E
A
B C D
C
D
A B
G
A B C
D
F
D
E
B C
A
B
E
D
§24.4（1）相似三角形的判定
1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( )
(A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对
3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有 个
4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC=
5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中 对相似三角形。
图（1） 图（2） 图（3）
6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子.
7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。
§24.4（2）相似三角形的判定
A B
C
D E
A
B
C
P
A
B
C
D
E
1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） （A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ，
AB DF
BC EF
=
； （C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ； （D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ） （A ）4对； （B ）5对； （C ）6对； （D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能 使△AC P ∽△ABC 的是（ ） （A ）
AC AP AB AC =； （B ）PC AC
BC AB
=
； （C ）∠A CP =∠B ； （D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（ ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等 的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④.
第2题图 第3题图 第5题图
5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，1
3
AD BD =，
则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长.
O
A
D
F
O
7、如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.
§24.4 （3）相似三角形的判定
1、在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）
（A）AD AE
BD EC
=；（B）∠ADE=∠ACB；
（C）AE﹒AC=AB﹒AD；（D）AD DE AB BC
=.
2、已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，
∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）
（A）
2
a
c
；（B）
2
b
a
；（C）
a b
c
；（D）
2
b
ac
.
3、下列各组图形有可能不相似的是（）
（A）各有一个角是45°的两个等腰三角形；
（B）各有一个角是60°的两个等腰三角形；
（C）各有一个角是105°的两个等腰三角形；
（D）两个等腰直角三角形.
4、点D在△ABC的边AB上，且AC2=AD﹒AB，则△ABC∽△ACD，理由是 .
5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=
12，AD=3，AE=2，那么DE= .
6、在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE 与原三角形相似，则AE= .
7、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足AB BC AC AD DE AE
==，
求证：△ABD∽△ACE.A
B C E
D
A
B
C
D
E
A
B C
D
E
§24.4 （4）相似三角形的判定
1、RT △ABC，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列等式成立的是（ ） （A ）AD 2=AB ﹒AC ； （B ）AC 2=AB ﹒AD ； （C ）AB ﹒AC=BD ﹒DC ； （D ）AB ﹒CD=BD ﹒AC.
2、在RT △ABC 和RT △DEF 中，∠C =∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12， DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15.
（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.
3、点P 是RT △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的直线共有 条.
4、如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥DC ，DC=6，AD=8， AC ⊥BC ，则AB= .
5、如图2，在矩形ABCD 中，AB=2，CB=1，E 是DC 上一点，∠DAE= ∠BAC ，则EC 的长为 .
6、如图，AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BD 2
=AB ﹒BC.求证：∠ABD=∠DBC.
7、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△B GF ∽△DCF.
§24.4 （5）相似三角形的判定
1、将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A
B C
D
图1
A
B
C
D
E
图2
A B C
D
A
B
C
D E
F
G
（A ）2:1； （B ）：1； （C ）3:1； （D ）：1.
2、下列命题中，假命题是（ ）
（A ）正方形都相似； （B ）对角线和一边对应成比例的矩形相似； （C ）等腰直角三角形都相似； （D ）底角为60°的两个等腰梯形相似. 3、在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC，使截得 的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（ ）
（A ）2条； （B ）3条； （C ）4条； （D ）5条. 4、如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，则= .
5、如图2，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，BA=12cm ，AD 、BE 是两条中线，F 为其交点，那么CF= cm.
6、如图3，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么= .
7、如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，过点D 作对角线AC 的垂线，交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CD 是CF 和CB 的比例中项.
8、 如图，DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线，交BC 及AC 的延长线于点E 、F ，已知CD=6，DE=4，求DF 的长.
§24.4（1）相似三角形的判定 1.答案：A
A B
C
D
E
图1
A
B
C
D
F
E
图2
A
B
C
D 图3
A
B
C
D
E F
解析：两个内角对应相等的两个三角形相似
2.答案：C
解析：△ADE∽△ACD∽△ABC
3.答案：5
解析：图中所有其他的三角形都与△ADG相似
4.答案：
解析：AC2=AD×AB=24，AC=
5.答案：3
解析：△AEF∽△FCD∽△EBC
6.答案：（1）证明过程如解析
（2）AP AB BP
== DQ PD PQ
解析：（1）∵矩形ABCD，BP⊥PQ
∴∠A=∠D=∠BPQ=90°
∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90 ∴∠ABP=∠DPQ
∴△ABP∽△DPQ
（2）AP AB BP
== DQ PD PQ
7.答案：CD的长为
3
解析：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC
∴AE AD
= AC AB
∴
23
= AC5
∴AC=10 3
∴CD=1 3
§24.4（2）相似三角形的判定
1.答案：A
解析：两个内角对应相等的两个三角形相似
2.答案：C
解析：△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE
3.答案：B
解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而B不是夹角相等
4.答案：B
解析：①必须是夹角，④必须是第三边的平行线
5.答案：△A DE ；4
解析：∵13AD BD =，∴1
A 4
AD B =
6.答案：EF 的长为15
2
解析：联结CF ∵翻折 ∴AF=CF
设AF=x ，则DF=8-x
2226(8)x x +-=
254
x =
∵OC=5 ∴OF=
154
可证OE=OF ∴EF=15
2
7.答案：△ADE ∽△BDA
解析：∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE
∴，BD=2CD ∴
ED AD AD BD == ∵∠ADB=∠ADB ∴△ADE ∽△BDA
§24.4 （3）相似三角形的判定
1.答案：D
解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而D不是夹角相等2.答案：B
解析：CD AC AC BC
=
3.答案：A
解析：45°有可能是顶角，也有可能是底角
4.答案：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
解析：AD AC
AC AB
=且∠A=∠A
5.答案：DE=4
解析：∵AD AC
AC AB
=
1
3
=，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
1
3 ED BC
=
∴DE=4
6.答案：
7
4
AE=或
4
7
AE=
解析：分类讨论i.AE AD
AC AB
=，
7
4
AE=
ii .AE AD
AB AC
=，
4
7
AE=
7.答案：证明过程如解析
解析：∵AB BC AC AD DE AE
==
∴△ADE∽△ABC
∴∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC
∵AB AD AC AE
∴△ABD∽△ACE
§24.4 （4）相似三角形的判定
1.答案：B
解析：射影定理
2.答案：C
解析：①③④是正确的，②没有边对应成比例
3.答案：4
解析：A字型或斜交型各2个
4.答案：50 3
解析：DC AC
=
AC AB
，
610
=
10AB
，
50
AB=
3
5.答案：3 2
解析：ED AD
=
BC AB
，
ED1
=
12
，
1
DE=
2
，
3
CE=
2
6.答案：证明如解析
解析：∵AB⊥AD，BD⊥DC
∴△ABD和△DBC都是Rt△∵BD2=AB﹒BC
∴AB BD
= BD BC
∴Rt△ABD∽Rt△DBC ∴∠ABD=∠DBC
7.答案：证明如解析解析：∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF ≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF ＋∠F=90°
∴∠CBE ＋∠F=90°
∴∠BGF=90°=∠DCF
∴△B GF ∽△DCF
§24.4 （5）相似三角形的判定
1.答案：B
解析：设矩形长2a ，宽b ，则b =
b 2a a ，=b a ，2b 1a =
2.答案：B
解析：B 没说清楚一边是矩形的长还是宽
3.答案：C
解析：A 字型或斜交型各2个
4.答案：
=AB AD AE AC
解析：三角形一边的平行线性质定理推论
5.答案：4
解析：AB 上的中线长为6cm ，因为点F 是重心，所以CF 长为2643
⨯
=cm
6.答案：3解析：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A
∴△ACD ∽△ACB ∴=BC DC AD AC AC AB
= ∴2
AC AD AB =⋅ 223
AC AB AB =⋅ 2223
AC AB =
AC AB =
∴=BC DC 37.答案：证明如解析
解析：∵∠ACD= ∠ACD ，∠DEC=∠CDA
∴△DEC ∽△CDA
∴2CD CE AC =⋅
同理可得△FEC ∽△CBA ∴=BC CE CF AC
∴CF CB CE AC ⋅=⋅
∴2CD CF CB =⋅
∴CD 是CF 和CB 的比例中项
8.答案：9
解析：∵DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线
∴∠BDE =90°，6AD BD CD ===
∵DE=4
∴BE =∵∠ACB= ∠BDE ，∠B=∠B
∴△ACB ∽△BDE ∴=AC DE BE AB
∴24
13AC =
∴36
13BC =
同理可得△ADF ∽△CBA
∴=AC AD DF
BC
∴DF=9
A B C D E F
24.4 相似三角形的判定教案 【学习目标】 1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似三角形 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽ ，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的 对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那 么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
【典型例题】 类型一、相似三角形 例题1. 下列能够相似的一组三角形为( ). A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【答案】C 【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等； C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C. 【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 举一反三： 【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形； ⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）． 【答案】①②④⑤. 类型二、相似三角形的判定 例题2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交 于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC，
第二十四章相似三角形教案（全章） 【学习目标】 （1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念； （2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方； （3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件； （4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)； （5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、比例线段及比例的性质 1.比例线段： （1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线 段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项. （2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． （3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例 的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． （4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫 做线段ａ和ｃ的比例中项． 要点诠释：
通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以. 2.比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 3.平行线分线段成比例定理 （1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. （2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例. （3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. （6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形： 这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立， 则DE//BC.
E A B C D C D A B G A B C D F D E B C A B E D §24.4（1）相似三角形的判定 1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( ) (A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对 3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有 个 4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC= 5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中 对相似三角形。 图（1） 图（2） 图（3） 6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子. 7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。 §24.4（2）相似三角形的判定
A B C D E A B C P A B C D E 1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） （A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ， AB DF BC EF = ； （C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ； （D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ） （A ）4对； （B ）5对； （C ）6对； （D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能 使△AC P ∽△ABC 的是（ ） （A ） AC AP AB AC =； （B ）PC AC BC AB = ； （C ）∠A CP =∠B ； （D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（ ） ①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等 的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④. 第2题图 第3题图 第5题图 5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，1 3 AD BD =， 则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长. O A D F O
沪教版九年级上册数学第二十四章相 似三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是 （） A. B. C. D. 2、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（） A. B. C. D. 3、如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB； ③△EDA∽△EBD；④ED·BC=BO·BE．其中正确结论的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4、如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（）
A. B. C. D. 5、如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点.若S △CMN ＝1，S 四边形ABNM ＝ （） A.2 B.1 C.4 D.3 6、若≠0，则下列各式中正确的是（） A. ＝ B.2 x＝3 y＝4 z C. ＝1 D. ＝ 7、如图，在△ABC 中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若 ，则的值（） A.1∶5 B.1∶9 C.1∶12 D.1∶16
8、在△ABC中，AC=6，AB=9，D是AC边上一点，且AD：DC=1：2，若E为AB 边上的点，△ABC与以A，D，E为顶点的三角形相似，则AE的长度为（） A.3 B.4.5 C. 或3 D.2或4.5 9、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（） A.点M B.点N C.点O D.点P 10、点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（） A.（3 ﹣3）cm B.（9﹣3 ）cm C.（3 ﹣3）cm 或（9﹣3 ）cm D.（9﹣3 ）cm 或（6 ﹣6）cm 11、如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A. B. C.AC 2=AD•AB D.CD 2=AD•BD 12、如图，⊙O是⊿ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5， BD=2，则DE的长为（）
24.4相似三角形的判定 一、单选题 1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（） A．AB∥CD B．A D ∠=∠ C．OA OB OD OC =D． OA AB OD CD = 【答案】D 【解析】 本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DO C、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由OA OB OD OC =、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD =，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选 项符合题意． 故选：D 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（） A．AD AE BD EC =B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC = 【答案】D 【解析】 由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可． 【详解】 解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意； 两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意； 由AE﹒AC=AB﹒AD得AD AC AE AB =，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意； 而D不是夹角相等，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】 相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 3．下列各组图形中，不一定相似的是（） A．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【答案】D 【解析】 根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解． 【详解】
九年级数学沪教版上册24.4《相似形三角形》备课 24.1相似形 1.定义：形状相同的图形称为相似形 【注意】对相似三角形的定义应从以下几方面理解： （1）“形状相同的图形”是将一个图形放大或缩小后得到的（2）“大小不一定相同的相似形”说明了相似图形有两种情况：一是大小不同；二是大小相同。对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到。对于大小相同的两个相似形，它们可以重合，这时它们是全等形。 （3）所谓形状相同，应与位置无关，与摆放角度无关，与摆放方向也无关。 例：下列各组中的图形，不是相似图形的是（） （Ａ）同一座城市的两张比例尺不同的地图（Ｂ）一个人现在的照片和他十年前的照片 （Ｃ）两个正方形（Ｄ）国旗上的五角星 2.相似图形的识别方法 （1）感观法（2）测量法（3）对比分析法 3.相似图形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 【注意】（1）当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1 （2）根据此性质，我们可以判定两个多边形是否相似。 4.方格法画与已知图形相似的图形 （1）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的依据是“两多边形对应角相等，对应边的长度成比例，则两多边形相似”。 （2）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的方法：在格子图中画与已知图形相似的图形时，首先应确定对应边所成的比例数，然后根据比例数在格子点上找出对应边的长度，再根据对应角相等即可
画出图形。 例；如图在正方形网格上，若使∽，则点Ｐ应在（） 24.2比例线段 1.两条线段的比 如果，那么就说成比例。 两条线段的长度的比叫做两条线段的比。 【注意】（1）两条线段的比，就是在同一单位下它们的长度比。因此，比与所选线段的长度单位无关，但必须选定同一长度单位。 （2）由于长度都是正数，所以两条线段的比是一个正数。 （3）两条线段的比是有顺序的，不可颠倒，除了时外，互为倒数。 2.成比例线段 在四条线段中，如果的比等于，即，我们把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 【注意】（1）比例线段所表示的是四条线段的关系。 （2）比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在。 （3）线段成比例是顺序地表示为 （4）判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段长度的大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可。 3.比例的基本性质 两个外项的积等于两个内项的积，即如果，那么。 如果，那么，，…。 4.合比性质 如果，那么；，【注意】（1）在对比例式进行变形时，要注意是分子加减分母经原分母，而不要理解反了 （2）合比性质与比例基本性质结合起来运用可得到很多结论，如：例：（1）若的值。（2）若，求的值。 5.等比性质 如果，那么 【注意】（1）等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
24.4 (2)相似三角形的判定 教学目标 1. 掌握相似三角形的判定定理2; 2、 会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长 等• 教学重点及难点 了解判定定理2的证题方法与思路，应用判定定理2. 教学用具准备 三角板、课件 教学过程 一、复习引入 1 .问题1:什么叫做相似三角形？它们在形状上、 大小上有何特征？ 什么叫做相似比？结合图形复述相似三角形的预备定理和判定定理 1. 2.两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3•类比全等三角形的“边角边”，我们来看问题2. 本节学习相似三角形判定定理 2.
问题2：如上图，在也ABC和AA i B1C1中，如果N人=",空=竺那么 A[ B i AC i ABC和SB i C i相似吗？ 分析：心ADE幻心ABiG ( SAS ,再利用三角形一边的平行线判定定理，得到DE/ BC可以转化为相似三角形预备定理中的平行线. 二、学习新课 新授i:相似三角形的判定定理2的推导及文字和符号表述. 通过问题2,又得到： 相似三角形的判定定理2:如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. AB AC A ABC s ：A B I C I A i B i A^ C i 新授2:相似三角形的判定定理2的应用 例题i已知如图，四边形ABC啲对角线AC与BD相交于点Q OA= i, 0B=i.5, OC=3,OD=.求证:QAD与QBC是相似三角形.
D B A 分析：判断是否有成比例的线段，再利用判定定理2. 议一议：图中是否还有相似三角形？ 答: OAB S ODC 问题：(1)两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似 ？为什 么？ (2) 等腰三角形AB (与等腰三角形DEF 有一角相等，这两个三角形是否 相似？为什么？ 例题2已知如图，点D 是 ABC 的边AB 上的一点，且AC 2二AD • AB .求 证:MCD s 心ABC .
沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定 定理》教案 一、教材内容分析： 《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。本节课是相似三角形判定定理，它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、教学目标设置： 通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。 经历“类比—猜想—探索—总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。 在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。 重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的
有关问题。 难点：三角形相似判定定理的探索和证明。 三、学生学情分析 学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。 四、教学过程： 活动一：创设情境，类比猜想 同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？ 我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素---边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相似三角形的判定。
24.4 相似三角形的判定 一、课本巩固练习 1、根据下列条件判定△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由，如果相似，那么用符号表示出来。 ()() 170,60,30240,80,80,60A D B E A B E F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒ ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ 2、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F ，图中有那几对相似三角形？ 3、已知，如图的，D,E 分别是三角形ABC 的边AB ，AC 上的点，且AED B ∠=∠ 求证：AE AC AD AB ⋅=⋅ 4、在Rt △DEF 中，90C F ∠=∠=︒,根据下列各组条件判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 D B E B A C
()()()()155,3529,12,6,8 33,4,6,8410,8,15,9 A D AC BC DF EF AC BC DF DE A B A C DE EF ∠=︒∠=︒ ============ 5、已知，在Rt △ABC 与Rt △111A B C 中，1111190,,A A AD BC A D B C ∠=∠=︒⊥⊥ 垂足分别为点1,D D ,且 1111 AB AD A B A D =,求证：△ABC ∽△111A B C 二、基础过关 1.下列各组的两个图形，一定相似的是（ ） （A ）两条对角线分别对应成比例的两个平行四边形 （B ）等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形 （C ）有一个角对应相等的两个菱形 （D ）对应边成比例的两个多边形 2. M 在AB 上，且MB ＝4，AB ＝12，AC ＝16，在AC 上有一定N ，使△AMN 与原三角形相似，则AN 的长为 3.如图，已知D,E 分别在△ABC 的AB,AC 边上，△ABC 与△ADE,则下列各式成立的是（ ） (A) AD BD ＝ AE CE (B) AD AB ＝ DE BC (C) AD ·DE ＝AE ·EC (D) AB ·AD ＝AE ·AC 4.如图,∠1＝∠2,AB ·AC ＝AD ·AE ，则∠C ＝ . 5.如图，△ABC 内接正方形DEFG ，AM ⊥BC 于M,交DG 于H,若AH 长4cm,正方形边长6cm,则BC ＝ . A D C E B A D C E B 12
课 题 24.4(2)相似三角形的判定 课 型 新授课 教 学 目 标 1．掌握相似三角形的判定定理2; 2、会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长等. 重 点 了解判定定理2的证题方法与思路, 应用判定定理2. 难 点 了解判定定理2的证题方法与思路, 应用判定定理2. 教 学 准 备 学生活 动形式 讲练结合 教学过程 课题引入： 课前练习一（1） 1、（1）如图（1），DE ∥BC ，则△___∽△______, =AB AD __=____; 如图(2),DE ∥BC,则DE ∥BC ，则△___∽△______,=AB AD __=____; 课前练习一（2） (2)如图(3), △ADE 与△ABC 相似,点D 与点B 是对应顶点,请说出对应角和对应边成比例的式子. 如图(4), △ACE 与△ABC 相似,点E 与点C,点C 与点B 是对应顶点,请说出对应角和对应边成比例的式子. 备注： 执教： 年级： 9 学科： 数 施教时间：第 周 星期 第 课时 上海市横沙中学2016学年第一学期教案
课前练习一（3） (3)如图(5), △ABC 与△ADE 相似,点B 与点D 是对应顶点,请说出对应角和对应边成比例的式子. 如图(6), △ABC 与△ADE 相似,点B 与点D 是对应顶点,请说出对应角和对应边成比 例的式子. 知识呈现： 新课探索一（1） 根据相似三角形的定义来判定两个三角形相似,需要验证它们的各角对应相等,同时它们的边对应成比例. 是否可以通过验证其中的几个条件来判定两个三角形相似？ 联想全等三角形的四个判定定理“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”, 我们可类似地对判定两个三角形相似所需的条件进行分析. 新课探索一（2） “角边角”和“角角边”的条件中只涉及一组边,不能构造比例,由此提出问题1. 问题1 在 ABC 与 A1B1C1中,如果∠A=∠A1,∠B=∠B1,那么△ABC 与 △A1B1C1相似吗？ 由“边角边”提出问题2. 问题2 在 ABC 与 A1B1C1中,如果∠A=∠A1, 1 111C A AC B A AB ，那么△ABC 与△A1B1C1相似吗？
第二十四章相似三角形 第一节相似形 24.1放缩与相似形 1.形状相同的两个图形叫做相似的图形，简称相似形 2.相似的图形，他们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形是全等形 3・如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例 4.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，通过放缩运动，两个相似的图形可以相互重合（即成为全等形） 第二节比例线段 24.2比例线段 1.两条线段长度的比叫做两条线段的比 2.在四条线段屮，如果其屮两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这I川条线段叫做成比例线段，简称比例线段 3.比例线段有以下性质： （1）基本性质 （2）合比性质 （3）等比性质 4.黄金分割：如果点P把线段AB分割成AP和PB （AP>PB）两段，其中，AP是AB和AP 的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黃金分割点，AP与AB的比值 Vs-1 也■上称为黄金分割数，它的近似值为0.618 2 24.3三角形一边的平行线 1.定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例推论1： 平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 2.三角形三条屮线的焦点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个 顶点对边中点的距离的两倍 3.定理2：如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边 推论2：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 4.两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例 两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 第三节相似三角形 24・4相似三角形的判定 1.如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形, 对应 边的比叫做相似比（或相似系数），当相似比等于1时，这两个相似三角形是全等三角形2.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与 原三角形相似
精心整理 沪教版数学九年级上学期 一课一练、单元测试卷和参考答案 目录 第二十四章相似三角形 24.5 相似三角形的性质第三课时（1）52 24.6 实数与向量相乘第一课时（1）57 24.7向量的线性运算第一课时（1）62 九年级(上)数学第二十四章相似三角形单元测试卷一67
第二十五章锐角三角比 25.1 锐角三角比的意义（1）72 25.2 求锐角的三角比的值（1）75 25.3 解直角三角形（1）79 25.4 解直角三角形的应用（1）84 24.1放缩与相似形（1） 一、选择题 1下列各组图形中一定是相似三角形的是（）
A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 一个角为30 的等腰三角形 D. 两个等边三角形 2下列各组图形中一定是相似多边形的是（） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 距离之比是
两片树叶 6. 下列各组图形中，一定是相似多边形的是（） A. 两个直角三角形 B. 两个平行四边形
C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 7下列图形中，相似的有（） ①放大镜下的图片与原来图片；②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像 边。 10. 当两个相似的三角形是全等形时，它们对应的边长的比值等于。 11. 图形的或称为图形的放缩运
动。 12. 我们把两个形状 的图形称为相似的图形，或者说是 13. 两个多边形是相似形，就是说它们同为 的多边形，而且形状 。 实质上，相似多边形的定义要注意两个条件缺一不可：（1）对应边 点'C 分别是对应顶点，42A ︒∠=，85B ︒∠=，AB=2, ''A B =5,BC=3, ''C A =6求'C ∠的度数与边AC, ''B C 的长 18 如图所示的相似四边形中，求未知边x ，y 的长度和角α的大小 19 在同一张地图上用尺测量得甲地距学校的距离是4厘米，乙地到