第1章平行线
1.1 平行线
1.2 同位角、内错角、同旁内角
1.3 平行线的判定
1.4 平行线的性质
1.5 图形的平移
1.1 平行线
1. 定义：在同一个平面内，不相交的两条直线；如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行.
2.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况.
3.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这一基本事实实际上就是著名的“平行公理”.
4.两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角. 邻补角的性质：邻补角互补.
5.两条直线相交所得的四个角中，有公共的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
6.如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补.
1.2 同位角、内错角、同旁内角
1. 认识“三线八角”
（1）如图所示，两条直线l1，l2被第三条直线,l3所截，构成8个角，也就是通常所说的“三
线八角”.
2. 同位角、内错角、同旁内角
·同位角
如上图所示，观察∠1与∠2的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1，l2的同一侧，这样的一对角叫做同位角.
·内错角
如上图所示，观察∠7与∠4的位置，它们分别位于第三条直线l3的异侧，并且都在两条直线l1与l2之间，这样的一对角叫做内错角.
·同旁内角
如上图所示，观察∠7与∠8的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且在直线l1与l2之间，这样的一对角叫做同旁内角.
1.3 平行线的判定
1. 平行线的判定方法1
（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单
（2）推理形式：∵∠1=∠2，
∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行）.
（3)基本事实的推论
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，推理形式为：
∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l2
2.平行线的判定方法2
（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行；
（2）推理形式：∵∠1=∠2，∴l1∥l2 (内错角相等，两直线平行).
3平行线的判定方法3
（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
（2）推理形式：∠1+∠2=180°∴l1∥l2 (同旁内角互补，两直线平行）
1.4 平行线的性质
1. 平行线的性质
（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.
（2）性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
（4）基本图形如图所示. 应用格式如下：
因为AB//CD，所以∠1=∠2.
因为AB∥CD、所以∠2=∠3.
因为AB/CD，所以∠2+∠4=180°.
2. 平行线的性质与判定的区别
平行线的性质与判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等、内角相等、同旁内角互补推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，这是平行线的性质.
1.5 图形的平移
1. 平移的概念
一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移.
2. 平移的条件
物体作平移的两个条件：(1)相同的运动方向；(2)相等的运动距离.
3.平移作图
平移作图的一般步骤：(1)确定平移的方向和距离；(2)骗定表示围形的关键点；(3)过关键
点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)按原图形依次连结对应点，所得到的图形就是平移后的图形. 其中找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段是最关键的.
4.平移的性质
（1）平移不改变图形的形状和大小.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上)且相等. 图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等.
注意：在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段.
1.6 应用
1. 数对顶角
2对对顶角l1 l2 l3 l1 l2 l3 l4
3组两两对应6组两两对应
3*2=6对6*2=12对
n条直线
n-1+n-2+……+1
（n−1+1）（n−1）
2=n（n−1）
2
组×2=n（n-1）对
2. 同旁内角特殊数法
直线两两相交产生2对同旁内角
图中有4条截线，每条截线形成3对交线，共计12组同旁内角数量：2×12=24对
①变式图形：∠1与∠2都是同位角
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角
②变式图形：∠1与∠2都是内错角
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角
③变式图形：∠1与∠2都是同旁内角
图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角
第2章二元一次方程组
2.1 二元一次方程
2.2 二元一次方程组
2.3 解二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
2.1 二元一次方程
1. 二元一次方程
定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程.
注意：“含有”表示系数不为0，（化简后）例如：x+y=10（√）x+2y=10+x（×）X+2y+z=10（×）
“项的次数”，例如x2+y=0（×）xy-5=0（×）
“整式”；初中我们就学习整式（排除法）、分式（分母里面有字母）和根式（根号里面有字母），只要是几元几次方程，必然是整式方程
一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）
2. 二元一次方程的解
（1）使二元一次方程左、右两边的值相等两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，一般
情况下，一个二元一次方程有无数解. （每一个解是一个数对，要用大括号括起来）
例：二元一次方程有无数个解，所以它的解是任意数.（×）
3. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：
①方程两边的代数式都是整式----整式方程
②含有两个未知数----二元
③含有未知数的项的次数为1----一次
例题：
1、下列方程中，是二元一次方程的有（①⑤⑦） ①2x+y=3 ②x 2+3y=1 ③xy+5y=8 ④3x -2y=4z ⑤4x=y−2
4 ⑥1x +4y=6 ⑦x
π+y=5 2、下列各式中，属于二元一次方程的个数有（ C ）②④⑧
①xy+2x -y=7 ②4x+1=x -y ③1
x +y=5 ④x=y ⑤x 2-y 2=2 ⑥6x -2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y -1）=2y 2-y 2+x ⑨1x +x=1
x +y （所有化简都在整式范围内化简，分式不化简）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.2 二元一次方程组
1. 二元一次方程组的概念
由几个（2个及以上）一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.
二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，方程可以超过两个，有的方程可以只
有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）如{2x =63x −y =1
也是二元一次方程组. {x +1=8y −3=5 {x =8y =5 {x −y =52x +1=83x +y =10
例题：下列方程组中，哪些是二元一次方程组：__________ ①{x +y =42x +3y =7 （√） ②{2a −3b =115b −4c =6
（×） ③{x +y =8x 2−y =4 （×）
④{xy −7=9y =2x
（×） ⑤{x =1y =−1 （√） ⑥{2x =1xy =−1 （×） ⑦{2x +y =1y −z =−1 （×） ⑧{2x +y =11y
=−1（×）
2. 二元一次方程组的解：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必
须是一个数对，而不能是一个数.
例题：方程组{2x +y =■x +y =3
的解为{x =2y =■ ，则被遮盖的前后两个数分别为（ C ） A.1、2 B.1、5 C.5、1 D.2、4
3. 二元一次方程的两种基本解法的一般步骤：
·代入消元元法
①将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示. ②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数. 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值.
③把这个未知数的值代人代数式，求得另一个未知数的值.
④写出方程组的解.
·加减消元法：
①将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数).
②通过相减（或相加)消去这个未知数. 得到一个一元一次方程.
③解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
④将求得的未知数的值代人原方程且中的存一个方程，求得另一个未知数的值.
⑤写出方程组的解.
4. 应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
(1)理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系.
(2)制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组.
(3)执行计划：列出方程组并求解，得到答案.
(4)回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.
5.当方程组中的某个方程的某个未知数的系数的绝对值为1，或某个方面的常数项为0时，一般用代入消元法解方程组比较简捷；当方程组中某个未知数的系数的绝对值相同或成倍数关系时，一般用加减消元法解方程组比较简捷；当未知数的系数的绝对值都不同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得方程中某个未知数的系数相同（或互为相反数），再用加减法消元求解.
6.在解二元一次方程组时，除了代入消元法和加减消元法之外，我们还可以用整体代入法、换元法、设元法等方法求解，应根据题目灵活选择.
整体代入法：在求代数式值中应用，求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值. 有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到.
7.回顾：一元一次方程是指含有一个未知数，并且未知数的项的次数为一次的方程. 例如：x=3x，2x=6x-1,9x-6=2x
二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是一次的方程. 例如x=y+1，（a+b）×2=30
第3章整式的乘除
3.1 同底数幂的乘法
3.2 单项式的乘法
3.3 多项式的乘法
3.4 乘法公式
3.5 整式的化简
3.6 同底数幂的除法
3.7 整式的除法
1.幂的运算法则：
注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用
运算性质，使运算更加方便、简洁.
例题:
1.计算
（1）（-3）2013·（- 13）2011
（2）2·8n ·16n =222，求n 的值.
（3）-12016+（π-3.14）0-2×（-3）
2.连线
a m n a m -a n
2.整式的乘除法法则：
注意：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号，单项
式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和形式，根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab
3.零指数幂和负整数指数幂：
（1）a0=1(a≠0). 任何不等于零的数的零次幂都等于1.
(a≠0，p是正整数）.任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的（2）a-p=1
a p
p次幂的倒数.
4.乘法公式：
在化简求值问题中常会用到乘法公式，使用乘法公式可以简化运算.
在利用完全平方公式求值时，注意公式的变形及整体代入思想，通常用到以下几种变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab
（2）a2+b2=（a-b）2+2ab
（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab
（4）（a-b）2=（a+b）2-4ab
第4章因式分解
4.1 因式分解
4.2 提取公因式法
4.3 用乘法公式分解因式
4.1 因式分解
（1）因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式.
（2）多项式的因式分解与整式的乘法是互逆关系. 整式的乘法运算是把几个整式的积变形为多项式的形式，特征是向着“积化和差”的形式发展；而多项式的因式分解则是把一个多
项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着“和差化积”的形式发展.
★注意：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底.
例（台州中考）把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是（）
A. 2(x2-8)
B. 2(x-2)2
C. 2(x+2)(x-2)
D. 2x(x -4
)
x
解析：2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).故选C.
4.2 提取公因式法
1. 公因式的定义及其确定
（1）公因式的定义：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如m是多项式ma+mb各项的公因式，2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式.
（2）公因式的确定方法：多项式的各项系数的最大公因数(当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积就是多项式的公因式.
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
★公因式的确定方法：
（1）系数：取多项式各项系数的最大公约数.
（2）字母：取多项式各项都含有的相同字母(或多项式因式）的最低次幂.
2. 用提取公因式法因式分解
（1）定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解. 这种分解因式的方法，叫做提取公因式法. 提取公因式法是因式分解的一种最基本的方法.（2）提取公因式法的一般步骤
确定应提取的公因式；用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；把多项式写成这两个因式的积的形式.
3. 添括号法则
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
4.3 用乘法公式分解因式
1. 运用平方差公式分解因式
a2-b2=(a+b)(a-b).
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
例(杭州中考）分解因式：m3n-4mn=________________
解析：m3n-4mn =mn(m2 - 4)=mn(m+2)(m -2).
答案：mn(m+2)(m -2)
2. 运用完全平方公式分解因式
a2+2ab+b2= (a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2.
语言叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.
★注意：公式中所说的“两个数”是a，b，而不是a2，b2，其中a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
3. 形如x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
X2 +(p+ q)x+ pq=(x+p)(x+q)，利用该式可将某些二次项系数是]的二次三项式分解因式. 如：x2-6x-7=(x-7)(x+1)，x2+5x-6=(x+6)(x -1).
4. 综合运用提取公因式法和公式法分解因式
（1）多项式的因式分解，有的可用提取公因式法，有的可用公式法，有的则两种方法综合应用. 一般地，利用公式a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.
（2）分解因式的一般步骤
▲当多项式的各项有公因式时，应首先提取公因式.
▲当多项式是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式为三项式时，应考虑用完全平方公式，观察是否符合公式的特点，并确定公式中的a，b.
★特别注意：当分解因式后的某一因式有公因式或符合公式时，应继续分解，直到每个因式再也不能分解为止.
★当多项式不能直接分解因式时，应先对多项式进行整理变形，再分解.
5. 换元法
当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，例如：（a+b）2+2（a+b）+1，（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4
6. 因式分解的方法
7. 添括号法则
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
要点三、乘法公式
1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
注意：在这里，a、b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式；平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
注意：公式的特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
8. 因式分解常用12种方法及应用
【因式分解的12种方法】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
因式分解的方法多种多样，现总结如下：
（1）提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1：分解因式x3-2x2-x （2003淮安市中考题)
x3-2x2-x=x（x2-2x-1）
（2）应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2：分解因式a2+4ab+4b2（2003南通市中考题）
解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2
（3）分组分解法
★分解因式：mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)十y(m+n)=(m+n)(x+y)，这种分解因式的方法称为分组分解法.
★要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，井提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
请用分组分解法分解因式：
（1）a2-b2+a2b-ab2.
原式=(a2-b2)+(a2b-ab2)=(a+b)(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a+b+ab).
（2）a2-a2b+ab2-a+b-b2.
原式＝(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)＝(a+b)(a-b)-ab(ab)-(a-b)=(a-b)(a+b-ab-1)
=(a-b)[(b-1)-a(b-1)]=(a-b)(b-1)(1-a).
例3：分解因式m2+5n-mn-5m
解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
=(m2-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
例：2x4-x3-6x2-x+2
=(2x4-x3)-(6x2+x-2)
=x3(2x-1)-(2x-1) (3x+2)
=(2x-1) ( x3-3x-2)
（4）十字相乘法
对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ad+bc=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）
用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3.
（1）二次项系数2=1×2.
（2）常数项-3=-1×3=1×(-3)，验算“交叉相乘之和”.
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果-1为一次项系数，即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3 =2x2-x-3，则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
例4：分解因式7x2-19x-6
分析：1×7=7，
2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)
（5）配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解.
例5：分解因式x2+6x-40
解x2+6x-40=x2+6x+9-9-40
=(x+ 3)2-(7)2
=[(x+3)+7][(x+3)-7]
=(x+10)(x-4)
（6）拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解.
例6：分解因式bc（b+ c）+ca（c-a）-ab（a+b）
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc（c-a）+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）
=（c+b）（c-a）（a+b）
（7）换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.
例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起）
解：2x4-x3-6x2-x+2
=(2x4-x3)-(6x2+x-2)
=x3(2x-1)-(2x-1) (3x+2)
=(2x-1) ( x3-3x-2)
例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2 (也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起）
解：2x4-x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2
=x2｛2[x2+（1
x ）2]-（x+1
x
）-6｝
令y=x+1
x
，
x2｛2[x2+（1
x ）2]-（x+1
x
）-6｝
=x2[2（y2-2）-y-6]
= x2（2y2-y-10）= x2（y+2）（y-5）
= x2（x+1
x +2）（2x+1
x
−5）
=（x2+2x+1）（2x2-5x+2）
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
（8）求根法
令多项式f（x）=0，求出其根为x1，x2，x3，……x n，则多项式可因式分解为f（x）=(x-x1)（x-x2)(x-x3)……(x-x n)(一般情况下是试根法，并且一般试-3，-2，-1，0，1，2，3这些数是不是方程的根)
例8.分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解：令f（x）=2x4+7x3-2x2-13x+6=0
通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1，1
2
则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x-1）
（9）图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到. 现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的）
令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与x轴的交点x1，x2，x3，……x n，则多项式可因式分解为
f（x）=f(x)=(x-x1)(x-x2 )(x-x3).....(x-x n)
例9.因式分解x3+2x2-5x-6
解：令y=x3+2x2-5x-6
作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
（10）主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.
例10.分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)= a2 (b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)
=(b-c)[ a2-a(b+c)+bc]
=(b-c)（a-b）(a-c)
（11）利用特殊值法
将2或10(或其它数）代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例11.分解因式x3+9x2+23x+15
解：令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x3+9x2+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
（12）待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.
例12.分解因式x4-x3-5x2-6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.
解：设x4+-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
从而a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4
所以解得
则x4+-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)
【专题综述】
因式分解初中代数中一种重要的恒等变形，也是中考数学试题中比较常见的题型，对于因式分解，除了掌握其方法外，还应注意观察题目的本身特点，正确的选择方法，同时，由于种种原因，因式分解时常常会出现这样或那样的错误，下面举例予以剖析，望有则改之，无则加勉.
9. 方法解读
（1）曲解概念，局部分解 例1：分解因式：（x+y)2+（x+y)+14
错解：原式=（x+y)(x+y+1)+ 14 正解：原式=（x+y)2+2×12（x+y ）+（12）2=（x+y+1
2）2
【解读】尽管结果的第一项是积的形式，但从整体上看还是和的形式. 错因在于曲解了分解因式的意义，误认为只要结果中有整式的积即可，而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.
【举一反三】
下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.x 2+2x+3=(x+1)2+2
B.(x+y)(x -y)=x 2-y 2
C.x 2-xy+y 2=(x -y)2
D.2x -2y=2(x -y)
【答案】D
【解析】选项A. x 2+2x+3=(x+1)2+2不是因式分解
选项B.(x+y)(x -y)=x 2-y 2不是因式分解
选项C. x 2-xy+y 2=(x -y)2不是因式分解
选项D. 2x -2y=2(x -y)是因式分解
（2）提公因式，不翼而飞
例2：分解因式：4a 2b -6ab 2+2ab.
错解：原式=2ab(2a -3b).
正解：原式=2ab(2a -3b+l)
【解读】当各项的公因式恰与某一项相同（或互为相反数）时，提取公因式后.
该项的位置必须由l （或-l ）“留守”，而错解忽视了这一点，致使第三项“1”不翼而飞. 【举一反三】 因式分解：ab 2-2ab+a=_______________
【答案】a(b -1)2
【解析】ab 2-2ab+a=a(b 2-2b+1)=a(b -l)2，故本题的答案为a(b -1)2
本题考查略因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键在于判断公因式并熟练地运用完全平方式.
（3）盲目变换，符号出错
例3：分解因式：3q(p-1)2-2(1-p)3.
错解：原式=3q(p-1)2-2(p-1)3=(p-1)2[3q-2(p-1)]
=(p-1)2(3q-2p +2).
正解：原式=3q(l-p) 2-2(1-p)3=(1-p)2(3q-2+2p)
【解读】错因在于把（l-p)3化为（p-1）3时出现了符号错误，误认为(l-p)3=(p-1)3.
事实上，当n为偶数时，(l-p)m=(p-1)m；当n为奇数时，(l-p)m=-(p-1)m，所以本题中若选择把(p-1)2化为(l-p)2，可避免符号的干扰
【举一反三】
因式分解：x(x-2)-3(2-x)
【答案】(x-2)（x+3)
【解析】试题分析：提公因式(x-2)进行因式分解；
解：原式=（x-2)(x+3)
（4）忘记初衷，背道而融
例4：分解因式：（2x+y）2-(x-2y)2.
错解：原式=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+3)-(x-2y)]
=( 3x-y)( x+3y)=3x2+8 x y-3 y2.
正解：原式=（3x-y）(x+3y).
【解读】错解的最后一步与因式分解背道而驰，是整式乘法. 这种走“回头路”的现象，其原因是混淆了分解因式与整式乘法的本质区别，对分解因式的目标就是“把多项式化为几个整式积的形式”不够明确.
【举一反三】
分解因式：9(a+b)2-4(a-b)2
【答案】(5a+b)(a+5b)
【解析】利用平方差公式即可分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2，
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)],
=(5a+b)(a+5b)
第一章三角形的初步认识 一、知识定义: 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形”用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。 三角形分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形或等腰三角形、不等边三角形。 三边关系：由两点之间线段最短，可以得到如下性质： 三角形任何两边的和大于第三边。 相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。 三角形的内角和等于180。 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。 直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。 而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 二、全等三角形 能够重合的两个图形称为全等图形。 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 “全等”可用符号“≌”来表示。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 三角形全等的条件 ①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的 稳定性，这是三角形特有的性质。 ②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或 “SAS”）。垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或 “ASA”）。有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角 角边”或“AAS”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。 作三角形
浙教版七年级下册数学各章知识点 第一章：平行线与相交线 一、知识结构 同位角相等，两直线平行 直线平行的判定内错角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 平行线与相交线平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 尺规作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 相交线：补角、余角、对顶角 二、要点诠释 1. 两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线交平行线。 2. 几种特殊关系的角 （1）余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的 和是平角，称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。（2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶 角相等。 （3）同位角、内错角、同旁内角 两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。 ①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。 ②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。 ③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。 三、主要内容 （1）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角相等，两直线平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 （2）平行线的性质
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 第二章：二元一次方程组 3. 二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 4. 二元一次方程组 由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 5. 解二元一次方程组 ①消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。消元的方法是代入，这种解方程组的方法 称为代入消元法，简称代入法。 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是： 1. 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示； 2．用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值； 3. 把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值； 4．写出方程组的解。 ②对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以 通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。 通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。这 种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减法解二元一次方程组的一般步骤是： 1. 将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）； 2. 通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 解这个一元一次方程，得到这个未知数的值； 3. 将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值； 4．写出方程组的解。 6. 二元一次方程组的应用 当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。 一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： 理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系） 制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组） 执行计划（列出方程组并求解，得到答案） 回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意） 题目： 1．方程组x y 1 3x 2y 5 的解是（）
浙教版初中数学七年级知识点及典型例题 七年级上册数学知识点 第一章 有理数 1正数：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用过去学过的数（零除外），如123,15等来表示，这样的数就叫做正数。 负数：把另一种与之意义相反的量规定为负，用过去学过的数（零除外）前面放上负号“﹣”来表示，如-233，-60，3 2 ，-0.5等。 零既不是负数，也不是正数。 有理数：正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 零的相反数是零。 在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 倒数：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。 科学记数法：把一个数表示成a(1≤a ＜10)与10的幂相乘的形式，叫做科学计数法。 近似数：与实际接近的数称为近似数。 准确数：与实际完全符合的数称为准确数。 有效数字：由四舍五入得到的近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 3绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，互为相反数的两个数的绝对值相等。 4正负数的大小比较：正数大于零，零大于负数，正数大于负数，绝对值大的负数值反而小 。
题目： 1、下列说法中，错误．． 的是（ ） A.整数一定是自然数 B.自然数一定是整数 C.自然数一定是非负数 D.自然数一定是有理数 2、下列各语句中，错误的是 （ ） A.、数轴上，原点位置的确定是任意的； B.、数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左； C.、数轴上，单位长度1的长度的确定， 可根据需要任意选取； D.、数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个． 3、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x b a ++x +cd 的值。 【多变题】 1、a ，b ，c 三数在数轴上的位置如图，化简： c c b b a a ++． b 0 c a 2、若│x -2│-x+2=0，那么（ ）． A ．x=2 B ．x≥2 C．x≤2 D．-2≤x≤2 3、（2007长沙）若a ，b 在数轴上表示如图所示，那么（ ）． A ．a浙教版初中数学七年级下册知识点汇总
第1章平行线 1.1 平行线 1.2 同位角、内错角、同旁内角 1.3 平行线的判定 1.4 平行线的性质 1.5 图形的平移 1.1 平行线 1. 定义：在同一个平面内，不相交的两条直线；如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行. 2.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况. 3.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这一基本事实实际上就是著名的“平行公理”. 4.两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角. 邻补角的性质：邻补角互补. 5.两条直线相交所得的四个角中，有公共的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 6.如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补. 1.2 同位角、内错角、同旁内角 1. 认识“三线八角” （1）如图所示，两条直线l1，l2被第三条直线,l3所截，构成8个角，也就是通常所说的“三
线八角”. 2. 同位角、内错角、同旁内角 ·同位角 如上图所示，观察∠1与∠2的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1，l2的同一侧，这样的一对角叫做同位角. ·内错角 如上图所示，观察∠7与∠4的位置，它们分别位于第三条直线l3的异侧，并且都在两条直线l1与l2之间，这样的一对角叫做内错角. ·同旁内角 如上图所示，观察∠7与∠8的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且在直线l1与l2之间，这样的一对角叫做同旁内角. 1.3 平行线的判定 1. 平行线的判定方法1 （1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单 （2）推理形式：∵∠1=∠2， ∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行）. （3)基本事实的推论 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，推理形式为： ∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l2 2.平行线的判定方法2 （1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行； （2）推理形式：∵∠1=∠2，∴l1∥l2 (内错角相等，两直线平行). 3平行线的判定方法3 （1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
浙教版七年级下册数学知识点 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!
浙教版数学七年级下册知识点汇总复习 第一章平行线 一、三线八角 在三线八角中，同位角、内错角和同旁内角都是成对的，每一对角都有一条公共边，在截线上。同位角包括∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；内错角包括∠3与∠5， ∠4与∠6；同旁内角包括∠4与∠5，∠3与∠6.这些角的位置 关系可以通过描线法来判断。 二、平行线 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。平行线的距离是同时垂直于这两条平行线的垂线段的长度。画平行线的方法有一贴、二靠、三推、四画。 同位角、内错角和同旁内角的位置关系可以用角平分线来判断。如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
三、平行线的判定及性质 平行线的判定定理是同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。平行线的性质定理是同位角相等的两条直线平行，内错角相等的两条直线平行，同旁内角互补的两条直线平行。根据这些定理可以推论出垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行。 四、图形的平移 平移不改变图形的形状和大小。每组对应点的连线平行且相等。平移的距离是对应点连线的长度。画平移后的图形需要定方向、画方向、定距离和描点连线。 第二章二元一次方程组 一元一次方程只有一个未知数，二元一次方程有两个未知数。解二元一次方程组的方法有代入法和加减法。如果未知数
系数是1或-1，可以使用代入法。如果未知数系数不是1或-1，则需要使用加减法。 在解题时，如果方程组中有括号或分数，需要先整理，将未知数放在左边，常数放在右边。 二元一次方程组可以应用在行程问题、工程问题、调配问题、配套问题、利润问题、利率问题、几何问题和集合问题等方面。对于有多个未知数的问题，需要建立多层关系。 第三章整式的乘除 在整式的乘除中，有各种各样的运算法则，如同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、零次幂和负次幂。这些法则可以通过条件描述、数学语言和例子来理解。 例如，同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；幂的乘方中，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积。注意， (a+b)²不等于a²+b²，且a⁻²不等于- a²。
浙教版初中七年级数学（下）知识点汇总 浙教版初中七年级数学（下）知识点汇总第一章交线与平行线二、知识概念 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。 7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。 10垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。
七年级数学浙教版知识点 数学作为一门重要的学科，在学生的学习生涯中占有非常重要的位置。尤其对于初中阶段的学生来说，深厚的数学基础将会对其未来的学习和职业选择产生重要影响。而浙教版则是国内广泛采用的一套教材体系，今天我们就来详细地讲解一下七年级数学浙教版的知识点。 一、数的概念 数的概念是数学学科中最基础、最重要的部分，也是后续所有知识的基础。在七年级浙教版数学中，学生需要掌握自然数、整数、有理数、实数等概念，并能进行基本的计算。 二、小数 小数在我们的日常生活中随处可见，例如我们经常会碰到的货币、体重等等，都可以用小数进行表示。在七年级数学中，学生将会学习小数的表示、比较、四则运算等知识点。 三、分数
分数也是数学学科中经常使用的表示方式之一，可以非常准确 地表达出多种复杂的数量关系。在浙教版七年级数学中，分数将 占据相当重要的部分，并涉及到分数的基本概念、基本运算、约分、通分等。 四、代数式 代数式在数学中也非常重要，是学生从初中起开始接触的数学 概念之一。在浙教版七年级数学中，代数式及基本等式解题、一 元一次方程等都是学生必须学会的知识点。 五、几何初步 几何是七年级数学中非常重要的一部分，涉及到了从点、线、 面到三角形、四边形等多个方面的知识。在七年级浙教版数学中，学生将开始接触到平面图形的认知、直线和角的基本概念、三角 形的分类与基本特征等知识点。 六、统计与概率
统计与概率是数学学科中相对高级的一个部分，通常在高中课程中会占有更多的时间。不过在浙教版的七年级数学中，学生也将会接触到基本的统计方法、概率的基本概念与应用等知识。 七、图形的平移与旋转 图形的平移与旋转是七年级数学中比较新颖的知识点之一，相对于以往的数学学习内容来说也更加具有趣味性。在浙教版数学中，图形的平移与旋转将会占据相当重要的部分，并尤其需要学生进行实际操作。 以上就是浙教版七年级数学中的主要知识点，当然整个课程体系远不止这些。然而通过学习以上知识点，可以帮助学生打下坚实的数学基础，并为其将来的学习道路带来更多机会与可能性。
初中数学教学大纲 七年级上册 第1章有理数 1.1从自然数到有理数 正数负数0既不是正数也不是负数 整数分数有理数 1.2 数轴 原点单位长度正方向数轴相反数 1.3 绝对值 1.4 有理数旳大小比较 第2章有理数旳运算 2.1有理数旳加法 加法互换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.2 有理数旳减法 减去一种数，等于加上这个数旳相反数 2.3 有理数旳乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与零相乘，积为零 互为倒数
乘法互换律：a*b=b*a 乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c) 分派率：a*(b+c)=a*b+a*c 2.4 有理数旳除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以任何一种不等于0旳数都得0 除以一种数（不等于0），等于乘以这个数旳倒数 2.5 有理数旳乘方 幂底数指数科学记数法 2.6 有理数旳混合运算 先算乘方，再算乘除，最终算加减，如有括号，先进行括号里旳运算2.7 近似数 精确数近似数 第3章实数 3.1 平方根 平方根开平方算数平方根 3.2 实数 无理数 3.3 立方根 3.4 实数旳运算
先算乘方和开方，再算乘除，最终算加减，假如碰到括号，则先进行括号里旳运算第4章代数式 4.1 用字母表达数 4.2 代数式 4.3 代数式旳值 4.4 整式 单项式系数次数多项式常数项 4.5 合并同类项 把同类项旳系数相加，所得成果作为系数，字母和字母旳指数不变 4.6 整式旳加减 第5章一元一次方程 5.1 一元一次方程 5.2 等式旳基本性质 5.3 一元一次方程旳解法 5.4 一元一次方程旳应用 第6章图形旳初步认识 6.1 几何图形 6.2 线段、射线和直线 6.3 线段旳长短旳比较 两点之间线段最短
七年级下册数学知识点浙教在七年级下册的数学课程中，浙教的教材是我们重要的教学资源之一。以下是本文总结的七年级下册数学知识点浙教的内容。希望能对广大学生和老师有所帮助。 一、分数 1.1 分数的表示方法 分数就是用一个数除以另一个数所得到的结果，其中被除数叫做分子，除数叫做分母。分数的书写方法通常是用分子分母之间用横线隔开，如2/3。 1.2 分数的大小比较 分数大小的比较，可以通过相同分母或通分的方法进行。通分的方法是将两个分数的分母都变成相同的数。比较大小时，只需要比较各自的分子大小即可。 1.3 分数的运算
分数的运算包括加减乘除四则运算。加减法需要通分，乘除法则可直接进行运算。特别地，除法可以通过将分数取倒数，再进行乘法来替换。 二、代数式及其运算 2.1 代数式 代数式是一个或多个数和字母的运算式。常见的代数式有单项式、多项式和因式。 2.2 代数式的加减 代数式的加减跟数的加减类似，将同类项合并即可。同类项是指字母相同且指数相同的项。 2.3 代数式的乘法
代数式的乘法需要注意乘积中的同类项合并。同时，外侧的系数也需要进行乘法运算。 2.4 代数式的除法 代数式的除法涉及到多个式子之间的运算。需要进行约分、求最大公因数等操作，具有一定的难度。 三、方程与不等式 3.1 线性方程与一元一次方程 线性方程一般包含一个字母的一次幂，其中最常见的是一元一次方程。求解一元一次方程的方法包括等式两边同乘、等式两边同加同减等。 3.2 二元一次方程 二元一次方程包含两个字母的一次项，通常需要通过排除法、代入法等较为繁琐的操作来求解。
3.3 不等式 不等式包括大于号和小于号，表示两个数之间的大小关系。求解不等式的方法类似于方程，也需要进行变形和化简，但对于方程不成立的情况，还需要单独考虑。 四、几何 4.1 整数坐标系 整数坐标系是由两条垂直的数轴组成的平面，其中轴上的整数点叫做坐标，可以表示平面上点的位置。 4.2 计算长度、面积和体积 计算长度、面积和体积是在几何学的基础上进行的，需要对图形的形状、大小和几何关系进行分析和计算。常见的图形有点、线段、三角形、四边形和圆等。
七年级浙教版数学知识点 一、整数 整数是由零、正整数、负整数组成的数集。整数间的基本运算有加、减、乘、除等。 二、分数 分数是形如 $\frac{a}{b}$（$b\neq0$）的数，其中 $a$ 和 $b$ 都为整数，$b$ 称为分母，$a$ 称为分子。 分数间的基本运算有加、减、乘、除等。 三、代数式 代数式是由数及其运算符号、字母及其指数、括号、函数以及点号等符号组成的式子。 四、一次方程与解法
一次方程的一般形式为 $ax+b=0$，其中 $a$ 不等于 $0$。解一次方程可以用“移项、合并同类项、化简”的步骤，使得未知元素的系数为 $1$。 五、比与比例 比可以将两个或多个值进行比较，比的形式为 $\frac{a}{b}$。 比例是相同种类的两个比的比，形式为 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。 六、百分数 百分数是分数的一种，记为 $a\%$，意为把数 $a$ 分成 $100$ 份。 七、三角形及其性质
三角形是由三条线段组成的图形。三角形按照边长和角度的大小可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型。 对于任何三角形，它的三个内角之和为 $180^\circ$。 八、平行四边形及其性质 平行四边形是由四条线段组成的图形，其中对边平行且相等。 平行四边形的对角线互相平分。 九、圆的相关概念与性质 圆是平面上一点到一定点距离等于定长的所有点的集合。圆心为距离定点最近的点，圆周是圆上所有点的集合。 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离。
圆的弧是圆周上的一部分，其中圆周对应的角称为圆心角。 十、数据的收集、整理与处理 数据的收集是指通过直接观察、测量、问卷等方式获取数据。 初始数据可以通过整理、统计等方法来得到更加简洁、有代表性的表格、图表等形式。 数据的平均值、中位数、众数等统计指标可以用于进一步对数据进行分析、比较等。
浙教版七年级下册数学知识点提纲 初中数学和小学相比：知识量加大，知识综合性加强;对应用能力要求加大：如观察、阅读、记忆、思维、想象、操作、表达等能力。下面小编给大家分享浙教版七年级下册数学知识点提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读! 浙教版七年级下册数学知识点提纲 【相似变换】 ※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成. ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3、注意点: ①a:b=k,说明a是b的k倍; ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数; 【平移变换】 (1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化; (2)图形平移后，对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上) (3)多次平移相当于一次平移。 (4)多次对称后的图形等于平移后的图形。 (5)平移是由方向，距离决定的。 (6)经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。 这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移 【相似三角形】 ※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. ※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5、相似三角形周长的比等于相似比. ※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方. 【统计】 科学记数法：一个大于10的数可以表示成Ax0N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。 扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。 各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目;折线统计图：能清楚反映事物的变化情况;扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 近似数字和有效数字：①测量的结果都是近似的。②利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。③对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把(X1+X2+…+XN)/N 叫做这个N个数的算术平均数，记为X(上边一横)。 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。②一组
上课用---新浙教版七年级下数学知识点 汇总(期末复习宝典) 第1章平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。平行线的定义为：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示。为什么要有“在同一平面内”这个条件？因为平行线只存在于同一平面内，如果不在同一平面内，两条直线可能会相交。 平行线的基本事实是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。为什么要经过“直线外”一点？因为如果经过直线上的点，会有无数条直线与这条直线平行。 用三角尺和直尺画平行线的方法是：一贴，二靠，三推，四画。需要注意的是，作图题要写出结论。 同位角、内错角、同旁内角是判断平行线关系的重要概念。在判断过程中，需要画出给定的两个角的边（共三条边），公
共边就是截线，剩下两条边就是被截线。同位角在截线的同旁，被截线的同一侧；内错角在截线的异侧，被截线之间；同旁内角在截线的同旁，被截线之间。练时需要填写正确的角对应关系。 平行线的判定有多种方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、平行线的定义、平行于同一条直线的两条直线平行、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。在练中需要根据给定条件判断两条直线是否平行。 平行线的性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。在练中需要根据已知条件计算未知角度。 图形的平移是指一个图形沿某个方向移动，在XXX的过 程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。平移不改变图形的形状、大小和方向，且一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。在描述一个图形的平移时，必须指出平移的方向和距离。 练：
七年级知识点浙教版数学 （正文开始） 作为初中数学的入门学科，七年级的数学知识点尤为重要。它 不仅对于中学阶段的学习有着至关重要的影响，还是复习和巩固 基本数学知识的关键。本文将为您详细介绍浙教版七年级数学知 识点。 一、有理数 1. 有理数的基础知识 有理数是指整数和分数的统称，将它们放在一个数轴上，整数 和分数构成一条连续的线段。其中，正整数、负整数、0都是整数，正分数、负分数、0都是分数。 2. 有理数的加减乘除 有理数的加减法遵循同号相加相减，异号相减相加的原则，有 理数的乘除法则是正乘、负乘、正除、负除的规律。例如：
（1）3+(-5)=-2 （2）9-(-7)=16 （3）-2×(-4)=8 （4）4÷(-2)=-2 二、平面几何基础 1. 图形的基本概念 图形是指平面上由线段或弧组成的集合体，常见的图形包括三角形、四边形、圆、正方形等。每个图形都有一些基本要素，如角、边、面积、周长等。 2. 直线、射线、线段
在平面几何中，直线是由无限多点构成的，其中任意两点可以连成一条线段；射线则是由一个确定的起点出发，沿着某个方向无限延伸的线段。 三、代数式和方程式 1. 代数式的基础概念 代数式是由一些数或字母用运算符号连接起来的数学表达式，常见的代数式有一元一次式、一元二次式等。代数式的运算包括加、减、乘、除以及乘方等。 2. 方程式的基本概念 方程式是指两个代数式之间用等于号连接的数学表达式，例如x+2=5。方程式的根是指能满足方程式成立的未知数的值，例如x=3是x+2=5的一个根。 四、函数与图像
1. 函数的基本概念 函数是一种将自变量映射到因变量的数学关系，通常用f(x)表示。其中，自变量是输入，因变量是输出，例如f(x)=x^2就是一个常见的一元二次函数。 2. 图像的基本形态 函数图像是指将函数在平面直角坐标系中的几何表现，它可以用来表达函数的各种性质。常见的函数图像有直线、抛物线、三角函数、指数函数等。 总之，浙教版七年级数学知识点涵盖了有理数、平面几何、代数式和方程式、函数与图像等多个方面。掌握这些知识点将对以后的数学学习有非常重要的帮助。希望以上内容能够帮助到您，也希望您能够善加利用。
浙教版七年级下册数学知识点提纲 浙教版七年级下册数学知识点 相似变换 ※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成. ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3、注意点: ①a:b=k,说明a是b的k倍; ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数; 平移变换 (1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化; (2)图形平移后，对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上) (3)多次平移相当于一次平移。 (4)多次对称后的图形等于平移后的图形。 (5)平移是由方向，距离决定的。 (6)经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。 这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移 相似三角形 ※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形. ※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5、相似三角形周长的比等于相似比. ※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方. 统计 科学记数法：一个大于10的数可以表示成Ax0N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。 扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。 各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目;折线统计图：能清楚反映事物的变化情况;扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 近似数字和有效数字：①测量的结果都是近似的。②利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。③对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把(X1+X2+…+XN)/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X(上边一横)。 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响;中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息;众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。 调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不
浙教版七年级下册知识点汇总 第一章相交线与平行线 相交线 一：相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．对顶角与邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为领补角。 （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 二：垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 第二节平行线及其判定 一：平行线 平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
浙教版初中数学七年级下册复习及习题 第一章三角形的初步认识 ①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”，读作“三角形ABC”。 由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。 ②三角形三个内角的和等于180°。 由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 能够重合的两个图形称为全等图形。 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 “全等”可用符号“≌”来表示。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 ①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 ②有一个角和夹这个角的两边【对应相等】的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。 在几何作图中，我们把用【没有刻度的直尺和圆规】来作图，简称尺规作图。 A类题目： 1、下列图形中，不具有稳定性的是（）. A B C D