2020年黑龙江省鸡西市中考数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分） 1．下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+
D ．236(3)9x x -=-
2．下列图标中是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6
B ．3.8或3.2
C ．3.6或3.4
D ．3.6或3.2
5．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是( ) A ．1
4
k <
B ．14
k
C ．4k >
D ．1
4
k
且0k ≠ 6．如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k
y x
=
的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=?，则k 的值是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
7．已知关于x 的分式方程422x k
x x
-=
--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<<
B ．8k >-且2k ≠-
C ．8k >- 且2k ≠
D ．4k <且2k ≠-
8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )
A ．4
B ．8
C 13
D ．6
9．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且
钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种
B ．15种
C ．16种
D ．14种
10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=?，点F 在射线AM 上，且2AF BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论： ①45ECF ∠=?； ②AEG ?的周长为2
(1a +； ③222BE DG EG +=；
④EAF ?的面积的最大值是21
8a ；
⑤当1
3
BE a =时，G 是线段AD 的中点．
其中正确的结论是( )
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．5G信号的传播速度为300000000/
m s，将数据300000000用科学记数法表示为．
12．在函数
1
2
y
x
=
-
中，自变量x的取值范围是．
13．如图，Rt ABC
?和Rt EDF
?中，B D
∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt ABC
?和Rt EDF
?全等．
14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．
15．若关于x的一元一次不等式组
10
20
x
x a
->
?
?
-<
?
有2个整数解，则a的取值范围是．
16．如图，AD是ABC
?的外接圆O的直径，若40
BAD
∠=?，则ACB
∠=?．
17．小明在手工制作课上，用面积为2
150cm
π，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将ABD
?沿射线BD平移，得到EGF
?，连接EC、GC．求EC GC
+的最小值为．
19．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3
5
BE a =，连接AE ，将ABE
?沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 ．
20．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，
以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．?．则点2020B 的坐标 ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：22169
(2)11
x x x x x -++-÷
+-，其中3tan303x =?-． 22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ?的三个顶点(5,2)A 、(5,5)B 、(1,1)C 均在格点上． （1）将ABC ?向左平移5个单位得到△111A B C ，并写出点1A 的坐标；
（2）画出△111A B C 绕点1C 顺时针旋转90?后得到的△221A B C ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△111A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留)π．
23．（6分）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求ME的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26．（8分）如图①，在Rt ABC
=，点D、E分别在AC、BC边
∠=?，AC BC
?中，90
ACB
上，DC EC
=，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是．
（2）将DEC
?绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是23180
--=的根，连
x x
接BD，30
⊥，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长DBC
∠=?，并过点C作CN BD
度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒3个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒(0)
t>．（1）线段CN=；
（2）连接PM和MN，求PMN
?的面积s与运动时间t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当PMN
?是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
2020年黑龙江省鸡西市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分） 1．下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+ D ．236(3)9x x -=-
解：A 、22422a a a =，正确；
B 、826x x x ÷=，故此选项错误；
C 、222()2x y x xy y -=-+，故此选项错误；
D 、236(3)27x x -=-，故此选项错误；
故选：A ．
2．下列图标中是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B ．
3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个； 第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个； 所以最多有：21317+++=（个)．
故选：B ．
4．一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6
B ．3.8或3.2
C ．3.6或3.4
D ．3.6或3.2
解：从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4， 2x ∴=或1x =，
当2x =时，这组数据的平均数为23445
3.65++++=；
当1x =时，这组数据的平均数为
13445
3.45
++++=；
即这组数据的平均数为3.4或3.6， 故选：C ．
5．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是( ) A ．14
k <
B ．14
k
C ．4k >
D ．1
4
k
且0k ≠ 解：关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，
∴△22[(21)]41(2)0k k k =-+-??+，
解得：14
k
． 故选：B ．
6．如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k
y x
=
的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=?，则k 的值是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解：四边形ABCD 是菱形，
BA AD ∴=，AC BD ⊥，
120ABC ∠=?，
60BAD ∴∠=?，
ABD ∴?是等边三角形，
点(1,1)B -，
OB ∴=，
tan30OB
AO ∴=
=?
直线BD 的解析式为y x =-，
∴直线AD 的解析式为y x =，
6OA =
∴点A 的坐标为，
点A 在反比例函数k
y x
=的图象上，
3k ∴==，
故选：C ．
7．已知关于x 的分式方程422x k
x x
-=
--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<< B ．8k >-且2k ≠- C ．8k >- 且2k ≠ D ．4k <且2k ≠-
解：分式方程
422x k
x x
-=
--， 去分母得：4(2)x x k --=-， 去括号得：48x x k -+=-， 解得：83
k x +=
， 由分式方程的解为正数，得到8
03
k +>，且823k +≠， 解得：8k >-且2k ≠-． 故选：B ．
8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )
A ．4
B ．8
C 13
D ．6
解：四边形ABCD 是菱形，
6OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥， 12AC ∴=，
DH AB ⊥，
90BHD ∴∠=?， 1
2
OH BD ∴=
， 菱形ABCD 的面积11
124822
AC BD BD =??=??=，
8BD ∴=， 1
42
OH BD ∴=
=； 故选：A ．
9．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且
钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种
B ．15种
C ．16种
D ．14种
解：设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个， 当C 种奖品个数为1个时， 根据题意得102030200m n ++=， 整理得217m n +=，
m 、n 都是正整数，0217m <<，
1m ∴=，2，3，4，5，6，7，8；
当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得102060200m n ++=， 整理得214m n +=，
m 、n 都是正整数，0214m <<，
1m ∴=，2，3，4，5，6；
∴有8614+=种购买方案．
故选：D ．
10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=?，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论： ①45ECF ∠=?； ②AEG ?的周长为2
(1)2
a +； ③222BE DG EG +=；
④EAF ?的面积的最大值是21
8a ；
⑤当1
3
BE a =时，G 是线段AD 的中点．
其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．②④⑤
C ．①③④
D ．①④⑤
解：如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．
BE BH =，90EBH ∠=?，
2EH BE ∴=， 2AF BE =，
AF EH ∴=，
45DAM EHB ∠=∠=?，90BAD ∠=?， 135FAE EHC ∴∠=∠=?， BA BC =，BE BH =，
AE HC ∴=，
()FAE EHC SAS ∴???， EF EC ∴=，AEF ECH ∠=∠， 90ECH CEB ∠+∠=?， 90AEF CEB ∴∠+∠=?， 90FEC ∴∠=?，
45ECF EFC ∴∠=∠=?，故①正确，
如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，则()CBE CDH SAS ???， ECB DCH ∴∠=∠， 90ECH BCD ∴∠=∠=?， 45ECG GCH ∴∠=∠=?， CG CG =，CE CH =，
()GCE GCH SAS ∴???， EG GH ∴=，
GH DG DH =+，DH BE =， EG BE DG ∴=+，故③错误， AEG
∴?的周长
2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a =++=+=++=++=+=，故②错误，
设BE x =，则AE a x =-，AF ， 222222*********
()()()222244228
AEF S a x x x ax x ax a a x a a ?∴=
-?=-+=--+-=--+， 1
02
-<， 12x a ∴=时，AEF ?的面积的最大值为21
8a ．故④正确，
当13BE a =时，设DG x =，则1
3EG x a =+，
在Rt AEG ?中，则有22212
()()()33
x a a x a +=-+，
解得2
a
x =
， AG GD ∴=，故⑤正确，
故选：D ．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 8310? ．
解：8300000000310=?． 故答案为：8310?． 12．在函数2
y x =
-中，自变量x 的取值范围是 2x > ．
解：由题意得，20x ->， 解得2x >． 故答案为：2x >．
13．如图，Rt ABC ?和Rt EDF ?中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 (AB ED BC DF ==或AC EF =或AE CF =等） ，使Rt ABC ?和Rt EDF ?全等．
解：添加的条件是：AB ED =， 理由是：在ABC ?和EDF ?中
B D AB ED
A DEF ∠=∠??
=??∠=∠?
， ()ABC EDF ASA ∴???，
故答案为：AB ED =．
14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为
2
5
． 解：画树状图如图所示：
共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，
∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为
82205
=， 故答案为：
25
． 15．若关于x 的一元一次不等式组10
20
x x a ->??-
解：解不等式10x ->，得：1x >， 解不等式20x a -<，得：2
a x <， 则不等式组的解集为12
a x <<
， 不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
则342
a
<
， 解得68a <， 故答案为：68a <．
16．如图，AD 是ABC ?的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=?，则ACB ∠= 50 ?．
解：连接BD ，如图，
AD 为ABC ?的外接圆O 的直径，
90ABD ∴∠=?，
90904050D BAD ∴∠=?-∠=?-?=?， 50ACB D ∴∠=∠=?．
故答案为50．
17．小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 cm ． 解：1
2
S l R =，
∴
1
151502
l π=，解得20l π=， 设圆锥的底面半径为r ， 220r ππ∴=，
10()r cm ∴=．
故答案为：10．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ?沿射线BD 平移，得到EGF ?，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 45 ．
解：如图，连接DE ，作点D 关于直线AE 的对称点T ，连接AT ，ET ，CT ．
四边形ABCD 是正方形，
4AB BC AD ∴====，90ABC ∠=?，45ABD ∠=?， //AE BD ，
45EAD ABD ∴∠=∠=?，
D ，T 关于A
E 对称，
4AD AT ∴==，45TAE EAD ∠=∠=?，
90TAD ∴∠=?， 90BAD ∠=?，
B ∴，A ，T 共线，
2245CT BT BC ∴=+ EG CD =，//EG CD ，
∴四边形EGCD 是平行四边形，
CG EC ∴=，
EC CG EC ED EC TE ∴+=+=+，
TE EC TC +，
45EC CG ∴+，
EC CG ∴+的最小值为45
19．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3
5
BE a =，连接AE ，将ABE
?沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 2或
30
5
． 解：分两种情况：
①当点B '落在AD 边上时，如图1所示：
四边形ABCD 是矩形， 90BAD B ∴∠=∠=?，
将ABE ?沿AE 折叠．点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的AD 边上， 1
452
BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=?，
ABE ∴?是等腰直角三角形， 1AB BE ∴==，22AE AB ==；
②当点B '落在CD 边上时，如图2所示：
四边形ABCD 是矩形，
90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=?，AD BC a ==，
将ABE ?沿AE 折叠．点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的CD 边上， 90B AB E '∴∠=∠=?，1AB AB '==，3
5BE BE a '==，
3255
CE BC BE a a a ∴=-=-=，222
1B D AB AD a ''=-=-
在ADB '?和△B CE '中，90B AD EB C AB D '''∠=∠=?-∠，90D C ∠=∠=?，
ADB '∴?∽△B CE '，
∴B D AB EC B E ''
=
'211355
a a a -=， 解得：5
a =
0a =（舍去）， 35
5BE a ∴==
，
22225301(
)5AE AB BE ∴=+=+=； 综上所述，折痕的长为2或30； 故答案为：2或
30． 20．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，
以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．?．则点2020B 的坐标 2020231?-，20203 ．
解：点B 坐标为(1,1)， 11OA AB BC CO CO ∴=====， 1(2,3)A ，
111111123AO A B B C C O ∴====， 1(5,3)B ∴， 2(8,9)A ∴，
222222239A O A B B C C O ∴====， 2(17,9)B ∴，
同理可得4(53,27)B ， 5(161,81)B ，