第六章 实数 6.2 实数
第1课时：实数概念与分类
教学目标：1．掌握无理数和实数的概念，掌握实数的两种分类方法．
2．理解实数与数轴之间的对应关系．
3．了解估算与逐步逼近的数学思想方法，培养学生的探究能力．
教学重点：无理数和实数的概念．
教学难点：无理数的概念的引入，实数的分类．
教学方法：探究、讨论．
教学过程：
一．复习：⒈平方根、算术平方根、立方根的概念．
⒉如果一个数平方是3，那么这个数是多少？如果一个数的立方是3，那么这个数是多少？ 333
⒋有理数的概念：整数和分数统称为有理数．有理数的分类．
⒌分数：有限小数和无限循环小数．无限循环小数化为分数的方法要复习．
设 1.3x =&，则14133
x =+=，0.3x =&，10 3.3x =&，1030.3x =+&，略． 二．新课：
⒈设置问题情景：①在正方形网格中找面积为1、4、9的正方形；②在正方形网格中找面积为2、5、10的正方形．
说明：通过这项交流和探究活动，培养学生的观察能力，探索能力． 2510 2：2112=<，2242=>，所以122<<2不是整数；
21.4 1.962=<，21.5 2.252=>，所以1.42 1.5<<；1.412 1.42<<， 如此，逐步逼近，可知1.4142 1.415<<2 1.4142135=L
说明：①研究方法：是逐步逼近的方法；②比较两个数大小的方法：平方法．
⒊例1510
②2245=<，2395=>，所以253<<5
③23910=<，241610=>，所以3104<<10
例2：比较11120
解：方法1：因为11121= 11121120=>11120⒋无理数的概念：
引入：比较如下的数的区别：0、1、1.414、.09123&&&、0.1001000100001…….、π5
⑴有理数、分数与有限小数、无限循环小数之间的关系．
⑵无理数：无限不循环小数叫无理数．
⑶无理数的分类：正无理数的负的无理数．注意：0是有理数．
⑷例举无理数：π23512032-37-316
⒌实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
⒍实数的分类：
①按有理数与无理数分②按数的性质分
⒎实数与数轴上的点的对应关系：
2，π，－3π．
三．练习：
四．归纳小结：
⒈①研究方法：是逐步逼近的方法；②比较两个数大小的方法：平方法．
⒉无理数的概念．准确找出一组数中的无理数．
⒊实数的概念与分类．
实数（1）练习题
一、选择题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）．
A ．3.14
B ．12
- C ．0 D 32．下列各组数中，都是无理数的一组是（ ）．
A ．带根号的数都是无理数
B ．无限小数是无理数
C ．数轴上的点都表示实数
D ．无理数只含有正无理数和负无理数
3．下列命题中，正确的是（ ）．
A ．在实数中没有绝对值最小的实数
B ．最小的实数是0
C ．64的立方根是±4
D ．当||0a a -=时，a 为非负数
4．下列各数中32212.3, 3.1415,,0.9,8,1.010*********π----&L L
无理数的个数有( ) A ． 3个 B ．4个 C ．5 个 D ．6个
5．在13，24，6
π中，分数的个数是（ ）个．A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 610 ）．
A ．1102<<
B ．2103<<
C ．3104<<
D ．4105<<
7．数轴上所有的点所表示的数是（ ）．
A ．全体有理数
B ．全体无理数
C ．全体实数
D ．全体整数
8．下列判断正确的有（ ）个．
A ．a 是一个实数，则2a 的算术平方根为a
B ．a 是一个实数，则2
a 的算术平方根为a ±
C ．a -没有平方根
D ．实数a 是2a 的一个平方根
9．下列各数中最小的数是（ ）．
A ．－2
B ．2-
C 0.01
D ． 1.2-10．数轴上的原点和原点左边的所有点表示的数是（ ）．
A ．负有理数
B ．负实数
C ．零和负有理数
D ．零和负实数
二、填空题
11． 叫做无理数．
12．数轴上的点和 建立了 关系，从而将数和形结合起来．
137的自然数有 个．
14．用“＜”或“＞”号填空3 5
15．用“＜”或“＞”号填空43 34． 16．点M 在数轴上与原点相距5个单位，则点M 所表示的实数为 ．
17．数轴上到3-的点的距离为3的点所表示的数是 ．
18．在实数3-、2、0、0.35&&、2
π、37、0.1010010001L 、327中，有理数有 个． 19． 1.4（误差小于0.1）≈ ．
20．3250（误差小于1）≈ ．
三、解答题
21．把下列各数填入相应的集合内．
32、16、8、π-、12
π、5-、36、0、0.5757757775L 、（相邻两个5之间的7的个数逐次增加）、0.3、0.01-
有理数{
}、无理数{ } 整数{ }、 分数{
} 实数{
} 22．在数轴上画出表示5-的点．
23．已知实数x 、y 满足223(235)0x y x y --+--=，求8x y -的平方根和立方根．
24．若2 1.414=，14.14a =，请你求出a 的值．
实数 知识点一：无理数 1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意： （1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数． （4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质： 设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． 4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． 二、知识点+例题+练习
例题精讲 一、无理数的判断 1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】 0；3 22 7 ；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】因为0 22 7 3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ． 【变式训练1-1】在，–2018 ，π这四个数中，无理数是 A ． B ．– 2018 C D ．Π 【答案】D 知识点二：实数的概念与分类 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 2、实数的分类： （1）实数按定义分类： 0???????????? ???????? ??? ???? ???????????????????? 正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ( 2 )按正负分类： 22 7227
九年级数学中考复习第1课时 实数的有关概念及运算 知识回顾: 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有3类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、科学记数法 把一个数写做n a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法: （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数， ,0b a b a >?>-
基本概念 实数可以分为有理数和无理数两类，有理数（有限小数或无限循环小数）可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数（无限不循环小数）可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。 2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a| ①a为正数时，|a|=a（不变） ②a为0时， |a|=0 ③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值） (任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。) 3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0） 4）数轴 （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 （2）数轴上的点与实数一一对应。 实数分类 按性质分类是：正数、负数、0； 按定义分类是：有理数、无理数
四则运算封闭性 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。 实数集有序性 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a
6.2 实数 第1课时 实数的概念及分类 【教学目标】 1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类. 2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系. 【教学重点】 无理数、实数的概念. 【教学难点】 无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解. 教学过程 一、组织教学，复习提问 1.有理数是怎样分类的？ 有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数负整数零分类⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数或有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩ ⎪⎨⎪⎧负整数负分数 2.把下列各数填在相应的括号里. －2，－34，－2.5，0，0.3·，1，43，227，34，12，－0.81·· 整数：{ } 分数：{ } 归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的
形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式. 多媒体课件展示图1和图2及思考题： 图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？ 二、创设情境，引入新课 1.创设情境. 问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？ (2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？ (3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？ 师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然后回答问题. 生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3. 生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面
数学实数知识点 在日复一日的学习中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点也可以通俗的理解为重要的内容。那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺帮大家整理的数学实数知识点（精选8篇），仅供参考，欢迎大家阅读。 数学实数知识点1 实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。 1、实数的分类：有理数和无理数 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上点一一对应。 3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。(若a与b护卫相反数，则a+b=0) 4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。 5、倒数：乘积为1的两个数 6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。(平方和立方) 7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)。一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。) 数学实数知识点2 1.数的分类及概念数系表： 说明：分类的原则：
1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.0 4.相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5.数轴： ①定义(三要素) ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数) 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n(n为自然数) 7.绝对值： ①定义(两种)： 代数定义：xxxx 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│0,符号││是非负数的标志; ③数a的绝对值只有一个; ④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。 数学实数知识点3 实数：—有理数与无理数统称为实数。 有理数：整数和分数统称为有理数。
实数的概念和运算 实数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。本文将介绍实数的概念、实数的分类以及实数的基本运算。 一、实数的概念 实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数两部分。有理数是可表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能以有限或无限循环小数的形式精确表示。 实数的表示形式有多种，最常见的是十进制表示法，即小数形式。实数可以表示为有限小数或无限循环小数，例如：- 有限小数：0.25、1.5、3.78 - 无限循环小数：1.333...、2.71828... 除了十进制表示法，实数还可以用分数形式表示，例如： - 分数形式：1/2、3/4、5/7
实数的性质包括可加性、可乘性等，使其成为数学中重要的研究对象。 二、实数的分类 根据实数的性质，我们可以将实数进行进一步的分类。实数可以分为有理数和无理数。 1. 有理数 有理数包括整数、分数和整数部分为0的小数。有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且结果仍为有理数。 整数是正整数、负整数和零的集合，例如：-3、0、1、2。整数之间的运算遵循基本的数学规则。 分数是两个整数的比值，例如：1/2、3/4、5/7。分数之间的运算同样遵循基本的数学规则。 2. 无理数
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们无法用分数或 小数的形式精确表示。常见的无理数有根号2、圆周率π等。 无理数与有理数的主要区别在于其十进制表示不会出现周期性 循环，例如根号2的十进制表示为1.41421356...，没有规律的循环。 三、实数的基本运算 实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。下面将依次介 绍这些运算。 1. 加法 实数的加法运算是指将两个实数相加，求得它们的和。加法运 算遵循交换律和结合律。 例如，将实数-2和实数3相加，得到： -2 + 3 = 1 2. 减法
第一讲 实数 一、实数的相关概念： 1.实数的分类： {} ⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 2. 偶数：为自然数）n n (2 奇数：为自然数） n n (12- 3. 相反数 →只有符号不相同的两个数（“0”的相反数是“0”） ①表示：表示一个数的相反数，就是在这个数的前面加“—”号 如：a −− →−相反数—a ；a —b −−→−相反数 —（a —b ）=b —a ②性质特征：互为相反数的两个数，和为零。 4. 倒数→乘积为“1”的两个数（“0”没有倒数） ①表示：a −−→−倒数a 1 ②特征：互为倒数的两个数积为“1” （若a 与b 互为倒数，则ab=1） 5. 绝对值→就是数轴上表示这个数的点到原点的距离. (互为相反数的两个数绝对值相等) ︱a ︱=︱—a ︱；︱a —b ︱=︱b —a ︱ ︱a ︱=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>000 0a a a a a ⎪⎩ ⎪⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab 6.平方根、算术平方根、立方根： (1) 一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.(记作a ). (2) 一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根. (3) 正数有两个平方根（±a ），它们互为相反数；其中正的平方根（a ≥0）是它的算术平方根. (4) “0”的平方根只有一个，就是“0”;负数没有平方根. (5)完全平方数→平方根是整数的数 如：0，1，4，9，16，…… (6)立方根（3a ）,正数的立方根是正数; “0”的立方根是“0”;负数的立方根是负数 二、数轴: 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度 2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,但数轴上的任
【初中数学】初中数学知识点：实数的定义实数定义： 实数由有理数和无理数组成。无理数是无限的非循环小数，而有理数包括整数和分数。 数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。 实数最初只被称为实数。后来，虚数的概念被引入。最初的数字被称为“实数”—— 意思是“实数”。 实数的定义分析： 1.实数可以分为有理数（如31 ）和无理数（如π、 )两种类型，或代数数和超越数，或正数、负数和零。 2.实数集合通常用字母“r”表示。实数可以用来测量连续的量。 3.理论上，任何实数都可以用无穷小的形式表示。小数点右边是一个无限的数字序列（可以是循环的，也可以是非循环的）。 在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。 4.一般来说，正实数和零被称为分数负数，负实数和零被称为非正数。 5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。 实数的性质： 1.基本运算： 实数可以实现的基本运算包括加法、减法、乘法、除法、平方等。平方运算也可以用 于非负数。 实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。 任何实数都可以开奇数次方，结果仍然是实数。只有非负实数可以被开为偶数次方， 结果仍然是实数。 有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用： A+Ba:A+B=交换律 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
分布规律：a（B+C）=AB+AC 2.实数的相反数： 相反数量的实数与相反数量的有理数具有相同的含义。 实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。 实数a的相反数是-a，a和-a到数字轴上原点0的距离相等。 3.实数的绝对值： 实数的绝对值与有理数的绝对值具有相同的含义。正实数的绝对值等于它本身； 一个负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0,实数a的绝对值是：|a| ① 当a为正数时，|a |=a（不变） ②a为0时，|a|=0 ③ 当a为负时，|a |=a（a的对立面） (任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。) 4实数的倒数： 实数的倒数与有理数的倒数一样，如果a表示一个非零的实数，那么实数a的倒数是：1/a（a≠0） 实数分类： （1）按定义分类： 正整数 整数｛零 负整数 有理数｛｝有限小数或无限循环小数 真分数 分数｛ 实数{负分数 正无理数
实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32 ,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后 π+8等； 含有π的数，如 3 （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o等
平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a”，读作根号a。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意a的双重非负性： a≥0 3、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数， （3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。
知识点1:实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数• 1）整数和分数统称为有理数； 2）圆周率n 是- -个无理数. 2、无理数也有正、负之分. 如如2、二、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数； -2、七、■0.10100100010000111）这样的数叫做负无理数；
只有符号不同的两个无理数，如.2与-• 2，二与-二，称它们互为相反数
3、有理数和无理数统称为实数. (1)按定义分类 (2 )按性质符号分类 '宀「正有理数 正实数2 斗 正无理数 实数0 负实数i负有理数 负无理数 【例1】填空： 1、若一个数不是有理数，那这个数一定是______________ 数； 2、-73 _____ 正数，_______ 数，________ 无理数； (填“是”或“不是”) 3、圆的周长与直径的比值_____ 常数，_______ 有理数，____ 无理数.(填“是”或“不 是”) 【例2】已知四个命题，正确的有( ) (1)有理数与无理数之和是无理数；(2) 有理数与无理数之积是无理数 (3)无理数与无理数之和是无理数；(4) 无理数与无理数之积是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C . 3个 D . 4个【例3】判断正误，在后面的括号里对的用7，错的记“ 乂表示. (1)实数不是有理数就是无理数. ( ) (2)无理数都是无限不循环小数. ( ) (3)带根号的数都是无理数. ( ) (4)无理数都是无限小数. (5)无理数一定都带根号. (6)两个无理数之和一定是无理数. (7)两个无理数之积不一定是无理数. ( ( ) ( ) ( ) ) 实数有理数 无理数 分数有限小数或无限循环小数—.无限不循环小数
专题一实数与整式的基本概念 第一课时 数与式的基本概念 知识点一 实数 1按定义分类： 实数 2、 相反数 (1) ____________________________ 定义：实数a 的相反数是 ； 0的相反数是 ； (2) _________________________________________________ 性质：若实数 a ,b 互为相反数，则 ____ ;反之，若 a+b=O ，贝U ________________________________________ 。 3、 倒数 (1) ____________________________ 定义：实数 a 的倒数是 ; 没有倒数。 (2) 性质：实数 a ,b 互为倒数，则 ________________ ;反之，若 _______________ ，贝H ______________ 。 4、 绝对值 (1) 定义：数轴上表示数 a 的点到原点的 ______________ (2) 性质 ________________ 非负性，即 a 0. f 化简a = * 5、 平方根 一般地，若 _____________ ，则x 叫做a 的平方根或二次方根，记作 一 a 。一个正数有 _______ 个平方根，它们 互为 _____________ ； 0的平方根是 _______ ；负数 ___________ 平方根. 6、 算术平方根 一般地，若 _____________ ( x 工0 ),则x 叫做a 算术平方根，记作 4a 。0的算数平方根是 _____________ 。 7、 立方根 一般地，若 _______________ ，则x 叫做a 的立方根或三次方根，记作 Va 。正数的立方根是 __________ , 0的立 按正负分类: 实数
实数的定义和分类 一、实数的定义和分类 1、无理数 无线不循环小数叫做无理数。如$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{-3}$，$π$等都是无理数。 无理数包含正无理数和负无理数。 2、常见的无理数 （1）所有开方开不尽的方根，如$\sqrt{5}$。 （2）化简后含有$π$的数，如$-\frac{π}{3}$。 （3）无限不循环小数，如$0.320\ 020\ 263 \cdots$。 3、实数 （1）实数的定义 有理数和无理数统称为实数。 （2）实数的分类 ① 按定义分类 实数分为有理数和无理数。 有理数分为正有理数、0、负有理数。 无理数分为正无理数、负无理数。 ② 按正负分类 实数分为正实数、0、负实数。 正实数分为正有理数、正无理数。 负实数分为负有理数、负无理数。 4、实数与数轴上的点的对应关系 我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，而有理数和无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上
的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴 上的每一个点都表示一个实数。 5、实数的性质 （1）数$a$的相反数是$-a$，这里$a$表示任意一个实数。 （2）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即设$a$表示一个实数，则 $\displaystyle{}|a|=\begin{cases}a,当a>0时;\\0,当a=0时;\\-a,当a<0时。 \end{cases}$ （3）实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$$(a≠0)$，若$a$与$b$互为倒数，则$ab=1$； 若$ab=1$，则$a$与$b$互为倒数。 6、实数的运算 （1）实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 （2）实数运算的顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要 先算括号里面的。实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算 律和去（添）括号法则同样适用于实数。 （3）比较实数大小的常见方法 ① 把根号外的正数平方后移入根号内，由被开方数的大小比较根式的大小；对于符 号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小。如：同是正号的两个平方根式，平方后大的 根式，原根式也大；同是负号的两个平方根式，平方后大的根式，原根式反而小。 ② 作差法比较：若$a-b>0$，则$a>b$；若$a-b<0$，则$a
实数基本概念 实数基本概念及应用 一、实数的定义与性质 1.1 实数的定义 实数是由有理数和无理数组成的数。其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。 1.2 实数的性质 实数具有连续性、完备性、有序性等性质。连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。 二、实数的表示方法 2.1 有限小数表示法 有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。例如，123.45表示为有限小数123.45。 2.2 无限小数表示法 无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。 三、实数的运算 3.1 加法运算 实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。 3.2 减法运算 实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。 3.3 乘法运算
实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。 3.4 除法运算 实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。 3.5 指数运算 实数的指数运算可以使用幂运算进行。即a^b=c，则log(a)c=b。 3.6 对数运算 实数的对数运算可以使用指数运算进行。即log(a)b=x，则a^x=b。 四、实数在生活中的应用 4.1 测量中的应用 实数在测量中有着广泛的应用。例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。 4.2 工程中的应用 在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。 4.3 经济中的应用 在经济学中，实数被广泛应用于衡量各种经济指标。例如，GDP、CPI、PPI等都可以用实数来表示。 五、实数的扩展概念 5.1 复数 复数是指具有虚部和实部的数。虚部表示的是纯虚数，即不具有实际意义的数。复数的实部和虚部分别表示为z=a+bi中的a和b。复数的加法、减法、乘法和除法运算都遵循一定的规则。复数的应用广泛存在于物理学、工程学、计算机科学等领域。
中考实数的分类知识点 中考实数的分类知识点大全 在我们平凡的学生生涯里，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺精心整理的中考实数的分类知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。 中考实数的分类知识点篇1 1)可以分为整数,分数 整数又可分为正整数,0,负整数 分数又可分为正分数,负分数 2)可以分为正数,0,负数 正数又可分为正整数,正分数 负数又可分为负整数,负分数 中考实数的分类知识点篇3 实数有如下的分类方法: 如果按有理数和无理数分类，则有：实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数。 由于有理数和无理数都有正负之分，如果按正负概念为标准，实数又可分类为：实数正实数正有理数正无理数零负实数负有理数负无理数 这里应当注意: (1)有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数，例如12=0.5(有限小数)，13=0.3(无限循环小数)。 (2)无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数。 (3)有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不循环小数不能化为分数，它是无
中考实数的分类知识点篇4 无理数： 无限不循环小数叫无理数 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ①实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 相信通过上面对实数知识的内容讲解学习，可以很好的帮助同学们对此知识的巩固学习吧，希望同学们在考试中取得优异成绩。 中考数学知识点精讲：代数式 对于初中数学代数式的学习，我们做了下面的内容归纳讲解，希望同学们好好学习下面讲解的知识 代数式： 单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项： ①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 ②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 ③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指
实数的概念 实数可以分为有理数与无理数两类，或代数数与超越数两类，或正实数，负实数与零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，与不变．即： ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，与不变．即： 2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)
3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相 乘。 （2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。③分配律：一个数同两个数的与相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，
实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即： 2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b） 3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0 的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即： ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：． 4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0 不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个 a 相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。实数计算的常见类型及方法 一、实数的运算 （1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。 （2）减法a-b=a+（-b） （3）乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得 零．即
专题一 实数 （一） 实数的有关概念 1. 概念： (1)有理数: 和 统称为有理数。 （2）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （3）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （4）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1 a .则 。 （5）绝对值： 代数定义： a （a ＞0 ） ∣a ∣＝ 0 （a ＝0 ） -a （a ＜0） 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 （6）无理数： 小数叫做无理数。 （7）实数： 和 统称为实数。 （8）实数和 的点一一对应。 2.实数的分类: 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数
3.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字 的有效数字。 （二） 实数的运算： 1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1)有理数加法法则： ①同号两数相加，取__ __的符号，并把__ __ ②绝对值不相等的异号两数相加，取___ __的符号，并用 ___ ___。互为相反数的两个数相加得_ _。 ③一个数同0相加，__ __。 (2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上__ _。 (3)有理数乘法法则： ①两数相乘，同号_ _，异号__ __，并把__ 。任何数同0相乘， 都得__ __。 ②几个不等于0的数相乘，积的符号由__ __决定。 当__ ___，积为负，当___ __，积为正。 ③几个数相乘，有一个因数为0，积就为___ . (4)有理数除法法则： ①除以一个数，等于___ ___.__ __不能作除数。 ②两数相除，同号_ _，异号_ _，并把_ _。 0除以任何一个 ____________________的数，都得0 (5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数， 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则： 先算________，再算__________，最后算___________。 如果有括号，就_______________________________。 2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 3.运算律 （1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。 （3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。 （5）乘法分配律：_________________________。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法： a b -＞0a ⇔＞b ，a b -=0a b ⇔=，a b -＜0a ⇔＜ b （2）商值比较法： 若a b 、为两正数，则a b ＞1a ⇔＞b ；1;a a b b =⇔=a b ＜1a ⇔＜b （3）绝对值比较法： 若a b 、为两负数，则a ＞b a ⇔＜b a b a b a =⇔=；；＜b a ⇔＞b （4
实数的概念及性质 篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算 实数的概念 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即： ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即： 2、减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b) 3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：． 4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号