平面向量得线性运算
学习过程
知识点一:向量得加法
(１）定义已知非零向量,在平面内任取一点Ａ，作＝，=，则向量叫做与得与，记作,即=+=.
求两个向量与得运算,叫做叫向量得加法．这种求向量与得方法,称为向量加法得三角形法则.
说明:①运用向量加法得三角形法则时,要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量得终点为起点,则由第一个向量得起点指向第二个向量终点得向量即为与向量、
②两个向量得与仍然就是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定.
③位移得合成可以瞧作向量加法三角形法则得物理模型.
（2)向量加法得平行四边形法则
以点O为起点作向量，，以OA,ＯB为邻边作,则以Ｏ为起点得对角线所在向量就就是得与,记作=。
说明：①三角形法则适合于首尾相接得两向量求与,而平行四边形法则适合于同起点得两向量求与,但两共线向量求与时，则三角形法则较为合适、
②力得合成可以瞧作向量加法平行四边形法则得物理模型．
③对于零向量与任一向量
(3)特殊位置关系得两向量得与
①当向量与不共线时,＋得方向不同向，且｜+|<｜|＋||;
②当与同向时，则+、、同向,且|+|=|｜+||，
③当与反向时，若||>||,则＋得方向与相同,且|＋｜=||－|｜;若||＜||,则+得方向与相同，且|+ｂ|=||－||、
(4)向量加法得运算律
①向量加法得交换律:+=+
②向量加法得结合律:(+) ＋=＋ (+)
知识点二:向量得减法
(1)相反向量：与长度相同、方向相反得向量、记作-。
(2)①向量与-互为相反向量,即–（-）、
②零向量得相反向量仍就是零向量.
③任一向量与其相反向量得与就是零向量,即 +(-)＝(-)+＝．
④如果向量互为相反向量，那么＝-,＝－,＋=.
（3)向量减法得定义:向量加上得相反向量,叫做与得差、
即: -= ＋(- ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、
(4)向量减法得几何作法
在平面内任取一点O，作，则．即可以表示为从向量得终点指向向量得终点得向量，这就就是向量减法得几何意义.
说明:①表示、强调:差向量“箭头”指向被减数
②用“相反向量”定义法作差向量,- = ＋ (-）, 显然,此法作图较繁，但最后作图可统一、
知识点三:向量数乘得定义
（1)定义:一般地,我们规定实数与向量得积就是一个向量,这种运算叫做向量得数乘,记作,
它得长度与方向规定如下:
⑴|λ|＝|λ|｜|
⑵当时,λ得方向与得方向相同;当时，λ得方向与得方向相反.
当时，λ=
(2) 向量数乘得运算律
根据实数与向量得积得定义,我们可以验证下面得运算律：
设、为实数,那么
知识点四:向量共线得条件
向量(）与共线,当且仅当有唯一一个实数，使=.
学习结论
(1）两个向量得与仍然就是向量,它得大小与方向可以由三角形法则与平行四边形法则确定,这两种法则本质上就是一致得.
共线向量加法得几何意义,为共线向量首尾相连接，第一个向量得起点与第二个向量得终点连接所得到得有向线段所表示得向量.
(2)可以表示为从向量得终点指向向量得终点得向量
(3)实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量数乘得几何意义就就是几个相等向量相加.
（4)向量(）与共线,当且仅当有唯一一个实数,使＝。
练习
例1.已知任意两个非零向量,作，试判断Ａ、Ｂ、C三点之间得位置关系.
解:∵=－＝a＋2b-(a＋b)=b,
且 =－=ａ+3b－(a+ｂ）=2 b，
∴＝2．
所以,A、Ｂ、C三点共线.
例2、如图,平行四边形ABCＤ得两条对角线相交于点,且=,＝,试用，表示向量.
解析：=,所以,所以
例３、一艘船从长江南岸A点出发以５ km/h得速度向垂直于对岸得方向行驶,同时江水得流速为向东２ km/h．
⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行得速度(保留两个有效数字);
⑵求船实际航行速度得大小与方向(用与江水速度间得夹角表示，精确到度）、
分析:速度就是一个既有大小又有方向得量,所以可以用向量表示,速度得合成也就就是向量得加法、
解析:⑴如图,设表示船向垂直于对岸行驶得速度,表示水流得速度,以AD 、A Ｂ作邻边作平行四边形A ＢＣD,则就就是船实际航行得速度、
⑵在Rt △A ＢC 中，｜|=2，｜|＝5,
∴ ||＝
∵ ｔan ∠CA Ｂ＝，∴
答:船实际航行速度得大小约为5、4 km/h,方向与水得流速间得夹角为约为68°、
１、（2006上海理）如图,在平行四边形A ＢＣD 中,下列结论中错误得就是( )
（Ａ)=; (Ｂ)+=; (C)－＝； (D)+=．
2.（20０7湖南文)若O 、Ｅ、F 就是不共线得任意三点,则以下各式中成立得就是( ） Ａ. Ｂ、
C 、
D 、
3.(２０03辽宁）已知四边形ABC Ｄ就是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C ）,则( ) ?Ａ.? B.
Ｃ.?D ．
４、(2０08辽宁理)已知O ,A ，B 就是平面上得三个点,直线AB 上有一点C ,满足,则( )
A. ?
B. ?
C. D ．
5．(2０03江苏;天津文、理)就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足得轨
迹一定通过得( )
?（A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
６.(200５全国卷Ⅱ理、文)已知点,,.设得平分线与相交于，那么有,其中等于( )
（A)２ (B) (C)－３ (D)－
7．设就是两个不共线得非零向量,若向量与得方向相反,则k=_＿__＿__＿＿_、
8、（200７江西理）.如图,在△ABC 中,点O 就是ＢＣ得中点,过点O 得直线分别交直线A Ｂ、AC 于不同得两点M 、N ，若＝ ｍ，=n,则m+ｎ得值为 .
9．(200５全国卷Ⅰ理)得外接圆得圆心为Ｏ,两条边上得高得交点为H,,则实数ｍ
＝
10、(2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、,其中与得夹角为１20°,
与得夹角为３0°,且=＝1，=、若＝得值为 、
例1、 B. 例2.A. 例３．B 、
(三)基础训练:
1、 C; 2.B 、 ３.A ． ４、 A. 5.Ｂ 6.Ｃ; ７．_—4__;8、 ２ ．9. １ ;10、 、
(四)拓展与探究:
11、D.; １2、 ，、
平面向量得线性运算(复习课)
复习目标：
? 1、掌握向量加、减法得运算，并理解其几何意义、
? 2、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线得含义、
? 3、了解向量得线性运算性质及其几何意义、
重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义、
A B D
难点:应用向量线性运算得定义、性质灵活解决相应得问题、
一、学案导学自主建构
复习1:向量得加法复习２：向量得减法已知向量a与向量ｂ,作向量a+b、已知向量a与向量b,作向量ａ-ｂ、
复习3:向量得数乘复习4：平面向量共线定理
已知向量a,作向量3a与-3a、
二、合作共享交流提升
１、填空: ---－-- ---－-?----－---
+=-∠=
在平行四边形中，若则
(4)___
ABCD AB AD AB AD BAD
２、判断题:
（１)相反向量就就是方向相反得向量
(2)
（3)
（４) 在△ABC中,必有
（５)若,则A、B、Ｃ三点必就是一个三角形得三个顶点。
三、案例剖析总结规律
例1:根据条件判断下列四边形得形状
==四边形的对角线与相交于点，并且
ABCD AC BD O AO OC DO OB
(6),
例２、如图,在中,延长BＡ到Ｃ，使ＡC=BA,在OB上取点Ｄ,使ＢD＝OB、ＤＣ与ＯＡ交于E，设请用
、
例３、设?ＡＢCD一边AB得四等分点中最靠近Ｂ得一点为E,对角线BD得五等分点中靠近B得一点为Ｆ,求证：Ｅ、Ｆ、C三点在一条直线上．
四、反馈矫正形成能力
跟踪训练:
1、有一边长为１得正方形ABＣD,设
求：
2、已知A、B、C就是不共线得三点,O就是△AＢC内得一点,若＝０,则Ｏ就是△ABC 得——————(填内心、重心、垂心、外心等)、