实数的概念
课时目标
1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；
2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；
3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.
知识精要
1. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 4. 平方根的定义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即
2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.
5. 平方根的性质与表示
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.
（2）正数a 的两个平方根可以用
“
a 的正平方根，叫做
a 的正平方根，也叫做a
的算术平方根；a 的负平方根.
6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.
7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型：
第一类：π型：如π，π+2，…；
；
9. 立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．
12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质
（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；
（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；
（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.
热身练习
1. 将下列各数填在相应括号内：
π， 3
2
， 3.14， ⋅
⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ 3.14， ⋅
⋅12.0， 327-， 3333+-， …}； 整数集合 { 327-， 3333+-， …}；
正数集合 { π， 3
2
， 3.14， ⋅
⋅12.0， …}；
分数集合 { 3.14， ⋅
⋅12.0， …}；
实数集合 { π， 3
2
， 3.14， ⋅
⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-，}.
2. 判断 （1）无限小数都是无理数 （ × ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ × ） （3）不带根号的数都是有理数 （ × ） （4）带根号的数都是无理数
（ × ）
3.（1
解：
介于1和2介于2和3之间.
（2）写出一个比－1大的负有理数是 －0.5 ，比－1大的负无理数是2
2
-
. 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.
（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根 解：（1）－16没有四次方根 （2）16的四次方根为 ±2 （3）－32的五次方根为2- （4）28-无六次方根 （5）－0.00243的五次方根为－0.3 （6）2(27)-的六次方根为3± 5. 求下列各数的平方根
（1）121 （2）
64
9
（3）0.0009 （4）361 解：(1)11± (2) 8
3
± (3) 0.03± （4）±19
6．求下列各数的算术平方根 （1）81 （2）16
25
（3）289 （4）0.0001 解： (1)9 (2)4
5
(3)17 (4) 0.01
7．求下列各数的值.
（1 （2） （3）2 解： (1)11
5
(2)12± (3)5
8. 求下列各式的值
（1）2 （2）2(0)a >
（3）2((0)a > （4
（50)a > （6)a 是实数
解： (1)15 (2)a (3)a (4)15 (5)a (6)a
9. 一个正数的两个平方根为2a +1,5－a 求这个数. 解：2a +1+5－a =0
解得：a =－6 这个数是121.
10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.
解：0322x y x y +=⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩
故a 的平方根是 2或－2.
11. 求下列各数的立方根.
（1）－64 （2）343 （3）1
918- （4）0.729
解：（1）－4 （2）7 （3）9
2
- （4）0.9
12. 求下列各式的值
（1） （2） （3
解：（1）12 （2）6
5
（3）60
13. 解简单的高次方程
（1）16842
=-x （2）81)3(42=-x
解：6±=x 解：2
3
215-=或x
（3）39
18
x += （4）3(1)27x +=- 解：2
1
=x 解：4-=x
（5）60444=-x （6）
7645=x 解：2±=x 解：519=x
精解名题
例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为x .
8042=x
解得52±=x
x 是正数
52=∴x
答：小正方形的边长为52. 例2 用移位法求平方根
被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.
2.236≈7.071≈，求下列各式的值.
（1）≈ 22.36 （2）≈－70.71
（3）
≈ 0.2236 （4≈ 0.7071
注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；
第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.
例3 用移位法求立方根
被开方数的小数点向右（或左）移动 三 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 一 位.
若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，
-≈≈≈的值. 解：；619.62903≈ 72.30290003
-≈-；
1426.00029.03
≈.
.
巩固练习
一、填空
1.把下列各数分别填到相应的数集里边
-
52，3π 3.14，01-，2
1
整数集合 { 0 1- …}；
无理数集合{
3π1，2
， …}；
有理数集合{ -
52， 3.14，01 …}； 2．如果9=x ，那么x ＝ ±9 ；如果92=x ，那么=x ±3 ． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 1,0 ． 4．算术平方根等于它本身的数有 0，1 ，立方根等于本身的数有 ±1,0 ．
5. x ==则 0,1 ，若,x x =-=则 非正数 . 6．81的平方根是 ±3 ， 210-的算术平方根是 0.1 ． 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a =－1，这个正数是 9 ． 8．21++a 的最小值是 2 ，此时a 的取值是 －1 ． 二、选择题
1. 下列说法正确的个数是（ A ）
（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数
（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 若2x a =，则（ D ）
A.0x >
B. 0x ≥
C. 0a >
D. 0a ≥
3．2)3(-的值是（ B ）
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
4．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ A ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ C ）
A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
7. 若n 为正整数,则
2等于（ A ）
A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ A ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
自我测试
一、填空
1. 把下列各数分别填到相应的数集里边
2π，－3.1415926927，103，7
2
-，0.2010010001-，
1.732，
有理数，－3.1415926927， 103， 7
2
-， 1.73 2…}
无理数{
2
π
，0.2010010001-，…}
非负实数 2π ，103，
1.732 …}
2.
()3
32-= －2 ，()3
37-= －7 .
3.64
1-
的立方根是1
4.
4.－0.001的立方根是 －0.1 ；－1的9次方根是 －1 .
5.()=-55
3 －3 ；36
3）（-= 9 .
二、选择题
1.
（ C ）
A. 9
B. ±3
C. 3
D. －3 2. 下列计算正确的是（ D ）
A.
= B.
2=- C.
3=± D.
2=
3. 下列各数中，没有平方根的是 （ A ）
A ．－2 B. 0 C. 1
3
D.
4．下列实数31
7
，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ A ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ B ）
A
B ．
C
D
6．下列各组数中互为相反数的一组是（ C ）
A ．2--
B ．4-与
C ．
D ．
三、计算 1、求值
（1）
49
144
的平方根； （2） 解：原式= 712
± 解：原式=－50
（3） （4）
解：原式=40 解：原式= 43
±
（5） 0.0036的平方根 （6）
解：原式= 0.06± 解：原式= －5
（7） （8）641-的立方根
解：原式= 2 解：原式=1
4
（9）()次方根的531277
⎪⎭
⎫
⎝⎛-； （10） ()次方根；的421.12-
解：原式 = 解：原式= 1.1±
2、解方程
（1）
;272=x （2）;0183=-x 解：27±=x 解：
2
1
=
x
（3） ()2512
=-x ； （4）()016223=++x .
解：64或-=x 解：4x =-
实数的概念和数的开方（教师教案） 第一段典型例题 【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下： 今天的内容主要包括以下几部分内容： 一．实数的概念和分类 二．数的开方和根式 【课程目标】 1．了解无理数和实数的概念，掌握数的开方有关概念和方法；知道实数的分类、绝对 值和相反数的意义，会求已知实数的绝对值和相反数，了解实数与数轴上的点一一对应； 【课程安排】 1 教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解 2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师讲解 【教师讲课要求】 教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况， 学生完成练习后，教师进行讲解。 第一部分实数的概念和数的开方 [课时目标]知道实数的概念，掌握数的开方有关概念和方法；熟练掌握实数与数轴之间一一对应的关系，实数的绝对值和相反数； [教师讲课要求] 第一组题目 范例1. 填空 1. 9 16的平方是_________； 9 16的平方根是_________， 9 16的算术平方根是__________ 解：81 256 3 4 3 4 ，， ± 2. 9的算术平方根的平方根是_________，9的算术平方根是__________ 解：3 ±，3 3. 已知x+2的负的平方根为－5，则x＝_________ 解：23 4. 若16的平方根是a，b的绝对值是5，则a＋b＝_________ 解：9或－9或1或－1 5. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________ 解：－0.4，4 3 6. -3表示__________，3表示__________
实数 知识点一：无理数 1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意： （1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数． （4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质： 设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． 4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． 二、知识点+例题+练习
例题精讲 一、无理数的判断 1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】 0；3 22 7 ；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】因为0 22 7 3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ． 【变式训练1-1】在，–2018 ，π这四个数中，无理数是 A ． B ．– 2018 C D ．Π 【答案】D 知识点二：实数的概念与分类 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 2、实数的分类： （1）实数按定义分类： 0???????????? ???????? ??? ???? ???????????????????? 正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ( 2 )按正负分类： 22 7227
实数的概念 课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪ ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 4. 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系. 8. 常见的无理数有三种类型：
第一类：π型：如π，π+2，…； ； 9. 立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义 如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质 （1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示； （2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”. 热身练习
实数基本概念 实数基本概念及应用 一、实数的定义与性质 1.1 实数的定义 实数是由有理数和无理数组成的数。其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。 1.2 实数的性质 实数具有连续性、完备性、有序性等性质。连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。 二、实数的表示方法 2.1 有限小数表示法 有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。例如，123.45表示为有限小数123.45。 2.2 无限小数表示法 无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。 三、实数的运算 3.1 加法运算 实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。 3.2 减法运算 实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。 3.3 乘法运算
实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。 3.4 除法运算 实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。 3.5 指数运算 实数的指数运算可以使用幂运算进行。即a^b=c，则log(a)c=b。 3.6 对数运算 实数的对数运算可以使用指数运算进行。即log(a)b=x，则a^x=b。 四、实数在生活中的应用 4.1 测量中的应用 实数在测量中有着广泛的应用。例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。 4.2 工程中的应用 在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。 4.3 经济中的应用 在经济学中，实数被广泛应用于衡量各种经济指标。例如，GDP、CPI、PPI等都可以用实数来表示。 五、实数的扩展概念 5.1 复数 复数是指具有虚部和实部的数。虚部表示的是纯虚数，即不具有实际意义的数。复数的实部和虚部分别表示为z=a+bi中的a和b。复数的加法、减法、乘法和除法运算都遵循一定的规则。复数的应用广泛存在于物理学、工程学、计算机科学等领域。
第一讲 实数 一、实数的相关概念： 1.实数的分类： {} ⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 2. 偶数：为自然数）n n (2 奇数：为自然数） n n (12- 3. 相反数 →只有符号不相同的两个数（“0”的相反数是“0”） ①表示：表示一个数的相反数，就是在这个数的前面加“—”号 如：a −− →−相反数—a ；a —b −−→−相反数 —（a —b ）=b —a ②性质特征：互为相反数的两个数，和为零。 4. 倒数→乘积为“1”的两个数（“0”没有倒数） ①表示：a −−→−倒数a 1 ②特征：互为倒数的两个数积为“1” （若a 与b 互为倒数，则ab=1） 5. 绝对值→就是数轴上表示这个数的点到原点的距离. (互为相反数的两个数绝对值相等) ︱a ︱=︱—a ︱；︱a —b ︱=︱b —a ︱ ︱a ︱=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>000 0a a a a a ⎪⎩ ⎪⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab 6.平方根、算术平方根、立方根： (1) 一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.(记作a ). (2) 一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根. (3) 正数有两个平方根（±a ），它们互为相反数；其中正的平方根（a ≥0）是它的算术平方根. (4) “0”的平方根只有一个，就是“0”;负数没有平方根. (5)完全平方数→平方根是整数的数 如：0，1，4，9，16，…… (6)立方根（3a ）,正数的立方根是正数; “0”的立方根是“0”;负数的立方根是负数 二、数轴: 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度 2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,但数轴上的任
实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即： 2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b） 3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0 的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即： ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：． 4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0 不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个 a 相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。实数计算的常见类型及方法 一、实数的运算 （1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。 （2）减法a-b=a+（-b） （3）乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得 零．即
知识点1实数的有关概念 一、实数定义：有理数和无理数统称为实数 二、实数分类： 1.按照正负分：正实数、0、负实数 2.按照定义分：有理数、无理数 3.有理数相关知识 （1）有理数定义：整数和份数统称为有理数 （2）整数可分为：正整数、0、负整数 正整数和0成为非负整数；负整数和0成为非正整数 （3）分数可分为正分数和负分数。 （4）分数都可化为有限小数或无限循环小数；反之有限小数或无限循环小数都可化为分数4.无理数的相关知识 （1）无理数定义：无线不循环小数 （2）无理数常见的几种类型 a:含π的数，比如3π，π+2等 b.开放开不尽的数 C.有特殊规律的数，比如0.1001000100001........ 注意：有理数之间的加减乘除运算的结果一定是有理数。 有理数×无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。 举例____________________________________________________________________ 有理数÷无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。 举例____________________________________________________________________ 无理数÷有理数的结果是无理数。 举例____________________________________________________________________ 无理数+无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。 举例____________________________________________________________________ 无理数-无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。 举例____________________________________________________________________ 以上问题请学生自己举例进行验证。 3.实数有关概念： （1）数轴：规定了原点正方向单位长度的直线叫做数轴。 数轴与实数是一一对应的关系。简单来说实数把数轴上的点填满了。 （2）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数 互为相反数的两个数和为0，反之当两个数的和为0时这两个数互为相反数。 特别：当两个数互为相反数且不为0时，商为-1. （3）绝对值：在数轴上，一个数到到原点的距离叫做这个数的绝对值 绝对值的化简= 在数轴上两个数之间的距离等于两个数差的绝对值；比如a和b的距离等于 在数轴上两个数的中点等于两个数和的一半；比如a和b的中点等于 4.科学计数法 一个比较大的数或比较小的数都可以表示成aX ,其中1≤＜10
实数的知识点 实数是数学中一个基础概念，是指包括有理数和无理数的所有数的集合。在数学中，实数的研究是非常重要的，它涉及数学的各个领域，如数论、代数、几何、微积分等。本文将介绍实数的基本概念、性质及其在数学中的应用。 一、实数的基本概念 实数是指包含有理数和无理数的所有数的集合，用R来表示。其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示成这种形式，如常见的$\pi$和$\sqrt{2}$。 实数集合R包括正实数、负实数、0等数。其中正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0是同时是正数和负数的唯一实数。 二、实数的性质 实数集合R具有如下性质：
1. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。 2. 实数有可加性，即对于任意的实数a、b，有a+b=b+a。 3. 实数有可乘性，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。 4. 实数有结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有 a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=ab+ac。 5. 实数有数乘的结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c和(a+b)c=ac+bc。 6. 实数有数乘的交换律，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。 7. 实数有倒数和相反数，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1和-a是相反数。 8. 实数有加法逆元，即对于任意的实数a，有a+(-a)=0。
9. 实数有乘法逆元，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1。 三、实数的应用 实数在数学中的应用十分广泛，下面我们分别从代数、几何和微积分等方面来介绍它的应用。 1. 代数 在代数中，实数用于求解多项式方程。对于一元多项式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中 $a_i(i=0,1,...,n)$是实数，其解为实数或虚数。在求解实数根时，可以用有理根定理求得多项式的整数根和分数根，然后利用余式定理计算余下的一元多项式，再用求根公式求解即可。 2. 几何 在几何中，实数用于描述平面和空间中点的位置和距离。如平面直角坐标系中，任一点的坐标都是实数。又如，设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，它们的距离为：
实数的概念 实数的概念是由，引出来的。现在通常所说的实数都指复数集合上的实数。这些具体的实数对象称作实数对象或者实数域，它们分别被称作实数集、实数域或实数环等等。但也有少数情况下使用实数域，如只讨论平面区域的几何问题时就可以不考虑其形状和大小而仅仅 考察其长度，即把实数域当作无穷大。除了特殊需求外，人们总是试图将实数集按照某种规律划分成若干个子集，最后构造成一个完整的闭合回路。比如：将实数集合划分为若干个连续区间(空间)，每一个连续区间(空间)都与原实数集合相交于一点，然后建立起闭合区间(空间)与开放区间(空间)之间的联系，从而得到全新的实数集；或者根据需要将实数域拓展到某个方向，扩充实数集的应用范围，产生新的性质等等。有些情况下我们还会遇到多个区间(空间)的情况，此时可能很难找到简单明确且能表示各个区间(空间)特征的元素，因此人们又设想建立一个全新的元素---实数系，用它来代替原实数集中的元素。同样，实数系也必须是闭合的。但事实证明，这两条途径是走不通的。经过许多学者的研究探索，目前人们已经认识到：所谓实数集的闭合性质并非绝对的，更重要的是它的一般化性质。从某种意义上讲，区间(空间)的“结合律”才是唯一的，也是正确的。至于拓扑结构，则早已发展成为独立的学科——拓扑学，而不再作为函数、微积分、群等数学内容的辅助工具了。 为什么要引入无理数呢?第一个原因是近代数学的需要。众所周知，19世纪末20世纪初，人们认识到三角函数和对数运算具有极值
性质，但没有证明或反例。直到1903年，大数学家高斯才创立了极值定理和函数的单调性定理，这才证明了三角函数和对数运算的极值存在性。在1904年，德国数学家希尔伯特首先提出著名的希尔伯特第二问题：实数域上是否存在连续函数?直接推动了实数系的建立，标志着实数域上连续函数的严格刻画。随后，柯西利用有限差数列研究函数的连续性获得突破性进展。 一、基本概念。实数的概念是由引出来的。现在通常所说的实数都指复数集合上的实数。这些具体的实数对象称作实数对象或者实数域，它们分别被称作实数集、实数域或实数环等等。但也有少数情况下使用实数域，如只讨论平面区域的几何问题时就可以不考虑其形状和大小而仅仅考察其长度，即把实数域当作无穷大。除了特殊需求外，人们总是试图将实数集按照某种规律划分成若干个子集，最后构造成一个完整的闭合回路。
实数的概念及例子 实数是数学中最基本的概念之一，它包含了所有的有理数和无理数。实数可以表示为有限小数、无限循环小数以及无限不循环小数。在实数的概念中，我们可以进行基本的数学运算，比如加减乘除，也可以进行比较大小。 首先，我们先来了解有理数。有理数是可以写成两个整数之比的数，其中分母不为零，例如：2、-3、1/2等。有理数是实数的子集，它们可以在数轴上找到对应的位置。比如，数轴上的0、1、-1、2等都是有理数。 除了有理数，实数中还包含了无理数。无理数是不能写成两个整数之比的数，它们的小数部分是无限不循环的。比如，√2、π、e等都是无理数。 举个例子来说明实数的概念。假设我们希望计算一个三角形的斜边长度，已知其底边长度为3，高为4。利用勾股定理，我们可以求得斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = 5。这里的√2就是一个无理数，属于实数的范畴。 除了上述例子中的无理数，实数中还有一类特殊的无理数，称为超越数。超越数是无理数的一种特殊类型，它们不能成为代数方程的根（即不能成为多项式方程的解）。例如，圆周率π和自然对数的底e都是超越数。 另外，实数还可以用小数的形式表示。小数可以是有限的，也可以是无限的。有限小数是指小数部分有限位数的数，例如0.5、1.25等。无限小数是指小数部分
有无限位数的数，它们可以有循环和非循环两种形式。 一个经典的例子是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。π约等于3.14，在十进制下的表示是一个无限的小数：3.1415926535...，它没有重复的循环部分。另一个例子是根号2（√2），它也是一个无限不循环的小数。 另一种无限循环小数的例子是1/3，它可以表示为0.33333...。这种无限循环小数的特点是小数部分有一个周期性的循环，即3不断重复。 除了有限小数和无限小数，实数中还有一种特殊形式的无理数，被称为无限不循环小数。无限不循环小数的小数部分没有任何规律可言，无法用有限位数的小数表示。例如，针对黄金比例（φ），它可以表示为1.6180339887...，这个数字是无限不循环的。 综上所述，实数是包括有理数和无理数的数集。有理数可以表示为两个整数之比，包括整数、分数以及有限小数和循环小数。无理数是不能以两个整数之比表示的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。实数的例子有很多，包括π、√2、e 等等。实数是数学中的基石，它们在代数、几何和分析等各个领域都有重要的应用。
实数的概念教案 【篇一：6.3 实数教学设计教案】 教学准备 1.教学目标 知识与技能： ①了解无理数和实数的概念以及实数的分类； ②知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 过程与方法： 在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。 情感态度与价值观： ①通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用； ②敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。 2.教学重点/难点 教学重点： ①了解无理数和实数的概念； ②对实数进行分类。 教学难点：对无理数的认识。 3.教学用具 4.标签 教学过程 一、复习引入无理数： 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。 通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。 二、实数及其分类： 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类： 按照定义分类如下： 按照正负分类如下：
3、实数与数轴上点的关系： 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？ 活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就 是。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。 归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 三、应用： 1、下列实数中，无理数有哪些？ 注：①带根号的数不一定是无理数， ②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。 2.判断下列说法是否正确： ⑴无限小数都是无理数； ⑵无理数都是无限小数； ⑶带根号的数都是无理数； ⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。 3、任意写出三个合适的数填在相应的集合里： 四、课堂小结 1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 . 五、布置作业 习题6.3第1、2、3题； 【篇二：《实数》(第一课时)教学设计】 15.3实数（第一课时）教学设计 一、教材分析 实数是“数与代数”领域的重要内容。，本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。本节是是实数的第一节课，主要通过折纸活动，让学生感受无理数产生的实际背景
实数的基本概念 知识梳理 1．知识结构 2．知识要点 （1）数轴 数轴三要素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的. （2）相反数 实数a 的相反数是－a ； 若a 与b 互为相反数，则有a +b =0，反之亦然； 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等. （3）倒数 若两个数的积等于1，则这两个数互为倒数. （4）绝对值 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； 即：() ()() ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>=000 0a a a a a a 所以 0≥a 几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离. （5）算术平方根 ()()() ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>==000 02 a a a a a a a （6）科学记数法 n a 10⨯，其中1 101<≤a （7）近似数和有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一 个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字叫这个数的有效数字. （8）实数大小的比较 利用法则比较大小；利用数轴比较大小 实数基本概念 实数的相关概念 数轴 相反数 绝对值 算术平方根 近似数和有效数字 实数的分类 实数大小的比较 倒数
（9）实数的分类 按定义分类： 按正负分类： 3．中考预测 实数的有关概念历来是中考考查的基本内容，涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等概念，多以填空、选择题的形式出现，而科学记数法和近似数、有效数字往往与生产、生活及科技领域相联系，有较强的应用性，是近几年考查的热点和趋势． 解题指导 例1 在 －π，－2 ，cos45°，3． ) 0 中，有理数的个数是( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 分析：本题考查有理数和无理数的概念，要深刻理解这两个概念，关建在于对无理数的认识，应是无限不循环小数。 解答：－π是无理数，cos45°=2 2是无理数，其余－2 =2，，3． ) 0=1均 为有理数，共有4个，应选C 。 点评：区分有理数和无理数，只需抓住无理数是无限不循环小数这一点，而对于有理数，都可以化为分数，比较好判断。 拓广： （1 ）在下列实数 22,,3.14159,tan 60, 7 π ） 实数 有理数 无理数 整数 分数 零 负整数 正分数 负分数 自然数 有限小数或无限循环小数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 实数 正实数 负实数 零 正整数 负整数 正分数 负分数 负有理数 负无理数 正有理数 正无理数
第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的． 从有理数到无理数,经历过漫长曲折的过程,是一个巨大的飞跃,由于引入无理数后,数域就由有理数域扩充到实数域,这样,实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算,完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质,是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根,建立概念的方法,以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． 有理数和无理数统称为实数,实数有下列重要性质： 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数p q 的形式；无理数是无限不循环小数,不能写成分数p q 的形式,这里p 、q 是互质的整数,且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解 [例1]若a 、b 满足b a 53+3=7,则S ＝b a 32-的取值范围是 ． <全国初中数学联赛试题> 思路点拨 运用a 、b 的非负性,建立关于S 的不等式组． 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为,宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示,这严重地冲击了当时希腊人的传统见解,这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受,相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． [例2] 设a 是一个无理数,且a 、b 满足ab －a －b+1=0,则b 是一个< > A ．小于0的有理数 B ．大于0的有理数 C ．小于0的无理数 D ．大于0的无理数 <武汉市选拔赛试题> 思路点拨 对等式进行恰当的变形,建立a 或b 的关系式． [例3]已知a 、b 是有理数,且0320 91412)121341()2331(=---++b a ,求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分,运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组． [例4]<1> 已知a 、b 为有理数,x,y 分别表示75-的整数部分和小数部分,且满足axy+by 2＝1,求a+b 的值． <南昌市竞赛题> <2>设x 为一实数,[x]表示不大于x 的最大整数,求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．<江苏省竞赛题> 思路点拨 <1>运用估算的方法,先确定x,y 的值,再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；<2>运用[x]的性质,简化方程． 注： 设x 为一实数,则[x]表示不大于x 的最大整数,[x]]又叫做实数x 的整数部分,有以下基本性质： <1>x －1<[x]≤x <2>若y< x,则[y]≤[x] <3>若x 为实数,a 为整数,则[x+a]= [x]+ a ． [例5] 已知在等式s d cx b ax =++中,a 、b 、c 、d 都是有理数,x 是无理数,解答：
1.1.01实数的概念 【知识要点】 一、实数的概念： 1.有理数：可以写成p /q 的形式的重要特征，其中p 、q 是互质的整数。 2.无理数：要抓住“无限不循环”这一实质。常见有四类：开不尽的方根；特定结构的数；特定意义的数；某些三角函数。 注意：判断实数的类型不能仅凭表面上的感觉，要根据循环性进行判断。 二、实数的三宝： 1.数轴：三要素是 、 、 ；实数和数轴上的点是 关系。 2.相反数：(1)a 的相反数是 ；(2)a 、b 互反⇔a ＋b ＝ ；(3) a 、b 互反⇔a 、b 在数轴上的点 。 倒数：(1)a (a ≠0)的倒数是 ；(2)a 、b 互倒⇔ab ＝ ；(3)0无倒数，a 与a 的倒数符号 。 3.绝对值：(1)代数意义： ()()() ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=000＜＝＞a a a a ，因此，实数的绝对值是一个 数。 (2)几何意义：从数轴上看，|a |就是表示a 的点到 的距离。 注意：去绝对值符号(化简)时，必须要对符号里面的数进行数性(正、负)分析。 三、实数的比较： 1.在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2.正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 【典型例题】 1.相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ，绝对值等于相反数的数是 ，绝对值等于倒数的数是 ，1.平方等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于本身的数是 ，立方等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 ，平方根等于算术平方根的数是 ，立方根等于倒数的数是 。 2.实数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，且b a 。化简：a b b a a --+- 3.若333)4 3(,)4 3(,)43(--=-=-=c b a ，比较a 、b 、c 的大小。 4.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd m b a +-+的值。
实数的概念及性质 实数是由有理数和无理数组成的。× 属于正实数的数是大于0的实数。√ 数轴上的点和实数是一一对应的。√ 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1或0.√ 若x=2则x=2.√ 实数包括有理数和无理数两部分。其中，无理数是指无限不循环小数，而有理数可以化为分数。需要注意的是，不是所有带根号的数都是无理数，只有开不尽的XXX才是无理数。 另外，圆周率π及一些含π的数也是无理数。 实数可以分为正整数、负整数、有限小数或无限循环小数、正分数、负分数、正无理数、负无理数等七类。其中，有理数包括整数和分数，而无理数包括无限不循环小数。 实数具有一些基本性质，例如任何实数都有一个相反数，任何非零实数都有倒数，正实数的绝对值是它本身，负实数的
绝对值是它的相反数，零的绝对值是0.此外，实数可以与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以在数轴上找到表示它的点。 对于无理数的大小比较，可以采用比较两个数的平方的大小、比较被开方数的大小、作差法、作商法等方法。需要注意的是，带根号的数不一定是无理数，一个实数的立方根只有一个，负数没有平方根。 综上所述，实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数两部分。对于实数的定义、分类和性质需要进行深入的研究和掌握。 C．坐标系中的点的坐标都是实数对。D．2是近似值， 无法在数轴上表示准确。 正确选项：C。 无需改写。 巩固3】下列实数7，，3.，8，327，12， 0.xxxxxxxx0……中无理数有（）。 正确选项：B。
需要改写为：在实数7，，3.，8，327，12，0.xxxxxxxx0……中，无理数的个数是3个。 例2】有下列说法： 1）无理数就是开方开不尽的数； 2）无理数是无限不循环小数； 3）无理数包括正无理数、零、负无理数； 4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（）。 正确选项：B。 无需改写。 例3】若|x|33，则x＝______；若|x|31，则x＝______． 正确答案：x=33或x=-33；x=3-1或x=-3+1. 无需改写。
第1课实数的概念及运算 一、【考纲解读】 二、【命题规律】 实数是中考必考知识点，在考查内容上，主要围绕实数的有关概念。如：相反数、倒数、数轴、绝对值等，还有实数的分类、实数的大小比较和实数的混合运算。不仅考查概念的掌握情况，而且还考查运算能力。这些年又出现了给出结果由学生自行探究计算式结构等类型的开放性、创新性的题目。 解决这类问题的关键是准确无误地理解与实数有关的概念，熟练掌握实数大小的比较方法、科学记数法以及实数的运算法则和技巧。 三、【知识梳理】 1．实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数. 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.。 3．绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 4．相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0. 5．有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 6．科学记数法： 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7．大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 8．数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂. 9．平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数
知识点1：实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数． 注意： 1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分． π、0.101001000100001 等这样的数叫做正无理数； π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数； π与π-，称它们互为相反数． 实数、数的开方知识结构 模块一 实数的概念和分类 知识精讲
3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类 ⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭ ⎪ →⎩整数有理数有限小数或无限循环小数 实数分数无理数无限不循环小数 （2）按性质符号分类 0⎧⎧⎪⎨ ⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 【例1】 写出下列各数中的无理数： 3.1415926，2 π ，.0.5，0，2 3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3）， 0.2121121112． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示． （1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数． （ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （ ） 【难度】★ 【答案】 【解析】 例题解析
【例3】a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例4】若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】?请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
初一数学春季班
知识点1：实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数． 注意： 1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分． 如2、π、0.101001000100001L 等这样的数叫做正无理数； 2-、π-、0.101001000100001-L 这样的数叫做负无理数； 只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数． 实数、数的开方 知识结构 模块一 实数的概念和分类 知识精讲
3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类 ⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭ ⎪ →⎩整数有理数有限小数或无限循环小数 实数分数无理数无限不循环小数 （2）按性质符号分类 0⎧⎧⎪⎨ ⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 【例1】 写出下列各数中的无理数： 3.1415926，2 π，16，.0.5，0，2 3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3）， 0.2121121112． 【难度】★ 【答案】2π 、0.1313313331…． 【解析】无限不循环小数都是无理数． 【总结】考查无理数的概念． 【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示． （1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数． （ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （ ） 【难度】★ 【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×． 【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数； （3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数． 【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系． 例题解析