相似三角形的判定与性质
教学内容
一、知识要点
1、相似三角形的判定及性质
(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2、三角形相似的基本模型：
(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相
似；
常见条件：
①//DE BC ，①::AD AB AE AC =，①AD AC AE AB ⋅=⋅，①ADE B ∠=∠
(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.
常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅①::AD AC AE AB =① ADE C ∠=∠ (3)旋转型：
常见条件：已知①BAC①①DAE ， 求证：①BAD①①CAE.
E
A
B
C
D
D
C
B A
F
E
B
C
D
(4)嵌入型：
已知①ABC 是等腰直角三角形，①BAC=90°，①DAE=45°.找出相似的三角形. 已知①ABC 是等边三角形，①DAE=120°.找出相似的三角形.
常见条件：
① 已知①B=①C=①EDF ，找出相似的三角形.
② 已知①B=①C=①EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：
常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)
常见条件：①，2AC AD AB =⋅①2
BC BD BA =⋅①2CD AD BD =⋅
(7)双高型推广：
左图两对相似三角形：ABD①①①ACE ①OCD①①OBE 中图六对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE
右图八对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE ①ADE①①ABC ①ODE①①OBC (后两个相似写出证明过程)
常见条件：①ABD ACE ∠=∠，①，①. 3、常见的三角形面积比
(1)如图一：①ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S ①ABD ：S ①ACD=m ：n
(2)如图二：①ABC 和①BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.
(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S ①AOD ：S ①COD=S ①AOB ：S ①BOC=m ：n 2) S ①AOD ：S ①AOB=S ①COD ：S ①BOC=m ：n 3)S ①COD=S ①AOB 4)S ①AOD ：S ①BOC=22:m n
二、例题讲解
例1.如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AOD S p ∆=，2BOC S q ∆=，试求梯形ABCD 的面积。
ADB AEC ∠=∠,CE AB BD AC ⊥⊥O
D
C B
A
例2.如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形， 问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．
试一试
1.如图，ABC ∆中，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在 AB 上，1ADG CDE S S ∆∆==，
3BEF S ∆=，求ABC ∆的面积．
A
B
C
A B
C D
E
F G
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥
AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2；
（1）当AD＝3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由．
A
B
C
D E
F
P N M
Q
例7.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△
3（图中阴影部分）的面积分别是
1，4和16．则△ABC 的面积是 ．
三、巩固练习及家庭作业
1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6厘米，BC ＝9厘米，又知△ADC 的面积为12平方厘米，在BA 的延长线取一点E ，且DE ∥AC ，求△ABC 和△AED 的面积．
3.如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 4cm ，AB = 8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、
AC 、BC 边的中点，点P 为AB
边上一点，过点P 作PQ // BC 交AC 于点Q ，以PQ 为 一边作正方形PQMN ，若AP = 3cm ，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．
4.已知：点E在线段AB上，．
（1）如图1，AB是△ABC的边，作EF∥BC交边AC于点F，连接BF．求的值．
5.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC，点F在边AC上，且∠DEF＝∠
B．
（1）求证：△FCE∽△EBD；
（2）当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S△FCE＝4S△EBD？如果有可能，那么求出BD的长；如果不可能，请说明理由．
A
B C
D E 6.如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒． 求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆； （2）22BC BE CD =．
第 1 页 共 3 页 创新三维学习法，高效学习加速度 知识精要 一 比例的性质 1. 比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比性质:d d c b b a d c b a d d c b b a d c b a -= -?=+=+?=或 3. 等比性质:若 )0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++. 4. 比例中项:若c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. 二 平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3, 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或等. 2．三角形一边平行线的性质定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 1. 三角形一边平行线的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 2. 推论: 如果一条直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求 :AF:FC
辅助线当然是添加平行线. 但如图（2）, 如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:FC；如图（3）如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:DC=2:3就不好用了。因此应过D做DG∥AC 交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:DC,又不破坏AE:ED,还不破坏AE:FC. 解: 过D做DG∥AC交BF于G ∵BD:DC=2:3 ∴BD:BC=2:5 则DG:CF=2:5 设DG=2x CF=5 x AE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2x=3:4 AF=1.5x AF:FC=1.5x:5x=3:10 三相似三角形的判定及性质1. 相似三角形的判定 ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多); ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似; ④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 2. 直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 3. 相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例. ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比) 第 1 页共3 页创新三维学习法，高效学习加速度
相似三角形 知识点1 相似图形 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念 如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n m b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． (2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． 知识点3 比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =?=::； (2)b a c b c c a ?=?=2::． 注意： 由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)： c d a b d c b a =?=． 合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±?=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意： (1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
沪教版初三数学上册 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 相似形及比例线段（基础）知识讲解 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质； 3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 要点二、相似多边形 【：图形的相似二、图形的相似 2】 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度 成比例，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 要点三、比例线段 【：图形的相似预备知识】 1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方
便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 要点四、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.≈ 0.618AB(叫做黄金分割值). 要点诠释： 线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、相似图形 1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（） （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C. 【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似； （2）等腰直角三角形都相似，正确； （3）正方形都相似，正确； （4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似； （5）正六边形都相似，正确， 故符合题意的有3个．故选：C． 【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一 种特殊情况． 举一反三： 【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的 长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似 的吗？
《相似三角形的判定》复习课 一、 复习提问 问：证明两个三角形相似的判定方法有哪些？ 学生口答：A 、预备定理 B 、判定定理1、2、3. C 、直角三角形相似的判定定理 二、精选习题，整合已学知识 例1、如图，∆ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 、AC 分别于D 、E ，DC 、BE 相交于点O ，图中相似的三角形有多少对？为什么？ 分析： 学生易发现：∆ADE ∽∆ABC 和∆DOE ∽∆COB 。 我进一步问：是否还有其他的相似三角形？ 教学目标： 1.掌握相似三角形的判定定理，并能准确运用。 2.认识几种常见的基本图形，提高识图能力。 3.通过题目的分析、推导，提高逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力。 教学重难点： 重难点：相似三角形的判定及其应用。 O E E A B D D O E B D
（让学生思考） 再问：∆DOB与∆EOC是否相似？ 【设计意图】：此题难度较小，学生基本都能看出相似三角形，通过此题，让学生回顾相似三角形中的最基本图形，即“正A型”和“正X型”。再次追问的目的是让学生思考在运用“两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似”这个判定时要清楚什么叫对应边成比例，此处是学生的易错点，故我特意强调，并让学生多加思考。 练习1： 如图，AC‖DF，∠B=∠F，图中有多少对相似三角形？理由是什么？ 分析： 学生容易发现由AC//DF得到△BDE∽△BAC、△AMC∽△MEF，以及已知∠B=∠F得到 △BDE∽△FME。 教师引导学生进一步观察图形，找出图中“斜A”型，初步判断是否相似，然后找满足相似的条件，进而找到△BAC∽△AMC，△BDE∽△AMC。 【设计意图】：此题较基础，重点在于通过题目让学生熟练掌握基本图形，能快速看出“A 型”和“X型”，能快速找到证明相似的条件，准确运用判定定理。 例2、如图1，在∆ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠ACB. (1)证明：△ADE∽△ACB. (2)如图2，连接CD、BE，CD与BE相交于点O.证明：∆ABE∽∆ACD.
一、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为a b ）； 如果:: a b c d =（或a c b d =），那么就说a、b、c、d成比例． 二、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 如果a c b d =，那么 b d a c =， a b c d =， c d a b =． （2）合比性质： 如果a c b d =，那么 a b c d b d ++ =； 如果a c b d =，那么 a b c d b d -- =． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么 a c a c k b d b d + === + ． 相似三角形知识结构 模块一：比例线段 知识精讲
2 / 17 三、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d =） ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，51 0.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数． 五、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AE DB EC = ． 六、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC == ． 七、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 九、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． A P B l A B C D E A B C D E A B C D E l l A B C D E
第5课时直角三角形相似的判定 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用. 【过程与方法】 类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.【情感、态度与价值观】 培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 直角三角形相似定理的应用. 【教学难点】 了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路. ◇教学过程◇ 一、情境导入 判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,判定两个直角三角形相似,除了前面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢? 二、合作探究 探究点1两个直角三角形相似的“斜边、直角边”或“HL”定理 典例1如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD上的两个动点(点E不与点B重合),∠AEF=90°,连接AE,AF,EF. (1)试找出图中一定相似的三角形,简要证明过程; (2)试找出图中不一定相似的三角形,并确定当其相似时点E所在的位置,简写推理过程; (3)试找出图中一定不相似的三角形,简要说明理由. [解析](1)△ABE∽△ECF. 理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF. (2)当BE=CE=2时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF. 理由:∵△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF, ∵BE=CE,∴AB∶AE=BE∶EF, ∵∠B=∠AEF=90°,∴△ABE∽△AEF, 同理:△AEF∽△ECF. ∴当BE=CE=2,即E是BC中点时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.
沪教版九年级数学上册《相像三角形的断 定定理》教案 沪教版九年级数学上册《相像三角形的断定定理》教案 一、教材内容分析： 《相像三角形的断定定理》选自课程标准试验教科书沪科版数学九年级上册第22章相像图形。本节课是相像三角形断定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与断定，相像三角形的定义以及两个三角形相像对应角相等，对应边成比例这些学问的根底上进展的。在直观相识形态一样的图形根底上，探究与理解相像三角形的断定条件，为后续学习通过相像三角形有关学问测量物体的高度、间隔做好打算。因此这局部内容也是今后进一步学习不行缺少的根底。 二、教学目的设置： 1、通过运用三角形全等条件的探究方法，探究得出两角对应相等的两个三角形相像，并会用这一结论解决一些简洁的问题。 2、经验“类比—猜测—探究—总结-应用”的活动过程，探究两角对应相等的两个三角形相像，进一步领悟类比的思想方法。 3、在活动中，开发、培育学生的发散性思维，进一步开展学生的探究合作、沟通意识，以及动手动脑和谐一样的
习惯。 重点：敏捷运用三角形相像断定定理证明及解决简洁的有关问题。 难点：三角形相像断定定理的探究和证明。 三、学生学情分析 学生在本章前几节，已学过相像三角形的根本概念和根本性质等学问，在之前已经接触过对三角形全等条件的探究，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备肯定的合作与自主探究实力，本节课是在此根底上的延长和进步。因此在教学中实行开放式的教学形式，让学生动手感知，合作沟通，养成主动探究与理论的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作沟通的时机，促使他们主动参加、勤于动手，从而乐于探究。但需成认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有进步、拓展的时机。对学困生要有肯定的展示平台，在难点的打破上，要让他们最大程度的参加其中。 四、教学过程： 活动一：创设情境，类比猜测 同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相像三角形的定义与性质，请同学们口述一下？ 我们探究相像三角形依旧离不开组成三角形的元素---
沪科版九年级上册数学相似三角形 相似三角形 要点提示 1、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的判定方法 1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则___________. 2. 两个角对应相等的两个三角形__________. 3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 4. 三边对应成比例的两个三角形___________. 性质：⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧+两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例 夹角相等、两边对应成比例，且 、两角对应相等4321 （1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角 形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例. （2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似. ②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. ③三边对应成比例，两三角形相似. E A D C B
C B A ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似 （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等. ②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成 比例. ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的 平方. 典例分析 1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15.求△ A′B′C′最短边的长. 2.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 3.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加 一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加 的条件是_________ 4.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ） B C A D 第3题
沪科版九年级数学上册教案《相似三角形的判定》《相似三角形的判定》 教科书分析 本节是上海科技版义务教育教科书《数学》九年级上册第二十二章《相似形》的第2 节《相似三角形的判定》的教学内容，主要研究相似三角形的判定方法．本节内容是在学 生学习了相似形和相关的线段比例性质之后在三角形相似中的判定．首先由生活中的图像 讨论引出相似三角形的证明的，在此基础上进一步探究其他证明方法；接着证明直角三角 形的相似的判定；最后解答，解决一些生活中的问题． 本部分研究了三角形相似性的判定，体现了从特殊到一般的证明思想 教学目标 【知识和能力目标】理解相似三角形的判断方法【过程和方法】 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似 三角形的判定方法．。【情感态度与价值观】 培养学生积极思考、动手和观察的能力，使学生意识到几何知识在生活中的价值 教学重难点 [教学要点] 会应用相似三角形的两个判定方法。怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。【教学难点】 掌握判断方法的条件，通过对已知条件的分析掌握图形的结构特征。 课前准备 多媒体课件、教具等 教学过程 问题 （1）相似形的定义与性质? （2）相似比的定义，如何判断相似性？ 【设计意图】：回忆相似形的相关概念和性质，为后面学习判定知识做铺垫。
1B1，那么，如果已知ab‖A1B1，这两只风筝的形状相似。观察和思考：敢于猜测，a 能得到吗△ 基础知识≓? a1b1c1 【设计意图】：具体生活中实际图片，为后面做铺垫，引出证明相似思考：已知，de//bc，且d是边ab的中点，de交ac于e,猜想：△ade与△abc有什么关系?并证明。相似 证据：≓德//公元前∠ 1 = ∠ B∠ 2 = ∠ C和∠ a=∠ A. ∴△ade与△abc的对应角相等过e作ef//ab交bc于f,又∵de//bc四边形dbfe是平行四边形,∴de=bf,db=ef又∵ad=db,∴ad=ef∵∠a=∠3，∠2=∠c△ade≌△efc ∴de=fc=bf，ae=ec ae1de1adaede1?,,acbc2ac2bc2ab∴△a de与△abc的对应边成比例 ∴△ade∽△abc 由三角形中线切割的三角形与原始三角形相似 【设计意图】：特殊案例，体会从特殊到一般的证明思路，由易到难， 当D点位于AB上的任意点时，上述结论仍然有效吗？已知：De//BC，两者之间的关系是什么△ 艾德和△ ABC？猜想：两者之间的关系是什么△ 艾德和△ ABC？ a B dec 平行于三角形一侧的定理是相似的。即： 在△abc中，如果de∥bc，那么△ade∽△abc 平行于三角形一侧的直线与其他两侧相交（或两侧的延长线），形成的三角形与原始三角形相同 【设计意图】：证明平行判定相似三角形定理，体会一般情况的证明。已知： ∠a=∠a1∠b=∠b1 . 验证：△ 基础知识≓△ a1b1c1 （提示：在较大的三角形里截取一个与较小三角形全等，再利用前面学习的平行判定相似定理证明）。aa1b
课题：相似三角形的性质3 一、教学目标 会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何证明与计算问题；增强综合运用知识的能力和演绎推理能力。 二、教学重点及难点 相似三角形的判定与性质的简单应用. 合理选择相似三角形的判定与性质． 教学过程： 上两节课我们研究了相似三角形的中线比、高线比以及角平分线的比、周长比、面积比同相似比之间的关系，那么我们就可以借助这些结论去解决一些常见的数学问题。 课前练习一 1.(1) 两个相似三角形的相似比是1:16,则周长比是_____,面积比是_______; (2) 两个相似三角形的周长比是1:9,则相似比是_____; (3) 两个相似三角形的面积比是1:5,则相似比是_______. 说明相似三角形所有对应线段比及周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。已知面积比可以求出对应线段及周长比，已知对应线段及周长的比可求出面积比， 2. 已知△ABC∽△A′B′C′,AB=9,A′B′=12. (1) 若△ABC的周长是24,则△A′B′C′的周长为___; (2) 若S△ABC=27,则S△A′B′C′=____.
课前练习二 3. 已知△ABC∽△A′B′C′, AB=9,A′B′=12. (1) 若两个三角形的周长之差为8,求这两个三角形的周长. (2) 若两个三角形的面积之和为100,求这两个三角形的面积. 强调相似比9:12即3:4，面积比9:16可用设x的方法。 出示例题： 新课探索一 例题1 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90゜,CD是边AB上的高. 求证:(1) AC2=AD AB; (2) CD2=AD BD. 猜测CB、BD、AB三条线段之间存在什么关系？ 介绍这一结论也是一条著名的定理,称为“射影定理”这一结论也是一条著名的定理,称为“射影定理”. 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 2.这个图形存在着很多等积式，除了上面这三个外还有利用面积得到的AB·CD=AC·CB, 3.这个基本图形中一共有六条线段，可以已知任意两条线段求出其它的线段。
陈老师家庭课堂辅导讲义 年 级： 初三 辅导科目： 数学 学生姓名： 辅导老师： 陈相远 课 题 相似三角形 教学目的 相似三角形的判定与性质复习 教学内容 知识点归纳： 例：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． C ． D ．2 备注：使用多种方法解此题，对比一下哪一种更加方便。 梳理相似三角形基本图形： 平行线分线段成比例定理 三角形一边平行线的性质定理和判定定理 应用于△中 相 似三 角形 判定定理 定理1 定理2 定理3 Rt △ 推论 相似三角形的性质定理
1、如图（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4 (1)若CE= 3，则DE=____ (2) 如图（2）若CE= ，则DE=____. 2、如图（3），在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC= ，AC=3，则CD的长为（） （A）1 （B）2 （C）（D） 3、如图（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4 ，AD=9，则BD的长为（） （A）36 （B）16 （C） 6 （D） 4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD,EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为（） （A）6 （B）16 （C） 26 （D） 归纳小结相似三角形的基本图形： “A”型公共角型公共边角型双垂直型三垂直型 “X”型蝴蝶型旋转型
课堂练习学生探究： 1、在△ ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形. 变式：在Rt△ABC中，∠C=90度。AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形. 2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF 变式：如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，若使图 中△BEF与△ABE相似，需添加条件：。 （感受三垂直型） 3. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P在BC边上，若△ABP与△DCP相似。△APD一定是（） （A）直角三角形
相似三角形的判定与性质 一、知识回顾 1、相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 2、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等。 （2）相似三角形的周长比等于相似比。 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 二、典型例题 例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作 BC⊥AB 交 x 轴于点 C． （1）试证明：△ ABC∽△ AOB； （ 2）求△ ABC 的周长． 例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B． （ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标． （ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．
例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形 ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩 形 ABCD 的周长． 例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分 线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ． （ 1）求证： EF ∥BC ； （ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积． 例题 (1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比 h 1 : h 2 之间的关系为 _______ (2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 S ABC :S COB 9 :16 ，则 AD:DB=_________ A A B A D D ’ D E O D E E F F G A A ’ CC ’ O C B B ’ B C D B C (2)题图 (3) 题图 (4) 题图 (5) 题图
专项训练(二) 相似三角形的判定和性质综合 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每题4分,共32分) 1.在一张缩印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的6 cm 变成了2 cm,则缩印出来的三角形的面积是原图中三角形面积的(C ) A.1 3 B.1 6 C.1 9 D.1 12 2.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,且AD =6,DB =4,BC =15,则DE 的长度为(B ) A.6 B.9 C.10 D.12 第2题图 第3题图 3. 如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交AC 于点E.如果AE EC =35,那么AC AB =(B ) A.35 B.53 C.8 5 D.2 4.如图所示,在梯形ABCD 中,若AD ∥BC ,S △ABD S △BCD =12,则S △BOC S △BCD =(D ) A.12 B.14 C.32 D.2 3 第4题图
第5题图 5.如图,已知点A(0,4),B(4,1),BC⊥x轴于点C,P为线段OC上一点,且PA⊥PB,则点P的坐标为(A) A.(2,0) B.(1.8,0) C.(1.5,0) D.(1,0) 6.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知∠BAD=∠AOD,AB=2,则AC的长为(A) A.2√2 B.3√3 2C.5 2 D.14 5 第6题图 第7题图 7.如图,在△ABC中,AB=2AC,点D在BC上,延长AD到点E,使AD=DE,过点E作EG∥AC交BC 于点F,交AB于点G.若AG=6,EG=7,则BG的长为(C) A.6 B.5 C.4 D.3 8.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分∠DCB,交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①OE⊥AC;②S▱ABCD=AC·BC;③OE∶AC=√3∶6;④S△AOE =3S△OEF.其中正确结论有(D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
九年级数学沪教版上册24.4《相似形三角形》备课 24.1相似形 1.定义：形状相同的图形称为相似形 【注意】对相似三角形的定义应从以下几方面理解： （1）“形状相同的图形”是将一个图形放大或缩小后得到的（2）“大小不一定相同的相似形”说明了相似图形有两种情况：一是大小不同；二是大小相同。对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到。对于大小相同的两个相似形，它们可以重合，这时它们是全等形。 （3）所谓形状相同，应与位置无关，与摆放角度无关，与摆放方向也无关。 例：下列各组中的图形，不是相似图形的是（） （Ａ）同一座城市的两张比例尺不同的地图（Ｂ）一个人现在的照片和他十年前的照片 （Ｃ）两个正方形（Ｄ）国旗上的五角星 2.相似图形的识别方法 （1）感观法（2）测量法（3）对比分析法 3.相似图形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 【注意】（1）当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1 （2）根据此性质，我们可以判定两个多边形是否相似。 4.方格法画与已知图形相似的图形 （1）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的依据是“两多边形对应角相等，对应边的长度成比例，则两多边形相似”。 （2）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的方法：在格子图中画与已知图形相似的图形时，首先应确定对应边所成的比例数，然后根据比例数在格子点上找出对应边的长度，再根据对应角相等即可
画出图形。 例；如图在正方形网格上，若使∽，则点Ｐ应在（） 24.2比例线段 1.两条线段的比 如果，那么就说成比例。 两条线段的长度的比叫做两条线段的比。 【注意】（1）两条线段的比，就是在同一单位下它们的长度比。因此，比与所选线段的长度单位无关，但必须选定同一长度单位。 （2）由于长度都是正数，所以两条线段的比是一个正数。 （3）两条线段的比是有顺序的，不可颠倒，除了时外，互为倒数。 2.成比例线段 在四条线段中，如果的比等于，即，我们把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 【注意】（1）比例线段所表示的是四条线段的关系。 （2）比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在。 （3）线段成比例是顺序地表示为 （4）判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段长度的大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可。 3.比例的基本性质 两个外项的积等于两个内项的积，即如果，那么。 如果，那么，，…。 4.合比性质 如果，那么；，【注意】（1）在对比例式进行变形时，要注意是分子加减分母经原分母，而不要理解反了 （2）合比性质与比例基本性质结合起来运用可得到很多结论，如：例：（1）若的值。（2）若，求的值。 5.等比性质 如果，那么 【注意】（1）等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌 握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
相似三角形的判定 课前测试 【题目】课前测试 如图，已知CD 是△ABC 的高，D E⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF ∽△CBA. 【答案】见解析 【解析】 证明：∵CD ⊥AB，即∠CDA=∠CDB=90°，则∠A+∠ACD=90°， 又∵DE⊥CA，∴∠ACD+∠CDE=90°， ∴∠A=∠CDE，又∠ACD=∠DCE， ∴△CAD ∽△CDE ，则 CE CD CD CA =，即CD 2=CA ·CE 同理可得△CBD ∽△CDF ，则CF CD CD CB =，即CD 2=CD 2=CB ·CF ∴CA ·CE=CB ·CF ，又∠ECF=∠BCA ，∴△CEF ∽△CBA 总结：本题考察学生是否掌握“母子三角形”相似模型，待证的两个三角形中有一组公共角，因而再找出一组对应角相等或者是其夹角的两边成比例，经过分析发现，从角度入手基本不可能找出对应角相等，因而需要从夹角的两边证明. 该题属于典型的“母子三角形”模型，给出众多垂直关系，应该想到利用角度互余找等量. 只要“心中有模型”，对于这类题型的证明还是比较容易的. 【难度】3 C A E D F B
【题目】课前测试 已知：如图，在ABC △中，AB AC =，M 是边BC 的中点，DME B ∠=∠，MD 与射线BA 相交于点D ，ME 与边AC 相交于点E . （1）求证： BD CM DM EM =； （2）如果DE ME =，求证：//ME AB ； （3）在第（2）小题的条件下，如果DM AC ⊥，求ABC ∠的度数. 【答案】 （1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ， ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDM ∽△CME ， EM DM CM BD =,即EM CM DM BD = （2）证明：∵△BDM ∽△CME,∴EC EM BM DM =， ∵DE=ME ，BM=CM ，∴EC DE CM DM =，∠DME=∠EDM ， ∵∠DME=∠B=∠C ，∴∠EDM=∠C ，∴△DME ∽△CME ， ∴∠EMC=∠EMD ，∴∠EMD=∠B ，∴EM//AB ； （3）30° 【解析】 （1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ， ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDM ∽△CME ， EM DM CM BD =,即EM CM DM BD = （2）证明：∵△BDM ∽△CME,∴ EC EM BM DM =， （第24题图） E M C B A D