (C)±2 (D)±4 变式训练2-2:下面四个数中,没有算术平方根的是() (A)|-2|(B)(-2)2 (C)-(D)- 变式训练2-3:求下列各数的算术平方根. (1)100;(2)1;(3);(4)0.0081;(5)0.