1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）
A．B．2C．D．
【解答】解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，
∵PC∥AE，
∴△AEM∽△CPM，
∴＝，
∵M是AC的中点，
∴AM＝CM，
∴PC＝AE，
∵AE＝AB，
∴CP＝AB，
∴CP＝BE，
∵CP∥BE，
∴△DCP∽△DBE，
∴＝＝，
∴BD＝3CD，
∴BC＝2CD，即＝2．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（）
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴＝，
∴AC2＝CD×BC，即82＝CD×16，
解得：CD＝4；
故选：A．
【知识梳理1】比例线段
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：
①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
【例题精讲】
1．如图，用图中的数据不能组成的比例是（）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；
B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；
C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；
D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；
故选：C．
2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝4.5，BC ＝3，EF＝2，则DE的长度是（）
A．2B．3C．5D．6
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝4.5，BC＝3，EF＝2，
∴＝，
解得：DE＝3，
故选：B．
3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）
A．B．C．＝D．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD ＝3，DF＝（）
A．7B．7.5C．8D．4.5
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴DF＝．
故选：D．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点
D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，A正确，不符合题意；
＝，B正确，不符合题意；
＝，C错误，符合题意；
＝＝，
∴＝，D正确，不符合题意；
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于点G，则下列结论中错误的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵EF∥BC
∴，∴答案A正确；
根据合比性质，则有
即：，∴答案D正确；
又∵AD∥EF
∴，∴答案B正确；
而，∴答案C错误．
故选：C．
7．如图，如果l1∥l2∥l3，那么下列比例式中，错误的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，＝，
∴＝，
故选：D．
8．已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F 是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴＝＝，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，
∴＝＝，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，故D正确，不符合题意，
故选：B．
【课堂练习】
1．如图，已知l3∥l4∥l5，它们依次交直线l1、l2于点E、A、C和点D、A、B，如果AD＝2，AE＝3，AB＝4，那么CE＝（）
A．6B．C．9D．
【解答】解：∵l3∥l4∥l5，
∴＝，即＝，
解得，AC＝6，
则CE＝AE+AC＝9，
故选：C．
2．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选：D．
3．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴A选项正确，
故选：A．
4．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：FB＝（）
A．5：8B．3：8C．3：5D．5：3
【解答】解：∵AD：DB＝3：5，
∴BD：AB＝5：8，
∵DE∥BC，
∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．
∴CF：FB＝5：3，
故选：D．
5．如图，l1∥l2，AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，则AE：EC＝（）
A．5：2B．4：3C．2：1D．3：2
【解答】解：∵l1∥l2，
∴＝＝，
设AG＝3x，BD＝5x，
∵BC：CD＝3：2，
∴CD＝BD＝2x，
∵AG∥CD，
∴＝＝＝．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴＝，＝，
∴＝．
故选：D．
7．如图，l1∥l2∥l3，AC、DF交于点O，则下列比例中成立的是（）
A．B．C．D．【解答】解：A、∵l1∥l2∥l3，∴，正确；
B、∵l1∥l2∥l3，∴，错误；
C、∵l1∥l2∥l3，∴，错误；
D、∵l1∥l2∥l3，∴，错误；
故选：A．
8．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（）
A．B．C．D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，
故选：D．
【知识梳理2】相似三角形的性质和判定
相似三角形的性质：
(1)对应角相等；
(2)对应边成比例；
(3)相似三角形的周长比等于相似比；
(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。）（HL）
【例题精讲】
1．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴，
∴，
故选：B．
2．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应面积的比为（）
A．3：2B．3：5C．9：4D．4：9
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应面积的比为（）2＝9：4，
故选：C．
3．等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（）A．3：4B．4：3C．1：2D．2：1
【解答】解：∵等腰△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4，
∴它们底边上对应高线的比等于3：4．
故选：A．
4．如图，点D为△ABC的AB边一点（AB＞AC），下列条件不一定能保证△ACD∽△ABC的是（）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．
【解答】解：在△ACD与△ABC中，已知∠A＝∠A，
A、若添加∠ADC＝∠ACB，可利用两角法判定△ACD∽△ABC，故本选项错误；
B、若添加∠ACD＝∠B，可利用两角法判定△ACD∽△ABC，故本选项错误；
C、若添加＝，不能判定△ACD∽△ABC，故本选项正确；
D、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△ACD∽△ABC，故本选项错误；
故选：C．
5．如图，已知?ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：
①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BHD∽△BDG．
其中正确的结论是（）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
【解答】解：∵∠BDE＝45°，DE⊥BC
∴DB＝BE，BE＝DE
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH＝∠DEC＝90°
∵∠BHE＝∠DHF
∴∠EBH＝∠CDE
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE＝∠C，BH＝CD
∵?ABCD中
∴∠C＝∠A，AB＝CD
∴∠A＝∠BHE，AB＝BH
∴正确的有①②③
故选：B．
6．如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：
①△AOB∽△COD，②△AOD∽△ACB，③S△DOC：S△AOD＝DC：AB，④S△AOD＝S△BOC，其中始终正
确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD（①正确），
∴S△DOC：S△AOD＝＝（③正确），
∵△ABD与△ABC等高同底，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△ABD﹣S△AOB＝S△ABC﹣S△AOB，
∴S△AOD＝S△BOC（④正确），
∵梯形ABCD是任意梯形，
∴△AOD和△ACB不可能相似，
故②错误，
∴共有3个正确的．
故选：C．
【知识梳理3】子母型相似相关计算问题
1、射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ?AD、
ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣ
Ｂ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?
AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则
有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠
Ａ。
【例题精讲】
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AC＝CD，2∠EDC＝∠B，AB＝3，CE＝2，AE＝2．
【解答】解：作EG∥AB交BC于G，如图所示：
则∠CGE＝∠B，△CEG∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴EG×AC＝6，
∵2∠EDC＝∠B，∠CEG＝∠EDC+∠GED，
∴∠EDC＝∠GED，
∴EG＝DG，
设AE＝x，EG＝DG＝y，
则CD＝AC＝x+2，CG＝CD﹣DG＝x+2﹣y，y（x+2）＝6，即xy+2y＝6①，
∵EG∥AB，
∴∠CEG＝∠BAC＝90°，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：y2+22＝（x+2﹣y）2②，
由①②得：x2+4x﹣12＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣6（舍去），
∴AE＝2；
故答案为：2．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，若AC＝6，BD＝5，则sin∠B的值为．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AD1＝﹣9（舍去），AD2＝4，
则sin∠B＝＝＝，
故答案为：．
3．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为．
【解答】解：AB＝AP+BP＝2+3＝5，
∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AP?AB＝2×5＝10，
∴AC＝，
故答案为：．
4．如图，△ABC中，AC＝13cm，D是AC上一点，∠A＝∠ABD，△DBC的周长是24cm，则BC＝11 cm．
【解答】解：∵∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵△DBC的周长是24cm，AC＝13cm，
∴CD+BD+BC＝CD+AD+BC＝AC+BC＝24cm，
∴BC＝11cm，
故答案为：11．
5．如图，点D为△ABC边上的一点，连接CD，若∠ACD＝∠B，AC＝，AB＝3，则BD的长是1．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣2＝1，
故答案为：1
1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A、∵DE∥BC，∴＝，所以A选项的比例式错误；
B、∵EF∥AB，∴＝，所以B选项的比例式正确；
C、∵EF∥BA，∴＝，∴＝所以C选项的比例式正确；
D、∵DE∥ABC，∴＝，所以D选项的比例式正确．
故选：A．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝或＝
∴＝．
故选：D．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：
由平行线分线段成比例可知是被平行线所截的线段才有可能是对应线段，
∴CD、EF不是对应线段，故C、D不正确；
∵BC和AD对应，CE和DF对应，
∴＝，故A正确；
故选：A．
4．如图，a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于A、B、C和D、E、F，则下列结论正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝．
故选：A．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A、因为DF∥AC，所以＝，故A选项错误；
B、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，则＝，故B选项错误；
C、由DF∥AC得＝，故C选项错误；
D、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，则＝，故D选项正确．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结果正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，故A选项错误；
＝＝，故B选项错误；
＝，故C选项错误；
＝，故D选项正确．
故选：D．
7．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A．＝B．C．D．【解答】解：A、∵EF∥AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，故A正确，
B、易知△ADE∽△EFC，
∴＝，
∴＝，故B正确．
C、∵△CEF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，故C正确．
D、∵DE∥BC，
∴＝，
显然DE≠CF，故D错误．
故选：D．
8．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，＝，
∴＝
故选：D．
9．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，A错误；
＝，B错误；
＝，
∴＝，C正确；
＝，D错误，
故选：C．
10．如图，△AED∽△ABC，点E为AC的中点，AC＝6，AD＝2，则BD＝7．
【解答】解：∵△AED∽△ABC，
∴，
∵点E为AC的中点，AC＝6，AD＝2，
∴，
∴AB＝9，
∴BD＝9﹣2＝7，
故答案为：7．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为AC上的点，AD＝1，在斜边AB上取一点E，使△ADE和△ABC相似，则AE＝或．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，
解得，AE＝，
当△ADE∽△ACB时，＝，即＝，
解得，AE＝，
故答案为：或．
12．如图，已知ABC，P为AB上一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件∠ACP＝∠B（答案不唯一）．（只要写出一种合适的条件）
相似三角形重点考点 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 ● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比. ● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 B
相似三角形综合复习 一、基础知识 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 ● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比. ● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 B
23．2 相似三角形的判定（一） 本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并 具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定 定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面， 不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理 的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本 节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、 类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位． 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． 相似三角形判定定理的预备定理的探索 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 探究法 多媒体课件直尺、三角板 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
，当它们全等时，才有 （双
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△例2、如图，E、F分别是△ABC的边
2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 中，P是BC上的点，且BP＝3 、如图,AB⊥BD,CD 当P点在BD上由 ，则图中相似三角形的对数有 对。
特殊情况： 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角． （3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。 2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如： （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形： (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； A B C D E A B C D D A B C A B C D E D A B C E
24.4 相似三角形的判定教案 【学习目标】 1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似三角形 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽ ，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的 对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那 么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
【典型例题】 类型一、相似三角形 例题1. 下列能够相似的一组三角形为( ). A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【答案】C 【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等； C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C. 【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 举一反三： 【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形； ⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）． 【答案】①②④⑤. 类型二、相似三角形的判定 例题2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交 于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC，
沪教新版九年级（上）中考题单元试卷：第24章相似三角形（08）一、选择题（共11小题） 1．如图，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（） A．1：B．1：2C．1：3D．1：4 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD＝1，BC＝4，则△AOD 与△BOC的面积比等于（） A．B．C．D． 4．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2，其中正确 的有（）个．
A．1B．2C．3D．4 5．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S ＝4：25，则DE：EC＝（） △ABF A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2 6．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tan B＝（） A．B．C．D． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（） A．2B．2.5或3.5 C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5 8．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值等于（）
九年级数学测试（第4周） 班级 姓名 成绩 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、已知：在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A 、B 两地的距离是5cm ，那么A 、B 两地的实际距离是……………………………………………………………（ ） A ）500m B ）1000m C ）5000m D ）10000m 2、已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为……………（ ） A ）2：3 B ）4：9 C ）3：2 D ）16：81 3．下列命题正确的是…………………………………………………… （ ） （A ）有一个内角等于100度的两个等腰三角形相似； （B ）所有菱形都相似； （C ）所有矩形都相似 （D ）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似 4、如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，那么下列比例式中正确的是………………（ ） A ） BF CF AB DB = B ）EA CE BF CF = C ）FC BF EA CE = D ）AC AE FC BF = 5、若Rt ABC △的斜边AB 的长为12，那么此三角形的重心到斜边中点的距离 为………………………………………………………………………………（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．6 Ｄ．12 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF 为内接正方形，那么AD ：DE ：EB 为………………………………………………………………（ ） （A ）3︰4︰5 （B ）16︰12︰9 （C ）9︰12︰16 （D ）16︰9︰25 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7、设 32=b a ，那么=+b b a ； 8、如图，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于O ，且 AO=5，BO=4，CO=16， 那么DO= ； 9、如图，直线1l ∥2l ∥3l ，AB=4， BC=3， DF=14，那么DE = ； 10、如图，△ABC 中，DE ∥BD ，AD ∶DB=2∶3，则S △ADE ∶S △ABC = ． C A 第4题 F E D G F E D C B A 第6题 A 第9题 A D E F C l 1 l 3 l 2 B
相似三角形 一、相似三角形的定义： 对应角相等 、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 二、相似三角形的判定方法(一) 判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定方法（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定方法（3）：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似。 除了上述三种判定方法外，还有以下三种判定方法： （1）定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似（这种方法一般不常用） （2）平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 （3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。(此知识常用，但用时需要证明) 三、判定相似三角形的思路 1、有一对等角，找 :①、另一对等角 ②、 等角的两边对应成比例 2、有两边对应成比例，找：①、夹角相等 ②、第三边也成比例 3、直角三角形，找一对锐角相等 4、等腰三角 形，找：①、顶角相等 ②、一对底角相等 ③、底和腰成比例 四、在做题过程中，某些图像出现的频率会比较高，所以我们要熟知这些常见的图形，并学会从习题中基本图形很快的寻找和发现相似： 1、平行线型： A （ 1 ） （ 2 ） （a ）如图1，“A ” 型：即公共角的对边平行 (b) 如图2，“X ”型：对顶角的对边平行 2、斜交型：指公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长线相交，其中再有一角相等，或其公共角（或对顶角）的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似，基本图形常见如下： E D A B C C D E B A E C B D A B D C E B D C A
专题11 《相似三角形》全章复习巩固（提高） 【目标导向】 （1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念； （2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方； （3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件； （4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)； （5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律. 【知识网络】 【知识点精讲梳理】 要点一、比例线段及比例的性质 1.比例线段： （1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段 的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项. （2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． （3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的 项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． （4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做 线段ａ和ｃ的比例中项． 要点诠释： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.
2.比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 3.平行线分线段成比例定理 （1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. （2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例. （3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. （6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形： 这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立， 则DE//BC. 基本图形(3):若, , , , , 之一成立， 则AC//DB. 要点诠释： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
第1节 比例线段 【学习目标】 1．理解比例线段的概念，能说出比例关系中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于未知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题 4．理解黄金分割的概念，知道黄金分割数，会利用黄金分割数，进行简单的运算. 【内容剖析】 知识点一 比例线段 一般来说，两个数与两个量a 与b 相除，叫做a 与b 的比.记作b a :(或b a )，其中0≠b .a 除以b 所得的商叫做比值.如果b a :的比值等于k (即 k b a =)，那么kb a =. 如果d c b a ::=(或 d c b a =)，那么就说d c b a 、、、成比例. 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段长度的比时，对这两条一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正数，所以这两条线段的比值总是正数. 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 已知四条线段d c b a 、、、，如果d c b a ::=(或d c b a =)，那么线段 d c b a 、、、叫做成比例线段，那么线段d a 、是比例外项，线段c b 、是比例内项，线段d 是c b a 、、的第四比例项. 如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即c b b a ::=(或 c b b a =)，那么线段b 叫做线段a 、 c 的比例中项. 已知4，9=b ，c 是b a 、的比例中项，则=c . 4=a cm ，9=b cm ，线段c 是b a 、的比例中项，则=c . 第二十四章 相似三角形 判断四条线段是否成比例的方法：①将四条线段的单位化为一致；②取四条线段中最长与最短线段相乘，乘积如果与其它两项乘积相等就是比例线段，否则它们不是比例线段. 例1 例2 注意：四条线 段成比例是有顺序的，不能 随意颠倒
专题05 相似三角形的判定（提高） 【目标导向】 1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【知识点精讲】 要点一、相似三角形 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽ ，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对 应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
【精讲例题】 类型一、相似三角形 1. 判断对错： (1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ (2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？ 【思路点拨】注意相似三角形判定定理的灵活运用. 【答案与解析】 (1).不一定相似，反例： 直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等. 所以直角三角形不一定相似. (2)不一定相似，反例： 等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边 对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定 相似. (3) 一定相似. 因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似. 【总结升华】要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件. 举一反三： 【变式】下列说法错误的是（）． A．有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似B．全等的两个三角形一定相似 C．对应角相等的两个多边形相似D．两条邻边对应成比例的两个矩形相似 【答案】C. 类型二、相似三角形的判定 2.（2016?兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长．
姓名王瑜上课时间2016年9月3日上午10：10-12：10 辅导科目数学年级九年级课时 3 课题名称比例线段、相似三角形 教学目标1、理解放缩与相似形的概念，掌握相似形基本特征。 2、理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行 简单的比例变形； 3、理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项 教学重点相似三角形的判定与性质 教学难点比例的基本性质、相似三角形的判定与性及其应用 教学及辅导过程 ◆考点聚焦 1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．[来源:学.科.网] 3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ◆备考兵法 1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．[来源:学科网ZXXK] ◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
沪教版初三数学上册 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 （1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念； （2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方； （3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件； （4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)； （5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、比例线段及比例的性质 1.比例线段： （1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项. （2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． （3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 要点诠释： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一 致也可以. 2.比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质:或 (4)合比性质: (5)等比性质:且 3.平行线分线段成比例定理 （1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得 的对应线段成比例. （2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的
1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（） A．B．2C．D． 【解答】解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P， ∵PC∥AE， ∴△AEM∽△CPM， ∴＝， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM， ∴PC＝AE， ∵AE＝AB， ∴CP＝AB， ∴CP＝BE， ∵CP∥BE， ∴△DCP∽△DBE， ∴＝＝， ∴BD＝3CD， ∴BC＝2CD，即＝2． 故选：B．
2．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（） A．4B．6C．8D．10 【解答】解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC， ∴＝， ∴AC2＝CD×BC，即82＝CD×16， 解得：CD＝4； 故选：A． 【知识梳理1】比例线段 平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 【例题精讲】 1．如图，用图中的数据不能组成的比例是（） A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4 【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误； B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误； C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确； D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；
沪科版九上数学《相似三角形》知识点总结 姓名： _______ 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所截成的三角形与原三角形相似。 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或 5.相似三角形的判定定理： 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 6.直角三角形相似： (1)(2)应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 (3) B B
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2 9.相似三角形的几种基本图形： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所截成的三角形与原三角形相似。 这个定理确定了相似三角形的 两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。 若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC ②如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”） ③满足1、AC2=AD·AB， 2、∠ACD=∠B， 3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB． ④当 AD AE AC AB 或AD·AB=AC·AE时， 都可判定△ADE∽△ ACB． ⑤ ）”“三垂直型”） ⑥如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 称为“旋转型”的相似三角形。 ⑦对于复杂的几何图形， 采用将部分需要的图形 （或基本图形）“抽”出来的办法处理。 10.证明题常用方法归纳： ①总体思路: “等积”变“比例”，“比例”找“相似” ②找中间比：若找不到两个三角形相似的,则需要进行“替换”，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换. ③添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线) B E A C D 1 2 A C D 1 2 A B B C D E E 1 2 4 B (D) (3) B B
相似三角形典型题之比例线段 一．解答题（共40小题） 1．将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来： 2．已知≠0，且a+2b﹣2c=3，求a的值． 3．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c=12，试判断△ABC的形状． 4．已知a：b：c=2：3：4，且a+b﹣c=6．求a、b、c的值． 5．已知非零实数a，b，c满足==，且a+b=34，求c的值． 6．已知：．求k值．
7．已知a、b、c均为非零的实数，且满足==，求 的值． 8．已知==，且3a﹣2b+c=9，求2a+4b﹣3c的值． 9．已知：，求a：b：c的值． 10．已知a：b：c=2：4：5，且2a﹣b+3c=15，求3a+b﹣2c的值． 11．（1）已知=，求的值．（2）已知==，求的值． 12．阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k （a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k?0=0， 依照上述方法解答下列问题：已知：==（x+y+z≠0），求的值．
13．（1）已知=，求的值． （2）已知===（b+d+f≠0），求的值． 14．已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 15．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项． 16．我们知道：若，且b+d≠0，那么．（1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？ （2）若，求t2﹣t﹣2的值．
17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2．（1）求下列各线段的比：，，； （2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可） 18．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 19．在比例尺1：6000000的地图上，量得甲乙两地距离是6cm，甲乙两地实际距离是多少千米？ 20．如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长．
相似三角形综合练习题1 一．选择题（共22小题） 1．下列各组图形一定相似的是（） A．所有等腰三角形都相似B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似D．所有矩形都相似 2．观察下列每组图形，相似图形是（） A．B． C．D． 3．下列说法正确的是（） A．菱形都相似 B．正六边形都相似 C．矩形都相似 D．一个内角为80°的等腰三角形都相似 4．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形5．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（） A．16倍B．8倍C．4 倍D．2 倍 6．已知，则的值为（） A．B．C．D． 7．若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（） A．B．C．D． 8．若，则的值是（） A．1B．2C．3D．4 9．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）
A．=B．=C．=D．= 10．若==2（b+d≠0），则的值为（） A．1B．2C．D．4 11．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（） A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm 12．数b是数a和数c的比例中项，若a=2，c=8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±4 13．下列线段成比例的是（） A．1，2，3，4B．5，6，7，8C．1，2，2，4D．3，5，6，9 14．已知==，且b+d≠0，则=（） A．B．C．D． 15．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d的长为（） A．3cm B．4 cm C．5cm D．6 cm 16．在比例尺是1：46000的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约8cm，则这条道路的实际长度约为（） A．368×103cm B．36.8×104cm C．3.68×105cm D．3.68×106cm 17．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（） A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm 18．如果△ABC中，AB=AC，BC=AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60° 19．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣ 20．如图，点B在线段AC上，且，设AC=2，则AB的长为（）
沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定 定理》教案 沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案 一、教材内容分析： 《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、教学目标设置： 1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。 2、经历“类比—猜想—探索—总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。 3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。
重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。 难点：三角形相似判定定理的探索和证明。 三、学生学情分析 学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。 四、教学过程： 活动一：创设情境，类比猜想 同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？ 我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素---边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相
22.2.4 利用三边关系判定两三角形相似 教学思路（纠错栏）学习目标： 1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3. 2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算. 学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理3的推导和应用. ☆预习导航☆ 一、链接 1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容. 定理1可简单说成： . 定理2可简单说成： . 2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程. 二、导读 结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程. ☆合作探究☆ 1、根据下列条件，判断?ABC与?A 1 B 1 C 1 是否相似，并说明理由： （1）∠A＝1200，AB=7，AC=14，∠A 1 ＝1200，A 1 B 1 = 3，A 1 C 1 =6。 （2）∠A＝380，∠C＝970 ,∠A 1 ＝380，∠B 1 ＝450 (3) 5 1 2 10 2 2 1 1 1 1 1 1 = = = = = =C A C B B A AC BC AB， ， ， ， ，
教学思路 （纠错栏）2、如图，在正方形网格上有两个三角形 1 1 1 C B A和 2 2 2 C B A， 求证：△ 1 1 1 C B A∽△ 2 2 2 C B A ☆归纳反思☆ 本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？ ☆达标检测☆ 1、如图，要使△ADE∽△ABC，只给出一个条件 即可. 2、已知ΔABC与ΔDEF相似,AB=2,AC=10,BC=2,DE=1,DF=5, 求EF的长.（注意多种情况） 3、如图，四边形ABCD和四边形ACED 都是平行四边形，点R为DE的中点， BR分别交AC、CD于点P、Q. （1）请写出图中相似三角形（相似比