3、机器人的位姿描述与坐标变换

Xi Xj Yi
3）RZ
Z
Zi
j

Yj Yi
Xi
Xj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z i , X j ) cos(Z i , Y j ) cos(Z i , Z j ) z j
yi
Yi
☺ 关于(Yi , X j )？
yi x j cos(Yi , X j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j )
Zj
Zi
zi
P
zj
yj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos( (X i , X j ) y j cos( (X i , Y j ) z j cos( (X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
Z2

Z i (Z1 )
R(Z i , )
j i
R(Y1 , )
R(Z 2 , )
Zj
R ( , , ) R ( Z , ) R (Y , ) R ( Z , )
ZYZ欧拉角



Yj （Y2 )


Y1 Yi

Xi
X1
X2 X j
cos sin j ( , , ) R i 0

Xi
X1
X2 X j
2）、绕固定坐标系旋转
( X i , ) ( Z i , )
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Zm Zi Zj
坐标系( X m , Ym , Z m )
j i Yj Ym Yi
坐标系 ( X j , Y j , Z j )

R?
证明与讨论:
1) Pm mj R Pj R ( Z i , ) Pj 2) Pi m m R ( X i , ) P m iR P R ( X i , ) R ( Z i , ) Pj
《机器人学 机器人学》 》
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换 战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z Y X 机器人 的位姿
Zi Xi Zw Xw
连杆I的 位姿 Yi
Yw
3-1 刚体位姿的数学描述 刚体位姿的数学描
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
x0 y ' 刚体位置 o 刚体位置： P o 0 z0
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵 1）、绕固定坐标系旋转
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系( X m , Ym , Z m ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
Zm Zi Zj
R( X i , )
R ( Z i , )
j i
R ( , ) ?

Yj Ym Yi
cos 0 j R ( Y , ) i i sin
0 sin 1 0 0 cos
cos sin j R ( Z , ) i i i 0
sin cos 0
0 0 1
转动矩阵的特点： (1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦 其余均为转角的余弦/正弦； 正弦 (2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现 的为正，反之依然。
5 6 7 0 15 0
T
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj Zi P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi Xj xj
Xi
Xm

Xj
适用的机器人类型举例（有旋转关节）
例1: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z 轴转30度, 假设点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标 系A中的描述PA.
X Z b Z' Z O' O n X' Y Y' t
刚体姿态：
O' O ' R [O OX O' O
Y
单位主矢量
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X 'Y ) cos(Y 'Y ) cos(Z 'Y ) O' Z ] O 33 cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
j i
R
j
P
►姿态矢量矩阵
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O' R O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
Xj
Zj
P
Oj
Yj Zi
Oi P OiO j O j P
i
Oj i
P
P P P
Oj i j
Xi
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移：
x 0 0 x 0 y 0 y Oj P i z 0 0 z
j i
Yj （Y2 )

R?
1) P2 2j R Pj R( Z 2 , ) Pj
Y1 Yi



2 2) P 1 1R P 2 R(Y1 , ) P 2


3) Pi i1R P 1 R( Z i , ) P 1 R( Z i , ) R(Y1 , ) P2 R( Z i , ) R(Y1 , ) R( Z 2 , ) Pj
适用的机器人类型举例（有平移关节）
Z1 X1
Y1 Z2 X2
Y2
Z3 X3
Y3
三坐标的直角坐标机器人
Z
Y
X
Zi
Zj
例: Oi i
Yi Xi Xj
P
Oj
Yj
15 已知
j
P 5 6 7
T
求 P点在i坐标系中的坐标。
T T
解答： i P j P OjP 解答
i
5 21 7
sin cos cos cos sin
sin sin cos sin cos
2）、绕运动坐标系旋转
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
☺
9个元素，只有3个独立， 满足6个约束条件:
O' O O' O ' X .O OX O' O ' Y .O OY ' O' O O Z .O Z 1 ' O' O' O' O' X .O Y Y . Z O O O O Z .O X 0
' T R 1 O R O
☺
O' O
cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin
cos sin sin sin cos
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。
1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右 乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同； 2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往 左乘 即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反 左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
证明： 1）绕运动坐标系旋转 绕运动坐标系旋转
R(Z i , )
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Z2 Zj Z i (Z1 )
R(Y1 , ) R(Z 2 , ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 )
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos( z j ( Z , X ) cos( ( Z , Y ) cos( ( Z , Z ) i j i j i j