D
A
B
C
E
相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三
角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．
1、相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，
A A ∠=∠， ADE
B ∠=∠，AED
C ∠=∠；
1
2AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．
用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、
点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．
用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．
相似三角形
内容分析
知识结构
模块一：相似三角形的判定
知识精讲
2 / 31
A
B
C
A 1
B 1
C 1
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽
ABC ∆．
3、相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
常见模型如下：
A B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
A 1
B 1
C 1
A
B
C
A 1
B 1
C 1
4、相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111
AB AC
A B AC =
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
5、相似三角形判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111
AB BC CA
A B B C C A ==
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
6、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111
AB BC
A B B C =
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
4 / 31
【例1】如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应 添加的一个条件为____________，或____________，或____________．
【答案】C ABP ∠=∠，ABC APB ∠=∠，
AB AP
AC AB
=
． 【解析】根据相似三角形的判定定理1和判定定理2，题 目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两
边对应成比例的条件即可．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理2一定是夹等角的两条边对应成比例．
【例2】下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似
D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似
【答案】B
【解析】有一个角是40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三 角形形状，A 错误；有一个角是106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角 形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理1，B 正确；面积相等的直 角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C 错误；两边之比为3:5，不能确 定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，即不能确定直角三角形形状相同，
D 错误．
【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能用判定定理证明相似．
【例3】下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则
例题解析
A
B
C
P
A
B C
与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据已知ABC ∆，得对应两直角边之比2AB
BC
=，三角形与ABC ∆相似，则两条直
角边之比也为2，只有C 选项满足．
【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．
【例4】如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8，BD = 4，
则DC 的长等于（ ）
A ．415
B ．125
C ．
17
4
D ．
154
【答案】D
【解析】由:3:5AD DE =，AE = 8，可得3AD =，5DE =， 由C E ∠=∠，结合一对对顶角BDE ADC ∠=∠，可得
BDE ∆∽ADC ∆，
由此则有BD DE AD CD =，代入即为45
3CD =，
即得:15
4
CD =
，故选D ． 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．
【例5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；
A B
C
D
E
6 / 31
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对 B ．两人都不对
C ．甲对乙不对
D ．甲不对，乙对
【答案】C
【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内 角都相等，根据相似三角形判定定理1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边
分别变为5和7，35
57≠，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故
选C ．
【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到两三角形相似，对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．
【例6】如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则 MN =______．
【答案】
12
5
． 【解析】连结AM ．由AB = AC = 5，M 为BC 中点， 可知AM BC ⊥，3BM CM ==，由勾股定理可得：224AM AC CM =-=．
由面积法，可得：AM MC MN AC ⋅=⋅，即得4312
55
AM MC MN AC ⋅⨯=
==． 【总结】考查图形性质的综合应用，本题中也可用“子母三角形”通过相似解题．
【例7】如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交
于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．
【答案】6．
【解析】////AB CD AD BC ，，结合BP // DF ，由相
图1
图2 1
1 1 1
1
1
1 A
B
C
D E
F
P
A
B
C
N
M
A
B
C
D
E
F
似三角形预备定理，知CDF ∆、BEF ∆、ABP ∆、
AED ∆四三角形两两相似，即共有6对相似三角形．
【总结】考查相似三角形的预备定理，由平行可证相似，同时考查相似三角形的传递性．
【例8】如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数
是（ ）． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理2，首先易得 90A B ∠=∠=︒，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例
即可，分成两种情况讨论，即AD AP BP BC =或AD AP
BC BP
=
，可分别
得到2AP =或6AP =或24
7
AP =
，即满足条件的P 点有3个，故选C ． 【总结】考查相似三角形判定定理2的应用，注意进行分类讨论，要经过准确计算，不能直接分两种情况得出两种结果．
【例9】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）
A ．32
B ．76
C ．
25
6
D ．2
【答案】B
【解析】根据勾股定理，可得225AB BC AC =+=，则有 15
22
BD AB =
=，由90BDE ACB ∠=∠=︒，A ∠为公共角， 根据相似三角形判定定理1，可证ABC ∆∽EBD ∆，则有
AB BD BE BC =
，代入线段可求得256BE =，则7
6
CE BE BC =-=． 【总结】考查相似三角形判定定理和性质的综合应用，先判定再应用性质．
【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线 段DE 上一点，且AFE B ∠=∠． （1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；
（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．
【答案】（1）略；（2）6
A
B
C
D P
A
B
C
D
E
8 / 31
A
B C
D
E
F
【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
////AB CD AD BC ∴，．
180ADF DEC B C ∴∠=∠∠+∠=︒，． 180AFE AFD AFE B ∠+∠=︒∠=∠，， AFD C ∴∠=∠，
∴ADF ∆∽DEC ∆．
（2）解：由（1）ADF ∆∽DEC ∆，
∴AF AD CD DE
=， 即
4363
8DE
=
，解得：12DE =． AE BC ⊥，
∴90EAD ∠=︒，
根据勾股定理，即得：226AE DE AD =-=．
【总结】考查相似三角形判定定理1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意对相关图形及性质的应用．
【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是 边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DF
GB DB
=
． 【答案】略．
【解析】证明：（1）AD // BC ，AB = DC ，
G
BAD CDA
∴∠=∠．
AB DC AD AD
==
，，ABD DCA
∴∆≅∆．
ACD ABD
∴∠=∠．
CDE ABD
∠=∠，
ACD CDE
∴∠=∠．
//
AC DE
∴．
AD // BC，
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）//
AD BC，
∴
AD DF
BC FB
=．
AD DF
BC AD DF FB
∴=
++
．
四边形ACED是平行四边形，
∴AD CE
=，
∴
AD DF
BC CE DF FB
=
++
，即
AD DF
BE DB
=．
//
AD BE，
∴
DG AD
GB BE
=，
∴
DG DF
GB DB
=．
【总结】考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化．
【例12】如图，在ABC
∆中，AB = AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF 与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：2
AD DG BD
=；
（2）联结CG，求证：ECB DCG
∠=∠．
【答案】略
【解析】证明：（1）
11
22
AB AC AE AB AD AC
===
，，，
AD AE
∴=．
A
B C
D
E
F
G
10 / 31
BAD CAE ∠=∠， BAD CAE ∴∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠．
AD CD DF AC =⊥，， AF CF ∴=． GAC ACE ∴∠=∠．
ABD GAD ∴∠=∠． ADB GDA ∠=∠， ADG ∴∆∽BDA ∆．
AD DG
BD AD
∴=
，即证2AD DG BD =． （2）
AD CD =，
2AD DG BD =，2CD DG GB ∴=⋅． 即
CD GB DG CD
=
． GDC BDC ∠=∠， GDC ∴∆∽CDB ∆． DBC DCG ∴∠=∠． AB AC =，
同（1）易证ECB DBC ∠=∠，
ECB DCG ∴∠=∠．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，另一方面考查了相似三角形的判定及性质，解题时注意对条件认真分析以及灵活运用．
【例13】在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点
重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．
【答案】14或50或64．
【解析】由AB = 40，AC = 24，BC = 32，三角形三边满足222AC BC AB +=，即ABC ∆为直 角三角形，其中90ACB ∠=︒，D 在射线BC 上，相似三角形对应关系不确定，可知存 在以下几种情形：
（1）D 在线段BC 上，此时ADC ∆∽BAC ∆，则有
AC DC
BC AC
=
，可得18DC =，则321814BD BC DC =-=-=；
（2）D 在线段BC 延长线上，ADC ∆∽BAC ∆时，同（1）可得50BD BC DC =+=； （3）D 在线段BC 延长线上，DAC ∆∽BAC ∆时，则有DAC ∆≌BAC ∆，
264BD BC ==．
【总结】相似三角形的存在性问题，题目未给明对应关系，一定要注意进行分类讨论，本题中的点在射线上则更需要注意在线段延长线上时的情况．
【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持
AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？
【答案】12BM =时四边形ABCN 有最大面积5
8． 【解析】由90B ∠=︒，则有90BAM AMB ∠+∠=︒，
AM ⊥MN ，则90NMC AMB ∠+∠=︒，NMC BAM ∠=∠，
由90B C ∠=∠=︒，可证ABM ∆∽MCN ∆．
则AB BM
MC CN =
，设BM x =，则1MC x =-，2CN x x =-， 则有
()()2
211115122228
ABCN
S CN AB BC x x x ⎛⎫=+⋅=-++=--+ ⎪⎝⎭． 由此可知当12x =
，即12BM =时，四边形ABCN 有面积最大值5
8
．
【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．
【例15】如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕
为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．
【答案】12．
【解析】设DF x =，根据翻折的性质，则有EF x =， 6AF x =-，在Rt AEF ∆中，用勾股定理，则有
222AE AF EF +=，即()2
2236x x +-=，解得15
4
x =
， 则9
4
AF =
，由90A ∠=︒，则有90AFE AEF ∠+∠=︒， 同时90FEG D ∠=∠=︒，则90AEF EBG ∠+∠=︒，
A
B
C
D
E F
G
H Q
A B
C
D
N
M
12 / 31
K M
N
H
G F
E
D
C B
A
得：AFE BEG ∠=∠，由90A B ∠=∠=︒，可证AEF ∆∽BGE ∆．
则AE AF EF
BG BE GE
==
，即9153443BG GE ==，解得4BG =，5EG =，故12EBG C cm ∆=． 【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．
【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC 的中点，若动 点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为
t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？
【答案】955t =
或5t =或35t =或115
5
t =． 【解析】根据勾股定理，可得2225AB AC BC =+=，点E 沿 A B A →→运动时，B ∠大小固定不变，可能存在90DEB ∠=︒和 90EDB ∠=︒两种情形：
（1）当90DEB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90DEB C ∠=∠=︒，得DEB ∆∽
ACB ∆，则有
DB EB
AB BC =
，即1225
EB =，得55EB =，此时存在两种情形，即955t =或1155t =； （2）当90EDB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90EDB C ∠=∠=︒，得EDB ∆∽ACB ∆，则有
EB DB
AB BC =
，即1225EB =，得5EB =，此时存在两种情形，即5t =或35t =． 【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．
【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上， EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中
点，求AG
FD
的值．
【答案】
43
． 【解析】延长AC 到M ，使AM AB =，连结DM ，过点
M 作//MN AD 交GE 于点N ，交BE 于K ．
∵AD 为ABC ∆的角平分线， ∴点D 到AB 、AC 的距离相等． 则5
4
ABD ACD S BD AB CD S AC ∆∆===．
A
B
C
D
E
AB AM BAD MAD AD AD =∠=∠=
，，，BAD MAD
∴∆≅∆，
5
4
DM BD DC
∴==．
//
MN AD，
4
DC AC
CK CM
∴==．
5
4
DK DC DM
∴==，即M DK
∆是等腰三角形．
EF AD FG FD
⊥=
，，DEG
∴∆是等腰三角形．
∵//
MN AD，GDE DKM
∴∠=∠．
∵DK DM DE GE
==
，，KDM DEG
∴∠=∠．
//
GE DM
∴．
∴四边形DMNG是平行四边形．
2
MN GD FD
∴==，又H是AC中点，
22
AG AG AH
FD MN HM
∴==．
∵
1
2
2
113
42
AC
AH
HM AC AC
==
+
,
∴
4
3
AG
FD
=．
【总结】考查角平分线，等腰三角形，全等，相似，平行四边形知识的综合应用，难度大，主要在于添加正确的辅助线．
1、相似三角形性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
2、相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比等于相似比．
模块二：相似三角形的性质
知识精讲
14 / 31
3、相似三角形性质定理3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12 cm ，
那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．
【答案】20
【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比3:5k =，两三角形
对应中线长之比也等于3:5k =，即得大三角形对应边上中线长为3
12205cm ÷=．
【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．
【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，
则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．
【答案】5:5，
(
)
51:4+
【解析】:1:4ADE BCED S S ∆=，得:1:5ADE ABC S S ∆∆=，可得相应相似比1:55:5k ==，则
:5:5ADE ABC C C k ∆∆==，:5:5AD AB k ==，()(
)
:5:5551:4AD DB =-=
+．
【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．
【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC ∆ 与DCA ∆的面积比为（ ）
A ．2 : 3
B ．2 : 5
C ．4 : 9
D ．2:3
【答案】C
【解析】由AD // BC ，可得BCA CAD ∠=∠，结合 90B ACD ∠=∠=︒，可证ABC ∆∽DCA ∆，则有
23AB k DC ==，则2
22439ABC DCA S k S ∆∆⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，故选C ．
【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．
例题解析
A
B
C
D
A
B C
D
E 【例21】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长 分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）
A ．只有1个
B ．可以有2个
C ．可以有3个
D ．有无数个
【答案】B 【解析】由68
34
=，可知这两条边分别为对应边，相似比2k =，第一个直角三角形中第三 边长有两种情况，即226810+=或228627-=，由此得
10
2x
=或272x =，解得
5x =或7x =，故选B ．
【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．
【例22】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，2
3AD AE DE AB AC BC ===，
且ABC ∆与ADE ∆
的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．
【答案】45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=． 【解析】2
3
AD AE DE AB AC BC ===，可知ADE ∆∽ABC ∆，其相似比
2
3
k =，则23ADE ABC C k C ∆∆==，又15ABC ADE C C ∆∆-=，可得：
45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=．
【总结】考查相似三角形的判定和性质的结合应用．
【例23】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，
则:BDE ACD S S ∆∆=______．
【答案】1:20．
【解析】由:1:4BDE CDE S S ∆∆=，即得:1:4BE CE =，由DE // AC ，
即得：
1
4
BD BE AD CE ==，可得：14BCD ACD S BD S AD ∆∆=
=，则有120BDE ACD S S ∆∆=． 【总结】等高三角形面积比等于底边长之比，结合三角形的相似性质即可．
A
B C
D E
16 / 31
M
N
D
C
B
A
【例24】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB
边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，
那么四边形MABN 的面积是______． 【答案】183．
【解析】连结CD ，即得MN 垂直平分CD ，由MN // AB ， 即得M 是AC 的中点，CMN ∆∽CAB ∆，
则2
2
1124
CMN CAB S CM S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由此可得：13
3362318322
MABN CMN S S MC NC ∆==⨯⋅=⨯⨯=．
【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．
【例25】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交
DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，42BG =，则EFC ∆的周长为______．
【答案】8．
【解析】由//AD BC ，得DAE AEB ∠=∠，由AE
平分BAD ∠，得BAE DAE AEB ∠=∠=∠， 可得6AB BE ==，由BG AE ⊥，42BG =， 根据勾股定理可得222GE BE BG =-=，
则有24AE GE ==，3EC BC BE =-=，由//AB CF ，得EAB ∆∽EFC ∆，
由此即得6
23
ABE EFC C BE C EC ∆∆===，由16ABE C AB BE EC ∆=++=，得8EFC C ∆=．
【总结】考查相似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A ”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型．
【例26】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，
A
B
C D
E
F
G
A
B
C
D
E
过点E 作ED // BC 交AB 于点 D ． （1）求证：AE BC BD AC =；
（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．
【答案】（1）略；（2）10． 【解析】（1）证明：//ED BC
DE AE
DEB EBC BC AC
∴∠=∠=
， DBE EBC ∠=∠ DEB DBE ∴∠=∠ DE BD ∴= BD AE
BC AC
∴=
即证AE BC BD AC = （2）解：由3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，即得32ADE BDE S AD BD S ∆∆==，则有3
5
AD AB =，由ED // BC ，
可得：
3
5
DE AD BC AB ==，代入求得10BC =． 【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型的应用．
【例27】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点 D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应
点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆，则AD =______．
【答案】
16
5
． 【解析】由90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得 228AC AB BC =-=，由90C EDA ∠=∠=︒，A A ∠=∠，
可证ADE ∆∽ACB ∆，则有
AF AD DF
AB AC BC ==
，可设3DE a =，则45AD a AE a ==，，
1
22
DE AD a =
=，则13EF a =，根据翻折性质，得111213A E AE a E F EF a ====，， 1106BE a =-，11E FA ∆∽1E BF ∆，则有11111E F E A
E B E
F =，
即
13210613a a a a
=-，解得4
5a =，
由此即得16
45
AD a ==
． 【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．
【例28】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，
且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．
A
B
C
D E F A 1
E 1
18 / 31
M
F
E
D
C
B
A
【答案】1．
【解析】延长DF 交AC 于M ， 由勾股定理，可得224AC AB BC =-=，
90DFE C DMC A ∠=∠=︒∠=∠，，
EFM ∴∆∽DCM ∆∽BCA ∆．
3345
EF DC BC EF BC EM MC AC EM AB ∴=====，． 设BD x =，则有CE EF x ==，53EM x =，3DC x =-，8
3
MC x =，
即有
33
843
x x -=，解得：1x =，即1BD =． 【总结】相似三角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．
【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P 从 点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点 同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动 时间为t 秒．
（1）求线段CD 的长；
（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时 刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？
【答案】（1）245
；（2）2248
525S t t =-+， 1.8t =或3t =时，
:9:100CPQ ABC S S ∆∆=；（3）125t =
或14455t =或24
11
t =． 【解析】（1）根据勾股定理，可得2210AB AC BC =+=， 由直角三角形面积法，则有CD AB AC BC ⋅=⋅，
解得：24
5
CD =；
（2）过点P 作PH AC ⊥交AC 于H ， 90PHC ACB ∠=∠=︒，CPH A ∠=∠， PHC ∴∆∽ACB ∆，
PH PC
AC AB
∴=
． A
B
C
D
P
Q
H
依题意可得CQ PD t ==，则24
5
CP t =-， 代入即为：245810
t
PH -=， 解得：424496
55525PH t t ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭
．
21149624822525525S QC PH t t t t ⎛⎫∴=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中24
05
t ≤≤
； 若存在某一时刻，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=，
则有224891685251002S t t =-+=⨯⨯⨯，
整理得：2524270t t -+=，
解得：129
35
t t ==，，均符合题意；
（3）分类讨论：
①CQ CP =，即24
5
t t =-，
解得：125
t =
； ②PQ CP =，根据等腰三角形的性质可得6
25QC CH CP ==，
即得
62455
t t =-，解得：144
55t =； ③CQ PQ =，同理②，可得
5
24
65
t t =-， 解得：2411
t =
． 综上：当CPQ ∆为等腰三角形时，t 的值为
125或14455或2411
． 【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．
20 / 31
A B C
【习题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆ 相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【难度】★ 【答案】B
【解析】由已知ABC ∆，可得一钝角135ABC ∠=︒，夹这个钝角两边之比2
2
AB BC =
，三角
形与ABC ∆相似，则必有一角135︒，且夹这个角两边长之比为
2
2
，只有B 选项满足． 【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．
【习题2】如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则
长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．
【答案】AE 和AB ．
【解析】AE = AB ，得ABE AEB ∠=∠，AEB C EBC ∠=∠+∠， 即得ABD DBE C EBC ∠+∠=∠+∠，BE 平分CBD ∠，
即为DBE EBC ∠=∠，由此可得ABD C ∠=∠，又A A ∠=∠，
即证ABD ∆∽ACB ∆，则有AD AB
AB AC
=
，又AE = AB ，即得． 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，先判定相似再应用性质，注意题目中一个条件的多种用途．
【习题3】如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、
随堂检测
A
B
C
D
E
专题02 相似三角形 【真题测试】 一、选择题（本大题共7题，每题4分，满分28分） 1.（2019杨浦10月考2）下列各组图形中不一定相似的是( ) A. 各有一个角是45°的两个等腰三角形 B. 各有一个角是60°的两个等腰三角形 C. 各有一个角是105°的两个等腰三角形 D. 两个等腰直角三角形 2.（2019育才10月考5）已知ABC ?的三边长为4, 5,6cm cm cm , DEF ?的一边长为2cm ,若两个三角形相似，则 DEF ?的另两边长不可能是( ) A. 2.5,3cm cm B. 1.6,2.4cm cm C. 45,33cm cm D. 1.6,2.5cm cm 3.（青浦2020一模1）如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ） A. 1∶2； B. 1∶4； C. 1∶6； D. 1∶8． 4.（2019杨浦10月考6）如图，把△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若AB ，则此三角形移动的距离是（ ） A B C D E F A. ﹣1; B. 2 ; C. 1; D. 2 . 5.（崇明2020一模6）如图，在ABC ?中，点 D 、E 分别在 AB 和 AC 边上且 //DE BC ，点 M 为 BC 边上一点（不与点 B 、C 重合），联结 AM 交 DE 于点 N ，下列比例式一定成立的是（ ） N A B C D E M A. AD AN AN AE ； B. DN BM NE CM =； C. DN AE BM EC =； D. DN NE MC BM 6.（嘉定区2019期中6）如图，在矩形ABCD 中，P 为BC 边的中点，E 、F 分别为AB 、CD 边上的点，若 BE ＝2，CF ＝3，∠EPF ＝90°，则EF 的长为（ ）
D A B C E 相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三 角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合． 1、相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠； 1 2AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似． 用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、 点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上． 相似三角形 内容分析 知识结构 模块一：相似三角形的判定 知识精讲
2 / 31 A B C A 1 B 1 C 1 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ ABC ∆． 3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆． 常见模型如下： A B C D E A B C D E A B C D E
一、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为a b ）； 如果:: a b c d =（或a c b d =），那么就说a、b、c、d成比例． 二、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 相似三角形知识结构 模块一：比例线段 知识精讲
2 / 34 如果 a c b d =，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =． （2） 合比性质： 如果 a c b d =，那么a b c d b d ++= ； 如果 a c b d =，那么a b c d b d --= ． （3） 等比性质： 如果 a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+． 三、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d =） ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数． 五、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ?，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么 AD AE DB EC = ． A P B l A B C D E A B C D E A B C D E l l
《相似三角形的判定》复习课 一、 复习提问 问：证明两个三角形相似的判定方法有哪些？ 学生口答：A 、预备定理 B 、判定定理1、2、3. C 、直角三角形相似的判定定理 二、精选习题，整合已学知识 例1、如图，∆ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 、AC 分别于D 、E ，DC 、BE 相交于点O ，图中相似的三角形有多少对？为什么？ 分析： 学生易发现：∆ADE ∽∆ABC 和∆DOE ∽∆COB 。 我进一步问：是否还有其他的相似三角形？ 教学目标： 1.掌握相似三角形的判定定理，并能准确运用。 2.认识几种常见的基本图形，提高识图能力。 3.通过题目的分析、推导，提高逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力。 教学重难点： 重难点：相似三角形的判定及其应用。 O E E A B D D O E B D
（让学生思考） 再问：∆DOB与∆EOC是否相似？ 【设计意图】：此题难度较小，学生基本都能看出相似三角形，通过此题，让学生回顾相似三角形中的最基本图形，即“正A型”和“正X型”。再次追问的目的是让学生思考在运用“两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似”这个判定时要清楚什么叫对应边成比例，此处是学生的易错点，故我特意强调，并让学生多加思考。 练习1： 如图，AC‖DF，∠B=∠F，图中有多少对相似三角形？理由是什么？ 分析： 学生容易发现由AC//DF得到△BDE∽△BAC、△AMC∽△MEF，以及已知∠B=∠F得到 △BDE∽△FME。 教师引导学生进一步观察图形，找出图中“斜A”型，初步判断是否相似，然后找满足相似的条件，进而找到△BAC∽△AMC，△BDE∽△AMC。 【设计意图】：此题较基础，重点在于通过题目让学生熟练掌握基本图形，能快速看出“A 型”和“X型”，能快速找到证明相似的条件，准确运用判定定理。 例2、如图1，在∆ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠ACB. (1)证明：△ADE∽△ACB. (2)如图2，连接CD、BE，CD与BE相交于点O.证明：∆ABE∽∆ACD.
24.4-5相似三角形（2021上海各区一模和二模） 一、解答题 1． （2021·上海九年级一模）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CH△AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ． （1）求证：△ACE∽△ABD ； （2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）先证ACH B ∠=∠，再证AEC ADB ∠=∠，利用相似三角形的判定求解即可； （2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出ACE ACD S AE S AD =和ACD ABD S CD S BD =，再根据△ACE∽△ABD ，得出结果． 【详解】 证明（1）∵∠ACB=90°，CH△AB ， ∴∠CHA=90°=∠ACB ， ∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH ， ∴ACH B ∠=∠，
∵CE CD =， ∴CED CDE ∠=∠， ∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°， ∴AEC ADB ∠=∠， ∴ACE ABD ∽； （2）∵△ACE 与△ACD 同高， ∴ACE ACD S AE S AD =， ∵△ACD 与△ABD 同高， ∴ACD ABD S CD S BD = ， ∵CD=CE ， ∴ACD ABD S CE S BD =， ∵△ACE∽△ABD ， ∴AE CE AD BD = ， ∴ACE ACD ACD ABD S S S S = ， ∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 2． （2021·上海九年级一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点
24.4相似三角形的判定 一、单选题 1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（） A．AB∥CD B．A D ∠=∠ C．OA OB OD OC =D． OA AB OD CD = 【答案】D 【解析】 本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DO C、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由OA OB OD OC =、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD =，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选 项符合题意． 故选：D 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（） A．AD AE BD EC =B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC = 【答案】D 【解析】 由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可． 【详解】 解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意； 两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意； 由AE﹒AC=AB﹒AD得AD AC AE AB =，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意； 而D不是夹角相等，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】 相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 3．下列各组图形中，不一定相似的是（） A．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【答案】D 【解析】 根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解． 【详解】
沪教版九年级上册数学第二十四章相 似三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，在反比例函数y=- 的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（） A.2 B.4 C.6 D.8 2、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（） A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 3、已知函数y= 的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论： ①若点M 1（x 1 ， y 1 ），M 2 （x 2 ， y 2 ）在图象上，且x 1 ＜x 2 ＜0，则y 1 ＜y 2 ； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S =7.5，AP=4BP； △AOB ④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2 ，﹣）． 其中正确的结论个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 4、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH 与AC交于G，则GH=（） A. cm B. cm C. cm D. cm 5、如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( ) A.(2，0) B.(1，1) C.( ，) D.(2，2) 6、已知与相似，且相似比为，则与的面积比（） A. B. C. D.
专项训练(二) 相似三角形的判定和性质综合 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每题4分,共32分) 1.在一张缩印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的6 cm 变成了2 cm,则缩印出来的三角形的面积是原图中三角形面积的(C ) A.1 3 B.1 6 C.1 9 D.1 12 2.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,且AD =6,DB =4,BC =15,则DE 的长度为(B ) A.6 B.9 C.10 D.12 第2题图 第3题图 3. 如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交AC 于点E.如果AE EC =35,那么AC AB =(B ) A.35 B.53 C.8 5 D.2 4.如图所示,在梯形ABCD 中,若AD ∥BC ,S △ABD S △BCD =12,则S △BOC S △BCD =(D ) A.12 B.14 C.32 D.2 3 第4题图
第5题图 5.如图,已知点A(0,4),B(4,1),BC⊥x轴于点C,P为线段OC上一点,且PA⊥PB,则点P的坐标为(A) A.(2,0) B.(1.8,0) C.(1.5,0) D.(1,0) 6.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知∠BAD=∠AOD,AB=2,则AC的长为(A) A.2√2 B.3√3 2C.5 2 D.14 5 第6题图 第7题图 7.如图,在△ABC中,AB=2AC,点D在BC上,延长AD到点E,使AD=DE,过点E作EG∥AC交BC 于点F,交AB于点G.若AG=6,EG=7,则BG的长为(C) A.6 B.5 C.4 D.3 8.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分∠DCB,交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①OE⊥AC;②S▱ABCD=AC·BC;③OE∶AC=√3∶6;④S△AOE =3S△OEF.其中正确结论有(D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第2课时相似三角形的判定定理1 1．能正确地理解相似三角形的判定定 理1；(重点) 2．能熟练地运用相似三角形的判定定 理1(难点) 一、情境导入 根据相似三角形的定义，三角分别相 等、三边对应成比例的两个三角形叫做相 似三角形．那么，两个三角形至少要满足 哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形 全等的条件寻找判定两个三角形相似的条 件呢？ 二、合作探究 探究点一：相似三角形的判定定理 1 在△AB和△A′B′′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由．解：△AB∽△A′B′′ 理由：由三角形的内角和是180°， 得∠＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°， 所以∠A＝∠A′，∠＝∠′ 故△AB∽△A′B′′(两角分别相等的两个三角形相似)． 方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件． 探究点二：相似三角形的判定定理1的应用 【类型一】由三角形相似计算对应边 的长 如图所示，已知DE∥B，DF∥A，AD＝4c，BD＝8c，DE＝5c， 求线段BF的长． 解：解法一：因为DE∥B，所以∠ADE ＝∠B，∠AED＝∠，所以△ADE∽△AB，所以 AD AB ＝ DE B ，即 4 4＋8 ＝ 5 B ， 所以B＝15c 又因为DF∥A，
所以四边形DFE 是平行四边形， 即F ＝DE ＝5c ， 所以BF ＝B －F ＝15－5＝10(c)． 解法二：因为DE ∥B ，所以∠ADE ＝∠ B 又因为DF ∥A ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ， 所以AD DB ＝ DE BF ，即48＝5 BF ， 所以BF ＝10c 方法总结：求线段的长，常通过找三 角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到． 【类型二】 由相似三角形确定对应边 的比例关系 已知：如图，△AB 的高AD 、BE 相交于点F ，求证： AF BF ＝ EF FD 证明：∵BE ⊥A ，AD ⊥B ， ∴∠AEF ＝∠BDF ＝90° 又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴△AFE ∽△BFD ，∴ AF BF ＝EF FD 方法总结：要证明 AF BF ＝EF FD ，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用 两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论． 三、板书设计 相似三角形的 判定定理1 错误! 在探索活动中，要增强学生发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．进一步培养学生合情推理能力和初步逻辑推理意识．
第22章相似三角形 §22.2用边角关系证明两个三角形相似（第2课时） 相似生相似 【教材分析】 本节内容是在学生学习过用边角关系证明两个三角形相似的基础上，进一步探究在旋转或翻折的情境下，由一组相似生成另一组相似的模型。这是一节模型构建课。掌握一些常见的模型，能够给学生更多的解决问题的办法，也让学生更好的理解并会应用边角关系证明三角形相似。 【教学目标】 1.理解旋转型相似模型和翻折型相似模型的使用条件，并能从具体情境中找到两种 模型. 2.掌握利用边角关系证相似的一般步骤，能在两种情境中得到新的相似. 3.进一步强化数学建模思想，感受利用模型解决数学问题带来的方便，激发学生善 于发现，善于总结的能力. 【教学重、难点】 教学重点：利用两种模型解决相似的问题. 教学难点：从具体情境中发现两种模型，并准确找到生成的新相似. 【教学过程】 一．导入新知 (1)提出问题（1），学生思考作答 (2)提出问题（2），学生独立思考，举手 回答 (3)介绍这种相似的环境特点，并总结这 种模型的条件 二．新知理解 （1）结合旋转型相似的特点，在下面 每个情境中找到产生的新相似，感受模 型条件，理解新相似的图形特点.
三．新知应用 （1）结合实际问题，发现旋转型相似模型，并利用这种模型解决问题 四．新知再现 （1）改变旋转型相似的模型，探究新的模型 （2）当对应边平行时，探究是否会产生新的相似图形 （3）当对应边不平行，但“8”字型相似时，发现并证明另一组相 似 （4）归纳总结翻折型相似 五．巩固提高 （1）利用所学的知识，解决两个 问题 （2）在思考的过程中，掌握两种 相似模型的应用 （3）体会模型给我们思考带来 的简便 （4）结合各地中考情况，感受这 两种模型的重要性
22.3 相似三角形的性质（2） 学习目标 1、掌握“相似三角形性质定理3”； 2、经历相似三角形性质定理3的探索过程，体会类比思想，发展合情推理能力． 学习重点及难点 相似三角形的性质定理3及其应用. 相似三角形性质定理3的发现与证明. 学习内容分析 本课是相似三角形性质的第二课时，引导学生探索相似三角形的周长、面积分别具有的数量关系特征. 学习过程设计 一、温故知新 1、复习：上节课学习了相似三角形的什么性质？ 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 2、思考：相似三角形的周长比和面积比与相似比之间有怎样的关系？ 已知：图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似． 求：（2）与（1）的相似比＝_____ ，（2）与（1）的周长比＝_____; （2）与（1）的面积比＝_____; （3）与（1）的相似比＝_____; （3）与（1）的周长比＝_____; （3）与（1）的面积比＝_____. 3．猜想：相似三角形的周长比等于______；相似三角形的面积比等于_________. 4．证明猜想： 已知：如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比是k .顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应. 求证：k A C C B B A CA BC AB =++++1 11111. 图1
C1 B1A1 C B A 于是得到 相似三角形的性质定理2：相似三角形周长比等于相似比. ABC ∆∽111C B A ∆，⇒21 11k S S C B A ABC =∆∆ ABC ∆∽111C B A ∆， ⇒ k C C C B A ABC =∆∆1 11 二、简单应用
22．3相似三角形的性质 第1课时相似三角形的性质定理1、2及应用 1．明确相似三角形对应高的比、对应 角平分线的比和对应中线的比与相似比的 关系；(重点) 2．理解并掌握相似三角形的周长比等 于相似比；(重点) 3．运用相似三角形的性质1、2解决实 际问题．(难点) 一、情境导入 在前面我们学习了相似多边形的性质， 知道相似多边形的对应角相等，对应边成比 例，相似三角形是相似多边形中的一种，因 此三对对应角相等，三对对应边成比例．那 么，在两个相似三角形中是否只有对应角相 等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们 将研究相似三角形的其他性质． 二、合作探究 探究点一：相似三角形性质定理1 【类型一】相似三角形对应高的比 如图，△ABC中，DE∥BC，AH ⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝ 10，BC＝15，AG＝12.求GH的长． 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. 又∵AH⊥BC，DE∥BC， ∴AH⊥DE. ∴DE BC＝ AG AH，即 10 15＝ 12 AH. ∴AH＝18. ∴GH＝AH－AG＝18－12＝6. 方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差． 【类型二】相似三角形对应角平分线的比 两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为x cm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm. 根据题意，得 x 42－x ＝ 6 8.解得x＝18. 所以42－x＝42－18＝24(cm)． (方法二)设较短的角平分线长为x cm， 则由相似性质有 x 42＝ 6 14.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. 方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形． 【类型三】相似三角形对应中线的比 已知△ABC∽△A′B′C′ ，AB A′B′＝ 2 3，
24.2 相似三角形的判定 学习目标要求 1、掌握相似三角形的概念。 2、掌握两个三角形相似的条件。 3、能用两个三角形相似的条件解决问题。 教材内容点拨 知识点1 相似三角形： 1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。 2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。 3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置，例如，△ABC与△DEF中，A点与E点对应，B点与D点对应，C点与F点对应，则应记作△ABC∽△EDF。 4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。 5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。 知识点2 相似三角形判定方法： 相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。 1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。 2、“SAS”：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。 4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。 典型例题点拨 例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。
知识精要 一、相似三角形的判定 1.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。即：两角对应相等，两个三角形相似。 3.相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。即：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 4.相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。即：三边对应成比例，两个三角形相似。 5.直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。即：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似。 二、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中 线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 2.相似三角形的周长比等于相似比。 3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
热身练习 1、若 15 1011c a c b b a += +=+ ，则=c b a :: （ B ） A 、11：10：15 B 、8：3：7； C 、3：2：5； D 、6：7：8 2、两个相似三角形的面积比为4:49，它们的两条对应的角平分线和为45，那么这两条角平分线分别为10、35. 3、如图3，DE 是△ABC 的中位线，AD 、CE 相交于点G ，那么:ACG EDG S S V V = 4:1. 4、如图4、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，O 是对角线AC 、BD 的交点，1AOD S =V ， 9BOC S =V ，则ABCD S =梯形16. 5、如图5，已知点D 为△ABC 的边AB 上的一点，且ACD B ∠=∠， :1:3ACD DBC S S =V V ，则 AC:AB=1:2. 6、如图6，G 为△ABC 的重心，过点G 作EF ∥BC ，MN ∥AB ，则 GME ABC S S V V =1:9. 7、如图7，若G 是△ABC 的重心，GD ∥BC ，则 AGD ABC S S V V =2:9. 8、如图8，矩形ABCD 的长和宽分别为4和2，BP ⊥PQ ，且AP ：PD=3:7，则BP ： PQ=5:7.
相似三角形的判定 一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义 （1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。 如图所示，ABC ∆与DEF ∆相似,记作“ABC ∆∽DEF ∆”，读作ABC ∆相似于DEF ∆ 。 （2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。 （3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形相似比是有顺序的。 ③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.平行线截三角形相似的定理 （1）平行线截三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 （2）数学表达式： BC DE // ABC ∆∴∽DEF ∆ 3.相似三角形的判定定理
（1）判定定理1： （2）判定定理2： / （3）判定定理3： （4）判定定理4：
4. 相似三角形的基本类型 一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中321∠=∠=∠，可根据641802,541801∠-∠-=∠∠-∠-=∠ ，得图 中两个阴影部分三角形相似。
5. 相似三角形判定思路
二．考点讲解 考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似 1. 如图所示，在ABC ∆中，BC DE //. （1）求 AB AD ,AC AE ,BC DE 的值； （2）ADE ∆与ABC ∆相似吗？为什么？ 考点2：利用相似三角形的定义确定相似比 2. 如图，已知OAC ∆∽OBD ∆,且4=OA ,2=AC ,2=OB .求：（1）OAC ∆与OBD ∆的相似比；（2）BD 的长。 变式练习：如图所示，ABC ∆∽ACD ∆,下列式子不成立的是（ ） A. CD BC AC AB = B.AC AB AD AC = C.AB AD AC ⋅=2 D.AD AC BC AB =