基础巩固篇
第一讲平行线及其判定思维导图
重难点分析
重点分析：
1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示.
2. “三线八角” ：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角” ，这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对.
3. 平行线的判定方法：（1）根据定义判定；（2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的传递性；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
难点分析：
1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行.
2. 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性” ，要注意“直线外一点”这一条件.
3. 平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征.
例题精析
例1、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有
一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
思路点拨：根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解.
解题过程：①过两点有且只有一条直线，正确；②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
综上所述，正确的有①③④共 3 个. 故选 C.
方法归纳：本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键.
易错误区：两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点.
例2、如图，标有角号的7 个角中共有对内错角，对同位角，对同旁内角.
思路点拨：根据内错角、同位角及同旁内角的定义判断即可求得本题. 解题过程：共有 4 对内错角：分别是∠ 1和∠4，∠2 和∠5，∠6 和∠1，∠5和∠7；
2 对同位角：分别是∠ 7 和∠ 1 ，∠ 5 和∠ 6 ；4对同旁内角：分别是∠ 1和∠5，∠
3 和∠ 4，∠ 3和∠ 2，∠ 4和∠ 2. 方法归纳：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由这两个角在图形中的相对位置决定. 在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.
易错误区：同位角的边构成“ F”形，内错角的边构成“ Z”形，同旁内角的边构成“ U”形. 图形较为复杂，要注意从复杂的图形中分解出基本图形.
例3、（1）如图1，AB，CD，EF 是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，若小路OM平分∠ EOB，通往加油站N的岔道O′N平分∠ CO′ F，试判断OM与O′N 的位置关系.
思路点拨：（1）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证得AB∥ CD；（2）可通过构建直线OM与O′N 的同位角来得出OM∥O′ N的结论.
解题过程：
（1）∵ AB⊥EF，CD⊥ EF，
∴ AB∥ CD（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）.
（2）如图，延长NO′与AB交于点P.
∵OM平分∠ EOB，O′ N平分∠ CO′F，
∴∠ EOM=∠FO′N=45° .
∵∠ FO′ N=∠ EO′ P，
∴∠ EOM=∠EO′P=45° .
∴ OM∥ O′N（同位角相等，两直线平行）.
方法归纳：本题主要考查了平行线的判定方法. 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
易错误区：第（2）题中虽然有∠ EOM与∠ FO′N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定两直线平行.
例4、如图，∠ ABD和∠ BDC的平分线交
E，BE的延长线交CD于点F，∠ 1+∠2=90°.
于点
（1）求证：AB∥ CD；
（2）试探究∠ 2 与∠3 的数量关系.
思路点拨：（1）根据BE，DE分别平分∠ ABD，∠BDC，且∠ 1+∠2=90°，可得∠ ABD+∠ BDC=180°，
根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）根据∠ 1+∠ 2=90°，可得∠ BED=90°，从而可得∠
3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠ 3与∠2 的数量关系
解题过（1）证明：∵ BE，DE分别平分∠ ABD，∠ BDC，
11 ∴∠1= ∠ ABD，∠ 2= ∠BDC.
22 ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ ABD+∠ BDC=180° . ∴ AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）. （2）∵ DE平分∠ BDC，∴∠ 2=∠ FDE. ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ BED=∠ DEF=90°. ∴∠ 3+∠ FDE=90°. ∴∠ 2+∠3=90°. 方法归纳：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，注意题中各角之间的数量关系要理清楚.
易错误区：第（2）题中的数量关系不是等量关系，不要误认为∠2=∠3.
例5、如图1，已知∠ EAC=90°，∠ 1+∠2=90°，∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4. 求证：
（1）DE∥BC；
2）若将图形改变为图2、图3，其他条件不变，1）中的结论是否成立？若成立，请选择一
个图形予以证明；若不成立，
思路点拨：（1）首先证明∠ 1+∠3+∠ 2+∠4=180°，进而证明∠ D+∠B=180°，即可解决问题；（2）在图 2 中，连结CE，证明∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°，即可解决问题. 解题过程：（1）如图1，∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，
∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠ 4=2（∠ 1+∠2）.
∵∠ 1+∠ 2=90°，
∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠4=180°.
∵∠ D+∠ B+∠ 1+∠3+∠2+∠4=360°，
∴∠ D+∠ B=180° .
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
（2）成立. 如图，连结EC.
∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，且∠ 1+∠2=90°，
∴∠ 3+∠ 4=∠ 1+∠2=90°.
∵∠ EAC=90°，
∴∠ AEC+∠ACE=180° -90 °=90°.
∴∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°. ∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴（1）中的结论仍成立.
图 3 用类似方法可得DE∥ BC.
方法归纳：本题考查了平行线的判定问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系（三
角形三个内角和等于180°），结合平行线的判定定理来分析、判断、解答
易错误图 2 通过连结EC将∠3 和∠ 4的关系用三角形联系起来是本题
探究提升
例、三条直线两两相交于三点（如图1），共有几对对顶角？几
对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？四条直线两
两相交呢（如图2）？你能发现n 条直线两两相
交的规律吗？
思路点拨： 解题的关键在于找到每个图形中含有几个三线八角的基本图形， 三条直线两两相交， 共有 3 个三线八角的基本图形；四条直线两两相交有 12 个三线八角的基本图形 .n 条直线中任
选两条有 n （n 1） 种选法，然后在剩下的（ n-2）条直线中任选一条直线作为截线共有（ n-2 ）
2 种选法，所以 n 条直线两两相交共有 n （n 1）（n 2） 个三线八角的基本图形 .
2
解题过程： 三条直线两两相交于三点，共有 6 对对顶角， 12 对邻补角， 12 对同位角， 6 对内 错角， 6对同旁内角；四条直线两两相交，共有 12 对对顶角， 24对邻补角， 48 对同位角， 24 对内错角， 24 对同旁内角； n 条直线两两相交，共有 nn-1 对对顶角， 2nn-1 对邻补角， 2nn-1 （ n-2 ）对同位角， nn-1 （n-2 ）对内错角， nn-1 （ n-2 ）对同旁内角 .
方法归纳： 对于规律题关键在于找出规律，但在找到规律的同时还需要明确基本图形的特征 . 易错误区： 本题通过分解图形，利用“三线八角”这一基本图形解决问题，仅利用图形找角是 不容易找全的 .
专项训练
拓展训练
A 组
3. 如图，请填写一个你认为恰当的条件： ，使 AB ∥ CD.
4. 如图，有下列判断：①∠ A 与∠ 1是同位角；②∠ A 与∠ B 是同旁内角；③∠ 4 与∠ 1是内错 角；④∠ 1与∠3是同位角 .其中正确的是 （填序号） .
1. 如图，
列条件中，能判定 DE ∥ AC 的是（ 1 题）
②④ ）.
A. ①②
2. 如图，
（第 8 题）
5. 如图，∠ A=70°， O 是 AB 上一点，直线 CO
与 AB 所夹的∠ BOC=82°，当直线 OC 绕点 O 按
逆 时针方向至少旋转 °时， OC ∥ AD. 6. 如图，已知∠ 1=∠2，∠ BAC=20°，∠ ACF=80°. （ 1）求∠ 2 的度数； （2）FC 与 AD 平行吗？为什么？ （3）根据以上结论，你能确
定∠
B 组
7.在同一平面内，有 l 1，l 2，l 3，l 4四条直线，若 l 1⊥l 2，l 2⊥l 3， l 3⊥l 4， A.l B.l
C.l
D.l
8.如图， AB ⊥ BC ，∠ 1+∠ 2=90°，∠ 2=∠3.求证： BE ∥DF.
则（ ） .
1⊥l 3， 1∥l 3， 1∥l 3， 1∥l 4， l 2 ⊥l 4 l 2 ⊥l 4 l 1 ⊥l 4 l 2 ⊥l 4 9. 如图， BD ⊥ AC 于点 D ， EF ⊥ AC 于点 F ，∠ AMD=∠ AGF ，∠
1=∠ 2=35° . （ 1）求∠ GFC 的度数；
（2）求证： DM ∥ BC.
ABCD ，使其拐
（第 7题） 走进重高
1. 【柳州】如图，与∠ 1 是同旁内角的是（ ） .
角∠ ABC=150°，∠ BCD=30°，则（）.
A.AB∥BC
B.BC∥CD
C.AB∥DC
D.AB 与CD相交
3. 【淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图
案，找出图中的平行线，并说明理由.
4.如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，
∠GHD.
1）求证：CE∥ GF；
2）试判断∠ AED与∠ D之间的数量关系，并说明理
由；
（第 6
题）
高分夺冠
1. 直线a，b，c 在同一平面内，①如果a⊥ b，b⊥c，那么a∥c；②如果a∥ b，b∥c，那么 a ∥ c；③如果a∥b，b⊥c，那么a⊥ c；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交.在
上述四种说法中，正确的有个.
4.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中∠ A=30°，∠ B=60°，∠ D=∠E=45°.
1）若∠ BCD=150°，求∠ ACE的度数；
2）试猜想∠ BCD与∠ ACE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若按住三角尺ABC不动，绕顶点 C 转动三角尺DCE，试探究∠ BCD等于多少度时，CD∥ AB，并简要说明理由.
（第4
题）
基础巩固篇 第一讲平行线及其判定思维导图 重难点分析 重点分析： 1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示. 2. “三线八角” ：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角” ，这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对. 3. 平行线的判定方法：（1）根据定义判定；（2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的传递性；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 难点分析： 1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行. 2. 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性” ，要注意“直线外一点”这一条件. 3. 平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征. 例题精析 例1、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有 一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 思路点拨：根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解. 解题过程：①过两点有且只有一条直线，正确；②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确； 综上所述，正确的有①③④共 3 个. 故选 C. 方法归纳：本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键. 易错误区：两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点. 例2、如图，标有角号的7 个角中共有对内错角，对同位角，对同旁内角.
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习 （教师版） 一、知识梳理 知识点1：平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 知识点2：同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 知识点4：平行线判定 判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
2015浙教版七(下)数学期中复习(常考点、重难点及易错点) 精锐教育内部高分优质讲义 第一章 平行线 1.AB 、CD 两相交直线与EF 、MN 两平行直线相交，问同位角、内错角、同旁内角各多少对? 2.如图，AB ∥EF ，∠C=90°，试探究∠B 、∠D 、∠E 三个角之间的关系（ ） A.∠D=∠B+∠E B.∠B+∠D+∠E =90° C.∠B+∠D-∠E =90° D.∠D+∠E-∠B =90° 3.如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ， 求图c 中的∠CFE 的度数。 4.如图,AB ∥CD,∠EAF=41∠EAB,∠ECF=41∠ECD.求证：∠AFC=43 ∠AEC.
5.如图，AB∥CD，∠CGF=35°，∠AHF=60°，求∠F的度数。 6.如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D．证明：∠A=∠F． 7.如图所示，DB//FG//EC，∠ABD=70°，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，求∠PAG的度数。 8.如图，AB//CD，GM，HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线。 （1）试判断GM和HN的位置关系。 （2）如果GM是∠AGH的角平分线，(1)中的结论还成立吗?
（3）如果GM 是∠BGH 的角平分线，(1)中的结论还成立吗?如果不成立，猜想GM 和HN 的位置关系，不必说明理由。 第二章 二元一次方程组 1.已知关于x ，y 的方程组 ax+2y=1+a ，分别求出当a 为何值时，方程组 2x+2(a-1)y=3 （1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解。 2.若方程组 0.3x+0.5y=2 的解是 x= 3.2 ，求方程组 0.3（x+0.2）+0.5（y-0.2)=2 的解。 0.4x-0.1y=3 y=5.8 0.4（x+0.2）-0.1（y-0.2)=3 3.若方程组 1a x+1b y=1c , 的解是 x=3 ，求方程组 31a x+21b y=51c 的解。 2a x+2b y=2c y=4 32a x+22b y=52c
浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线 一、知识结构 ⎧⎧⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪⎪⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎩同位角相等，两直线平行 直线平行的判定内错角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等 平行线与相交线 两直线平行，同旁内角互补 作一条线段等于已知线段 尺规作图 作一个角等于已知角 相交线：补角、余角、对顶角 二、要点诠释 1.两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线交平行线。 2.几种特殊关系的角 （1）余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 （2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。（3）同位角、内错角、同旁内角 两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。 ①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。 ②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。 ③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。 三、主要内容 （1）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角相等，两直线平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 （2）平行线的性质 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
1.4 平行线的性质 教学目标 1．结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论，并能灵活运用平行线的性质定理解决有关问题． 2．经历探索平行线的性质定理的证明，培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力．3.通过对互逆命题、互逆定理的学习，让学生感受事物是可以互相转化的辨证观点． 重点、难点 重点： 平行线的性质 难点： 如何理解互逆命题、互逆定理的关系 教学设计 一、巧设情境，引入新课 上节课我们证明了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系，其结论是两直线平行，如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来学习平行线的性质定理(板书课题) 二、讲授新课 问题1:如图a∥b，直线c与a、b相交，∠1与∠5有什么关系？你有什么猜想？ 问题2：如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，图中其它同位角之间有什么关系？ 1．实验观察，发现平行线第一个性质 请学生画出下图1进行实验观察．设l1∥l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？请同学们再作出直线l4，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？
图1 平行线性质1(公理)：两直线平行，同位角相等． 我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：两直线平行，同位角相等． 大家议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． (1)你能作出相关的图形吗？ (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ (3)你能说说证明的思路吗？ 已知，如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角． 求证：∠1=∠2． 分析：要证明内错角∠1=∠2，从图中知道∠1与∠3是对顶角，所以∠1=∠3，由此可知：只需证明∠2=∠3即可，而∠2与∠3是同位角，这样可根据平行线的性质公理得证． 写出证明过程，哪位同学上黑板来书写呢？ (学生举手，请一位同学上黑板来书写) 证明：∵a∥b(已知) ∴∠3=∠2(两直线平行，同位角相等) ∵∠1=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2(等量代换) 通过证明证实了这个命题是真命题，我们把它称为平行线的性质定理一，这样就可以把它作为今后证明的依据． 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上． 已知，如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角． 求证：∠1+∠2=180°． 证明：∵a∥b(已知) ∴∠3=∠2(两直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠3=180°(1平角=180°) ∴∠1+∠2=180°(等量代换) 思考：还有其他方法吗？
新浙教版七年级下册数学各章知识点 第一章：平行线与相交线 一、知识结构 同位角相等，两直线平行 直线平行的判定内错角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 平行线与相交线平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 尺规作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 相交线：补角、余角、对顶角 二、要点诠释 1.两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线交平行线。 2.几种特殊关系的角 （1）余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的 和是平角，称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。（2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶 角相等。 （3）同位角、内错角、同旁内角 两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。 ①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。 ②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。 ③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。 三、主要内容 （1）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角相等，两直线平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 （2）平行线的性质
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 第二章：二元一次方程组 3.二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 4.二元一次方程组 由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 5.解二元一次方程组 ①消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。消元的方法是代入，这种解方程组的方法 称为代入消元法，简称代入法。 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是： 1.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示； 2．用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值； 3.把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值； 4．写出方程组的解。 ②对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以 通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。 通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。这 种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减法解二元一次方程组的一般步骤是： 1.将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）； 2.通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； 3.解这个一元一次方程，得到这个未知数的值； 3.将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值； 4．写出方程组的解。 6.二元一次方程组的应用 当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。 一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： 理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系） 制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组） 执行计划（列出方程组并求解，得到答案） 回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意） 题目： 1．方程组x y1 3x2y5 的解是（）
1.1 平行线 【教学目标】： 1．能在丰富的现实情境中进一步了解两条直线的平行关系，会用符号表示两条直线平行； 2．会用三角尺、直尺、量角器、方格纸画平行线，积累操作活动的经验； 3．在操作活动中，探索并掌握平行线的有关性质，提高应用数学的能力； 【教学重难点】 重点：平行线的概念与平行公理； 难点：对平行公理的理解． 【教学过程】： 一、新课导入： 1.相交线是如何定义的？如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交 2.平面内两条直线的位置关系除相交外，还有哪些呢？ 二、解决新知： 1.平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线AB与CD平行，记作AB∥CD(读作“AB 平行CD”)．（画出图形）。如图所示 A B C D 2.同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）；（2）．(相交、平行) 3.对平行线概念的理解： 两个关键：一是“”（举例说明）；二是“”． 一个前提：对直线而言．（在同一个平面内、不相交、同一平面内） 总结：在同一平面内有两条直线，若它们不想交，则一定平行，若它们不平行，则一定相交 4.平行线的画法: 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题． 方法一为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）． 方法二为：利用网格纸画略 5.平行公理: 过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，能画出几条？ .C .B a
1.1 平行线 教学目标 1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念. 2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平行公理的推论. 3.会用符号语言表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 重点、难点 重点:探索和掌握平行公理及其推论. 难点:对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质. 课前准备 分别将木条a 、b 与木条c 钉在一起,做成图所示的教具. 教学过程 一、创设问题情境 1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系? 学生回答后,教师把教具中木条b 与c 重合在一起,转动木条a 确认学生的回答.教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗? 2.教师演示教具. 顺时针转动木条b 两圈,让学生思考:把a 、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b 时,直线b 与直线a 的交点位置将发生什么变化?在这个过程中, 有没有直线b 与c 木相交的位置? 3.教师组织学生交流并形成共识. 转动b 时,直线b 与c 的交点从在直线a 上A 点向左边距离A 点很远的点逐步接近A 点,并垂合于A 点,然后交点变为在A 点的右边,逐步远离A 点.继续转动下去,b 与a 的交点就会从A 点的左边又转动A 点的左边……可以想象一定存在一个直线b 的位置,它与直线a 左右两旁都没有交点. c b
a C c b a 二、平行线定义、表示法 1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a 与直线b 不相交的位置,这时直线a 与b 互相平行.换言之,同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线. 直线a 与b 是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线. 2.同一平面内,两条直线的位置关系 教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系. 在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交. 三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论 1.在转动教具木条b 的过程中,有几个位置能使b 与a 平行? 本问题是学生直觉直线b 绕直线a 外一点B 转动时,有并且只有一个位置使a 与b 平行. 2.用直线和三角尺画平行线. 已知:直线a,点B,点C. (1)过点B 画直线a 的平行线,能画几条? (2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗? 3.通过观察画图、归纳平行公理及推论. (1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论. (2)在学生充分交流后,教师板书. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. (3)比较平行公理和垂线的第一条性质.
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题 第1章平行线 1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行． 2．平行线的定义：在同一平面内 ．．．．．．，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？ 3．平行线的基本事实：经过直线外 ．．．一点，有且只有一条直线与这条直线平行．思考：为什么要经过“直线外”一点？ 4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论） 5．★★★★★同位角、内错角、同旁内角 判断过程：①画出给定的两个角的边（共三条边），公共边就是截线，剩下两条边就是被截线； ②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断． 同位角：在截线的同旁，被截线的同一侧． 内错角：在截线的异侧，被截线之间． 同旁内角：在截线的同旁，被截线之间． 练习：如图，∠1和∠2是一对___________；∠2和∠3是一对___________； ∠1和∠5是一对___________；∠1和∠3是一对___________； ∠1和∠4是一对___________；∠4和∠5是一对___________； 6．★★★★★平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）平行线的定义：在同一平面内 ．．．．．．，不相交的两条直线平行； （5）平行于同一条直线的两条直线平行；（不必在同一平面内） （6）在同一平面内 ．．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 练习：如图，要得到AB∥CD，那么可添加条件______________________________．（写出全部）7．★★★★★平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补． 练习：如图，已知∠1＝58°，∠3＝42°，∠4＝138°，则∠2＝________°. 8．★★★★★图形的平移
小课时·大突破-第1章平行线 第1课时 平行线 主要及拓展知识点（概述） 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 平行线需要同时满足“这两条直线是在同一平面内”“不相交”，这两个条件缺一不可！以下是只满足一种条件，而不是平行线的例子。 （1）只满足“在同一平面内” 说明：虽然这两条直线在同一平面，到它们相交，所以并不是平行线。 （2）只满足“不相交” 说明：AB 与CD 不相交，但它们不在同一平面内，所以它们不是平行线。 换句话说：永不相交的两条直线不一定平行。 在同一平面内的两条直线的位置关系：不是相交，就是平行 考点分析：在同一平面内，相交（包括垂直）或平行，特别要注意垂直也是相交的一种，不相交就是平行。 A B D
基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （1）平行线的画法 已知一天直线和直线外一点，使用工具是直尺和三角板 画法：“一落”“二靠”“三移”“四画” （2）“过直线外一点”的理解 如果说成“过一点”，就会造成歧义，这个点就有可能在已知直线上，因为过直线上的一点不能作出平行线！所以，只能画一条直线与已知直线平行的前提是“过直线外的一点”！ 条及以上的直线的位置关系 平行或垂直 ①在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c ②在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b⊥c，则b⊥c ③在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，a⊥c，则a∥c 2.平行线间的距离相等，如，梯形、平行四边形、长方形、正方形的高有无数条，并相等。 （1）两点确定一条直线 （2）两条直线最多只有一个交点 （3）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
【第一章《平行线》复习】 1.1、同位角、内错角、同旁内角： 1、先看图中∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的上方，并且都在直线EF的右侧 像这样位置相同的一对角叫做同位角。在图(1)中，像这样具有类似位置关系的角 还有吗？如果你仔细观察，会发现∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8也是同位角。 变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角。 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角。 2、再看∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，且3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角 叫做内错角。同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角。 变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角。 图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角。 3、在图(1)中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁像这样的一对角，我们称它为同旁 内角。具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角。 变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角。 图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角。 与两直线的位置关系与截线的位置关系同位角两直线同侧截线的同旁 内错角两直线之间截线异侧 同旁内角两直线之间截线同侧 1.2、平行线的性质：
性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC 性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM 性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠AMN+∠CNM=180° 1.3、平行线的判定： 几何符号语言： （1）∵ ∠3＝∠2 ∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） （2）∵ ∠1＝∠2 ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） 1.4、两条平行线的距离 如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。 注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是 直线AB 与CD 间的距离。 典型练习题： （1）1、如图，与∠2互为同旁内角的是_________。 2、如图，与∠3互为同位角的是___________。 3、如图，∠6与∠9是____,它们是直线______与 _______被直线_________所截得的；∠3与∠5是直线_______与直线_________被直线_________所截得 的；与∠1是同位角的有_____；在标有数字的九个角中，同位角共有 对，内错角共有 对， 同旁内角共有_____对，大小一定相等的角有______对。 （2）如图，直线EF 分别截直线AB,CD 于点E 、F ,EG 与CD 相交于点H ，已知EF ⊥AB,∠1＋∠2＝900 ， A B C D E F 1 2 3 4 A E G B C F H D 2 A E B C D 6 9 5 7 1 3 4 8
平行线及其判定（提高）知识讲解 【学习目标】 1.熟练掌握平行线定义及画法； 2.掌握平行公理及其推论； 3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线及平行公理 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. 要点诠释： （1）同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行. （2）互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 2.平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 3.平行公理及推论 平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 4. 两条平行线间的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离．
要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等． 要点二、平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释： （1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. （2）今后我们用符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”. 【典型例题】 类型一、平行公理及推论 1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) . A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3). 【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三： 【变式】下列说法正确的个数是() . （1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d. （2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
七下数学“相交线与平行线”的知识点 开学已经有几天了，新的第一章知识掌握的怎么样了呢？这一单元主要是概念和性质定理一定要理解清楚，可以在这篇文章梳理一下，一定能帮到你！ 一、相交线 1.邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠ β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2.垂线 ⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作：
如图所示：AB⊥CD，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3.垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。应该结合图形进行记忆。 如图，PO⊥AB，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
第二讲平行线的性质及平移 思维导图 重难点分析 重点分析： 1.平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补. 2.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移. 3.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等. 难点分析： 1.注意平行的性质与判定的区别与联系：区别是条件与结论不同，联系是条件与结论互换位置；性质是由平行线得到角的关系，判定是由角的关系得到平行线. 2.确定平移有两个要素：一是平移的方向；二是平移的距离. 3.连结平移前后两个图形的对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，注意一定要对应点相连，连线的平行是指它们的位置关系，相等是指它们的数量关系. 例题精析 例1、如图，把边长为2的正方形的局部进行图1～图4的变换，拼成图5，则图5的面积是（）. A.18 B.16 C.12 D.8 思路点拨：根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则图5的面积可求. 解题过程：一个正方形的面积为4，而把一个正方形从图1~图4进行变换，面积并没有改变，图5由4个图4构成，故图5的面积为4×4=16. 故选B. 方法归纳：本题考查图形拼接与平移的变换.解决本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变. 易错误区：图5由4个图4构成，没有多也没有少，本题易误认为图5有残缺. 例2、如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠DGC=105°，∠BCG=75°.试
新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线 一、知识结构 ⎧⎧⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎩同位角相等，两直线平行 直线平行的判定内错角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等 平行线与相交线 两直线平行，同旁内角互补 作一条线段等于已知线段 尺规作图 作一个角等于已知角 相交线：补角、余角、对顶角 二、要点诠释 1.两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线交平行线。 2.几种特殊关系的角 （1）余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 （2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。 （3）同位角、内错角、同旁内角 两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。 ①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。 ②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。 ③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内 角。 三、主要内容 （1）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行；
同旁内角相等，两直线平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 （2）平行线的性质 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 第二章：二元一次方程组 2.1二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 2.2二元一次方程组 由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 2.3解二元一次方程组
依米书院个性化辅导教案 基本信息 学生姓名年级七年级下册科目数学课时2h 形式教师上课时间 辅导课题平移与平行线 教学目标知识目标： 1、掌握平行线的性质及其判定方法 2、平移的概念及其应用 教学重点重点：平行线的性质及其判定方法难点：平行线的判定和与应用 课前检查学生作业完成情况：优□良□中□差□建议_________________________________ 教学内容 知识图谱 一：平行线的判定 知识精讲
一．平行线的公理及推论 1．平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作． 2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 3．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 二．平行线的判定 两条直线被第三条直线所截： 1．如果同位角相等，那么两直线平行； 2．如果内错角相等，那么两直线平行； 3．如果同旁内角互补，那么两直线平行． 三点剖析 一．考点：平行公理及其推论，平行线的判定 二．重难点：平行线的判定． 三．易错点： 1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内． 2．判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角． 题模精讲 题模一平行公理及推论 例1.1.1、三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（） A、a⊥b B、a∥b C、a⊥b或a∥b D、无法确定 例1.1.2、下列说法正确的有（） ①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例1.1.3、如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？ 题模二平行线的判定 例1.2.1、如图，能判定EC∥AB的条件是（）
专题1.11 《平行线》几何模型1（知识讲解） 几何模型1：M 型模型（也称“猪蹄模型”） 图 一 //=MA NC A B ⇒∠∠+∠条件：ABC ////PQ =,==MA NC A C C A C ∴∠∠∠∠∴∠∠+∠证明：过点B 作PQ//MA. ， ABQ BQ ，ABC 几何模型2：铅笔头模型 图二 0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC 000 ////P ////PQ ,180,180360MA NC B MA NC A C C A C ∴∠ ∠ = ∠∠ =∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则， ABP+BP+，ABC 几何模型3：鸡翅模型 图三
//-=MA NC A B ⇒∠∠∠条件：C ////PQ ////PQ ,,, MA NC MA NC A C C B CBQ A C B ∴∠∠∠∠∴∠=∠∠∴∠-∠=∠证明：过点B 作PQ//MA.则， ABQ=BQ=，ABQ- 几何模型4：折鸡翅模型 图四 //MA NC A B ⇒∠=∠+∠条件：C ////PQ ////PQ ,,, MA NC MA NC A C C ABC CBQ A ACB C ∴∠∠∠∠∴∠=∠∠∴∠==∠+∠证明：过点B 作PQ//MA.则， ABQ=BQ=，ABQ- 几何模型5：多个M 型模型 12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B -⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件： 证明思路参考几何模型1 几何模型6：多个铅笔头模型
12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B -⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件： 证明思路参考几何模型2 类型一、M 型模型 1（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______． 【答案】90x y z +-=︒ 【分析】 过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，根据平行线的性质可知//////AB CN DM EF ，然后根据平行线的性质即可求解； 解：如图，过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ， ∴//////AB CN DM EF ， ∴1x =∠，23∠∠=，4z ∠=， ∴90BCD ∠=︒， ∴1290∠+∠=︒， ∴390x +∠=︒， ∴3490x z +∠+∠=︒+， ∴90x y z +=︒+， ∴90x y z +-=︒． 故答案为：90x y z +-=︒．
平行线的性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解平行线的概念，掌握平行线的性质； 2.掌握平行线的公理及其推论； 3.能熟练掌握平行线的应用，掌握图象平移的性质及与平行线的关系 1．平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥ ”表示，如“AB∥ CD”，读作“AB 平行于CD”。 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：______________。 注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。 （2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2.平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3.平行线的性质 （1）两直线平行，_________相等。 （2）两直线平行，_________相等。 （3）两直线平行，__________互补。 4.平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。平行线间的距离_____________. 5.平行线的性质与平行线的判定的区别 6.图形的平移 一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿______移动______的距离，这样的图形运动叫做图形的平移． 平移的性质： （1）平移不改变图形的______和________； （2）平移的对应点连线_____________. 【答案】1.相交或平行 2.有且只有 3.(1)同位角(2)内错角(3)同旁内角 4.处处相等 6.同一方向；相同（1）形状、大小（2）互相平行