极坐标导学案

1.1.2 极坐标系一、学习目标：1、认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

2、自主学习，合作探究，培养学生的发现和创新能力。

3、激情投入，高效学习，提高数学学习的兴趣。

重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

二、课前预习：自学课本P8—P11，思考下列问题。

（一）基础知识探究：请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案。

1、右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参照 。

3、极坐标系的概念：（1）在平面内取一个定点O ，叫做 ；自极点O 引一条射线Ox ，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常用弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个________。

（2）如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离｜OM ｜叫做点M 的______，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的______，记为θ。

有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M （ρ，θ）。

一般地，不做特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数。

建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M 。

但给定平面内任意一点M ，由于极坐标（ρ，θ）与（ρ，πθk 2+）（Z k ∈）表示同一个点，可见点M 的极坐标有无数种表示。

如果规定0>ρ，πθ20<≤，则除极点外，点M 可用惟一的极坐标______表示，同时极坐标（ρ，θ）表示的点也是惟一确定的。

极坐标与参数方程导学案坐标系课前双基巩固1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．极坐标系(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ).(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝________，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝________，tan θ＝________(x ≠0).3．常用简单曲线的极坐标方程课堂考点探究探究点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标为________．(2)双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x 2y ′＝y 后所得曲线C ′的焦点坐标为____________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．(2)在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外还要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同．探究点二 极坐标与直角坐标的互化2 [2017·新疆生产建设兵团二中月考]在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，P 为曲线C 上的动点，定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4. (1)将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程；(2)求P ，Q 两点间的最短距离．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．式题 [2016·郑州二模] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 简单曲线的极坐标方程及应用3 [2016·陕西安康三联] 在极坐标中，直线l 的方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝m (m >0)．(1)求直线l 与极轴的交点到极点的距离；(2)若曲线C 上恰好有两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互化公式是解决问题的关键．式题 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5，点P (2cos α，2sin α＋2)，参数α∈[]0，2π.(1)求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l的距离的最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________参数方程课前双基巩固1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(*)，并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫作这条曲线的________，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称________.2．直线、圆、椭圆的参数方程(θ过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，则 (1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)； (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝|t 1＋t 2|2； (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 [2016·辽宁丹东二模] 在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出此最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 几种常见曲线的参数方程：(1)直线的参数方程．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆的参数方程．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)． (5)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 式题 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 和直线l 的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，5ρcos(θ＋α)＝2其中 tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求圆C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设圆C 和直线l 相交于点A 和点B ，求以AB 为直径的圆D 的参数方程.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点二 参数方程与普通方程的互化2 [2016·广东中山模拟] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)当α＝π3时，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程；(2)若直线AB 的斜率为54，点P (2，3)，求|PA |·|PB |的值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致．式题 [2016·河南许昌、新乡、平顶山三调] 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1被C 2截得的线段的长； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 直线的参数方程3 [2016·江西新余一中调研] 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，圆C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若P 点的直角坐标为(2，1)，求||PA |－|PB ||的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t 的绝对值表示对应的点到定点的距离．(2)根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义，有如下常用结论：①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②若定点M 0是线段M 1M 2(点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，t 2，下同)的中点，则t 1＋t 2＝0； ③设线段M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22.式题 在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ，求线段AB 的长度．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 [2016·山西长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中一联] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．式题 [2016·陕西汉中二模] 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________答案 坐标系考试说明1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.教学参考【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径 极角 (2)ρcos θ x 2＋y 2 y x【课堂考点探究】例1 (1)(1，－1) (2)(－5，0)，(5，0) [解析] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求． (2)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0)．例2 [思路点拨] (1)首先按两角差的正弦公式展开，然后两边同时乘ρ，利用转化公式ρ2＝x 2＋y 2, x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，转化为直角坐标方程；(2)圆外一点与圆上一点距离的最小值为圆心与圆外这点的距离减半径．解：(1)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin θ－2cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(2)在直角坐标系中，易知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又曲线C 的圆心为(－1，1)，半径为2， ∴|PQ |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12－2＝3－ 2. 变式题 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即ρ＝2cos θ.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，1＋2或1－ 2.例3 解：(1)令θ＝0，可得ρ(3cos 0－4sin 0)＝2，∴直线l 与极轴的交点到极点的距离为ρ＝23. (2)直线l 的直角坐标方程为3x －4y －2＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝m 2，曲线C 表示以原点为圆心，m 为半径的圆，且原点到直线l 的距离为25.若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，则15<m <35. 变式题 解：(1)设点P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋2，且参数α∈[0，2π]， ∴点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5， ∴12ρsin θ－32ρcos θ＝5，即ρsin θ－3ρcos θ＝10， ∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋10＝0.由(1)知点P 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝4，是圆心为(0，2)，半径为2的圆，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋10|（3）2＋12＝4，∴点P 到直线l 的距离的最大值为4＋2＝6.教师备用例题[备选理由] 例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，意在考查基本运算能力，转化与化归思想、方程思想与数形结合思想．例2主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用等基础知识，综合性较强．例1 [配例2使用] 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)O 为极点，A ，B 为圆C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求||OA ＋||OB 的最大值． 解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ，即x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)不妨设点A 的极角为θ，则点B 的极角为θ＋π3，则||OA ＋||OB ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝43sin θ，∴当θ＝π2时，||OA ＋||OB 取得最大值4 3.例2 [配例3使用] 在直角坐标系xOy 中，点M (0，4)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直线l 过点M 且斜率为－2.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的标准参数方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρsin 2θ－4cos θ＝0得，(ρsin θ)2＝4ρcos θ，∵y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－2，∴α为钝角，由平方关系可解得，cos α＝－55，sin α＝255，∴直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t(t 为参数)，代入y 2＝4x 整理得t2＋55t ＋20＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－55，t 1t 2＝20，则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（－55）2－4×20＝3 5.参数方程考试说明1. 了解参数方程，了解参数的意义.2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.教学参考【课前双基巩固】 知识聚焦1. 参数方程 参数 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用坐标变换写出C 2的直角坐标方程，再写出其参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式写出l 的直角坐标方程；(2)设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式将问题转化为三角函数的最值问题求解．解：(1)由题意知，曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2)设P (3cos φ，2sin φ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos φ－2sin φ－6|5＝|4sin （60°－φ）－6|5，当sin(60°－φ)＝－1时，d 取最大值25，此时取φ＝150°，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1. 变式题 解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，转化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由于tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，极坐标方程5ρcos(θ＋α)＝2转化成直角坐标方程为x －2y －2＝0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝1，x －2y －2＝0，解得A (2，0)，B 25，－45，设点M (x ，y )是圆D 上的任意一点，则＝(x －2，y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25，y ＋45，·＝0.所以(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋45＝0，整理得5x 2＋5y 2－12x ＋4y ＋4＝0，转化成标准形式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＝45，转化成参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65＋255cos θ，y ＝－25＋255sin θ(θ为参数). 例2 [思路点拨] (1)先求直线的普通方程，再化为极坐标方程；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义求解．解：(1)当α＝π3时，直线AB 的普通方程为3x －y －3＝0，即直线AB 的直角坐标方程为3x －y －3＝0，∴直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＝3，即2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 3. (2)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ的普通方程是x 24＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程，整理得 (cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0.∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α＝12（cos 2α＋sin 2α）cos 2α＋4sin 2α＝12（1＋tan 2α）1＋4tan 2α，又直线的斜率为54，即tan α＝54，代入上式可求得|PA |·|PB |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5161＋4×516＝7.变式题 解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以C 1被C 2截得的线段的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. (2)将C 1的参数方程代入C 2的普通方程得t 2＋2t cos α＝0， ∴A 点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝－cos α，∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)．故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α(α为参数)．因此，A 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故A 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．例3 [思路点拨] (1)利用互化公式进行两种方程之间的转化；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义和韦达定理求解．解：(1)易得直线l 的普通方程为y ＝x －1.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)点P (2，1)在直线l 上，且在圆C 内，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t 代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，得t 2－2t －7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－7<0，即t 1，t 2异号． 所以||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝ 2.变式题 解：由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，得C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则线段AB 的长度|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56132－4×4813＝81013. 例4 [思路点拨] (1)由代入消元或加减消元，将直线l 的参数方程化为普通方程，由ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求直线被圆所截得的弦长，可利用垂径定理，即|AB |＝2r 2－d 2，先根据圆心到直线的距离公式求得d ，再代入计算|AB |.解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)方法一：曲线C ：x 2＋(y －2)2＝4是以点(0，2)为圆心，2为半径的圆，易得圆心(0，2)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝24－12＝14. 方法二：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－4y ＝0并化简整理可得t 2＋2t －3＝0，从而⎩⎨⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝（t A ＋t B ）2－4t A t B ＝14. 变式题 解：(1)∵圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2，∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|3－4－2|2＝322＞2，即直线与圆C 相离． 由于M 是直线上任意一点，则|MC |≥d ＝322. ∴四边形AMBC 的面积S ＝2×12·|AC |·|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.教师备用例题例1 [配例2使用] [2017·广东海珠区调研] 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x2＋y 2－4x ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程x 2＋y 2－4x ＝0，化简得ρ＝4cos θ.∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)∵直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y －4＝0，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，(4，0)， ∴弦长为（2－4）2＋（2－0）2＝2 2.例2 [配例4使用] 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ2＝151＋2cos 2θ，直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝ 3. (1)判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求|AB |的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 25＋y 215＝1，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，与y 轴的交点为P (0，3)，将P (0，3)代入椭圆方程左边得0＋15<1，故点P (0，3)在椭圆的内部，所以直线l 与曲线C 相交．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x25＋y 215＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，有3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝15，即t 2＋2t －8＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 2＋t 1＝－2，t 2t 1＝－8. ∴|AB |＝（t 2＋t 1）2－4t 2t 1＝（－2）2－4×（－8）＝6。

问题4:将点M 的直角坐标（x,y ）化为极坐标（P , 0）的关系式为第2课时极坐标系"课程学习目标1.通过实例了解极坐标系的建立 ，会用极坐标表示极坐标系内的点 ，掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化 ，掌握转化公式，并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.二 _ ,'1\ I 1J rl一知识体系梳理李先生是个外地人，他想到市教育局去，却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育生找到目的地吗？在我们现在的位置东南方 3公里处”是一个确定的位置吗？问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点 0,叫作极点；自极点0引一条射线Ox,叫作问题2:对于平面内任意一点 M,用P 表示点M 到极点0的距离，用0表示以Ox 为始边,，记为问题3:将点M 的极坐标（P , 0）化为直角坐标（x,y ）的关系式为\rh'L 呢卫第一层级.'][|预学区*不着不井局如何走？路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答，能让李先度单位和角的正方向（通常取 方向）,这样就建立了一个平面极坐标系,简称；再选定一个长以0M 为终边的角度，其中P 叫作,0叫作 ,有序数对（P , 0）就叫作点 Mr - 口口 1 r—基础学习交流1.在极坐标系中，点M（-2，n）的位置，可按如下规则确定（）.A.作射线OP ,使/xOP= n,再在射线 OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使/xO卩=害,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使/xOP=7^,再在射线OP的反向延长线上取点 M使|OM|=2D.作射线OP,使/xOP=-n,再在射线OP上取点M使 |OM|=22.若P1+P2=0,0l+02=n,则点 M1( P1, 01)与点 M2(P2,B2 )的位置关系是() .A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成4的直线对称3.点P的直角坐标为（-迈迈）,那么它的极坐标可表示为4.在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系(1)A(2,0)、、C(2,n)、D(2,n)、E(2茁、F(2,5n)、G(2,宁);(2)A(0,n n、Bg、C(2,5n)、D(3,5n)、EQ,》”1 b' I _i.xK点难点探究I化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标 (1)(2，n)； (2)(3，n)；(3)(4，T；(4)(4,-：n).极坐标的概念已知极坐标系中点 A(2,n),B(v2,3n),O(0,0),则△AOB为( ).极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中，点P(2，n)和点Q(4,5n)之间的距离为把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形(1)(2,宁);(2)(2，¥；(3)(2,寸)；(4)(2,-2).3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为（3，n 、（4，n ）,则△AOB（其中0为极点）的面积在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A （2^^,B （2,n ）,C （2,5n ）.（1）判断△ABC 的形状； （2）求MBC 的面积.（用三极坐标平面内两点 P （4,亍）、Q （ P ，T ）之间的距离为v 10,则p =L n V ■■ - V fl H -（V 匸基础曾能栓测2.将极坐标（6，¥）化为直角坐标为（ ）.1.在极坐标系中，若点A 、B 的坐标分别是（2，n ）、（3,-n ，则△AOB 为（ ）.A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形A.(-3 需,3)B.(-3 v 3,-3)C.(-3,-3 ^3)D.(-3,3 V 3)第三层级技能应用与柘展4.在极坐标系中，已知三点M(2,5n ，N(2,0),P(2适n .(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标 (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.y , = •:斗 “I O ： T IL新视角拓凰在极坐标系中，已知两点A(2，n ),B(2,5n )，且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点C 的极坐 标与该三角形的面积.考题变式(我来改编)：''I h ' M J |.iL^,4思维导图构建L |A 燈坠标It为醫坚标卜-二t«n 肚王仪#0）LJft 坐标化为直南电标1~」|W 叭ly^tn第2课时极坐标系、 p 2 = x 2+y 2, 问题4： { y问题{tan 0= y(x 工0)X基础学习交流P <0时,点M （p , 0 ）的位置按下列规定确定：作射线OP,使/ xOP=0 ,在OP 勺反向延长线上取|OM|=| P I ，则点M 就是坐标（P , 0） 的点，故选B.gigs知识体系梳理问题1:极轴 逆时针极坐标系 问题2:极径 极角 极坐标 M(p ,0)问题3： {X: Pcos,P sin 1.B 当2. A 因为点（P ,0 ）关于极轴所在的直线对称的点为（-P , n - 0 ）,由点M( p 1, 0 1)和M( p 2, 0 2)满足p 1+ p 2=0, 0 1+ 0 2= n ,可知点M 与M2关于极轴所在的直线对称.3.(2,于)(答案不唯一)直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解，即p=v(-v2)2 + (v5)2=2,tan 0=-1.因为点P在第二象限，所以可取一个极角为•44.解:(1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上.点B G关于极轴对称，点D E关于极轴对称，点C、F关于极点对称.-----JK(2)所有点都在倾斜角为n,且过极点的直线上.点D E关于极点对称.4重点难点探究探究一：【解析】(1) T x= p cos 0 =2cos n = v3 ,y= p sin0=2sin上=1. •••点(2,上)的直角坐标为(v5,1).6 6(2) T x= p cos 0 =3cos n=0,y= p sin•••点(3, n)的直角坐标为(0,3).0 =3sinn=3.2 n(3) T x= p cos 0 =4cos-^=- 2,y= psin0=4sin評亦•••点(4,年)的直角坐标为(-2,2 ^3).. n . v3——./ 八…n r y+COS 6 、/+m v6+ . n r ；(4) . cos—=v ---- =v—-= ------ ,sin —=vn v3 ——-cos6=r/-W-" 2 1 2-4\fx=pcos=4cos(- )=4cos1i9=4sin （-in）=-4sin右=乙2-w.二点（4，-右）的直角坐标为(v2+v6, v2- v6).OA=2,OB=/5, ZAOB 』，由余弦定理得4AB=VO/A + OB 2-2OA • OB • cosZ AOB= v5 ,故 OB 二AB/ABO^,即△ AOB 为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的p 和0分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三：【解析】（法一）由公式｛X= peg 0得点P （2, T 和点 y = p sin , 0 3Q （4, ”）的直角坐标分别为P （1, v3）和Q （-2 v3,2）,由两点间的距离公式得 |PQ|= Ml + 2^3) 2 + (霭-2)2=2V 5.（法二）在极坐标系中，已知点P （2, n 和点Q （4普），故Z POQn,所362以 |P Q|= V22 + 42=2V 5.【答案】2V 5【小结】如果极坐标系中的两点确定，那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标，在平面直角坐标系中计算，也 可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算 思维拓展应用：(1)v6 +v2 ,y= p sin12 I 小结】严格按照｛y:P ：0：S'进行转化，注意准确计算.探究二：【解析】显然x=2cos—=2X( - -)=-1,y=2sin -=2X( -V3)=- V3,即点(2, 土)的直角3 2 3 2 3坐标为(-1,- V5),是第三象限内的点.(2)由题意知x=2cos 2-n=-i,y=2sin 23n=v5,即点(2,年)的直角坐标为(-1, V3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(- n)=1,y=2sin(- n)=- v5,即点(2,--)的直3 3 3角坐标为(1,- V3),是第四象限内的点.⑷ 由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0( n<2<n ),y=2sin( -2)=-2sin2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2), 是第三象限点.应用二：(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心，2为半径的圆上，且所对的圆心角均为2 n , A |AB|=|AC|=|BC|, /•△ ABC为正三角形.P (0,-4)或P =3V2.基础智能检测-3,3_所以直角坐标为1(2)由(1)知-|AB|=2sinS=X2 v3 X2 v3 X —=3V3 .2 2应用三：V2或3V> 上，•••|AB|=2 13, •••△ ABC 的面积为3根据x= P cos 0 ,y= p sin 0 ,得P、Q的直Q(Vrp,V2p). A|PQ|= vto- 乎P)2+ (-4 + V2 P)2=VIO,解得p=v2 1.B 由题意知/ AOB=-(-：)=：故选B.2.C 由公式｛X=p co；得｛x=6X(-yy = 6 X (- —) = - 3v3,3.3 结合图形，△ AOB 的面积 S=1OA- OB- sin(上-n )=3.23 64. 解:⑴将三点坐标代入公式｛：： P S0S,可知点M的直角坐标为 (1,-v3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3, v3). ⑵ VkM =2^=V 3,k Np=20Z,Ak MN=kNP,AMN 、P三点在同一条直线 上.全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2, n )的直角坐标为(v2, v2),点B(2,-)的直角坐标为44(-v2,- v2),设点C 的直角坐标为(x,y).由题意得 ACL BC,|AC|=|BC|.••• AC - BC=0,|AC| 2=|BC|2,于是(X- v2,y- v2) - (x+ v2,y+ v2)=0,即 x 2+y 2=4.①(x- v2) 2+(y- v5)2=(x+ v5)2+(y+ v5)2,即 y=-x.②将②代入①得x 2=2,解得x=±v2, A{X=密或{X=-富，y = - V2 y = v2, •••点C 的直角坐标为(「2,- v5)或(-v2, v2).•••p = v2+7=2,tan 0=-1, 0=^或宁，•点 C 的极坐标为(2, 或(2, F).S △ABO =1|AC| • |BC|=2|AC|2=2 X 8=4.( 法 二)设 点(p , 0 )( p >0,0 <0 <2n ), V |AB|=2|OA|=4, / C= n ，|AC|=|BC|, /. |A C|=|BC|=2 v2,(-3,-3 v3),选择C.C 的 极 坐 标P + 22-2 X2p coS 0- n) = 8,①{ 4 P + 22-2 X2p coS 0■— ) = 8,②n= n +kn ,k € Z,即4 2V 0<0 <2n ,令 k=0,1,得 0 二一或一，•••点 44(2, ^),S △ABC =1|AC| • |BC|=1|AC|2=1X 8=4.①+②化简得P 2=4,由 P >0得 P =2,代入①得根据余弦定理可得cos( 0 - n )=0, ^0 -40= — +kn,k € 乙又4C 的极坐标为（2,-）或4。

§1.2 极坐标系学习目标1.认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置．2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化．重点能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标间的互化．难点理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，点与极坐标之间的对应关系的认识． 学习探究一 极坐标系的概念请同学们熟读教材P 8-11，找出你的疑惑之处，并加以标注. 思考1：建立极坐标系需要几个要素？解：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向构成极坐标系的四要素，缺一不可. 思考2：给定平面内任意一点，是否可以找到唯一的极坐标？解：由于终边相同的角有无数多个，即点的极角不惟一，故平面内一个点的极坐标有无数多种表示.思考3：平面直角坐标与极坐标有何区别？解：在直角坐标系内，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，虽然一个极坐标),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个极坐标对应，即点与极坐标是“一对多”的关系. 学习探究二 极坐标和直角坐标的互化思考4：要进行点的极坐标与直角坐标的互化，必须具备几个条件？解：要进行点的极坐标与直角坐标的互化，必须具备的前提条件是： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系的长度单位相同.思考5：极坐标与直角坐标互化的步骤？解：1.把点M 的极坐标),(θρ化为直角坐标),(y x ，只需应用公式{θρθρcos sin ==x y 求得y x 、，且答案是惟一的.2.若把直角坐标),(y x 化为极坐标),(θρ，只需应用公式⎩⎨⎧+=≠=222)0(tan y x x x y ρθ求ρ，θ.求极径ρ时，只考虑0≥ρ；求极角θ时，应注意判断点M 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，一般取)2,0[πθ∈.动手试试例1、已知)154,2(πQ ，分别求出满足下列条件的点的极坐标： （1）1P是点Q 关于极点O 的对称点； （2）2P 是点Q 关于直线)(2R ∈=ρπθ的对称点； （3）3P 是点Q 关于极轴的对称点.例2、把点A 的极坐标)34,6(π化为直角坐标.变式：把点P 的直角坐标)6,2(-化成极坐标.例3、在极坐标系中，已知两点)43,2(πA ,)45,6(πB ，求直线AB 与极轴所在直线的交点坐标.。