第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
