6.3 实数(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系．
2．内容解析
本节在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围．本章的内容在中学数学中占有重要地位，它不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及锐角三角函数等知识的基础，也是学习高中数学中的函数、不等式等知识的基础．学生在七年级上学期学习了有理数，在本章前两节的学习过程中知道了许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数．本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引入无理数，揭示出有理数和无理数的联系与区别，有助于学生理解实数的定义．随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数．接着类比用数轴上的点表示有理数指出实数与数轴上的点的一一对应关系．实数的概念贯穿于中学数学学习的始终，学生对实数的认识是逐步加深的．
基于以上分析，本节课的教学重点：了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系．
二、教材解析
教材采用与有理数对照的方法引入无理数，并给出实数的概念和分类．随着无理数的引入，数的范围从有理数扩充到实数，这个扩充过程既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化．教材通过探究在数轴上画出表示 和2的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数的范围由有理数扩充到实数后，数轴上的点与实数就是一一对应的．
二、教学目标和目标解析
1．教学目标
(1)了解无理数和实数的概念．
(2)知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想．
2．目标解析
(1)给出一些实数，会辨析哪些是有理数，哪些是无理数，并能自己举例说明．
(2)能在数轴上找到表示2，π 这样的无理数的点，知道给定一个实数，数轴上就有唯一确定的点与之对应；反之，数轴上给定一个点，就有唯一的实数与之对应．
三、教学问题诊断分析
无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其严格的数学定义非常高深，再加上初中生对无理数几乎没有任何感性认识，甚至对无理数是否真正存在还有质疑，因此认识无理数就成了初中学习中的一个难点．为了突破这一难点，应从学生熟悉的有理数入手，通过与有理数对照的方法引入无理数的概念，进而揭示出有理数和无理数的联系与区别．
基于以上分析，本节课的教学难点：对无理数的认识．
四、教学过程设计
1．探究新知
问题1 有理数包括整数和分数，如果将下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 25，－53，4
27，911，119． 预案：如果学生不能正确得到结论．教师追问：你能否从这些小数的形式特点上来加以说明？如果学生能正确得到结论，教师再问：任意写一个分数，一定都能写成有限小数或无限循环小数的形式吗？请举例说明．
师生活动：教师引导学生观察，得到结论：如果把整数看成小数点后是0的小数，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，教师直接给出结论：任何有限小数和无限循环小数也都是有理数．
【设计意图】让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．学生举例，可能会出现循环节是多位的循环小数，教师要充分引导，以进一步加强学生的认识．
问题2 你认为小数除了上述类型外，还会有什么类型的小数？
师生活动：通过对数的归纳辨析，与有理数对照，师生共同归纳出前两节学过的一些平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不同于有限小数和无限循环小数，是一类不同于有理数的数，由此教师给出无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．并指出π＝3.141 592 65…也是无理数．像有理数一样，无理数也有正负之分．例如：2，33，π 是正无理数，－2，－33，－π是负无理数．进而给出实数的概念及实数的分类：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0
【设计意图】让学生回忆曾经学过的无限不循环小数是不同于有理数的数，为教师引出无理数的概念作准备．
问题 3 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数分类吗？
师生活动：教师在参与讨论时，启发学生类比有理数的分类，明确分类的基本原则：按照某个标准，不重不漏．学生独立思考后，小组讨论得到
【设计意图】通过学生互相讨论和交流，可以加深对无理数和实数的理解，同时让学生明确实数的分类可以有不同的方法，初步形成对实数整体性的认识．
例1 下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
5，3.14，0，3，－
3
4，75.0 ，－4，－π，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．
师生活动：学生根据有关概念进行判断．
【设计意图】对有关概念进行辨析．
问题 4 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示无理数2的点吗？ 师生活动：学生独立思考后小组讨论交流，借助上节课2的得出方法和手中的学具进行操作(图1)．
图1
【设计意图】通过具体操作，让学生知道无理数也可以在数轴上表示．
问题5 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′ 对应的数是多少？
⎪⎩
⎪⎨⎧负实数0正实数
实数
师生活动：教师参与并指导实际操作，指出无理数π可以用数轴上的点表示出来(图
2)．本节由于学生知识水平的限制，学生不可能也不必要将所有无理数都用数轴上的点表示出来，所以解决了问题4，5后，教师直接给出实数与数轴上的点是一一对应的结论．
图2
【设计意图】通过直径为1个单位长度的圆在数轴上的滚动，让学生知道无理数 π 也可以在数轴上表示．
2．应用新知
例2 判断正误，并说明理由．
(1) 无理数都是无限小数；
(2) 实数包括正实数、0、负实数；
(3) 不带根号的数都是有理数；
(4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数． 师生活动：学生根据有关概念进行判断．
【设计意图】对有关概念进行辨析．
例3 把下列各数填入相应的集合内：15，4，16，3
2，273-，0.15，－7.5，－π，0，2.3
． ①有理数集合：｛ …｝；
②无理数集合：｛ …｝；
③正实数集合：｛ …｝；
④负实数集合：｛ …｝．
练习
(1)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0．4583，3.7 ，－π，－7
1，18，－2． (2)在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数．
…
… 有理数集合
无理数集合
3．归纳小结
(1)举例说明有理数和无理数的特点是什么？
(2)实数是由哪些数组成的？
(3)实数与数轴上的点有什么关系？
师生活动：学生回答，明确有关概念与结论．
【设计意图】让学生对本节知识进行梳理，进一步落实相关概念．
4．布置作业
教科书习题6.3第1，2题，第61页复习题6第6题．
五、目标检测设计
1．判断下列说法是否正确：
(1)无限小数都是无理数；
(2)无理数包括正无理数、零、负无理数；
(3)带根号的数都是无理数．
【设计意图】本题考查学生对无理数概念的了解．
2． 与数轴上的点一一对应．
【设计意图】本题考查学生是否知道实数与数轴上的点一一对应的关系．
3．下列各数中是无理数的是( )．
A ．16
B ．3．14
C ．11
3 D ．－π 【设计意图】本题考查学生是否会辨析有理数与无理数．
4．把下列各数填入相应的集合内：3
1，0，5，3，52，7－3，0.75，－11.5， －π．
①有理数集合：｛ …｝；
②无理数集合：｛ …｝；
③正实数集合：｛ …｝；
④负实数集合：｛ …｝．
【设计意图】本题考查学生是否会对实数进行分类．
5．在数轴上画出表示－2的点．
【设计意图】本题考查学生是否会在数轴上表示－2这个无理数．
6.3实数 第1课时实数的有关概念 关键问答 ①无理数有几种常见的表现形式？ ②数轴上的每一点都可以表示一个什么样的数？1．①2017·滨州下列各数中是无理数的是() A. 2B．0 C. 1 2017D．－1 2．②如图6－3－1，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合(提示：圆的周长C＝2πr)，把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是________，属于__________(填“有理数”或“无理数”)． 图6－3－1 命题点1无理数[热度：90%] 3．③下列说法正确的是() A．无理数就是无限小数 B．无理数就是带根号的数 C．无理数都是无限不循环小数 D．无理数包括正无理数、0和负无理数 易错警示 ③(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限且不循环，不能表示成分数的形式．
(2)常见的无理数有三种表现形式：化简后含π的数；有规律的无限不循环小数，如：1.3131131113…；含有根号且开方开不尽的数，如5，3 6. 4．④ 在下列各数：0.51525354…，0，0.2，3π，227，9，39，13111，27中，是无理数 的有________________________． 方法点拨 ④一个数不是有理数就是无理数，识别一个数是不是有理数，只需看其是不是整数或分数即可． 5．有一个数值转换器，原理如图6－3－2所示：当输入的x 为256时，输出的y 是________． 图6－3－2 6．⑤ 在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有多 少个？ 方法点拨 ⑤分别找出1～100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，即可得出无理数的个数． 命题点 2 实数的概念与分类 [热度：95%] 7．⑥下列说法中，正确的是( ) A ．正整数、负整数统称整数 B ．正数、0、负数统称有理数
实数 学习目标： 1、了解实数的概念，能对实数按要求进行分类。 2、了解实数X 围内，相反数、倒数、绝对值的意义，能求出实数的相反数、倒数、绝对值。 3、知道实数与数轴上的点一一对应，会比较两个实数的大小。 重点及难点： 重点：对实数进行正确分类，能求出实数的相反数、倒数、绝对值。 难点：实数的分类及实数与数轴上的点的关系。 教学方法：自主探究、合作交流。 课前预习学案 （要求：在小组内对照答案，对有疑问的题目先讨论解决，小组内解决不了的由教师集中讲解） 1、（ ）和（ ）统称为实数，（ ）小数是无理数，（ ）小数和（ ）小数是有理数。 2、两个负数比较大小 ：（1）-5与-7 （2）与 3、求下列各数的相反数、倒数和绝对值 （1）3.8 （2）—3.5 （3） 25 - 4、下列各数中无理数有哪些？有理数呢？ 32，41，7，π，25-，2， 5-， 94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 课内探究学案 探究一：对实数的不同分类 1、回顾有理数的两种分类： （1）有理数按定义分类： （2）有理数按正、0、负分类：
[思考]：无理数有正负之分吗？0属于正数吗？0属于负数吗？通过预习我们知道，有理数与无理数统称为实数，既然有理数有以上两种分类，那么实数是不是也能这样分类呢？ 2、做一做： （1）结合课件，你能将实数进行两种分类吗？试试看。 （2）、你能把32，41，7，π，25-，2，5-，38-，94，0，0.3737737773…… （相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中吗？ 有理数：｛ …… ｝ 无理数：｛ …… ｝ 正数：｛ …… ｝ 负数：｛ …… ｝ 【学生活动】： 1、自主完成有理数的分类。 2、师生结合课件得出实数的分类。 3、学生完成“做一做”。 【教师活动】强调总结实数的分类。 探究二：实数X 围内的几个概念. 自学课本71页，完成以下题目： 1、在实数X 围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数X 围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗？ 2、想一想，并回答： （1）2的相反数是_________，绝对值是_________； （2）35与351 是_________； （3）－π的相反数是_________，它们的和是_________； （4）a 是一个实数，它的相反数为_________，绝对值为_________. （5）若a≠0，则它的倒数为_________. 3
第六章实数 6.3 实数 一、选择题 1、下面四句话中正确的是（） （A）无限小数都是无理数 （B）无理数都是无限循环小数 （C）带根号的数都是无理数 （D）任何无理数在数轴上都有表示它的点 2、下列说法正确是（） A.不存在最小的实数 B.有理数是有限小数 C.无限小数都是无理数 D.带根号的数都是无理数 3、下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B.3 4 C．πD．0 4、在实数：3.141 59，3 64，1.010 010 001，4.21 ·· ，π， 22 7 中，无理数有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 5、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|-|b|可化简为( ) A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b 二、填空题 6、若实数x与实数y互为相反数则x y +等于 . 7、下列各数： ， ，，－ ，0.01020304…中是无理数的有_____________. 8、请你任意写出三个无理数： 9、3－2的相反数是，绝对值是 . 10、写出 3 －9到23之间的所有整数：． 三、解答题 11、求下列各数的相反数和绝对值： （1）327 -；（2）21； （3）8 3-；（4）5 2.2-. 1 2 0.32&&π 7 22
12、求下列各式中未知数x 的值. （1）； （2）. 13、已知2a －1的平方根是±3，3a+b －1的平方根是±4，求a+2b 的平方根. 14、已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，f 的算术平方根是8，求1 2ab ＋c ＋d 5 ＋e 2＋3f 的值． 15、一个正数x 的平方根是3a －4和1－6a ，求a 及x 的值． 16、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，请化简： . 17、王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为2m -6，它的平方根为±(m -2)，求这个数.小张的解法如下: 依题意可知，2m -6是(m -2)，-(m -2)两数中的一个.(1) 当2m -6=m -2时，解得m=4.(2) 所以这个数为2m -6=2×4-6=2.(3) 当2m -6=-(m -2)时，解得m=83 .(4) 所以这个数为2m -6=2× 83-6=-2 3.(5) 综上可得，这个数为2或-2 3 .(6) 王老师看后说，小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗?为什么?请予以改正. 18、已知a 是10的整数部分，b 是它的小数部分，求(－a)3 ＋(b ＋3)2 的值． 19、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a －b|－a 2＋(－b)2 ＋23b 3. 20、阅读下列材料： 如果一个数的n(n 是大于1的整数)次方等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根，即x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根．如：24 ＝16，(－2)4 ＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2. 回答问题： (1)64的6次方根是±2，－243的5次方根是－3，0的10次方根是0； (2)归纳一个数的n 次方根的情况． 2 16250x -=()3 18 x - =
c a 第1课时《 实数的有关概念》 ◆知识讲解 1．实数的分类 实数?????????? ??????? ???????????? ?????????? 正整数整数零 负整数有理数正分数分数有限小数或无限循环小数 负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数还可分为?????????? ??? ??? ?????????? ??? 正整数 正有理数正实数正分数 正无理数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 2．数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度． （2）数轴上的点与实数一一对应． 3．相反数 实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零． （1）a 、b 互为相反数?a+b=0． （2）在数轴上表示相交数的两点关于原点对称． 4．倒数 乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数． a 、b 互为倒数?ab=1． 5．绝对值 │a│=(1)0 (0)(0) a a a a a >?? =??-
6.3 实数(第1课时) 一、内容和内容解析 1．内容 无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系． 2．内容解析 本节在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围．本章的内容在中学数学中占有重要地位，它不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及锐角三角函数等知识的基础，也是学习高中数学中的函数、不等式等知识的基础．学生在七年级上学期学习了有理数，在本章前两节的学习过程中知道了许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数．本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引入无理数，揭示出有理数和无理数的联系与区别，有助于学生理解实数的定义．随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数．接着类比用数轴上的点表示有理数指出实数与数轴上的点的一一对应关系．实数的概念贯穿于中学数学学习的始终，学生对实数的认识是逐步加深的． 基于以上分析，本节课的教学重点：了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系． 二、教材解析 教材采用与有理数对照的方法引入无理数，并给出实数的概念和分类．随着无理数的引入，数的范围从有理数扩充到实数，这个扩充过程既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化．教材通过探究在数轴上画出表示 和2的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数的范围由有理数扩充到实数后，数轴上的点与实数就是一一对应的． 二、教学目标和目标解析 1．教学目标 (1)了解无理数和实数的概念． (2)知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想． 2．目标解析 (1)给出一些实数，会辨析哪些是有理数，哪些是无理数，并能自己举例说明．
《实数》教学设计（第一课时） 一、教学目标 【知识与技能目标】 1、了解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类。 2、理解实数与数轴上的点一一对应关系，会根据实数在数轴上的位置比较大小。 【过程与方法目标】 1、通过对实数分类的研究、增强学生的分类意识。 2.通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，让学生进一步体会数形结合的思想。 【情感态度目标】 1、通过对实数的分类练习、让学生体会分类的思想方法。 2、在探究数轴上表示点的过程，培养学生团结合作的精神。 【教学重点】 1、理解实数，能对实数进行分类。 2、理解数轴上点与实数是一一对应的关系。 【教学难点】 对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。 二、教学过程 （一）创设情境，导入新课 活动一 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类。 活动二 大家知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 、 、 、 、 学生以小组为单位，用笔和计算器去计算，得出结果总结规律。教师进一步引导学生思考，整数是否可以看成小数的形式？例如：3 教师归纳总结：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,如 等。 引导学生反向探讨:任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ 2553 427911119
小结：任何一个有限小数和一个无限循环小数都可以化成分数，所以任何一个有限小数和一个无限循环小数都是有理数。 （二）思考探究，获取新知 活动三 让学生计算下面几个数的平方根和立方根，发现结果有什么特点。 ，，， 学生发现，这些运算的结果是无限小数并且还不循环，这种数属于哪一类？引出 无理数的概念。 (1)试着写出几个无理数。 (2)判断下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 由学生小组合作完成上述问题后，要求学生思考: 1、用根号形式表示的数一定是无理数吗? 2、如何把实数分类？ 教师归纳总结：注意带根号的数，判断它是不是无理数的方法。初中阶段还有一个特殊数，它也是无理数。 师生共同研究实数的不同种分类: 小结：指导学生认识两种分类方式的异同,并特别强调“0”在表中的位置，考虑问题时不能忘记特殊数——0. 继续指导学生探究:每个有理数都可以用数轴上的点表示,无理数是否也可以用数轴上的点表示呢? 活动四 （1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？ 311-37312-∏
实数复习课（第一课时）教学设计 【课题】苏科版数学八年级上册第四章实数复习课（第一课时）【教材简解】“实数”是八年级上册第四章内容，从有理数到实数是数的范围的一次重要的扩充，学生对实数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围。本章的概念多，并且比较抽象，但却是以后学习的基础，在初中数学中占有重要的地位，对今后学习数学有着重要的意义，是后面学习二次根式、一元二次方程以及解直角三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等大部分知识作好准备。 【目标预设】 1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。 2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。 3、通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体悟相关的数学思想方法。 4、培养学生的数学应用意识，提高学生分析解决问题的能力。 【重点、难点】 1、重点：无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。 2、难点：利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则解决问题。 【设计理念】 复习课并非单纯的知识的重述，而应是知识点的重新整合、深化、升
华。教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，处理好传授知识与培养能力的关系。复习课应重视发展学生的数学思维能力，通过复习旧知识，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。同时还应关注个体差异，要尽可能兼顾每一位不同学习层次的学生，要让每一个学生都有所得，满足不同学生的学习需要。 【设计思路】 本节课的教学过程由创设情境，引入新课活动交流，互动探究知识深化，应用提高反思提炼，形成结构评价反馈，挑战自我五个环节构成，以学生活动为主线，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。通过“做一做”、“ 议一议”、“练一练”、“ 想一想”、“试一试” 等丰富数学活动的经历积累数学分析的经验，通过“合作与交流”让学生在活动中体验到知识的深化和分析数学问题的快乐，提升自我价值，体现学生的主体地位。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课（数的发展史） 在古代人们由于记事和生活用品的需要产生了自然数。如捕获了3头野兽就放3块石头，并渐渐形成了自然数的概念和符号。随着生产和生活的需要，人们发现仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎物时，5个人分配4件东西，每个人应得多少呢？于是人们发现并使用了分数。中国对分数的研究比欧洲早1400多年呢。随着社会的发展，人们又发现许多数量具有相反意义。比如增加与减少，上升与下降等，于是人们发现并使用了有理数。在数的发展过程中人们又发现了许多不能用整数比写出的
《实数指数幂及其运算》教学设计 ◆教学目标 （1）理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；提升学生的数学抽象素养； （2）了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.提升学生的直观想象素养． （3）掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简计算，提升学生的数学运算素养． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质． 教学难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解． ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 一、整体概览 问题1：阅读课本第2页，回答下列问题： （1）本章将要研究哪类问题？ （2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？ （3）本章研究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容. 预设的答案：（1）本章将要研究指数函数、对数函数、幂函数这三类基本初等函数的性质与图像.（2）本章是继上一章学习函数及其性质的基础上继续深入学习的一部分，是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生获得较为系统的函数知识，并初步了解函数的一般方法，培养函数应用的意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感
性上升到理性，因此，这一章起到了承前启后的重要作用.（3）起点是分数指数幂和根式的概念，目标是通过研究分数指数幂和根式使学生对指数函数及对数函数等基本初等函数的图像及其性质有更加理性的认知，对掌握基础的数学语言有不可或缺的作用. 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 二、问题导入 问题2：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%. 你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？ 师生活动：考虑到学生可能对平均增长率不太熟悉，在课堂上可以先不要求进行相关计算，但是用利用本节将要学习的内容解决相关问题.相关的计算和预测数据等，在本节最后将会呈现. 设计意图：从学生熟悉的现实生活中常见的但又不知如何解决此类问题的情境导入，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣. 引语：为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解.（板书：实数指数幂及其运算） 【新知探究】 1．把初中学过的知识作为实例，感知指数幂，分析出有理指数幂的概念，并逐步引到实数指数幂的研究上. 初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32， 30= 师生活动：问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？ 一般地，a n 中的a 称为底数，n 称为指数①． ==- 53153
初中数学苏科版八年级上册第四单元第3课《实数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案 【省级名师教案】 1教材简解 实数是“数与代数”领域的重要内容。本章是在有理数的基础上认识实数,对于实数的学习,除本章外,还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算,进一步认识实数的运算。本节是实数的第一节课,主要让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性,进而将数的范围从有理数扩充到实数.并类比着有理数的有关性质得出实数的有关性质。 学生在前面已学习了勾股定理和平方根、立方根的知识已经具有发现无理数的能力,本节课通过问题情境让学生体会无理数是从现实世界中抽象出来的,是一种不同于有理数的数。2目标预设 【知识与技能目标】 1.通过实际问题,让学生经历无理数发现的过程,学生认识到数的扩充的必要性。 2.了解无理数和实数的概念,知道实数和整轴上的点一一对应,能估算无理数的大小。 3.能对实数按要求进行分类,培养分类能力。会用所学定义正确判断所给数的属性。 4.通过对有关无理数的数学史的了解,进一步增强学生对数学的兴趣。 5.了解实数范围内相反数和绝对值的意义。 【过程与方法】 1.通过无理数的引入,使学生对数的认识由有理数扩充到实数。 2.经历对实数进行分类,发展学生的分类意识。 3.经历观察与动手作图实践,让学生知道实数和数轴上的点是一一对应的。 【情感态度与价值观】 1.了解到人类对数的认识是不断发展的。 2.体会数系扩充对人类发展的作用。 3.学生在对实数的分类中感受数学的严谨性。 4.培养学生的合作交流能力与学习数学的兴趣。 5.培养学生敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新的知识。
优质课教学设计 张 建 新 宁晋县第六中学 2017年5月26日
一、教材依据 人教版七年级下册6.3实数 二、设计思路 1、指导思想与设计理念：参照我校的高效课堂模式进行本节课的教学，培养学生“自主探究，合作交流，先学后教，当堂训练”的学习习惯。 2、教材分析：本套教材先联系实际学习认识算术平方根后，再进一步认识平方根。这样可以引发学生的疑惑，激发学生学习兴趣，从而使学生积极主动地投入到数学活动中去。本节篇幅不长，内容也不多，但知识比较抽象，而且与学生以前接触的数学知识差异较大，根据以前的教学经验，我感觉学生学习起来不会很顺手，而且它又是以后学习二次根式、一元二次方程的基础，需要老师在教学中精心构思，认真落实。 3、学情分析：学生在前面学习有理数的过程中，对有理数已经有了一定的认识，但是本节内容较以前更能体现出数学的合理性、现实性和全面性，应充分考虑学生的不同层次和理解、应用能力上的差异，所以应在复习、衔接旧知识的基础上进行新知的学习探究，再及时辅以阶梯式的训练以确保完成教学目标。 三、教学目标 1、知识技能：了解无理数和实数的概念、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。 2、过程方法：在探索无理数的过程中，感悟从特殊到一般的研究问题的方法，感知数形结合的思想。 3、情感态度：在探究活动中培养学生严谨的学习态度和勇于探索的钻研精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学概念的完整性，建立学好数学的自信心。 四、教学重点 掌握无理数的概念，能够正确地对实数进行分类。 五、教学难点 实数的概念和分类
六、教学准备 充分阅读、理解新课标的具体要求，在研读教科书的基础上制做多媒体课件，针对学生的活动，全班共分10个小组，起始定为1-6号，一般按数学成绩排列，回答问题时一般从大号到小号提问，而每组的回答机会基本均等，抢答除外，每组有专人负责计分，口头答对加1分，板演正确加3分，抢答之内容加倍，其它情况有教师机动掌握，以提高学生的积极性为目标，促进学生的表达能力为方向，每节课结束后汇总分数，计入当天的班级成员量化考评学习部分。 七、教学过程
第二章实数 6．实数 一、学生起点分析 实数是在有理数和勾股定理等知识根底上进行的第二次数系扩张,在教学中注意运用类比方法,使学生明确新旧知识之间的联系,如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立,并通过例题和习题来稳固,适当加深对它们的认识. 二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章?实数?的第六节.本节内容主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类,同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义,让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的. 在本节之前学生已学习了平方根、立方根,认识了无理数,了解了无理数是客观存在的,从而将有理数扩充到实数范围,使学生对数认识进一步深入.中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的,同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的根底.本节课的教学目标是： 1．了解实数的意义,能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应,能根据实数在数轴上的位置比拟大小； 2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样； 3．在利用数轴上的点来表示实数的过程中,让学生进一步体会数形结合的思想； 4．在认识"实数〞这一新知识时,学生应用已有的"有理数〞的相关概念及运算规律类比解决"实数〞的相关概念及运算规律,从而获取解决实数相关问题的根本方法； 5．了解数系扩展对人类认识开展的必要性. 教学重点 1．了解实数意义,能对实数进行分类； 2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值,明确实数的运算规律；
3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数 . 教学难点 利用数轴上的点表示无理数 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：实数概念和分类；第三环节：实数相关概念；第四环节：实数的运算；第五环节：探究 - -实数与数轴上点之间的对应关系；第六环节：课堂练习；第七环节：归纳小结 . 第一环节：复习引入新课 内容：问题： (1 )什么是有理数 ?有理数怎样分类 ? (2 )什么是无理数 ?带根号的数都是无理数吗 ? 意图：回忆以前学习过的内容 ,为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备 . 效果：学生主动思考并积极答复 ,通过相互补充完善了旧知识的复习掌握 ,通过对有理数分类的复习 ,使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏 .通过举例明确了无理数的表现形式 ,野味后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备 . 第二环节：实数概念和分类 内容1：把以下各数分别填入相应的集合内： 3 2 ,41 ,7 ,π ,25- ,2 ,320 ,5- ,38- ,94 ,0 ,0.3737737773…… (相邻两个3 实数 . 效果：学生动手填写 ,并进行小组交流讨论 ,对带根号的数是否是无理数有 了进一步认识 . 内容2：1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗 ? 2．0 有理数集合 无理数集合 正数集合 负数集合
6．3 实 数 第1课时 实 数 1．经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；(重点) 2．进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；(重点) 3．理解实数与数轴的关系，并进行相关运用．(难点) 一、情境导入 为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？如果把“225〞改为其他数字，如“200〞，这时怎样确定边长？ 二、合作探究 探究点一：实数的相关概念及分类 【类型一】 无理数的识别 在以下实数中：157 ，3.14，0，9，π，5，…，无理数的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，5，….应选C. 方法总结：常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数；第二类是化简后含有π的数；第三类是无限不循环的小数． 【类型二】 实数的分类 把以下各数分别填到相应的集合内： ，27，4，5，3－7，0，π2，－3125，227 …. (1)有理数集合{ …}； (2)无理数集合{ …}； (3)整数集合{ …}； (4)负实数集合{ …}． 解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数． 解：，4，5，0，－3125，227 ，3.14，…}； (2)无理数集合{27，3－7，π2 …，…}； (3)整数集合{4，5，0，－3125，…}； ，3－7，－3125，…}．
方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复． 探究点二：实数与数轴上的点 【类型一】 求数轴上的点对应的实数 如下列图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，求点C 所表示的实数． 解析：首先结合数轴和条件可以求出线段AB 的长度，然后利用对称的性质即可求出点C 所表示的实数． 解：∵数轴上A ，B 两点表示的数分别为－1和3，∴点B 到点A 的距离为1＋ 3.那么点C 到点A 的距离也为1＋ 3.设点C 表示的实数为x ，那么点A 到点C 的距离为－1－x ，∴－1－x ＝1＋3，∴x ＝－2－ 3.∴点C 所表示的实数为－2－ 3. 方法总结：此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 【类型二】 利用数轴进行估算 如下列图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是3，那么A ，B 两点之间表示整数的点共有( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 解析：∵3≈，∴3，3，4，5，∴A ，B 两点之间表示整数的点共有4个．应选C. 方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 三、板书设计 实数⎩⎪⎨⎪⎧实数的分类⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数分数无理数实数与数轴——实数与数轴上的点一一对应 本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的根底上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念．本节课要注意的地方有两个： 一是所有的分数都是有理数，如227；二是形如π2，π3 等之类的含有π的数不是分数，而是无理数
人教版七年级数学下册第六章第三节 《实数》教学设计(第1课时） 一、教学目标 知识技能 1．了解无理数及实数的概念，并会对实数进行分类． 2．会对实数按照一定标准进行分类，培养分类能力． 3．知道实数和数轴上的点一一对应． 数学思考 1．经历从有理数逐步扩充到实数，了解到人类对数的认识是不断发展的． 2．经历对实数进行分类，发展学生的分类意识． 解决问题 1．通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数． 2在交流中学会与人合作，并能与他人交流自己思维的过程和结果．情感态度 1．通过无理数的引入，激发学生的求知欲，使学生感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，获取成功的体验． 2．通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用． 3．敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题． 二、教学重点和难点
教学重点：使学生了解无理数和实数的意义,熟练掌握实数的分类 教学难点：无理数意义的理解． 三、教学方法 讲练结合启发教学学生为主 四、教学手段 多媒体 五、课时安排 一课时 六、教学设计 （一）．数学故事——无理数的发现： 通过俗语“有理走遍天下，无理寸步难行”引入数学故事，古希腊著名的数学家，哲学家毕达哥拉斯有一句名言“万物皆为数。”他认为宇宙间的一切事物都归为整数或整数的比。 问：整数的比是什么数？ 答：分数。 问：整数和分数统称为什么数？ 答：有理数。 〖设计说明〗让学生了解无理数是怎么发现的，经历从有理数逐步扩充到实数，了解到人类对数的认识是不断发展的，从而对数学充满兴趣 （二）、回顾旧知，检查预习： 1．有理数怎样分类？
第六章实数 教材简析 本章的内容包括：平方根、立方根、实数． 在学习了有理数的基础上,加强与实际的联系,从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数,即无理数,开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比,数的范围由有理数扩充到实数,与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用． 在中考中,本章的考点有平方根、立方根的定义及运算,实数的运算及大小比较等,考查基本概念及基本计算． 教学指导 【本章重点】 平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算． 【本章难点】 对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】 1．体会分类的数学思想,如：对实数进行分类． 2．掌握分类讨论思想,如：由于一个正数的平方根有两个,且这两个数互为相反数,因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论． 3．掌握转化思想,如：学习了平方根和立方根后,运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解． 4．体会数形结合思想,如：数的范围由有理数扩充到实数,实数与数轴上的点建立了一一对应关系,这样可以通过观察“形”的特点,解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划 6．1平方根3课时 6．2立方根1课时 6．3实数1课时 6．1 平方根 第1课时算术平方根 教学目标 一、基本目标
【知识与技能】 1．了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根． 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 【过程与方法】 加强概念形成过程的教学,提高学生的思维水平,鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神． 【情感态度与价值观】 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣． 二、重难点目标 【教学重点】 算术平方根的概念． 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根． 教学过程 环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】 阅读教材P40的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2＝a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a ”,a 叫做被开方数. 2．规定：0的算术平方根是0. 3．算术平方根具有双重非负性：(1)a ≥0；(2)a ≥0. 4．求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)0.25； (3)23. 解：(1)9. (2)0.5. (3)23. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)0.36； (3)21 4 ； (4)412－402. 【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？
6.3 实数 导学案 第1课时 实数 课前预习： 要点感知1 无限__________小数叫做无理数,__________和__________统称为实数. 预习练习1-1 下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数，正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 1-2 实数-2，0.3，17，2，-π中，无理数的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 要点感知2 实数可以按照定义和正负性两个标准分类如下： ⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪ ⎪⎭⎨ ⎩ ⎪⎧⎫ ⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩ ⎩ 正有理数零负有理数实数正无理数负无理数 ⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨ ⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪ ⎪⎩⎩ 正整数 正有理数正分数正无理数 实数负整数 负有理数负分数负无理数 预习练习2-1 给出四个数-1，0，0.5，7，其中为无理数的是( ) A.-1 B.0 C.0.5 D.7 要点感知3 __________和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个__________. 预习练习3-1 和数轴上的点一一对应的是( ) A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3-2 如图，在数轴上点A 表示的数可能是( ) A.1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 当堂练习： 知识点1 实数的有关概念 1.下列各数中是无理数的是( )
A.2 B.-2 C.0 D.1 3 2.下列各数中， 3.141 59，-38，0.131 131 113…，-π，25，-1 7 ，无理数的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.写出一个比-2大的负无理数__________. 知识点2 实数的分类 4.下列说法正确的是( ) A.实数包括有理数、无理数和零 B.有理数包括正有理数和负有理数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数 5.实数可分为正实数，零和__________.正实数又可分为__________和__________，负实数又可分为__________和__________. 6.把下列各数填在相应的表示集合的大括号内. -6，π，-2 3 ，-|-3|， 22 7 ，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1… 整数：{ ,…}， 负分数：{ ,…}， 无理数：{ ,…}. 知识点3 实数与数轴上的点一一对应 7.下列结论正确的是( ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间还有无数个点 8.若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 __________. 9.如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O′,点O′所对应的数值是__________. 课后作业： 10.下列实数是无理数的是( )
实数的教学设计(精编7篇） （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如计划总结、合同协议、管理制度、演讲致辞、心得体会、条据书信、好词好句、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! Moreover, our store provides various types of classic sample essays for everyone, such as plan summaries, contract agreements, management systems, speeches, insights, evidence letters, good words and sentences, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!
第六章实数 一、课标要求 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的方根、算术平方根、立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计数器求平方根、立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 6.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下不仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。 二、课时划分 6.1：平方根 3课时 6.2：立方根 2课时 6.3：实数 2课时 三、课时教学设计 平方根（1） 教学目标： 知识与技能： 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 过程与方法： 通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观： 通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符
号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：1、了解数的算术平方根的概念。 2、会求一个非负数的算术平方根。 3、会用根号表示一个数的算术平方根。 教学难点： 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学过程 一、创设情境导入新课 请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？ 这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 二、合作交流解读探究 1、提出问题： 1）、学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴。他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 2)、面积为16、9、4的正方形的边长分别是多少？ 3)、上述两个问题的实质是什么？ 4)、阅读课本P40页,并回答下列问题 （1）如果一个________的______等于a，即a =，那么_________就叫做______的算术平方根 （2）正数a的算术平方根表示，读作__ ____规定：0的算术平方根为0。 （3）因为()2=100，所以100的算术平方根是_______，即__________； （4）仿照（3）格式探求下列各数的算术平方根：0.0025；121；32；0.0001 （5）求算术平方根的运算与求平方运算有什么关系？