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四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。
随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。
同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。
因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。
但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。
《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。
课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。
1．参考专业：物理教育和计算机等专业。
2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。
2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。
参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。
2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。
3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。
4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。
第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.本节主要内容1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线2 导数的定义3 左右导数4 用导数计算导数5 导数的几何意义6 函数的可导与连续的关系讲解提纲：一、 引例：引例1：变速直线运动的瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-；引例2 平面曲线的切线000()()lim x x f x f x k x x →-=-.二、 导数的定义：xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值xy∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 三、左右导数:'0()f x -=0()()limh f x h f x h -→+-'0()f x +=0()()limh f x h f x h+→+-定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数:根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -∆+=∆2． 求两增量的比值： xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; 3． 求极限 .lim0xy y x ∆∆='→∆五、导数的几何意义:函数()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即'0()f x tan α=，其中α是切线的倾角。
如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =.六、函数的可导性与连续性的关系定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则它在0x 处连续.注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数210y x =在1x =-处的导数.解：'0(1)(1)(1)lim x f x f f x∆→-+∆---=∆22010(1)10(1)lim x x x∆→-+∆--=∆2010201010lim x x x x∆→-∆+∆-=∆202010lim x x x x∆→-∆+∆=∆lim(2010)20x x ∆→=-+∆=-.例2 试按导数定义观察下列各极限，指出A 表示什么(假设各极限均存在).(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆(2) 000()()lim h f x h f x h A h→+--=.解：（1） 000000()()()()lim lim[]x x f x x f x f x x f x A x x∆→∆→-∆--∆-==-∆-∆'0000[()]()lim ()x f x x f x f x x-∆→+-∆-=-=--∆；（2） 000()()lim h f x h f x h A h→+--=00000[()()][()()]limh f x h f x f x h f x h→+----= 000000()()()()lim limh h f x h f x f x h f x h h →→+---=- '''000()[()]2()f x f x f x =--=.用定义计算导数例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数. 解： '0()()()limlim 0x x f x x f x C Cf x x x∆→∆→+∆--===∆∆； 例4 设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4|)(sin π='x x .解: '0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆=0sin()sin()lim x x x x x∆→+∆-∆01lim 2cos()sin22x x xx x ∆→∆∆=⋅+∆ 0sin()2lim cos()cos 22x x x x x x ∆→∆∆=+⋅=∆ 4|)(sin π='x x＝cos 42π=例5 求函数n x y =(n 为正整数)在x a =处的导数.解： '()()()lim lim n nx a x a f x f a x a f a x ax a →→--==--1211lim()n n n n x ax ax a na ----→=+++=例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.解： '00()()()lim lim x h xh h f x h f x a a f x h h+→→+--==01limh xh a a h→-=ln x a a = 例7 求函数 ()1,0log ≠>=a a x y a 的导数解： '00log ()log ()()()lim lima a h h x h x f x h f x f x h h →→+-+-== 0011lim log lim log (1)a a h h x h x hh x x h x→→+==⋅+0log (1)11limln a h hx h x x a x →+== 例8 求cos y x =在点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解：切线斜率'33sin sin3x x y x πππ===-=-=， 故在1,32π⎛⎫⎪⎝⎭处，切线方程为：1()223y x π-=--；法线斜率：－(1/-==法线方程：1)233y x π-=-- 左右导数例9 函数 ⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x ，求()'f x .解：当0x =时，'00()(0)sin (0)limlim 1x x f x f xf x x-→-→--==='00()(0)(0)lim lim 10x x f x f x f x x +→+→+-===-由'(0)f -='(0)1f +=知()'01f =故()'cos ,01,01,0x x f x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩，即()'cos ,01,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩例10 已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，求'(0),f -'(0)f +解： '00()(0)0(0)lim lim 1x x f x f x f x x-→-→----===-2'000()(0)0(0)limlim lim 00x x x f x f x f x x x+→+→+→+--====- 由于''(0)(0),f f -+≠所以'(0)f 不存在。
例11 讨论函数()sin f x x =在0=x 处的连续性与可导性. 解：因为0lim ()lim sin 0x x f x x →+→+==lim ()lim(sin )0x x f x x →-→-=-=(0)sin 00f ==所以0lim ()x f x →+=0lim ()x f x →-=(0)f ，于是()sin f x x =在0=x 处连续'00()(0)sin 0(0)limlim 1x x f x f x f x x-→-→----===-'00()(0)sin 0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+→+→+--===-由于''(0)(0),f f -+≠所以()sin f x x =在0=x 处不可导。
例12 讨论21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0=x 处的连续性与可导性. 解：因为2001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x→→===所以函数在0=x 处连续。
又由2'0001sin 0()(0)1(0)lim lim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--==== 所以函数在0=x 处可导。
